普通高等学校招生全国统一考试文科数学 新课标II卷 含答案 解析

2014年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A=﹛-2,0,2﹜,B=﹛x |2
x -x -20=﹜，则A I B=
(A) ∅ （B ）{}2 （C ）{}0 (D) {}2-
【答案】B 【解析】
把M=｛0,1,2}中的数,代入等式，经检验x=2满足。

所以选B.
(2)
131i
i
+=- （A ）12i + （B ）12i -+ （C ）1-2i (D) 1-2i -
【答案】B
【解析】
.∴21-2
42-2)1)(31(-131B i i
i i i i 选+=+=++=+Θ
（3）函数()f x 在0x=x 处导数存在，若p ：f ‘（x 0）=0；q ：x=x 0是()f x 的
极值点，则
（A ）p 是q 的充分必要条件
（B ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 （C ）p 是q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 (D) p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件
【答案】C 【解析】
.
,.∴0)(,;,0)(0000C q p x f x q p x x f 选所以的必要条件是命题则是极值点若的充分条件不是命题不一定是极值点则若=′∴=′ΘΘ
（4）设向量a ,b 满足a ·b=
（A ）1 （B ） 2 （C ）3 (D) 5
【答案】A 【解析】
..1.62-∴6|-|.102∴10||2
222A 选两式相减，则==+==++=+ΘΘ
（5）等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的
前n 项和n S =
（A ） ()1n n + （B ）()1n n - （C ）
()12
n n + (D)
()12
n n -
【答案】A 【解析】
.
..6.2,4),6()2(,,,22122222822
4842A A S a a d a a d a a a a a a a d 选正确经验证，仅解得，即成等比=∴==+=+=∴=Θ
（6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）， 图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件 由一个底面半径为3cm ，高为6c m 的圆柱 体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与 原来毛坯体积的比值为
（A ）
1727 （B ） 59 （C ）10
27
(D) 13
【答案】 C 【解析】
..27
10
π54π34-π54π.342π944.2342π.
546π96321C v v 故选积之比削掉部分的体积与原体体积，高为径为，右半部为大圆柱，半，高为小圆柱，半径加工后的零件，左半部体积，，高加工前的零件半径为==
∴=•+•=∴=•=∴πΘΘ
（7）正三棱柱1
11ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中
点，则三棱锥11DC B A -的体积为
（A ）3 （B ）32 （C ）1 （D ）
3 【答案】 C
【解析】
.
.13322
1
31,//∴//111111---111111C V V V C AB D B C AB BD BD C B ABB C C AB B C AB D 故选的距离相等到面和点面=••••===∴Θ
（8）执行右面的程序框图，如果如果输入的x ，t
均为2，则输出的S=
（A ）4
（B ）5 （C ）6 （D ）7
【答案】 D 【解析】
.
3 7 2
2 5 2 1
3 1 ,2,2D K S M t x 故选变量变化情况如下：==
（9）设x ，y 满足的约束条件10
10330x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
，则2z x y =+的最大值为
（A ）8 （B ）7 （C ）2 （D ）1
【答案】 B 【解析】
.
.7,2).1,0(),2,3(),0,1(.B y x z 故选则最大值为代入两两求解，得三点坐标，可以代值画可行区域知为三角形+=
（10）设F 为抛物线2:y =3x C 的焦点，过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点，则AB = （A
（B ）6 （C ）12 （D
） 【答案】 C 【解析】
.
.1222.6∴),3-2(2
3
),32(233-4322,34322).0,4
3
(2,2C n m BF AF AB n m n m n n m m F n BF m AF 故选，解得角三角形知识可得，
则由抛物线的定义和直，设=+=+==+=+=•=+•===
（11）若函数()ln f x kx x =-在区间（1，+∞）单调递增，则k 的取值范围是
（A ）(],2-∞- （B ）(],1-∞- （C ）[)2,+∞ （D ）[)1,+∞ 【答案】 D
【解析】
.
),∞,1[.1
1≥.0≥1-)(ln -)(0)(),1()(D k x
k x
k x f x kx x f x f x f 选所以即恒成立上递增，在+∈>=′∴=≥′∴+∞ΘΘ
（12）设点0(x ,1)M ，若在圆22:x y =1O +上存在点N ，使得°45OMN ∠=,则0x 的取值范围是
（A ）[]1,1- （B ）1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， （C
）⎡⎣ （D ）
22⎡-⎢⎣⎦
，
【答案】 A
【解析】
.
].1,1-[∈x .,1)M(x 1,y O 00A 故选形外角知识，可得由圆的切线相等及三角在直线上其中和直线在坐标系中画出圆=
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题~第21题为必考题，每个考试考生都必须做答。

第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大概题共4小题，每小题5分。

（13）甲、已两名元动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.
【答案】 31
【解析】
.
3
1
3131313131313
1
31.3131=•+•+••
•率为他们选择相同颜色的概色的概率也是同理，均选择红、或蓝为甲乙均选择红色的概率ΘΘ
（14）函数
)sin()(ϕ+=x x f —2ϕsin x cos 的最大值为_________.
【答案】 1 【解析】
1
.1)φ-sin(φsin cos -φcos sin cos φsin 2-φsin cos φcos sin cos sin 2-)φsin()(故最大值为≤==+=+=x x x x x x x x x f φ
（15）已知函数()f x 的图像关于直线x =2对称，)3(f =3，则
=-)1(f _______.
【答案】 3 【解析】
3
)1-(∴3
)3()1(∴2)()1()1-()(=====∴f f f x x f f f x f 对称图像关于为偶函数ΘΘ
（16）数列{}n a 满足1+n a =
n
a -11，2a =2，则1a =_________.
【答案】 21
【解析】
.2
1-11-11,211212==∴=
=+a a a a a a n n 解得Θ
三、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）
四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB=1，BC=3, CD=DA=2. (I )求C 和BD;
(II )求四边形ABCD 的面积。

【答案】 (1) 7
3π
==BD C ， (2) 32
【解析】
（1）
7
3
π
,,21cos ,70cos cos ∴π.3
22-49cos ,22-41cos ,C A,ΔBCD ΔABD,,2
2=====+=+••+=•+==BD C C x C A C A x C x A BD x ，所以联立上式解得则用余弦定理中，对角分别在设Θ
(2)
3
2.32)31(2
3
sin 21sin 2123
sin in ∴3ππ,ΔΔ面积为所以，四边形面积四边形ABCD C CD CB A AD AB S S S ABCD C A s C C A BCD ABD ABCD =+=••+••=+==
===+Θ
（18）（本小题满分12分）
如图，四凌锥p —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA 上面ABCD ，E 为PD 的点。

（I ）证明：PP 34
313
133
(2)
13
13
313
133∴413,,PAB -C BC PB,⊥BC PAB,⊥BC A PA AB BC,⊥BC,⊥2
3,13213131,43,.-BC,⊥∴⊥2--Δ--的距离为
到面所以，由勾股定理解得的高为三棱锥面的距离为到面设的高是三棱锥面PBC A h PB h PB BC BC AB PA V V PA AB x x PA S V V h PBD A AB x ABD P PA PA ABCD PA PBC A ABC P ABD ABD P ABD P ==••=••=∴=∩=∴••••=•==
=ΘΘΘΘΘ （19）（本小题满分12分）
某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民。

根据这50位市民
（I ）分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数； （II ）分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分做于90的概率； （III ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价。

【答案】 (1) 75,77 (2) , 【解析】
（1）
两组数字是有序排列的，50个数的中位数为第25,26两个数。

由给出的数据可知道，市民对甲部门评分的中位数为(75+75)/2=75,对乙部门评分的中位数为(66+68)/2=77
所以，市民对甲、乙两部门评分的中位数分别为75,77 (2)
甲部门评分数高于90共有5个、乙部门评分数高于90共有8个，部门的评分做于90的概率。

因此，估计市民对甲、乙部门的评分小于90的概率分别为
16.050
8
,1.0505====
乙甲p p 所以，市民对甲、乙部门的评分大于90的概率分别为,
（20）（本小题满分12分）
设F 1 ，F 2分别是椭圆C ：122
22=+b
y a x （a>b>0）的左，右焦点，M 是C
上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N 。

（I ）若直线MN 的斜率为4
3，求C 的离心率；
（II ）若直线MN 在y 轴上的截距为2且|MN|=5|F 1N|，求a ，b 。

【答案】 (1) 21
（2）72,7==b a
【解析】 （1）
.
2
1
∴.2102-32.,43
21∴4322222211的离心率为解得，
联立整理得：且由题知，C e e e c b a c a b F F MF ==++==•=Θ
（2）
7
2,7.72,7.,
,1:4:)23-(,:
.23-,,.4,.
4222221111112
2====+===+=+====•=b a b a c b a a
c
e NF MF c e a NF ec a MF c c N M m MF m N F a
b MF 所以，联立解得，且由焦半径公式可得两点横坐标分别为可得由两直角三角形相似，由题可知设，即知，由三角形中位线知识可
（21）（本小题满分12分）
已知函数f （x ）=32
32x x ax -++，曲线()y f x =在点（0,2）处的切线与
x 轴交点的横坐标为-2.
（I ） 求a ；
（II ）证明：当时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点。

【答案】 (1) 1 (2) 省略
【解析】
（1）
1
,2
00
-2),0(),0,2-()2,0()0(6-3)(∴23-)(223==+′==′+=′++=a a f k B x A a f a x x x f ax x x x f AB 所以即则轴交点为，切线与设切点，Θ(2) (2)
仅有一个交点与时，当所以图像如图所示
仅有一个根点时，当时，单调递减，且，当时，，当上递增；
，在时，当上递减；
，在时，当递增；且时，，，或，当递减时，当，则令则令则时，令当2-)(1,,)(1∴)
∞,∞-(∈)()0∞-(∈ 1
)2(≥)()∞0(∪)2,0(∈ ∴)∞0()(,0)(,0)(2 )2,0(),0∞-()(,0)(,0)(2 ∴.0)2(,0)0()(,0)()∞1()0∞-(∈ .
)(,0)()1,0(∈∴)
1-(66-6)(4-3-2)(.4-3-24-3-2)(.413-)(0≠,413-.04-3-2-)(12232
2322223kx y x f y k k x g k x g x g x g x x g x g x h x x g x g x h x h h x h x h x x h x h x x x x x x h x x x h x x x x x x g x x x x g x k x
x x kx x x x kx x f k ==<=<+=++>′>><′<<=<>′+<′==′===′++==++=++=+<
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的
第一题计分，做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明
选讲
如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割
线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的
中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，证明:
（I ）BE=EC ；
（II ）AD ·DE=2PB 2。

【解析】
（1）
EC.
BE BE ∠CE ∠BE ∠αBE,∠βαβBE ∠∠DEB ∠PDA ∠∠∠∠∠.AE ∠CE ,∠EB ∠,,,2===+=+∴+===+=+====∠Δ=∴==，所以，即即则连接为等腰三角形。

，D B D D D PAD BAD PAB BCE PAB B B D PAB AB PAD PD PA DC PD PA PC ΘΘαβ （2）
2
22PA PA -PA PB -PB)PA -(PA DC BD ,
,PA DC,BD DE AD PB PB PB PB PC PB PC PB PA DC PD PC PB =•=••=••==•∴==•=•=•）
（Θ
（23）（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为p=2cos θ，θ∈[0，2
π]。

（I ）求C 的参数方程；
（II）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=3x+2垂直，根据（I）中你得到的参数方程，确定D的坐标。

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
1|+|x-a|(a>0)。

设函数f（x）=|x+
a
（I）证明：f（x）≥2；
（II）若f（3）<5，求a的取值范围。