山东省高中数学 3.4 基本不等式教案3 新人教A版必修5

合集下载

人教高中数学必修五 3.4 基本不等式教学设计

人教高中数学必修五 3.4 基本不等式教学设计《基本不等式》教学设计教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修5课题：3.4 基本不等式（第一课时）一、教材分析《基本不等式》是高中教材人教A版必修五第三章第三节的内容，是《不等式》这一章中继一元二次不等式、简单线性规划之后，从几何背景（赵爽的弦图）中抽离出的基本结论，是证明其他不等式成立的重要依据，也是求解最值问题的有力工具之一。

就本章的编写而言，教材讲究从直观性上学习，注重每个数学模型引领数学思想的教材编排暗线，并且都体现出遵循从几何背景入手，强调数形结合思想。

本节内容在此基本上渗透不等式的证明方法（比较法、综合法、分析法），并且会在后续学习时再次得到加强。

基本不等式的学时安排是3课时，它涉及基本不等式的推导教学和求解最值问题两大部分。

本节课是基本不等式教学的第一课时，其主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较、抽象概括，提炼出不等式222(,)+≥∈。

a b ab a b R在此基础上，通过演绎替换、证明探究、数形结合及实际应用等四种不同的角度引导学生认识基本不等式。

其中基本不等式的证明是从代数、几何多方面展开，既有逻辑推理，又有直观的几何解释，使学生充分运用数形结合的思想方法，进一步培养其抽象概括能力和推理论证能力。

这就使得不等式的证明成为本节课的核心内容。

二、教学重难点教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。

教学难点：从不同角度探索基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函数最值。

三、教学目标《课程标准》对本节课的要求有以下两条：①探索并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最值问题。

根据《课标》要求和本节教学内容，并考虑学生的接受能力，我将本节课的教学目标确定为：1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些国际数学家大会被誉为是数学界的奥林匹克盛会，每次大会上都会宣布菲尔兹奖获奖名单。

高二人教A版必修5系列教案：3.4基本不等式3

3.4基本不等式2b a ab +≤ 一、三维目标： 1、知识与技能：理解基本不等式的内容及其证明，能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题 2、过程与方法：能够理解并建立不等式的知识链3、情感、态度与价值观：通过运用基本不等式解答实际问题，提高用数学手段解答现实生活中的问题的能力和意识4、本节重点：应用数形结合的思想，理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程5、本节难点：应用基本不等式求最值二、课程引入：第24届世界数学家大会在北京召开，会标设计如图：四个以a ，b 为直角边的直角△ABC ，组成正方形ABCD则22b a DA CD BC AB +====22b a S ABCD += ab S ABE 21=∆ 如图可知：ABE ABCD S S ∆≥4 即ab b a 222≥+当且仅当小正方形EFGH 面积为0时取等号，即b a b a ==-,0时取得等号三、新课讲授：（一）基本不等式的推证：1、重要不等式与基本不等式由引入中提到的重要不等式ab b a 222≥+，将其中的b a ,用b a ,代换，得到基本不等式2b a ab +≤，当且仅当b a =时，即b a =时取得等号。

特别注意，重要不等式ab b a 222≥+的适用范围是全体实数，而基本不等式2b a ab +≤的使用需要0,0>>b a 2、基本不等式的几种表述方式平均数角度：两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数（均值不等式定理）数列角度：两正数的等差中项不小于它们的等比中项探究：基本不等式的几何表示：半径不小于半弦长3、分析法推证基本不等式要证2b a ab +≤，只需证明ab b a 2≥+（2）。

要证明（2）只需证明02≥-+ab b a （3）。

要证明（3）只需证明0)(2≥-b a （4）。

（4）式显然成立，故得证。

（二）基本不等式的应用与提高：1、你是设计师！（1）春天到了，学校决定用篱笆围一个面积为100平米的花圃种花。

高中数学 34基本不等式教案新人教A版必修5 教案

章节标题第三章不等式 3.4 基本不等式（1）计划学时 2高考要求掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单最大（小）值问题；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

三维目标1、知识与能力目标：掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单问题；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→ 剖析归纳证明→ 几何解释→ 应用（最值的求法、证明）的过程呈现，体验成功的乐趣。

3、情感与态度目标：使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

教学重点教学难点及解决措施重点：从不同角度探索基本不等式2ba ab +≤的证明过程及应用。

难点：基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；教学流程一、创设情景，提出问题；如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式ab b a 222≥+。

在此基础上，引导学生认识基本不等式。

同时，（几何画板辅助教学）通过几何画板演示，让学生更直观的抽象、归纳出以下结论：二、抽象归纳：一般地，对于任意实数a,b ，有ab b a 222≥+，当且仅当a ＝b 时，等号成立。

[问] 你能给出它的证明吗？特别地，当a>0,b>0时，在不等式ab b a 222≥+中，以a 、b 分别代替a 、b ，得到什么？【归纳总结】如果a,b 都是正数，那么2ba ab +≤，当且仅当a=b 时，等号成立。

我们称此不等式为基本不等式。

其中2b a +称为a,b 的算术平均数，ab 称为a,b 的几何平均数。

三、理解升华：1、联想数列的知识理解基本不等式已知a,b 是正数，A 是a,b 的等差中项，G 是a,b 的正的等比中项，A 与G 有无确定的大小关系？两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。

高中数学3.4基本不等式教案(无答案)新人教A版必修5

《基本不等式》导学案教学目的：1、会用基本不等式解决简单的最大(小)值的问题．2．通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值.教学重点：会用基本不等式解决简单的最大(小)值的问题教学难点：会用基本不等式解决简单的最大(小)值的问题教学过程：一、知识梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b22．常用的几个重要不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；(2)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R )；(3)a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2(a ，b ∈R )；(4)b a ＋a b≥2(a ，b 同号且不为零)．3．利用基本不等式求最值问题即要满足“一正、二定、三相等”的条件．二、课前热身1．“a >0且b >0”是“a ＋b2≥ab ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2 若a >0，b >0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．43．若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2＞2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b＞2abD ．b a ＋a b ≥24．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝4x的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．三、考点剖析：1、考点一：利用基本不等式证明不等式例1、已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.规律方法：随堂练： 1.已知a >0，b >0，c >0，求证：bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c . 2、考点二：利用基本不等式求最值例2、 (1) 若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 3(3)若x <3，则函数f (x )＝4x －3＋x 的最大值为________．规律方法随堂练：2.(1) 已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则（a ＋b ）2cd的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4(2 已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．3、考点三：基本不等式与方程、函数的综合例3函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在mx ＋ny ＋2＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n的最小值为________．规律方法随堂练：3、 (1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)当0<x <12时，求函数y ＝12x (1－2x )的最大值．四、课堂小结：画思维导图五、当堂落实：1． “a 2＋b 2ab≤－2”是“a >0且b <0”的( )A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件2．下列不等式一定成立的是( )A ．lg(x 2＋14)>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R )3．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．64．若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43 B ．53 C ．2 D ．545．若正实数x ，y 满足x ＋y ＋1x ＋1y＝5，则x ＋y 的最大值是( )A ．3B ．3.5C ．4D ．4.56．若0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

【数学】3.4《基本不等式》教案(新人教A版必修5)(3课时)

课题: §3.4基本不等式2a b ab +≤第1课时授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b ab +≤的证明过程；【教学难点】基本不等式2a b ab +≤等号成立条件【教学过程】1.课题导入基本不等式2a b ab +≤的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系2.讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。

这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。

2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a3．思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2a b ab +≤特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤2）从不等式的性质推导基本不等式2a b ab +≤用分析法证明：要证2a b ab +≥ (1)只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3）要证（3），只要证（ - ）2 （4）显然，（4）是成立的。

高中数学 3.4基本不等式教案(3) 新人教A版必修5

3.4 基本不等式2b a ab +≤[教学目标]1. 探索并了解基本不等式的证明过程。

2. 从基本不等式的证明过程了解不等式证明的常用思路：由条件到结论，或由结论到条件。

3. 能利用基本不等式进行简单的应用。

4. 通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯和数形结合的思想。

5. 通过对问题的引入培养学生的爱国主义情操。

[重点]：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探究基本不等式2ba ab +≤。

[难点]：从不同角度探索基本不等式的证明过程。

[教学方法]：启发、引导、讲解。

[教学准备]：Z+Z 课件 [教学过程]：一、导入新课（多媒体展示24届国际数学家大会会标）问：你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何寻找？（引导学生作出其几何图形，多媒体展示该几何图形。

）问：四个全等的直角三角形的面积之和与大正方形的面积有什么关系呢？答：四个全等的直角三角形的面积之和不大于大正方形的面积。

（多媒体动态演示变化过程，引导学生注意何时相等。

）问：同学们已学过从具体情境中抽象出不等关系并把其表示出来的相关练习，请同学们用不等式表示上述不等关系。

为了表示方便，我们可设直角三角形的两直角边的长分别为b a ,。

答：四个全等的直角三角形的面积之和为ab 2，大正方形的面积为22b a +,则ab b a 222≥+当直角三角形变为等腰直角三角形,即b a =时,正方形EFGH 缩为一个点时有ab b a 222=+。

问：如何证明 ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号。

答：由()02222≥-=-+b a ab b a ，所以ab b a 222≥+当且仅当()02=-b a ，即b a =时取等号。

[板书]：一般的，对于任意实数b a ,，都有ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号。

问：当0,0>>b a 时，以a ，b 代替此式中b a ,的可得到一个什么样的关系式？答：ab b a 2≥+ 二、.新课探究[板书]：若0,0>>b a ，则2ba ab +≤，当且仅当b a =时取等号。

人教A版高中数学必修5第三章不等式3.4 基本不等式教案(3)

基本不等式目的要求：复习与掌握基本不等式及其运用。

重点难点：利用基本不等式的运用技巧。

教学设计：一、引入：我们已经学习过重要不等式 a²+b²≥2ab ，下面将它以定理的形式给出. 二、定理1 如果a, b ∈R, 那么a²+b²≥2ab.当且仅当a=b 时等号成立。

让学生自己给出证明.探究：你能从几何的角度解释定理1吗？分析：a²与b²的几何意义是正方形面积，ab 的几何意义是矩形面积，可考虑从图形的面积角度解释定理。

几何意义：如图把实数a ，b 作为线段长度，以a ≥b 为例，在正方形ABCD 中，AB=a ；在正方形CEFG 中，EF=b.则 S 正方形ABCD+S 正方形CEFG=a ²+b ².2ab S S CEFG BCGH =+矩形矩形，其值等于图中有阴影部分的面积，它不大于正方形ABCD 与正方形CEFG 的面积和。

即a ²+b ²≥2ab.当且仅当a=b 时，两个矩形成为正方形，此时有 a ²+b ²=2ab 。

三、定理2：将定理1做简单变形即可得到定理2，如下：如果a,b>0，那么ab ba ≥+2，当且仅当a=b 时，等号成立.证明：因为 ()()ab b a b a b a 2222=≥+=+所以ab ba ≥+2，上式当且仅当b a =，即a=b 时，等号成立。

其中2ba +为a,b 的算术平均，ab a,b 的几何平均，于是基本不等式可以表述为:两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。

几何意义为:如图在直角三角形中，CO 、CD 分C别是斜边上的中线和高，设AD=a ，DB=b ，则由图形可得到基本不等式的几何解释。

四、.教学例题例3 求证：（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。

高中数学 3.4基本不等式教案3 新人教A版必修5

3．4．2基本不等式（2）（1）教学目标（a ）知识与技能：能够运用基本不等式解决生活中的应用问题（b ）过程与方法：本节课是基本不等式应用举例的延伸。

整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。

3道例题的安排从易到难、从简单到复杂，适应学生的认知水平。

教师要根据课堂情况及时提出针对性问题，同时通过学生的解题过程进一步发现学生的思维漏洞，纠正数学表达中的错误（c ）情感与价值：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性（2）教学重点、教学难点教学重点：正确运用基本不等式教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件（3）学法与教学用具列出函数关系式是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一。

对例题的处理可让学生思考，然后师生共同对解题思路进行概括总结，使学生更深刻地领会和掌握解应用题的方法和步骤。

直尺和投影仪（4）教学设想1、设置情境提问：前一节课我们已经学习了基本不等式，我们常把2a b +叫做正数a b 、的算术平均数，a b 、的几何平均数。

今天我们就生活中的实际例子研究它的重用作用。

2、新课讲授例1、（1）用篱笆围一个面积为1002m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。

最大面积是多少？分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大解：（1）设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则100,xy= 篱笆的长为2（x y +）m由 2x y +≥可得 x y +≥2（x y +）40≥等号当且仅当10x y x y ===时成立，此时，因此，这个矩形的长、宽为10 m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m(2)设矩形菜园长为x m,宽为y m,则2（xy +）=36，x y +=18，矩形菜园面积为xy 2m ，由189,22x y +==可得 81≤xy , 可得等号当且仅当9x y x y ===时成立，此时因此，这个矩形的长、宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为812m例2、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为48003,m 深为3 m 。

高中数学第三章不等式 3.4 基本不等式(第1课时)教案新人教A版必修5

3.4 基本不等式（第1课时）一、教学目标：1．通过探究“数学家大会的会标”及感受会标的变形，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；2．进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。

3．通过例题让学生学会用基本不等式求最大值和最小值。

二、教学重点：对基本不等式的理解和运用教学难点：理解基本不等式和灵活应用基本不等式十本节课难点三、学情及导入分析：对于高一的学生，不等式并不陌生，前面学习了不等式及不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较，本节所学内容就用到了不等式的性质，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是容易的，争取让学生真正意义上理解基本不等式。

教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等四、教学过程：通过情境引发联想，学生深切感受到我国数学科学的悠久历史和深厚的文化底蕴，以及我国的数学成就对世界数学文明的影响和发展做出的卓越贡合作探究探究一：观察上面的会标。

会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、数形结合的思想。

将代数与几何紧密的结合在了一起。

师：从图形上你能观察到了什么？生：边、角、三角形、正方形师：我们根据弦图可知勾股定理，那么我们对三角形、正方形可以研究哪些数量关系呢？生：正方形和三角形的面积、周长，根据给的边可以求。

师：那么面积之间又有怎样的关系呢？生：大正方形面积22a b +，四个直角三角形面积2ab ，并且22a b +>2ab 。

师：仅此而已吗？你还能发现怎样的关系？生：还会相等。

a b =时会相等。

（教BCD∆，小于或等于圆的半径，课堂小结1、本节课你学到了什么？2、你还有哪些疑问？不等式对高中的学生来说不陌生，但基本不等式则是一个新的知识点出现在高中数学教材中，让学生又学会一种求函数最值得方法，所以学生只有真正理解了才会用起来得心应手。

高中数学《3.4基本不等式 (三)》教案新人教A版必修5

word1 / 1 某某省长乐第一中学高中数学必修五《3.4基本不等式（三）》教案教学要求：2a b +≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题教学重点2a b +≤的应用教学难点2a b +≤求最大值、最小值。

教学过程：一、复习准备：1. 讨论：重要不等式？基本不等式？2. 提问：ab ba ab b a ≥+≥+2222和成立的条件？二、讲授新课：1. 教学：最大值、最小值。

① 出示例1：（1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。

最短的篱笆是多少？（2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少? 分析：根据题意：→如何设长、宽？应用什么知识？怎样应用？→学生讲述解答过程。

→ 小结：解决应用问题，首先读懂题意，思考用什么方法去解决。

②练习：用绳子围成一块矩形场地，若绳长为20米，则围成最大矩形的面积是；若要围出一块100米2的场地，则绳子最短为。

③出示例2：某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：→如何由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式？→如何求函数的最值，用到了什么定理？→师生共同解答。

→小结：应注意数学语言的应用即函数解析式的建立和注意不等式性质的适用条件。

④练习：建造一个容积为18立方米，深为2米的长方体有盖水池。

如果池底和池壁每平方米的造价分别是200元和150元，那么如何建造，池的造价最低，为多少？2. 小结：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.三、巩固练习：1. 练习：教材114页练习的第1题.习题[A]组的第2题.2. 已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2＋281x 的值最小?最小值是多少? 3．已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转成一个圆柱，矩形的长.宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？3. 作业：教材114页习题[A]组的第4题。

人教A版高中数学必修五3.4基本不等式(三)

abc
课堂小结
课后作业
1. 阅读教材P.97-P.100； 2.《习案》作业三十三.
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
2
变式3. a,b是正数且2a+3b=4,求ab的最值和此时a、b的值.
讲授பைடு நூலகம்课
例2. (1)a,b都是正数且2a＋b＝2,求a(1＋b)
的最值和此时a、b的值.
(2) a, b是正数, a2 2b2 2, a (1 2b2 )
的最值是
.
讲授新课
例3. 已知a、b R , a b 1, y 1 1 ， ab
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
讲授新课
例1. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值. 变式1. a,b 是正数且2a b 4，求ab的最值. 变式2. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值.
2
讲授新课
例1. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值.
变式1. a,b 是正数且2a b 4，求ab的最值. 变式2. a,b 是正数且a b 4，求ab的最值.

最新人教A版必修5高中数学 3.4 基本不等式教案3(精品)

《基本不等式》一、内容与内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中3.4节《基本不等式》的第一课时，主要内容是探索基本不等式的生成和证明过程及其简单的应用.本节内容具有变通性、应用性的特点，它与线性规划呈并列结构，可用来求某些函数的值域和最值，也可解决实际生活中的最优化配置问题.本节内容由两部分构成，其一是利用“一正、二定、三相等”的七字条件求函数最值并用来解决实际问题，其二是对基本（重要）不等式的探究过程，并在探究过程中学会研究某些数学问题的过程与方法.作为本节内容的第一课时，重点在后者.特别是，本节课内容是体现新课程让学生积极动手实践、自主探索、合作交流学习方式的良好素材.本节课蕴含了丰富的数学思想及方法，尤其是在两个不等式的发现和对基本不等式的几何解释的学习过程中突出体现了数形结合思想，在基本不等式与重要不等式的关系及其应用中都突显换元的方法.在对教材深入挖掘的基础上，本节内容中含有多个德育教育点.教材引入赵爽的弦图，是体现数学文化价值、对学生进行以爱国主义为核心的民族精神教育的好机会.在探究不等式的过程中，不等式中等号成立的条件是体会量变与质变的辩证关系的较好素材.利用对教材例1的反思，可使学生树立科学的节能减排意识、环保意识.通过教师创设的问题情境，还可使学生树立现代社会的诚信观.本节课教学重点：1.学生在经历基本（重要）不等式的生成及证明过程中初步学会“实验（几何）——猜想(代数)——证明——结论（定理、概念）——应用”的探索数学问题的方法.2.会运用基本（重要）不等式解决简单的比较大小和求某些函数最值的简单问题.二、目标和目标解析（一）教学目标（1）通过拼图、折纸的几何实验，经历基本（重要）不等式的发现过程，初步学会在类似的问题情境下，尝试运用 “实验——猜想——证明——结论（定理、概念）——应用”的方法探究数学问题.（2）了解基本（重要）不等式证明过程，能在证明过程中分析不等式成立的条件.（3）会运用基本（重要）不等式比较大小.（4）知道基本不等式成立的条件，并会求()0,0>>+=b a xb ax y 类型的函数在0>x 时的最小值，初步认识 “=”成立的作用.（5）通过对基本不等式的探究及几何解释的理解，体会数形结合思想的作用.（6）在认识赵爽弦图的过程中，了解中国数学文化，增强民族自豪感. 在探究不等式的过程中，体会量变与质变的辩证关系.通过教师对基本不等式例题的设置，帮助学生树立现代社会诚信意识及科学的节能减排理念.（二）教学目标解析（1）新课标中对经历知识的发生过程提出了较高的要求，强调使用 “经历”、“感受”、“探索”等体现目标要求的行为动词，学生要体验数学的发现与创造的过程.本节课是学生经历“学数学、做数学、用数学”的一次机会，因此将经历基本（重要）不等式的发现过程作为重要的教学目标之一，在此过程中学会数学地思考问题的方法，培养学生良好的学习态度和习惯.（2）教学中设置两条主线，一是知识与技能的主线，采用层层递进的呈现方式，使学生学会初步运用基本（重要）不等式解决简单问题的方法.二是感受过程与方法的主线，即学生经历“了解研究方法——感受研究方法——自主研究”的过程.（3）基本（重要）不等式的证明过程有很多种方法，如比较法、综合法、分析法等，在此处证明过程只要求学生能用已有知识证出即可，不作过多的说明和证明方法罗列.以往经验告诉我们，学生在解题中易忽视基本不等式成立的条件，因此设计了在证明的过程中学生自己发现成立条件的教学目标.(4)基本（重要）不等式的主要应用是求函数的最值或值域，由于本课时是本节的第一课时，主要还是以学生掌握不等式内容和探究过程为主，只要会比较大小和会求()0,0>>+=b a xb ax y 型的函数在0>x 时的最小值即可,为第二课时求最值的“一正二定三相等”的一般方法作准备.(5)通过对基本不等式的几何解释的理解，养成用数形相结合思想分析数学问题的习惯，提高学生提出、分析和解决问题的能力.（6）教材用赵爽的弦图作为本节课的导入，借此可增强学生的民族自豪感，通过了解中国数学文化，培养学生爱祖国、爱科学的精神.通过图形探究重要不等式时，必然要经历不等到相等的过渡，而此过程正能体现马克思主义哲学原理中量变与质变的辩证关系.基本不等式在实际生活中应用较广泛，通过设置学生感兴趣的动画情境，对学生进行明理诚信教育，通过设置生活化的问题情境，使学生树立科学生态价值观.（三）学习结果分析通过本节课的学习，学生认知系统中增加两个恒成立的不等式，并将其作为求某些特定函数最值的重要方法.学生在通过基本不等式的探究和几何解释过程中，体会到数形结合的作用.学生初步学会动手做些简单的数学实验并尝总结、应用结论.在学习的过程中，学生受到了民族精神的熏陶和明理诚信的道德教育，并树立了科学的节能减排的意识.三、教学问题诊断分析（一）问题诊断分析（1）个别同学在动手实验时会存在不知所措或不会从几何图形中提炼出代数形式的不等关系，其原因是学生重解题轻过程的现状使此方面能力较弱，教学中以小组合作探究式的学习方式来弥补这一不足.（2）在基本不等式几何解释的教学环节中，学生可能会把几何解释作为一种“负担”被动地接受，因为用几何变化的现象解释变量变化的结果学生是非常陌生的，所以教学中通过帮助学生构造直角三角形并引导学生在其中寻找“平均数”的几何表示，为学生“排忧解难”，培养学生数与形相结合思考问题的习惯.（3）在两个不等式的证明过程中学生会出现困难，因为在3.1节不等式性质只是要求学生了解比较法证明简单不等式，学生也没有接触综合法、分析法证明，虽然教材运用了分析法，教学中没有必要刻意追求此方法，而是要根椐学生实际，采用学生想到的证明方法，让学生知道证明的必要性和可行性，在探究的基础上体会证明的思路即可.（4）基本不等式的应用向来是难点，首先解题中的换元法给学生带来了一定的障碍，其次使用条件易忽视.为此教学中采用小步子的引导渗透的方法，简化题目难度，为后面学习作为铺垫.教学难点：1.运用“实验（几何）——猜想（代数）——证明——结论（定理、概念）——应用”解决数学问题的方法的形成过程.2. 基本（重要）不等式证明过程及应用.（二）学习新知所需条件分析（1）学生具有动手操作数学的意识和基本的观察能力和提取数据的能力.（2）学生具有初步用数形结合思想独立分析问题的能力.（3）学生具有利用比较法证明不等式和函数最小值概念的知识基础.四、教法分析及教学支持条件本节课以数学实验为抓手，以问题为载体，为学生提供动手做、动眼看、动脑想和动口说的机会，引导学生积极思考、合作探究，体现“重过程、重情感、重生活”的理念.教学中在动手折纸的基础上辅以几何画板的动态演示，通过学生动手实践、动脑思考等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生学会数学地思考问题的能力，增进应用意识和问题意识.利用学生感兴趣的数学文化知识和生活中的问题，实现情感、态度、价值观目标.五、教学过程（一）感知问题，指明研究方法1.观察直角三角形，提出问题1. 问题1：在直角三角形的边的关系中有哪些不等关系，你能提炼出怎样的不等式？师生活动：学生利用直角三角形的性质总结不等式：a b a >+22、22b a b a +>+等，并感受取值范围的重要性、b a .学生体验由几何图形中的不等关系容易得出一些恒成立的不等式，并感受数形结合的作用及事物间普遍联系的观点.2.点明本节课要通过几何图形中的不等关系探索出一些重要的、有用的恒成立的不等式.b北京国际数学家大会的会标，学生将数学文化融入内心世界，内化成学习动力.【设计意图】作为本节课第一个实验，其目的在于使学生经历数学实验的过程，增强学好数学的信心.同时通过了解中国数学文化，增强学生的民族自豪感和爱国主义精神，增强学生对国家发展的信心.通过对”会标”的了解,感受中国人的智慧和华夏民族热情好客的优良传统.【课件开发】利用PPT 逐个出示图片，学生通过图片直观感受,增强以爱国主义为核心的民族精神.赵爽弦图问题3：如果我们仍利用赵爽的弦图，你能发现其中的不等关系吗？从几何图形中的不等关系可提炼出怎样的代数形式的不等式呢？在同学们摆出的图形中有没有二者相等的情况？什么样的三角形会使不等关系变为相等？师生活动：学生通过观察图形,容易找到不等式，也容易得出二者相等的条件.教师借助几何画板进行动态演示，验证不等关系.通过由不等向相等过渡，使学生感受由量变到质变的变化过程.从而指明“=”成立的条件，解释“当且仅当”的含义，并总结出一般情况.【设计意图】学生体会如何从实验中发现问题，如何从特殊到一般地猜想问题.感受到由“形”到“数”的逐步提炼的过程，感受由量变到质变的数学问题中的辩证关系.【课件开发】根椐学生的回答，配合幻灯片展示（如图2）.拖动利用几何画板中的控制点(如图3)，使b 、a 的长度不断变化，通过观察b 、a 的值和图形中的不等关系，以及不等到相等的过渡，体会当且仅当的含义，感受当量变积累到一定程度必然会质变的道理. 图1问题9：从基本不等式的内容上看，只说明了算术平均数大于等于几何平均数，何时大的多一些，何时少一些呢？为解释这一问题可利用基本不等式的几何解释，在学习的过程中体会以(动态的)形助(变化的)数方法对理解代数式的作用.师生活动：教师总结两个不等式的研究过程，即经历了“实验（几何图形）——猜想（代数式）——证明——结论——应用”的过程，强调这是研究自然科学的一般方法，指明学会知识的同时还要学会方法.组织小组讨论，鼓励学生将动手操作与计算相结合，探索新结论.并提出课后学生自己探究、证明其它情况.图10辨别真伪灰太狼用不等臂天平为喜羊羊称重，第一次称得物体重量为，第二次称得物体重量为，灰太狼说此物体重量为，你能帮助喜羊羊揭穿灰太狼吗？1G 2G 221G G +1l 1l 2l 2l问题15：本节课主要学习了什么？在本节课学习的过程中，你有何体会？能否求函数的最小值的最大值和212)210()21(22+++=<<-=x x y x x x y ？师生活动：先由学生总结学习的内容，教师作补充说明，尤其指出本节课所经历的知识探究过程和数形结合的思想，强调数学文化及用不等式解决生活问题时给我们带来的启示，提出思考问题为下节课作准备.【设计意图】通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识及方法纳入已有的认知结构，提升情感、态度、价值观目标.通过两个思考问题为下节课的学习埋下伏笔.《基本不等式》教学反思依据课程标准，在充分挖掘教材知识、方法与德育内容的基础上，我执教了人教A版必修五第三章第四节基本不等式中的第一课时.课堂上通过为学生创设探究情境、生活情境，组织学生展开讨论，引导学生亲身感受，呈现了一节以“学生动手实验，自主探究新知”为主线的探究课.反思准备过程和课堂实施过程的点滴，在数学教学中的德育渗透和开展动手实验的活动等方面，我有了一些新的思考.一、在新课标理念的指引下深入挖掘教材是上好一堂课的前提《高中数学新课程标准》（以下简称《课标》）指出，教师应倡导“自主、合作、探究”的学习方式.为此我们应鼓励学生积极参与教学活动，要创设适当的问题情境，鼓励学生发现数学规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程.对于本节教材中简短的篇幅很难直接找到为学生搭设探究平台的素材，这就需要我们有对教材加工的能力，有组织“探究式”课堂的经验.教学中本着这一理念，我开展了三次以学生为中心的数学实验活动，做到从教师引导到教师参与最后完全放手，为学生经历过程、学会方法搭设好平台，实现了学生从感知方法到经历研究过程最后能独立解决问题的目标.这些活动的设计源自教材中的赵爽的弦图，对其进行适当的加工.另外在教材处理上,我将两个平均数的定义提前介绍，改变了教材的顺序，为学生创设了探究基本不等式探究过程的情境.我体会到充分挖掘教材的优势和潜能，大胆创新教法，灵活使用教材，能努力实现“教与学”的和谐统一．《课标》中指出，教学要体现数学文化价值.我抓住教材中赵爽的弦图，有意识地开展以爱国主义为核心的民族精神教育，弘扬中国的数学文化，赞扬华夏民族热情好客的优良传统.我认为对数学文化价值的体现可以落实在日常教学中，我们只要留心与所学知识相关的数学家故事、数学研究过程中的一些可贵的精神，并与学生共享，一定能提升学生科学的态度和良好的学习品质，定能将民族精神渗透到日常的教学中.《课标》中指出，教学要发展学生的数学应用意识.本节课我立足于教材中例1，利用题后反思的形式，使学生亲身感受数学的作用，对学生形成和发展数学应用意识起到一定促进作用.课标教材各部分都十分重视生活化的例题，我们要利用好这一优势，对每个题目认真推敲，教学中既能体现所学新知的应用，又要体现数学与人类社会的关系，要善于以例题的生活背景为素材，对学生进行德育教育.二、数学课堂会因潜移默化的德育内容而更加精彩课堂教学是将社会主义核心价值体系融入教育的主渠道，因此知识教学和德育教育二者不能偏执其一，我们既要挖掘德育教育的“点”，还要把握德育教育的“量”和“度”，追求学科教学中知识学习和德育教育的融合.本节课我结合教学内容设计了多个自然的学科德育点，德育目标的落实不是单靠老师平铺直叙的说教，而是融入到知识的生长点处，融入到学生对知识的内化的过程之中.比如通过学生动手操作、观察、猜想、证明等活动培养学生观察问题、分析问题、解决问题的科学探究能力，通过开展组间合作学习，培养学生合作交流的意识，通过学生利用所学知识帮助别人辨别真伪的情境,感受社会诚信的重要性，进而对学生进行精神文明教育，通过对教材例1的题后反思，使学生树立科学的节能减排意识，通过基本（重要）不等式的探究过程，感悟量变与质变的辩证关系的马克思主义原理.纵观整堂课，我认为德育点还是比较多的，但教学中并没有占用过多的时间，是将其完全渗透在知识教学之中，切实找到德育内容与知识教学的结合点.从教学效果上看，德育内容的充实使数学课堂更“厚实”，更符合新课改的理念.从德育效果上看，学生自己“悟”出来的道理要远远好于“说教”的效果.三、对学生合理适度的评价是实现良好教学效果的催化剂《课标》指出，教学中应将评价贯穿数学学习的全过程，要重视对学生数学学习过程的评价.反思本节课在此方面的做法，有一些不足之处.课堂上我采用了小组合作学习的方式，组织了几次讨论，但我只是从个体角度给予评价，轻视了小组的评价，我只关注学习成果评价而轻视了合作意识、合作方法的评价.课堂上我听到的大多是正确的答案，对数学能力较弱的学生没有及时给予关注.今后在此方面，我还要加强理论的学习和实践的探索.总之，上完本节课收获颇丰，我不但认识了寓德育于学科教学之中的重要性，还探索出一些教学方法，提升了课堂教学中落实教学育人功能的能力.。

[精品]新人教A版必修五高二数学3.4基本不等式5优质课教案

3.4.1 基本不等式一、教材分析“基本不等式”是必修5的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用。

利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛。

同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。

二、学情分析学生们通过本章前两节的学习对不等式有了初步了解，学会运用不等式。

但接触的不等式较为单一，灵活度不够，学生在练习时运用困难，而基本不等式对学生更为灵活，但也为学生掌握设置了障碍，特别是在基本不等式的几何意义理解上会存在困难。

三、教学目标1、知识与技能：（1）学会推导基本不等式；（2）理解基本不等式的几何意义；（3）掌握基本不等式成立、取等条件。

2、过程与方法：（1）探索了解基本不等式的证明过程。

（2）体会基本不等式的证明方法。

3、情感态度价值观：（1）通过探索基本不等式的证明过程，培养学生的探索、研究精神。

（2）通过对基本不等式成立条件的分析，培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。

四、教学重难点教学重点：从不同角度证明基本不等式；教学难点：从数形结合的思想理解不等式的含义，挖掘基本不等式的内涵及几何意义。

五、教学过程（一）认识基本不等式师：在前面我们已经对不等式进行了多方面的学习，昨天老师交给了部分同学一些任务，让他们从这几个图中找出其中存在的不等关系，下面我们来请他们上来汇报一下探究成果。

学生1：如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标颜色的明暗使它看上去像一个风车。

实际上，它是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计而成的。

大家可以对比欣赏一下。

那么，这个会标与我们今天所要学习的基本不等式有何关系呢？首先把这个会标抽象成一个数学图形，观察这个图形，:这四个直角三角形的面积相等，为全等三角形；大正方的面积大于四个直角三角形面积之和。

高中数学 3.4基本不等式(三)全册精品教案新人教A版必修5

第三课时基本不等式（三）（一）教学目标（1）知识与技能目标1.熟练使用a 2+b 22ab 和ab b a 2≥+.2.会应用此定理求某些函数的最值；3.能够解决一些简单的实际问题.（2）过程与能力目标了解运用ab b a 2≥+的条件，熟练运用不等式中1的变换.（3）情感与态度目标通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力.（二）教学重点：在运用ab b a 2≥+中要注意“一正”、“二定”、“三相等”.教学难点：ab b a 2≥+的运用.（三）教学流程（1）复习：基本不等式（2）举例分析变形3： a ,b 是正数且2a +3b =4,求ab 的最值和此时a 、b 的值例2． a,b 都是正数且2a+b=2,求a (1+b )的最值和此时a 、b 的值的最值是是正数)21(,22,,)2(222b a b a b a +=+ 。

证法1：直接用公式证法2：对1进行变换练习223223232212211)1(+=⨯+≥++=+++=+++=+b a a b b a a b b a a b b b a a b a b a 解：922233111)2(=⨯+⨯+⨯+≥++++++=++++++++=++cb bc c a a c b a a b cb bc c a a c b a a b c c b a b c b a a c b a c b a88)11)(11)(11( 2111 2111 2111 )3(=≥---≥+=-++=-≥+=-++=-≥+=-++=-c ab b ac a bc c b a c ab c a c b c c b a c b ac b c b a b c b a b a bc ac a b a c b a a 课堂小结：课后作业：《习案》作业三十三。

人教新课标A版必修5第三章：3.4 基本不等式教案

基本不等式教案教学目标：1.进一步掌握并运用基本不等式；2.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。

3.使学生能够运用基本不等式来讨论函数的最大值和最小值问题。

教学重点与难点：重点：能灵活利用基本不等式及其变式解决有关求值问题；难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。

一、复习回顾：题目分析：除运用函数的单调性求解最值外，当0>x 时，可以利用基本不等式解题，引导出基本不等式。

并强调基本不等式时三个条件“一正、二定、三相等。

”1．基本不等式：如果a ,b 是正数，那么。

”成立时“当且仅当)(2==+≤b a b a ab变形公式：2()(=2a b a b ab a b ++≥≤=当且仅当时，“”成立）解题分析：对于y x ，正数且积为定值，求和的最值时利用xy y x 2≥+求其最小值。

并加以总结：当积为定值时和有最小值。

解题分析：对于y x ，正数且和为定值，求积的最值时利用22）（y x xy +≤求其最大值。

并加以总结：当和为定值时积有最大值。

2.最值定理：已知b a ,都是正数， ①如果积ab 是定值p ，那么当b a =时，和b a +有最小值p 2； ②如果和b a +是定值s ，那么当b a =时，积ab 有最大值241s ．说明：用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”。

10x y x x >=+引例1：若，求的最小值。

004+x y xy x y >>=引例2：（1）若，，，求的最小值。

00+4x y x y xy >>=（2）若，，，求的最大值。

二、例题讲解、发散思维【题型1.不具备“正数”】学生板演，教师根据学生的做题情况进行点评总结。

本题小结：利用基本不等式求函数最值时要满足各项均为正值，当不具备“正值”条件时，需将其转化为正值；对于本题的解法是化负为正。

然后再利用基本不等式解题。

【题型2.不具备“定值”】学生板演，教师根据学生的做题情况进行点评总结。

高中数学第三章不等式 3.4 基本不等式(第2课时)教案新人教A版必修5(2021年最新整理)

高中数学第三章不等式3.4 基本不等式（第2课时）教案新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章不等式3.4 基本不等式（第2课时）教案新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章不等式3.4 基本不等式（第2课时）教案新人教A版必修5的全部内容。

3。

4.2 基本不等式（第2课时）一、教学目标知识与技能1。

构建基本不等式解决函数的值域、最值问题；2。

让学生探究用基本不等式解决实际问题;3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱。

过程与方法1.采用探究法，按照观察、阅读、归纳、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学;2。

教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用;3。

设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.情感态度与价值观1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考,鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；2。

学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与,培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3。

通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性,体会数学的奥秘，数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣。

二、教学重点与难点:重点:1。

构建基本不等式解决函数的值域、最值问题。

山东省高中数学 3.4 基本不等式 教案3 新人教A版必修5

人教高中 数学 必修五 3.4 基本不等式教学设计