抛物线教案,教师用3

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抛物线教案

抛物线教案（一）【教学内容】抛物线的定义及其标准方程【教学目标】1．知识目标：使学生理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程，并能初步利用它们解决有关问题.2．能力目标：①通过教学培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳等合情合理的方法，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力，既教猜想，又教证明.②培养学生运用数形结合的数学思想理解有关问题.3．德育目标:培养学生运动、变化和对立统一的观点.【教学重点】抛物线标准方程的推导及有关应用.【教学难点】抛物线标准方程的推导及有关应用。

【教学方法】启发、探索、类比，精讲精练.【教具使用】多媒体【教学过程】一、复习引入1．已知轨迹条件，怎样建立轨迹方程？2．试叙述椭圆、双曲线的第二定义.3．当e=1时，轨迹是什么曲线？首先由学生猜想，然后教师电脑动画演示（改变e的值为1即可）.同学们已从物理学、数学的函数中对抛物线有了些认识.今天我们将从更一般的意义来研究抛物线.二、新课1.抛物线的定义：（电脑动画演示，然后由学生归纳）定义：平面内与一个定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫抛物线的焦点.直线L叫抛物线的准线.指出：定义的另一种说法.2.抛物线的标准方程的建立：（1）坐标系的建立；（2）分析方程建立过程（板演）；（3）投影显示完整的建立过程.注意：点M到直线L的距离怎样用坐标表示是一个难点.3.抛物线方程的其它形式：（1）由学生观察、类比、分折得出结论（见下表）(2)形结合，辩认异同.4.练习（口答）：(1)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程①x y 62= ②y x 412= ③0732=+x y ④082=+y x (2)根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程①焦点是F （0，-2） ②焦点是F （3，0）③准线方程是41=x ④焦点与准线的距离是2 三、小结、引申：1．抛物线的定义、焦点、准线、p 的几何意义.2．与椭圆、双曲线的第二定义比较，从而得出三种圆锥曲线统一的定义.3．抛物线标准方程的四种形式.4．当定点F 在定直线L 上时，动点的轨迹是什么？（是过定点F 且与L 垂直的直线）5．根据图例提示，试设计一个方案，用手工折纸“折” 绘抛物线.四、达标自测：1．填表（略，见附页）2．抛物线241x y =的焦点坐标是（）（A ）)161,0( （B ）)0,161( （C ）（0，1）（D ）（1，0） 3．抛物线022=+y x 的准线方程是（）（A ）21-=x （B ）21=y （C ）018=+x (D) 018=-y 4．已知动点M 到点F （6，0）的距离等于点M 到直线x +6=0的距离.则动点M的轨迹方程为 .5．焦点是F （6，0）的抛物线的方程是；准线方程为21-=x 的抛物线的标准方程是；焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是；顶点在原点，以坐标轴为对称轴且过点（–2，3）的抛物线的标准方程是 .6.动点P 到直线 x +4=0 的距离减去它到M （2，0）的距离之差等于2，则点P 的轨迹是 . （93上海高考题）。

抛物线教案完整篇

抛物线教案完整篇引言本教案旨在帮助学生理解和掌握抛物线的基本概念和性质。

通过本教案的研究，学生将能够解决与抛物线相关的问题，并应用抛物线的知识进行实际推理和分析。

教学目标- 理解抛物线的定义和特点- 掌握抛物线的标准方程和顶点形式- 能够绘制给定抛物线的图像- 了解抛物线在实际生活中的应用，并能够应用抛物线解决相关问题教学内容1. 抛物线的定义和特点- 抛物线的定义- 抛物线的焦点和准线- 抛物线的对称性和轴线2. 抛物线的表示形式- 抛物线的标准方程- 抛物线的顶点形式3. 绘制抛物线的图像- 根据给定的方程绘制抛物线的图像- 理解抛物线图像的特点和形状4. 抛物线的应用- 抛物线在物体运动中的应用- 抛物线在桥梁和建筑设计中的应用- 解决与抛物线相关的实际问题教学方法- 讲解：通过课堂讲解介绍抛物线的定义、特点和相关概念。

- 案例分析：通过分析实际案例，引导学生理解抛物线的应用场景。

- 问题解答：提供一系列与抛物线相关的问题，让学生进行思考和解答。

- 实践操作：通过绘制抛物线的图像和解决实际问题，加深学生对抛物线的理解和掌握。

教学评估- 完成课堂练：检查学生对抛物线定义、特点和方程的掌握情况。

- 解决实际问题：要求学生应用抛物线知识解决一些实际问题。

- 课堂讨论：鼓励学生在课堂上主动参与讨论，分享自己的思考和理解。

教学资源- 抛物线的相关课件和教学PPT- 抛物线的绘图工具和实际应用案例教学扩展- 进一步探索抛物线的性质和变形，如离心率和焦点运动轨迹等。

- 探究其他曲线的性质和应用，如椭圆、双曲线等。

总结通过本节课的学习，学生将能够全面理解抛物线的定义、特点和表示形式，掌握绘制和解决抛物线相关问题的方法，并了解抛物线在实际生活中的应用。

这将为他们进一步学习数学和应用数学打下坚实的基础。

高中物理抛物线教案

高中物理抛物线教案教学目标：1. 了解抛物线的定义和性质；2. 掌握抛物线的方程和参数方程；3. 能够用数学方法解决与抛物线相关的问题。

教学重点：1. 抛物线的基本概念；2. 抛物线的方程和参数方程；3. 抛物线的性质。

教学难点：1. 参数方程的应用；2. 抛物线的相关问题解决。

教学准备：1. 抛物线的示意图；2. 抛物线的数学模型；3. 抛物线的相关练习题。

教学步骤：Step 1：导入1. 引导学生回顾直线和圆的性质，引入抛物线的概念；2. 展示抛物线的示意图，让学生观察抛物线的形状和特点。

Step 2：抛物线的定义和性质1. 讲解抛物线的定义和性质；2. 引导学生研究抛物线的焦点、准线和对称轴。

Step 3：抛物线的方程和参数方程1. 讲解抛物线的标准方程和一般方程；2. 导入抛物线的参数方程，让学生掌握参数方程的应用。

Step 4：抛物线的性质1. 讲解抛物线的性质，如焦点、准线和对称轴；2. 练习抛物线的相关题目，巩固学生的理解和应用。

Step 5：课堂练习1. 布置抛物线的练习题，让学生独立解答；2. 收集学生的答案，对错订正，并解析题目中的难点。

Step 6：课堂总结1. 总结抛物线的基本概念和性质；2. 鼓励学生在课后多加练习，提高抛物线的理解和应用能力。

教学反思：通过本节课的教学，学生对抛物线的定义、方程和性质有了初步的了解，但在参数方程和相关问题的解决上仍存在一定困难，需要通过更多的练习和实践来巩固和提高。

在以后的教学中，可以通过更多的实例和案例引导学生深入学习，提高对抛物线的理解和运用能力。

抛物线性质教案

抛物线性质教案一、引言抛物线是数学中的基本曲线之一，广泛应用于物理学、工程学和计算机图形学等领域。

本教案将通过介绍抛物线的基本性质和相关公式，帮助学生全面理解和掌握抛物线的特点和应用。

二、教学目标1. 了解抛物线的定义和基本性质；2. 掌握抛物线的顶点坐标和焦点坐标的计算方法；3. 理解抛物线与直线的关系，学会通过求解方程组判断抛物线和直线的交点；4. 能够应用抛物线的性质解决实际问题。

三、教学内容1. 抛物线的定义和基本性质抛物线是平面上到定点（焦点）F 和一条定直线（准线）l 的距离相等的点的轨迹。

抛物线的对称轴是过焦点 F 并垂直于准线 l 的直线。

抛物线的顶点是抛物线与对称轴的交点。

抛物线的开口方向是焦点所在的一侧。

2. 抛物线的顶点坐标和焦点坐标的计算方法抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c，顶点坐标为 (-b/2a, -D/4a)，其中 D = b^2 - 4ac。

焦点到准线的距离为 p，焦点坐标为 (h, k + p)，其中 h = -b/2a，k= -D/4a，p = 1/4a。

3. 抛物线与直线的关系与交点的求解设抛物线和直线的方程分别为 y1 = ax^2 + bx + c 和 y2 = mx + n，求解方程组 y1 = y2，可得交点坐标。

4. 实际问题的应用抛物线在物理学、工程学和计算机图形学中的应用非常广泛。

例如，抛物线的形状可以用来模拟飞行物体的轨迹；飞行物体的发射角度和速度可以通过抛物线性质的计算得到。

另外，抛物线的形状也被用于天桥、拱门等工程设计中。

四、教学方法1. 教师讲解与示范教师通过讲解抛物线的定义和基本性质，示范计算抛物线的顶点坐标和焦点坐标，并演示如何求解抛物线和直线的交点。

2. 学生练习与合作学生在教师指导下进行练习，计算抛物线的顶点坐标和焦点坐标，以及抛物线和直线的交点。

3. 实践探究学生分组进行实验，利用抛物线性质计算飞行物体的轨迹，或者设计抛物线形状的建筑结构。

抛物线教案初中

抛物线教案初中一、教学目标1. 理解抛物线的定义和几何性质；2. 掌握抛物线的标准方程及其求法；3. 能够运用抛物线的性质解决实际问题。

二、教学内容1. 抛物线的定义和几何性质；2. 抛物线的标准方程及其求法；3. 抛物线在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 抛物线的定义和几何性质的理解；2. 抛物线标准方程的求法；3. 抛物线在实际问题中的应用。

四、教学过程1. 导入：通过复习二次函数的图象，引导学生思考抛物线的定义和特点。

2. 新课讲解：（1）讲解抛物线的定义：抛物线是平面内与定点（焦点）的距离等于到定直线（准线）的距离的点的轨迹。

（2）介绍抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、焦点、准线等。

（3）讲解抛物线的标准方程：y^2 = 4px（p>0）和x^2 = 4py（p>0）。

3. 例题解析：通过例题讲解，让学生理解并掌握抛物线标准方程的求法。

4. 练习与讨论：让学生分组练习，互相讨论，巩固抛物线的基本概念和求解方法。

5. 应用拓展：通过实际问题，让学生运用抛物线的性质解决问题。

五、教学方法1. 采用直观演示法，通过图形和实例让学生直观地理解抛物线的定义和几何性质。

2. 采用讲解法，详细讲解抛物线的标准方程及其求法。

3. 采用练习法，让学生通过练习和讨论，巩固所学知识。

4. 采用应用拓展法，引导学生将抛物线知识应用于实际问题中。

六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对抛物线定义、几何性质和标准方程的理解程度。

2. 练习与讨论：评价学生在练习中解决问题的能力和团队合作精神。

3. 应用拓展：评价学生将抛物线知识应用于实际问题的能力。

七、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对抛物线知识的理解和应用能力。

八、教学资源1. 教学课件：用于展示抛物线的定义、几何性质和标准方程。

2. 练习题库：用于巩固学生的抛物线知识。

3. 实际问题案例：用于引导学生将抛物线知识应用于实际问题中。

数学物理教案：抛物线的性质与应用

数学物理教案：抛物线的性质与应用一、抛物线的性质实践教案1.1 抛物线的定义与基本性质抛物线是二次函数的图像，具有特殊的几何性质和应用价值。

在数学中，我们常用一般式方程 y=ax^2+bx+c （其中a≠0 ）来描述抛物线。

在这个教案中，我们将重点探讨抛物线的性质与应用。

首先，我们来介绍抛物线的基本性质。

抛物线的对称轴与 x 轴平行，方程形式为 x= -b/2a。

对称轴上的点称为抛物线的顶点，也是对称中心。

通过点对称性，可以得出抛物线关于顶点对称。

抛物线在顶点处取得最值，当 a>0 时，最小值为 -D/4a；当 a<0 时，最大值为 -D/4a。

其中 D=b^2 - 4ac 称为方程的判别式。

抛物线的开口方向由 a 的正负决定，当 a>0 时，抛物线开口向上；当 a<0 时，抛物线开口向下。

1.2 抛物线的性质之焦点与准线接下来，我们将讨论抛物线的焦点和准线。

对于给定的抛物线，焦点F（p, q）是位于对称轴上的一个点，满足距离的性质：焦点到抛物线上任意一点的距离等于焦点到准线上的相应点的距离。

准线是过焦点 F 且垂直于对称轴的一条直线，其方程为 y=-(D/4a)。

我们可以利用这一性质来确定焦点的坐标，通过解方程组将焦点的坐标表示为（p, q）=（-b/2a, -D/4a）。

二、抛物线的应用实践教案2.1 抛物线的应用之物体运动轨迹抛物线不仅在数学领域有重要性质，而且在物理学中也具有广泛的应用。

抛物线可用于描述和分析物体在自由落体或斜抛运动中的轨迹。

在物理学中，我们知道自由落体运动是指只受重力作用的运动。

当一个物体以初速度 v₀进行向下抛掷时，其运动轨迹可以用抛物线来描述。

根据抛物线的性质，我们可以计算物体的最高点、最大高度以及落地点等重要信息。

2.2 抛物线的应用之天体运动除了物体运动轨迹外，抛物线还可以用于描述天体的运动。

在天文学中，行星、卫星和彗星等天体在星际空间中的运动轨迹往往呈现出抛物线形状。

高三数学《抛物线》教案

高三数学《抛物线》教案一、教学内容本节课选自高三数学教材下册第五章《圆锥曲线与方程》中的第二节《抛物线》。

详细内容包括：1. 抛物线的定义与标准方程；2. 抛物线的简单几何性质；3. 抛物线的焦点、准线及其应用；4. 实践活动中抛物线的绘制。

二、教学目标1. 让学生掌握抛物线的定义、标准方程及简单几何性质；2. 培养学生运用抛物线的焦点、准线解决实际问题的能力；3. 激发学生学习兴趣，培养空间想象力和逻辑思维能力。

三、教学难点与重点重点：抛物线的定义、标准方程、简单几何性质及焦点、准线。

难点：抛物线焦点、准线的求解与应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔；2. 学具：直尺、圆规、量角器。

五、教学过程1. 引入：通过展示生活中抛物线的实例（如抛物线运动、拱桥等），引出本节课的主题——抛物线。

2. 新课导入：讲解抛物线的定义，引导学生观察抛物线的特点，推导抛物线的标准方程。

3. 知识讲解：（1）抛物线的定义与标准方程；（2）抛物线的简单几何性质；（3）抛物线的焦点、准线及其应用。

4. 例题讲解：（1）求抛物线的标准方程；（2）求抛物线的焦点、准线；（3）抛物线在实际问题中的应用。

5. 随堂练习：针对例题进行变式训练，巩固所学知识。

6. 实践活动：分组讨论，利用学具绘制抛物线，观察抛物线的性质，加深对知识的理解。

六、板书设计1. 定义：抛物线是平面内到一个定点（焦点）距离等于到一条定直线（准线）距离的点的轨迹；2. 标准方程：y^2=2px（p>0）；3. 简单几何性质：对称性、开口方向、顶点、渐近线；4. 焦点、准线：F（p,0），x=p；5. 例题与解答。

七、作业设计1. 作业题目：（1）求抛物线y^2=8x的焦点、准线；（2）求抛物线x^2=4y的顶点、对称轴；（3）抛物线y^2=4x与直线y=2x+1相交，求交点坐标。

2. 答案：（1）焦点F（2,0），准线x=2；（2）顶点（0,0），对称轴y轴；（3）交点（2,5）。

高三数学《抛物线》教案

高三数学《抛物线》教案一、教学内容本节课选自高三数学教材下册第五章《圆锥曲线与方程》中的抛物线部分。

具体内容包括：抛物线的定义、性质、标准方程及其应用。

二、教学目标1. 理解并掌握抛物线的定义、性质和标准方程。

2. 能够运用抛物线的性质解决实际问题，提高数学应用能力。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

三、教学难点与重点重点：抛物线的定义、性质和标准方程。

难点：抛物线标准方程的推导及其在实际问题中的应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：直尺、圆规、量角器。

五、教学过程1. 导入：通过展示生活中的抛物线实例，如拱桥、篮球抛物线等，引导学生思考抛物线的性质和用途。

2. 基本概念：（1）抛物线的定义：介绍抛物线的起源，引导学生理解抛物线的定义。

（2）抛物线的性质：通过动画演示，让学生观察抛物线的对称性、顶点、焦点等性质。

（3）抛物线的标准方程：引导学生根据性质推导出抛物线的标准方程。

3. 例题讲解：（1）求抛物线的标准方程。

（2）已知抛物线上一点，求该点处的切线方程。

4. 随堂练习：（1）判断下列图形是否为抛物线。

（2）求下列抛物线的标准方程。

5. 应用拓展：（1）抛物线在实际问题中的应用。

（2）抛物线与圆、直线等图形的位置关系。

六、板书设计1. 定义、性质、标准方程。

2. 例题解答步骤。

3. 课后作业及答案。

七、作业设计1. 作业题目：（1）求下列抛物线的标准方程：① y²=4x；② x²=4y；③ y²=8x；④ x²=8y。

（2）已知抛物线y²=4x上一点（1，2），求该点处的切线方程。

2. 答案：（1）① y²=4x，焦点（1，0），顶点（0，0）；② x²=4y，焦点（0，1），顶点（0，0）；③ y²=8x，焦点（2，0），顶点（0，0）；④ x²=8y，焦点（0，2），顶点（0，0）。

抛物线的简单几何性质教案

抛物线的简单几何性质教案教案标题：抛物线的简单几何性质教案目标：1. 了解抛物线的定义和基本性质。

2. 掌握抛物线的焦点、准线、顶点等重要概念。

3. 能够应用抛物线的性质解决简单几何问题。

教案步骤：步骤一：引入1. 引导学生回顾直线、圆等几何图形的性质，引出抛物线的概念。

2. 展示一张抛物线的图像，让学生观察并描述其形状和特点。

3. 引导学生思考抛物线的性质和应用领域。

步骤二：抛物线的定义和基本性质1. 讲解抛物线的定义：平面上到一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离相等的点的轨迹。

2. 介绍抛物线的基本性质：a. 抛物线关于准线对称。

b. 焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线的距离。

c. 抛物线的顶点是其最高（或最低）点，对称轴经过顶点。

d. 抛物线开口方向由抛物线的二次项系数的正负决定。

步骤三：抛物线的重要概念1. 介绍抛物线的焦点、准线和顶点的定义和性质。

2. 指导学生通过几何构造方法确定抛物线的焦点、准线和顶点。

步骤四：抛物线的应用1. 给出一些简单的抛物线几何问题，如：已知焦点和准线，求抛物线方程；已知顶点和焦点，求抛物线方程等。

2. 引导学生分析问题，运用抛物线的性质解决问题。

3. 给予学生充分的练习机会，巩固抛物线的性质和应用。

步骤五：小结与拓展1. 对本节课所学内容进行小结，强调抛物线的定义和基本性质。

2. 提供一些拓展问题，让学生进一步思考抛物线的性质和应用。

教学资源：1. PowerPoint或白板等教学工具。

2. 抛物线的图像和实例题目。

教学评估：1. 课堂练习：布置一些练习题，检验学生对抛物线的理解和应用能力。

2. 个人或小组作业：要求学生解答一些抛物线相关的问题，加深对知识的理解。

教学延伸：1. 引导学生进一步探究抛物线的性质和应用，如抛物线的焦半径、离心率等。

2. 引导学生进行实际观察和实验，了解抛物线在现实生活中的应用，如抛物线反射器、喷泉喷水形状等。

备注：该教案适用于中学数学教学，学生年级和学习能力可以根据实际情况进行调整。

高三数学《抛物线》教案

高三数学《抛物线》教案教学文档一、教学内容本节课选自高中数学教材选修21第三章《圆锥曲线与方程》中的第四节《抛物线》。

详细内容包括抛物线的定义、标准方程、几何性质以及应用。

二、教学目标1. 理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程和简单性质。

2. 能够运用抛物线知识解决实际问题和相关数学问题。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。

三、教学难点与重点教学难点：抛物线标准方程的推导和应用。

教学重点：抛物线的定义、标准方程及几何性质。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：直尺、圆规、计算器。

五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体展示生活中的抛物线实例，如抛物线运动、拱桥等，引导学生思考抛物线的特点。

2. 知识讲解（1）抛物线的定义（2）抛物线的标准方程（3）抛物线的几何性质3. 例题讲解（1）求抛物线y^2=4x的焦点坐标和准线方程。

（2）已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F(p/2,0)，求抛物线上一点M到焦点F的距离与到准线的距离之和。

4. 随堂练习（1）求抛物线x^2=4y的焦点坐标和准线方程。

（2）已知抛物线x^2=8y的焦点为F(0,2)，求抛物线上一点M 到焦点F的距离与到准线的距离之和。

5. 小结六、板书设计1. 黑板左侧：抛物线的定义、标准方程、几何性质。

2. 黑板右侧：例题及解答、随堂练习。

七、作业设计1. 作业题目（1）求抛物线y^2=8x的焦点坐标和准线方程。

（2）已知抛物线y^2=12x的焦点为F(3,0)，求抛物线上一点M到焦点F的距离与到准线的距离之和。

2. 答案八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对抛物线的定义、标准方程和几何性质掌握程度，以及对例题和随堂练习的完成情况。

2. 拓展延伸：引导学生思考抛物线在实际生活中的应用，如建筑设计、体育竞技等，激发学生的学习兴趣。

重点和难点解析1. 抛物线标准方程的推导过程。

2. 例题的选取和讲解，尤其是涉及抛物线性质的应用。

抛物线教案

抛物线教案抛物线教案一、教学目标1. 知识与技能目标：掌握抛物线的定义并能够画出抛物线的图像；熟练掌握抛物线的性质并能够应用到相关问题的解决中。

2. 过程与方法目标：通过合作探究的方式培养学生的自主学习能力和团队协作能力。

3. 情感态度和价值观目标：培养学生对数学的兴趣，增强学生对抛物线的美感。

二、教学重点1. 理解抛物线的定义及性质。

2. 能够应用抛物线的知识解决实际问题。

三、教学难点1. 理解抛物线的运动规律及轨迹特点。

2. 能够应用抛物线的知识解决复杂问题。

四、教学过程1. 导入：通过展示一些抛物线的实际应用场景，如跳水运动员的动作、发射导弹的轨迹等，引起学生对抛物线的兴趣。

2. 学习：讲解抛物线的定义及性质，包括焦点、顶点、对称轴等概念，并给出相关的公式和图像，让学生通过观察和讨论来发现抛物线的特点和规律。

3. 探究：让学生分组进行实验，利用一个小球在斜坡上滚动的过程，观察小球的运动轨迹并记录数据，然后用这些数据绘制出抛物线图像，让学生通过实践来进一步理解抛物线的运动规律。

4. 拓展：从实际问题出发，引导学生应用抛物线的知识解决一些相关问题，如求抛物线的焦距、确定抛物线方程等，增强学生对抛物线的应用能力。

5. 归纳总结：与学生一起总结抛物线的定义、性质和求解方法，并指导学生将这些知识应用到例题中进行巩固练习。

6. 小结：通过总结本节课的学习内容，激发学生对抛物线的兴趣，并鼓励学生进行更多的拓展研究。

7. 作业布置：留作业让学生进一步巩固所学知识，如练习册上的相关题目，或者让学生自由选择一些抛物线应用例题进行解答。

五、教学资源1. 投影仪2. 实验器材：斜坡、小球等3. 课件和练习册六、板书设计抛物线的定义：焦距：顶点：对称轴：抛物线的性质：1. 顶点坐标：2. 对称轴：3. 焦点坐标：4. 焦点与顶点的距离等于顶点到对称轴的距离：七、教学反思本节课通过展示实际应用场景，引起学生对抛物线的兴趣。

3.3抛物线-人教A版高中数学选择性必修第一册(2019版)教案

3.3 抛物线-人教A版高中数学选择性必修第一册（2019版）教案课程背景和目标本节课是高中数学选择性必修第一册的第三章第三节，主要内容是抛物线。

学生已经学过了函数的基本概念和性质，现在需要将函数应用到经典的函数类型中，掌握抛物线的性质和公式，为后面的学习打下基础。

本节课的主要目标是：1.了解抛物线的定义和常用性质；2.掌握抛物线的标准式和一般式；3.掌握如何求解特定抛物线的焦点、顶点和轴；4.学会画出特定的抛物线。

教学过程导入（5分钟）1.引入本节课的主题，让学生通过贴近生活的实例感受抛物线。

2.提醒学生先将上节课的习题完成并自己找出抛物线内容中的问题和疑惑。

3.明确本节课的目标。

讲解和演示（35分钟）1.讲解抛物线的定义：平面内到定点距离等于到定直线距离的点轨迹。

2.讲解抛物线的性质：对称性、单调性、变化率、极值、最值等。

3.引入抛物线标准式和一般式，通过演示和解释对两者进行区分和比较。

4.探讨如何求解特定抛物线的焦点、顶点和轴，引导学生基于公式进行计算。

5.介绍如何画出特定的抛物线，提醒学生注意坐标系和图形的比例。

6.给出典型的抛物线实例，让学生进行练习和思考。

7.随堂测试巩固学生的学习成果。

练习（20分钟）1.学生在老师的引导下，根据自己掌握的知识完成抛物线的作业。

2.学生相互交流和讨论自己的解题思路，发现问题和提出疑问。

总结（5分钟）1.回顾本节课的主要内容和目标，呈现学生的学习成效和进步。

2.提出课后学习的任务和建议，巩固和拓展自己的知识。

教学反思本节课的教学效果较好，学生积极参与，对抛物线的性质和公式掌握得比较熟练，能够独立完成作业。

教师在教学中需要注意以下几点：1.根据学生的实际情况使用生动的例子和实际操作提高学习兴趣和效果。

2.强调重点、难点和易错点，引导学生认真听讲、做笔记、梳理思路。

3.给学生一定的自主学习和交流的机会，培养学生的团队意识和探究精神。

抛物线教案

抛物线教案一、教学目标1.理解抛物线的定义和性质；2.掌握抛物线的标准方程和一般方程；3.能够应用抛物线的知识解决实际问题。

二、教学重点1.抛物线的定义和性质；2.抛物线的标准方程和一般方程。

三、教学难点1.抛物线的性质的理解和应用；2.抛物线的一般方程的推导和应用。

四、教学内容1. 抛物线的定义和性质抛物线是一种平面曲线，其定义为：到定点（焦点）距离与到定直线（准线）距离相等的点的轨迹。

抛物线的性质有：•焦点到准线的距离等于焦距；•焦点在抛物线的对称轴上；•抛物线的顶点在对称轴上；•抛物线的两个分支是对称的。

2. 抛物线的标准方程和一般方程抛物线的标准方程为：y2=2px其中，p为焦距，（0，0）为顶点，x轴正方向为准线方向。

抛物线的一般方程为：y=ax2+bx+c其中，a≠0，（-b/2a，c-b^2/4a）为顶点。

3. 抛物线的应用抛物线在现实生活中有广泛的应用，例如：•炮弹的轨迹；•桥梁的拱形；•照明灯的反射面；•摄影器材的反光板。

五、教学方法本课程采用讲授与练习相结合的教学方法。

首先，讲解抛物线的定义和性质，引导学生理解抛物线的基本概念。

然后，讲解抛物线的标准方程和一般方程，引导学生掌握抛物线的基本公式。

最后，通过实例练习，引导学生应用抛物线的知识解决实际问题。

六、教学过程1. 抛物线的定义和性质1.引入抛物线的概念，让学生了解抛物线的定义；2.讲解抛物线的性质，引导学生理解抛物线的基本特征。

2. 抛物线的标准方程和一般方程1.讲解抛物线的标准方程，引导学生掌握抛物线的基本公式；2.讲解抛物线的一般方程，引导学生掌握抛物线的一般形式。

3. 抛物线的应用1.通过实例练习，引导学生应用抛物线的知识解决实际问题；2.让学生自主思考，提高解决问题的能力。

七、教学评价本课程的教学评价主要包括两个方面：1.学生的理解和掌握程度；2.学生的应用能力和解决问题的能力。

八、教学反思本课程的教学反思主要包括两个方面：1.教学内容的设计是否合理；2.教学方法的选择是否恰当。

抛物线(一轮复习)辅导教案

思维升华(1)抛物线有四种不同形式的标准方程，要掌握焦点与准线的距离，顶点与准线、焦点的距离，通径与标准方程中系数2p的关系．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．(3)焦点到准线的距离，简称焦距，抛物线y2＝2px(p>0)上的点常设为(y22p，y)，便于简化计算．如图，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.(1)若点C的纵坐标为2，求|MN|；(2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圆C的半径．四、课堂小测1．抛物线y＝14x2的准线方程是()A．y＝－1 B．y＝－2C．x＝－1 D．x＝－22．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－43B．－1C．－34D．－123．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1 B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－24．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2 x1x2的值一定等于()A．－4 B．4 C．p2D．－p25.如图，过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为() A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝3x6．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线x23－y23＝1相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.7．若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为3，延长PF交抛物线于Q，若O为坐标原点，则S△OPQ＝______.8．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为3的直线与l相交于点A，与C 的一个交点为B ，若AM →＝M B →，则p ＝________.9.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程．10．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． (1)若AF→＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．。

抛物线教案(绝对经典)

第7节抛物线【最新考纲】 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.【高考会这样考】 1.考查抛物线的定义、标准方程；2.考查抛物线的几何性质、焦点弦问题；3.考查直线与抛物线的位置关系．要点梳理1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M ||MF |＝d }(d 为点M 到准线l 的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质[友情提示]1.通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径.基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a4，0，准线方程是x ＝－a4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线，而非抛物线.(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1a y ，是焦点在y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a .(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.以x ＝1为准线的抛物线的标准方程为( ) A .y 2＝2xB .y 2＝－2xC .y 2＝4xD .y 2＝－4x解析由准线x ＝1知，抛物线方程为： y 2＝－2px (p >0)且p2＝1，p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝－4x . 答案 D3.已知方程y 2＝4x 表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线x ＝m 的距离为4，则m 的值为( ) A .5 B .－3或5 C .－2或6D .6解析抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，它与直线x ＝m 的距离为d ＝|m －1|＝4，∴m ＝－3或5，故选B. 答案 B4.已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________.解析很明显点P 在第三象限，所以抛物线的焦点可能在x 轴负半轴上或y 轴负半轴上. 当焦点在x 轴负半轴上时，设方程为y 2＝－2px (p ＞0)，把点P (－2，－4)的坐标代入得(－4)2＝－2p ×(－2)，解得p ＝4，此时抛物线的标准方程为y 2＝－8x ；当焦点在y 轴负半轴上时，设方程为x 2＝－2py (p ＞0)，把点P (－2，－4)的坐标代入得(－2)2＝－2p ×(－4)，解得p ＝12，此时抛物线的标准方程为x 2＝－y . 综上可知，抛物线的标准方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y . 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y5.已知抛物线方程为y 2＝8x ，若过点Q (－2，0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________.解析设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，当k ＝0时，显然满足题意；当k ≠0时，Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ＜0或0＜k ≤1，因此k 的取值范围是[－1，1]. 答案 [－1，1]错误!题型分类深度解析考点一抛物线的定义及应用【例1】 (1)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点D 到y 轴的距离为( ) A.34B .1C.54D.74(2)若抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3，2)，则|P A |＋|PF |取最小值时点P 的坐标为________.解析 (1)因为抛物线y 2＝x 的准线方程为x ＝－14.如图所示，过点A ，B ，D 分别作直线x ＝－14的垂线，垂足分别为G ，E ，M ，因为|AF |＋|BF |＝3，根据抛物线的定义，|AG |＝|AF |，|BE |＝|BF |，所以|AG |＋|BE |＝3，所以|MD |＝|BE |＋|AG |2＝32，即线段AB 的中点D 到y 轴的距离为32－14＝54.(2)将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝±6.∵6>2，∴A 在抛物线内部，如图.设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|P A |＋|PF |＝|P A |＋d ，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2，2).答案 (1)C (2)(2，2)规律方法应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝|x 0|＋p 2或|PF |＝|y 0|＋p2. 【变式练习1】 (1)动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.(2)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.解析 (1)设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .(2)如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ， ∴PM ∥OF .由题意知，F (2，0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6. 答案 (1)y 2＝4x (2)6考点二抛物线的标准方程及其性质【例2】 (1)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A .x 2＝833yB .x 2＝1633yC .x 2＝8yD .x 2＝16y(2)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A .2B .4C .6D .8解析 (1)∵x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴b a ＝ 3.x 2＝2py (p ＞0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p 2，x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，即y ＝±3x .由题意得p 21＋（3）2＝2，解得p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y .(2)不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2(r >0)， ∵|AB |＝42，|DE |＝25，抛物线的准线方程为x ＝－p2， ∴不妨设A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p2，5，∵点A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴16p 2＋8＝p 24＋5，解得p ＝4(负值舍去)，故C 的焦点到准线的距离为4. 答案 (1)D (2)B规律方法 1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.【变式练习2】 (1)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为________.(2)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若|AF |＝3，则△AOB 的面积为________.解析 (1)设A ，B 在准线上的射影分别为A 1，B 1，由于|BC |＝2|BF |＝2|BB 1|，则直线的斜率为3，故|AC |＝2|AA 1|＝6，从而|BF |＝1，|AB |＝4，故p |AA 1|＝|CF ||AC |＝12，即p ＝32，从而抛物线的方程为y 2＝3x .(2)如图，由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1，0)，又|AF |＝3，由抛物线定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，所以点A 的横坐标为2，将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知点A 的纵坐标为y ＝22，所以A (2，22)，所以直线AF 的方程为y ＝22(x －1)，联立直线与抛物线的方程⎩⎨⎧y ＝22（x －1），y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝22，由图知B ⎝⎛⎭⎫12，－2，所以S △AOB ＝12×1×|y A －y B |＝322. 答案 (1)y 2＝3x (2)322考点三直线与抛物线的位置关系(多维探究) 命题角度1 直线与抛物线的公共点(交点)问题【例3－1】在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.解 (1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t2p ，t ，故直线ON 的方程为y ＝ptx ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p ，因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点，理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp (y －t ). 代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其它公共点. 命题角度2 与抛物线弦长(中点)有关的问题【例3－2】已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)，过点⎝⎛⎭⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点.(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点.(1)解把P (1，1)代入y 2＝2px ，得p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x ，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫14，0，准线方程为x ＝－14.(2)证明当直线MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN (也就是直线l )斜率存在且不为零.由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，消去y 得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0. 考虑Δ＝(4k －4)2－4×4k 2＝16(1－2k )，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k <12.则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k 2.因为点P 的坐标为(1，1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1). 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1，y 2x 1x 2.因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2 ＝⎝⎛⎭⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎫kx 2＋12x 1－2x 1x2x 2＝（2k －2）x 1x 2＋12（x 2＋x 1）x 2＝（2k －2）×14k 2＋1－k2k2x 2＝0. 所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1.故A 为线段BM 的中点.规律方法 1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.2.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.3.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.【变式练习3】已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( ) A .16B .14C .12D .10解析抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 2直线的斜率为－1k ，故l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k(x －1).由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －1），消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2，由抛物线定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k 2.同理得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝8＋4k 2＋4k 2≥8＋216＝16. 当且仅当1k 2＝k 2，即k ＝±1时取等号. 故|AB |＋|DE |的最小值为16. 答案 A课后练习A 组(时间：40分钟)一、选择题1.若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0，1)，则a 等于( ) A .1B.12C .2D.14解析因为抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，所以其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，则有14a ＝1，解得a ＝14. 答案 D2.设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12B .1C.32D .2解析由题可知抛物线的焦点坐标为(1，0)，由PF ⊥x 轴知，|PF |＝2，所以P 点的坐标为(1，2)，代入曲线y ＝kx (k >0)得k ＝2. 答案 D3.过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝( ) A .9B .8C .7D .6解析抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.答案 B4.设抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，点A 为C 上一点，若|F A |＝3，则直线F A 的倾斜角为( ) A.π3B.π4C.π3或2π3D.π4或3π4解析如图，作AH ⊥l 于H ，则|AH |＝|F A |＝3，作FE ⊥AH 于E ，则|AE |＝3－32＝32，在Rt △AEF 中，cos ∠EAF ＝|AE ||AF |＝12， ∴∠EAF ＝π3，即直线F A 的倾斜角为π3，同理点A 在x 轴下方时，直线F A 的倾斜角为2π3. 答案 C5.已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4，0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值为( )A .12B .24C .16D .32解析当直线的斜率不存在时，其方程为x ＝4，由⎩⎨⎧x ＝4，y 2＝4x ，得y 1＝－4，y 2＝4，∴y 21＋y 22＝32.当直线的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －4)，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －4），得ky 2－4y －16k＝0，∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－16，∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k2＋32＞32，综上可知，y 21＋y 22≥32.∴y 21＋y 22的最小值为32.答案 D 二、填空题6.圆(x ＋1)2＋y 2＝1的圆心是抛物线y 2＝px (p <0)的焦点，则p ＝________. 解析由题意知圆心为(－1，0)，则p4＝－1，解得p ＝－4.答案－47.已知抛物线C ：y 2＝8x ，焦点为F ，点P (0，4)，点A 在抛物线上，当点A 到抛物线准线l 的距离与点A 到点P 的距离之和最小时，延长AF 交抛物线于点B ，则△AOB 的面积为________.解析 F (2，0)，设A 在抛物线准线上的投影为A ′，由抛物线的定义知，|AA ′|＝|AF |，则点A 到点P (0，4)的距离与A 到该抛物线准线的距离之和d ＝|AP |＋|AF |≥|PF |＝25，当F ，A ，P 三点共线时d 取得最小值，此时直线AB 的斜率为－2，方程为y ＝－2(x －2)，即x ＝－y 2＋2，代入抛物线C ：y 2＝8x ，可得y 2＋4y －16＝0，解得y ＝－2－25或－2＋2 5.∴△AOB 的面积为12×2×|(－2－25)－(－2＋25)|＝4 5.答案 4 58.如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽________米.解析建立如图平面直角坐标系，设抛物方程为x 2＝－2py (p ＞0).由题意将点A (2，－2)代入x 2＝－2py ，得p ＝1，故x 2＝－2y .设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6，故水面宽为26米.答案 2 6三、解答题9.已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△F AB 的面积.解 (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x .(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎨⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m >0，∴m >－2.y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0，∴m ＝8或m ＝0(舍)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8，0).故S △F AB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝24 5.10.设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4.于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1. (2)由y ＝x 24，得y ′＝x 2. 设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2，1).设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2，2＋m )，|MN |＝|m ＋1|.将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1，2＝2±2m ＋1.从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42（m ＋1）.由题设知|AB |＝2|MN |，即42（m ＋1）＝2(m ＋1)，解得m ＝7.所以直线AB 的方程为x －y ＋7＝0.B 组(时间：20分钟)11.已知抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于点M (M 在第一象限)，若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316B.38C.233D.433解析由抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)得x 2＝2py (p >0)，所以抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p 2. 由x 23－y 2＝1得a ＝3，b ＝1，c ＝2.所以双曲线的右焦点为(2，0). 则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为y －0p 2－0＝x －20－2.即px ＋4y －2p ＝0.①设M ⎝⎛⎭⎫x 0，x 202p (x 0>0)，则C 1在点M 处的切线的斜率为x 0p . 由题意可知x 0p ＝33，解得x 0＝33p ，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫33p ，p 6，把M 点的坐标代入①得3p 23＋23p －2p ＝0.解得p ＝433.答案 D12.已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________.解析如图，过A 作AH ⊥l ，AN 垂直于抛物线的准线，则|AH |＋|AN |＝m ＋n ＋1，连接AF ，则|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1，由平面几何知识，知当A ，F ，H 三点共线时，|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1取得最小值，最小值为F 到直线l 的距离，即65＝655，即m ＋n 的最小值为655－1.答案 655－1 13.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； (2)1|AF |＋1|BF |为定值；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0.由题意可设直线方程为x ＝my ＋p 2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2（x 1＋x 2）＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2（|AB |－p ）＋p 24＝2p (定值).(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |. 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.。

教案抛物线的几何性质

抛物线的几何性质教学目标：1. 理解抛物线的定义和基本性质；2. 学会如何绘制和识别抛物线；3. 掌握抛物线的焦点、准线和顶点等几何性质；4. 能够应用抛物线的几何性质解决实际问题。

教学内容：第一章：抛物线的定义与方程1.1 抛物线的定义1.2 抛物线的标准方程1.3 抛物线的开口方向与焦距第二章：抛物线的绘制与识别2.1 抛物线的绘制方法2.2 抛物线的识别方法2.3 抛物线的对称性第三章：抛物线的焦点与准线3.1 焦点与准线的定义3.2 焦点与准线的关系3.3 焦点与准线的性质第四章：抛物线的顶点与对称轴4.1 顶点的定义与性质4.2 对称轴的定义与性质4.3 顶点与对称轴的关系第五章：抛物线的切线与法线5.1 切线的定义与性质5.2 法线的定义与性质5.3 切线与法线的关系教学过程：一、引入新课1. 通过展示一些实际生活中的抛物线现象，引发学生对抛物线的兴趣；2. 引导学生思考抛物线的特点和性质，激发学生的探究欲望。

二、教学内容的讲解与演示1. 使用PPT或板书，讲解抛物线的定义与方程，并通过图形进行演示；2. 讲解抛物线的绘制与识别方法，引导学生进行实践操作；3. 通过示例，讲解焦点与准线的性质，并引导学生进行实际计算；4. 讲解顶点与对称轴的性质，并引导学生进行实际计算；5. 讲解切线与法线的性质，并引导学生进行实际计算。

三、课堂练习与讨论1. 布置一些有关抛物线几何性质的练习题，让学生独立完成；2. 组织学生进行小组讨论，分享各自的解题思路和解题方法；3. 邀请学生上台展示和讲解自己的解题过程，给予肯定和指导。

四、总结与拓展1. 对本节课的教学内容进行总结，强调重点和难点；2. 提出一些与抛物线几何性质相关的拓展问题，激发学生的思考；3. 鼓励学生在课后进行进一步的探究和深入学习。

教学评价：1. 通过课堂讲解、演示和练习，评价学生对抛物线几何性质的理解程度；2. 通过课堂讨论和展示，评价学生的合作能力和表达能力；3. 通过课后拓展问题和作业，评价学生的探究能力和深入学习的能力。

抛物线的几何性质教案

抛物线的几何性质教案教案标题：抛物线的几何性质教学目标：1. 理解抛物线的定义和基本性质。

2. 掌握抛物线的焦点、顶点、对称轴等关键概念。

3. 能够利用抛物线的性质解决实际问题。

教学内容：1. 抛物线的定义和基本性质：a. 通过焦点与直线的定义，引入抛物线的概念。

b. 解释抛物线的几何性质，如对称性、焦点与直线的关系等。

2. 抛物线的关键概念：a. 焦点：解释焦点的定义和作用，如焦点与抛物线的关系。

b. 顶点：介绍顶点的概念和性质，如顶点的坐标与抛物线的关系。

c. 对称轴：解释对称轴的概念和性质，如对称轴与抛物线的关系。

3. 抛物线的性质应用：a. 利用抛物线的性质解决实际问题，如抛物线的最值问题、抛物线的轨迹问题等。

b. 引导学生进行抛物线相关问题的实际应用讨论，如抛物线在物理、工程等领域的应用。

教学步骤：1. 导入：通过展示一张抛物线的图片或实物，引起学生对抛物线的兴趣，并提出问题，激发学生思考。

2. 知识讲解：通过教师讲解和示范，介绍抛物线的定义、基本性质和关键概念。

3. 案例分析：给出一些具体的抛物线问题案例，引导学生分析和解决问题，巩固所学知识。

4. 练习与讨论：提供一定数量的练习题，让学生进行个人或小组练习，并进行讨论和答疑。

5. 拓展应用：引导学生思考抛物线在实际问题中的应用，并进行相关案例的讨论。

6. 总结归纳：对本节课所学内容进行总结，并强调抛物线的几何性质及其应用。

7. 课堂作业：布置一些练习题作为课后作业，巩固学生对抛物线的理解和应用。

教学资源：1. 抛物线的图片或实物。

2. 教学投影仪或黑板、白板等教学工具。

3. 抛物线相关的练习题和案例。

评估与反馈：1. 在课堂上进行学生的个人或小组练习，及时检查和纠正错误。

2. 对学生的课堂表现进行评估，如参与度、问题解决能力等。

3. 收集学生的作业并进行批改，给予针对性的反馈和建议。

教学延伸：1. 鼓励学生进一步探究抛物线的性质，如抛物线的方程、焦半径等。

高中数学抛物线教案

高中数学抛物线教案一、教学目标1、知识与技能目标理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程及其推导过程。

能根据抛物线的标准方程求出焦点坐标、准线方程，能根据已知条件求出抛物线的标准方程。

2、过程与方法目标通过观察抛物线的图像，引导学生归纳抛物线的定义，培养学生的观察能力和归纳能力。

通过推导抛物线的标准方程，培养学生的逻辑推理能力和运算能力。

3、情感态度与价值观目标让学生感受数学的简洁美和对称美，激发学生学习数学的兴趣。

通过抛物线在实际生活中的应用，让学生体会数学与生活的紧密联系，培养学生用数学知识解决实际问题的意识。

二、教学重难点1、教学重点抛物线的定义和标准方程。

抛物线标准方程的推导及应用。

2、教学难点抛物线标准方程的推导。

抛物线的定义中“定点不在定直线上”的理解。

三、教学方法讲授法、讨论法、演示法、练习法四、教学过程1、导入新课展示生活中常见的抛物线形状的物体，如拱桥、投篮时篮球的运动轨迹等，引导学生观察这些物体的形状特点，引出抛物线的概念。

2、讲授新课（1）抛物线的定义平面内与一定点 F 和一条定直线 l（l 不经过点 F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。

强调“定点不在定直线上”这一条件，通过实例帮助学生理解。

（2）抛物线的标准方程以过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴，以线段 F 到准线 l 的垂线段的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系。

设焦点 F 到准线 l 的距离为 p（p ＞ 0），则抛物线的标准方程为：当焦点在 x 轴正半轴上时，方程为 y²＝ 2px（p ＞ 0）；当焦点在 x 轴负半轴上时，方程为 y²＝－2px（p ＞ 0）；当焦点在 y 轴正半轴上时，方程为 x²＝ 2py（p ＞ 0）；当焦点在 y 轴负半轴上时，方程为 x²＝－2py（p ＞ 0）。

（3）推导抛物线的标准方程以焦点在 x 轴正半轴上的抛物线为例，设动点 M（x，y），焦点 F （＼（＼frac{p}｛2}＼），0），准线 l 的方程为 x ＝＼（＼frac{p}｛2}＼）。

抛物线的几何性质教案

抛物线的几何性质教案抛物线的几何性质教案一、教学目标：1. 知识与技能：掌握抛物线的定义，了解抛物线的几何性质。

2. 过程与方法：通过观察实例、辨析图形等方式，培养学生的观察能力和分析能力。

3. 情感态度价值观：培养学生对几何形状的兴趣，通过发现规律和解决问题的过程，提高学生的动手实践能力和逻辑思维能力。

二、教学重难点：1. 教学重点：抛物线的定义，抛物线的几何性质。

2. 教学难点：通过具体实例推导抛物线的一般式方程。

三、教学过程：Step 1：导入新课1. 通过投射物体的实例，引出抛物线的定义并写在黑板上。

2. 引导学生观察抛物线的形状，并讨论抛物线的特点。

Step 2：抛物线的定义1. 提问：根据之前的观察，你能用自己的话解释一下什么是抛物线吗？2. 学生回答后，教师给出正确答案并进行解释。

3. 学生跟随教师的解释，将定义写在笔记本上。

Step 3：抛物线的性质1. 引导学生观察抛物线的对称性，并讨论抛物线的对称轴是什么。

2. 引导学生发现抛物线的定点，并解释为什么这些点在同一条直线上。

3. 教师引导学生用引例方法，用一个实际问题（如抛射运动）解释为什么会产生抛物线，引导学生探索抛物线的另外两个性质。

（如，抛物线在对称轴上的点到定点的距离相等，抛物线上任意一点到定点和对称轴的距离相等）Step 4：抛物线的一般式方程1. 教师提出具体实例，引导学生观察，并用抛物线的定义和已知条件推导出一般式方程。

2. 学生与教师一起完成推导过程，并将结果写在黑板上。

3. 学生跟随教师的推导过程，将结果写在笔记本上。

Step 5：练习与巩固1. 教师出示几个实例，并要求学生根据观察结果，写出相应的抛物线方程。

2. 学生进行练习，并相互检查和讨论结果。

四、教学反思：通过本节课的教学，学生们对抛物线的定义和几何性质有了初步的了解。

通过观察、探索的方式，激发了学生的兴趣，让他们在实践中感受到了数学的魅力。

在教学过程中，教师注重培养学生的观察能力和分析能力，通过引导学生发现规律和解决问题的过程，培养学生的动手实践能力和逻辑思维能力。

抛物线教案完整范文

抛物线教案完整范文一、教学目标1.知识与能力目标：a.掌握抛物线的定义和性质；b.掌握抛物线的标准方程及相关公式；c.能够利用抛物线的性质解决相关问题。

2.过程与方法目标：a.通过引导学生观察、探索，培养学生的观察和发现能力；b.通过多种问题的解决，培养学生的分析和解决问题的能力；c.通过讨论和合作，培养学生的合作和沟通能力。

3.情感态度与价值观目标：a.通过实例引导学生体会物理学在日常生活中的应用；b.培养学生对科学的兴趣和好奇心；c.培养学生的创新思维和问题解决能力。

二、教学准备1.教学内容：a.抛物线的定义和性质；b.抛物线的标准方程及相关公式；c.抛物线的应用。

2.教学资源：a.教材、课件；b.抛物线实物模型；c.尺子、直尺、图形工具等。

三、教学过程1.导入（10分钟）a.引入：通过一段视频或图片展示抛物线的实例，激发学生对抛物线的兴趣。

b.提问：请举出你所知道的抛物线的实例，并描述其特点。

2.概念定义（15分钟）a.讲解：通过教师讲解和图示，介绍抛物线的定义和性质，如对称性、焦点、准线等。

b.实例引导：给出多个实例，要求学生找出其中的抛物线，并描述其特点。

3.抛物线的标准方程和相关公式（20分钟）a.讲解：通过教师讲解和示例演算，介绍抛物线的标准方程及相关公式，如焦点坐标、准线方程等。

b.实例演练：给出多个抛物线的实例，要求学生求出其标准方程和相关参数。

4.抛物线的应用（25分钟）a.讲解：通过教师讲解和实例分析，介绍抛物线在现实生活中的应用，如抛物线喷泉、抛物线拱桥等。

b.探究：让学生组成小组，探究一个抛物线应用的问题，并给出解决方案。

c.展示与讨论：学生小组分别展示和讨论自己的解决方案，并从中学习和借鉴。

5.综合运用（20分钟）a.综合实例：给出一个综合性问题，要求学生运用所学知识解决。

b.分组合作：学生分组合作，讨论并解决综合实例问题。

c.展示与评价：学生小组轮流展示自己的解决方案，并进行评价和互动。