空间解析几何课件7-2

由此得 两点间距离公式：
M1 M 2 ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2

(3)
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(3). 运算性质
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设 a =(ax , ay , az), b =(bx , by , bz), 且为常数
a b
a3
(a b ) c a (b c )
s
a4
c b c
b
例如:
a
a2
s a1 a2 a3 a4
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a1
3.向量减法.
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a
a b
b b
a
a b
a b.
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2.向量加法的运算规律.
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b
a b b a
(1)交换律:
ab ba
a
a
b
(2)结合律:
a b c
试用 a和b 表示向量MA,MB,MC和MD.
其中, M是平行四边形对角线的交点.
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解: 由a b = AC = 2MC
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1 有MC = 2 ( a b ) 1 MA = MC (a b ) 2
a
a
公式 3
高 等 数 学
{a1 , a2 , a3 } {a1 , a2 , a3 }.
证
令 a {a1 , a2 , a3 }, b { a1 , a2 , a3 }.
2 2 2 | b | ( a1 ) ( a2 ) ( a3 ) | | | a | = | a | ;
高 等 数 学
自由向量：只有大小、方向,而无特定起点的向量. 具有在空间中可以任意平移的性质.
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3、向量加法 (1) 平行四边形法则 设有a、b (若起点不重合, 为邻 可平移至重合). 作以a、b 边的平行四边形, 对角线向量, 的和, 记作 称为 a与b a b. (2) 三角形法则 将a、b 之一平行移动,使 b 的终点重合, 则由 的起点与 a a 的起点到 b 的终点所引的向量 为
= (x2 i+ y2 j + z2 k) (x1 i + y1 j + z1 k) = (x2 x1) i + (y2 y1) j + (z2 z1) k
z
o x
M1 a M2 y
高 即 a = (x2 x1 , y2 y1 , z2 z1) 为向量a的坐标表示式 等 数 记 ax = x2 x1 , ay = y2 y1 , az = z2 z1 学
OM = OA + AN +NM = OA + OB + OC = xi + yj + zk
简记为 OM =(x, y, z)称为向量OM的坐标表示式.
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由于：
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| OM | | ON |2 | NM |2
z zC
o i
| OA |2 | OB |2 | OC |2
模相同而方向相反的向量, (1)负向量:与 a
称为 a 的负向量.记作 a. a
(2)向量减法.
规定: a b a ( b )
a
平行四边形法则. 将 a、b之一平移, 使起点重合, 作以 a和 b 为邻边的平行四 边形, 对角线向量, 为 a b .
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2.空间向量的坐标表示
哈 尔 设点 M (x, y,z) 滨 工 以 i, j, k分别表示沿x, y, z轴 程 大 正向的单位向量, 称为基本单位 学 向量.
(1)起点在原点的向量OM
z zC o i k
j
M B y y N
x A x
高 x, y, z,分别是OM 在三坐标轴上的投影,称为OM 等 数 的坐标. 学
ab
a b
b
a
b
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三角形法则. 将 a、b 之一平移, 使起点重 合, 由 b 的终点向 a 的终点作一 a 向量, 即为 a b .
a b
b
向量的相等: 两个向量,只要方向相同, 模相等, 我们就 规定它们是相等的, 无论它们的空间位置如何.
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a1 a1 cos |a | a 2 a 2 a 2 1 2 3 a2 a2 cos |a | a 2 a 2 a 2 1 2 3 a3 a3 cos |a | a 2 a 2 a 2 1 2 3
DC {0 1, 1 0, 0 1} {1, 1, 1}. {1, 1, 1},
D
z 1 G
E
O
F
1
C 1
y
x A
B
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例2
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参照 a 画出 a , 2a ,
a
1 2
a.
2a
1 2
2. 数与向量的乘积的运算规律:
(1) 结合律: ( ua ) u(a ) (u)a (2) 分配律: ( u)a a ua ( a b ) a b
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1. 点在空间直角坐标系中的坐标表示.
z z R
M <
M
> (x, y, z)
O
y Q
y
记: 点M为M (x, y, z)
x
x
P
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特别:
(1) 若点M在yz面上, 则 x = 0;
在zx面上, 则 y = 0; 在xy面上, 则 z = 0. (2) 若点M在 x 轴上, 则 y = z = 0 在 y 轴上, 则 x = z = 0 在 z 轴上, 则 x = y = 0
§7.2 空间向量及其坐标
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一、向量的基本概念
1.向量:既有大小,又有方向的量,称为向量.(或矢量)
2.向量的几何表示法: 用一条有方向的线段来表示向量. 以线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向.
A
a
B
以A为起点, B为终点的向量, 记为AB,a , a .
向量AB的大小叫做向量的模. 记为 ||AB|| 或|| a || .
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哈 尔 滨 模为0的向量称为零向量.它的方向可以看作是任意的. 工 程 3.自由向量 大 学 当向量a与b ,大小相等且方向相同, a b
特别: 模为1的向量称为单位向量.
称a与b 相等. 记作 a b
《高等数学》A
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第七章 空间解析几何
第七章 空间解析几何
空间直角坐标系、向量及其坐标 向量的数量积和向量积 空间平面、直线及其方程 空间曲面、曲线及其方程 重点:空间平面、直线及其方程 难点:空间曲面、曲线及其方程
a b = (ax bx , ay by , az bz )
a = ( a x , a y , a z )
证明: a + b = (ax i + ay j+ az k) +(bxi + by j+ bz k)
= (ax i + bxi ) +(ay j+ by j) + (az k + bz k)
确定向量的方法: 只要确定模和方向.
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数与向量的乘法
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1. 定义 实数与向量 a 的乘积a 为一个向量. 其中: || a || | | || a ||
当 > 0时, a与a同向; a a a ( >0) ( <0) 当 < 0时, a与a反向; 当 = 0时, a o ,它的方向可以是任意的.
定理1:两个非零向量 a与b平行(方向相同或相反)
存在唯一实数，使得 a b .
结论: 设 a 表示与非零向量 a
则 a || a || a 或
同向的单位向量. 1 a a a || a || || a ||
例1:在平行四边形ABCD中, 设AB= a ,AD = b
分别为向量 a 在三个坐标轴上的投影, 称为a的坐标.
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a = M1M2 = (x2 x1 , y2 y1 , z2 z1)
M1 M 2 a x a y az
2 2
2