因式分解法解方程
因式分解法解一元二次方程
∴ x 1= A解 , x 2= A解
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1.方程右边化为 零 。 2.将方程左边分解成两个 一次因式 的 乘积。 3.至少 有一个 因式为零，得到两个一 元一次方程。 4.两个 一元一次方程的解 就是原方程 的解。
课堂练习
用因式分解法解下列方程： (1) 2x2-8x=0 (2) (x+1)2-9=0 (3) (2x-1)2=x2 (4) (2x-5)2-2x+5=0
课堂
总结
回味无穷
• 本节课你学习了什么知识？
1.用因式分解法解一元二次方程的前题是什 么？关键是什么？ 2.因式分解法解一元二次方程的步骤是什么？ 3.因式分解的方法,突出了转化的思想方法— —“降次”,鲜明地显示了“二次”转化为 “一次”的过程.
发现解一元二次方而另一边 易于分解成两个一次因式的乘积时,我 们就可以用因式分解的方法求解.这种 用因式分解来解一元二次方程的方法 称为因式分解法.
提示：解题框架图
解：原方程可变形为： =0
( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式B =0 得 一次因式A =0或或
因式分解法 解一元二次方程
学习目标
• 了解用因式分解法解一元二次方程 的概念 • 并会用因式分解法解一些特殊的方 程
复习： （1）什么叫因式分解? 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式 叫做因式分解. （2）因式分解有哪几种方法？ ①提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c) ②公式法: 逆用平方差公式： a2-b2= (a+b)(a-b) 逆用完全平方公式：a2+2ab+b2= (a+b)2 a2-2ab+b2= (a-b)2
《用因式分解法解一元二次方程》
与其他解法对比分析
01
02
03
直接开平方法
相较于直接开平方法，因 式分解法适用范围更广， 可以解决更多类型的一元 二次方程。
公式法
虽然公式法具有通用性， 但在某些情况下，使用因 式分解法可以更加简便快 捷地解决问题。
配方法
配方法与因式分解法具有 相似之处，但在处理复杂 问题时，因式分解法更具 优势。
用因式分解法解一元二次方
03
程步骤
将方程化为标准形式
移项
将方程中的所有项移到等号同一边，使另一边为0 。
化简
合并同类项，将方程化为ax²+bx+c=0的标准形 式。
进行因式分解
找公因式
观察方程中各项系数和字母部分 ，找出公因式。
提取公因式
将公因式提取出来，使方程变为两 个一次多项式的乘积等于0的形式 。
数学基础
一元二次方程是初中数学的重要内容之一，也是高中数学 和大学数学的基础。因此，掌握一元二次方程的求解方法 对于打好数学基础具有重要意义。
思维训练
通过学习和掌握一元二次方程的求解方法，可以培养学生 的逻辑思维能力、推理能力和解决问题的能力，对于学生 的全面发展具有重要意义。
02
因式分解法原理
多项式乘法逆过程
因式分解方法选择不当
针对不同的一元二次方程，要选择合 适的因式分解方法（如提公因式法、 公式法等），以提高解题效率。
忘记验根步骤
未将解代入原方程验根
在解得一元二次方程的解后，应将解代入原方程进行验根，以确保解的正确性 。
忽视解的取值范围
对于实际问题中的一元二次方程，要注意解的取值范围是否符合题意，避免得 出无意义的解。
因式分解法解一元二次方程例题
(3)3x²-6x=-3；
因式分解，得
(4)4x²-121=0；
( x-4-5 + 2x )( x-4 + 5-2x ) = 0.
(5)3x(2x+1)=4x+2；
则有 3x-9 = 0 或 1-x = 0 ，
(6)(x-4)²=(5-2x)².
x1 = 3， x2 = 1.
练习
2.把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地，场
例 解下列方程：
(1)x(x-2)+x-2=0；
(2)5x²-2x- =x²-2x+ .
解：(1)因式分解，得
(2)移项、合并同类项，得
(x-2)(x+1)=0.
于是得
x-2＝0或x+1=0，
4x²-1=0
因式分解，得 (2x＋1)(2x-1)=0.
即
2x＋1=0或2x-1=0，
解得
解得
x1=2，x2=-1.
则有 2x + 11 = 0 或 2x -11= 0，
x1=- ，x2= .
练习
1.解下列方程：
(5)3x(2x+1)=4x+2
(1)x²+x=0；
解：化为一般式为
(2)x²-2 x=0；
6x2 - x -2 = 0.
(3)3x²-6x=-3；
因式分解，得
(4)4x²-121=0；
( 3x-2 )(2x + 1) = 0.
作业
解下列方程：
(1)x²=3x
(1)x1 = 0， x2 = 3.
(2)5(x²-x)=3(x²+x)
解一元二次方程--因式分解法
10．已知（x2+y2﹣3）（x2+y2+1）=12，求x2+y2的值．
3．灵活选用方法解一元二次方程
【例3】选择适当方法解下列方程：
（1）x2﹣5x+1=0；
（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）；
（3）2x2﹣2 x﹣5=0；
（4）（y+2）2=（3y﹣1）2．
总结：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，根据一元二次方程的特征，灵活选用解方程的方法，可以起到事半功倍的作用.（1）一般地，当一元二次方程一次项系数为0时，即形如ax2+c=0形式的一元二次方程，应选用直接开平方法.
解一元二次方程---因式分解法
一、学习目标
1．会用因式分解法解一元二次方程；
2．会用换元法解一元二次方程；
3．灵活选用简便的方法解一元二次方程.
二、知识回顾
1．分解因式的常用方法有哪些？
（1）提取公因式法：
am+bm+cm=m(a+b+c)
（2）公式法：
Байду номын сангаас， ，
（3）十字相乘法：
三、新知讲解
1．因式分解法
③令每一个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
3．因式分解法的条件、理论依据
因式分解法解一元二次方程的条件是：方程右边等于0，而左边易于分解；
理论依据是：如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零.
四、典例探究
1．用因式分解法解一元二次方程
【例1】用因式分解法解方程：
一元二次方程因式分解法的四种方法
一元二次方程因式分解法的四种方法【实用版3篇】目录（篇1）一、引言二、一元二次方程的概述三、因式分解法概述四、四种因式分解方法1.提取公因式法2.完全平方公式法3.平方差公式法4.完全平方公式与平方差公式的结合法五、每种方法的例题解析六、总结正文（篇1）一、引言在解决一元二次方程时，因式分解法是一种常用的方法，它可以帮助我们快速找到方程的解。
本文将为大家介绍四种因式分解的方法，以帮助大家更好地理解和运用这一方法。
二、一元二次方程的概述一元二次方程是指形如 ax+bx+c=0 的方程，其中 a、b、c 为常数，且 a≠0。
在这个方程中，a、b、c 分别称为二次项系数、一次项系数和常数项。
三、因式分解法概述因式分解法是将一元二次方程的左边化为两个一次因式的积的形式，从而得到方程的解。
通过因式分解，我们可以将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，从而简化了解题过程。
四、四种因式分解方法1.提取公因式法提取公因式法是指在方程的两边同时提取公因式，以达到简化方程的目的。
这种方法适用于当方程的一次项系数 b 为零的情况。
2.完全平方公式法完全平方公式法是指利用完全平方公式 (a+b)=a+2ab+b将方程进行因式分解。
这种方法适用于当方程的二次项系数 a 为 1 的情况。
3.平方差公式法平方差公式法是指利用平方差公式 (a+b)(a-b)=a-b将方程进行因式分解。
这种方法适用于当方程的一次项系数 b 不等于零且二次项系数 a 不等于 1 的情况。
4.完全平方公式与平方差公式的结合法当方程的二次项系数 a 不为 1，一次项系数 b 不为 0 时，我们可以将完全平方公式和平方差公式结合使用，以达到因式分解的目的。
五、每种方法的例题解析这里我们分别对四种因式分解方法进行例题解析，以便大家更好地理解和掌握这些方法。
六、总结因式分解法是一种解决一元二次方程的有效方法，掌握四种因式分解方法有助于我们在解题过程中更加灵活地选择合适的方法。
因式分解法解方程
在数学中，因式分解法是解方程的常用方法之一。本章将介绍方程的基本概 念，然后重点讲解一次和二次因式分解法，以及解方程的步骤和示例。
方程的定义和基本概念
了解方程的定义和基本概念是解方程过程中的第一步。方程是等式，其中包 含未知数的表达式和已知数的常量，通过求解方程，我们可以找到未知数的 值。
因式分解法的介绍
因式分解法是一种将多项式分解成更简单的因式的方法。通过因式分解，我 们可以更容易地解决复杂的方程。
一次因式分解法
一次因式分解法适用于一次方程，即未知数的最高次数为1的方程。通过因式分解，我们可以将方 程转化为一个或多个一次因式相乘的形式，从而求解方程。
二次因式分解法
二次因式分解法适用于二次方程，即未知数的最高次数为2的方程。通过因式分解，我们可以将方 程转化为一个或多个二次因式相和示例
解方程的一般步骤包括观察方程、因式分解、列方程、求解方程和检验解。通过一些示例，我们 可以更好地理解和掌握解方程的方法。
通过因式分解法解方程的练习题
通过一些练习题，我们可以巩固和应用因式分解法解方程的知识。挑战自己，提升解题能力。
总结和要点
通过本章的学习，我们了解了方程的基本概念和因式分解法的重要性。掌握解方程的方法可以帮 助我们解决实际问题和提升数学能力。
方程--因式分解法
一元二次方程的解法---因式分解法【知识要点】1． 对于在一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用因式分解法来解这个方程。
2． 理论依据：两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零。
例如：如果0)5)(1(=+-x x ，那么x －1=0或x ＋5=0。
因式分解法简便易行，是解一元二次方程的最常用的方法。
3． 因式分解法解一元二次方程的一般步骤（1）将方程的右边化为零；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积；（3）令每个因式分别为零，得两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
4．形如()002≠=+a bx ax 的方程，可用提公因式法求方程的根：()0021≠-==a a b x x ，。
5．形如()()022=+-+n bx m ax )(22b a ≠的方程，可用平方差公式把左边分解。
【典型例题】例1． 用因式分解法解下列方程：（1）0322=+x x （2）01072=+-x x（3）()()623=+-x x （4）()()03342=-+-x x x（5）()02152=--x类题练习：用因式分解法解下列一元二次方程：（1）0432=-y y （2）03072=--x x（3）()()412=-+y y（4）()()1314-=-x x x（5）()025122=-+x例2．用适当方法，解下列关于x 的一元二次方程：（1）22244a b ax x -=-（2）()b a x a b x +-=-2322类题练习：解下列关于x 的一元二次方程：（1）022=-+-a a x x（2）()()n m n x n m mx ≠=---02例3．阅读材料：为解方程()()04151222=+---x x ，我们可以将12-x 视为一个整体，然后设y x =-12，则222)1(y x =-，原方程化为045-y 2=+y ．① 解得.4,12==y y11121=-=，xy 时当 ∴22=x ，∴2±=x ∴ 4142=-=，x y 时当 ∴52=x ，∴5±=x ∴原方程的解为5,53,2,2421-==-==x x x x ．解答问题：（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想（2）解方程0624=--x x【经典练习】1．方程()()1512-=-x x x 的根是（ ）A ．25=xB ．1=xC ．12521==x x ，D ．15221==x x ， 2．解方程()()5352+=+x x ，较简便的方法是（ ） A ．直接开平方法 B ．配方法 C ．求根公式法 D ．因式分解法3．用因式分解法把方程()()615=+-x x 分解成两个一次方程，正确的是（ ）A ．8125=+=-x x ，B ．4145=+=-x x ，C ．0307=+=-x x ，D ．0307=-=+x x ，4．方程t t =2的根为（ ）A ．0=tB ．1021==t t ，C ．021==t tD ．1=t5．当代数式562++x x 与x －1的值相等，x 的值为（ ）A ．1=xB ．5121-=-=x x ，C ．3221==x x ，D ．3221-=-=x x ，6．在下列各题的空格中填写适当的方法（1）解方程031032=++x x ，用 较宜。
《用因式分解法解一元二次方程》
不是所有的一元二次方程都可以进行因式分解，需要判断是否可以 提取公因式或使用十字相乘法。
注意符号问题
在因式分解过程中，需要注意符号问题，确保结果的正确性。
限制条件
仅适用于一元二次方程
对符号敏感
因式分解法仅适用于一元二次方程， 不适用于其他类型的一元方程或多元 方程。
因式分解法对符号非常敏感，稍不注 意就会导致结果错误，因此需要特别 注意运算过程中的符号问题。
与开平方法比较
适用范围
开平方法和因式分解法都适用于 能够通过因式分解的一元二次方 程，但开平方法适用于开口向上
的二次方程。
简便性
对于能够通过因式分解的开口向 上的二次方程，开平方法相对简 单，因为不需要进行复杂的计算。
求解过程
开平方法需要找到方程的两个根， 然后进行开平方运算，而因式分 解法可以直接进行因式分解求解。
求解过程
因式分解法的求解过程相 对直观，而公式法需要使 用公式进行计算。
与配方法பைடு நூலகம்较
适用范围
配方法和因式分解法都适用于能 够通过因式分解的一元二次方程，
但配方法还可以用于其他形式的 一元二次方程。
简便性
配方法需要先进行配方，过程相对 复杂，而因式分解法相对简单。
求解过程
配方法需要先配方，然后使用公式 求解，而因式分解法可以直接进行 因式分解求解。
公式
ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，其中 x1、x2是一元二次方程的两个解。
因式分解法的应用范围
适用条件
适用于所有形式的一元二次方程，特 别是当方程可以轻易地分解为两个一 次因式时。
限制
对于某些特殊形式的一元二次方程， 如完全平方或平方差公式，因式分解 法可能不是最简便的方法。
解方程的因式分解法
解方程的因式分解法解方程是数学中的重要内容之一，它涉及到数与数之间的关系，通过运算和推理找出未知数的值。
解方程的因式分解法是一种常用的解方程方法，它可以将复杂的方程化简为简单的因式相乘形式，从而更容易找到方程的解。
本文将介绍解方程的因式分解法，并通过例题来说明其应用。
一、因式分解的基本概念因式分解是将一个多项式拆分为若干个因式相乘的形式，从而使得方程更易于求解。
在因式分解中，常用的因式有常数因子、一次因子、二次因子等。
常数因子即多项式中的常数项，一次因子即多项式中的一次项，二次因子即多项式中的二次项。
二、一次方程的因式分解法对于一次方程，即次数最高为一的方程，可以通过因式分解法来解。
考虑以下的一次方程：ax + b = 0其中a和b为已知数，x为未知数。
我们可以将方程因式分解为：a(x + b/a) = 0由于一个数的乘积为零，当且仅当其中一个因子为零时，整个乘积为零。
因此，我们可以得出以下两个方程：a = 0 或 x + b/a = 0解得x = -b/a，这就是原方程的解。
三、二次方程的因式分解法对于二次方程，即次数最高为二的方程，也可以通过因式分解法来解。
考虑以下的二次方程：ax^2 + bx + c = 0其中a、b和c为已知数，x为未知数。
我们可以将方程因式分解为：(ax + m)(nx + p) = 0其中m、n、p为待定数。
通过展开上式，我们可以得到以下方程：anx^2 + (am+np)x + mp = 0比较以上方程与原方程，我们可以得出以下三个方程：an = a，am + np = b，mp = c通过求解以上三个方程，即可得到m、n和p的值。
将m、n和p 代入因式分解式，即可得到原方程的解。
四、应用举例1. 解方程2x + 3 = 0根据一次方程的因式分解法，我们可以将方程重新写成2(x + 3/2) = 0。
解得x = -3/2，这就是原方程的解。
2. 解方程x^2 - 5x + 6 = 0根据二次方程的因式分解法，我们可以将方程重新写成(x - 2)(x - 3) = 0。
因式分解法解方程
因式分解法解方程1. 引言在数学中，方程是一个数学等式，其中包含未知数和已知数之间的关系。
解方程是求出使得等式成立的未知数的值。
因式分解法是一种常用的解方程方法，它通过将方程中的多项式进行因式分解，从而简化求解过程。
本文将详细介绍因式分解法解方程的基本概念、步骤和示例，并提供一些常见问题的解答。
2. 基本概念在讨论因式分解法解方程之前，我们先来了解一些基本概念。
2.1 方程与多项式方程（equation）是一个等式，其中包含未知数和已知数之间的关系。
通常用字母表示未知数。
多项式（polynomial）是由若干个单项式相加或相减得到的代数表达式。
例如，2x2+3x−5就是一个二次多项式。
2.2 因子与因式因子（factor）是能整除一个数字或代数表达式的数字或代数表达式。
例如，在6中，1,2,3,6都是它的因子；在x2+x中，x是它的因子。
因式（factor）是能整除一个多项式的多项式。
例如，在2x2+3x−5中，2,x+1,x−5都是它的因式。
3. 因式分解法解方程的步骤接下来，我们将介绍因式分解法解方程的基本步骤。
步骤1：将方程转化为多项式形式首先，将所给的方程转化为多项式形式。
确保方程中只包含一个未知数，并将未知数的次数按照降序排列。
例如，对于方程2x2+3x−5=0，已经是多项式形式了。
步骤2：因式分解多项式接下来，我们要对多项式进行因式分解。
通过找到多项式的因子和因子间的关系，将多项式分解为更简单的乘积形式。
例如，在2x2+3x−5中，我们可以发现2x2的因子是2x，而−5的因子是−1,5。
根据乘法运算法则可知：(2x2+3x−5)=(ax+b)(cx+d)其中a,b,c,d是待确定的常数。
步骤3：确定常数的值现在，我们需要确定常数a,b,c,d的值。
这可以通过展开右侧的乘积并与原多项式进行比较来实现。
例如，在(ax+b)(cx+d)中展开并与2x2+3x−5进行比较，我们可以得到以下等式：$$ ac = 2 \\ ad + bc = 3 \\ bd = -5 $$通过解这个方程组，可以求解出a,b,c,d的值。
因式分解法解方程
基础练习题
总结词
掌握基本概念
详细描述
通过简单的因式分解法练习，如x^2 - 4 = 0， 熟悉因式分解的基本步述
通过练习，熟悉因式分解的基本步骤，如提取公因 式、分组、应用差平方公式等。
提高速度和准确性
总结词
详细描述
通过大量的基础练习，提高因式分解的速度和准确性， 为解决更复杂的方程打下基础。
进阶练习题
总结词
应用进阶技巧
总结词
解决实际问题
详细描述
在基础练习的基础上，尝试更复杂的因式分 解，如x^4 - 16，需要应用平方差公式和完 全平方公式。
详细描述
通过解决实际问题，如几何问题、代数问 题等，将因式分解法应用于实际情境中， 提高解决实际问题的能力。
综合练习题
总结词
综合运用知识
详细描述
04 因式分解法的扩展应用
二次方程的因式分解法
总结词
通过因式分解简化求解过程
详细描述
对于形如 ax^2+bx+c=0 的二次方程，可以通过因式分解将其转化为两个一次方程，从而简化求解过程。 例如，对于方程 2x^2-3x+1=0，可以分解为 (2x-1)(x-1)=0，从而得出解 x=1/2 和 x=1。
复杂多项式的因式分解
总结词
复杂多项式的因式分解需要运用更多的技巧和规则，如十字相乘法、差平方公 式等，以将多项式化为整式的积。
详细描述
对于形如 $x^2 - 2x - 3$ 的多项式，可以使用十字相乘法，找到两个数 $a$ 和 $b$，满足 $a + b = -2$ 且 $ab = -3$，即 $-3$ 和 $-1$，得到 $(x - 3)(x + 1)$。差平方公式也可以用于因式分解，如 $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$。
根据因式分解常用的六种方法详解方程组的求解
根据因式分解常用的六种方法详解方程组的求解引言方程组的求解在数学中具有重要的意义。
其中，根据因式分解的方法可以帮助我们更简便地解决方程组。
本文将详细介绍六种常用的因式分解方法，以帮助读者更好地理解和应用这些方法。
方法一：提取公因式这是最基本的因式分解方法之一。
首先，我们找到方程组中每个方程的公因式。
然后，我们将这个公因式提取出来，并用括号括起来。
最后，我们把原方程除以这个公因式得到简化后的方程。
通过这个过程，我们可以更直接地求得方程组的解。
方法二：平方公式对于有平方项的方程组，我们可以使用平方公式来进行因式分解。
平方公式可以将一个平方项表示为两个因式的乘积。
通过这个方法，我们可以将方程组中的平方项转化为两个成立的等式，从而帮助我们解决方程组。
方法三：差平方公式和平方公式类似，差平方公式也可以将一个差平方项表示为两个因式的乘积。
差平方公式在因式分解中经常用到，可以帮助我们更容易地求得方程组的解。
方法四：和差立方公式和差立方公式是一种用于因式分解的方法，可以将和差立方项表示为两个因式的乘积。
通过使用和差立方公式，我们可以更方便地求得方程组的解。
方法五：配方法配方法是一种常见的因式分解方法，可以用于解决一些复杂的方程组。
配方法通过使方程变换为一个可以因式分解的形式，从而帮助我们更容易地求得方程组的解。
方法六：矩阵法对于线性方程组，我们可以使用矩阵法来进行求解。
矩阵法通过将方程组转化为矩阵形式，并进行一系列的矩阵操作，最终求得方程组的解。
这是一种高效且广泛应用的求解方法。
结论通过六种常用的因式分解方法的介绍，我们可以更全面地了解方程组的求解过程。
无论是简单的方程组还是复杂的线性方程组，这些方法都可以帮助我们更轻松地求得解。
希望本文能够帮助读者进一步掌握和应用因式分解的方法，在解决数学问题时更加得心应手。
（注：以上内容仅供参考，具体分析和应用时请根据实际情况进行判断和求解。
）。
因式分解法解一元二次方程公开
与配方法和公式法相比，因式分解法 具有直观、简便的优点，能够直接得 出方程的解。
在实际应用中，可以根据具体问题的 特点和要求选择合适的解法。
06
结论与展望
因式分解法解一元二次方程的意义与价值
简化计算过程
通过因式分解法，可以将复杂的 一元二次方程转化为简单的乘积 形式，从而简化计算过程，提高
解题效率。
拓展因式分解法的应用范围
目前因式分解法主要应用于一元二次方程的求解，未来可以研究将其应用于更广泛的数学 领域，如多元多项式方程等。
加强因式分解法与其他数学方法的融合
因式分解法可以与配方法、公式法等其他数学方法相结合，共同解决复杂的数学问题。未 来可以研究如何更好地融合这些方法，以发挥各自的优势。
THANKS
式，从而解出方程的根。
简化计算过程
相比于其他方法，如配方法和公式 法，因式分解法通常更简洁、直观， 能够更快地找到方程的解。
拓展数学思维
学习和掌握因式分解法有助于培养 学生的数学思维能力，提高分析问 题和解决问题的能力。
一元二次方程的概念
一元二次方程的定义
一元二次方程的解
一元二次方程是只含有一个未知数， 且未知数的最高次数为2的整式方程。
将原方程改写为 $(mx+c)(nx+a)=0$的形式。
解得方程的解为$x_1=frac{c}{m}$，$x_2=-
frac{a}{n}$。
04
因式分解法在一元二次方 程中的应用
解一元二次方程的基本步骤
将一元二次方程化为一般形式：$ax^2 + bx + c = 0$。
解得 $x_1 = -p$，$x_2 = -q$。
因式分解法解一 元二次方程公开
一元三次方程解法因式分解法
一元三次方程解法因式分解法
（详细介绍）
因式分解法：
当一元三次方程具有特殊因式时，可以通过因式分解将方程化简为一个已知的二次方程，从而求得方程的根。
例如，当ax3+bx2+cx+d=0具有形如（x-x1）的因式时，可利用因式（x-x1）进行除法运算，将原来的方程化成二次方程。
【知识拓展】
1.公式法
一元三次方程有一个特殊的求根公式——卡尔达诺公式。
这个公式较为繁琐，但可以解决一切一元三次方程的求根问题。
卡尔达诺公式包括两种情况，分别对应着一元三次方程无重根和有一组重根的情况。
2.代入法
通过假定x的值和辅助等式进行求解。
设y=ax3+bx2+cx+d，将y带入方程中后化成二次或一次方程，再通过公式或其他方法求得x 的值。
3.图形法
一元三次函数是一条连续的曲线，通过画出它的图像，并观察其在区间内是否存在零点。
如果图像将x轴穿过并切线方向向下，则说明对应的区间内有唯一的一个实数根；如果图像穿过x轴并切线方向向上，则说明对应的区间内没有实数根；否则，在该区间内存在不止一个实数根。
根据图像大致位置估计出根的范围，再通过二分法、牛顿迭代法等数值方法精细计算根的值。
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3x(x 2) 5(x 2) 2(x 3)2 x2 9
xx 3 0.
x 0,或x 3 0. x1 0, x2 3. 这个数是0或3.
小亮做得对吗?
小亮是这样解的 : 解 :由方程x2 3x, 得
x2 3x 0.
xx 3 0.
x 0,或x 3 0. x1 0, x2 3. 这个数是0或3.
1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法?
①直接开平方法: x2=p ,（mx+n)2 =p(p≥0)
②配方法: (x+m)2=n (n≥0)
③公式法 x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
2、什么叫因式分解?
把一个多项式分解成几个整式乘积的形 式叫做分解因式.
x1
0;
x2
4 5
.
x1 2; x2 1.
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1o方程右边化为 零 。 2o将方程左边分解成两个一次因式 的 乘积。 3o至少 有一个 因式为零，得到两个 一元一次方程。 4o两个 一元一次方程的解 就是原方 程的解。
学习是件很愉快的事
• 你能用分解因式法解下列方程吗？
1 .x2-4=0; 解：1.(x+2)(x-2)=0,
2.(x+1)2-25=0. 2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴x+2=0,或x-2=0.
∴x+6=0,或x-4=0.
∴x1=-2, x2=2.
∴x1=-6, x2=4.
这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?
3 一个数平方的两倍等于这个数的7倍，求这个数。
尝试练习
课本70页：
习题8.9
12
配练80页： 1 2
请选择适当的方法解一元二次方程 （1）x2-2x=8 （2）x2-3x+1=0
（3）(x-2)(x+3)=(x+3) （4）(2y-3)2=5
在①直接开平方法、②配方法、③公式法、 ④因式分解法.这四种解一元二次方程方法中， 那些方法适合于所有的一元二次方程，那些方 法适合于形式特殊的一元二次方程.
分解因式法
用分解因式法解方程:
(1)5x2=4x;
(2)x-2=x(x-2).
解 : 1.5x2 4x 0, 2.x 2 xx 2 0, 4 0. x 2 0,或1 x 0
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x2 3x.
小亮是这样想的:
如果a b 0,
那么a 0或b 0
即, 如果两个因式的 积等于0, 那么这两 个数至少有一个为0.
小亮是这样解的:
解 :由方程x2 3x,得 x2 3x 0.
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1)x(x 2) 0 x1 0, x2 2
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x
1)
0
x1
2 3
,
x2
1 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
例题欣赏 ☞
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x2 3x.
小颖是这样解的: 解: x2 3x 0.
x 3 9. 2
这个数是0或3.
小明是这样解的:
解 : 方程x2 3x两 边都同时约去x, 得.
x 3. 这个数是3.
小颖做得对吗?
小明做得对吗?
你能解决这个问题吗
小亮解方程的过程中对 方程作了怎样的 变换？
我思 我进步
因式分解法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于 分解成两个一次因式的乘积时,我们就可
以用因式分解的方法求解.这种用因式分
解解一元二次方程的方法称为因式分解法.
提示: 1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解, 而右边等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那 么至少有一个因式等于零.”
3、因式分解的方法有那些?
（1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c).
（2）公式法:
a2-b2=(a+b)(a-b), a2 2ab+b2=(a b)2.
（3）十字相乘法: x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b).
你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？