2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(山东.理)含详解

2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
参考公式：
球的表面积公式：2
4πS R =，其中R 是球的半径．
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生
k 次的概率：()(1)
(012)k k n k
n n P k C p p k n -=-=，，，，． 如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．满足{}1234M a a a a ⊆，，，，且{}{}12312M a a a a a =，，，的集合
M 的个数是
（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：本小题主要考查集合子集的概念及交集运算。

集合M 中必含有12,a a ,
则{}12,M a a =或{}124,,M a a a =.选B. 2．设z 的共轭复数是z ，若4z z +=，8z z =，则
z
z
等于（ ） A ．i B ．i - C ．1± D ．i ±
解析：本小题主要考查共轭复数的概念、复数的运算。

可设2z bi =+，由8z z ⋅=
得2
48, 2.b b +==±()2
222.88
i z z i z ±===±选D.
3．函数π
πln cos 2
2y x x ⎛⎫=-
<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）
x
x
A ．
B ．
C ．
D ．
解析：本小题主要考查复合函数的图像识别。

ln cos ()2
2
y x x π
π
=-
<<
是偶函数，
可排除B 、D ，由cos 1ln cos 0x x ≤⇒≤排除C,选A.
4．设函数()1f x x x a =++-的图象关于直线1x =对称，则a 的值为（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．1-
解：1x +、x a -在数轴上表示点x 到点1-、a 的距离，他们的和()1f x x x a =++-关于1x = 对称，因此点1-、a 关于1x =对称，所以3a =
（直接去绝对值化成分段函数求解比较麻烦，如取特殊值解也可以） 5
．已知πcos sin 6αα⎛⎫-
+= ⎪⎝
⎭7πsin 6α⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
的值是（ ）
A
． B
C ．4
5
-
D ．
45
解：
：3cos()sin sin 6
2π
αααα-
+=
+=
，14
cos 25
αα+=，
714
sin()sin()cos .6625ππαααα⎫+
=-+=-+=-⎪⎪⎝⎭
6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何
体的表面积是（ ）
A ．9π
B ．10π
C ．11π
D ．12π
解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为
22411221312.S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=
7．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为12318，
，，，的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（ ）
A ．
151
B ．
168
C ．
1306
D ．
1408
解：古典概型问题，基本事件总数为3
1817163C =⨯⨯。

选出火炬手编号为13(1)n a a n =+-，11a =时，由1,4,7,10,13,16可得4种选法； 12a =时，由2,5,8,11,14,17可得4种选法；13a =时，由3,6,9,12,15,18可得4种选法。

4441
.1716368
P ++=
=⨯⨯
8．右图是根据《山东统计年鉴2007》中的资料作成的1997年至2006年
俯视图
正(主)视图 侧(左)视图
2 9 1 1 5 8
3 0 2 6
3 1 0 2
4 7
我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图．图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字．从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为（ ） A ．304.6 B ．303.6 C ．302.6 D ．301.6 解：
99522610121417
3.610
----++++++=
9
．12
x ⎛
⎝
展开式中的常数项为（ ） A ．1320- B ．1320
C ．220-
D ．220
解：412121233112
1212((1)(1),r r
r r
r r r r r r
r T C x
C x x C x ----+==-⋅=-令41203r -=得9r =
993
101212121110
(1)220.321
T C C ⨯⨯=-=-=-
=-⨯⨯∴常数项
10．设椭圆1C 的离心率为
5
13
，焦点在x 轴上且长轴长为26．若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为（ ）
A ．22
22143x y -=
B ．22
221135x y -=
C ．22
22134x y -=
D ．22
2211312
x y -=
解：对于椭圆1C ，13,5,a c ==曲线2C 为双曲线，5,c =4a =，3,b =标准方程为：
22
22 1.43
x y -= 11．已知圆的方程为2
2
680x y x y +--=．设该圆过点(35)，
的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ） A
．
B
．
C
．
D
．
解： 化成标准方程 22
(3)(4)25x y -+-=，过点(3,5)的最长弦为10,AC =
最短弦为BD ==
1
2.2
S A C B D =
⋅= 12．设二元一次不等式组2190802140x y x y x y ⎧+-⎪
-+⎨⎪+-⎩
，，≥≥≤所表示的平面区域为M ，使函数
(01)x y a a a =>≠，的图象过区域M 的a 的取值范围是（ ）
A ．[13]， B
．[2 C ．[29]，D
． 解：区域M 是三条直线相交构成的三角形（如图）
显然1a >，只需研究过(1,9)、(3,8)两种情形，
19a ≤且38a ≥即29.a ≤≤
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．执行右边的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ．
解：111
0.8248
++>，因此输出 4.n =
14．设函数2()(0)f x ax c a =+≠，若
100
()()f x dx f x =⎰
，
001x ≤≤，则0x 的值为 ．
解：
1
123100
01
()()3
f x dx ax c dx ax cx =+=+⎰
⎰ 203a c ax c =+=
+03
x =∴15．已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，
向量1)=-m ，(cos sin )A A =，
n ．若⊥m n ， 且cos cos sin a B b A c C +=，则角B = ． 解：⊥m
n sin 0A A -=,3
A π
⇒=
sin cos sin cos sin sin A B B A C C +=
2sin cos sin cos sin()sin sin A B B A A B C C +=+==.2
C π
⇒=
6
B π
=
∴
16．若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123，，，则b 的取值范围为 ．
解：34x b -<4433b b x -+⇒<<，4013
574343b b b -⎧
<<⎪⎪⇒⇒<<⎨
+⎪<<⎪⎩
即范围为(5,7)
三、解答题：本大题共6小题，共74分．
17．（本小题满分12分）
已知函数())cos()f x x x ωϕωϕ=+-+（0πϕ<<，0ω>）为偶函数，且函数
()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为
π2
． （Ⅰ）求π8f ⎛⎫ ⎪
⎝⎭
的值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移
π
6
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间．
解：（Ⅰ）())cos()f x x x ωϕωϕ=+-+1
2)cos()22x x ωϕωϕ⎤=+-+⎥⎣⎦
π2sin 6x ωϕ⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭．
因为()f x 为偶函数，所以对x ∈R ，()()f x f x -=恒成立，
因此π
πsin()sin 6
6x x ωϕωϕ⎛⎫-+-=+- ⎪⎝
⎭
． 即
ππππsin cos cos sin sin cos cos sin 6666x x x x ωϕωϕωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫--+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
整理得πsin cos 06x ωϕ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
． 因为0ω>，且x ∈R ，所以πcos 06ϕ⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭
． 又因为0πϕ<<，故ππ62
ϕ-=． 所以π()2sin 2cos 2f x x x ωω⎛⎫
=+= ⎪⎝
⎭
． 由题意得
2π
π
2
2
ω
=，所以2ω=．故()2cos 2f x x =．
因此ππ2cos 84f ⎛⎫==
⎪⎝⎭
（Ⅱ）将()f x 的图象向右平移
π
6
个单位后，得到π6f x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的图象，再将所得图象横坐标
伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到π46x f ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
的图象． 所以πππ()2cos 22cos 464623x x x g x f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
． 当π
2π2ππ23x k k -+≤
≤（k ∈Z ）， 即2π8π
4π4π33
k x k ++≤≤（k ∈Z ）时，()g x 单调递减， 因此()g x 的单调递减区间为2π8π4π4π33k k ⎡
⎤
+
+⎢⎥⎣⎦
，（k ∈Z ）
．
18．（本小题满分12分）
甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者对本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为
23，乙队中3人答对的概率分别为221
332
，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分． （Ⅰ）求随机变量ξ的分布列和数学期望；
（Ⅱ）用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求()P AB ．
解：（Ⅰ）解法一：由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且
30321(0)1327P C ξ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，2
1
3222(1)1339P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，
2
23224(2)1339P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3
3328(3)327
P C ξ⎛⎫==⨯=
⎪⎝⎭． 所以ξ的分布列为
ξ的数学期望为124801232279927
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=．
解法二：根据题设可知，2~33B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，
因此ξ的分布列为333
3222()1333
k k
k
k
k P k C C ξ-⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⨯ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，0123k =，
，，． 因为2~33B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，所以2
323
E ξ=⨯
=． （Ⅱ）解法一：用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB C D =，且C D ，互斥，又
2
23
22211121111()133332332332P C C ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦410
3
=，
3
33521114()33323
P D C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
由互斥事件的概率公式得4
551043434()()()333243
P AB P C P D =+=
+==． 解法二：用k A 表示“甲队得k 分”这一事件，用k B 表示“乙队得k 分”这一事件，0123k =，，，．
由于事件30A B ，21A B 为互斥事件，故有30213021()()()()P AB P A B A B P A B P A B ==+．
由题设可知，事件3A 与0B 独立，事件2A 与1B 独立，因此
30213021()()()()()()()P AB P A B P A B P A P B P A P B =+=+
3
221
322222211211123433232323243C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭．
19．（本小题满分12分）
将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
1a
2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a
……
记表中的第一列数1247a a a a ，，，，构成的数列为{}n b ，111b a ==．n S 为数列{}n b 的前
n 项和，且满足
2
21(2)n
n n n
b n b S S =-≥． （Ⅰ）证明数列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当814
91
a =-
时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和． 解：（Ⅰ）证明：由已知，当2n ≥时，
2
21n
n n n
b b S S =-，又12n n S b b b =+++，
所以
12
12()1()n n n n n n S S S S S S ---=--112()1n n n n S S S S ---⇒=-1111
2
n n S S -⇒-=， 又1111S b a ===．所以数列1n S ⎧⎫⎨
⎬
⎩⎭
是首项为1，公差为1
2的等差数列． 由上可知
111
1(1)22
n n n S +=+-=
，21n S n ⇒=+． 所以当2n ≥时，12221(1)
n n n b S S n n n n -=-=
-=-++． 因此112
2(1)n n b n n n =⎧⎪
=⎨-⎪+⎩
， ，
，．≥ （Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且0q >．
因为1213
1212782
⨯++
+=
=， 所以表中第1行至第12行共含有数列{}n a 的前78项，故81a 在表中第31行第三列， 因此2
8113491a b q ==-
．又132
1314
b =-⨯，所以2q =． 记表中第(3)k k ≥行所有项的和为S ，
则(1)2(12)2
(12)(3)1(1)12(1)
k k k k b q S k q k k k k --==-=--+-+≥．
20．（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，
P
B
F A
60ABC ∠=，E F ，分别是BC PC ，的中点．
（Ⅰ）证明：AE PD ⊥；
（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD
所成最大角的正切值为
2
，求二面角E AF C --的余弦值．
解：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=，可得ABC △为正三角形． 因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥． 又BC AD ∥，因此AE AD ⊥．
因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥． 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PA AD A =，
所以AE ⊥平面PAD ．又PD ⊂平面PAD ， 所以AE PD ⊥．
（Ⅱ）解：设2AB =，H 为PD 上任意一点，连接AH EH ，． 由（Ⅰ）知AE ⊥平面PAD ，
则EHA ∠为EH 与平面PAD 所成的角． 在Rt EAH △
中，AE = 所以当AH 最短时，EHA ∠最大， 即当AH PD ⊥时，EHA ∠最大．
此时tan AE EHA AH ∠===
因此AH =2AD =，所以45ADH ∠=，
所以2PA =．
解法一：因为PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ， 所以平面PAC ⊥平面ABCD ．
过E 作EO AC ⊥于O ，则EO ⊥平面PAC ，
过O 作OS AF ⊥于S ，连接ES ，则ESO ∠为二面角E AF C --的平面角， 在Rt AOE △中，3
sin 30EO AE ==
3cos302AO AE ==，
又F 是PC 的中点，在Rt ASO △中，32sin 454
SO AO =
=
，
又SE =
=
P
B
E
C D
F
A
H
O S
在Rt ESO △
中，cos 5SO ESO SE ∠===，
即所求二面角的余弦值为
5
． 解法二：由（Ⅰ）知AE AD AP ，
，两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E F ，分别为BC PC ，的中点，所以
(000)10)(020)A B C D -，，，，，，，，，，
1(002)0)12P E F ⎫⎪⎪⎝⎭，，，，，，，， 所以31(300)12AE AF ⎛⎫
== ⎪⎪⎝
⎭，，，，，．
设平面AEF 的一法向量为111()x y z =，，m ，
则00
AE AF ⎧=⎪
⎨=⎪⎩，，m m 因此111101
022x y z =++=⎩，
． 取11z =-，则(021)=-，
，m ， 因为BD AC ⊥，BD PA ⊥，PA AC A
=，
所以BD ⊥平面AFC ， 故BD 为平面AFC 的一法向量． 又(0)BD =，，
所以cos 5BD BD BD
<>=
=
=
，m m m 因为二面角E AF C --为锐角，
21．（本小题满分
12分）
已知函数()ln(1)(1)
n f x a x x =+--，其中*x ∈N ，a 为常数． （Ⅰ）当2n =时，求函数()f x 的极值；
（Ⅱ）当1a =时，证明：对任意的正整数n ，当2n ≥时，有()1f x x -≤． 解：21．（Ⅰ）解：由已知得函数()f x 的定义域为{}|1x x >，
当2n =时，21()ln(1)(1)f x a x x =+--，所以2
32(1)()(1)
a x f x x --'=-．
（1）当0a >时，由()0f x '=得111x =>，211x =， 此时123
()()()(1)a x x x x f x x ---'=-． 当1(1)x x ∈，时，()0f x '<，()f x 单调递减；
当1()x x ∈+∞，时，()0f x '>，()f x 单调递增．
（2）当0a ≤时，()0f x '<恒成立，所以()f x 无极值．
综上所述，2n =时，
当0a >时，()f x 在1x =211ln 2a f a ⎛⎛⎫+=+ ⎪ ⎝⎭⎝． 当0a ≤时，()f x 无极值．
（Ⅱ）证法一：因为1a =，所以1()ln(1)(1)n f x x x =
+--． 当n 为偶数时， 令1()1ln(1)(1)
n g x x x x =-----， 则11
12()10(1)11(1)n n n x n g x x x x x ++-'=+-=+>----（2x ≥）． 所以当[)2x ∈+∞，时，()g x 单调递增，
又(2)0g =，
因此()1ln(1)(2)0(1)
n g x x x g x =----=-≥恒成立， 所以()1f x x -≤成立．
当n 为奇数时，
要证()1f x x -≤，由于10(1)
n x <-，所以只需证ln(1)1x x --≤， 令()1ln(1)h x x x =---， 则12()1011
x h x x x -'=-=--≥（2x ≥）， 所以当[)2x ∈+∞，时，()1ln(1)h x x x =---单调递增，又(2)10h =>，
所以当2x ≥时，恒有()0h x >，即ln(1)1x x -<-命题成立．
综上所述，结论成立．
证法二：当1a =时，1()ln(1)(1)
n f x x x =+--． 当2x ≥时，对任意的正整数n ，恒有
11(1)n x -≤， 故只需证明1ln(1)1x x +--≤．
令()1(1ln(1))2ln(1)h x x x x x =--+-=---，[)2x ∈+∞，， 则12()111
x h x x x -'=-=--， 当2x ≥时，()0h x '≥，故()h x 在[)2+∞，上单调递增，
因此当2x ≥时，()(2)0h x h =≥，即1ln(1)1x x +--≤成立．
故当2x ≥时，有1ln(1)1(1)
n x x x +---≤． 即()1f x x -≤．
22．（本小题满分14分）
如图，设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线
的切线，切点分别为A B ，．
（Ⅰ）求证：A M B ，，三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当M 点的坐标为(22)p -，
时，AB = （Ⅲ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =>上，其中，点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）证明：由题意设
2
2
1212120(2)22x x A x B x x x M x p p p ⎛⎫⎛⎫
<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，，，，，．
由22x py =得22x y p =，得x
y p '=， 所以1
MA x k p =，2
MB x
k p =．
因此直线MA 的方程为1
02()x y p x x p +=-，
直线MB 的方程为2
02()x y p x x p +=-． 所以2
1
1
102()2x x p x x p p +=-，①
2
2
2
202()2x x p x x p p +=-．② 由①、②得12
1202x x x x x +=+-， 因此12
02x x x +=，即0122x x x =+．
所以A M B ，，三点的横坐标成等差数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当02x =时，
将其代入①、②并整理得：
2
211440x x p --=，
2
222440x x p --=，
所以12x x ，是方程22
440x x p --=的两根，
因此124x x +=，2124x x p =-， 又222101221222AB
x x x x x p p k x x p p -+===-， 所以2AB k p
=．
由弦长公式得AB ==
又AB =
所以1p =或2p =，
因此所求抛物线方程为22x y =或24x y =． （Ⅲ）解：设33()D x y ，，由题意得1212()C x x y y ++，， 则CD 的中点坐标为12312322x x x y y y Q ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭
，， 设直线AB 的方程为011()x y y x x p -=
-， 由点Q 在直线AB 上，并注意到点12122
2x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，也在直线AB 上， 代入得033x y x p
=． 若33()D x y ，在抛物线上，则2330322x py x x ==，
因此30x =或302x x =．
即(00)D ，或20022x D x p ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，． （1）当00x =时，则12020x x x +==，此时，点(02)M p -，
适合题意． （2）当00x ≠，对于(00)D ，，此时2212022x x C x p ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭，，
2212022CD x x p k x +=22120
4x x px +=， 又0AB x k p
=，AB CD ⊥， 所以22220121220144AB CD
x x x x x k k p px p ++===-， 即222124x x p +=-，矛盾．
对于20022x D x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，因为2212022x x C x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，此时直线CD 平行于y 轴， 又00AB x k p
=≠， 所以直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾， 所以00x ≠时，不存在符合题意的M 点．
综上所述，仅存在一点(02)M p -，
适合题意．。