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等腰三角形中考真题精选汇总

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中考数学真题分类汇编及解析(二十四)等腰三角形

中考数学真题分类汇编及解析(二十四)等腰三角形

（2022•桂林中考）如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则△ABC的面积是（）A．3+√22B．1+√2C．2√2D．2+√2【解析】选D．如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，因为∠C＝45°，所以△ADC是等腰直角三角形，所以AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD=√2AC＝2√2，因为∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°，所以∠DAB＝22.5°，所以∠B＝∠DAB，所以AD＝BD＝2，因为AD＝AC，AE⊥CD，所以DE＝CE，所以AE=12CD=√2，所以△ABC的面积为12•BC•AE=12×√2×（2+2√2）＝2+√2．（2022·安徽中考）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA（2022•泰安中考）如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°．则∠2的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°【解析】选A．如图，因为AB＝BC，∠C＝25°，所以∠C＝∠BAC＝25°，因为l1∥l2，∠1＝60°，所以∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°，因为∠BEA＝∠C+∠2，所以∠2＝95°﹣25°＝70°（2022•宜宾中考）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①BD＝CE；②∠DAC＝∠CED；③若BD＝2CD，则CFAF =45；④在△ABC内存在唯一一点P，使得PA+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE＝2+√3．其中含所有正确结论的选项是（）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【解析】选B．如图1中，因为∠BAC＝∠DAE＝90°，所以∠BAD＝∠CAE，因为AB＝AC，AD＝AE，所以△BAD≌△DAE（SAS），所以BD＝EC，∠ADB＝∠AEC，故①正确，因为∠ADB+∠ADC＝180°，所以∠AEC+∠ADC＝180°，所以∠DAE+∠DCE＝180°，所以∠DAE＝∠DCE＝90°，取DE的中点O，连接OA，OA，OC，则OA＝OD＝OE＝OC，所以A，D，C，E四点共圆，所以∠DAC＝∠CED，故②正确，设CD＝m，则BD＝CE＝2m．DE=√5m，OA=√52m，过点C作CJ⊥DF于点J，因为tan∠CDF=CJDJ =CECD=2，所以CJ=2√55m，因为AO⊥DE，CJ⊥DE，所以AO∥CJ，所以CFAF =CJAO=2√55m√52m=45，故③正确．如图2中，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，所以BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°，所以△BPN是等边三角形，所以BP＝PN，所以PA+PB+PC＝AP+PN+MN，所以当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，此时∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，PB＝PC，AD⊥BC，所以∠BPD＝∠CPD＝60°，设PD＝t，则BD＝AD=√3t，所以2+t=√3t，所以t=√3+1，所以CE＝BD=√3t＝3+√3，故④错误，故正确的结论是①②③.（2022•福建中考）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，则高AD约为（）（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm【解析】选B．因为AB＝AC，BC＝44cm，所以BD＝CD＝22cm，AD⊥BC，因为∠ABC＝27°，所以tan∠ABC=ADBD≈0.51，所以AD≈0.51×22＝11.22cm．（2022•永州中考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC 的长为（）A．√3B．2√3C．2D．4【解析】选C．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，BD＝2，所以AC＝2BD＝4，因为∠C＝60°，所以∠A＝30°，所以BC=12AC＝2.（2022•鄂州中考）如图，直线l1∥l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．30°【解析】选B．由题意可得AC＝BC，所以∠CAB＝∠CBA，因为∠BCA＝150°，∠BCA+∠CAB+∠CBA＝180°，所以∠CAB＝∠CBA＝15°，因为l1∥l2，所以∠1＝∠CBA＝15°．（2022•梧州中考）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，过点D 分别作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是点E ，F ，则下列结论错误的是（ ）A ．∠ADC ＝90°B ．DE ＝DFC ．AD ＝BC D ．BD ＝CD【解析】选C ．因为AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，所以AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∠B ＝∠C ，所以∠ADC ＝90°，在△BDE 和△CDF 中，{∠B =∠C ∠BED =∠CFD BD =CD，所以△BDE ≌△CDF （AAS ），所以DE ＝DF .（2022•龙东中考）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC 与BC 相交于点D ，点E 是AB 的中点，点F是DC 的中点，连接EF 交AD 于点P ．若△ABC 的面积是24，PD ＝1.5，则PE 的长是（ ）A ．2.5B ．2C ．3.5D ．3【解析】选A ．如图，过点E 作EG ⊥AD 于G ，因为AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，所以AD ⊥BC ，BD ＝CD ，所以∠PDF ＝∠EGP ＝90°，EG ∥BC ， 因为点E 是AB 的中点，所以G 是AD 的中点，所以EG =12BD ，因为F 是CD 的中点，所以DF =12CD ，所以EG ＝DF ，因为∠EPG ＝∠DPF ，所以△EGP ≌△FDP （AAS ），所以PG ＝PD ＝1.5，所以AD ＝2DG ＝6，因为△ABC 的面积是24，所以12•BC •AD ＝24，所以BC ＝48÷6＝8， 所以DF =14BC ＝2，所以EG ＝DF ＝2，由勾股定理得：PE =√22+1．52=2.5．A ．36°B ．54°C ．72°D ．108°【解析】选A ．由题意可得BP 为∠ABC 的角平分线，所以∠ABD ＝∠CBD ，因为AD ＝BD ，所以∠A ＝∠ABD ，所以∠A ＝∠ABD ＝∠CBD ，所以∠ABC ＝2∠A ，因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠C ＝2∠A ，所以∠A +∠ABC +∠C ＝∠A +2∠A +2∠A ＝180°，解得∠A ＝36°．（2022•滨州中考）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB ＝AC ，立柱AD ⊥BC ，且顶角∠BAC ＝120°，则∠C 的大小为 30° ．【解析】因为AB ＝AC 且∠BAC ＝120°，所以∠B ＝∠C =12（180°﹣∠BAC ）=12×60°＝30°．答案：30°．（2022•绍兴中考）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝40°，∠BAC ＝80°，以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交射线BA 于点D ，连结CD ，则∠BCD 的度数是 10°或100° ．【解析】如图，点D 即为所求；在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，所以∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，由作图可知：AC＝AD，所以∠ACD＝∠ADC=12（180°﹣80°）＝50°，所以∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝60°﹣50°＝10°；由作图可知：AC＝AD′，所以∠ACD′＝∠AD′C，因为∠ACD′+∠AD′C＝∠BAC＝80°，所以∠AD′C＝40°，所以∠BCD′＝180°﹣∠ABC﹣∠AD′C＝180°﹣40°﹣40°＝100°．综上所述：∠BCD的度数是10°或100°．答案：10°或100°．（2022•娄底中考）如图，已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大小为θ，点D为边BC上的动点（与B、C不重合），将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D′处，连接BD′．给出下列结论：①△ACD≌△ABD′；②△ACB∽△ADD′；③当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值．其中正确的结论有①②③（填结论对应的应号）．【解析】由题意可知AC＝AB，AD＝AD′，∠CAD＝∠BAD′，所以△ACD≌△ABD′，故①正确；因为AC＝AB，AD＝AD′，∠BAC＝∠D′AD＝θ，所以ACAD =ABAD′，所以△ACB∽△ADD′，故②正确；因为△ACB∽△ADD′，所以S△ADD′S△ACB=（ADAC）2，因为当AD⊥BC时，AD最小，△ADD′的面积取得最小值．而AB＝AC，所以BD＝CD，所以当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值，故③正确；（2022•岳阳中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝ 3 ．【解析】因为AB＝AC，AD⊥BC，所以CD＝BD，因为BC＝6，所以CD＝3.答案：3（2022•德阳中考）如图，直角三角形ABC纸片中，∠ACB＝90°，点D是AB边上的中点，连结CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB．若CB＝1，那么CE＝√3．【解析】如图，设CE交AB于点O．因为∠ACB＝90°，AD＝DB，所以CD＝AD＝DB，所以∠A＝∠ACD，由翻折的性质可知∠ACD＝∠DCE，因为CE⊥AB，所以∠BCE+∠B＝90°，因为∠A+∠B＝90°，所以∠BCE＝∠A，所以∠BCE＝∠ACD＝∠DCE＝30°，，所以CO＝CB•cos30°=√32因为DA＝DE，DA＝DC，所以DC＝DE，，所以CE=√3．因为DO⊥CE，所以CO＝OE=√32答案：√3．（2022•嘉兴中考）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件∠B＝60°．【解析】有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，答案：∠B＝60°（2022•无锡中考）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE 交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC＝20°，则∠BAF＝80°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是4−√3．【解析】因为△ACB，△DEC都是等边三角形，所以AC＝CB，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，所以∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，{CB=CA∠BCD=∠ACE CD=CE，所以△BCD≌△ACE（SAS），所以∠DBC＝∠EAC＝20°，因为∠BAC＝60°，所以∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝80°．如图1中，设BE交AC于点T．同法可证△BCD ≌△ACE ，所以∠CBD ＝∠CAF ，因为∠BTC ＝∠ATF ，所以∠BCT ＝∠AFT ＝60°，所以点F 在△ABC 的外接圆上运动，当∠ABF 最小时，AF 的值最小，此时CD ⊥BD ，所以BD =√BC 2−CD 2=√52−32=4，所以AE ＝BD ＝4，∠BDC ＝∠AEC ＝90°，因为CD ＝CE ，CF ＝CF ，所以Rt △CFD ≌Rt △CFE （HL ），所以∠DCF ＝∠ECF ＝30°，所以EF ＝CE •tan30°=√3，所以AF 的最小值为AE ﹣EF ＝4−√3.答案：80，4−√3（2022•鄂州中考）如图，在边长为6的等边△ABC 中，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，AD 与BE 相交于点P ，若BD ＝CE ＝2，则△ABP 的周长为 42+18√77 ．【解析】因为△ABC 是等边三角形，所以AB ＝BC ，∠ABD ＝∠C ＝60°，在△ABD 和△BCE 中，{AB =BC∠ABD =∠C BD =CE所以△ABD ≌△BCE （SAS ），所以∠BAD ＝∠CBE ，所以∠APE ＝∠ABP +∠BAD ＝∠ABP +∠CBE ＝∠ABD ＝60°，所以∠APB ＝120°，在CB 上取一点F 使CF ＝CE ＝2，则BF ＝BC ﹣CF ＝4，所以∠C ＝60°，所以△CEF 是等边三角形，所以∠BFE ＝120°，即∠APB ＝∠BFE ，所以△APB ∽△BFE ，所以AP BP =BF EF =42=2， 设BP ＝x ，则AP ＝2x ，作BH ⊥AD 延长线于H ，因为∠BPD ＝∠APE ＝60°，所以∠PBH ＝30°，所以PH =x 2，BH =√32x ，所以AH ＝AP +PH ＝2x +x 2=52x ，在Rt △ABH 中，AH 2+BH 2＝AB 2，即（52x ）2+（√32x ）2＝62， 解得x =6√77或−6√77（舍去），所以AP =12√77，BP =6√77， 所以△ABP 的周长为AB +AP +BP ＝6+12√77+6√77=6+18√77=42+18√77， 答案：42+18√77． （2022•泰州中考）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，O 为内心，过点O 的直线分别与AC 、AB边相交于点D 、E ．若DE ＝CD +BE ，则线段CD 的长为 2或12 ．【解析】如图，过点O 的直线分别与AC 、AB 边相交于点D 、E ，连接BO ，CO ，因为O 为△ABC 的内心，所以CO 平分∠ACB ，BO 平分∠ABC ，所以∠BCO ＝∠ACO ，∠CBO ＝∠ABO ，当CD ＝OD 时，则∠OCD ＝∠COD ，所以∠BCO ＝∠COD ，所以BC ∥DE ，所以∠CBO ＝∠BOE ，所以BE ＝OE ，则DE ＝CD +BE ，设CD ＝OD ＝x ，BE ＝OE ＝y ，在Rt △ABC 中，AB =√AC 2+BC 2=10，所以{AD AC =DE BC AE AB =DE BC ，即{8−x 8=x+y 610−y 10=8−x 8，解得{x =2y =52，所以CD ＝2，过点O 作D ′E ′⊥AB ，作DE ∥BC ，因为点O 为△ABC 的内心，所以OD ＝OE ′，在Rt △ODD ′和Rt △OE ′E 中，{∠OE′E =∠ODD′OE′=OD ∠EOE′=∠D′OD，所以△ODD ′≌△OE ′E （ASA ），所以OE ＝OD ′，所以D ′E ′＝DE ＝CD +BE ＝CD ′+BE ′＝2+52=92，在△AD ′E ′和△ABC 中，{∠A =∠A ∠D′E′A =∠BCA，所以△AD ′E ′∽△ABC ， 所以AD′AB =D′E′BC ，所以AD′10=926，解得：AD ′=152，所以CD ′＝AC ﹣AD ′=12. 答案：2或12． （2022•包头中考）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，D 为AB 边上一点，且BD ＝BC ，连接CD ，以点D 为圆心，DC 的长为半径作弧，交BC 于点E （异于点C ），连接DE ，则BE 的长为 3√2−3 ．【解析】因为∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，所以AB =√2AC ＝3√2，∠A ＝∠B ＝45°，因为BD ＝BC ＝3，AC ＝BC ，所以BD ＝AC ，AD ＝3√2−3．因为DC ＝DE ，所以∠DCE ＝∠DEC ．因为BD ＝BC ，所以∠DCE ＝∠CDB ，所以∠CED ＝∠CDB ，因为∠CDB ＝∠CDE +∠EDB ，∠CED ＝∠B +∠EDB ，所以∠CDE ＝∠B ＝45°．所以∠ADC +∠EDB ＝180°﹣∠CDE ＝135°．因为∠ADC +∠ACD ＝180°﹣∠A ＝135°，所以∠ACD ＝∠EDB ．在△ADC 和△BED 中，{AC =BD ∠ACD =∠EDB CD =DE，所以△ADC ≌△BED （SAS ）．所以BE ＝AD ＝3√2−3．答案：3√2−3．【解析】过点A作AH⊥BC于点H．设AN＝CM＝x．因为AB＝AC=√2，∠BAC＝90°，所以BC=√(√2)2+(√2)2=2，因为AH⊥BC，所以BH＝AH＝1，所以AH＝BH＝CH＝1，所以AM+BN=√12+(1−x)2+√(√2)2+x2，欲求AM+BN的最小值，相当于在x轴上寻找一点P（x，0），到E（1，1），F（0，√2）的距离和的最小值，如图1中，作点F关于x轴的对称点F′，当E，P，F′共线时，PE+PF的值最小，此时直线EF′的解析式为y＝（√2+1）x−√2，当y＝0时，x＝2−√2，所以AM+BN的值最小时，CM的值为2−√2.答案：2−√2（2022•自贡中考）如图，△ABC是等边三角形，D、E在直线BC上，DB＝EC．求证：∠D＝∠E．【证明】因为△ABC是等边三角形，所以AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，所以∠ABD＝∠ACE＝120°，在△ABD和△ACE中，{AB=AC∠ABD=∠ACE BD=CE，所以△ABD≌△ACE（SAS），所以∠D＝∠E.（2022•怀化中考）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．（1）求证：MP＝NP；（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．【解析】（1）证明：过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，如图所示：在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，因为MQ∥BC，所以∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，所以△AMQ是等边三角形，所以AM＝QM，因为AM＝CN，所以QM＝CN，在△QMP和△CNP中，{∠QPM=∠CPN ∠QMP=∠N QM=CN，所以△QMP≌△CNP（AAS），所以MP＝NP；（2）因为△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，所以AH＝HQ，因为△QMP≌△CNP，所以QP＝CP，所以PH＝HQ+QP=12 AC，因为AB＝a，AB＝AC，所以PH=1 2 a（2022•杭州中考）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC 于点F，连接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．（1）求证：CE＝CM．（2）若AB＝4，求线段FC的长．（2022•绥化中考）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．（1）如图一，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BC 边上有一点D ，过点D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，过点C 作CG ⊥AB 于G ．利用面积证明：DE +DF ＝CG ．（2）如图二，将矩形ABCD 沿着EF 折叠，使点A 与点C 重合，点B 落在B '处，点G 为折痕EF 上一点，过点G 作GM ⊥FC 于M ，GN ⊥BC 于N ．若BC ＝8，BE ＝3，求GM +GN 的长．（3）如图三，在四边形ABCD 中，E 为线段BC 上的一点，EA ⊥AB ，ED ⊥CD ，连接BD ，且AB CD =AE DE ，BC =√51，CD ＝3，BD ＝6，求ED +EA 的长．【解析】（1）连接AD ，因为S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ，所以12×AB ×CG =12×AB ×DE +12×AC ×DF ，因为AB ＝AC ，所以DE +DF ＝CG ；（2）因为将矩形ABCD 沿着EF 折叠，使点A 与点C 重合，所以∠AFE ＝∠EFC ，AE ＝CE ，因为AD ∥BC ，所以∠AFE ＝∠CEF ，所以∠CEF ＝∠CFE ，所以CE ＝CF ，因为BC ＝8，BE ＝3，所以CE ＝AE ＝5，在Rt △ABE 中，由勾股定理得，AB ＝4，所以等腰△CEF 中，CE 边上的高为4， 由（1）知，GM +GN ＝4；（3）延长BA 、CD 交于G ，作BH ⊥CD 于H ，因为ABCD =AEDE ，∠BAE ＝∠EDC ＝90°，所以△BAE ∽△CDE ，所以∠ABE ＝∠C ，所以BG ＝CG ，所以ED +EA ＝BH ，设DH ＝x ，由勾股定理得，62﹣x 2＝（√51）2﹣（x +3）2，解得x ＝1，所以DH ＝1， 所以BH =√BD 2−DH 2=√62−12=√35，所以ED +EA =√35．。

等腰三角形中考真题(含解析及答案)

等腰三角形中考真题(含解析及答案)

等腰三角形要点一、等腰三角形的性质及判定一、选择题1．（2009·宁波中考）等腰直角三角形的一个底角的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】选B .因为等腰三角形的两个底角相等，而等腰直角三角形的两个底角互余，所以每个底角等于45°；2、（2009·威海中考）如图，AB AC BD BC ==，，若40A ∠=，则ABD ∠的度数是（ ）A ．20B ．30C ．35D ．40【解析】选B.由AB=AC, 40A ∠=,得∠ABC=∠ACB=70°,由BD=BC 得∠BDC=∠ACB=70°,∴∠DBC=40, ABD ∠=∠ABC-∠DBC =70°-40=30.3.（2009·聊城中考）如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ．E 、F 分别是CD 、AD 上的点，且CE ＝AF ．如果∠AED ＝62º，那么∠DBF ＝（ ）A ．62ºB ．38ºC ．28ºD ．26º【解析】选C.在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 得∠BAF=∠C=∠CAD=45 º， 又∠AED ＝62º ,∴∠EAC=62º -45 º =17 º ,又CE ＝AF ，∴△ABF ≌△CAE,∴∠ABF=17 º , ∴∠DBF ＝45 º-17 º=28º.4、(2009·黔东南中考)如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，则∠A等于（）A、30oB、40oC、45oD、36o【解析】选D.∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠A=∠ABD,∠C=∠ABC=∠BDC,设∠A=x o,则∠ABD=x o, ∠C=∠ABC=∠BDC=2x o,在△ABC中，x+2x+2x=180,∴x=36,故∠A=36o5、（2009·武汉中考）如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO+∠DCO的大小是（）A．70°B．110 C．140°D．150°【解析】选D ∠BAO+∠BCO＝∠ABO+∠CBO＝∠ABC＝70°，所以∠BOA+∠BOC＝360°－140°＝220°，所以∠AOC＝140°，所以∠AOC＋∠ADC＝140°＋70°＝210°，所以∠DAO+∠DCO＝360°－210°＝150°；6．（2009·烟台中考）如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC 上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为（）A．32B．23C．12D．34ADCPB60°BCOAD【解析】选B 因为∠APD ＝60°，所以∠PDC=60°＋∠PAD ，又因为∠BPA ＝60°＋∠PAD ，所以∠PDC=∠BPA ，又因为∠B ＝∠C ，所以△ABP ∽△PCD ， 所以23==PC AB CD BP ,所以CD ＝23. 7、（2008·乌鲁木齐中考）某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为（ ） A ．9cmB ．12cmC ．15cmD ．12cm 或15cm 答案：选C二、填空题8. (2009·达州中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，与∠BAC 相邻的外角为80°，则∠B ＝____________.【解析】由AB ＝AC 得∠B=∠C=21∠DAC=21×80°=40°. 答案：40°.9.（2009·云南中考）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，DE ∥AC ，DE 交AB 于点E ，M 为BE 的中点，连结DM . 在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是 .（写出一个即可）【解析】由∠ACB =90°，DE ∥AC ，得∠EDC=90°，又M 为BE 的中点，得MB=MD=ME,∴△MBD和△MDE 是等腰三角形，∵∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，DE ∥AC ，∴∠EDA=∠EAD=∠DAC,∴△EAD 是等腰三角形.答案：△MBD 或△MDE 或△EAD10.（2008·菏泽中考）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于一点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论：①AD=BE ； ②PQ ∥AE ； ③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60°.恒成立的有________（把你认为正确的序号都填上）．【解析】∵正三角形ABC 和正三角形CDE∴AC=BC,∠ACD=∠BCE=120º,CD=CE∴ΔACD ≌ΔBCE , ∴AD=BE,∠CAD=∠CBE又∠ACP=∠BCQ ∴ΔACP ≌ΔACQ ∴AP=BQ,CP=CQ又∠PCQ=60º ∴ΔCPQ 是等边三角形 ∴∠PQC=∠QCE=60º∴PQ ∥AE,∵∠AOB=∠OEA ＋∠OAE=∠OEA ＋∠CBE=∠ACB ∴∠AOB=60º,∵∠DPC>∠QPC∴∠DPC>∠QCP ∴DP≠DC 即DP≠DE.故恒成立的有①②③⑤答案：①②③⑤11、（2007·杭州中考）一个等腰三角形的一个外角等于110︒，则这个三角形的三个角应该为 。

中考数学复习《等腰三角形》专项测试卷(带答案)

中考数学复习《等腰三角形》专项测试卷(带答案)

中考数学复习《等腰三角形》专项测试卷(带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一.选择题1. 如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ） （A ）32（B ）33（C ）34（D ）362. 如图，⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D 在一条直线上，点M 是AE 的中点，下列结论：①tan ∠AEC=CDBC;②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ;③BM ⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个（D ）4个MECA3. 如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°， 四边形ACDE 是平行四边形，连结CE 交AD 于点F ，连结BD 交CE 于点G ，连结BE . 下列结论中：① CE =BD ； ② △ADC 是等腰直角三角形； ③ ∠ADB =∠AEB ； ④ CD ·AE =EF ·CG ； 一定正确的结论有（第1题）A BCD EA．1个 B．2个 C．3个 D．4个4. 如图，ΔABC中，以B 为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC和AB于D、E两点，并连接BD、DE若∠A=30∘，AB＝AC，则∠BDE的度数为何？A． 45 B． 52．5 C． 67．5 D． 755. 如图(1)，有两全等的正三角形ABC、DEF，且D、A分别为△ABC、△DEF的重心．固定D点，将△DEF逆时针旋转，使得A落在DE上，如图(2)所示．求图(1)与图(2)中，两个三角形重迭区域的面积比为何？图1 图2A．2：1 B． 3：2 C． 4：3 D． 5：46. 如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长是A．15cm B．16cmC．17cm D．16cm或17cm7. 如图，在ABC△中13AB AC==，10BC=点D为BC的中点DE DE AB⊥垂足为点E，则DE等于（）A．1013B．1513C．6013D．7513 ABCDE FG8.等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为 A ．16 B ．18 C ．20 D ．16或209．等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（ ） A ． 20° B ． 50° C ． 60° D ． 80°10．把等腰△ABC 沿底边BC 翻折，得到△DBC ，那么四边形ABDC （ ）11.如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ．若BF ＝2，则PE 的长为( )A ． 2B ．23C ．3D ．312．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若BM+CN=9，则线段MN 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9第11题图AD E F PQC13．已知实数x ，y 满足，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）A ． 20或16B ． 20C ． 16D ．以上答案均不对14.如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，若AC =2，则AD 的长是（ ）A ．512- B ．512+ C ．51- D ．51+15．如图，△ABC 为等边三角形，点E 在BA 的延长线上，点D 在BC 边上，且ED=EC ．若△ABC 的边长为4，AE=2，则BD 的长为（ ）A ． 2B ． 3C ．D ． +116.如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，DE ，BF 相交于点G ，连接BD ，CG ，有下列结论：①∠BGD =120° ；②BG +DG =CG ；③△BDF ≌△CGB ；④234ABD S AB =△．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二.填空题1. 边长为6cm 的等边三角形中，其一边上高的长度为________.2. 等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为 .3. 在等腰Rt △ABC 中，∠C =90°，AC ＝1，过点C 作直线l ∥AB ，F 是l 上的一点，且AB ＝AF ，则点F 到直线BC 的距离为 ．4. 已知等边△ABC 中，点D,E 分别在边AB,BC 上，把△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在点B ˊ处，DB ˊEB ˊ分别交边AC 于点F ，G ，若∠ADF=80º ，则∠EGC 的度数为5. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，︒=∠40A 则△ABC 的外角∠BCD ＝ °．6. 如图（四）所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=50°，则∠A=_______。

中考数学专题复习：等腰三角形

中考数学专题复习：等腰三角形

中考数学专题复习：等腰三角形一、选择题1. 若等腰三角形的顶角为50°，则它的底角度数为( )A .40°B .50°C .60°D .65° 2. 如图，在ABC ∆中，AB AC =，40A ∠=︒，//CD AB ，则BCD ∠=（ ）A.40°B.50°C.60°.D.70°3. 一个等腰三角形两边的长分别为75和18，则这个三角形的周长为()A ．10 3＋3 2B ．5 3＋6 2C ．10 3＋3 2或5 3＋6 2D ．无法确定4. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝65°，点D 是BC 边上任意一点，过点D 作DF ∥AB 交AC 于点E ，则∠FEC 的度数是（ ）A ．120°B ．130°C ．145°D ．150°5. 如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（ ）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒6. 如图，已知△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∠BAC =∠DAE =90°，BD ，CE 交于点F ，连接AF ．下列结论：①BD =CE ；②BF ⊥CF ；③AF 平分∠CAD ；④∠AFE =45°．其中正确结论的个数有（ ）A ．1B ．2个C ．3个D ．4个CE F7. △ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是( )A. 120°B. 125°C. 135°D. 150°8. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝12，E 为AC 边的中点，线段BE 的垂直平分线交边BC 于点D .设BD ＝x ，tan ∠ACB ＝y ，则()A. x －y 2＝3B. 2x －y 2＝9C. 3x －y 2＝15D. 4x －y 2＝21二、填空题9. 若等腰三角形的顶角为120°，腰长为2 cm ，则它的底边长为________ cm . 10. 如图，AD 是△ABC 的边BC 上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是________．(把所有正确答案的序号都填写在横线上) ①∠BAD ＝∠ACD ②∠BAD ＝∠CAD③ AB ＋BD ＝AC ＋CD ④ AB －BD ＝AC －CD11. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，E 为AB 的中点．若BC ＝12，AD ＝8，则DE 的长为________．ECB A12. 如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线分别交BC 、AB 于点E 、F ．若△AFC 是等边三角形，则∠B ＝________°． ABC DE F13. 如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN过点O且MN∥BC，设AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为________．14. 如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE 的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则边BC的长为________．15. 如图，在直角坐标系中，点A(1，1)，B(3，3)是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为__________．16. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M 是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为________．MD CBA三、解答题17. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.(1)若∠C=42°，求∠BAD的度数;ODABCxy(2)若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F.求证:AE=FE.18. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD=CE.求证:(1)点D在BE的垂直平分线上;(2)∠BEC=3∠ABE.19. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD，连接AC交DE于点M.(1)求证：AD＝BE；(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；(3)△DBC是等腰三角形吗？说明理由．20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°，延长BA至点D，延长CB至点E，使BE＝AD，连接CD，AE，延长EA交CD于点G.(1)求证：△ACE≌△CBD；(2)求∠CGE的度数．21. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5 cm，BC＝6 cm，AD是BC边上的高．点P 由C出发沿CA方向匀速运动．速度为1 cm/s.同时，直线EF由BC出发沿DA 方向匀速运动，速度为1 cm/s，EF//BC，并且EF分别交AB、AD、AC于点E，Q，F，连接PQ.若设运动时间为t(s)(0＜t＜4)，解答下列问题：(1)当t为何值时，四边形BDFE是平行四边形？(2)设四边形QDCP的面积为y(cm2)，求出y与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使点Q在线段AP的垂直平分线上？若存在，求出此时点F到直线PQ的距离h；若不存在，请说明理由．参考答案1. 【答案】D2. 【答案】D【解析】 根据三角形内角和定理和等腰三角形的等边对等角且AB AC =，40A ∠=，可得：70ABC ACB ∠=∠=；然后根据两直线平行内错角相等且//CD AB 可得：70BCD ABC ∠=∠=，所以选D ．3. 【答案】[解析] A 因为75＝5 3，18＝3 2.当5 3为腰长时，三角形的周长为10 3＋3 2；当5 3为底边长时，因为3 2＋3 2＝6 2＝72，72<75，所以不能构成三角形，故三角形的周长为10 3＋3 2.4. 【答案】B【解析】可利用三角形的外角性质求∠ FEC 的度数，结合等腰三角形与平行线的性质，可得∠ EDC 、∠B 均与∠C 相等．即：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝65°．∵DF ∥AB ，∴∠ EDC ＝∠B ＝65°．∴∠FEC ＝∠EDC ＋∠C ＝65°＋65°＝130°．5. 【答案】C【解析】由作法得CG AB ⊥，∵AB AC =，∴CG 平分ACB ∠，A B ∠=∠， ∵1804040100ACB ∠=︒-︒-︒=︒，∴1502BCG ACB ∠=∠=︒．故选C ． 6. 【答案】C【解析】∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∴AB=AC ，AD=AE ，∵∠BAD=90°+∠CAD ，∠CAE=90°+∠CAD ，∴∠BAD=∠CAE ，在△AEC 与△ADB 中， AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△AEC ≌△ADB(SAS)，∴BD=CE ，故①正确；∴∠ADB=∠AEC ，∵∠DEF+∠AEC+∠EDA=90°，∴∠DEF+∠ADB+∠EDA=90°∴∠DEF+∠EDF=90∘，∴BD ⊥CE ，故②正确；∵作AN ⊥CE ，AM ⊥BD∵△AEC ≌△ADB(SAS)，∴AM=AN，∵AF是∠BFE的角平分线，∠BFE=90°，∴∠AFE=45°，故④正确，故③正确；因为QF≠PF，故③错误。

最新中考数学真题汇编22等腰三角形(含答案解析)

最新中考数学真题汇编22等腰三角形(含答案解析)

等腰三角形一、选择题1. （•广东，第9题3分）一个等腰三角形地两边长分别是3和7，则它地周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13或17考点：等腰三角形地性质；三角形三边关系．分析：由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形地腰为3；（2）当等腰三角形地腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长．解答：解：①当等腰三角形地腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；②当等腰三角形地腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．故这个等腰三角形地周长是17．故选A．点评：本题考查地是等腰三角形地性质，在解答此题时要注意进行分类讨论．2. （•广西玉林市、防城港市，第10题3分）在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边地取值范围是（）A．1cm＜AB＜4cm B．5cm＜AB＜10cm C．4cm＜AB＜8cm D．4cm＜AB＜10cm考点：等腰三角形地性质；解一元一次不等式组；三角形三边关系．[来源:学科网]分析：设AB=AC=x，则BC=20﹣2x，根据三角形地三边关系即可得出结论．解答：解：∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，∴设AB=AC=xcm，则BC=（20﹣2x）cm，∴，解得5cm＜x＜10cm．故选B．点评：本题考查地是等腰三角形地性质，熟知等腰三角形地两腰相等是解答此题地关键．[来源:学*科*网]3．（·浙江金华，第8题4分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠1=20°，则∠B地度数是【】A．70°B．65° C．60° D．55°【答案】B．【解析】4. （•扬州，第7题，3分）如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）（第1题图）A．3B．4C．5D．6考点：含30度角地直角三角形；等腰三角形地性质分析：过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD 地长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD地长，由OD﹣MD即可求出OM地长．解答：解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，在Rt△OPD中，cos60°==，OP=12，∴OD=6，∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，∴MD=ND=MN=1，∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5．故选C．点评：此题考查了含30度直角三角形地性质，等腰三角形地性质，熟练掌握直角三角形地性质是解本题地关键．[来源:学*科*网]二.填空题1. （•广东，第16题4分）如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分地面积等于﹣1 ．考点：旋转地性质．分析：根据题意结合旋转地性质以及等腰直角三角形地性质得出AD=BC=1，AF=FC′=AC′=1，进而求出阴影部分地面积．解答：解：∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=，∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°，∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，[来源:学科网]∴AD=BC=1，AF=FC′=AC′=1，∴图中阴影部分地面积等于：S△AFC′﹣S△DEC′=×1×1﹣×（﹣1）2=﹣1．故答案为：﹣1．点评：此题主要考查了旋转地性质以及等腰直角三角形地性质等知识，得出AD，AF，DC′地长是解题关键．2. （•珠海，第10题4分）如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA4地长度为8 ．考点：等腰直角三角形专题：规律型．分析：利用等腰直角三角形地性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出答案．解答：解：∵△OAA1为等腰直角三角形，OA=1，∴AA1=OA=1，OA1=OA=；∵△OA1A2为等腰直角三角形，∴A1A2=OA1=，OA2=OA1=2；∵△OA2A3为等腰直角三角形，∴A2A3=OA2=2，OA3=OA2=2；∵△OA3A4为等腰直角三角形，∴A3A4=OA3=2，OA4=OA3=8．故答案为：8．点评：此题主要考查了等腰直角三角形地性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键．3. （•广西贺州，第17题3分）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB地垂直平分线MN交AC于点D，则∠A地度数是50°．考点：线段垂直平分线地性质；等腰三角形地性质．分析：根据线段垂直平分线上地点到两端点地距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后根据三角形地内角和定理列出方程求解即可．解答：解：∵MN是AB地垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD，∵∠DBC=15°，∴∠ABC=∠A+15°，[来源:学|科|网]∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=∠A+15°，∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，解得∠A=50°．故答案为：50°．点评：本题考查了线段垂直平分线上地点到两端点地距离相等地性质，等腰三角形地性质，熟记性质并用∠A表示出△ABC地另两个角，然后列出方程是解题地关键．4．(年天津市，第17 题3分)如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上地两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE地大小为45 （度）．考点：等腰三角形地性质．分析：设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°﹣∠ACE=90°﹣x﹣y，根据等边对等角得出∠ACE=∠AEC=x+y，∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°﹣y．然后在△DCE中，利用三角形内角和定理列出方程x+（90°﹣y）+（x+y）=180°，解方程即可求出∠DCE地大小．解答：解：设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°﹣∠ACE=90°﹣x﹣y．∵AE=AC，∴∠ACE=∠AEC=x+y，∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°﹣x﹣y+x=90°﹣y．在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°，∴x+（90°﹣y）+（x+y）=180°，解得x=45°，∴∠DCE=45°．故答案为45．点评：本题考查了等腰三角形地性质及三角形内角和定理，设出适当地未知数列出方程是解题地关键．5．（•新疆，第12题5分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点D在AC上，BD=BC，则∠ABD地度数是．考点：等腰三角形地性质．分析：根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC=∠C，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD代入数据计算即可得解．解答：解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C=（180°﹣40°）=70°，∵BD=BC，∴∠CBD=180°﹣70°×2=40°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=70°﹣40°=30°．故答案为：30．点评：本题考查了等腰三角形两底角相等地性质，三角形地内角和定理，熟记性质并准确识图是解题地关键．6．（年云南省，第13题3分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD= 18°．考点：等腰三角形地性质．分析：根据已知可求得两底角地度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC地度数．解答：解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°．∵BD⊥AC于点D，∴∠CBD=90°﹣72°=18°．故答案为：18°．点评：本题主要考查等腰三角形地性质，解答本题地关键是会综合运用等腰三角形地性质和三角形地内角和定理进行答题，此题难度一般．7. （•益阳，第13题，4分）如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC地中点E地对应点为F，则∠EAF地度数是60°．（第1题图）考点：旋转地性质；等边三角形地性质．分析：根据等边三角形地性质以及旋转地性质得出旋转角，进而得出∠EAF地度数．解答：解：∵将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC地中点E地对应点为F，∴旋转角为60°，E，F是对应点，则∠EAF地度数为：60°．故答案为：60°．点评：此题主要考查了等边三角形地性质以及旋转地性质，得出旋转角地度数是解题关键．8. （•泰州，第15题，3分）如图，A、B、C、D依次为一直线上4个点，BC=2，△BCE为等边三角形，⊙O过A、D、E3点，且∠AOD=120°．设AB=x，CD=y，则y与x地函数关系式为y=（x＞0）．（第2题图）考点：相似三角形地判定与性质；等边三角形地性质；圆周角定理．分析：连接AE，DE，根据同弧所对地圆周角等于圆心角地一半，求得∠AED=120°，然后求得△ABE∽△EC D．根据相似三角形地对应边对应成比例即可表示出x与y地关系，从而不难求解．解答：解：连接AE，DE，∵∠AOD=120°，∴为240°，∴∠AED=120°，∵△BCE为等边三角形，∴∠BEC=60°；∴∠AEB+∠CED=60°；又∵∠EAB+∠AEB=60°，∴∠EAB=∠CED，∵∠ABE=∠ECD=120°；∴=，即=，∴y=（x＞0）．点评：此题主要考查学生圆周角定理以及对相似三角形地判定与性质及反比例函数地实际运用能力．9. （•扬州，第10题，3分）若等腰三角形地两条边长分别为7cm和14cm，则它地周长为35 cm．考点：等腰三角形地性质；三角形三边关系．分析：题目给出等腰三角形有两条边长为7cm和14cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形地三边关系验证能否组成三角形．解答：解：①14cm为腰，7cm为底，此时周长为14+14+7=35cm；②14cm为底，7cm为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．故其周长是35cm．故答案为35．点评：此题主要考查学生对等腰三角形地性质及三角形地三边关系地掌握情况．已知没有明确腰和底边地题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题地关键．10.（•呼和浩特，第13题3分）等腰三角形一腰上地高与另一腰地夹角为36，则该等腰三角形地底角地度数为63°或27°．考点：等腰三角形地性质．专题：分类讨论．分析：分锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用等腰三角形地性质和三角形内角和定理即可求出它地底角地度数．解答：解：在三角形ABC中，设AB=AC，BD⊥AC于D．①若是锐角三角形，∠A=90°﹣36°=54°，底角=（180°﹣54°）÷2=63°；②若三角形是钝角三角形，∠BAC=36°+90°=126°，此时底角=（180°﹣126°）÷2=27°．所以等腰三角形底角地度数是63°或27°．点评：此题主要考查学生对等腰三角形地性质和三角形内角和定理地理解和应用，此题地关键是熟练掌握三角形内角和定理．三.解答题1. （•湘潭，第25题）△ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB，EF⊥AC，（1）求证：△BDF∽△CEF；（2）若a=4，设BF=m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间地函数关系，并探究当m 为何值时S取最大值；（3）已知A、D、F、E四点共圆，已知tan∠EDF=，求此圆直径．（第1题图）考点：相似形综合题；二次函数地最值；等边三角形地性质；圆周角定理；解直角三角形分析：（1）只需找到两组对应角相等即可．（2）四边形ADFE面积S可以看成△ADF与△AEF地面积之和，借助三角函数用m表示出AD、DF、AE、EF地长，进而可以用含m地代数式表示S，然后通过配方，转化为二次函数地最值问题，就可以解决问题．（3）易知AF就是圆地直径，利用圆周角定理将∠EDF转化为∠EAF．在△AFC中，知道tan∠EAF、∠C、AC，通过解直角三角形就可求出AF长．解答：解：（1）∵DF⊥AB，EF⊥AC，∴∠BDF=∠CEF=90°．∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°．∵∠BDF=∠CEF，∠B=∠C，∴△BDF∽△CEF．（2）∵∠BDF=90°，∠B=60°，∴sin60°==，cos60°==．∵BF=m，∴DF=m，BD=．∵AB=4，∴AD=4﹣．[来源:学科网]∴S△ADF=AD•DF=×（4﹣）×m=﹣m2+m．同理：S△AEF=AE•EF=×（4﹣）×（4﹣m）=﹣m2+2．∴S=S△ADF+S△AEF=﹣m2+m+2=﹣（m2﹣4m﹣8）=﹣（m﹣2）2+3．其中0＜m＜4．∵﹣＜0，0＜2＜4，∴当m=2时，S取最大值，最大值为3．∴S与m之间地函数关系为：S═﹣（m﹣2）2+3（其中0＜m＜4）．当m=2时，S取到最大值，最大值为3．（3）如图2，∵A、D、F、E四点共圆，∴∠EDF=∠EAF．∵∠ADF=∠AEF=90°，∴AF是此圆地直径．∵tan∠EDF=，∴tan∠EAF=．∴=．∵∠C=60°，∴=tan60°=．设EC=x，则EF=x，EA=2x．∵AC=a，∴2x+x=A．∴x=．∴EF=，AE=．∵∠AEF=90°，∴AF==．∴此圆直径长为．点评：本题考查了相似三角形地判定、二次函数地最值、三角函数、解直角三角形、圆周角定理、等边三角形地性质等知识，综合性强．利用圆周角定理将条件中地圆周角转化到合适地位置是解决最后一小题地关键．2. （•益阳，第20题，10分）如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．（1）求a，k地值；（2）抛物线地对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边地等腰三角形，求Q点地坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点地四边形为正方形，求此正方形地边长．（第2题图）考点：二次函数综合题．分析：（1）先求出直线y=﹣3x+3与x轴交点A，与y轴交点B地坐标，再将A、B两点坐标代入y=a（x﹣2）2+k，得到关于a，k地二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）设Q点地坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E．在Rt△AQF与Rt△BQE中，用勾股定理分别表示出AQ2=AF2+QF2=1+m2，BQ2=BE2+EQ2=4+（3﹣m）2，由AQ=BQ，得到方程1+m2=4+（3﹣m）2，解方程求出m=2，即可求得Q点地坐标；（3）当点N在对称轴上时，由NC与AC不垂直，得出AC为正方形地对角线，根据抛物线地对称性及正方形地性质，得到M点与顶点P（2，﹣1）重合，N点为点P关于x轴地对称点，此时，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，则四边形AMCN为正方形，在Rt△AFN中根据勾股定理即可求出正方形地边长．解答：解：（1）∵直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，∴A（1，0），B（0，3）．又∵抛物线抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A（1，0），B（0，3），∴，解得，故a，k地值分别为1，﹣1；（2）设Q点地坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E．在Rt△AQF中，AQ2=AF2+QF2=1+m2，在Rt△BQE中，BQ2=BE2+EQ2=4+（3﹣m）2，∵AQ=BQ，∴1+m2=4+（3﹣m）2，∴m=2，∴Q点地坐标为（2，2）；（3）当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直，所以AC应为正方形地对角线．又∵对称轴x=2是AC地中垂线，∴M点与顶点P（2，﹣1）重合，N点为点P关于x轴地对称点，其坐标为（2，1）．此时，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，∴四边形AMCN为正方形．在Rt△AFN中，AN==，即正方形地边长为．点评：本题是二次函数地综合题型，其中涉及到地知识点有二元一次方程组地解法，等腰三角形地性质，勾股定理，二次函数地性质，正方形地判定与性质，综合性较强，难度适中．3. （•株洲，第23题，8分）如图，PQ为圆O地直径，点B在线段PQ地延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O地上半圆运动（含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形AB C．（1）当线段AB所在地直线与圆O相切时，求△ABC地面积（图1）；（2）设∠AOB=α，当线段AB、与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α地范围（图2，直接写出答案）；（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO⊥PM于点N，求CM地长度（图3）．（第3题图）考点：圆地综合题；等边三角形地性质；勾股定理；切线地性质；相似三角形地判定与性质；特殊角地三角函数值．分析：（1）连接OA，如下图1，根据条件可求出AB，然后AC地高BH，求出BH就可以求出△ABC地面积．（2）如下图2，首先考虑临界位置：当点A与点Q重合时，线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=0°；当线段AB所在地直线与圆O相切时，线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=60°．从而定出α地范围．（3）设AO与PM地交点为D，连接MQ，如下图3，易证AO∥MQ，从而得到△PDO∽△PMQ，△BMQ∽△BAO，又PO=OQ=BQ，从而可以求出MQ、OD，进而求出PD、DM、AM、CM地值．解答：解：（1）连接OA，过点B作BH⊥AC，垂足为H，如图1所示．∵AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥A B．∴∠OAB=90°．∵OQ=QB=1，∴OA=1．∴AB===．∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=，∠CAB=60°．∵sin∠HAB=，∴HB=AB•sin∠HAB=×=．∴S△ABC=AC•BH=××=．∴△ABC地面积为．（2）①当点A与点Q重合时，线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=0°；[来源:学.科.网Z.X.X.K] ②当线段A1B所在地直线与圆O相切时，如图2所示，线段A1B与圆O只有一个公共点，此时OA1⊥BA1，OA1=1，OB=2，∴cos∠A1OB==．∴∠A1OB=60°．∴当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，α地范围为：0°≤α≤60°．（3）连接MQ，如图3所示．∵PQ是⊙O地直径，∴∠PMQ=90°．∵OA⊥PM，∴∠PDO=90°．∴∠PDO=∠PMQ．∴△PDO∽△PMQ．∴==∵PO=OQ=PQ．∴PD=PM，OD=MQ．同理：MQ=AO，BM=A B．∵AO=1，∴MQ=．∴OD=．∵∠PDO=90°，PO=1，OD=，∴PD=．∴PM=．∴DM=．∵∠ADM=90°，AD=A0﹣OD=，∴AM===．∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=BC，∠CAB=60°．∵BM=AB，∴AM=BM．∴CM⊥A B．∵AM=，∴BM=，AB=．∴AC=．∴CM===．∴CM地长度为．点评：本题考查了等边三角形地性质、相似三角形地性质与判定、直线与圆相切、勾股定理、特殊三角函数值等知识，考查了用临界值法求角地取值范围，综合性较强．4. （•泰州，第23题，10分）如图，BD是△ABC地角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥A C．（1）求证：BE=AF；（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF地面积．（第4题图）考点：平行四边形地判定与性质；角平分线地性质；等腰三角形地判定与性质；含30度角地直角三角形分析：（1）由DE∥AB，EF∥AC，可证得四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，又由BD是△ABC地角平分线，易得△BDE是等腰三角形，即可证得结论；（2）首先过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，易求得DG与DE地长，继而求得答案．解答：（1）证明：∵DE∥AB，EF∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，∴AF=DE，∵BD是△ABC地角平分线，∴∠ABD=∠DBE，∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴BE=AF；（2）解：过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，∵∠ABC=60°，BD是∠ABC地平分线，∴∠ABD=∠EBD=30°，∴DG=BD=×6=3，∵BE=DE，∴BH=DH=BD=3，∴BE==2，∴DE=BE=2，∴四边形ADEF地面积为：DE•DG=6．点评：此题考查了平行四边形地判定与性质、等腰三角形地判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线地作法，注意掌握数形结合思想地应用．5. （•泰州，第26题，14分）平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1=（x＞0）与y2=﹣（x＜0）地图象上，A、B地横坐标分别为a、B．（第5题图）（1）若AB∥x轴，求△OAB地面积；（2）若△OAB是以AB为底边地等腰三角形，且a+b≠0，求ab地值；（3）作边长为3地正方形ACDE，使AC∥x轴，点D在点A地左上方，那么，对大于或等于4地任意实数a，CD边与函数y1=（x＞0）地图象都有交点，请说明理由．考点：反比例函数综合题．[来源:学_科_网]分析：（1）如图1，AB交y轴于P，由于AB∥x轴，根据k地几何意义得到S△OAC=2，S△OBC=2，所以S△OAB=S△OAC+S△OBC=4；（2）根据分别函数图象上点地坐标特征得A、B地纵坐标分别为、﹣，根据两点间地距离公式得到OA2=a2+（）2，OB2=b2+（﹣）2，则利用等腰三角形地性质得到a2+（）2=b2+（﹣）2，变形得到（a+b）（a﹣b）（1﹣）=0，由于a+b≠0，a＞0，b＜0，所以1﹣=0，易得ab=﹣4；（3）由于a≥4，AC=3，则可判断直线CD在y轴地右侧，直线CD与函数y1=（x＞0）地图象一定有交点，设直线CD与函数y1=（x＞0）地图象交点为F，由于A点坐标为（a，），正方形ACDE地边长为3，则得到C点坐标为（a﹣3，），F点地坐标为（a﹣3，），所以FC=﹣，然后比较FC与3地大小，由于3﹣FC=3﹣（﹣）=，而a≥4，所以3﹣FC≥0，于是可判断点F在线段DC上．解答：解：（1）如图1，AB交y轴于P，∵AB∥x轴，∴S△OAC=×|4|=2，S△OBC=×|﹣4|=2，∴S△OAB=S△OAC+S△OBC=4；（2）∵A、B地横坐标分别为a、b，∴A、B地纵坐标分别为、﹣，∴OA2=a2+（）2，OB2=b2+（﹣）2，[来源:学科网ZXXK]∵△OAB是以AB为底边地等腰三角形，∴OA=OB，∴a2+（）2=b2+（﹣）2，∴a2﹣b2+（）2﹣（）2=0，∴a2﹣b2+=0，∴（a+b）（a﹣b）（1﹣）=0，∵a+b≠0，a＞0，b＜0，∴1﹣=0，∴ab=﹣4；（3）∵a≥4，而AC=3，∴直线CD在y轴地右侧，直线CD与函数y1=（x＞0）地图象一定有交点，设直线CD与函数y1=（x＞0）地图象交点为F，如图2，∵A点坐标为（a，），正方形ACDE地边长为3，∴C点坐标为（a﹣3，），∴F点地坐标为（a﹣3，），∴FC=﹣，∵3﹣FC=3﹣（﹣）=，而a≥4，∴3﹣FC≥0，即FC≤3，∵CD=3，∴点F在线段DC上，即对大于或等于4地任意实数a，CD边与函数y1=（x＞0）地图象都有交点．[来源:学科网ZXXK]点评：本题考查了反比例函数地综合题：掌握反比例函数图象上点地坐标特征、反比例函数比例系数地几何意义、图形与坐标和正方形地性质；会利用求差法对代数式比较大小．6. （•扬州，第28题，12分）已知矩形ABCD地一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上地P点处．（第6题图）（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、O A．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA地面积比为1：4，求边AB地长；（2）若图1中地点P恰好是CD边地中点，求∠OAB地度数；（3）如图2，，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB地延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF地长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF地长度．考点：相似形综合题；全等三角形地判定与性质；等腰三角形地判定与性质；勾股定理；矩形地性质；特殊角地三角函数值．专题：综合题；动点型；探究型．分析：（1）只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似，然后根据相似三角形地性质求出PC长以及AP与OP地关系，然后在Rt△PCO中运用勾股定理求出OP长，从而求出AB长．（2）由DP=DC=AB=AP及∠D=90°，利用三角函数即可求出∠DAP地度数，进而求出∠OAB地度数．（3）由边相等常常联想到全等，但BN与PM所在地三角形并不全等，且这两条线段地位置很不协调，可通过作平行线构造全等，然后运用三角形全等及等腰三角形地性质即可推出EF是PB地一半，只需求出PB长就可以求出EF长．解答：解：（1）如图1，①∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO．∠APO=∠B．∴∠APO=90°．∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠PO C．∵∠D=∠C，∠APD=∠PO C．∴△OCP∽△PD A．②∵△OCP与△PDA地面积比为1：4，∴====．∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．∵AD=8，∴CP=4，BC=8．设OP=x，则OB=x，CO=8﹣x．在Rt△PCO中，∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x，∴x2=（8﹣x）2+42．解得：x=5．∴AB=AP=2OP=10．∴边AB地长为10．（2）如图1，∵P是CD边地中点，∴DP=D C．∵DC=AB，AB=AP，∴DP=AP．∵∠D=90°，∴sin∠DAP==．∴∠DAP=30°．∵∠DAB=90°，∠PAO=∠BAO，∠DAP=30°，∴∠OAB=30°．∴∠OAB地度数为30°．（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2．∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．∴∠APB=∠MQP．∴MP=MQ．∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴PE=EQ=PQ．∵BN=PM，MP=MQ，∴BN=QM．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF．在△MFQ和△NFB中，．∴△MFQ≌△NF B．∴QF=BF．∴QF=Q B．∴EF=EQ+QF=PQ+QB=P B．由（1）中地结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°．∴PB==4．∴EF=PB=2．∴在（1）地条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF地长度不变，长度为2．点评：本题是一道运动变化类地题目，考查了相似三角形地性质和判定、全等三角形地性质和判定、矩形地性质、等腰三角形地性质和判定、勾股定理、特殊角地三角函数值等知识，综合性比较强，而添加适当地辅助线是解决最后一个问题地关键．7．（•温州，第20题10分）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC地延长线于点F．（1）求∠F地度数；（2）若CD=2，求DF地长．考点：等边三角形地判定与性质；含30度角地直角三角形．分析：（1）根据平行线地性质可得∠EDC=∠B=60，根据三角形内角和定理即可求解；（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形地性质即可求解．解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等边三角形．∴ED=DC=2，∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=4．点评：本题考查了等边三角形地判定与性质，以及直角三角形地性质，30度地锐角所对地直角边等于斜边地一半．8.（年广东汕尾，第19题7分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE．（1）求∠ADE；（直接写出结果）（2）当AB=3，AC=5时，求△ABE地周长．分析：（1）根据题意可知MN是线段AC地垂直平分线，由此可得出结论；（2）先根据勾股定理求出BC地长，再根据线段垂直平分线地性质即可得出结论．解：（1）∵由题意可知MN是线段AC地垂直平分线，∴∠ADE=90°；（2）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，∴BC==4，∵MN是线段AC地垂直平分线，∴AE=CE，∴△ABE地周长=AB+（AE+BE）=AB+BC=3+4=7．点评：本题考查地是作图﹣基本作图，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点地距离相等是解答此题地关键．9.（•襄阳，第21题6分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=O C．（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立地情形）（2）请选择（1）中地一种情形，写出证明过程．考全等三角形地判定与性质；等腰三角形地判定点：专题：开放型．分析：（1）由①②；①③．两个条件可以判定△ABC是等腰三角形，（2）先求出∠ABC=∠ACB，即可证明△ABC是等腰三角形．解答：解：（1）①②；①③．（2）选①③证明如下，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵∠EBO=∠DCO，又∵∠ABC=∠EBO+∠OBC，∠ACB=∠DCO+∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等腰三角形．点评：本题主要考查了等腰三角形地判定，解题地关键是找出相等地角求∠ABC=∠AC B．10.（•滨州，第24题10分）如图，已知正方形ABCD，把边DC绕D点顺时针旋转30°到DC′处，连接AC′，BC′，CC′，写出图中所有地等腰三角形，并写出推理过程．考点：正方形地性质；等腰三角形地判定；旋转地性质分析：利用旋转地性质以及正方形地性质进而得出等腰三角形，再利用全等三角形地判定与性质判断得出．解答：解；图中地等腰三角形有：△DCC′，△DC′A，△C′AB，△C′BC，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=DC，∠BAD=∠ADC=90°，∴DC=DC′=DA，∴△DCC′，△DC′A为等腰三角形，∵∠C′DC=30°，∠ADC=90°，∴∠ADC′=60°，∴△AC′D为等边三角形，∵∠C′AB=90°﹣60°=30°，∴∠CDC′=∠C′AB，在△DCC′和△AC′B中，∴△DCC′≌△AC′B（SAS），∴CC′=C′B，∴△BCC′为等腰三角形．点评：此题主要考查了等腰三角形地判定以及全等三角形地判定与性质等知识，得出△AC′D为等边三角形是解题关键．11.（•菏泽，第16题6分）（1）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE地长．考点：等腰三角形地判定与性质；平行线地性质．分析：（1）求出∠CAD=∠BAD=∠EDA，推出AE=DE，求出∠ABD=∠EDB，推出BE=DE，求出AE=BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．解答：解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠BAD=∠ADE，∴AE=DE，∵AD⊥DB，∴∠ADB=90°，∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°，∴∠ABD=∠BDE，∴DE=BE，∵AB=5，∴DE=BE=AE==2.5．点评：本题考查了平行线地性质，等腰三角形地性质和判定，直角三角形斜边上中线性质地应用，关键是求出DE=BE=AE．。

中考数学真题《等腰三角形与直角三角形》专项测试卷(附答案)

中考数学真题《等腰三角形与直角三角形》专项测试卷(附答案)

中考数学真题《等腰三角形与直角三角形》专项测试卷(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________（共26道）一 、单选题1．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在ABC 中 90,30,2,B A BC D ︒︒∠=∠==为AB 的中点．若点E 在边AC 上 且AD DEAB BC=，则AE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．13D ．1或22．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 点E 为BA 延长线上一点 F 为CE 的中点 以B 为圆心 BF 长为半径的圆弧过AD 与CE 的交点G 连接BG ．若4AB = 10CE =，则AG =（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.53．（2023·北京·统考中考真题）如图，点A B C 在同一条线上 点B 在点A C 之间 点D E 在直线AC 同侧 AB BC < 90A C ∠=∠=︒ EAB BCD ≌△△ 连接DE 设AB a BC b = DE c = 给出下面三个结论：①a b c +< ①22a b a b ++ )2a b c +>上述结论中 所有正确结论的序号是（ ） A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①4．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图ABC 中 90,4,,ACB AB AC x BAC α︒∠===∠= O 为AB 中点 若点D 为直线BC 下方一点 且BCD △与ABC 相似，则下列结论：①若45α=︒ BC 与OD 相交于E ，则点E 不一定是ABD △的重心 ①若60α=︒，则AD 的最大值为7 ①若60,ABC CBD α=︒∽，则OD 的长为3 ①若ABC BCD △∽△，则当2x =时 AC CD +取得最大值．其中正确的为（ ）A ．①①B ．①①C ．①①①D ．①①①5．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中 ,45AD BC C ∠=︒∥ 以AB 为腰作等腰直角三角形BAE 顶点E 恰好落在CD 边上 若1AD =，则CE 的长是（ ）A 2B ．22C ．2D ．16．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 点E 是CD 上一点 延长CB 至点F 使BF DE = 连结,,AE AF EF EF 交AB 于点K 过点A 作AG EF ⊥ 垂足为点H 交CF 于点G 连结HD HC ，．下列四个结论：①AH HC = ①HD CD = ①FAB DHE ∠=∠ ①22AK HD HE ⋅=．其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二 填空题7．（2023·湖南·统考中考真题）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具 某同学用边长为4dm 的正方形纸板制作了一副七巧板（如图） 由5个等腰直角三角形 1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为__________3dm ．8．（2023·天津·统考中考真题）如图，在边长为3的正方形ABCD 的外侧 作等腰三角形ADE 52EA ED ==．（1）ADE 的面积为________（2）若F 为BE 的中点 连接AF 并延长 与CD 相交于点G ，则AG 的长为________．9．（2023·河南·统考中考真题）矩形ABCD 中 M 为对角线BD 的中点 点N 在边AD 上 且1AN AB ==．当以点D M N 为顶点的三角形是直角三角形时 AD 的长为______．10．（2023·湖北·统考中考真题）如图，,BAC DEB △△和AEF △都是等腰直角三角形90BAC DEB AEF ∠=∠=∠=︒ 点E 在ABC 内 BE AE > 连接DF 交AE 于点,G DE 交AB 于点H 连接CF ．给出下面四个结论：①DBA EBC ∠=∠ ①BHE EGF ∠∠= ①AB DF = ①AD CF =．其中所有正确结论的序号是_________．11．（2023·山东·统考中考真题）如图，ABC 是边长为6的等边三角形 点D E ，在边BC 上 若30DAE ∠=︒1tan 3EAC ∠=，则BD =_________．12．（2023·山东日照·统考中考真题）如图，矩形ABCD 中 68AB AD ==， 点P 在对角线BD 上 过点P 作MN BD ⊥ 交边AD BC ，于点M N 过点M 作ME AD ⊥交BD 于点E 连接EN BM DN ，，．下列结论：①EM EN = ①四边形MBND 的面积不变 ①当:1:2AM MD =时 9625MPE S =△ ①BM MN ND ++的最小值是20．其中所有正确结论的序号是__________．13．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，以ABC 的边AB AC 为腰分别向外作等腰直角ABE ACD 连结ED BD EC 过点A 的直线l 分别交线段DF BC 于点M N 以下说法：①当AB AC BC ==时30AED ∠=︒ ①EC BD = ①若3AB = 4AC = 6BC =，则23DE = ①当直线l BC ⊥时 点M 为线段DE 的中点．正确的有_________．(填序号)14．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中 点B 的坐标为()86-，过点B 分别作x 轴 y 轴的垂线 垂足分别为点C 点A 直线26y x =--与AB 交于点D ．与y 轴交于点E ．动点M 在线段BC 上 动点N 在直线26y x =--上 若AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，则点M 的坐标为________15．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，90,32BAC AB AC ∠=︒==过点C 作CD BC ⊥ 延长CB 到E 使13BE CD = 连接,AE ED ．若2ED AE =，则BE =________________．（结果保留根号）16．（2023·山西·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中 90BCD ∠=︒ 对角线,AC BD 相交于点O ．若5,6,2AB AC BC ADB CBD ===∠=∠，则AD 的长为__________．17．（2023·湖北十堰·统考中考真题）在某次数学探究活动中 小明将一张斜边为4的等腰直角三角形()90ABC A ∠=︒硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D E F 分别为AB AC BC 的中点 G H 分别为DE BF 的中点） 小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠 不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为____________ 最大值为___________________．三 解答题18．（2023·北京·统考中考真题）在ABC 中 ()045B C αα∠=∠=︒<<︒ AM BC ⊥于点M D 是线段MC 上的动点（不与点M C 重合） 将线段DM 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE ．(1)如图1 当点E 在线段AC 上时 求证：D 是MC 的中点(2)如图2 若在线段BM 上存在点F （不与点B M 重合）满足DF DC = 连接AE EF 直接写出AEF ∠的大小 并证明．19．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图① ABC 和ADE 是等边三角形 连接DC 点F G H 分别是,DE DC 和BC 的中点 连接,FG FH ．易证：3FH FG =．若ABC 和ADE 都是等腰直角三角形 且90BAC DAE ∠=∠=︒ 如图①：若ABC 和ADE 都是等腰三角形 且120BAC DAE ∠=∠=︒ 如图①：其他条件不变 判断FH 和FG 之间的数量关系 写出你的猜想 并利用图①或图①进行证明．20．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与实践数学模型可以用来解决一类问题 是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律 再结合其他数学知识的内在联系 最终可以获得宝贵的数学经验 并将其运用到更广阔的数学天地．(1)发现问题：如图1 在ABC 和AEF △中 AB AC = AE AF = 30BAC EAF ∠=∠=︒ 连接BE CF 延长BE 交CF 于点D ．则BE 与CF 的数量关系：______ BDC ∠=______︒(2)类比探究：如图2 在ABC 和AEF △中 AB AC = AE AF = 120BAC EAF ∠=∠=︒ 连接BE CF 延长BE FC 交于点D ．请猜想BE 与CF 的数量关系及BDC ∠的度数 并说明理由(3)拓展延伸：如图3 ABC 和AEF △均为等腰直角三角形 90BAC EAF ∠=∠=︒ 连接BE CF 且点B E F 在一条直线上 过点A 作AM BF ⊥ 垂足为点M ．则BF CF AM 之间的数量关系：______(4)实践应用：正方形ABCD 中 2AB = 若平面内存在点P 满足90BPD ∠=︒ 1PD =，则ABP S =△______．21．（2023·四川成都·统考中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式 某兴趣小组拟做以下探究． 在Rt ABC △中 90,C AC BC ∠=︒= D 是AB 边上一点 且1AD BD n=（n 为正整数） E 是AC 边上的动点 过点D 作DE 的垂线交直线BC 于点F ．【初步感知】(1)如图1 当1n =时 兴趣小组探究得出结论：2AE BF AB += 请写出证明过程． 【深入探究】(2)①如图2 当2n = 且点F 在线段BC 上时 试探究线段AE BF AB ，，之间的数量关系 请写出结论并证明①请通过类比 归纳 猜想 探究出线段AE BF AB ，，之间数量关系的一般结论（直接写出结论 不必证明） 【拓展运用】(3)如图3 连接EF 设EF 的中点为M ．若22AB = 求点E 从点A 运动到点C 的过程中 点M 运动的路径长（用含n 的代数式表示）．22．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图①．在矩形ABCD ．35AB AD ==， 点E 在边BC 上 且2BE =．动点P 从点E 出发 沿折线EB BA AD --以每秒1个单位长度的速度运动 作90PEQ ∠=︒ EQ 交边AD 或边DC 于点Q 连续PQ ．当点Q 与点C 重合时 点P 停止运动．设点P 的运动时间为t 秒．（0t >）(1)当点P 和点B 重合时 线段PQ 的长为__________ (2)当点Q 和点D 重合时 求tan PQE ∠(3)当点P 在边AD 上运动时 PQE 的形状始终是等腰直角三角形．如图①．请说明理由(4)作点E 关于直线PQ 的对称点F 连接PF QF 当四边形EPFQ 和矩形ABCD 重叠部分图形为轴对称四边形时 直接写出t 的取值范围．23．（2023·甘肃武威·统考中考真题）【模型建立】（1）如图1 ABC 和BDE 都是等边三角形 点C 关于AD 的对称点F 在BD 边上． ①求证：AE CD =①用等式写出线段AD BD DF 的数量关系 并说明理由． 【模型应用】（2）如图2 ABC 是直角三角形 AB AC = CD BD ⊥ 垂足为D 点C 关于AD 的对称点F 在BD 边上．用等式写出线段AD BD DF 的数量关系 并说明理由． 【模型迁移】（3）在（2）的条件下 若42AD = 3BD CD = 求cos AFB ∠的值．24．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在等边ABC 中 AD BC ⊥于点D E 为线段AD 上一动点（不与AD 重合） 连接BE CE 将CE 绕点C 顺时针旋转60︒得到线段CF 连接AF ．(1)如图1 求证：CBE CAF ∠=∠(2)如图2 连接BF 交AC 于点G 连接DG EF EF 与DG 所在直线交于点H 求证：EH FH = (3)如图3 连接BF 交AC 于点G 连接DG EG 将AEG 沿AG 所在直线翻折至ABC 所在平面内 得到APG 将DEG 沿DG 所在直线翻折至ABC 所在平面内 得到DQG 连接PQ QF ．若4AB = 直接写出PQ QF +的最小值．25．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图1 在ABC 中 AB AC = 点,M N 分别为边,AB BC 的中点 连接MN ．初步尝试：（1）MN 与AC 的数量关系是_________ MN 与AC 的位置关系是_________．特例研讨：（2）如图2 若90,42BAC BC ∠=︒= 先将BMN 绕点B 顺时针旋转α（α为锐角） 得到BEF △ 当点,,A E F 在同一直线上时 AE 与BC 相交于点D 连接CF ．（1）求BCF ∠的度数（2）求CD 的长．深入探究：（3）若90BAC ∠<︒ 将BMN 绕点B 顺时针旋转α 得到BEF △ 连接AE CF ．当旋转角α满足0360α︒<<︒ 点,,C E F 在同一直线上时 利用所提供的备用图探究BAE ∠与ABF ∠的数量关系 并说明理由．参考答案一 单选题1．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在ABC 中 90,30,2,B A BC D ︒︒∠=∠==为AB 的中点．若点E 在边AC 上 且AD DE AB BC=，则AE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．13D ．1或2【答案】D【分析】根据题意易得3,4==AB AC 然后根据题意可进行求解．【详解】解：①90,30,2B A BC ∠︒∠︒=== ①323,24AB BC AC BC ====①点D 为AB 的中点 ①132AD AB =①AD DE AB BC= ①1DE =①当点E 为AC 的中点时 如图，①122AE AC == ①当点E 为AC 的四等分点时 如图所示：①1AE =综上所述：1AE =或2故选D ．【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及三角形中位线 熟练掌握含30度直角三角形的性质及三角形中位线是解题的关键．2．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 点E 为BA 延长线上一点 F 为CE 的中点 以B 为圆心 BF 长为半径的圆弧过AD 与CE 的交点G 连接BG ．若4AB = 10CE =，则AG =（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5【答案】C 【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得5BG BF == 在Rt ABG △中 利用勾股定理即可求解.【详解】解：①矩形ABCD 中①90ABC BAC ∠=∠=︒①F 为CE 的中点 10CE = ①152BG BF CE === 在Rt ABG △中 2222543AG BG AB =--故选：C.【点睛】本题考查了矩形的性质 直角三角形斜边中线的性质 勾股定理 掌握“直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半”是解题的关键.3．（2023·北京·统考中考真题）如图，点A B C 在同一条线上 点B 在点A C 之间 点D E 在直线AC 同侧 AB BC < 90A C ∠=∠=︒ EAB BCD ≌△△ 连接DE 设AB a BC b = DE c = 给出下面三个结论：①a b c +< ①22a b a b ++ )2a b c +>上述结论中 所有正确结论的序号是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①① 【答案】D【分析】如图，过D 作DF AE ⊥于F ，则四边形ACDF 是矩形，则DF AC a b ==+ 由DF DE < 可得a b c +< 进而可判断①的正误 由EAB BCD ≌△△ 可得BE BD = CD AB a == AE BC b ==ABE CDB ∠=∠，则90EBD ∠=︒ BDE △是等腰直角三角形 由勾股定理得 2222BE AB AE a b ++ 由AB AE BE +> 可得22a b a b +>+ 进而可判断①的正误 由勾股定理得222DE BD BE =+ 即()2222c a b =+，则)2222c a b a b =++ 进而可判断①的正误．【详解】解：如图，过D 作DF AE ⊥于F ，则四边形ACDF 是矩形①DF AC a b ==+①DF DE <①a b c +< ①正确 故符合要求①EAB BCD ≌△△①BE BD = CD AB a == AE BC b == ABE CDB ∠=∠①90CBD CDB ∠+∠=︒①90∠+∠=︒CBD ABE 90EBD ∠=︒①BDE △是等腰直角三角形由勾股定理得 2222BE AB AE a b ++①AB AE BE +> ①22a b a b ++ ①正确 故符合要求由勾股定理得222DE BD BE =+ 即()2222c a b =+ ①)2222c a b a b ++ ①正确 故符合要求故选：D ．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质 全等三角形的性质 勾股定理 等腰三角形的判定 不等式的性质 三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．4．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图ABC 中 90,4,,ACB AB AC x BAC α︒∠===∠= O 为AB 中点 若点D 为直线BC 下方一点 且BCD △与ABC 相似，则下列结论：①若45α=︒ BC 与OD 相交于E ，则点E 不一定是ABD △的重心 ①若60α=︒，则AD 的最大值为7 ①若60,ABC CBD α=︒∽，则OD 的长为3 ①若ABC BCD △∽△，则当2x =时 AC CD +取得最大值．其中正确的为（ ）A ．①①B ．①①C ．①①①D ．①①①【答案】A 【分析】①有3种情况 分别画出图形 得出ABD △的重心 即可求解 当60α=︒ BD BC ⊥时 AD 取得最大值 进而根据已知数据 结合勾股定理 求得AD 的长 即可求解 ①如图5 若60α=︒ C ABC BD ∽△△ 根据相似三角形的性质求得3CD = 3GE DF == 32CF = 进而求得OD 即可求解 ①如图6 根据相似三角形的性质得出214CD BC =在Rt ABC △中 2216BC x =- 根据二次函数的性质 即可求AC CD +取得最大值时 2x =． 【详解】①有3种情况 如图1 BC 和OD 都是中线 点E 是重心如图2 四边形ABDC 是平行四边形 F 是AD 中点 点E 是重心如图3 点F 不是AD 中点 所以点E 不是重心①正确①当60α=︒ 如图4时AD 最大 4AB =∴2AC BE == 23BC AE == 36BD BC ==∴8DE = ∴1927AD =≠∴①错误①如图5 若60α=︒ C ABC BD ∽△△①60BCD ∠=︒ 90CDB ∠=︒ 4AB = 2AC = 3BC = 3OE = 1CE = ①3CD = 3GE DF ==32CF = ①52EF DG == 3OG ①723OD =≠①①错误①如图6 ABC BCD ∽△△ ①CD BC BC AB= 即214CD BC =在Rt ABC △中 2216BC x =- ①()221116444CD x x =-=-+ ①22114(2)544AC CD x x x +=-+=--+ 当2x =时 AC CD +最大为5①①正确．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形重心的定义 勾股定理 相似三角形的性质 二次函数的性质 分类讨论 画出图形是解题的关键．5．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中 ,45AD BC C ∠=︒∥ 以AB 为腰作等腰直角三角形BAE 顶点E 恰好落在CD 边上 若1AD =，则CE 的长是（ ）A 2B 2C ．2D ．1【答案】A 【分析】先根据等腰三角形的性质可得2BE = 45ABE AEB ∠=∠=︒ 90BAE ∠=︒ 再判断出点,,,A B E D 四点共圆 在以BE 为直径的圆上 连接BD 根据圆周角定理可得90BDE ∠=︒45ADB AEB ∠=∠=︒ 然后根据相似三角形的判定可得ABD EBC 根据相似三角形的性质即可得．【详解】解：BAE 是以AB 为腰的等腰直角三角形 2BE AB ∴ 45ABE AEB ∠=∠=︒ 90BAE ∠=︒,45AD BC C ∠=︒∥180135ADE C ∴∠=︒-∠=︒180ADE ABE ∴∠+∠=︒∴点,,,A B E D 四点共圆 在以BE 为直径的圆上如图，连接BD由圆周角定理得：90BDE ∠=︒ 45ADB AEB ∠=∠=︒45ADB C CBD ∴∠=∠=∠=︒45ABD DBE EBC DBE ∴∠+∠=︒=∠+∠ABD EBC ∠=∠∴在ABD △和EBC 中 ADB C ABD EBC ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩ABD EBC ∴2CE EB AD AB∴== 2212CE AD ∴==故选：A ．【点睛】本题考查了圆内接四边形 圆周角定理 相似三角形的判定与性质 等腰三角形的性质等知识点 正确判断出点,,,A B E D 四点共圆 在以BE 为直径的圆上是解题关键．6．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 点E 是CD 上一点 延长CB 至点F 使BF DE = 连结,,AE AF EF EF 交AB 于点K 过点A 作AG EF ⊥ 垂足为点H 交CF 于点G 连结HD HC ，．下列四个结论：①AH HC = ①HD CD = ①FAB DHE ∠=∠ ①22AK HD HE ⋅=．其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】根据正方形ABCD 的性质可由SAS 定理证ABF ADE △≌△ 即可判定AEF △是等腰直角三角形 进而可得12HE HF AH EF === 由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得12HC EF = 由此即可判断①正确 再根据ADH EAD DHE AEH ∠+∠=∠+∠ 可判断①正确 进而证明AFK HDE 可得AF AK HD HE = 结合22AF HE == 即可得出结论①正确 由AED ∠随着DE 长度变化而变化 不固定 可 判断①HD CD =不一定成立．【详解】解：①正方形ABCD①AB AD = 90ADC ABC BAD BCD ∠=∠=∠=∠=︒①90ABF ADC ∠=∠=︒①BF DE =①ABF ADE △≌△SAS （）①BAF DAE ∠=∠ AF AE =①90FAE BAF BAE DAE BAE BAD ∠∠∠∠∠∠=+=+==︒①AEF △是等腰直角三角形 45AEF AFE ∠=∠=︒①AH EF ⊥ ①12HE HF AH EF ===①90DCB ∠=︒ ①12CH HE EF == ①CH AH = 故①正确又①AD CD =,HD HD =,①(SSS)AHD CHD ≅, ①1452ADH CDH ADC ∠=∠=∠=︒ ①ADH EAD DHE AEH ∠+∠=∠+∠ 即：4545EAD DHE ︒+∠=∠+︒①EAD DHE ∠=∠①FAB DHE EAD ∠=∠=∠ 故①正确又①45AFE ADH ∠=∠=︒①AFK HDE ①AF AK HD HE= 又①22AF AH HE = ①22AK HD HE ⋅= 故①正确①若HD CD =，则1804567.52DHC DCH ︒-︒∠=∠==︒ 又①CH HE =①67.5HCE HEC ∠=∠=︒而点E 是CD 上一动点 AED ∠随着DE 长度变化而变化 不固定而18045135HEC AED AED ∠=︒-∠-︒=︒-∠则故67.5HEC ∠=︒不一定成立 故①错误综上 正确的有①①①共3个故选：C ．【点睛】本题考查三角形综合 涉及了正方形的性质 全等三角形 相似三角形的判定与性质 等腰三角形＂三线合一＂的性质 直角三角形的性质 熟练掌握正方形的性质 全等三角形的判定与性质 相似三角形的判定和性质 直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质是解题的关键．二 填空题7．（2023·湖南·统考中考真题）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具 某同学用边长为4dm 的正方形纸板制作了一副七巧板（如图） 由5个等腰直角三角形 1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为__________3dm ．【答案】2【分析】根据正方形的性质 以及七巧板的特点 求得OE 的长 即可求解．【详解】解：如图所示依题意 222OD AD == 122OE OD ==①图中阴影部分的面积为2222OE ==故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的性质 勾股定理 七巧板 熟练掌握以上知识是解题的关键．8．（2023·天津·统考中考真题）如图，在边长为3的正方形ABCD 的外侧 作等腰三角形ADE 52EA ED ==．（1）ADE 的面积为________（2）若F 为BE 的中点 连接AF 并延长 与CD 相交于点G ，则AG 的长为________．【答案】 3 13【分析】（1）过点E 作EH AD ⊥ 根据正方形和等腰三角形的性质 得到AH 的长 再利用勾股定理 求出EH 的长 即可得到ADE 的面积（2）延长EH 交AG 于点K 利用正方形和平行线的性质 证明()ASA ABF KEF ≌ 得到EK 的长 进而得到KH 的长 再证明AHK ADG △∽△ 得到KH AH GD AD= 进而求出GD 的长 最后利用勾股定理 即可求出AG 的长．【详解】解：（1）过点E 作EH AD ⊥正方形ABCD 的边长为33AD ∴= ADE 是等腰三角形 52EA ED ==EH AD ⊥ 1322AH DH AD ∴=== 在Rt AHE 中 222253222EH AE AH ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1132322ADE S AD EH ∴=⋅=⨯⨯=, 故答案为：3（2）延长EH 交AG 于点K正方形ABCD 的边长为390BAD ADC ∴∠=∠=︒ 3AB =AB AD ∴⊥ CD AD ⊥EK AD ⊥AB EK CD ∴∥∥ABF KEF ∴∠=∠F 为BE 的中点BF EF ∴=在ABF △和KEF 中ABF KEF BF EFAFB KFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA ABF KEF ∴≌3EK AB ∴==由（1）可知 12AH AD =2EH = 1KH ∴=KH CD ∥ AHK ADG ∴△∽△KH AH GD AD∴= 2GD在Rt ADG 中 22223213AG AD GD =++ 13【点睛】本题考查了正方形的性质 等腰三角形的性质 全等三角形的判定和性质 相似三角形的判定和性质 勾股定理等知识 作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．9．（2023·河南·统考中考真题）矩形ABCD 中 M 为对角线BD 的中点 点N 在边AD 上 且1AN AB ==．当以点D M N 为顶点的三角形是直角三角形时 AD 的长为______．【答案】221【分析】分两种情况：当90MND ∠=︒时和当90NMD ∠=︒时 分别进行讨论求解即可．【详解】解：当90MND ∠=︒时①四边形ABCD 矩形①90A ∠=︒，则∥MN AB 由平行线分线段成比例可得：ANBMND MD =又①M 为对角线BD 的中点①BM MD = ①1ANBMND MD ==即：1ND AN ==①2AD AN ND =+=当90NMD ∠=︒时①M 为对角线BD 的中点 90NMD ∠=︒①MN 为BD 的垂直平分线①BN ND =①四边形ABCD 矩形 1AN AB ==①90A ∠=︒，则222BN AB AN =+= ①2BN ND ==①21AD AN ND =+综上 AD 的长为221故答案为：221．【点睛】本题考查矩形的性质 平行线分线段成比例 垂直平分线的判定及性质等 画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．10．（2023·湖北·统考中考真题）如图，,BAC DEB △△和AEF △都是等腰直角三角形90BAC DEB AEF ∠=∠=∠=︒ 点E 在ABC 内 BE AE > 连接DF 交AE 于点,G DE 交AB 于点H 连接CF ．给出下面四个结论：①DBA EBC ∠=∠ ①BHE EGF ∠∠= ①AB DF = ①AD CF =．其中所有正确结论的序号是_________．【答案】①①①【分析】由题意易得,45AB AC ABC DBE =∠=︒=∠ AE EF = DE BE = 90DEB AEF BAC ∠=∠=∠=︒，则可证()SAS AEB FED ≌ 然后根据全等三角形的性质及平行四边形的性质与判定可进行求解．【详解】解：①,BAC DEB △△和AEF △都是等腰直角三角形①,45AB AC ABC DBE =∠=︒=∠ AE EF = DE BE = 90DEB AEF BAC ∠=∠=∠=︒①,DBA DBE ABE EBC ABC ABE ∠=∠-∠∠=∠-∠ ,AEB AED DEB FED AEF AED ∠=∠+∠∠=∠+∠ ①,DBA EBC AEB FED ∠=∠∠=∠ 故①正确①()SAS AEB FED ≌①,AB DF AC ABE FDE ==∠=∠ BAE DFE ∠=∠ 故①正确①90,90ABE BHE EFD EGF ∠+∠=︒∠+∠=︒ 90BAE EAC ∠+∠=︒ BE AE >①BHE EGF ∠≠∠ EGF EAC ∠=∠ 故①错误①DF AC ∥①DF AC =①四边形ADFC 是平行四边形①AD CF = 故①正确故答案为①①①．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定 等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定 熟练掌握全等三角形的性质与判定 等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定是解题的关键． 11．（2023·山东·统考中考真题）如图，ABC 是边长为6的等边三角形 点D E ，在边BC 上 若30DAE ∠=︒1tan 3EAC ∠=，则BD =_________．【答案】33【分析】过点A 作AH BC ⊥于H 根据等边三角形的性质可得60BAC ∠=︒ 再由AH BC ⊥ 可得=30BAD DAH ∠+∠︒ 再根据=30BAD EAC ∠+∠︒ 可得DAH EAC ∠=∠ 从而可得1tan =tan =3DAH EAC ∠∠ 利用锐角三角函数求得sin 6033AH AB =⋅︒= 再由1==333DH AH 求得3DH = 即可求得结果．【详解】解：过点A 作AH BC ⊥于H①ABC 是等边三角形①6AB AC BC === 60BAC ∠=︒①AH BC ⊥ ①1302BAH BAC ∠=∠=︒ ①=30BAD DAH ∠+∠︒①30DAE ∠=︒①=30BAD EAC ∠+∠︒①DAH EAC ∠=∠ ①1tan =tan =3DAH EAC ∠∠ ①132BH AB == ① 3=sin 60=6=3AH AB ⋅︒①1==333DH AH ①3DH = ①==33BD BH DH - 故答案为：33【点睛】本题考查等边三角形的性质 锐角三角函数 熟练掌握等边三角形的性质证明DAH EAC ∠=∠是解题的关键．12．（2023·山东日照·统考中考真题）如图，矩形ABCD 中 68AB AD ==， 点P 在对角线BD 上 过点P 作MN BD ⊥ 交边AD BC ，于点M N 过点M 作ME AD ⊥交BD 于点E 连接EN BM DN ，，．下列结论：①EM EN = ①四边形MBND 的面积不变 ①当:1:2AM MD =时 9625MPE S =△ ①BM MN ND ++的最小值是20．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①①①【分析】根据等腰三角形的三线合一可知MP PN = 可以判断① 利用相似和勾股定理可以得出10BD =152MN = 利用MBND 12S MN BD =⨯四边形判断① 根据相似可以得到2MPE DAB S ME S BD ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 判断① 利用将军饮马问题求出最小值判断①．【详解】解：①EM EN = MN BD ⊥①MP PN =在点P移动过程中不一定MP PN =相矛盾延长ME 交BC 于点P ,则ABPM 为矩形 ①22226810BD AB AD +=+①ME AD ⊥ MN BD ⊥①90MED MDE MEP EMN ∠+∠=∠+∠=︒，①MDE EMN ∠=∠①MPN DAB ∽ ①MP PN MN AD AB BD == 即68610PN MN == 解得：91522PN MN ==， ①1111157510222222BMN DMN MBND S SS MN BP MN DP MN BD =+=⨯+⨯=⨯=⨯⨯=四边形 故①正确①ME AB ①DME DAB ∽①23ME MD AB AD == ①4ME =①MDE EMN ∠=∠ 90MPE A ∠=∠=︒ ①MPE DAB ∽①2425MPE DAB S ME SBD ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ①44196682525225MPE DAB S S ==⨯⨯⨯=152BM MN ND BM ND ++=++ 即当MB ND +最小时，BM MN ND ++的最小值 作B D 关于AD BC 、的对称点11B D 、, 把图1中的1CD 向上平移到图2位置 使得9CD 2=连接11B D 即11B D 为MB ND +的最小值，则172AC BD == 112BB =, 这时222211117251222B D BD BB ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭即BM MN ND ++的最小值是20故①正确故答案为：①①①【点睛】本题考查矩形的性质 相似三角形的判定和性质 轴对称 掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．13．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，以ABC 的边AB AC 为腰分别向外作等腰直角ABE ACD 连结ED BD EC 过点A 的直线l 分别交线段DF BC 于点M N 以下说法：①当AB AC BC ==时 30AED ∠=︒ ①EC BD = ①若3AB = 4AC = 6BC =，则23DE = ①当直线l BC ⊥时 点M 为线段DE 的中点．正确的有_________．(填序号)【答案】①①①【分析】①当AB AC BC ==时 ABC 是等边三角形 根据等角对等边 以及三角形的内角和定理即可得出()1180120302AED ADE ∠=∠=︒-︒=︒ 进而判断① 证明BAD EAC ≌ 根据全等三角形的性质判断① 作直线MN BC ⊥于点N 过点D 作DG MN ⊥于点G 过点E 作EH MN ⊥于点H 证明ACN DAG ≌ ABN EAH ≌ (AAS)EHM DGM ≌ 即可得M 是ED 的中点 故①正确 证明()Rt Rt HL MEH MDG ≌ 可得MG MH = 在Rt ABN △中 222AN AB BN =- 在Rt ANC △中 222AN AC CN =- 得出 2912a = 在Rt MGD 中 勾股定理即可求解． 【详解】解：①当AB AC BC ==时 ABC 是等边三角形①60BAC ∠=︒①360909060120EAD ∠=︒-︒-︒-︒=︒①等腰直角ABE ACD①,BA BE BA AD ==①AE AD = ①()1180120302AED ADE ∠=∠=︒-︒=︒ 故①正确 ①①等腰直角ABE ACD①,AB AE AD AC == 90BAE DAC ∠=∠=︒①BAD EAC ∠=∠①BAD EAC ≌①EC BD = 故①正确①如图所示 作直线MN BC ⊥于点N 过点D 作DG MN ⊥于点G 过点E 作EH MN ⊥于点H①90BAE ∠=︒ MN BC ⊥①90ABN BAN ∠+∠=︒又90EAM BAN ∠+∠=︒①EAM ABN ∠=∠又①EA AB =①EAH ABN ≌()AAS同理得 ACN DAG ≌①GD AN = AG CN = ,EH AN AH BN == ①EMH DMG ∠=∠ 90EHM DGM ∠=∠=︒ ①(AAS)EHM DGM ≌①EM DM = 即M 是ED 的中点 故①正确 ①MG MH =设BN a =，则6CN BC BN a =-=-在Rt ABN △中 222AN AB BN =-在Rt ANC △中 222AN AC CN =-①2222AB BN AC CN -=-①()2222346a a -=-- 解得：2912a = ①294361212AG CN ==-= ①222229455312AN AB BN ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ ①2976262126GH AG AH AN BN a =-=-=-=-⨯=①1772612MG =⨯= 在Rt MGD 中 222274551412122MD GD MG ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①214ED MD ==故①错误故答案为：①①①．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质 勾股定理 全等三角形的性质与判定 等腰三角形的性质 等边三角形的性质与判定 熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 14．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中 点B 的坐标为()86-，过点B 分别作x 轴 y 轴的垂线 垂足分别为点C 点A 直线26y x =--与AB 交于点D ．与y 轴交于点E ．动点M 在线段BC 上 动点N 在直线26y x =--上 若AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，则点M 的坐标为________【答案】()8,6M -或28,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】如图，由AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形 可得N 在以AM 为直径的圆H 上 MN AN = 可得N 是圆H 与直线26y x =--的交点 当,M B 重合时 符合题意 可得()8,6M - 当N 在AM 的上方时 如图，过N 作NJ y ⊥轴于J 延长MB 交BJ 于K ，则90NJA MKN ∠=∠=︒ 8JK AB == 证明MNK NAJ ≌ 设(),26N x x -- 可得MK NJ x ==- 266212KN AJ x x ==---=-- 而8KJ AB ==，则2128x x ---= 再解方程可得答案．【详解】解：如图，①AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形①N 在以AM 为直径的圆H 上 MN AN =①N 是圆H 与直线26y x =--的交点当,M B 重合时①()8,6B -，则()4,3H -①4MH AH NH === 符合题意①()8,6M -当N 在AM 的上方时 如图，过N 作NJ y ⊥轴于J 延长MB 交BJ 于K ，则90NJA MKN ∠=∠=︒ 8JK AB ==①90NAJ ANJ ∠+∠=︒①AN MN = 90ANM ∠=︒①90MNK ANJ ∠+∠=︒①MNK NAJ ∠=∠①MNK NAJ ≌ 设(),26N x x --①MK NJ x ==- 266212KN AJ x x ==---=--而8KJ AB ==①2128x x ---= 解得：203x =-，则22263x --= ①22202333CM CK MK =-=-= ①28,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 综上：()8,6M -或28,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故答案为：()8,6M -或28,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查的是坐标与图形 一次函数的性质 等腰直角三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 圆周角定理的应用 本题属于填空题里面的压轴题 难度较大 清晰的分类讨论是解本题的关键．15．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，90,32BAC AB AC ∠=︒==过点C 作CD BC ⊥ 延长CB 到E使13BE CD = 连接,AE ED ．若2ED AE =，则BE =________________．（结果保留根号） 71/17【分析】如图，过E 作EQ CQ ⊥于Q 设,==BE x AE y 可得3,2CD x DE y == 证明26BC AB ==6CE x =+ CQE △为等腰直角三角形 )222632QE CQ x x ===+= 2AQ 由勾股定理可得：()()()222222263223222y x x y x x ⎧=++⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩再解方程组可得答案． 【详解】解：如图，过E 作EQ CQ ⊥于Q设,==BE x AE y ①13BE CD = 2ED AE = ①3,2CD x DE y == ①90,32BAC AB AC ∠=︒== ①26BC == 6CE x =+ CQE △为等腰直角三角形 ①)222632222QE CQ x x ===+= ①2AQ = 由勾股定理可得：()()()2222222632232y x x y x x ⎧=++⎪⎪⎨⎫⎛⎫=+⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩整理得：2260x x --= 解得：17x = 经检验17x = ①17BE x == 故答案为：17【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质 勾股定理的应用 一元二次方程的解法 作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．16．（2023·山西·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中 90BCD ∠=︒ 对角线,AC BD 相交于点O ．若5,6,2AB AC BC ADB CBD ===∠=∠，则AD 的长为__________．971973【分析】过点A 作AH BC ⊥于点H 延长AD BC 交于点E 根据等腰三角形性质得出132===BH HC BC 根据勾股定理求出224AH AC CH =-= 证明CBD CED ∠=∠ 得出DB DE = 根据等腰三角形性质得出6CE BC == 证明CD AH ∥ 得出CD CE AH HE = 求出83CD = 根据勾股定理求出2222829763DE CE CD ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ 根据CD AH ∥ 得出DE CE AD CH = 即297633AD = 求出结果即可．【详解】解：过点A 作AH BC ⊥于点H 延长AD BC 交于点E 如图所示：则90AHC AHB ∠=∠=︒①5,6AB AC BC ===①132===BH HC BC ①224AH AC CH -=①ADB CBD CED ∠=∠+∠ 2ADB CBD ∠=∠①CBD CED ∠=∠①DB DE =①90BCD ∠=︒①DC BE ⊥①6CE BC ==①9EH CE CH =+=①DC BE ⊥ AH BC ⊥①CD AH ∥①~ECD EHA ①CD CE AH HE = 即649CD = 解得：83CD = ①2222829763DE CE CD ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭①CD AH ∥ ①DE CE AD CH= 即297633AD = 解得：97AD =． 97． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质 等腰三角形的判定和性质 勾股定理 平行线分线段成比例 相似三角形的判定与性质 平行线的判定 解题的关键是作出辅助线 熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质．17．（2023·湖北十堰·统考中考真题）在某次数学探究活动中 小明将一张斜边为4的等腰直角三角形()90ABC A ∠=︒硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D E F 分别为AB AC BC 的中点 G H 分别为DE BF 的中点） 小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠 不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为____________ 最大值为___________________．【答案】 8 822+【分析】根据题意 可固定四边形GFCE 平移或旋转其它图形 组合成四边形 求出周长 判断最小值 最大值．【详解】如图1 4BC = 24222AC 122CI BD CE AC4DI BC①四边形BCID 周长=4422=8+22如图2 2AF AI IC FC①四边形AFCI 周长为248⨯=故答案为：最小值为8 最大值822+【点睛】本题考查图形变换及勾股定理 通过平移 旋转组成满足要求的四边形是解题的关键．三 解答题18．（2023·北京·统考中考真题）在ABC 中 ()045B C αα∠=∠=︒<<︒ AM BC ⊥于点M D 是线段MC 上的动点（不与点M C 重合） 将线段DM 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE ．(1)如图1 当点E 在线段AC 上时 求证：D 是MC 的中点(2)如图2 若在线段BM 上存在点F （不与点B M 重合）满足DF DC = 连接AE EF 直接写出AEF ∠的大小 并证明．【答案】(1)见解析(2)90AEF ∠=︒ 证明见解析【分析】（1）由旋转的性质得DM DE = 2MDE α∠= 利用三角形外角的性质求出C DEC α∠=∠= 可得DE DC = 等量代换得到DM DC =即可（2）延长FE 到H 使FE EH = 连接CH AH 可得DE 是FCH 的中位线 然后求出B ACH ∠∠= 设DM DE m == CD n = 求出2BF m CH == 证明()SAS ABF ACH ≅ 得到AF AH = 再根据等腰三角形三线合一证明AE FH ⊥即可．【详解】（1）证明：由旋转的性质得：DM DE = 2MDE α∠=①C α∠=①D DEC M E C α∠-∠∠==①C DEC ∠=∠①DE DC =①DM DC = 即D 是MC 的中点（2）90AEF ∠=︒证明：如图2 延长FE 到H 使FE EH = 连接CH AH①DF DC =。

中考数学复习《等腰三角形》测试题(含答案)

中考数学复习《等腰三角形》测试题(含答案)

中考数学复习《等腰三角形》测试题（含答案）一、选择题(每题6分，共30分)1．[2016·中考预测]等腰三角形的一个内角是80°，则它的顶角的度数是(B) A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°2．[2015·内江]如图23－1，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E.若∠E＝35°，则∠BAC的度数为(A) A．40°B．45°C．60°D．70°【解析】∵AE∥BD，∴∠CBD＝∠E＝35°，图23－1∴∠CBA＝70°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠CBA＝70°，∴∠BAC＝180°－70°×2＝40°.3．[2015·黄石]如图23－2，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD＝(B)A．36°B．54°图23－2 C．18°D．64°【解析】∵AB＝AC，∠ABC＝72°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∴∠A＝36°，∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°－36°＝54°.4．如图23－3，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为(D)A．6 B．7C．8 D．9【解析】∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB.∵MN∥BC，∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，∴BM＝ME，EN＝CN.∵MN＝ME＋EN，∴MN＝BM＋CN.∵BM＋CN＝9，∴MN＝9，故选D.5．[2015·遂宁]如图23－4，在△ABC中，AC＝4 cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7 cm，则BC的长为(C)A．1 cm B．2 cmC．3 cm D．4 cm【解析】∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AN＝BN，∵△BCN的周长是7 cm，∴BN＋NC＋BC＝7(cm)，图23－3图23－4∴AN ＋NC ＋BC ＝7(cm)，∵AN ＋NC ＝AC ，∴AC ＋BC ＝7(cm)， 又∵AC ＝4 cm ，∴BC ＝7－4＝3(cm)． 二、填空题(每题6分，共30分)6．[2014·丽水]如图23－5，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D .若AB ＝6，CD ＝4，则△ABC 的周长是__20__.7．[2015·绍兴]由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图23－6①，衣架杆OA ＝OB ＝18 cm ，若衣架收拢时，∠AOB ＝60°，如图23－6②，则此时A ，B 两点之间的距离是__18__cm.图23－6【解析】 ∵OA ＝OB ，∠AOB ＝60°， ∴△AOB 是等边三角形， ∴AB ＝OA ＝OB ＝18 cm.8．[2015·乐山]如图23－7，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB ，已知∠ADE ＝40°，则∠DBC ＝__15__°. 【解析】 ∵DE 垂直平分AB ， ∴AD ＝BD ，∠AED ＝90°，∴∠A ＝∠ABD ， ∵∠ADE ＝40°，图23－5图23－7∴∠A＝90°－40°＝50°，∴∠ABD＝∠A＝50°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C ＝12(180°－∠A)＝65°，∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝65°－50°＝15°.9．[2014·益阳]如图23－8，将等边△ABC绕顶点A沿顺时针方向旋转，使边AB 与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是__60°__.图23－8 图23－910．如图23－9，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC的中点．将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为__33__.三、解答题(共8分)11．(8分)[2014·衡阳]如图23－10在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：△BED≌△CFD.图23－10证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC.又∵BD＝CD，∴△BED≌△CFD(AAS)．12．(8分)如图23－11，点D，E在△ABC的边BC上，连结AD，AE.①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作图23－11为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.(1)以上三个命题是真命题的为(直接作答)__①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①__；(2)请选择一个真命题进行证明．(先写出所选命题，然后证明)解：(2)选择①③⇒②，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE，∴AD＝AE.13．(12分)[2015·南充]如图23－12，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AE＝CE.求证：(1)△AEF≌△CEB；(2)AF＝2CD.图23－12证明：(1)∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BCE＋∠CFD＝90°，∠BCE＋∠B＝90°，∴∠CFD＝∠B，∵∠CFD＝∠AFE，∴∠AFE＝∠B，在△AEF 与△CEB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠B ，∠AEF ＝∠CEB ，AE ＝CE ，∴△AEF ≌△CEB (AAS )； (2)∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴BC ＝2CD ， ∵△AEF ≌△CEB ， ∴AF ＝BC ， ∴AF ＝2CD .14．(12分)[2015·铜仁]已知，如图23－13，点D 在等边三角形ABC 的边AB 上，点F 在边AC 上，连结DF 并延长交BC 的延长线于点E ，EF ＝FD . 求证：AD ＝CE .图23－13证明：如答图所示，作DG ∥BC 交AC 于G ，则∠DGF ＝∠ECF ，在△DFG 和△EFC 中，第14题答图⎩⎪⎨⎪⎧∠DGF ＝∠ECF ，∠DFG ＝∠EFC ，FD ＝EF ，∴△DFG ≌△EFC (AAS )， ∴GD ＝CE ，∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠B ＝∠ACB ＝60°， ∵DG ∥BC ，∴∠ADG ＝∠B ，∠AGD ＝∠ACB ， ∴∠A ＝∠ADG ＝∠AGD ， ∴△ADG 是等边三角形， ∴AD ＝GD ， ∴AD ＝CE .。

中考数学复习专项之等腰三角形(含答案)

中考数学复习专项之等腰三角形(含答案)

等腰三角形一、选择题1、（2022年聊城莘县模拟）如图，等边三角形的边长为3，点为边上一点，且，点为边上一点，若，则的长为( ).A ．B ．C ．D ．1答案：B2、(2022年惠州市惠城区模拟)等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ） A.16 B.18 C. 20 D. 16或20 答案：C3、(2022浙江永嘉一模)10．如图，在△ABC 中，AB =BC ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转α度，得到△A 1BC 1，A 1B 交AC 于点E ，A 1C 1分别交AC ，BC 于点D ，F ，下列结论： ①∠CDF =α；②A 1E =CF ；③DF =FC ；④BE =BF ． 其中正确的有（ ▲ ）A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③【答案】C4、（2022重庆一中一模）11．如图，在等腰ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，6=AC ,D 是AC 上一点．若51tan =∠DBA ，那么AD 的长为 A ． 2 B ．3 C ．2 D ． 1 【答案】A5. （2022江西饶鹰中考模拟）如图,将矩形ABCD 对折，得折痕PQ ，再沿MN 翻折，使点C 恰好落在折痕PQ 上的点C ′处，点D 落在D ′处，其中M 是BC 的中点.连接AC ′，BC ′，则图中共有等腰三角形的个数是( ) A .1 B.2（第1 题图）FED C 1C BAA 1第2题图A BD′ P CD M NE C′Q F第6题CA PBDC.3D.4 答案：C6、（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，P 为其底角平分线的交点，将△BCP 沿CP 折叠，使B 点恰好落在AC 边上的点D 处，若DA=DP ，则∠A 的度数为( ).A.20°B.30°C.32°D.36°D7、 (2022年江苏无锡崇安一模）如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE ＝120°，∠B ＝∠E ＝90°，AB ＝BC ＝1，AE ＝DE ＝2，在BC 、DE 上分别找一点M 、N ， 使△AMN 的周长最小，则△AMN 的最小周长为…（ ▲ ） A ．2 6 B ．27 C ．4 2D ．5答案：B二、填空题1、（2022年安徽模拟二）如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为 ．第1题图答案：42．（2022年安徽初中毕业考试模拟卷一）如图，ABC ∆为等边三角形，AQ =PQ ，PR =PS ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，则四个结论正确的是 ．（把所有正确答案的序号都填写在横线上） ①AP 平分∠BAC ；②AS =AR ；③QP ∥AR ；④BRP ∆≌△QSP ．3、(2022年安徽省模拟六)如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别在AB 、BC 边上，且AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G .下列结论：①AE =CD ；②∠AFC =1200；③⊿ADF 是正三角形；④12FG AF =.其中正确的结论是 （填所有正确答案的序号）． 答案：①②④4、(2022年福州市初中毕业班质量检查)如图，边长为6的等边三角形ABC 中，E 是对称轴AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转60°得到FC ，连接DF ．则在点E 运动过程中，DF 的最小值是____ . 1.57．(2022年江苏无锡崇安一模）在直角△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，若CD ＝4，则点D 到斜边AB 的距离为 ▲ .第1题第3题图 ABCDEF第4题图答案：47.（2022浙江东阳吴宇模拟题）如图，C 、D 、B 的坐标分别为（1, 0）（9, 0）（10, 0），点P （t ，0）是CD 上一个动点，在x 轴上方作等边△OPE 和△BPF ，连EF ，G 为EF 的中点。

等腰三角形试题含解析-中考数学真题分类汇编第一辑

等腰三角形试题含解析-中考数学真题分类汇编第一辑

等腰三角形一、选择题1．（2018?山东枣庄?3 分）如图是由8 个全等的矩形组成的大正方形，线段AB 的端点都在小矩形的顶点上，如果点P 是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ ABP为等腰直角三角形的点P 的个数是（）A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个【分析】根据等腰直角三角形的判定即可得到结论．【解答】解：如图所示，使△ABP为等腰直角三角形的点P 的个数是3，故选：B．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确的找出符合条件的点P 是解题的关键．2 （2018?山东枣庄?3 分）如图，在Rt △ABC中，∠ ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：过点 F 作FG⊥AB于点G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=9°0，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF 平分∠ CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF 平分∠ CAB，∠ ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△ BAC，∴= ，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴= ，∵FC=FG，∴= ，解得：FC= ，即CE的长为．故选：A．【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．3.（2018?山东淄博?4 分）如图，P 为等边三角形ABC内的一点，且P 到三个顶点A，B，C 的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（）2A ．B ．C ．D ．【考点】 R2：旋转的性质； KK ：等边三角形的性质； KS ：勾股定理的逆定理．【分析】 将△ BPC 绕点 B 逆时针旋转 60°得△ BEA ，根据旋转的性质得 BE=BP=4， AE=PC=5， ∠PBE=60°，则△ BPE 为等边三角形，得到 PE=PB=4，∠ BPE=60°，在△ AEP 中， AE=5，延长 BP ，作 AF ⊥ BP 于点 FAP=3， PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE 为直角三角形，且∠ APE=90°，即可得到∠ APB 的度数，在直角△ APF 中利用三角函数求得 AF 和 PF 的长，则在直角△ ABF 中利用勾股定理求得 AB 的长，进而求得三角形 ABC 的面积．【解答】 解：∵△ ABC 为等边三角形， ∴BA=BC ，可将△ BPC 绕点 B 逆时针旋转 60°得△ BEA ，连 EP ，且延长 BP ，作 AF ⊥ BP 于点 F ．如图，∴BE=BP=4， AE=PC=5，∠ PBE=60°， ∴△ BPE 为等边三角形， ∴PE=PB=4，∠ BPE=60°，在△ AEP 中， AE=5，AP=3， PE=4，2 2 2∴AE =PE+PA ，∴△ APE 为直角三角形，且∠ APE=90°， ∴∠ APB=90° +60°=150°． ∴∠ APF=30°，∴在直角△ APF 中， AF= AP= ， PF=AP=．22222∴在直角△ ABF 中， AB =BF +AF =（ 4+） +（ ） =25+12 ．则△ ABC 的面积是 ?AB = ?（ 25+12 ）=． 故选： A ．22【点评】 本题考查了等边三角形的判定与性质、 勾股定理的逆定理以及旋转的性质： 旋转前后的两个图形全等， 对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角， 对应点到旋转中心的距离相等．4.（2018?江苏扬州? 3 分）如图，点 A 在线段 BD 上，在 BD 的同侧做等腰 Rt △ ABC 和等腰 Rt △ ADE ， CD 与 B E 、AE 分别交于点 P ， M ．对于下列结论： ①△ BAE ∽△ CAD ；② MP?MD=MA?；M ③E 2CB=CP?C ．M 其中正确的是（）A ．①②③B ．①C ．①②D ．②③【分析】（ 1）由等腰 Rt △ ABC 和等腰 Rt △ ADE 三边份数关系可证；（2） 通过等积式倒推可知，证明△PAM ∽△ EMD 即可；（3）2CB 转化为 AC2，证明△ ACP ∽△ MCA ，问题可证．【解答】 解：由已知： AC=AB ， AD=AE∴∵∠ BAC=∠EAD ∴∠ BAE=∠CAD ∴△ BAE ∽△ CAD 所以①正确 ∵△ BAE ∽△ CAD ∴∠ BEA=∠CDA ∵∠ PME=∠AMD ∴△ PME ∽△ AMD∴∴MP?MD=MA?ME 所以②正确 ∵∠ BEA=∠CDA ∠PME=∠ AMD∴P 、E 、D 、 A 四点共圆 ∴∠ APD=∠EAD=90°22 ∵∠ CAE=18°0 ﹣∠ BAC ﹣∠ EAD=90°∴△ CAP ∽△ CMA ∴AC=CP?CM ∵AC=AB∴2CB=CP?CM 所以③正确故选： A ．【点评】 本题考查了相似三角形的性质和判断． 在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．5．（ 2018 ·湖南省常德 ·3 分） 如图， 已知 BD 是△ ABC 的角平分线， ED 是 BC 的垂直平分线， ∠BAC=90°， AD=3，则 CE 的长为（）A ． 6B ． 5C ． 4D ． 3【分析】 根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC ，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠ C=∠DBC=∠ABD=30°，根据直角三角形的性质解答． 【解答】 解：∵ ED 是 BC 的垂直平分线， ∴DB=DC ， ∴∠ C=∠ DBC ，∵BD 是△ ABC 的角平分线， ∴∠ ABD=∠DBC ，∴∠ C=∠ DBC=∠ABD=30°， ∴BD=2AD=6， ∴CE=CD × cos ∠ C=3 ，故选： D ．【点评】 本题考查的是线段垂直平分线的性质、 直角三角形的性质， 掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．6.（ 2018·台湾·分）如图，锐角三角形ABC 中， BC ＞ AB ＞ AC ，甲、乙两人想找一点P ，使得∠ BPC 与∠ A 互补，其作法分别如下：（甲）以 A 为圆心， AC 长为半径画弧交 AB 于 P 点，则 P 即为所求；（乙）作过 B 点且与 AB 垂直的直线 l ，作过 C 点且与 AC 垂直的直线，交 l 于 P 点，则 P 即为所求对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？（）A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确【分析】甲：根据作图可得AC=AP，利用等边对等角得：∠APC=∠ACP，由平角的定义可知：∠BPC+∠APC=18°0，根据等量代换可作判断；乙：根据四边形的内角和可得：∠BPC+∠A=180°．【解答】解：甲：如图1，∵AC=AP，∴∠APC=∠ACP，∵∠BPC+∠APC=18°0∴∠BPC+∠ACP=18°0，∴甲错误；乙：如图2，∵ AB⊥ PB，AC⊥ PC，∴∠ABP=∠ACP=90°，∴∠BPC+∠A=180°，∴乙正确，故选：D．【点评】本题考查了垂线的定义、四边形的内角和定理、等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．7．（2018?湖北荆门?3 分）如图，等腰Rt △ABC中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P 从点 A 运动到点 C 时，点M 所经过的路线长为（）A．B．C．1 D．2【分析】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB 于F，如图，利用等腰直角三角形的性质得AC=BC= ，∠A=∠B=45°，OC⊥AB，OC=OA=OB=，1∠OCB=4°5 ，再证明Rt△AOP ≌△COQ得到AP=CQ，接着利用△APE和△BFQ都为等腰直角三角形得到PE= AP= CQ，QF= BQ，所以PE+QF= BC=1，然后证明MH为梯形PEFQ的中位线得到MH= ，即可判定点M到AB 的距离为，从而得到点M的运动路线为△ABC的中位线，最后利用三角形中位线性质得到点M所经过的路线长．【解答】解：连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，∵△ ACB为到等腰直角三角形，∴AC=BC= AB= ，∠A=∠B=45°，∵O为AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ ACB，OC=OA=OB=，1∴∠OCB=4°5 ，∵∠POQ=9°0 ，∠COA=9°0 ，∴∠AOP=∠COQ，在Rt △ AOP和△ COQ中，∴Rt △AOP≌△COQ，∴AP=CQ，易得△ APE和△ BFQ都为等腰直角三角形，∴PE= AP= C Q，QF= BQ，∴PE+QF= （CQ+BQ）= BC= ×=1，∵M点为PQ的中点，∴MH为梯形PEFQ的中位线，∴MH= （PE+QF）= ，即点M到AB的距离为，而CO=1，∴点M的运动路线为△ABC的中位线，∴当点P 从点A 运动到点 C 时，点M所经过的路线长=AB=1．故选：C．【点评】本题考查了轨迹：通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹．也考查了等腰直角三角形的性质．8.（2018?河北?3 分）已知：如图4，点P 在线段AB 外，且PA PB . 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上. 在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不．正确的是（）A.作APB 的平分线PC 交AB 于点CB.过点P 作PC AB 于点C 且AC BCC.取AB 中点C ，连接PCD.过点P 作PC AB ，垂足为C9.(2018 四川省绵阳市) 如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB 的顶点 A 在△ECD的斜边DE 上，若AE= ，AD= ，则两个三角形重叠部分的面积为（）A.B.C.D.【答案】 D【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形【解析】【解答】解：连接BD，作CH⊥DE，∵△ ACB和△ ECD都是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ECD=9°0 , ∠ADC=∠CAB=45°,即∠ ACD+∠DCB=∠ACD+∠ACE=90°，∴∠DCB=∠ACE，在△ DCB和△ ECA中，,∴△DCB≌△ECA，∴DB=EA= , ∠CDB=∠E=45°,∴∠CDB+∠ADC=∠ADB=90°，在Rt △ ABD中，∴AB= =2 ，在Rt △ ABC中，2 2∴2AC=AB=8，∴AC=BC=，2在Rt △ ECD中，2 2∴2CD=DE= ，∴CD=CE= +1，∵∠ACO=∠DCA，∠CAO=∠CDA，∴△CAO∽△CDA，∴又∵：== CE = DE·=CH，=4-2 ，∴CH= = ，∴∴= AD·CH= ×=（4-2 ）××=3-=.，即两个三角形重叠部分的面积为3- . 故答案为： D.【分析】解：连接BD，作CH⊥DE，根据等腰直角三角形的性质可得∠ACB=∠ECD=9°0 , ∠ADC= ∠CAB=45°, 再由同角的余角相等可得∠DCB=∠ACE；由SAS得△DCB≌△ECA，根据全等三角形的性质知DB=EA= , ∠CDB=∠E=45°, 从而得∠ADB=90°，在Rt △ABD中，根据勾股定理得AB=2 ，同理可得AC=BC=，2 CD=CE= +1；由相似三角形的判定得△CAO∽△CDA，根据相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方从而得出两个三角形重叠部分的面积. 二. 填空题1．（2018 四川省泸州市 3 分）如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点 F 在边BC 上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点 D 在EG上运动，则△CDF周长的最小值为18．【分析】如图作AH⊥BC于H，连接AD．由EG垂直平分线段AC，推出DA=DC，推出DF+DC=AD+D，F 可得当A、D、F 共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF 的长；【解答】解：如图作AH⊥BC于H，连接AD．∵EG垂直平分线段AC，∴DA=DC，∴DF+DC=AD+D，F∴当A、D、F 共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长，∵?BC?AH=12，0∴AH=12，∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH=1，0∵BF=3FC，∴CF=FH=5，∴AF= = =13，∴DF+DC的最小值为13．∴△CDF周长的最小值为13+5=18；故答案为18．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．2.（2018?广西桂林?3 分）如图，在ΔABC中，∠A=36°,AB=AC,BD 平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是【答案】 3详解：∵ AB=AC，∴△ ABC是等腰三角形．∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．BD平分∠ ABC交AC于D，∴∠ABD=∠DBC=3°6，∵∠A=∠ABD=36°，∴△ ABD是等腰三角形．∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，∴△ BDC是等腰三角形．∴共有 3 个等腰三角形．故答案为：3．点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．3.（2018·新疆生产建设兵团· 5 分）如图，△ABC 是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部的面积是．【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：∵△ ABC 是等边三角形，∴∠C=60°，根据圆周角定理可得∠ AOB=∠2 C=120°，∴阴影部分的面积是= π，故答案为：【点评】本题主要考查扇形面积的计算和圆周角定理，根据等边三角形性质和圆周角定理求得圆心角度数是解题的关键．4.（2018·四川宜宾· 3 分）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S= 2 ．（结果保留根号）【考点】MM：正多边形和圆；1O：数学常识．【分析】根据正多边形的定义可得出△ABO为等边三角形，根据等边三角形的性质结合OM 的长度可求出AB 的长度，再利用三角形的面积公式即可求出S 的值．【解答】解：依照题意画出图象，如图所示．∵六边形ABCDEF为正六边形，∴△ ABO为等边三角形，∵⊙O的半径为1，∴OM=1，∴BM=AM= ，∴AB= ，∴S=6S△ABO=6×××1=2 ．故答案为： 2 ．【点评】本题考查了正多边形和圆、三角形的面积以及数学常识，根据等边三角形的性质求出正六边形的边长是解题的关键．5.（2018·天津·3 分）如图，在边长为 4 的等边中，，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为．【答案】【解析】分析：连接DE，根据题意可得ΔDEG是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解DG的长.详解：连接DE，∵D、E 分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，DE= AC∵ΔABC是等边三角形，且BC=4∴∠DEB=60°,DE=2∵EF⊥AC，∠C=60°,EC=2∴∠F EC=30°，EF=∴∠DEG=180°-60 °-30 °=90°∵G是EF的中点，∴EG= .在Rt ΔDEG中，DG=故答案为：.点睛：本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟练运用性质是解题的关键.6．（2018·湖北省武汉·3 分）如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D 是边AB 的中点，E 是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是．【分析】延长BC至M，使CM=C，A 连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME=EB，根据三角形中位线定理得到DE= AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可．【解答】解：延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，∵DE平分△ ABC的周长，∴ME=EB，又AD=DB，∴DE= AM，DE∥AM，∵∠ACB=60°，∴∠ACM=120°，∵CM=CA，∴∠ACN=6°0，AN=M，N∴AN=AC?sin∠ACN= ，∴AM= ，∴DE= ，故答案为：．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助性是解题的关键．7．（2018?北京?2 分）右图所示的网格是正方形网格，BACDAE ．（填“”，“”或“”）【答案】【解析】如下图所示，EBG E DBD C AFC A△ AFG 是等腰直角三角形，∴FAG BAC 45 ，∴BAC DAE ．另：此题也可直接测量得到结果．【考点】等腰直角三角形8. （2018?江苏盐城? 3 分）如图，在直角中，，，，、分别为边、上的两个动点，若要使是等腰三角形且是直角三角形，则．16. 【答案】或【考点】等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：当△ BPQ是直角三角形时，有两种情况：∠ BPQ=90度，∠BQP=90度。

等腰三角形与等边三角形(优选真题60道)三年(2021-2023)中考数学真题分项汇编(全国通用)

等腰三角形与等边三角形(优选真题60道)三年(2021-2023)中考数学真题分项汇编(全国通用)

三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编（全国通用）等腰三角形与等边三角形（优选真题60道）一．选择题（共30小题）1．（2023•贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（）A．4m B．6m C．10m D．12m【分析】作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠B＝∠C=12（180°﹣∠BAC）＝30°，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C=12（180°﹣∠BAC30°，又∵AD⊥BC，∴AD=12AB=12×12＝6（m），故选：B．【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题关键是掌握30度角所对的直角边是斜边的一半．2．（2023•内蒙古）如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，则∠2的度数为（）A．32°B．58°C．74°D．75°【分析】由CA ＝CB 可得△ABC 是等腰三角形，从而可求∠CBA 的大小，再结合平行线的性质即可解答．【解答】解：∵CA ＝CB ，∴△ABC 是等腰三角形，∴∠CBA ＝∠CAB ＝（180°﹣32°）÷2＝74°，∵a ∥b ，∴∠2＝∠CBA ＝74°．故选：C ．【点评】本题考查等腰三角形的性质和平行线的性质，熟练掌握性质是解题关键．3．（2023•菏泽）△ABC 的三边长a ，b ，c 满足（a ﹣b ）2+√2a −b −3+|c ﹣3√2|＝0，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形【分析】由等式可分别得到关于a 、b 、c 的等式，从而分别计算得到a 、b 、c 的值，再由 a 2+b 2＝c 2 的关系，可推导得到△ABC 为直角三角形．【解答】解：由题意得{a −b =02a −b −3=0c −3√2=0，解得{a =3b =3c =3√2，∵a 2+b 2＝c 2，且a ＝b ，∴△ABC 为等腰直角三角形，故选：D ．【点评】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负 数均为0，和勾股定理逆定理．4．（2023•河北）在△ABC 和△A 'B 'C ′中，∠B ＝∠B '＝30°，AB ＝A 'B '＝6，AC ＝A 'C ′＝4，已知∠C ＝n °，则∠C ′＝（ ）A ．30°B ．n °C ．n °或180°﹣n °D ．30°或150°【分析】分两种情况讨论，当BC ＝B ′C ′时，则△ABC ≌△A ′B ′C ′，得出∠C ′＝∠C ＝n °，当BC ≠B ′C ′时，如图，利用等腰三角形的性质求得∠A ′C ″C ′＝∠C ′＝n °，从而求得∠A ′C ″B ′＝180°﹣n °．【解答】解：当BC ＝B ′C ′时，△ABC ≌△A ′B ′C ′（SSS ），∴∠C ′＝∠C ＝n °，当BC≠B′C′时，如图，∵A′C′＝A′C″，∴∠A′C″C′＝∠C′＝n°，∴∠A′C″B′＝180°﹣n°，∴∠C′＝n°或180°﹣n°，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等是解题的关键．5．（2023•滨州）已知点P是等边△ABC的边BC上的一点，若∠APC＝104°，则在以线段AP，BP，CP 为边的三角形中，最小内角的大小为（）A．14°B．16°C．24°D．26°【分析】过点P作PD∥AB交AC于点D，过点PE∥AC交AB于点E，四边形AEPD为平行四边形，根据平行线的性质易得△CDP为等边三角形，△BEP为等边三角形，则CP＝DP＝AE，BP＝EP，因此△AEP 就是以线段AP，BP，CP AEP的三个内角即可求解．【解答】解：如图，过点P作PD∥AB交AC于点D，过点PE∥AC交AB于点E，则四边形AEPD为平行四边形，∴DP＝AE，∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠BAC＝60°，∵PD∥AB，∴∠CPD＝∠B＝60°，∠CDP＝∠BAC＝60°，∴△CDP为等边三角形，∴CP＝DP＝CD，∴CP＝DP＝AE，∵PE∥AC，∴∠BEP＝∠BAC＝60°，∠BPE＝∠C＝60°，∴△BEP为等边三角形，∴BP＝EP＝BE，∴△AEP就是以线段AP，BP，CP为边的三角形，∵∠APC＝104°，∴∠APB＝180°﹣∠APC＝76°，∴∠APE＝∠APB﹣∠BPE＝16°，∠P AE＝∠APC﹣∠B＝44°，∠AEP＝180°﹣∠BEP＝120°，∴以线段AP，BP，CP为边的三角形的三个内角分别为16°、44°、120°，∴最小内角的大小为16°．故选：B．角性质，根据题意正确画出图形，推理论证得到△AEP就是以线段AP，BP，CP为边的三角形是解题关键．6．（2023•河北）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC 为等腰三角形时，对角线AC的长为（）A．2B．3C．4D．5【分析】分两种情况，由三角形的三边关系定理：三角形两边的和大于第三边，即可解决问题．【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，∴AB＝AC或AC＝BC，当AC＝BC＝4时，AD+CD＝AC＝4，此时不满足三角形三边关系定理，当AC＝AB＝3时．满足三角形三边关系定理，∴AC＝3．故选：B．【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理，关键是掌握三角形的三边关系定理．7．（2023•金昌）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝（）A．20°B．25°C．30°D．35°【分析】根据等边三角形的性质可得∠ABC＝60°，根据等边三角形三线合一可得∠CBD＝30°，再根据作图可知BD＝ED，进一步可得∠DEC的度数．【解答】解：在等边△ABC中，∠ABC＝60°，∵BD是AC边上的高，∴BD平分∠ABC，∴∠CBD=12∠ABC＝30°，∵BD＝ED，∴∠DEC＝∠CBD＝30°，故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．8．（2023•眉山）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为（）A．70°B．100°C．110°D．140°【分析】根据等边对等角得到∠B＝∠ACB，利用三角形内角和定理求出∠B的度数，再根据三角形外角的性质即可求出∠ACD的度数．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠A＝40°，∴∠B＝∠ACB=180°−∠A2=180°−40°2=70°，∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠A+∠B＝40°+70°＝110°，故选：C．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握等腰三角形的性质：等边对等角．9．（2022•泰安）如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°．则∠2的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°【分析】利用等腰三角形的性质得到∠C＝∠BAC＝25°，利用平行线的性质得到∠BEA＝95°，再根据三角形外角的性质即可求解．【解答】解：如图，∵AB＝BC，∠C＝25°，∴∠C＝∠BAC＝25°，∵l1∥l2，∠1＝60°，∴∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°，∵∠BEA＝∠C+∠2，∴∠2＝95°﹣25°＝70°．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质以及三角形外角的性质，解决问题的关键是注意运用两直线平行，同旁内角互补．10．（2022•淄博）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（）A．23°B．25°C．27°D．30°【分析】先根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠DFE＝∠BAE＝50°，根据等腰三角形的性质得出∠C ＝∠E，再根据三角形外角性质计算∠E的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠BAE＝50°，∵CF＝EF，∴∠C＝∠E，∵∠DFE＝∠C+∠E，∴∠C=12∠DFE=12×50°＝25°，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质，熟记等腰三角形的性质、平行线的性质是解题的关键．11．（2022•台湾）如图，△ABC中，D点在AB上，E点在BC上，DE为AB的中垂线．若∠B＝∠C，且∠EAC＞90°，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？（）A．∠1＝∠2，∠1＜∠3B．∠1＝∠2，∠1＞∠3C．∠1≠∠2，∠1＜∠3D．∠1≠∠2，∠1＞∠3【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：∵DE为AB的中垂线，∴∠BDE＝∠ADE，BE＝AE，∴∠B＝∠BAE，∴∠1＝∠2，∵∠EAC＞90°，∴∠3+∠C＜90°，∵∠B+∠1＝90°，∠B＝∠C，∴∠1＞∠3，∴∠1＝∠2，∠1＞∠3，故选：B．本题的关键．12．（2022•荆州）如图，直线l1∥l2，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1+∠2的度数是（）A．60°B．70°C．80°D．90°【分析】过点C作CD∥l1，利用平行线的性质可得∠1+∠2＝∠ACB，再由等腰三角形的性质可得∠ACB ＝∠ABC，从而可求解．【解答】解：过点C作CD∥l1，如图，∵l1∥l2，∴l1∥l2∥CD，∴∠1＝∠BCD，∠2＝∠ACD，∴∠1+∠2＝∠BCD+∠ACD＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠BAC＝40°，∴∠ACB=12（180°﹣∠BAC）＝70°，∴∠1+∠2＝70°．故选：B．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，平行线的性质，解答的关键是由平行线的性质得∠1+∠2＝∠ACB．13．（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当3cm，3，5能组成三角形，当5cm是腰长时，5，5，3能够组成三角形．则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D．【点评】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．14．（2022•天津）如图，△OAB的顶点O（0，0），顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB ＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是（）A．（5，4）B．（3，4）C．（5，3）D．（4，3）【分析】根据等腰三角形的性质求出AC，根据勾股定理求出OC，根据坐标与图形性质写出点A的坐标．【解答】解：设AB与x轴交于点C，∵OA＝OB，OC⊥AB，AB＝6，∴AC=12AB＝3，由勾股定理得：OC=√OA2−AC2=√52−32=4，∴点A的坐标为（4，3），故选：D．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、坐标与图形性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．15．（2022•海南）如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．80°B．100°C．120°D．140°【分析】先根据等边三角形的性质可得∠A＝∠B＝∠C＝60°，由三角形外角的性质可得∠AEF的度数，由平行线的性质可得同旁内角互补，可得结论．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°．对于△AEF，∵∠1＝∠A+∠AEF＝140°，∴∠AEF＝140°﹣60°＝80°，∴∠DEB＝∠AEF＝80°，∵m∥n，∴∠2+∠DEB＝180°，∴∠2＝180°﹣80°＝100°，故选：B．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，题目比较基础，熟练掌握性质是解题的关键．16．（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，则∠D的度数为（）A．39°B．40°C．49°D．51°【分析】利用等边对等角求得∠B＝∠ACB＝78°，然后利用三角形外角的性质求得答案即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝24°，∴∠B＝∠ACB＝78°．∵CD＝AC，∠ACB＝78°，∠ACB＝∠D+∠CAD，∴∠D＝∠CAD=12∠ACB＝39°．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解“等边对等角”的性质，难度不大．17．（2022•自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【分析】设底角的度数是x °，则顶角的度数为（2x +20）°，根据三角形内角和是180°列出方程，解方程即可得出答案．【解答】解：设底角的度数是x °，则顶角的度数为（2x +20）°，根据题意得：x +x +2x +20＝180，解得：x ＝40，故选：B ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，考查了方程思想，掌握等腰三角形两个底角相等是解题的关键．18．（2021•青海）已知a ，b 是等腰三角形的两边长，且a ，b 满足√2a −3b +5+（2a +3b ﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为（ ）A ．8B ．6或8C ．7D ．7或8【分析】首先根据√2a −3b +5+（2a +3b ﹣13）2＝0，并根据非负数的性质列方程组求得a 、b 的值，然后求得等腰三角形的周长即可．【解答】解：∵√2a −3b +5+（2a +3b ﹣13）2＝0，∴{2a −3b +5=02a +3b −13=0，解得：{a =2b =3， 当b ，2，3，周长为7；当a 为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8，∴等腰三角形的周长为7或8．故选：D ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理、二元一次方程方程组，关键是根据2，3分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．19．（2021•赤峰）如图，AB ∥CD ，点E 在线段BC 上，CD ＝CE ．若∠ABC ＝30°，则∠D 的度数为（ ）A ．85°B ．75°C ．65°D ．30°【分析】先由AB∥CD，得∠C＝∠ABC＝30°，CD＝CE，得∠D＝∠CED，再根据三角形内角和定理得，∠C+∠D+∠CED＝180°，即30°+2∠D＝180°，从而求出∠D．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C＝∠ABC＝30°，又∵CD＝CE，∴∠D＝∠CED，∵∠C+∠D+∠CED＝180°，即30°+2∠D＝180°，∴∠D＝75°．故选：B．【点评】此题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是先根据平行线的性质求出∠C，再由CD＝CE得出∠D＝∠CED，由三角形内角和定理求出∠D．20．（2021•广西）如图，⊙O的半径OB为4，OC⊥AB于点D，∠BAC＝30°，则OD的长是（）A．√2B．√3C．2D．3【分析】连接OA，证明△【解答】解：连接OA，∵OC⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠BAC＝30°，∴∠ACO＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC为等边三角形，∵OC⊥AB，∴OD=12OC＝2，故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．21．（2021•辽宁）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（）A．√3+1B．√5+3C．√5+1D．4【分析】由题意得BE是∠ABC的平分线，再由等腰三角形的性质得BE⊥AC，AE＝CE=12AC＝1，由勾股定理得BC=√5，然后由直角三角形斜边上的中线性质得EF=12BC＝BF＝CF，求解即可．【解答】解：由图中的尺规作图得：BE是∠ABC的平分线，∵AB＝BC，∴BE⊥AC，AE＝CE=12AC＝1，∴∠BEC＝90°，∴BC=√BE2+CE2=√22+12=√5，∵点F为BC的中点，∴EF=12BC＝BF＝CF，∴△CEF的周长＝CF+EF+CE＝CF+BF+CE＝BC+CE=√5+1，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、尺规作图等知识；熟练掌握尺规作图和等腰三角形的性质，证出EF=12BC＝BF＝CF是解题的关键．22．（2021•益阳）如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，则∠EAB等于（）A．40°B．30°C．20°D．15°【分析】根据平行线的性质可得∠DCA+∠CAB＝180°，即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB＝180°，由△ACE为等边三角形得∠ECA＝∠EAC＝60°，即可得出∠EAB的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DCA+∠CAB＝180°，即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB＝180°，∵△ACE为等边三角形，∴∠ECA＝∠EAC＝60°，∴∠EAB＝180°﹣40°﹣60°﹣60°＝20°．故选：C．【点评】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，根据等边三角形的性质得出∠ECA＝∠EAC＝60°是解题的关键．23．（2022•鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3＝80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∵∠A+∠3+∠2＝180°，∴∠3＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝80°．故选：A．【点评】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了平行线的性质．24．（2022•绵阳）下列关于等边三角形的描述不正确的是（）A．是轴对称图形B．对称轴的交点是其重心C．是中心对称图形D．绕重心顺时针旋转120°能与自身重合【分析】根据等边三角形的性质，轴对称图形的定义，中心对称图形的定义进行判断即可．【解答】解：等边三角形是轴对称图形，每条边的高线所在的直线是其对称轴，故A选项不符合题意；三条高线的交点为等边三角形的重心，∴对称轴的交点是其重心，故B选项不符合题意；等边三角形不是中心对称图形，故C选项符合题意；等边三角形绕重心顺时针旋转120°能与自身重合，故D选项不符合题意，故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质，轴对称图形，中心对称图形等，熟练掌握这些知识是解题的关键．25．（2023•台湾）如图，△ABC 中，D 点在BC 上，且BD 的中垂线与AB 相交于E 点，CD 的中垂线与AC 相交于F 点，已知△ABC 的三个内角皆不相等，根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确（ ）A ．∠1＝∠3，∠2＝∠4B ．∠1＝∠3，∠2≠∠4C ．∠1≠∠3，∠2＝∠4D ．∠1≠∠3，∠2≠∠4【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB ＝ED ，FD ＝FC ，得到∠B ＝∠EDB ，∠FDC ＝∠C ，根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵BD 的中垂线与AB 相交于E 点，CD 的中垂线与AC 相交于F 点，∴EB ＝ED ，FD ＝FC ，∴∠B ＝∠EDB ，∠FDC ＝∠C ，∵∠1＝∠B +∠EDB ，∠3＝∠FDC +∠C ，∠B ≠∠C ，∴∠1≠∠3，∵∠4＝180°﹣∠B ﹣∠C ，∠2＝180°﹣∠EDB +∠FDC ，∴∠2＝∠4，综上所述：∠1≠∠3，∠2＝∠故选：C ．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．26．（2022•宜昌）如图，在△ABC 中，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接BD ．若AB ＝7，AC ＝12，BC ＝6，则△ABD 的周长为（ ）A ．25B ．22C ．19D ．18【分析】根据题意可知MN 垂直平分BC ，即可得到DB ＝DC ，然后即可得到AB +BD +AD ＝AB +DC +AD ＝AB +AC ，从而可以求得△ABD 的周长．【解答】解：由题意可得，MN 垂直平分BC ，∴DB ＝DC ，∵△ABD 的周长是AB +BD +AD ，∴AB +BD +AD ＝AB +DC +AD ＝AB +AC ，∵AB ＝7，AC ＝12，∴AB +AC ＝19，∴△ABD 的周长是19，故选：C ．【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．27．（2022•湖北）如图，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，连接AC ，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧交于点M ，N ，直线MN 分别交AD ，BC 于点E ，F ．下列结论：①四边形AECF 是菱形；②∠AFB ＝2∠ACB ；③AC •EF ＝CF •CD ；④若AF 平分∠BAC ，则CF ＝2BF ．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可．【解答】解：根据题意知，EF 垂直平分AC ，在△AOE 和△COF 中，{∠EAO =∠FCOAO =CO ∠AOE =∠COF =90°，∴△AOE ≌△COF （ASA ），∴OE ＝OF ，∴AE ＝AF ＝CF ＝CE ，即四边形AECF 是菱形，故①结论正确；∵∠AFB ＝∠F AO +∠ACB ，AF ＝FC ，∴∠F AO ＝∠ACB ，∴∠AFB ＝2∠ACB ，故②结论正确；∵S 四边形AECF ＝CF •CD =12AC •OE ×2=12AC •EF ，故③结论不正确；若AF 平分∠BAC ，则∠BAF ＝∠F AC ＝∠CAD =13×90°＝30°，∴AF ＝2BF ，∵CF ＝AF ，∴CF ＝2BF ，故④结论正确；故选：B ．【点评】本题主要考查长方形的综合题，熟练掌握长方形的性质，基本作图，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．28．（2021•梧州）如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，分别交边AB，BC于点D，E，且AB＝9，AC＝6，则△ACD的周长是（）A．10.5B．12C．15D．18【分析】由DE是△ABC的边BC的垂直平分线，可得DB＝DC，则所求△ACD的周长＝AB+AC，再将已知代入即可．【解答】解：∵DE是△ABC的边BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴△ACD的周长＝AD+AC+CD＝AD+BD+AC＝AB+AC，∵AB＝9，AC＝6，∴△ACD的周长＝9+6＝15，故选：C．【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．29．（2021•河北）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m 的对称点分别是点P1，P2，则1，P2之间的距离可能是（）A．0B．5C．6D．7【分析】由对称得OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出结果．【解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，∴OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，OP1+OP2＞P1P2，0＜P 1P 2＜5.6，故选：B ．【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，解本题的关键熟练掌握对称性和三角形边长的关系．30．（2021•淮安）如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点D 、E ，连接AE ，若AE ＝4，EC ＝2，则BC 的长是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB ＝EA ＝4，结合图形计算，得到答案．【解答】解：∵DE 是AB 的垂直平分线，AE ＝4，∴EB ＝EA ＝4，∴BC ＝EB +EC ＝4+2＝6，故选：C ．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．二．填空题（共23小题）31．（2023•吉林）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ．分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧交于点D ，作直线AD 交BC 于点E ．若∠BAC ＝110°，则∠BAE 的大小为 度．【分析】根据尺规作图可得AE 是BC 的垂直平分线，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AE 是∠BAC 的角平分线，从而可求∠BAE 得大小．【解答】解：∵AB ＝AC ．∴△ABC 是等腰三角形，∵分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧交于点D ，作直线AD 交BC 于点E ． ∴AE 垂直平分BC ，∴AE 是∠BAC 的平分线，∴∠BAE =12∠BAC ＝55°．故答案为：55°．【点评】本题考查等腰三角形的性质和尺规作图，熟练掌握垂直平分线的作法是解题关键．32．（2023•江西）将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B ，C 表示的刻度分别为1cm ，3cm ，则线段AB 的长为 cm ．【分析】先由平行线的性质可得∠ACB 的度数，根据等边三角形的判定和性质定理可得AB ＝BC ，则可得出AB 的长．【解答】解：∵直尺的两对边相互平行，∴∠ACB ＝∠α＝60°，∵∠A ＝60°，∴∠ABC ＝180°﹣∠ACB ﹣∠A ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠A ＝∠ABC ＝∠ACB ，∴△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝3﹣1＝2（cm ）．故答案为：2．【点评】此题主要是考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，能够得出AB＝BC是解答此题的关键．33．（2023•新疆）如图，在△ABC中，若AB＝AC，AD＝BD，∠CAD＝24°，则∠C＝°．【分析】由等腰三角形的性质可知∠C＝∠B＝∠BAD，利用三角形内角和定理得出180°﹣2∠C＝24°+∠C，解得∠C＝52°．【解答】解：∵AB＝AC，AD＝BD，∴∠B＝∠C，∠B＝∠BAD，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝∠CAD+∠BAD，∴180°﹣2∠C＝24°+∠C，∴∠C＝52°，故答案为：52．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．34．（2023•重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为．【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，在Rt△ABD中，根据勾股定理即可求出AD的长．【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC边的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵AB＝5，BC＝6，∴BD＝CD＝3，在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AD=√AB2−BD2=√52−32=4，故答案为：4．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，涉及勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．35．（2023•凉山州）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是．【分析】取AB的中点D，连接OD及DC，根据三角形的三边关系得到OC小于等于OD+DC，只有当O、D及C共线时，OC取得最大值，最大值为OD+CD，由等边三角形的边长为2，根据D为AB中点，得到BD为1，根据三线合一得到CD垂直于AB，在直角三角形BCD中，根据勾股定理求出CD的长，在直角三角形AOB中，OD为斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD 等于AB的一半，由AB的长求出OD的长，进而求出DC+OD，即为OC的最大值．【解答】解：取AB中点D，连OD，DC，∴OC≤OD+DC，当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD，∵△ABC为等边三角形，D为AB中点，∴BD＝1，BC＝2，∴CD=√BC2−BD2=√3，∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，∴OD=12AB＝1，∴OD +CD ＝1+√3，即OC 的最大值为1+√3．故答案为：1+√3．【点评】本题考查了等边三角形的性质，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，其中找出OC 最大时的长为CD +OD 是解本题的关键．36．（2023•沙依巴克区模拟）已知：一等腰三角形的两边长x 、y 满足方程组{2x −y =33x +2y =8，则此等腰三角形的周长为 ．【分析】先解二元一次方程组，然后讨论腰长的大小，再根据三角形三边关系即可得出答案．【解答】解：解方程组 {2x −y =33x +2y =8得 {x =2y =1. 所以，等腰三角形的两边长为2，1．若腰长为1，底边长为2，由1+1＝2知，这样的三角形不存在．若腰长为2，底边长为1，则三角形的周长为5．所以这个等腰三角形的周长为5．故答案为：5．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及解二元一次方程组，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想解题．37．（2022•云南）已知△ABC 是等腰三角形．若∠A ＝40°，则△ABC 的顶角度数是 ．【分析】分∠A 是顶角和底角两种情况讨论，即可解答．【解答】解：当∠A 是顶角时，△ABC 的顶角度数是40°；当∠A 是底角时，则△ABC 的顶角度数为180°﹣2×40°＝100°；综上，△ABC 的顶角度数是40°或100°．故答案为：40°或100°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论．38．（2022•广安）若（a ﹣3）2+√b −5=0，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为 ．【分析】先求a ，b ．再求第三边c 即可．【解答】解：∵（a ﹣3）2+√b −5=0，（a ﹣3）2≥0，√b −5≥0，∴a ﹣3＝0，b ﹣5＝0，∴a ＝3，b ＝5，设三角形的第三边为c ，当a＝c＝3时，三角形的周长＝a+b+c＝3+5+3＝11，当b＝c＝5时，三角形的周长＝3+5+5＝13，故答案为：11或13．【点评】本题考查等腰三角形周长计算，求出a，b后确定腰和底是求解本题的关键．39．（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为．【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”，可知AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，可得AB的长为6；若BC＝3＝2AB，因1.5+1.5＝3，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．【解答】解：∵等腰△ABC是“倍长三角形”，∴AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，则△ABC三边分别是6，6，3，符合题意，∴腰AB的长为6；若BC＝3＝2AB，则AB＝1.5，△ABC三边分别是1.5，1.5，3，∵1.5+1.5＝3，∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；综上所述，腰AB的长是6，故答案为：6．的和大于第三边．40．（2022•滨州）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC＝120°，则∠C的大小为．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B＝∠C＝30°．【解答】解：∵AB＝AC且∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C=12（180°﹣∠BAC）=12×60°＝30°．故答案为：30°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两个底角相等的性质是解题的关键．41．（2022•鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC 中，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，AD 与BE 相交于点P ，若BD ＝CE ＝2，则△ABP 的周长为 ．【分析】根据SAS 证△ABD ≌△BCE ，得出∠APB ＝120°，在CB 上取一点F 使CF ＝CE ＝2，则BF ＝BC ﹣CF ＝4，证△APB ∽△BFE ，根据比例关系设BP ＝x ，则AP ＝2x ，作BH ⊥AD 延长线于H ，利用勾股定理列方程求解即可得出BP 和AP 的长．【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ，∠ABD ＝∠C ＝60°，在△ABD 和△BCE 中，{AB =BC∠ABD =∠C BD =CE∴△ABD ≌△BCE （SAS ），∴∠BAD ＝∠CBE ，∴∠APE ＝∠ABP +∠BAD ＝∠ABP +∠CBE ＝∠ABD ＝60°，∴∠APB ＝120°，在CB 上取一点F 使CF ＝CE ＝2，则BF ＝BC ﹣CF ＝4，∴∠C ＝60°，∴△CEF 是等边三角形，∴∠BFE ＝120°，即∠APB ＝∠BFE ，∴△APB ∽△BFE ，∴AP BP =BF EF =42=2，设BP ＝x ，则AP ＝2x ，作BH ⊥AD 延长线于H ，∵∠BPD＝∠APE＝60°，∴∠PBH＝30°，∴PH=x2，BH=√32x，∴AH＝AP+PH＝2x+x2=52x，在Rt△ABH中，AH2+BH2＝AB2，即（52x）2+（√32x）2＝62，解得x=6√77或−6√77（舍去），∴AP=12√77，BP=6√77，∴△ABP的周长为AB+AP+BP＝6+12√77+6√77=6+18√77=42+18√77，故答案为：42+18√77．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握这些基础知识是解题的关键．42．（2021•苏州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF．若∠CFE＝72°，则∠B＝°．【分析】根据等边对等角可得∠A＝∠AEF，再根据∠A+∠AEF＝∠CFE＝72°，求出∠A的度数，最后根据在Rt△ABC中，∠C＝90°，即可求出∠B的度数．【解答】解：∵AF＝EF，∴∠A＝∠AEF，∵∠A+∠AEF＝∠CFE＝72°，∴∠A=12×72°＝36°，在Rt△ABC中，∠A＝36°，∴∠B＝90°﹣36°＝54°．故答案为：54．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质．解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，即：等边对等角．43．（2021•绍兴）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则∠BAP的度数是．【分析】根据等腰三角形的性质可以得到△ABC各内角的关系，然后根据题意，画出图形，利用分类讨论的方法求出∠BAP的度数即可．【解答】解：如右图所示，当点P在点B的左侧时，∵AB＝AC，∠ABC＝70°，∴∠ACB＝∠ABC＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵CA＝CP1，∴∠CAP1＝∠CP1A=180°−∠ACP12=180°−70°2=55°，∴∠BAP1＝∠CAP1﹣∠CAB＝55°﹣40°＝15°；当点P在点C的右侧时，∵AB＝AC，∠ABC＝70°，∴∠ACB＝∠ABC＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵CA＝CP2，∴∠CAP2＝∠CP2A=∠ACB2=70°2=35°，∴∠BAP2＝∠CAP2+∠CAB＝35°+40°＝75°；由上可得，∠BAP的度数是15°或75°，故答案为：15°或75°．【点评】本题考查等腰三角形的性质、圆的性质，解答本题的关键是画出合适的辅助线，利用分类讨论的方法解答．44．（2021•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），过点M作MN∥x轴，点P在射线MN MAP为等腰三角形，则点P的坐标为．【分析】分三种情况：①PM＝P A，②MP＝MA，③AM＝AP，分别画图，根据等腰三角形的性质和两点的距离公式，即可求解．【解答】解：设点P的坐标为（x，4），分三种情况：①PM＝P A，∵点A 的坐标为（5，0），点M 的坐标为（0，4），∴PM ＝x ，P A =√42+(5−x)2，∵PM ＝P A ，∴x =√42+(5−x)2，解得：x =4110， ∴点P 的坐标为（4110，4）； ②MP ＝MA ，∵点A 的坐标为（5，0），点M 的坐标为（0，4），∴MP ＝x ，MA =√42+52=√41，∵MP ＝MA ，∴x =√41，∴点P 的坐标为（√41，4）；③AM ＝AP ，∵点A 的坐标为（5，0），点M 的坐标为（0，4），∴AP =√42+(x −5)2，MA =√42+52=√41，∵AM ＝AP ，∴√42+(x −5)2=√41，解得：x 1＝10，x 2＝0（舍去），∴点P 的坐标为（10，4）；综上，点P 的坐标为（4110，4）或（√41，4）或（10，4）． 故答案为：（4110，4）或（√41，4）或（10，4）．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和坐标与图形的性质，熟练掌握坐标与图形特征，利用坐标特征和勾股定理求线段的长是解题的关键．45．（2021•陕西）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8．若E 、F 是BC 边上的两个动点，以EF 为边的等边△EFP 的顶点P 在△ABC 内部或边上，则等边△EFP 的周长的最大值为 ．【分析】当点F 与C 重合时，△EFP 的边长最长，周长也最长，根据30°角所对的直角边是斜边的一半可得AC ＝4，AP ＝2，再由勾股定理可得答案．【解答】解：如图，当点F 与C 重合时，△EFP 的边长最长，周长也最长，∵∠ACB ＝90°，∠PFE ＝60°，∴∠PCA ＝30°，∵∠A ＝60°，∴∠APC ＝90°，△ABC 中，AC =12AB ＝4，△ACP 中，AP =12AC ＝2，∴PC =√AC 2−AP 2=√42−22=2√3，∴周长为2√3×3＝6√3．故答案为：6√3．【点评】本题考查含30°角的直角三角形的性质，运用勾股定理是解题关键．46．（2021•牡丹江）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为．【分析】首先根据题意画出符合题意的所有图形，然后利用等腰三角形求解即可求得答案．【解答】解：（1）如图．∵AB＝AC，BD＝AD，AC＝CD，∴∠ABC＝∠C＝∠BAD，∠CDA＝∠CAD，∵∠CDA＝2∠ABC，∴∠CAB＝3∠ABC，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴5∠ABC＝180°，∴∠ABC＝36°，（2）如图．∵AB＝AC，AD＝BD＝CD，∴∠B＝∠C＝∠DAC＝∠DAB∴∠BAC＝2∠ABC，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴4∠ABC＝180°，∴∠ABC＝45°，故答案为：36°或45°．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用．注意分类讨论思想的应用是解此题的关键．。

2019-2020年中考数学备考专题复习等腰三角形含解析

2019-2020年中考数学备考专题复习等腰三角形含解析

2019-2020年中考数学备考专题复习等腰三角形含解析一、单选题（共12题；共24分）1、已知等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于（）A、15°或75°B、15°C、75°D、150°和30°2、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD 沿 CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A、25B、30C、45D、603、如图所示，A是斜边长为m的等腰直角三角形，B，C，D都是正方形。

则A，B，C，D的面积的和等于 ()A、B、C、D、4、如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M 为EF中点，则AM的最小值为( )A、2B、2.4C、2.6D、35、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm， A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是（）A、15 dmB、20dmC、25dmD、30dm6、如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB 的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）A、B、C、3D、47、直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为()A、B、C、D、8、如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC ，若AD=6，则CD是（）A、1B、2C、3D、49、在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF.EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED．正确的是（）A、②③B、③④C、①②④D、②③④10、（xx•滨州）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A、50°B、51°C、51.5°D、52.5°11、（xx•深圳）如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，其中正确的结论的个数是（）A、1B、2C、3D、412、（xx•黔东南州）xx年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（）A、13B、19C、25D、169二、填空题（共5题；共6分）13、矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边的长是________，对角线的长是________．14、如图，边长为1的菱形ABCD的两个顶点B、C恰好落在扇形AEF的弧EF上．若∠BAD=120°，则弧BC的长度等于________.15、（xx•菏泽）如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=________．16、（xx•贵港）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，若AB=6，AD=5，则DE的长为________．17、（xx•张家界）如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF的周长是________cm ．三、解答题（共2题；共10分）18、如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B 的度数．19、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，O为BC的中点，点E，D分别为边AB，AC上的点，且满足OE⊥OD，求证：OE=OD．四、综合题（共5题；共65分）20、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．(1)试说明AC=EF；(2)求证：四边形ADFE是平行四边形.21、（xx•丽水）如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且∠BFC=90°．(1)当E为BC中点时，求证：△BCF≌△DEC；(2)当BE=2EC时，求的值；(3)设CE=1，BE=n，作点C关于DE的对称点C′，连结FC′，AF，若点C′到AF的距离是，求n 的值．22、（xx•贵港）如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．(1)如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．①求证：△AGE≌△AFE；②若BE=2，DF=3，求AH的长．(2)如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．23、（xx•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点B 逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．(1)如图①，若α=90°，求AA′的长；(2)如图②，若α=120°，求点O′的坐标；(3)在（Ⅱ）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，求点P′的坐标（直接写出结果即可）24、（xx•义乌）如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x﹣3．(1)分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；(2)已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；(3)我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F．已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q 是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围（不用说明理由）．答案解析部分一、单选题【答案】A【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形【解析】【解答】此题有两种情况，一种是该高线在等腰三角形内部，另外一种是在等腰三角形外部。

中考数学专题16等腰三角形与直角三角形(共5题)(全国通用解析版)

中考数学专题16等腰三角形与直角三角形(共5题)(全国通用解析版)

等腰三角形与直角三角形一．选择题（共24小题）1．（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm.则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm.而没有明确腰、底分别是多少.所以要进行讨论.还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解析】当3cm是腰长时.3.3.5能组成三角形.当5cm是腰长时.5.5.3能够组成三角形．则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D．【点评】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系.已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况.分类进行讨论.还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答.这点非常重要.也是解题的关键．2．（2022•泰安）如图.l1∥l2.点A在直线l1上.点B在直线l2上.AB＝BC.∠C＝25°.∠1＝60°．则∠2的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°【分析】利用等腰三角形的性质得到∠C＝∠BAC＝25°.利用平行线的性质得到∠BEA＝95°.再根据三角形外角的性质即可求解．【解析】如图.∵AB＝BC.∠C＝25°.∴∠C＝∠BAC＝25°.∵l1∥l2.∠1＝60°.∴∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°.∵∠BEA＝∠C+∠2.∴∠2＝95°﹣25°＝70°．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质.平行线的性质以及三角形外角的性质.解决问题的关键是注意运用两直线平行.同旁内角互补．3．（2022•自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°.则这个底角的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】设底角的度数是x°.则顶角的度数为（2x+20）°.根据三角形内角和是180°列出方程.解方程即可得出答案．【解析】设底角的度数是x°.则顶角的度数为（2x+20）°.根据题意得：x+x+2x+20＝180.解得：x＝40.故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质.考查了方程思想.掌握等腰三角形两个底角相等是解题的关键．4．（2022•天津）如图.△OAB的顶点O（0.0）.顶点A.B分别在第一、四象限.且AB⊥x轴.若AB＝6.OA＝OB＝5.则点A的坐标是（）A．（5.4）B．（3.4）C．（5.3）D．（4.3）【分析】根据等腰三角形的性质求出AC.根据勾股定理求出OC.根据坐标与图形性质写出点A的坐标．【解析】设AB与x轴交于点C.∵OA＝OB.OC⊥AB.AB＝6.∴AC＝AB＝3.由勾股定理得：OC＝＝＝4.∴点A的坐标为（4.3）.故选：D．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、坐标与图形性质.掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．5．（2022•台湾）如图.△ABC中.D点在AB上.E点在BC上.DE为AB的中垂线．若∠B＝∠C.且∠EAC＞90°.则根据图中标示的角.判断下列叙述何者正确？（）A．∠1＝∠2.∠1＜∠3B．∠1＝∠2.∠1＞∠3C．∠1≠∠2.∠1＜∠3D．∠1≠∠2.∠1＞∠3【分析】根据线段垂直平分线的性质.等腰三角形的性质解答即可．【解析】∵DE为AB的中垂线.∴∠BDE＝∠ADE.BE＝AE.∴∠B＝∠BAE.∴∠1＝∠2.∵∠EAC＞90°.∴∠3+∠C＜90°.∵∠B+∠1＝90°.∠B＝∠C.∴∠1＞∠3.∴∠1＝∠2.∠1＞∠3.故选：B．【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质.熟练掌握相关的性质定理是解答本题的关键．6．（2022•广元）如图.在△ABC中.BC＝6.AC＝8.∠C＝90°.以点B为圆心.BC长为半径画弧.与AB交于点D.再分别以A、D为圆心.大于AD的长为半径画弧.两弧交于点M、N.作直线MN.分别交AC、AB于点E、F.则AE的长度为（）A．B．3C．2D．【分析】利用勾股定理求出AB.再利用相似三角形的性质求出AE即可．【解析】在Rt△ABC中.BC＝6.AC＝8.∴AB＝＝＝10.∵BD＝CB＝6.∴AD＝AB＝BC＝4.由作图可知EF垂直平分线段AD.∴AF＝DF＝2.∵∠A＝∠A.∠AFE＝∠ACB＝90°.∴△AFE∽△ACB.∴＝.∴＝.∴AE＝.故选：A．【点评】本题考查勾股定理.相似三角形的判定和性质等知识.解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.属于中考常考题型．7．（2022•金华）如图是城市某区域的示意图.建立平面直角坐标系后.学校和体育场的坐标分别是（3.1）.（4.﹣2）.下列各地点中.离原点最近的是（）A．超市B．医院C．体育场D．学校【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系.然后根据勾股定理.可以得到点O到超市、学校、体育场、医院的距离.再比较大小即可．【解析】如右图所示.点O到超市的距离为：＝.点O到学校的距离为：＝.点O到体育场的距离为：＝.点O到医院的距离为：＝.∵＜＝＜.∴点O到超市的距离最近.故选：A．【点评】本题考查勾股定理、平面直角坐标系.解答本题的关键是明确题意.作出合适平面直角坐标系．8．（2022•温州）如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.以其三边为边向外作正方形.连结CF.作GM⊥CF于点M.BJ⊥GM于点J.AK⊥BJ于点K.交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5.CE＝+.则CH的长为（）A．B．C．2D．【分析】设CF交AB于P.过C作CN⊥AB于N.设正方形JKLM边长为m.根据正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5.得AF＝AB＝m.证明△AFL ≌△FGM（AAS）.可得AL＝FM.设AL＝FM＝x.在Rt△AFL中.x2+（x+m）2＝（m）2.可解得x＝m.有AL＝FM＝m.FL＝2m.从而可得AP＝.FP＝m.BP＝.即知P为AB中点.CP＝AP＝BP＝.由△CPN∽△FP A.得CN ＝m.PN＝m.即得AN＝m.而tan∠BAC＝＝＝.又△AEC∽△BCH.得＝.即＝.故CH＝2．【解析】设CF交AB于P.过C作CN⊥AB于N.如图：设正方形JKLM边长为m.∴正方形JKLM面积为m2.∵正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5.∴正方形ABGF的面积为5m2.∴AF＝AB＝m.由已知可得：∠AFL＝90°﹣∠MFG＝∠MGF.∠ALF＝90°＝∠FMG.AF＝GF.∴△AFL≌△FGM（AAS）.∴AL＝FM.设AL＝FM＝x.则FL＝FM+ML＝x+m.在Rt△AFL中.AL2+FL2＝AF2.∴x2+（x+m）2＝（m）2.解得x＝m或x＝﹣2m（舍去）.∴AL＝FM＝m.FL＝2m.∵tan∠AFL＝＝＝＝.∴＝.∴AP＝.∴FP＝＝＝m.BP＝AB﹣AP＝m﹣＝.∴AP＝BP.即P为AB中点.∵∠ACB＝90°.∴CP＝AP＝BP＝.∵∠CPN＝∠APF.∠CNP＝90°＝∠F AP.∴△CPN∽△FP A.∴＝＝.即＝＝.∴CN＝m.PN＝m.∴AN＝AP+PN＝m.∴tan∠BAC＝＝＝＝.∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形.∴△AEC∽△BCH.∴＝.∵CE＝+.∴＝.∴CH＝2.故选：C．【点评】本题考查正方形性质及应用.涉及全等三角形判定与性质.相似三角形判定与性质.勾股定理等知识.解题的关键是用含m的代数式表示相关线段的长度．9．（2022•安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心.点P在△ABC外.△ABC.△P AB.△PBC.△PCA的面积分别记为S0.S1.S2.S3．若S1+S2+S3＝2S0.则线段OP长的最小值是（）A．B．C．3D．【分析】如图.不妨假设点P在AB的左侧.证明△P AB的面积是定值.过点P作AB的平行线PM.连接CO延长CO交AB于点R.交PM于点T．因为△P AB的面积是定值.推出点P的运动轨迹是直线PM.求出OT的值.可得结论．【解析】如图.不妨假设点P在AB的左侧.∵S△P AB+S△ABC＝S△PBC+S△P AC.∴S1+S0＝S2+S3.∵S1+S2+S3＝2S0.∴S1+S1+S0＝2.∴S1＝S0.∵△ABC是等边三角形.边长为6.∴S0＝×62＝9.∴S1＝.过点P作AB的平行线PM.连接CO延长CO交AB于点R.交PM于点T．∵△P AB的面积是定值.∴点P的运动轨迹是直线PM.∵O是△ABC的中心.∴CT⊥AB.CT⊥PM.∴•AB•RT＝.CR＝3.OR＝.∴RT＝.∴OT＝OR+TR＝.∵OP≥OT.∴OP的最小值为.当点P在②区域时.同法可得OD的最小值为.如图.当点P在①③⑤区域时.OP的最小值为.当点P在②④⑥区域时.最小值为.∵＜.故选：B．【点评】本题考查等边三角形的性质.解直角三角形.三角形的面积等知识.解题的关键是证明△P AB的面积是定值．10．（2022•南充）如图.在Rt△ABC中.∠C＝90°.∠BAC的平分线交BC于点D.DE∥AB.交AC于点E.DF⊥AB于点F.DE＝5.DF＝3.则下列结论错误的是（）A．BF＝1B．DC＝3C．AE＝5D．AC＝9【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理.可以求得CD和CE的长.再根据平行线的性质.即可得到AE的长.从而可以判断B和C.然后即可得到AC的长.即可判断D.再根据全等三角形的判定和性质即可得到BF的长.从而可以判断A．【解析】∵AD平分∠BAC.∠C＝90°.DF⊥AB.∴∠1＝∠2.DC＝FD.∠C＝∠DFB＝90°.∵DE∥AB.∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.∴AE＝DE.∵DE＝5.DF＝3.∴AE＝5.CD＝3.故选项B、C正确.∴CE＝＝4.∴AC＝AE+EC＝5+4＝9.故选项D正确.∵DE∥AB.∠DFB＝90°.∴∠EDF＝∠DFB＝90°.∴∠CDF+∠FDB＝90°.∵∠CDF+∠DEC＝90°.∴∠DEC＝∠FDB.∵tan∠DEC＝.tan∠FDB＝.∴.解得BF＝.故选项A错误.故选：A．【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质.解答本题的关键是明确题意.利用数形结合的思想解答．11．（2022•宜昌）如图.在△ABC中.分别以点B和点C为圆心.大于BC长为半径画弧.两弧相交于点M.N．作直线MN.交AC于点D.交BC于点E.连接BD．若AB＝7.AC＝12.BC＝6.则△ABD的周长为（）A．25B．22C．19D．18【分析】根据题意可知MN垂直平分BC.即可得到DB＝DC.然后即可得到AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC.从而可以求得△ABD的周长．【解析】由题意可得.MN垂直平分BC.∴DB＝DC.∵△ABD的周长是AB+BD+AD.∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC.∵AB＝7.AC＝12.∴AB+AC＝19.∴∵△ABD的周长是19.故选：C．【点评】本题考查线段垂直平分线的性质.三角形的周长.解答本题的关键是明确题意.利用数形结合的思想解答．12．（2022•河北）题目：“如图.∠B＝45°.BC＝2.在射线BM上取一点A.设AC ＝d.若对于d的一个数值.只能作出唯一一个△ABC.求d的取值范围．”对于其答案.甲答：d≥2.乙答：d＝1.6.丙答：d＝.则正确的是（）A．只有甲答的对B．甲、丙答案合在一起才完整C．甲、乙答案合在一起才完整D．三人答案合在一起才完整【分析】由题意知.当CA⊥BA或CA＞BC时.能作出唯一一个△ABC.分这两种情况求解即可．【解析】由题意知.当CA⊥BA或CA＞BC时.能作出唯一一个△ABC.①当CA⊥BA时.∵∠B＝45°.BC＝2.∴AC＝BC•sin45°＝2×＝.即此时d＝.②当CA＝BC时.∵∠B＝45°.BC＝2.∴此时AC＝2.即d＞2.综上.当d＝或d＞2时能作出唯一一个△ABC.故选：B．【点评】本题主要考查三角形的三边关系及等腰直角三角形的知识.熟练掌握等腰直角三角形的性质及三角形的三边关系是解题的关键．13．（2022•宜宾）如图.△ABC和△ADE都是等腰直角三角形.∠BAC＝∠DAE＝90°.点D是BC边上的动点（不与点B、C重合）.DE与AC交于点F.连结CE．下列结论：①BD＝CE.②∠DAC＝∠CED.③若BD＝2CD.则＝.④在△ABC内存在唯一一点P.使得P A+PB+PC的值最小.若点D在AP的延长线上.且AP的长为2.则CE＝2+．其中含所有正确结论的选项是（）A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④【分析】①正确．证明△BAD≌△DAE（SAS）.可得结论.②正确．证明A.D.C.E四点共圆.利用圆周角定理证明.③正确．设CD＝m.则BD＝CE＝2m．DE＝m.OA＝m.过点C作CJ⊥DF于点J.求出AO.CJ.可得结论.④错误．将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM.连接PN.当点A.点P.点N.点M共线时.P A+PB+PC值最小.此时∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°.PB ＝PC.AD⊥BC.设PD＝t.则BD＝AD＝t.构建方程求出t.可得结论．【解析】如图1中.∵∠BAC＝∠DAE＝90°.∴∠BAD＝∠CAE.∵AB＝AC.AD＝AE.∴△BAD≌△DAE（SAS）.∴BD＝EC.∠ADB＝∠AEC.故①正确.∵∠ADB+∠ADC＝180°.∴∠AEC+∠ADC＝180°.∴∠DAE+∠DCE＝180°.∴∠DAE＝∠DCE＝90°.取DE的中点O.连接OA.OA.OC.则OA＝OD＝OE＝OC.∴A.D.C.E四点共圆.∴∠DAC＝∠CED.故②正确.设CD＝m.则BD＝CE＝2m．DE＝m.OA＝m.过点C作CJ⊥DF于点J.∵tan∠CDF＝＝＝2.∴CJ＝m.∵AO⊥DE.CJ⊥DE.∴AO∥CJ.∴＝＝＝.故③正确．如图2中.将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM.连接PN.∴BP＝BN.PC＝NM.∠PBN＝60°.∴△BPN是等边三角形.∴BP＝PN.∴P A+PB+PC＝AP+PN+MN.∴当点A.点P.点N.点M共线时.P A+PB+PC值最小.此时∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°.PB＝PC.AD⊥BC.∴∠BPD＝∠CPD＝60°.设PD＝t.则BD＝AD＝t.∴2+t＝t.∴t＝+1.∴CE＝BD＝t＝3+.故④错误．故选：B．【点评】本题考查等腰直角三角形的性质.全等三角形的判定和性质.四点共圆.圆周角定理.解直角三角形等知识.解题的关键是学会添加常用辅助线.构造特殊三角形解决问题.属于中考选择题中的压轴题．14．（2022•眉山）在△ABC中.AB＝4.BC＝6.AC＝8.点D.E.F分别为边AB.AC.BC 的中点.则△DEF的周长为（）A．9B．12C．14D．16【分析】根据三角形的中位线平行于第三边.并且等于第三边的一半.可得出△ABC的周长＝2△DEF的周长．【解析】如图.点E.F分别为各边的中点.∴DE、EF、DF是△ABC的中位线.∴DE＝BC＝3.EF＝AB＝2.DF＝AC＝4.∴△DEF的周长＝3+2+4＝9．故选：A．【点评】本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系．15．（2022•湘潭）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时.用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图）.并用它证明了勾股定理.这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1.α为直角三角形中的一个锐角.则tanα＝（）A．2B．C．D．【分析】根据题意和题目中的数据.可以先求出大正方形的面积.然后设出小直角三角形的两条直角边.再根据勾股定理和两直角边的关系可求得直角三角形的两条直角边的长.然后即可求得tanα的值．【解析】由已知可得.大正方形的面积为1×4+1＝5.设直角三角形的长直角边为a.短直角边为b.则a2+b2＝5.a﹣b＝1.解得a＝2.b＝1或a＝1.b＝﹣2（不合题意.舍去）.∴tanα＝＝＝2.故选：A．【点评】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形.解答本题的关键是求出直角三角形的两条直角边长．16．（2022•苏州）如图.点A的坐标为（0.2）.点B是x轴正半轴上的一点.将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为（m.3）.则m的值为（）A．B．C．D．【分析】过C作CD⊥x轴于D.CE⊥y轴于E.根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC.可得△ABC是等边三角形.又A（0.2）.C（m.3）.即得AC＝＝BC＝AB.可得BD＝＝.OB＝＝.从而+＝m.即可解得m＝．【解析】过C作CD⊥x轴于D.CE⊥y轴于E.如图：∵CD⊥x轴.CE⊥y轴.∠DOE＝90°.∴四边形EODC是矩形.∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC.∴AB＝AC.∠BAC＝60°.∴△ABC是等边三角形.∴AB＝AC＝BC.∵A（0.2）.C（m.3）.∴CE＝m＝OD.CD＝3.OA＝2.∴AE＝OE﹣OA＝CD﹣OA＝1.∴AC＝＝＝BC＝AB.在Rt△BCD中.BD＝＝.在Rt△AOB中.OB＝＝.∵OB+BD＝OD＝m.∴+＝m.化简变形得：3m4﹣22m2﹣25＝0.解得m＝或m＝﹣（舍去）.∴m＝.故选：C．【点评】本题考查直角坐标系中的旋转变换.解题的关键是熟练应用勾股定理.用含m的代数式表示相关线段的长度．17．（2022•扬州）如图.小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了.需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据.为了方便表述.将该三角形记为△ABC.提供下列各组元素的数据.配出来的玻璃不一定符合要求的是（）A．AB.BC.CA B．AB.BC.∠B C．AB.AC.∠B D．∠A.∠B.BC 【分析】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．【解析】A．利用三角形三边对应相等.两三角形全等.三角形形状确定.故此选项不合题意.B．利用三角形两边、且夹角对应相等.两三角形全等.三角形形状确定.故此选项不合题意.C．AB.AC.∠B.无法确定三角形的形状.故此选项符合题意.D．根据∠A.∠B.BC.三角形形状确定.故此选项不合题意.故选：C．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用.正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．18．（2022•湖州）如图.已知在锐角△ABC中.AB＝AC.AD是△ABC的角平分线.E 是AD上一点.连结EB.EC．若∠EBC＝45°.BC＝6.则△EBC的面积是（）A．12B．9C．6D．3【分析】根据等腰三角形的性质得到BD＝CD＝3.AD⊥BC.根据等腰直角三角形的性质求出ED.根据三角形的面积公式计算.得到答案．【解析】∵AB＝AC.AD是△ABC的角平分线.∴BD＝CD＝BC＝3.AD⊥BC.在Rt△EBD中.∠EBC＝45°.∴ED＝BD＝3.∴S△EBC＝BC•ED＝×6×3＝9.故选：B．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、直角三角形的性质.掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．19．（2022•宁波）如图.在Rt△ABC中.D为斜边AC的中点.E为BD上一点.F为CE中点．若AE＝AD.DF＝2.则BD的长为（）A．2B．3C．2D．4【分析】根据三角形中位线可以求得AE的长.再根据AE＝AD.可以得到AD的长.然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系.可以求得BD的长．【解析】∵D为斜边AC的中点.F为CE中点.DF＝2.∴AE＝2DF＝4.∵AE＝AD.∴AD＝4.在Rt△ABC中.D为斜边AC的中点.∴BD＝AC＝AD＝4.故选：D．【点评】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线.解答本题的关键是求出AD的长．20．（2022•云南）如图.OB平分∠AOC.D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点.D、E、F与O点都不重合.连接ED、EF．若添加下列条件中的某一个.就能使△DOE≌△FOE．你认为要添加的那个条件是（）A．OD＝OE B．OE＝OF C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE【分析】由OB平分∠AOC.得∠DOE＝∠FOE.由OE＝OE.可知∠ODE＝∠OFE.即可根据AAS得△DOE≌△FOE.可得答案．【解析】∵OB平分∠AOC.∴∠DOE＝∠FOE.又OE＝OE.若∠ODE＝∠OFE.则根据AAS可得△DOE≌△FOE.故选项D符合题意.而增加OD＝OE不能得到△DOE≌△FOE.故选项A不符合题意.增加OE＝OF不能得到△DOE≌△FOE.故选项B不符合题意.增加∠ODE＝∠OED不能得到△DOE≌△FOE.故选项C不符合题意.故选：D．【点评】本题考查全等三角形的判定.解题的关键是掌握全等三角形判定定理并会应用．21．（2022•达州）如图.AB∥CD.直线EF分别交AB.CD于点M.N.将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放.若∠EMB＝80°.则∠PNM等于（）A．15°B．25°C．35°D．45°【分析】根据平行线的性质得到∠DNM＝∠BME＝80°.由等腰直角三角形的性质得到∠PND＝45°.即可得到结论．【解析】∵AB∥CD.∴∠DNM＝∠BME＝80°.∵∠PND＝45°.∴∠PNM＝∠DNM﹣∠DNP＝80°﹣45°＝35°.故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质.等腰直角三角形的性质.熟练掌握平行线的性质是解题的关键．22．（2022•金华）如图.圆柱的底面直径为AB.高为AC.一只蚂蚁在C处.沿圆柱的侧面爬到B处.现将圆柱侧面沿AC“剪开”.在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线.正确的是（）A．B．C．D．【分析】利用圆柱的侧面展开图是矩形.而点B是展开图的一边的中点.再利用蚂蚁爬行的最近路线为线段可以得出结论．【解析】将圆柱侧面沿AC“剪开”.侧面展开图为矩形.∵圆柱的底面直径为AB.∴点B是展开图的一边的中点.∵蚂蚁爬行的最近路线为线段.∴C选项符合题意.故选：C．【点评】本题主要考查了圆柱的侧面展开图.最短路径问题.掌握两点之间线段最短是解题的关键．23．（2022•舟山）如图.在Rt△ABC和Rt△BDE中.∠ABC＝∠BDE＝90°.点A 在边DE的中点上.若AB＝BC.DB＝DE＝2.连结CE.则CE的长为（）A．B．C．4D．【分析】根据题意先作出合适的辅助线.然后根据勾股定理可以得到AB和BC 的长.根据等面积法可以求得EG的长.再根据勾股定理求得EF的长.最后计算出CE的长即可．【解析】作EF⊥CB交CB的延长线于点F.作EG⊥BA交BA的延长线于点G.∵DB＝DE＝2.∠BDE＝90°.点A是DE的中点.∴BE＝＝＝2.DA＝EA＝1.∴AB＝＝＝.∵AB＝BC.∴BC＝.∵＝.∴.解得EG＝.∵EG⊥BG.EF⊥BF.∠ABF＝90°.∴四边形EFBG是矩形.∴EG＝BF＝.∵BE＝2.BF＝.∴EF＝＝＝.CF＝BF+BC＝+＝.∵∠EFC＝90°.∴EC＝＝＝.故选：D．【点评】本题考查勾股定理、等腰直角三角形.解答本题的关键是明确题意.求出EF和CF的长．24．（2022•遂宁）如图.D、E、F分别是△ABC三边上的点.其中BC＝8.BC边上的高为6.且DE∥BC.则△DEF面积的最大值为（）A．6B．8C．10D．12【分析】过点A作AM⊥BC于M.交DE于点N.则AN⊥DE.设AN＝a.根据DE ∥BC.证出△ADE∽△ABC.根据相似三角形对应高的比等于相似比得到DE＝a.列出△DEF面积S的函数表达式.根据配方法求最值即可．【解析】如图.过点A作AM⊥BC于M.交DE于点N.则AN⊥DE.设AN＝a.∵DE∥BC.∴∠ADE＝∠B.∠AED＝∠C.∴△ADE∽△ABC.∴＝.∴＝.∴DE＝a.∴△DEF面积S＝×DE×MN＝×a•（6﹣a）＝﹣a2+4a＝﹣（a﹣3）2+6.∴当a＝3时.S有最大值.最大值为6．故选：A．【点评】本题考查了三角形的面积.平行线的性质.列出△DEF面积S的函数表达式.根据配方法求最值是解题的关键．二．填空题（共15小题）25．（2022•岳阳）如图.在△ABC中.AB＝AC.AD⊥BC于点D.若BC＝6.则CD＝3．【分析】根据等腰三角形的性质可知D是BC的中点.即可求出CD的长．【解析】∵AB＝AC.AD⊥BC.∴CD＝BD.∵BC＝6.∴CD＝3.故答案为：3．【点评】本题考查了等腰三角形的性质.熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．26．（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍.这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”.底边BC的长为3.则腰AB的长为6．【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”.可知AB＝2BC或BC＝2AB.若AB ＝2BC＝6.可得AB的长为6.若BC＝3＝2AB.因1.5+1.5＝3.故此时不能构成三角形.这种情况不存在.即可得答案．【解析】∵等腰△ABC是“倍长三角形”.∴AB＝2BC或BC＝2AB.若AB＝2BC＝6.则△ABC三边分别是6.6.3.符合题意.∴腰AB的长为6.若BC＝3＝2AB.则AB＝1.5.△ABC三边分别是1.5.1.5.3.∵1.5+1.5＝3.∴此时不能构成三角形.这种情况不存在.综上所述.腰AB的长是6.故答案为：6．【点评】本题考查三角形三边关系.涉及新定义.解题的关键是分类思想的应用及掌握三角形任意两边的和大于第三边．27．（2022•云南）已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°.则△ABC的顶角度数是40°或100°．【分析】分∠A是顶角和底角两种情况讨论.即可解答．【解析】当∠A是顶角时.△ABC的顶角度数是40°.当∠A是底角时.则△ABC的顶角度数为180°﹣2×40°＝100°.综上.△ABC的顶角度数是40°或100°．故答案为：40°或100°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质.此类题目.难点在于要分情况讨论．28．（2022•滨州）如图.屋顶钢架外框是等腰三角形.其中AB＝AC.立柱AD⊥BC.且顶角∠BAC＝120°.则∠C的大小为30°．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B＝∠C＝30°．【解析】∵AB＝AC且∠BAC＝120°.∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×60°＝30°．故答案为：30°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质.熟练掌握等腰三角形的两个底角相等的性质是解题的关键．29．（2022•丽水）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是（﹣.3）.则A点的坐标是（.﹣3）．【分析】根据正六边形的性质可得点A和点B关于原点对称.进而可以解决问题．【解析】因为点A和点B关于原点对称.B点的坐标是（﹣.3）.所以A点的坐标是（.﹣3）.故答案为：（.﹣3）．【点评】本题考查了正六边形的性质.中心对称图形.解决本题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征．30．（2022•金华）如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.∠A＝30°.BC＝2cm．把△ABC沿AB方向平移1cm.得到△A'B'C'.连结CC'.则四边形AB'C'C的周长为（8+2）cm．【分析】利用含30°角的直角三角形的性质.勾股定理和平移的性质.求得四边形AB'C'C的四边即可求得结论．【解析】∵在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.∠A＝30°.BC＝2cm.∴AB＝2BC＝4.∴AC＝＝2．∵把△ABC沿AB方向平移1cm.得到△A'B'C'.∴B′C′＝BC＝2.AA′＝CC′＝1.A′B′＝AB＝4.∴AB′＝AA′+A′B′＝5．∴四边形AB'C'C的周长为AB′+B′C′+CC′+AC＝5+2+1+2＝（8+2）cm．故答案为：（8+2）．【点评】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质.勾股定理和平移的性质.熟练掌握平移的性质是解题的关键．31．（2022•宜宾）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作.书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式.其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂.余半之.自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上.余四约之.为实．一为从隅.开平方得积．”若把以上这段文字写成公式.即为S＝．现有周长为18的三角形的三边满足a：b：c ＝4：3：2.则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为3．【分析】根据题意先求出a、b、c.再代入公式进行计算即可．【解析】根据a：b：c＝4：3：2.设a＝4k.b＝3k.c＝2k.则4k+3k+2k＝18.解得：k＝2.∴a＝4k＝4×2＝8.b＝3k＝3×2＝6.c＝2k＝2×2＝4.∴S＝＝＝3.故答案为：3．【点评】本题考查了二次根式的运算.要注意运算顺序.解答的关键是对相应的运算法则的熟练掌握．32．（2022•十堰）【阅读材料】如图①.四边形ABCD中.AB＝AD.∠B+∠D＝180°.点E.F分别在BC.CD上.若∠BAD＝2∠EAF.则EF＝BE+DF．【解决问题】如图②.在某公园的同一水平面上.四条道路围成四边形ABCD．已知CD＝CB＝100m.∠D＝60°.∠ABC＝120°.∠BCD＝150°.道路AD.AB上分别有景点M.N.且DM＝100m.BN＝50（﹣1）m.若在M.N之间修一条直路.则路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m（结果取整数.参考数据：≈1.7）．【分析】解法一：如图.作辅助线.构建直角三角形.先根据四边形的内角和定理证明∠G＝90°.分别计算AD.CG.AG.BG的长.由线段的和与差可得AM和AN 的长.最后由勾股定理可得MN的长.计算AM+AN﹣MN可得答案．解法二：构建【阅读材料】的图形.根据结论可得MN的长.从而得结论．【解析】解法一：如图.延长DC.AB交于点G.∵∠D＝60°.∠ABC＝120°.∠BCD＝150°.∴∠A＝360°﹣60°﹣120°﹣150°＝30°.∴∠G＝90°.∴AD＝2DG.Rt△CGB中.∠BCG＝180°﹣150°＝30°.∴BG＝BC＝50.CG＝50.∴DG＝CD+CG＝100+50.∴AD＝2DG＝200+100.AG＝DG＝150+100.∵DM＝100.∴AM＝AD﹣DM＝200+100﹣100＝100+100.∵BG＝50.BN＝50（﹣1）.∴AN＝AG﹣BG﹣BN＝150+100﹣50﹣50（﹣1）＝150+50.Rt△ANH中.∵∠A＝30°.∴NH＝AN＝75+25.AH＝NH＝75+75.由勾股定理得：MN＝＝＝50（+1）.∴AM+AN﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．解法二：如图.延长DC.AB交于点G.连接CN.CM.则∠G＝90°.∵CD＝DM.∠D＝60°.∴△BCM是等边三角形.∴∠DCM＝60°.由解法一可知：CG＝50.GN＝BG+BN＝50+50（﹣1）＝50.∴△CGN是等腰直角三角形.∴∠GCN＝45°.∴∠BCN＝45°﹣30°＝15°.∴∠MCN＝150°﹣60°﹣15°＝75°＝∠BCD.由【阅读材料】的结论得：MN＝DM+BN＝100+50（﹣1）＝50+50.∵AM+AN﹣MN＝AD+AG﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．故答案为：370．【点评】此题重点考查了含30°的直角三角形的性质.勾股定理.二次根式的混合运算等知识与方法.解题的关键是作出所需要的辅助线.构造含30°的直角三角形.再利用线段的和与差进行计算即可．33．（2022•山西）如图.在正方形ABCD中.点E是边BC上的一点.点F在边CD 的延长线上.且BE＝DF.连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF.垂足为点M.交边CD于点N．若BE＝＝8.则线段AN的长为4．【分析】连接AE.AF.EN.由正方形的性质可得AB＝AD.BC＝CD.∠ABE＝∠BCD＝∠ADF＝90°.可证得△ABE≌△ADF（SAS）.可得∠BAE＝∠DAF.AE ＝AF.从而可得∠EAF＝90°.根据等腰三角形三线合一可得点M为EF中点.由AN⊥EF可证得△AEM≌△AFM（SAS）.△EMN≌△FMN（SAS）.可得EN ＝FN.设DN＝x.则EN＝FN＝x+5.CE＝x+3.由勾股定理解得x＝12.可得AB＝CD＝20.由勾股定理可得AE＝5.从而可得AM＝EM＝FM＝.由勾股定理可得MN＝.即可求解．【解析】如图.连接AE.AF.EN.∵四边形ABCD为正方形.∴AB＝AD.BC＝CD.∠ABE＝∠BCD＝∠ADF＝90°.∵BE＝DF.∴△ABE≌△ADF（SAS）.∴∠BAE＝∠DAF.AE＝AF.∴∠EAF＝90°.∴△EAF为等腰直角三角形.∵AN⊥EF.∴EM＝FM.∠EAM＝∠F AM＝45°.∴△AEM≌△AFM（SAS）.△EMN≌△FMN（SAS）.∴EN＝FN.设DN＝x.∵BE＝DF＝＝8.∴CD＝CN+DN＝x+8.∴EN＝FN＝DN+DF＝x+5.CE＝BC﹣BE＝CD﹣BE＝x+8﹣5＝x+3.在Rt△ECN中.由勾股定理可得：CN2+CE2＝EN2.即82+（x+3）2＝（x+5）2.解得：x＝12.∴AB＝CD＝x+8＝20.EN＝x+5＝17.在Rt△ABE中.由勾股定理可得：AE＝＝＝5.∴AM＝EM＝FM＝＝.在Rt△EMN中.由勾股定理可得：MN＝＝＝.∴AN＝AM+MN＝+＝4.故答案为：4．【点评】本题考查正方形的性质.勾股定理.等腰三角形的性质.全等三角形的判定与性质等知识点.解题的关键是正确作出辅助线.构建全等三角形解决问题．34．（2022•武汉）如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.AC＞BC.分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL.ACDE.BCFG.连接DF．过点C作AB的垂线CJ.垂足为J.分别交DF.LH于点I.K．若CI＝5.CJ＝4.则四边形AJKL的面积是80．【分析】过点D作DM⊥CI于点M.过点F作FN⊥CI于点N.由正方形的性质可证得△ACJ≌△CDM.△BCJ≌△CFN.可得DM＝CJ.FN＝CJ.可证得△DMI ≌△FNI.由直角三角形斜边上的中线的性质可得DI＝FI＝CI.由勾股定理可得MI.NI.从而可得CN.可得BJ与AJ.即可求解．【解析】过点D作DM⊥CI.交CI的延长线于点M.过点F作FN⊥CI于点N.∵△ABC为直角三角形.四边形ACDE.BCFG为正方形.过点C作AB的垂线CJ.CJ＝4.∴AC＝CD.∠ACD＝90°.∠AJC＝∠CMD＝90°.∠CAJ+∠ACJ＝90°.BC＝CF.∠BCF＝90°.∠CNF＝∠BJC＝90°.∠FCN+∠CFN＝90°.∴∠ACJ+∠DCM＝90°.∠FCN+∠BCJ＝90°.∴∠CAJ＝∠DCM.∠BCJ＝∠CFN.∴△ACJ≌△CDM（AAS）.△BCJ≌△CFN（AAS）.∴AJ＝CM.DM＝CJ＝4.BJ＝CN.NF＝CJ＝4.∴DM＝NF.∴△DMI≌△FNI（AAS）.∴DI＝FI.MI＝NI.∵∠DCF＝90°.∴DI＝FI＝CI＝5.在Rt△DMI中.由勾股定理可得：MI＝＝＝3.∴NI＝MI＝3.∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8.BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2.∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10.∵四边形ABHL为正方形.∴AL＝AB＝10.∵四边形AJKL为矩形.∴四边形AJKL的面积为：AL•AJ＝10×8＝80.故答案为：80．【点评】本题考查正方形的性质.勾股定理.全等三角形的判定与性质等知识点.解题的关键是正确作出辅助线.利用全等三角形的性质进行求解．35．（2022•孝感）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三.股修四.经隅五”．观察下列勾股数：3.4.5.5.12.13.7.24.25.….这类勾股数的特点是：勾为奇数.弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数.弦与股相差为2的一类勾股数.如：6.8.10.8.15.17.….若此类勾股数的勾为2m（m≥3.m为正整数）.则其弦是m2+1（结果用含m的式子表示）．【分析】根据题意得2m为偶数.设其股是a.则弦为a+2.根据勾股定理列方程即可得到结论．【解析】∵m为正整数.∴2m为偶数.设其股是a.则弦为a+2.根据勾股定理得.（2m）2+a2＝（a+2）2.解得a＝m2+1.综上所述.其弦是m2+1.故答案为：m2+1．【点评】本题考查了勾股数.勾股定理.熟练掌握勾股定理是解题的关键．36．（2022•台州）如图.在△ABC中.∠ACB＝90°.D.E.F分别为AB.BC.CA的中点．若EF的长为10.则CD的长为10．【分析】根据三角形中位线定理求出AB.根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求出CD．【解析】∵E.F分别为BC.CA的中点.∴EF是△ABC的中位线.∴EF＝AB.∴AB＝2EF＝20.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.D为AB中点.AB＝20.。

中考数学专题练习21《等腰三角形》

中考数学专题练习21《等腰三角形》

21.等腰三角形一、选择题1. (2018·宿迁)若实数,m n 满足等式20m -=，且,m n 恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长，则ABC ∆的周长是( )A. 12B. 10C. 8D. 62. (2018·新疆)如图，//AB CD ，点E 在线段BC 上，CD CE =.若30ABC ∠=︒，则D ∠的度数为( )A.85ºB.75ºC.60ºD.30º3. (2018·昆明)在AOC ∆中，OB 交AC 于点D ，量角器的摆放如图所示，则CDO ∠的度数为( )A. 90ºB. 95ºC. 100ºD. 120º4. ( 2018·黄冈)如图，在ABC ∆中，DE 是AC 的垂直平分线，且分别交,BC AC 于点D 和E ，60B ∠=︒，25C ∠=︒，则BAD ∠的度数为( )A. 50ºB. 70ºC. 75ºD. 80º5.(2018·湖州)如图，,AD CE 分别是ABC ∆的中线和角平分线.若AB AC =，20CAD ∠=︒，则ACE ∠的度数是( )A. 20ºB. 35ºC. 40ºD. 70º6. ( 2018·包头)如图，在ABC ∆中，AB AC =，ADE ∆的顶点,D E 分别在,BC AC 上，且90DAE ∠=︒，AD AE =.若145C BAC ∠+∠=，则EDC ∠的度数为( )A.17.5ºB. 12.5ºC. 12ºD. 10º7. (2018·台湾)如图，五边形ABCDE 中有一等边三角形ACD .若AB DE =，BC AE =，115E ∠=︒，则BAE ∠的度数为( )A. 115ºB. 120ºC. 125ºD. 130º8. (2018·福建)如图，在等边三角形ABC 中，AD BC ⊥，垂足为D ，点E 在线段AD 上，45EBC ∠=︒，则ACE ∠的度数为( )A.15ºB. 30ºC. 45ºD. 60º9. (2018·玉林)如图，60AOB ∠=︒，OA OB =，动点C 从点O 出发，沿射线OB 方向移动，以AC 为边在右侧作等边三角形ACD ，连接BD ，则BD 所在直线与OA 所在直线的位置关系是( )A.平行B.相交C.垂直D.平行、相交或垂直10. (2018·枣庄)如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形，线段AB 的端点都在小矩形的顶点上.如果P 是某个小矩形的顶点，连接,PA PB ，那么使ABP ∆为等腰直角三角形的点P 的个数是( )A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题11. (2018·南通)一个等腰三角形的两边长分别为4 cm 和9 cm ，则它的周长为 cm.12. (1) (2018·成都)等腰三角形的一个底角为50º，则它的顶角的度数为 ;(2)(2018·淮安)若一个等腰三角形的顶角为50º，则它的底角的度数为 .13. (2018·湘潭)如图，在等边三角形ABC 中，D 是边BC 的中点，则BAD ∠的度数为 .14. (2018·长春)如图，在ABC ∆中，AB AC =，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，交AC的延长线于点D ，连接BD .若32A ∠=︒，则CDB ∠的大小为 .15. (2018·桂林)如图，在止ABC ∆中，36A ∠=︒，AB AC =，BD 平分ABC ∠，则图中等腰三角形的个数是 .16. (2018·南充)如图，在ABC ∆中，AF 平分BAC ，AC 的垂直平分线交BC 于点E ，70B ∠=︒，19FAE ∠=︒，则C ∠= .17. (2018·娄底)如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，DE AB ⊥于点E ，BF AC ⊥于点F ，3DE =cm ，则BF = cm.18. (2018·遵义)如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，BD AD AC ==，E 为CD 的中点.若16CAE ∠=︒，则B ∠的度数为 .19. (2018·吉林)我们规定:等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k .若12k =，则该三角形的顶角的度数为 . 20.(2018·哈尔滨)在ABC ∆中，AB AC =，100BAC ∠=︒，点D 在BC 边上，连接AD .若ABD ∆为直角三角形，则ADC ∠的度数为 . 三、解答题21. (2018·武汉)如图，点,E F 在BC 上，BE CF =，AB DC =，B C ∠=∠，AF 与DE交于点G .求证:GE GF =.22. (2018·镇江)如图，在ABC ∆中，AB AC =，点,E F 在边BC 上，BE CF =，点D 在AF 的延长线上，AD AC =.(1)求证: ABE ACF ∆≅∆;(2)若30BAE ∠=︒，求ADC ∠的度数.23. (2018·嘉兴)如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 为AC 的中点，DE AB ⊥，DF BC ⊥，垂足分别为E ，F ，且DE DF =.求证: ABC ∆是等边三角形.24.(2018·广安)下面有4张形状、大小、完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1.请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下:(1)画一个一直角边长为4、面积为6的直角三角形;(2)画一个底边长为4、面积为8的等腰三角形;(3)画一个面积为5的等腰直角三角形;(4)画一个一边长为6的等腰三角形.25. (2018·哈尔滨)已知在四边形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点E ，且AC BD ⊥，作BF CD ⊥，垂足为F ，BF 与AC 交于点G ，BGE ADE ∠=∠.(1)如图①，求证:AD CD =.(2)如图②，BH 是ABE ∆的中线.若2,AE DE DE EG ==，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都是ADE ∆面积的2倍.26. (2018·滨州)已知在ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，D 为BC 的中点.(1)如图①，若,E F 分别为,AB AC 上的点，且DE DF ⊥，求证:BE AF =.(2)若,E F 分别为,AB CA 延长线上的点，且DE DF ⊥，则BE AF =吗?请利用图②说明理由.27. (2018·绍兴)数学课上，张老师举了下面的例题:例1在等腰三角形ABC 中，110A ∠=︒，求B ∠的度数.(答案:35º)例2在等腰三角形ABC 中，40A ∠=︒，求B ∠的度数. (答案:40º或70º或100º) 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题:变式在等腰三角形ABC 中，80A ∠=︒，求B ∠的度数.(1)请你解答以上的变式题.(2)解(1)后，小敏发现，A ∠的度数不同，得到B ∠的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC 中，设A x ∠=︒，当B ∠有三个不同的度数时，请你探索x 的取值范围.28. (2018·沈阳)已知ABC ∆是等腰三角形，CA CB =，090ACB ︒<∠≤︒.点M 在边AC上，点N 在边BC 上(点M ，点N 不与所在线段端点重合)，BN AM =，连接,AN BM ，射线//AG BC ，延长BM 交射线AG 于点D ，点E 在直线AN 上，且AE DE =.(1)如图，当90ACB ∠=︒时，①求证: BCM ACN ∆≅∆;②求BDE ∠的度数.(2)当ACB α∠=，其他条件不变时，BDE ∠的度数是 .(用含α的代数式表示)(3)若ABC ∆是等边三角形，AB =N 是BC 边上的三等分点，直线ED 与直线BC 交于点F ，请直接写出线段CF 的长.参考答案一、1. B 2. B 3. B 4. B 5. B 6. D 7. C 8. A 9. A10. B二、填空题11. 2212. (1) 80︒ (2) 65︒13. 30︒14. 37︒15. 316. 24︒17. 618. 37︒19. 36︒20. 130︒或90︒三、21. ∵BE CF =，∴BF CE =.在ABF ∆和DCE ∆中，AB DC B C BF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABF DCE SAS ∆≅∆，∴GFE GEF ∠=∠，∴GE GF =.22. (1)∵AB AC =，∴B ACF ∠=∠.在ABE ∆和ACF ∆中，AB AC B ACF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE ACF SAS ∆≅∆.(2) 75ADC ∠=︒.23.∵DE AB ⊥，DF BC ⊥，∴90AED CFD ∠=∠=︒.∵D 为AC 的中点，∴AD DC =.在Rt AED ∆和Rt CFD ∆中，AD CD DE DF =⎧⎨=⎩， ∴()Rt AED Rt CFD HL ∆≅∆，∴A C ∠=∠，∴AB BC =.∵AB AC =，∴ABC ∆是等边三角形.24. 画法不唯一，如(1)如图①所示；(2)如图②所示；(3)如图③所示；(4)如图④所示.25. (1)∵BGE ADE ∠=∠，BGE CGF ∠=∠，∴ADE CGF ∠=∠.∵AC BD ⊥，BF CD ⊥，∴90ADE DAE ∠+∠=︒，90CGF GCF ∠+∠=︒，∴DAE GCF ∠=∠，AD CD =.(2) ACD ∆，ABE ∆，BCE ∆，BHG ∆26. (1)点拨如图①，连接AD .证明BDE ADF ∆≅∆，从而得到BE AF =.(2)点拨如图②，连接AD .证明EDB FDA ∆≅∆，从而得到BE AF =.27. (1)①若A ∠为顶角，则50B ∠=︒.②(i)若A ∠为底角，B ∠为顶角，则20B ∠=︒;(ii)若A ∠为底角，B ∠为底角，则80B ∠=︒.∴50B ∠=︒或20B ∠=︒或80B ∠=︒(2)分两种情况:①当90180x ≤<90时，A ∠只能为顶角，B ∠的度数只有一个.②当090x <<时，(i)若A ∠为顶角，则180()2x B -∠=︒; (ii)若A ∠为底角，B ∠为顶角，则(1802)B x ∠=-︒;(iii)若A ∠为底角，B ∠为底角，则B x ∠=︒. 根据题意，当18018022x x -≠-且1802x x -≠且1802x x -≠, 即60x ≠时，B ∠有三个不同的度数.综上所述，当090x <<且60x ≠时，B ∠有三个不同的度数. 28. (1)①∵,CA CB BN AM ==，∴CM CN =.在BCM ∆和ACN ∆中，CM CN BCM ACN CB CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCM ACN SAS ∆≅∆.②90BDE ∠=︒(2)α或180α︒-。

专题16 等腰三角形与直角三角形(共25道)(解析版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)

专题16 等腰三角形与直角三角形(共25道)(解析版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)

专题16等腰三角形与直角三角形（25道）一、单选题1．如图，直角ABC 中，30B ∠=︒，点O 是ABC 的重心，连接CO 并延长交AB 于点E ，过点E 作EF AB ⊥交BC 于点F ，连接AF 交CE 于点M ，则MO MF 的值为()A ．12B ．54C ．23D ．33【答案】D 【详解】解：∵点O 是△ABC 的重心，∴OC =23CE ，∵△ABC 是直角三角形，∴CE =BE =AE ，∵∠B =30°，∴∠FAE =∠B =30°，∠BAC =60°，∴∠FAE =∠CAF =30°，△ACE 是等边三角形，∴CM =12CE ，∴OM =23CE ﹣12CE =16CE ，即OM =16AE ，∵BE =AE ，∴EF =33AE ，∵EF ⊥AB ，∴∠AFE =60°，∴∠FEM =30°，∴MF =12EF ，∴MF =36AE ，∴MO MF =1636AE AE =33．故选D ．2．将一副直角三角板和一把宽度为2cm 的直尺按如图方式摆放：先把60︒和45︒角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A ，B 两点，则AB 的长是（）A ．23-B ．232-C ．2D ．23【答案】B 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得2cm AD CD ==，由含30度角直角三角形的性质可得24cm BC CD ==，由勾股定理可得BD 的长，即可得到结论．【详解】解：如图，在Rt ACD △中，45ACD ∠=︒，∴45CAD ACD ∠=︒=∠，∴2cm AD CD ==，在Rt BCD 中，60BCD ∠=︒，∴30CBD ∠=︒，∴24cm BC CD ==，∴222242BD BC CD =-=-∴()233cm AB BD AD =-=-故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，含解题的关键．A ．1【答案】C 【分析】根据等腰三角形两底角相等与36ABD CBD ∠=∠=︒，根据线段垂直平分线性质得到EB ED =，得到EBD EDB ∠=∠，推出EDB CBD ∠=∠，得到DE BC ∥，推出AED ABC ∠=∠，①正确；根据等角对等边得到AD AE =，AD BD =，根据三角形外角性质得到72BDC C ∠=︒=∠，得到BC BD =，推出BC AE =，②正确；根据AED ABC △∽△，得到ED AD AD BC AC AD DC ==+，推出512ED BC -=，③错误；根据2AC =时，512CD AD -=，得到5122AD AD -=-,推出51AD =-，④正确．【详解】∵ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒，∴()1180722ABC C A ∠=∠=︒-∠=︒，由作图知，BD 平分ABC ∠，MN 垂直平分BD ，∴1362ABD CBD ABC ∠=∠=∠=︒，EB ED =，∴EBD EDB ∠=∠，∴EDB CBD ∠=∠，∴DE BC ∥，∴AED ABC ∠=∠，①正确；ADE C ∠=∠，∴AED ADE ∠=∠，∴AD AE =，∵A ABD ∠=∠，∴AD BD =，∵72BDC A ABD ∠=∠+∠=︒，∴BDC C ∠=∠，∴BC BD =，∴BC AE =，②正确；设ED x =，BC a =，则AD a =，BE x =，∴CD BE x ==，∵AED ABC △∽△，∴ED AD AD BC AC AD DC==+，A．①④【答案】A【分析】①有3种情况，分别画出图形，得出得最大值，进而根据已知数据，结合勾股定理，求得△，根据相似三角形的性质求得∽△CABC BD解；④如图6，根据相似三角形的性质得出性质，即可求AC CD +取得最大值时，2x =．【详解】①有3种情况，如图1，BC 和OD 都是中线，点E 是重心；如图2，四边形ABDC 是平行四边形，F 是AD 中点，点E 是重心；如图3，点F 不是AD 中点，所以点E 不是重心；①正确②当60α=︒，如图4时AD 最大，4AB =，∴2AC BE ==，23BC AE ==，36BD BC ==，∴8DE =，∴21927AD =≠，∴②错误；③如图5，若60α=︒，C ABC BD ∽△△，∴60BCD ∠=︒，90CDB ∠=︒，4AB =，2AC =，23BC =，3OE =，1CE =，∴3CD =，32GE DF ==，32CF =，A．1【答案】D【分析】根据题意易得【详解】解：∴3=AB BC∵点D为AB∴132AD AB ==，∵AD DE AB BC=，∴1DE =，①当点E 为AC 的中点时，如图，∴122AE AC ==，②当点E 为AC 的四等分点时，如图所示：∴1AE =，综上所述：1AE =或2；故选D ．【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及三角形中位线，熟练掌握含30度直角三角形的性质及三角形中位线是解题的关键．6．如图，在Rt ABC 中，9053C AB BC ∠=︒==，，，以点A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB AC，于点E F ，，分别以点E F ，为圆心，大于12EF 的长为半径作弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点G ，作射线AG ，交BC 于点D ，则BD 的长为（）A ．35B ．34C ．43D ．53【点睛】本题考查了作图：作角平分线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用全等的性质、利用勾股定理建立方程是解题的关键．7．5月26日，“2023有一个等腰三角形模型（示意图如图所示）A．4m B．6m【分析】作AD BC ⊥于点D ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得()1180302B C BAC ∠=∠=︒-∠=︒，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．【详解】解：如图，作AD BC ⊥于点D ，ABC 中,120BAC ∠=︒，AB AC =，∴()1180302B C BAC ∠=∠=︒-∠=︒， AD BC ⊥，∴11126m 22AD AB ==⨯=，故选B ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半．8．如图，ABC 为等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，60ADE ∠=︒，若4BD DC =， 2.4DE =，则AD 的长为（）A ．1.8B ．2.4C ．3D ．3.2【答案】C 【分析】证明ADC DEB ∽△△，根据题意得出45BD BC =，进而即可求解．【详解】解：∵ABC 为等边三角形，∴60B C ∠=∠=︒，∵ADB ADE BDE C DAC ∠=∠+∠=∠+∠，60ADE ∠=︒，∴BDE DAC ∠=∠，下列不属于．．．该尺规作图依据的是（）A．两点确定一条直线B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D ．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等【答案】D【分析】利用直角三角形斜边中线的性质证明：OC OA OB ==即可．【详解】解：作直线PQ （两点确定一条直线），连接PA PB QA QB OC ，，，，，∵由作图，PA PB QA QB ==，，∴PQ AB ⊥且AO BO =（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．∵90ACB ∠=︒，∴12OC AB =（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），∴OA OB OC ==，∴A ，B ，C 三点在以O 为圆心，AB 为直径的圆上．∴O 为ABC 的外接圆．故选：D ．【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．如图，在ABC 中，9034ABC AB BC ∠=︒==，，，点D 在边AC 上，且BD 平分ABC 的周长，则BD 的长是（）A ．5B ．6C ．655D ．364【答案】C【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 的三边长a，b，c满足11．ABCA．等腰三角形B．直角三角形【答案】D【分析】由等式可分别得到关于为直角三角形．可推导得到ABC【详解】解∵2()23|32|0a b a b c -+--+-=又∵()20230320a b a b c ⎧-≥⎪⎪--≥⎨⎪-≥⎪⎩∴()20230320a b a b c ⎧-=⎪⎪--=⎨⎪-=⎪⎩，∴0230320a b a b c ⎧-=⎪--=⎨⎪-=⎩解得3332a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴222+=a b c ，且a b =，∴ABC 为等腰直角三角形，故选：D ．【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理．12．四边形ABCD 的边长如图所示，对角线AC 的长度随四边形形状的改变而变化．当ABC 为等腰三角形时，对角线AC 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【分析】利用三角形三边关系求得04AC <<，再利用等腰三角形的定义即可求解．【详解】解：在ACD 中，2AD CD ==，∴2222AC -<<+，即04AC <<，当4AC BC ==时，ABC 为等腰三角形，但不合题意，舍去；若3AC AB ==时，ABC 为等腰三角形，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．二、填空题=，∴当3MD MD=，即MD=3时MD+12⋅MA DN 有最小值为23．故答案为23．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；旋转的性质；最值问题；综合题．14．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点D 为BC 的中点，过点C 作CE AB ∥交AD 的延长线于点E ，若4AC =，5CE =，则CD 的长为．【答案】32/112/1.5【分析】先根据AAS 证明BDA CDE △≌△，推出5==BA CE ，再利用勾股定理求出BC ，最后根据中点的定义即可求CD 的长．【详解】解： CE AB ∥，∴BAD CED ∠=∠，点D 为BC 的中点，∴BD CD =，又 BDA CDE ∠=∠，∴BDA CDE △≌△()AAS ，∴5==BA CE ，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，4AC =，∴2222543BC AB AC =-=-=，∴1322CD BC ==．故答案为：32．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质等，证明BDA CDE △≌△是解题的【答案】52或412【分析】分两种情况当D 在CA 延长线上和当N ，利用勾股定理解题即可【详解】解：当在线段上时，连接OC ①当D 在线段AC 上时，1AD = ，2CD AC AD ∴=-=，90BCD ∠=︒ ，22222313BD CD BC ∴=+=+= 点O 是线段BD 的中点，11322OC OB OD BD ∴====，ON BC ⊥ ，1322CN BN BC ∴===，AB DE ，221ON CO CN =-= ，2222151()22OE ON NE ∴=+=+=，②当D 在CA 延长线上时，则4CD AD AC =+=，O 是线段BD 的中点，90BCD ∠=︒，12OC OB OD BD ∴===，ON BC ⊥ ，1322CN BN BC ∴===，OB OD = ，122ON CD ∴==，AB DE ，45CAB COE CBA CED ∴∠=∠=∠=∠=︒，4CE CD ∴==，35422EN CE CN ∴=-=-=，22225412()22OE EN ON ∴=+=+=，OE ∴的长为52或412．故答案为：52或412．【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．16．如图，在ABC 中，90,6C AC BC ∠=︒==．P 为边AB 上一动点，作PD BC ⊥于点D ，PE AC ⊥于点E ，则DE 的最小值为．【答案】32【分析】连接CP ，利用勾股定理列式求出DE CP =，再根据垂线段最短可得程求解即可．【详解】解：如图，连接CP ，∵90,6C AC BC ∠=︒==，∴222266AB AC BC =+=+=∵PD BC ⊥于点D ，PE AC ⊥于点∴四边形CDPE 是矩形，∴DE CP =，由垂线段最短可得CP AB ⊥时，线段此时，1122ABC S AC BC AB ==△⋅代入数据：11666222创=创∴32CP =，∴DE 的最小值为32，故答案为：32．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CP AB ⊥时，线段DE 的值最小是解题的关键．17．如图．四边形ABCD 中，AB AD =，BC DC =，60C ∠=︒，AE CD ∥交BC 于点E ，8BC =，6AE =，则AB 的长为．【答案】27【分析】连接AC 、BD 交于点O ，过点E 作EF AC ⊥，交AC 于点F ，先证明BCD △是等边三角形，AC 垂直平分BD ，求得30EAC ACD ACB ∠=∠=∠=︒，6AE EC ==，再解三角形求出23AO AC CO =-=，4BO =，最后运用勾股定理求得AB 即可．【详解】解：如图：连接AC 、BD 交于点O ，又∵BC DC =，60C ∠=︒，∵BCD △是等边三角形，∴8BD BC CD ===，∵AB AD =，BC DC =，【答案】65【分析】根据题意可得BD BE=答．【详解】解：根据题意可得：BD∴BDE BED ∠=∠，∵18050ABC BDE BED ABC ∠+∠+∠=︒∠=︒，，∴65BDE BED ∠=∠=︒．故答案为：65．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和等知识点，掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．19．如图，在ABC 中，以A 为圆心，AC 长为半径作弧，交BC 于C ，D 两点，分别以点C 和点D 为圆心，大于12CD 长为半径作弧，两弧交于点P ，作直线AP ，交CD 于点E ，若5AC =，6CD =，则AE =．【答案】4【分析】利用圆的性质得出AP 垂直平分CD 和5AD AC ==，运用勾股定理便可解决问题.【详解】解：根据题意可知，以点C 和点D 为圆心，大于12CD 长为半径作弧，两弧交于点P ，∴AP 垂直平分CD ,即90AED ∠=︒，∴132DE CD ==，又∵在ABC 中，以A 为圆心，AC 长为半径作弧，交BC 于C ，D 两点，其中5AC =，∴5AD AC ==，在ADE V 中，224AE AD DE =-=，故答案为：4．【点睛】本题主要考查圆和三角形的相关性质，掌握相关知识点是解题的关键.20．如图，在ABC 中，以点C 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC ，BC 于点D ，E ；分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧交于点F ；作射线CF 交AB 于点G ，若9AC =，6BC =，BCG 的面积为8，则ACG 的面积为．【答案】12【分析】过点B 作BM AC ∥交CG 的延长线于点96ACG BCG S AG AC S GB BC === 32=，即可求解．【详解】解：如图所示，过点B 作BM AC ∥∴ACM CMB∠=∠由作图可得CG 是ACB ∠的角平分线，∴ACM BCM∠=∠∵BCM CMB∠=∠∴BC BM=∵BM AC∥∴ACG BMG∽∴AG AC AC GB BM BC==∴96ACG BCG S AG AC S GB BC === 32=，∵BCG 的面积为8，∴ACG 的面积为12，故答案为：12．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，作角平分线，熟练掌握基本作图以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．21．如图，CD 为Rt ABC △斜边AB 上的中线，E 为AC 的中点．若8AC =，5CD =，则DE =．【答案】3【分析】首先根据直角三角形斜边中线的性质得出AB ，然后利用勾股定理即可得出BC ，最后利用三角形中位线定理即可求解．【详解】解：∵在Rt ABC △中，CD 为Rt ABC △斜边AB 上的中线，5CD =，∴210AB CD ==，∴22221086BC AB AC =-=-=，∵E 为AC 的中点，∴132DE BC ==故答案为：3．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，三角形中位线定理，掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．22．在Rt △ABC 中,∠ACB =90°，AC =6，BC =8，D 是AB 的中点，则CD =．【答案】5【分析】先根据题意画出图形，再运用勾股定理求得AB ，然后再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【详解】解：如图：∵∠ACB =90°，AC =6，BC =8∴22226810AB AC BC =+=+=∵∠ACB =90°，D 为AB 的中点，∴CD =12AB =12×10=5．故答案为5．【点睛】本题主要考查了运用勾股定理解直角三角形、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质等知识点，掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”成为解题的关键．三、解答题(1)证明：C ABD BA ∽△△；(2)若610AB BC ==，，求BD 【答案】(1)见解析(2)185BD =【分析】（1）根据三角形高的定义得出角B B ∠=∠，即可得证；（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵BAC ∠∴90ADB ∠=︒，B C ∠+∠=∴90B BAD ∠+∠=︒，∴BAD C∠=∠又610AB BC ==，∴23618105AB BD CB ===．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．24．如图，BD 是等边ABC 的中线，以D 为圆心，DB 的长为半径画弧，交BC 的延长线于E ，连接DE ．求证：CD CE =．【答案】见解析【分析】利用三线合一和等腰三角形的性质，证出2E ∠=∠，再利用等边对等角即可．【详解】证明：BD Q 为等边ABC 的中线，BD AC ∴⊥，160∠=︒330∴∠=︒BD DE = ，330E ∴∠=∠=︒2160E ∠+∠=∠=︒ ，230E ∴∠=∠=︒CD CE∴=【点睛】本题考查了等边三角形，等腰三角形的性质和判定，理解记忆相关定理是解题的关键．(1)求证：EAD EDA ∠=∠；(2)若60C ∠=︒，4DE =时，求△【答案】(1)见解析(2)43【分析】（1）由B AED ∠=∠求出边对等角得出结论；（2）过点E 作EF AD ⊥于F ，根据等腰三角形的性质和含用勾股定理求出EF ，再根据三角形面积公式计算即可．【详解】（1）证明：∵B AED ∠=∠∴180180B AED ︒-∠=︒-∠，即∠∴BAE CED ∠=∠，在BAE 和CED △中，B C BAE BE CD ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴114234322AEDS AD EF=⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含30︒直角三角形的性质以及勾股定理等知识，正确寻找证明三角形全等的条件是解题的关键．。

中考数学历年各地市真题 等腰三角形

中考数学历年各地市真题 等腰三角形

中考数学历年各地市真题等腰三角形,等边三角形（2010哈尔滨）１。

如图，AB 、AC 为⊙O 的弦，连接CO 、BO 并延长分别交弦AB 、AC 于点E 、F ，∠B ＝∠C ．求证：CE ＝BF ．（2010珠海）２。

如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD（1）用尺规作图方法，作∠DAB 的角平分线AF （只保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）若AF 交CD 边于点E ，判断△ADE 的形状（只写结果） 解：(1)所以射线AF 即为所求 (2)△ADE 是等腰三角形.（2010珠海）３．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝6,AC ＝4,D 是AB 边上一点，P 是优弧BAC 的中点，连结PA 、PB 、PC 、PD.(1)当BD 的长度为多少时，△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形？并证明； （2）若cos ∠PCB=55，求PA 的长.解：（1）当BD ＝AC ＝4时，△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形 ∵P 是优弧BAC 的中点 ∴弧PB ＝弧PC ∴PB ＝PC∵BD ＝AC ＝4 ∠PBD=∠PCA ∴△PBD ≌△PCA∴PA=PD 即△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形（2）由（1）可知，当BD ＝4时，PD ＝PA ，AD ＝AB-BD ＝6-4＝2过点P 作PE ⊥AD 于E ，则AE ＝21AD=1 ∵∠PCB=∠PAD ∴cos ∠PAD=cos ∠PCB=55PA AE ∴PA=5（2010红河自治州）11. 如图3，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，若∠A=70°，∠B=60°， DE//BC.则∠AED 的度数是 50°.图3ED CBA（2010年镇江市）20．推理证明（本小题满分6分）如图，在△ABC 和△ADE 中，点E 在BC 边上，∠BAC=∠DAE ，∠B=∠D ，AB=AD. （1）求证：△ABC ≌△ADE ；（2）如果∠AEC=75°，将△ADE 绕着点A 旋转一个锐角后与△ABC 重合，求这个旋转角的大小.（1）∵∠BAC=∠DAE ，AB=AD ，∠B=∠D ，∴△ABD ≌△ADE.（3分） （2）∵△ABC ≌△ADE ，∴AC 与AE 是一组对应边， ∴∠CAE 的旋转角，（4分） ∵AE=AC ，∠AEC=75°，∴∠ACE=∠AEC=75°， （5分）∴∠CAE=180°—75°—75°=30°. （6分）（玉溪市2010）22. 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.（1）AB 平行于CD ．如图a ，点P 在AB 、CD 外部时，由AB ∥CD ，有∠B=∠BOD ，又因∠BOD 是△POD 的外角，故∠BOD=∠BPD +∠D ，得∠BPD=∠B-∠D ．如图b ，将点P 移到AB 、CD 内部，以上结论是否成立？，若不成立，则∠BPD 、∠B 、∠D 之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b 中，将直线AB 绕点B 逆时针方向旋转一定角度交直线CD 于点Q ， 如图c ，则∠BPD ﹑∠B ﹑∠D ﹑∠BQD 之间有何数量关系？（不需证明）； （3）根据（2）的结论求图d 中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数．解：（1）不成立，结论是∠BPD=∠B+∠D. 延长BP 交CD 于点E,∵AB ∥CD. ∴∠B=∠BED.又∠BPD=∠BED+∠D ，∴∠BPD=∠B+∠D. …………4分 （2）结论： ∠BPD=∠BQD+∠B+∠D. …………7分（3）由（2）的结论得：∠AGB=∠A+∠B+∠E. 又∵∠AGB=∠CGF.∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°∴∠A+∠B+∠C+∠D ∠E+∠F=360°. …………11分（桂林2010）26．（本题满分12分）如图，过A （8，0）、B （0，直线x y 3=交于点C ．平行于y 轴的直线l 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右平移，到C 点时停止；l 分别交线段BC 、OC 于点D 、E ，以DE 为边向左侧作等边△DEF ，设△DEF 与△BCO 重叠部分的面积为S （平方单位），直线l 的运动时间为t （秒）．（1）直接写出C 点坐标和t 的取值范围； （2）求S 与t 的函数关系式；（3）设直线l 与x 轴交于点P ，是否存在这样的点P ，使得以P 、O 、F 为顶点的三角形P 的坐标；若不存在，请说明理由．图a O图bO图c图d G26．(本题12 分)解（1）C（4，……………………………2分t的取值范围是：0≤t≤4 ………………………………3分（2）∵D点的坐标是（t，+，E的坐标是（t）∴DE=+=……………………4分∴等边△DEF的DE边上的高为：123t-∴当点F在BO边上时：123t-=t，∴t=3 ……………………5分①当0≤t<3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：-3…7分S=)23tt+-=)2t=2+………………………………8分②当3≤t≤4时，重叠部分为等边三角形S=1)(123)2t-…………………9分=2-+……………………10分（3）存在，P（247，0）……………………12分说明：∵FO≥FP≥OP≤4备用图1∴以P ，O ，F 以顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO ，FP , 若FO =FP 时，t =2（12-3t ），t =247，∴P （247，0）（2010年无锡）7．下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是 （ ▲ ）A ．两边之和大于第三边B ．有一个角的平分线垂直于这个角的对边C ．有两个锐角的和等于90°D ．内角和等于180° 答案 B（2010年无锡）16．如图,△ABC 中,DE 垂直平分AC 交AB 于E,∠A=30°,∠ACB=80°,则∠BCE= ▲ °． 答案 502010年无锡）26．（本题满分10分）（1）如图1，在正方形ABCD 中，M 是BC 边（不含端点B 、C ）上任意一点,P 是BC延长线上一点，N 是∠DCP 的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN ． 下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明． 证明：在边AB 上截取AE=MC ，连ME ．正方形ABCD 中，∠B=∠BCD=90°， AB=BC ．∴∠NMC=180°—∠AMN —∠AMB=180°—∠B —∠AMB=∠MAB =∠MAE ．本试卷由无锡市天一实验学校金杨建录制 QQ ：623300747．转载请注明！（下面请你完成余下的证明过程）（2）若将(1)中的“正方形ABCD ”改为“正三角形ABC ”（如图2）,N 是∠ACP 的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN 是否还成立？请说明理由． 本试卷由无锡市天一实验学校金杨建录制 QQ ：623300747（3）若将（1）中的“正方形ABCD ”改为“正n 边形ABCD …X ”，请你作出猜想：当∠AMN = °时，结论AM=MN 仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）（第16题）EDCBAM N P D CEBA 图1答案解：（1）∵AE=MC,∴BE=BM, ∴∠BEM=∠EMB=45°, ∴∠AEM=1355°, ∵CN 平分∠DCP ，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135°在△AEM 和△MCN 中：∵,,=CMN,AEM MCN AE MC EAM ∠=∠=∠∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△AEM ≌△MCN ，∴AM=MN（2）仍然成立． 在边AB 上截取AE=MC ，连接ME ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=BC ，∠B=∠ACB=60°， ∴∠ACP=120°． ∵AE=MC ，∴BE=BM ∴∠BEM=∠EMB=60° ∴∠AEM=120°． ∵CN 平分∠ACP ，∴∠PCN=60°， ∴∠AEM=∠MCN=120° ∵∠CMN=180°—∠AMN —∠AMB=180°—∠B —∠AMB=∠BAM ∴△AEM ≌△MCN ，∴AM=MN （3）(2)180n n-︒（2010宁波市）10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 、CE 分别是△ABC 、△BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有 AA ．5个B ．4个C ．3个D ．2个 18．（2010年金华）(本题6分)如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的点（不与B ，C 重合），及其延长线上的点，CF ∥BE . 请你添加一个条件，使△BDE ≌△段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．（1）你添加的条件是： ▲ ； （2）证明：解：（1）DC BD =(或点D 是线段BC 的中点)，ED FD =，BE CF =中任选一个即可﹒………………………………2分（2）以DC BD =为例进行证明：∵CF ∥BE ， ∴∠FCD ﹦∠EBD ．又∵DC BD =，∠FDC ﹦∠EDB ， ∴△BDE ≌△CDF ．…………………4分5．（2010年长沙）下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是 C A ．3、4、5 B ．6、8、10 C2D ．5、12、13 22．（2010年长沙）在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接EB 、ED ． （1）求证：△BEC ≌△DEC ；于F ，当∠BED =120°时，求∠EFD 的度数．答案：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴BC ＝CD ，∠ECB ＝∠ECD ＝45°又EC ＝EC …………………………2分 ∴△ABE ≌△ADE ……………………3分ACBD FE(第18题ACBD FE．··．（2）∵△ABE ≌△ADE ∴∠BEC ＝∠DEC＝12∠BED …………4分 ∵∠BED ＝120°∴∠BEC ＝60°＝∠AEF ……………5分 ∴∠EFD ＝60°+45°＝105° …………………………6分(2010湖北省荆门市)6．给出以下判断：(1)线段的中点是线段的重心(2)三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心 (3)平行四边形的重心是它的两条对角线的交点 (4)三角形的重心是它的中线的一个三等分点 那么以上判断中正确的有( )(A)一个 (B)两个 (C)三个 (D)四个 答案D11. （2010年郴州市）如图3，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则12∠+∠= 度．答案：2703．（2010年济宁市)若一个三角形三个内角度数的比为2︰3︰4，那么这个三角形是A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形答案：B北京3. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分AB 、AC 边上，DE //BC ，若AD ：AB =3：4， AE =6，则AC 等于 (A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 8。

中考数学备考专题复习等腰三角形含解析

中考数学备考专题复习等腰三角形含解析

中考数学备考专题复习等腰三角形含解析一、单选题（共12题；共24分）1、已知等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于（）A、15°或75°B、15°C、75°D、150°和30°2、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD 沿 CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A、25B、30C、45D、603、如图所示，A是斜边长为m的等腰直角三角形，B，C，D都是正方形。

则A，B，C，D的面积的和等于 ( )A 、B 、C 、D 、4、如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M 为EF中点，则AM的最小值为( )A、2B、2.4C、2.6D、35、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm， A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是（）A、15 dmB、20dmC、25dmD、30dm6、如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB 的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）A 、B 、C、3D、47、直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为( )A 、B 、C 、D 、8、如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC ，若AD=6，则CD是（）A、1B、2C、3D、49、在矩形ABCD中，AB＝1，AD ＝，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF.EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED．正确的是（）A、②③B、③④C、①②④D、②③④10、（2016•滨州）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A、50°B、51°C、51.5°D、52.5°11、（2016•深圳）如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF 为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，其中正确的结论的个数是（）A、1B、2C、3D、412、（2016•黔东南州）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（）A、13B、19C、25D、169二、填空题（共5题；共6分）13、矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边的长是________，对角线的长是________．14、如图，边长为1的菱形ABCD的两个顶点B、C恰好落在扇形AEF的弧EF上．若∠BAD=120°，则弧BC的长度等于________.15、（2016•菏泽）如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=________．16、（2016•贵港）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，若AB=6，AD=5，则DE的长为________．17、（2016•张家界）如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF的周长是________cm ．三、解答题（共2题；共10分）18、如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B 的度数．19、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，O为BC的中点，点E，D分别为边AB，AC上的点，且满足OE⊥OD，求证：OE=OD．四、综合题（共5题；共65分）20、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．(1)试说明AC=EF；(2)求证：四边形ADFE是平行四边形.21、（2016•丽水）如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且∠BFC=90°．(1)当E为BC中点时，求证：△BCF≌△DEC；(2)当BE=2EC时，求的值；(3)设CE=1，BE=n，作点C关于DE的对称点C′，连结FC′，AF，若点C′到AF的距离是，求n的值．22、（2016•贵港）如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．(1)如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．①求证：△AGE≌△AFE；②若BE=2，DF=3，求AH的长．(2)如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．23、（2016•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．(1)如图①，若α=90°，求AA′的长；(2)如图②，若α=120°，求点O′的坐标；(3)在（Ⅱ）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，求点P′的坐标（直接写出结果即可）24、（2016•义乌）如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x﹣3．(1)分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；(2)已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；(3)我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F．已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q 是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围（不用说明理由）．答案解析部分一、单选题【答案】A【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形【解析】【解答】此题有两种情况，一种是该高线在等腰三角形内部，另外一种是在等腰三角形外部。

中考复习数学真题汇编详解版：等腰三角形

中考复习数学真题汇编详解版：等腰三角形

一、选择题1. (年湖南衡阳，7，3分)已知等腰三角形的两边长分别为5和６，则这个等腰三角形的周长为A.11B.16C.17D.16或17【答案】D【解析】解：分两种情况：当三边长为5，5，6时，周长为16；当三边长为5，6，6时，周长为17.故选D.2.（2014江苏省苏州市，7，3分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．60°【答案】C【解析】因为AB=AC，D为BC中点，所以∠BAC=2∠BAD=70°，所以∠C的度数为55°.二、填空题1.(2015浙江省绍兴市，13，5分)由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作。

小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可。

如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是▲ cm 。

【答案】18【解析】本题考查了等边三角形的判定方法和性质，解题的关键是正确把握等边三角形的判定方法，将生活实际问题进行适当的数学建模．由条件可知△AOB中，OA=OB=18cm，∠AOB=60°，则△AOB是等边三角形，所以AB=18cm，即A，B两点之间的距离是18cm。

2.（2015义乌13，4分）由于木质的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA=OB=18cm．若衣架收拢时，∠AOB==60°，如图2，则此时AB= cm．D CBA（第7题）【答案】183. （2015湖南省永州市，17，3分）在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，则有BC 边上的中线、高线和∠BAC 的平分线重合于AD （如图一）.若将等腰△ABC 的顶点A 向右平行移动后，得到△A 'BC （如图二）．那么，此时BC 边上的中线、BC 边上的高线和∠BA ′C 的平分线应依次分别是________，________，________ (填A ′D 、A ′F 、A ′E )(第17题图)【答案】A ′D 、A ′F 、A ′E【解析】解：本题通过画图，即可得出结论.三、解答题1. （2015山东省青岛市，23，10分）问题提出：用n 根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？问题探究：不妨假设能搭成m 种不同的等腰三角形.为了探究m 与n 之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论.探究一：(1)用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？此时，显然能搭成一种等腰三角形.所以，当n=3时，m=1.(2)用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？只能分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成等腰三角形.所以，当n=4时，m=0.(3)用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成等腰三角形；若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形.所以，当n=5时，m=1.(4)用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成等腰三角形；图二图一CC B A B A'若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形.所以，当n=6时，m=1.综上所述，可得：探究二：(3)用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？（仿照上述探究方法，写出解答过程，并把结果填在表①中）(4)用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？（只需把结果填在表①中）表①：你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，….问题解决：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（设n分别等于4k-1、4k、4k+1、4k+2，其中k是正整数，把结果填在表①中），能搭成多少种不同的等腰三角形？（要求写出解答过程）其中面积最大的等腰三角形每腰用了根木棒（只填结果）.【答案】解：(3)若分成1根木棒、1根木棒和5根木棒，则不能搭成等腰三角形；若分成2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形.若分成3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形.所以，当n=6时，m=2.①2016÷4=504，①能搭成504种不同的等腰三角形.面积最大的等腰三角形每腰用了672根木棒.。

等腰三角形与直角三角形(共26道)：2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)(解析版)

等腰三角形与直角三角形(共26道)：2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)(解析版)

等腰三角形与直角三角形（共25道）一、单选题 统考中考真题）如图，在ABC 中， A ．1【答案】D【分析】根据题意易得4==AB AC ，然后根据题意可进行求解．【详解】解：∵90,30,2B A BC ∠︒∠︒===，∴24AB AC BC ====∵点D 为AB 的中点，∴12AD AB ==，∵AD DE AB BC =， ∴1DE =，①当点E 为AC 的中点时，如图，∴122AE AC ==，②当点E 为AC 的四等分点时，如图所示：∴1AE =，综上所述：1AE =或2；故选D ．【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及三角形中位线，熟练掌握含30度直角三角形的性质及三角形中位线是解题的关键． 2．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中，点E 为BA 延长线上一点，F 为CE 的中点，以B 为圆心，BF 长为半径的圆弧过AD 与CE 的交点G ，连接BG ．若4AB =，10CE =，则AG =（ ）【答案】C 【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得5BG BF ==，在Rt ABG △中，利用勾股定理即可求解.【详解】解：∵矩形ABCD 中，∴90ABC BAC ∠=∠=︒，∵F 为CE 的中点，10CE =，∴152BG BF CE ===，在Rt ABG △中，3AG ==，故选：C.【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半”是解题的关键.上述结论中，所有正确结论的序号是（A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 【答案】D【分析】如图，过D 作DF AE ⊥于F ，则四边形ACDF 是矩形，则DF AC a b ==+，由DF DE <，可得a b c +<，进而可判断①的正误；由EAB BCD ≌△△，可得BE BD =，CD AB a ==，AE BC b ==，ABE CDB ∠=∠，则90EBD ∠=︒，BDE △是等腰直角三角形，由勾股定理得，BE ，由AB AE BE +>，可得a b +>，进而可判断②的正误；由勾股定理得222DE BD BE =+，即()2222c a b =+，则)c a b =+，进而可判断③的正误．【详解】解：如图，过D 作DF AE ⊥于F ，则四边形ACDF 是矩形，∴DF AC a b ==+，∵DF DE <，∴a b c +<，①正确，故符合要求；∵EAB BCD ≌△△，∴BE BD =，CD AB a ==，AE BC b ==，ABE CDB ∠=∠，∵90CBD CDB ∠+∠=︒，∴90∠+∠=︒CBD ABE ，90EBD ∠=︒，∴BDE △是等腰直角三角形，由勾股定理得，BE ==∵AB AE BE +>，∴a b +>②正确，故符合要求；由勾股定理得222DE BD BE =+，即()2222c a b =+，∴)c a b =+，③正确，故符合要求；故选：D ．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 统考中考真题）如图ABC 中，与ABC 相似，则下列结论：,ABC CBD ︒∽，则OD A ．①④B ．②③C ．①②④D ．①③④【答案】A 【分析】①有3种情况，分别画出图形，得出ABD △的重心，即可求解；当60α=︒，BD BC ⊥时，AD 取得最大值，进而根据已知数据，结合勾股定理，求得AD 的长，即可求解；③如图5，若60α=︒，C ABC BD ∽△△，根据相似三角形的性质求得CD =GE DF ==，32CF =，进而求得OD ，即可求解；④如图6，根据相似三角形的性质得出214CD BC =，在Rt ABC △中，2216BC x =−，根据二次函数的性质，即可求AC CD +取得最大值时，2x =．【详解】①有3种情况，如图1，BC 和OD 都是中线，点E 是重心；如图2，四边形ABDC 是平行四边形，F 是AD 中点，点E 是重心；如图3，点F 不是AD 中点，所以点E 不是重心；①正确②当60α=︒，如图4时AD 最大，4AB =，∴2AC BE ==，BC AE ==6BD ==，∴8DE =，∴AD =≠∴②错误；③如图5，若60α=︒，C ABC BD ∽△△，∴60BCD ∠=︒，90CDB ∠=︒，4AB =，2AC =，BC =OE 1CE =，∴CD =GE DF ==，32CF =，∴52EF DG ==，OG =，∴OD =≠∴③错误；④如图6，ABC BCD ∽△△， ∴CD BC BC AB =， 即214CD BC =，在Rt ABC △中，2216BC x =−， ∴()221116444CD x x =−=−+， ∴22114(2)544AC CD x x x +=−+=−−+，当2x =时，AC CD +最大为5，∴④正确．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形重心的定义，勾股定理，相似三角形的性质，二次函数的性质，分类讨论，画出图形是解题的关键．【答案】A【分析】先根据等腰三角形的性质可得BE =，45ABE AEB ∠=∠=︒，90BAE ∠=︒，再判断出点,,,A B E D 四点共圆，在以BE 为直径的圆上，连接BD ，根据圆周角定理可得90BDE ∠=︒，45ADB AEB ∠=∠=︒，然后根据相似三角形的判定可得ABD EBC ，根据相似三角形的性质即可得．【详解】解：BAE 是以AB 为腰的等腰直角三角形，BE ∴，45ABE AEB ∠=∠=︒，90BAE ∠=︒，,45AD BC C ∠=︒∥，180135ADE C ∴∠=︒−∠=︒，180ADE ABE ∴∠+∠=︒，∴点,,,A B E D 四点共圆，在以BE 为直径的圆上，如图，连接BD ，由圆周角定理得：90BDE ∠=︒，45ADB AEB ∠=∠=︒，45ADB C CBD ∴∠=∠=∠=︒，45ABD DBE EBC DBE ∴∠+∠=︒=∠+∠，ABD EBC ∠=∠∴，在ABD △和EBC 中，ADB C ABD EBC ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，ABDEBC ∴，CE EB AD AB ∴==1CE ∴==故选：A ．【点睛】本题考查了圆内接四边形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，正确判断出点,,,A B E D 四点共圆，在以BE 为直径的圆上是解题关键．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】根据正方形ABCD 的性质可由SAS 定理证ABF ADE △≌△，即可判定AEF △是等腰直角三角形，进而可得12HE HF AH EF ===，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得12HC EF =；由此即可判断①正确；再根据ADH EAD DHE AEH ∠+∠=∠+∠，可判断③正确，进而证明AFK HDE ，可得AF AK HD HE =，结合AF ==，即可得出结论④正确，由AED ∠随着DE 长度变化而变化，不固定，可 判断②HD CD =不一定成立．【详解】解：∵正方形ABCD ，∴AB AD =，90ADC ABC BAD BCD ∠=∠=∠=∠=︒，∴90ABF ADC ∠=∠=︒，∵BF DE =，∴ABF ADE △≌△SAS （），∴BAF DAE ∠=∠，AF AE =，∴90FAE BAF BAE DAE BAE BAD ∠∠∠∠∠∠=+=+==︒，∴AEF △是等腰直角三角形， 45AEF AFE ∠=∠=︒，∵AH EF ⊥，∴12HE HF AH EF ===，∵90DCB ∠=︒，∴12CH HE EF ==， ∴CH AH =，故①正确；又∵AD CD =,HD HD =,∴(SSS)AHD CHD ≅, ∴1452ADH CDH ADC ∠=∠=∠=︒， ∵ADH EAD DHE AEH ∠+∠=∠+∠，即：4545EAD DHE ︒+∠=∠+︒，∴EAD DHE ∠=∠，∴FAB DHE EAD ∠=∠=∠，故③正确，又∵45AFE ADH ∠=∠=︒，∴AFK HDE ， ∴AF AK HD HE =，又∵AF =，∴2AK HD ⋅=，故④正确，∵若HD CD =，则1804567.52DHC DCH ︒−︒∠=∠==︒，又∵CH HE =， ∴67.5HCE HEC ∠=∠=︒，而点E 是CD 上一动点，AED ∠随着DE 长度变化而变化，不固定，而18045135HEC AED AED ∠=︒−∠−︒=︒−∠，则故67.5HEC ∠=︒不一定成立，故②错误；综上，正确的有①③④共3个，故选：C ．【点睛】本题考查三角形综合，涉及了正方形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，等腰三角形＂三线合一＂的性质，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质是解题的关键．二、填空题 7．（2023·湖南·统考中考真题）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4dm 的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为__________3dm ．【答案】2【分析】根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得OE 的长，即可求解．【详解】解：如图所示，依题意，OD AD =12OE OD ==∴图中阴影部分的面积为22OE ==故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键．（1）ADE V 的面积为________；（2）若F 为BE 的中点，连接AF 【答案】 3 13【分析】（1）过点E 作EH AD ⊥，根据正方形和等腰三角形的性质，得到AH 的长，再利用勾股定理，求出EH 的长，即可得到ADE V 的面积；（2）延长EH 交AG 于点K ，利用正方形和平行线的性质，证明()ASA ABF KEF ≌，得到EK 的长，进而得到KH 的长，再证明AHK ADG △∽△，得到KH AH GD AD =，进而求出GD 的长，最后利用勾股定理，即可求出AG的长．【详解】解：（1）过点E 作EH AD ⊥，正方形ABCD 的边长为3，3AD ∴=， ADE 是等腰三角形，52EA ED ==，EH AD ⊥， 1322AH DH AD ∴===，在Rt AHE 中，2EH ===，1132322ADE S AD EH ∴=⋅=⨯⨯=,故答案为：3；（2）延长EH 交AG 于点K ，正方形ABCD 的边长为3，90BAD ADC ∴∠=∠=︒，3AB =，AB AD ∴⊥，CD AD ⊥，EK AD ⊥，AB EK CD ∴∥∥，ABF KEF ∴∠=∠，F 为BE 的中点，BF EF ∴=，在ABF △和KEF 中，ABF KEF BF EF AFB KFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ASA ABF KEF ∴≌，3EK AB ∴==， 由（1）可知，12AH AD =，2EH =，1KH ∴=，KH CD ∥， AHK ADG ∴△∽△，KH AH GD AD ∴=，2GD \=，在Rt ADG V中，AG【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 9．（2023·河南·统考中考真题）矩形ABCD 中，M 为对角线BD 的中点，点N 在边AD 上，且1AN AB ==．当以点D ，M ，N 为顶点的三角形是直角三角形时，AD 的长为______．【答案】21【分析】分两种情况：当90MND ∠=︒时和当90NMD ∠=︒时，分别进行讨论求解即可．【详解】解：当90MND ∠=︒时，∵四边形ABCD 矩形，∴90A ∠=︒，则∥MN AB ， 由平行线分线段成比例可得：AN BM ND MD =，又∵M 为对角线BD 的中点，∴BM MD =， ∴1AN BM ND MD ==，即：1ND AN ==，∴2AD AN ND =+=，当90NMD ∠=︒时，∵M 为对角线BD 的中点，90NMD ∠=︒∴MN 为BD 的垂直平分线，∴BN ND =，∵四边形ABCD 矩形，1AN AB ==∴90A ∠=︒，则BN ==∴BN ND =∴1AD AN ND =+=，综上，AD 的长为21，故答案为：21．【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．10．（2023·湖北·统考中考真题）如图，,BAC DEB △△和AEF △都是等腰直角三角形，90BAC DEB AEF ∠=∠=∠=︒，点E 在ABC 内，BE AE >，连接DF 交AE 于点,G DE 交AB 于点H ，连接CF ．给出下面四个结论：①DBA EBC ∠=∠；②BHE EGF ∠∠=；③AB DF =；④AD CF =．其中所有正确结论的序号是_________．【答案】①③④【分析】由题意易得,45AB AC ABC DBE =∠=︒=∠，AE EF =，DE BE =，90DEB AEF BAC ∠=∠=∠=︒，则可证()SAS AEB FED ≌，然后根据全等三角形的性质及平行四边形的性质与判定可进行求解．【详解】解：∵,BAC DEB △△和AEF △都是等腰直角三角形，∴,45AB AC ABC DBE =∠=︒=∠，AE EF =，DE BE =，90DEB AEF BAC ∠=∠=∠=︒，∵,DBA DBE ABE EBC ABC ABE ∠=∠−∠∠=∠−∠，,AEB AED DEB FED AEF AED ∠=∠+∠∠=∠+∠， ∴,DBA EBC AEB FED ∠=∠∠=∠，故①正确；∴()SAS AEB FED ≌，∴,AB DF AC ABE FDE ==∠=∠，BAE DFE ∠=∠，故③正确；∵90,90ABE BHE EFD EGF ∠+∠=︒∠+∠=︒，90BAE EAC ∠+∠=︒，BE AE >，∴BHE EGF ∠≠∠，EGF EAC ∠=∠；故②错误；∴DF AC ∥，∵DF AC =，∴四边形ADFC 是平行四边形，∴AD CF =，故④正确；故答案为①③④．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定是解题的关键．如图，ABC 是边长为 【答案】33−【分析】过点A 作AH BC ⊥于H ，根据等边三角形的性质可得60BAC ∠=︒，再由AH BC ⊥，可得=30BAD DAH ∠+∠︒，再根据=30BAD EAC ∠+∠︒，可得DAH EAC ∠=∠，从而可得1tan =tan =3DAH EAC ∠∠，利用锐角三角函数求得sin 60AH AB =⋅︒=，再由1==3DH AH ，求得DH【详解】解：过点A 作AH BC ⊥于H ，∵ABC 是等边三角形，∴6AB AC BC ===，60BAC ∠=︒，∵AH BC ⊥，∴1302BAH BAC ∠=∠=︒，∴=30BAD DAH ∠+∠︒，∵30DAE ∠=︒，∴=30BAD EAC ∠+∠︒，∴DAH EAC ∠=∠，∴1tan =tan =3DAH EAC ∠∠， ∵132BH AB ==，∵ =sin 60=6=AH AB ⋅︒∴1==3DH AH ，∴DH∴==3BD BH DH −故答案为：3【点睛】本题考查等边三角形的性质、锐角三角函数，熟练掌握等边三角形的性质证明DAH EAC ∠=∠是解题的关键．【答案】②③④【分析】根据等腰三角形的三线合一可知MP PN =，可以判断①；利用相似和勾股定理可以得出10BD =，152MN =，，利用MBND 12S MN BD =⨯四边形判断②；根据相似可以得到2MPE DAB S ME SBD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，判断③；利用将军饮马问题求出最小值判断④．【详解】解：∵EM EN =，MN BD ⊥，∴MP PN =，在点P 移动过程中，不一定MP PN =，相矛盾，故①不正确；延长ME 交BC 于点P ,则ABPM 为矩形，∴10BD ==∵ME AD ⊥，MN BD ⊥，∴90MED MDE MEP EMN ∠+∠=∠+∠=︒，∴MDE EMN ∠=∠，∴MPN DAB ∽， ∴MP PN MN AD AB BD ==， 即68610PN MN ==， 解得：91522PN MN ==，， ∴1111157510222222BMN DMN MBND S S S MN BP MN DP MN BD =+=⨯+⨯=⨯=⨯⨯=四边形故②正确；∵ME AB ，∴DME DAB ∽， ∴23ME MD AB AD ==，∴4ME =，∵MDE EMN ∠=∠，90MPE A ∠=∠=︒，∴MPE DAB ∽，∴2425MPE DAB SME SBD ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴44196682525225MPE DAB S S ==⨯⨯⨯=，故③正确，152BM MN ND BM ND ++=++，即当MB ND +最小时，BM MN ND ++的最小值，作B 、D 关于AD BC 、的对称点11B D 、, 把图1中的1CD 向上平移到图2位置，使得9CD 2=，连接11B D ，即11B D 为MB ND +的最小值，则172AC BD==，112BB =,这时11252B D ==， 即BM MN ND ++的最小值是20，故④正确；故答案为：②③④【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 以ABC 的边为腰分别向外作等腰直角ABE 、ACD ，【答案】①②④【分析】①当AB AC BC ==时，ABC 是等边三角形，根据等角对等边，以及三角形的内角和定理即可得出()1180120302AED ADE ∠=∠=︒−︒=︒，进而判断①；证明BAD EAC ≌，根据全等三角形的性质判断②；作直线MN BC ⊥于点N ， 过点D 作DG MN ⊥于点G ，过点E 作EH MN ⊥于点H ，证明ACN DAG ≌，ABN EAH ≌，(AAS)EHM DGM ≌，即可得M 是ED 的中点，故④正确，证明()Rt Rt HL MEH MDG ≌，可得MG MH =，在Rt ABN △中，222AN AB BN =−，在Rt ANC △中，222AN AC CN =−，得出 2912a =，在Rt MGD 中，勾股定理即可求解．【详解】解：①当AB AC BC ==时，ABC 是等边三角形，∴60BAC ∠=︒∴360909060120EAD ∠=︒−︒−︒−︒=∵等腰直角ABE 、ACD ，∴,BA BE BA AD ==∴AE AD =∴()1180120302AED ADE ∠=∠=︒−︒=︒；故①正确；②∵等腰直角ABE 、ACD ，∴,AB AE AD AC ==，90BAE DAC ∠=∠=︒∴BAD EAC ∠=∠∴BAD EAC ≌∴EC BD =；故②正确；④如图所示，作直线MN BC ⊥于点N ， 过点D 作DG MN ⊥于点G ，过点E 作EH MN ⊥于点H ，∵90BAE ∠=︒，MN BC ⊥∴90ABN BAN ∠+∠=︒，又90EAM BAN ∠+∠=︒，∴EAM ABN ∠=∠又∵EA AB =，∴EAH ABN ≌()AAS同理得，ACN DAG ≌，∴GD AN =，AG CN =，,EH AN AH BN ==， ∵EMH DMG ∠=∠，90EHM DGM ∠=∠=︒，， ∴(AAS)EHM DGM ≌，∴EM DM =，即M 是ED 的中点，故④正确， ∴MG MH =，设BN a =，则6CN BC BN a =−=−在Rt ABN △中，222AN AB BN =−在Rt ANC △中，222AN AC CN =−∴2222AB BN AC CN −=−∴()2222346a a −=−− 解得：2912a = ∴294361212AG CN ==−=，∴AN=，∴2976262126GH AG AH AN BN a=−=−=−=−⨯=∴1772612MG=⨯=在Rt MGD中，MD==∴2ED MD=故③错误故答案为：①②④．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．上，若AMN是以点【答案】()8,6M−或28,3M⎛⎫−⎪⎝⎭【分析】如图，由AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，可得N在以AM为直径的圆H上，MN AN=，可得N是圆H与直线26y x=−−的交点，当,M B重合时，符合题意，可得()8,6M−，当N在AM 的上方时，如图，过N作NJ y⊥轴于J，延长MB交BJ于K，则90NJA MKN∠=∠=︒，8JK AB==，证明MNK NAJ ≌，设(),26N x x −−，可得MK NJ x ==−，266212KN AJ x x ==−−−=−−，而8KJ AB ==，则2128x x −−−=，再解方程可得答案．【详解】解：如图，∵AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，∴N 在以AM 为直径的圆H 上，MN AN =，∴N 是圆H 与直线26y x =−−的交点，当,M B 重合时，∵()8,6B −，则()4,3H −，∴4MH AH NH ===，符合题意，∴()8,6M −，当N 在AM 的上方时，如图，过N 作NJ y ⊥轴于J ，延长MB 交BJ 于K ，则90NJA MKN ∠=∠=︒，8JK AB ==，∴90NAJ ANJ ∠+∠=︒，∵AN MN =，90ANM ∠=︒，∴90MNK ANJ ∠+∠=︒，∴MNK NAJ ∠=∠，∴MNK NAJ ≌，设(),26N x x −−，∴MK NJ x ==−，266212KN AJ x x ==−−−=−−，而8KJ AB ==，∴2128x x −−−=， 解得：203x =−，则22263x −−=， ∴22202333CM CK MK =−=−=， ∴28,3M ⎛⎫− ⎪⎝⎭； 综上：()8,6M −或28,3M ⎛⎫− ⎪⎝⎭． 故答案为：()8,6M −或28,3M ⎛⎫− ⎪⎝⎭． 与性质，圆周角定理的应用，本题属于填空题里面的压轴题，难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键．【答案】71+/17+【分析】如图，过E 作EQ CQ ⊥于Q ，设,==BE x AE y ，可得3,2CD x DE y ==，证明6BC =，6CE x =+，CQE △为等腰直角三角形，)6QE CQ x x ===+=，AQ x =，由勾股定理可得：()()()222222263y x x y x ⎧=++⎪⎪⎨⎫⎛⎫=+⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，再解方程组可得答案． 【详解】解：如图，过E 作EQ CQ ⊥于Q ，设,==BE x AE y ， ∵13BE CD =，2ED AE =，∴3,2CD x DE y ==，∵90,BAC AB AC ∠=︒==∴6BC ==，6CE x =+，CQE △为等腰直角三角形，∴)6QE CQ x ===+=，∴AQ x =，由勾股定理可得：()()()222222263y x x y x ⎧=++⎪⎪⎨⎫⎛⎫=+⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩， 整理得：2260x x −−=，解得：1x =经检验1x =∴1BE x ==故答案为：1【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．16．（2023·山西·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，90BCD∠=︒，对角线,ACBD相交于点O．若5,6,2AB AC BC ADB CBD===∠=∠，则AD的长为__________．【答案】【分析】过点A作AH BC⊥于点H，延长AD，BC交于点E，根据等腰三角形性质得出132===BH HC BC，根据勾股定理求出4AH==，证明CBD CED∠=∠，得出DB DE=，根据等腰三角形性质得出6CE BC==，证明CD AH∥，得出CD CEAH HE=，求出83CD=，根据勾股定理求出DE==，根据CD AH∥，得出DE CEAD CH=，即633AD=，求出结果即可．【详解】解：过点A作AH BC⊥于点H，延长AD，BC交于点E，如图所示：则90AHC AHB∠=∠=︒，∵5,6AB AC BC===，∴132===BH HC BC，∴4AH=，∵ADB CBD CED∠=∠+∠，2ADB CBD∠=∠，∴CBD CED∠=∠，∴DB DE=，∵90BCD∠=︒，∴DC BE ⊥，∴6CE BC ==，∴9EH CE CH =+=，∵DC BE ⊥，AH BC ⊥，∴CD AH ∥，∴~ECD EHA ， ∴CD CE AH HE =， 即649CD =，解得：83CD =，∴DE ==， ∵CD AH ∥， ∴DE CE AD CH =，即633AD=，解得：AD =．故答案为：．【点睛】等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质． 17．（2023·湖北十堰·统考中考真题）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形()90ABC A ∠=︒硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D ，E ，F分别为AB ，AC ，BC 的中点，G ，H 分别为DE ，BF 的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为____________，最大值为___________________．【答案】 8 8+【分析】根据题意，可固定四边形GFCE ，平移或旋转其它图形，组合成四边形，求出周长，判断最小值，最大值．【详解】如图1，4BC =，42AC =´=，12CI BD CE AC ====4DI BC ==∴四边形BCID 周长=44++如图2，2AF AI IC FC ====∴四边形AFCI 周长为248⨯=；故答案为：最小值为8，最大值8+【点睛】本题考查图形变换及勾股定理，通过平移、旋转组成满足要求的四边形是解题的关键．三、解答题 18．（2023·北京·统考中考真题）在ABC 中、()045B C αα∠=∠=︒<<︒，AM BC ⊥于点M ，D 是线段MC 上的动点（不与点M ，C 重合），将线段DM 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE ．(1)如图1，当点E 在线段AC 上时，求证：D 是MC 的中点；(2)如图2，若在线段BM 上存在点F （不与点B ，M 重合）满足DF DC =，连接AE ，EF ，直接写出AEF ∠的大小，并证明．【答案】(1)见解析 (2)90AEF ∠=︒，证明见解析【分析】（1）由旋转的性质得DM DE =，2MDE α∠=，利用三角形外角的性质求出C DEC α∠=∠=，可得DE DC =，等量代换得到DM DC =即可；（2）延长FE 到H 使FE EH =，连接CH ，AH ，可得DE 是F C H V 的中位线，然后求出B ACH ∠∠=，设DM DE m ==，CD n =，求出2BF m CH ==，证明()SAS ABF ACH ≅，得到AF AH =，再根据等腰三角形三线合一证明AE FH ⊥即可．【详解】（1）证明：由旋转的性质得：DM DE =，2MDE α∠=，∵C α∠=，∴D DEC M E C α∠−∠∠==，∴C DEC ∠=∠，∴DE DC =，∴DM DC =，即D 是MC 的中点；（2）90AEF ∠=︒；证明：如图2，延长FE 到H 使FE EH =，连接CH ，AH ，∵DF DC =，∴DE 是F C H V 的中位线，∴DE CH ∥，2CH DE =，由旋转的性质得：DM DE =，2MDE α∠=，∴2FCH α∠=，∵B C α∠=∠=，∴ACH α∠=，ABC 是等腰三角形，∴B ACH ∠∠=，AB AC =，设DM DE m ==，CD n =，则2CH m =，CM m n =+，∴DF CD n ==，∴FM DF DM n m =−=−，∵AM BC ⊥，∴BM CM m n ==+，∴()2BF BM FM m n n m m =−=+−−=，∴CH BF =，在ABF △和ACH 中，AB AC B ACH BF CH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ABF ACH ≅，∴AF AH =，∵FE EH =，∴AE FH ⊥，即90AEF ∠=︒．全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．，ABC 和V 若ABC 和V ：若ABC 和V【答案】图②中FH ，图③中FH FG =，证明见解析【分析】图②：如图②所示，连接BD HG CE ，，，先由三角形中位线定理得到12FG CE FG CE =∥，，12GH BD GH BD =∥，，再证明ABD ACE ≌△△得到CE BD ACE ABD ==，∠∠，则FG HG =，进一步证明90FGH ∠=︒，即可证明HGF △是等腰直角三角形，则FH =；图③：仿照图②证明HGF △是等边三角形，则FH FG =．【详解】解：图②中FH =，图③中FH FG =，图②证明如下：如图②所示，连接BD HG CE ，，，∵点F ，G 分别是DE DC ，的中点，∴FG 是CDE 的中位线， ∴12FG CE FG CE =∥，， 同理可得12GH BD GH BD =∥，，∵ABC 和ADE V 都是等腰直角三角形，且90BAC DAE ∠=∠=︒，∴AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=，，，∴()SAS ABD ACE △≌△，∴CE BD ACE ABD ==，∠∠，∴FG HG =，∵BD GH FG CE ∥，∥，∴FGH FGD HGD ∠=∠+∠DCE GHC GCH =++∠∠∠DBC DCB ACD ACE =+++∠∠∠∠DBC ABD ACB =++∠∠∠ACB ABC =∠+∠90=︒，∴HGF △是等腰直角三角形，∴FH =；图③证明如下：如图③所示，连接BD HG CE ，，，∵点F ，G 分别是DE DC ，的中点，∴FG 是CDE 的中位线， ∴12FG CE FG CE =∥，， 同理可得12GH BD GH BD =∥，，∵ABC 和ADE V 都是等腰三角形，且120BAC DAE ∠=∠=︒，∴AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=，，，∴()SAS ABD ACE △≌△，∴CE BD ACE ABD ==，∠∠，∴FG HG =，∵BD GH FG CE ∥，∥，∴FGH FGD HGD ∠=∠+∠ DCE GHC GCH =++∠∠∠DBC DCB ACD ACE =+++∠∠∠∠DBC ABD ACB =++∠∠∠ACB ABC =∠+∠180BAC =︒−∠60=︒，∴HGF △是等边三角形，∴FH FG =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．(1)发现问题：如图1，在ABC 和AEF △中，AB AC =，延长BE 交CF 于点D ．则BE 与CF 的数量关系：______(2)类比探究：如图2，在ABC 和AEF △中，AB AC =，延长BE ，FC 交于点D ．请猜想BE 与CF 的数量关系及(3)拓展延伸：如图3，ABC 和AEF △均为等腰直角三角形，E ，F 在一条直线上，过点A 作AM BF ⊥，垂足为点M (4)实践应用：正方形ABCD 中，2AB =，若平面内存在点【答案】(1)BE CF =，30(2)BE CF =，60BDC ∠=︒，证明见解析(3)2BF CF AM =+(4)或【分析】（1）根据已知得出BAE CAF ∠=∠，即可证明BAE CAF ≌，得出BE CF =，ABE ACF ∠=∠，进而根据三角形的外角的性质即可求解；（2）同（1）的方法即可得证；（3）同（1）的方法证明()SAS BAE CAF △≌△，根据等腰直角三角形的性质得出12AM EF EM MF ===，即可得出结论； （4）根据题意画出图形，连接BD ，以BD 为直径,BD 的中点为圆心作圆，以D 点为圆心，1为半径作圆，两圆交于点1,P P ，延长BP 至M ，使得1PM DP ==，证明ADP BDM ∽，得出PA =，勾股定理求得PB ，进而求得BM ，根据相似三角形的性质即可得出122PA ==，勾股定理求得,BQ PQ ，进而根据三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）解：∵30BAC EAF ∠=∠=︒，∴BAE CAF ∠=∠，又∵AB AC =，AE AF =，∴BAE CAF ≌，∴BE CF =，ABE ACF ∠=∠设,AC BD 交于点O ，∵AOD ACF BDC ABE BAO ∠=∠+∠=∠+∠∴30BDC BAO BAC ∠=∠=∠=︒，故答案为：BE CF =，30．（2）结论：BE CF =，60BDC ∠=︒；证明：∵120BAC EAF ∠=∠=︒，∴BAC EAC EAF EAC ∠−∠=∠−∠，即BAE CAF ∠=∠，又∵AB AC =，AE AF =，∴BAE CAF ≌∴BE CF =，AEB AFC Ð=Ð∵120EAF ∠=︒，AE AF =，∴30AEF AFE ∠=∠=︒，∴()303060BDC BEF EFD AEB AFC ∠=∠−∠=∠+︒−∠−︒=︒，（3）2BF CF AM =+，理由如下，∵90BAC EAF ∠=∠=︒，∴BAC EAC EAF EAC ∠−∠=∠−∠，即BAE CAF ∠=∠，又∵ABC 和AEF △均为等腰直角三角形∴,AB AC AE AF ==，∴()SAS BAE CAF △≌△，∴BE CF =，在Rt AEF 中，AM BF ⊥， ∴12AM EF EM MF ===，∴2BF BE EF CF AM =+=+；（4）解：如图所示，连接BD ，以BD 为直径,BD 的中点为圆心作圆，以D 点为圆心，1为半径作圆，两圆交于点1,P P ，延长BP 至M ，使得1PM DP ==，则MDP 是等腰直角三角形，45MDP ∠=︒∵45CDB ∠=︒,∴90MDB MDP PDC CDB PDC ∠=∠+∠+∠=︒+∠ADP =∠，∵AD DP DBDM = ∴ADP BDM ∽∴PA BM==，∴PA =， ∵2AB =，在Rt DPB 中，PB ==∴1BM BP PM =+∴1PA ==过点P 作PQ AB ⊥于点Q ，设QB x =，则2AQ x =−，在Rt APQ △中，222PQ AP AQ =−，在Rt PBQ △中，222PQ PB BQ =−∴2222AP AQ PB BQ −=−∴()22222x x −−=−⎝⎭解得：x =，则BQ =， 设,PQ BD 交于点G ，则BQG 是等腰直角三角形，∴QG QB ==在1Rt ,Rt DPB DPB 中，1DP DP DB DB =⎧⎨=⎩∴1Rt Rt DPB DPB ≌ ∴1PDB PDB ∠=∠又11PD PD ==，DG DG = ∴1PGD PDG ≌ ∴145PGD PGD ∠=∠=︒∴190PGP ∠=︒， ∴1PG AB ∥∴111222ABP S AB QG =⨯=⨯=，在Rt PQB △中，PQ ===∴11222ABP S AB PQ =⨯=⨯，综上所述，ABP S =△或故答案为：或．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，熟练运用已知模型是解题的关键． 【初步感知】(1)如图1，当1n =时，兴趣小组探究得出结论：22AE BF AB +=，请写出证明过程． 【深入探究】【答案】(1)见解析(2)①123AE BF AB +=，证明过程略；②当点F 在射线BC 上时，11AE BF AB n n +=+，当点F 在CB 延长线上时，1AE BF AB n −=【分析】（1）连接CD ，当1n =时，1AD BD =，即AD BD =，证明AD CD =，从而得到ADE CDF V V ≌即可解答；（2）①过BD 的中点G 作BC 的平行线，交DF 于点J ，交AC 于点H ，当2n =时，AD DG =，根据GH BC ∥，可得AHG 是等腰直角三角形，12JG FB =，根据（1）中结论可得AE JG AG +=，再根据12JG FB =，23AG AB =，即可得到123AE BF AB +=；②分类讨论，即当点F 在射线BC 上时；当点F 在CB 延长线上时，画出图形，根据①中的原理即可解答；（3）如图，当1E 与A 重合时，取11E F 的中点1M ，当2E 与C 重合时，取22E F 的中点2M ，可得M 的轨迹长度即为12M M 的长度，可利用建系的方法表示出1122,,,E F E F 的坐标，再利用中点公式求出12,M M ，最后利用勾股定理即可求出12M M 的长度．【详解】（1）证明：如图，连接CD ，当1n =时，1AD BD =，即AD BD =，90,C AC BC ∠=︒=，∴45A B ∠=∠=︒，CD AB ⊥，1452FCD ACB ∠=∠=︒,CD AD ∴=，AB =，即BC AB =，DE FD ⊥， 90ADE EDC FDC EDC ∴∠+∠=∠+∠=︒，ADE CDF \Ð=Ð在ADE V 与CDF 中，ADE CDF DA DCDAE DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA ADE CDF ∴≌， AE CF ∴=，2BC CF BF AE BF AB ∴=+=+=；（2）①12AE BF AB +=证明：如图，过BD 的中点G 作BC 的平行线，交DF 于点J ，交AC 于点H ，当2n =时，12AD DB =，即2AD DB =，G 是DB 的中点，AD DG ∴=，23AG AB =，HG BC ∥，90AHG C ∴∠=∠=︒，45HGA B ∠=∠=︒，45A ∠=︒，∴AHG 是等腰直角三角形，且DJG DBF △∽△，12JG DG FB DB ∴==，根据（1）中的结论可得AE JG AG +=，1223AE JG AE FB AG AB AB ∴+=+===；故线段AE BF AB ，，之间的数量关系为12AE BF AB +=；②解：当点F 在射线BC 上时， 如图，在DB 上取一点G 使得AD DG =，过G 作BC 的平行线，交DF 于点J ，交AC 于点H ，同①，可得2AE JG AG +=， 1AD BD n =，AD DG =，1DG BD n ∴=，21AG AB n =+，同①可得1JG DG FB DB n ==，121AE JG AE FB AB AB n n ∴+=+===+，即线段AE BF AB ，，之间数量关系为1AE BF AB n +=；当点F 在CB 延长线上时， 如图，在DB 上取一点G 使得AD DG =，过G 作BC 的平行线，交DF 于点J ，交AC 于点H ，连接HD同（1）中原理，可证明()ASA DHE DGJ △≌△，可得2AE GJ AG −=，1AD BD n =，AD DG =，1DG BD n ∴=，21AG AB n =+，同①可得1JG DG FB DB n ==，121AE JG AE FB AG AB AB n n ∴−=−===+即线段AE BF AB ，，之间数量关系为11AE BF AB n n −=+,综上所述，当点F 在射线BC 上时，1AE BF AB n +=；当点F 在CB 延长线上时，1AE BF AB n −=；（3）解：如图，当1E 与A 重合时，取11E F 的中点1M ，当2E 与C 重合时，取22E F 的中点2M ，可得M 的轨迹长度即为12M M 的长度，如图，以点D 为原点，1DF 为y 轴，DB 为x 轴建立平面直角坐标系，过点2E 作AB 的垂线段，交AB 于点G ，过点2F 作AB 的垂线段，交AB 于点H ，12AD AB DB n ==，AD ∴=，DB =，11E n ⎛⎫∴− ⎪ ⎪+⎝⎭，145F BD ∠=︒，1F D BD ∴=，1F ⎛∴ ⎝⎭，1M 是11E F 的中点，111M n n ⎛⎫∴− ⎪ ⎪++⎝⎭，12GB GC AB ===DG DB BG ∴=−=，21E n ⎛∴ +⎝，根据（2）中的结论221AE BF AB n −，222221n n BF n AE AB n ⎛⎫−∴== ⎪ ⎪+⎝⎭，22BH F H ∴===，DH DB BH ∴=+，22,1F n ⎫∴⎪⎪+⎭，2M ∴⎝⎭，12M M ∴=．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，正确地画出图形，作出辅助线，找对边之间的关系是解题的关键． 22．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图①．在矩形ABCD ．35AB AD ==，，点E 在边BC 上，且2BE =．动点P 从点E 出发，沿折线EB BA AD −−以每秒1个单位长度的速度运动，作90PEQ ∠=︒，EQ 交边AD 或边DC 于点Q ，连续PQ ．当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设点P 的运动时间为t 秒．（0t >）(1)当点P 和点B 重合时，线段PQ 的长为__________；(2)当点Q 和点D 重合时，求tan PQE ∠；(3)当点P 在边AD 上运动时，PQE 的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；(4)作点E 关于直线PQ 的对称点F ，连接PF 、QF ，当四边形EPFQ 和矩形ABCD 重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t 的取值范围．【答案】(2)32(3)见解析(4)0t <≤或176t =或7t =【分析】（1）证明四边形ABEQ 是矩形，进而在Rt QBE △中，勾股定理即可求解．（2）证明PBE ECD ∽，得出2tan 3PE BE PQE DE CD ∠===；（3）过点P 作PH BC ⊥于点H ，证明PHE ECQ ≌得出PE QE =，即可得出结论（4）分三种情况讨论，①如图所示，当点P 在BE 上时，②当P 点在AB 上时，当,F A 重合时符合题意，此时如图，③当点P 在AD 上，当,F D 重合时，此时Q 与点C 重合，则PFQE 是正方形，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，连接BQ ，∵四边形ABCD 是矩形∴90BAQ ABE ∠=∠=︒∵90PEQ ∠=︒，∴四边形ABEQ 是矩形，当点P 和点B 重合时，∴3QE AB ==，2BE =在Rt QBE △中，BQ ===（2）如图所示，∵90PEQ ∠=︒，90PBE ECD ∠=∠=︒，∴1290,2390∠+∠=︒∠+∠=︒，∴13∠=∠∴PBE ECD ∽， ∴PE BE DE CD =，∵2BE =，3CD AB ==， ∴2tan 3PE BE PQE DE CD ∠===；（3）如图所示，过点P 作PH BC ⊥于点H ，∵90PEQ ∠=︒，90PHE ECQ ∠=∠=︒，∴1290,2390∠+∠=︒∠+∠=︒，则四边形ABHP 是矩形，∴PH AB =3=又∵523EC BC BE =−=−=∴PH EC =，∴PHE ECQ ≌∴PE QE =∴PQE 是等腰直角三角形；（4）①如图所示，当点P 在BE 上时，∵3,2QE QF AQ BE ====，在Rt AQF △中，AF ===则3BF =∵PE t =，则2BP t =−，PF PE t ==，在Rt PBF 中，222PF PB FB =+，∴(()22232t t =+−解得：t =当t <时，点F 在矩形内部，符合题意，∴0t <≤符合题意， ②当P 点在AB 上时，当,F A 重合时符合题意，此时如图，则2PB t BE t =−=−，PE =()325AP AB PB t t =−=−−=−，在Rt PBE △中，222PE PB BE =+()()222522t t −=−+， 解得：176t =， ③当点P 在AD 上，当,F D 重合时，此时Q 与点C 重合，则PFQE 是正方形，此时2327t =++=综上所述，0t <≤或176t =或7t =．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，勾股定理，求正切，轴对称的性质，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键． ，ABC 和BDE 都是等边三角形，点CD =，ABC 是直角三角形，【答案】（1）①见解析；②AD DF BD =+，理由见解析；（2DF BD =+，理由见解析；（3）【分析】（1）①证明：ABE CBD ∠=∠，再证明()SAS ABE CBD ≅△△即可；②由DF 和DC 关于AD 对称，可得DF DC =．证明AE DF =，从而可得结论；（2）如图，过点B 作BE AD ⊥于点E ，得90BED ∠=︒，证明45ADF ADC ∠=∠=︒，45EBD ∠=︒．可得DE =，证明AB =，ABE CBD ∠=∠，可得sin sin ABE CBD ∠=∠，则AE BC CD AB ⋅=⋅，可得AE =，从而可得结论；（3）由33BD CD DF ==，可得34DF DF DF =+=，结合AD =2DF DC ==，6BD =，如图，过点A 作AH BD ⊥于点H ．可得122HF BF ==，BC =可得AF AC ===再利用余弦的定义可得答案．【详解】（1）①证明：∵ABC 和BDE 都是等边三角形，∴AB BC =，BE BD =，60ABC EBD ∠=∠=︒，∴ABC CBE EBD CBE ∠−∠=∠−∠，∴ABE CBD ∠=∠，∴()SAS ABE CBD ≅△△．∴AE CD =．②AD DF BD =+．理由如下：∵DF 和DC 关于AD 对称，∴DF DC =．∵AE CD =，∴AE DF =．∴AD AE DE DF BD =+=+．（2DF BD =+．理由如下：如图，过点B 作BE AD ⊥于点E ，得90BED ∠=︒．∵DF 和DC 关于AD 对称，∴DF DC =，ADF ADC ∠=∠．∵CD BD ⊥，∴45ADF ADC ∠=∠=︒，∴45EBD ∠=︒．∴DE =． ∵ABC 是直角三角形，AB AC =，∴=45ABC ∠︒，AB =，∴ABC CBE EBD CBE ∠−∠=∠−∠，∴ABE CBD ∠=∠，∴sin sin ABE CBD ∠=∠， ∴AE CD AB BC =， ∴AE BC CD AB ⋅=⋅，∴AE =．∴AD AE DE =+==+DF BD =+． （3）∵33BD CD DF ==，34DF DF DF =+=，∵AD =∴2DF DC ==，∴6BD =．如图，过点A 作AH BD ⊥于点H ．∵AB AC AF ==， ∴()11222HF BF BD DF ==−=，BC ===∴AF AC ===∴cos HF AFB AF ∠===．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，锐角三角函数的灵活应用，本题难度较高，属于中考压轴题，作出合适的辅助线是解本题的关键． 在等边ABC 中， ，将AEG 沿AG 所在直线翻折至ABC 所在平面内，得到APG ，将DEG 沿DG 所在直线翻折至ABC 所在平面内，得到DQG ，连接PQ QF PQ QF +【答案】(1)见解析(2)见解析2【分析】（1）根据旋转的性质得出CE CF =，60ECF ∠=︒，进而证明()SAS BCE ACF ≌△△，即可得证；（2）过点F 作∥FK AD ，交DH 点的延长线于点K ，连接EK ，FD ，证明四边形四边形EDFK 是平行四边形，即可得证；。

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等腰三角形中考真题精选汇总要点一、等腰三角形的性质及判定 一、选择题 1.（ 2009宁波中考）等腰直角三角形的一个底角的度数是（） A. 30 °B . 45 °C . 60 °D . 90 °【解析】选B •因为等腰三角形的两个底角相等， 而等腰直角三角形的两个底角互余， 所以每个底角等于45°;2、 （2009威海中考）如图， AB = AC , BD = BC ，若• A 二40，贝V . ABD 的度数是 （ ）【解析】 选 B.由 AB=AC, . A =40* 得/ ABC=Z ACB=70，由 BD=BC 得5Z BDC=Z ACB=70 ,A / DBC=40 ZABD = Z ABC-/ DBC =70°-40 =30：53. （2009聊城中考）如图，在 Rt A ABC 中，AB = AC , AD 丄BC ,垂足为 D . E 、F 分别是 CD 、AD 上的点，且 CE = AF .如果Z AED = 62o ,那么Z DBF =（）A . 20CB . 30CC . 35D .40A. 62oB. 38oC. 28oD. 26o【解析】 选 C 在 Rt △ ABC 中，AB = AC, AD 丄 BC 得/ BAF=Z C=Z CAD=45 o , 又/ AED = 62o ,•••上 EAC=62o -45 o =17 o 又 CE = AF ，:. △ ABF ^A CAE,.•Z ABF=17 o ，•/ DBF = 45 o-17 o=28o.4、（2009黔东南中考）如图，在△ ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，则Z A 等于（）【解析】 选 D.v AB=AC , BD=BC=AD ,「.Z A= Z ABD,Z C=Z ABC=Z BDC,设Z A=x o ,则Z ABD=x o , Z C=Z ABC=Z BDC=2x o ,在厶 ABC 中，x+2x+2x=180, • x=36,故Z A=36。

5、（ 2009 •武汉中考）如图，已知 O 是四边形 ABCD 内一点，OA = OB = OC,Z ABC=Z ADC = 70° 则Z DAO+ Z DCO 的大小是（）A . 70 °B . 110C. 140 °D . 150 °【解析】 选 D Z BAO+Z BCO =Z ABO+Z CBO =Z ABC = 70°,A 、 30°B 、 40oC 、45oD 、36oC所以/ BOA+ Z BOC = 360° — 140° = 220°，所以/ AOC = 140° , 所以Z AOC +Z ADC = 140° + 70° 所以/ DAO+ Z DCO = 360° — 210为AC 上一点，若Z APD = 60°贝V CD 的长为（B.-3【解析】 选B 因为Z APD = 60°所以Z PDC=60 +Z PAD , 又因为Z BPA = 60°+ Z PAD ,所以Z PDC=Z BPA , 又因为Z B =Z C ,所以△ ABP s^ PCD ,BP AB 32所以所以CD= - .CD PC 237、 （ 2008乌鲁木齐中考）某等腰三角形的两条边长分别为 3cm 和6cm ，则它的周长 为（ ）A . 9cmB . 12cmC. 15cmD . 12cm 或 15cm答案：选C 二、填空题8. （2009达州中考）如图，在△ ABC 中，AB = AC ,与Z BAC 相邻的外角为 80 °则Z Bt)=210° , =150° ; （2009烟台中考）如图，等边△ ABC 的边长为 P 为BC 上一点，且BP = 1 , DD.-4C1 1【解析】由AB=AC 得/ B= Z C=—Z DAC=—X 80=40 °2 2答案：40°9. （2009云南中考）如图，在Rt A ABC中，Z ACB=90 ° Z BAC的平分线AD交BC于点D，DE// AC, DE交AB于点E , M为BE的中点，连结DM.在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是__________________ .（写出一个即可）【解析】由Z ACB=90°, DE / AC,得Z EDC=90，又M为BE的中点，得MB=MD=ME, •••△MBD和厶MDE是等腰三角形，TZ BAC的平分线AD交BC于点D, DE/ AC,• Z EDA= Z EAD=Z DAC,• △ EAD是等腰三角形.答案：△ MBD或厶MDE或厶EAD10. （2008荷泽中考）如图，C为线段AE上一动点（不与点A, E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE, AD与BE交于一点O, AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下五个结论：① AD=BE; ②PQ// AE; ③AP=BQ;④DE=DP:⑤/ AOB=60 •恒成立的有 ________ 把你认为正确的序号都填上）.【解析】•••正三角形ABC和正三角形CDE••• AC=BC,Z ACD=Z BCE=120o,CD=CEA ACD也2ABCE , •AD=BE,Z CAD=Z CBE又/ ACP=Z BCQ •从CP^ 从CQ • AP=BQ,CP=CQ又/ PCQ=60o • A CPQ是等边三角形••上 PQC=Z QCE=60o•PQ II AE, vZ AOB=Z OEA+Z OAE=Z OEA+Z CBE=Z ACB .Z AOB=60o, vZ DPC>Z QPC•Z DPC>Z QCP • DP工DC 即DP工DE.故恒成立的有①②③⑤答案：①②③⑤11、（2007杭州中考）一个等腰三角形的一个外角等于110，则这个三角形的三个角应该为 _______________ 。

答案：70 ,70 40 或70 ,55 ,5512、（2007江西中考）如图，在△ ABC中，点D是BC上一点，• BAD=80°AB =AD =DC，贝，C 二___________ 度.答案：25三、解答题13、(2009绍兴中考)如图，在厶ABC中，AB = AC, • BAC = 40°分别以AB, AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE，使.BAD =/CAE =90°.(1 )求• DBC的度数;(2)求证：BD 二CE •A答案：（1）A ABD是等腰直角三角形，.BAD =90°所以/ ABD = 45°AB= AC所以/ ABC= 70°所以/ CBD= 70°+45°= 115°•（2）因为AB = AC,. BAD - CAE=90°,AD = AE,所以A BAD也A CAE所以BD= CE.14. （2009河南中考）如图所示，/ BAC= Z ABD, AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点•试判断OE和AB的位置关系，并给出证明.【解析】OE丄AB.证明：在厶BAC和厶ABD中，'AC=BD,V Z BAC= Z ABD,AB=BA.•••△BAC^A ABD. /.Z OBA= Z OAB,,「. OA=OB.又••• AE=BE, • OE丄AB.15、(2009泸州中考)如图，已知△ ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上,且AE=CD, AD与BE相交于点F.⑴求证：• :ABE CAD;(2)求/ BFD的度数.【解析】(1)证明：丁△ABC为等边三角形,/•Z BAC=Z C=6C° , AB=CA在厶ABE和厶CAD中，AB=CA,Z BAE=Z C,AE=CD,•••△ABE^A CAD(2) 解: vZ BFD= Z ABE+ Z BAD,又•••△ABE^A CAD•Z ABE= Z CAD•Z BFD= Z CAD+Z BAD= Z BAC=60 °16、(2009义乌中考)如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD — BC于点D,以AD为一边向右作正三角形ADE(1 )求厶ABC的面积S;(2)判断AC、DE的位置关系，并给出证明【解析】（1）在正△ ABC中，AD =4 —=2、、3 ,21 1S = — BC AD = — 4 2 ^3 = 4. 3 .2 2（2）AC、DE的位置关系：AC丄DE .在厶CDF 中，；CDE=90°- ADE =30°CFDT80 - C- CDET80-60 -30°90,AC 丄DE .17、（2008龙岩中考）如图，/ A=36 - Z DBC=36 - Z C=72 -找出图中的一个等腰三角形，并给予证明•我找的等腰三角形是：___________________ .【解析】我所找的等腰三角形是：△ ABC （或^BDC或A DAB）证明：在厶ABC中，T Z A=36°, Z C=72°,•••Z ABC=180°—（72°+ 36° =72°.T Z C= Z ABC,• AB=AC,•••△ ABC 是等腰三角形•我所找的等腰三角形是：△ ABC （或△ BDC 或厶DAB ） 要点二、线段的垂直平分线的性质 、选择题1、（ 2009怀化中考）如图，在 Rt △ ABC 中，B=90，，ED 是AC 的垂直平分线, 交AC 于点D ，交BC 于点E •已知.BAE =10 •，贝L C 的度数为（ ）A . 30B . 40C . 50D . 60【解析】选B .由N B=90 [ N BAE =10 =得7 AEB=80，由ED 是AC 的垂直平分11线得 EA=EC ,所以/ EAC=Z ECA=^ Z AEB=丄 x 80=40 °.222、（ 2009钦州中考）如图， AC = AD , BC = BD ,则有（）A . AB 垂直平分CDC . AB 与CD 互相垂直平分【解析】选A o 线段垂直平分线判定定理： 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”可知应选A o、填空题B . CD 垂直平分AB D . CD 平分Z ACBD4、（ 2009泉州中考）如图，在△ ABC 中，BC 边上的垂直平分线 DE 交边BC 于点D , 交边AB 于点己，若厶EDC 的周长为24 , △ ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12 , 则线段DE 的长为 ___________________ ;【解析】•••△ ABC 周长与四边形AEDC 周长差等于12 , v DE 是线段BC 的垂直平分 线•••△ EDB ^A EDC ,••• BD+BE -DE=12，又 v BD+BE+DE=24 , • DE=6.答案：6.5、（ 2009黄冈中考）在厶ABC 中，AB = AC , AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交 所得到锐角为50°则/ B 等于_______________度.【解析】如图（1）因为DE 是AB 的垂直平分线，又因为/ AED = 50°,所以/ A=40° , 因为 AB=AC ,所以/ B=70° ;如图（2）因为DE 是AB 的垂直平分线,Z E = 50° 所以/ EAD=40 ,因为 AB=AC ,所以/ B=20 ;答案：70或20 ;AB=AC , _一匚 ]_「，AB 的垂直平分线交 BC 于点D ,那么—；6、（2008孝感中考）如图,答案：60°7、（2008 徐州中考）如图，Rt △ ABC 中，/ B =90 , AB=3cm , AC=5cm .将△ ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE,则厶ABE的周长= ____________ cm.答案：78、（2007陕西中考）如图，• ABC =50[ AD垂直平分线段BC于点D, • ABC的平分线BE交AD于点E，连结EC ,贝V • AEC的度数是 ___________ .答案：115三、解答题9、（2009铁岭中考）如图所示，在Rt△ ABC中，N C=90°, Z A = 30(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线I (保留作图痕迹，不写作法)；(2)在已作的图形中，若I分别交AB AC及BC的延长线于点D、E、F，连结BE •求证：EF =2DE •【解析】(1)直线I即为所求.A(2 )证明：在Rt △ABC中，；N A = 30°,N ABC =60°又T I为线段AB的垂直平分线，二EA二EB ,••• Z EBA = N A = 30°NAED =NBED =60°••• EBC =30°EBA FEC =60°•又T ED 丄AB, EC 丄BC，二ED 二EC •在Rt△ECF 中，N FEC=60°，N EFC =30°,••• EF =2EC，二EF =2ED •10、（2008镇江中考）作图证明如图，在△ ABC中，作.ABC的平分线BD，交AC 于D，作线段BD的垂直平分线EF ,分别交AB于E，交BC于F，垂足为O , 连结DF •在所作图中，寻找一对全等三角形，并加以证明•（不写作法，保留作图痕迹）【解析】（1）画角平分线，线段的垂直平分线.(2) △ BOEBOF ◎△ DOF。

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