抽样信号的傅里叶变换PPT课件
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§3.10-抽样信号的傅里叶变换
1.矩形脉冲抽样
第 3
页
（1）抽样信号
f(t)
连 续 信 号 f t
抽样信号
fs t
o
t
p(t)
抽样脉冲
pt
o TS
t
连续:信f号 t
抽样脉冲 : p序 t 列
fS(t)
抽样 : fst信 ftp 号 t o TS
t
X
频谱关系 连续:信 ft号 ;
第 4 页
f t F ( m m )
抽样脉冲：序 pt列 pt P,
限带
信号
抽样:信 fst号
fst F s
fstftpt Fs21πFP
•越小，越能反刻 映之 离， 值 散从 时信号传输, 角
更关f心 st中有无 ft的全部信息，必 fst须 的考 频虑
谱结构。
X
第
抽样信号的频谱结构
5 页
F sF ftpt2 1 πF P
pt P2πP nns n
Ts
o m
事 业 单 位 人员 进行2017年 度 个人的 意义在 于使事 业单位 人员不 断提升 自身的 政 治 素 养 、 业务水 平和综 合能力 。以下 是小编 为大家 精心整 理的事 业单位 人员 2017年 度 ， 欢 迎 大 家阅读 。 事 业 单 位 人员 2017年 度个人 工作总 结一在 局领导 和 部 门 领 导 的正确 带领下 ，与同 事们的 齐心协 力、共 同努力 、大力 支持与 密切配 合 下 ， 使 我 的工作 取得了 一定的 成绩。 对于不 利于团 结的话 不说， 不力于 工作的 事 不 做 ， 对 于违法 的事坚 决不干 。现将 一年来 的工作 总结如 下： 一 、 学 习方 面 深 入 学 习科 学发展 观，并 且认真 学习邓 小平理 论和三 个代表 重要思 想、中 央 新 疆 工 作 座谈会 精神， 全面提 高了自 己的思 想道德 素质和 科学文 化素质 ;全心全 意 为 局 里 的 大事小 事服务 、处处 事事以 集体利 益为重 ，增强 了责任 感和自 觉性。 在 工 作 中 ， 通过学 习和实 践科学 发展观 ，以及 相关业 务知识 ，不断 提高自 己的综 合 素质。 二 、工作 方面 1、电 话方面 ：对待 上级部 门的来 电，问 清什么 事， 什 么 要 求 ， 及时向 领导汇 报。对 待北京 的来电 ，问清 什么事 ，都是 让他们 通过
信号与系统8-1采样信号的傅里叶分析课件
第8章 采样信号的傅里叶分析
现实中存在的大多都是连续信号(如速度、温度、压 力等)，而计算机处理的则是离散信号。对连续信号进行 采样就可得到离散信号。
采样信号的频谱是怎么样的? 怎么才能够保留原连续信号中的信息量而不受损失?
1
信号的采样
意义
电影是连续画面的采样： 电影是由一组按时序的单个画面所组成，其中每一 幅画面代表着连续变化景象的一个瞬时画面（时间 样本），当以足够快的速度来看这些时序样本时， 就会感觉到是原来连续活动景象的重现。
f1(2t)
根据傅里叶变换的尺度变换性质，f1(t)的频谱扩展2倍（时域压缩）， 所以最高频率为4kHz。
该信号的奈奎斯特频率为
fN 2 fm 8kHz
f2(t-3)
根据傅里叶变换的时移性质， f2(t-3)的幅度频谱不变（时移只改变 相位），所以最高频率为3kHz。
该信号的奈奎斯特频率为
时域：周期连续信号采样周期离散信号 频域：非周期离散频谱——周期离散频谱 (周期为S) 满足采样定理：频谱无混叠。
信号的时域采样，意味着信号频谱的周期性 信号时域的周期性，意味着信号频谱的离散性 信号时域的非周期性，意味着信号频谱的连续性
10
例 8.1
已最知高信频号率f分1(t量)是为最3k高H频z的率带分限量信为号2k。H求z的下带列限信信号号的，奈f奎2(t斯)是特 频率fN。
t N0T
(2)采样信号的频谱是离散的周期函数,周期s 。
F ( j)
0 0
最 ()
=
S
0
S
F~S ( j)
/T
S
0 0 S
当 S 20 时
1 T
F(
j) s
(t)
现实中存在的大多都是连续信号(如速度、温度、压 力等)，而计算机处理的则是离散信号。对连续信号进行 采样就可得到离散信号。
采样信号的频谱是怎么样的? 怎么才能够保留原连续信号中的信息量而不受损失?
1
信号的采样
意义
电影是连续画面的采样： 电影是由一组按时序的单个画面所组成，其中每一 幅画面代表着连续变化景象的一个瞬时画面（时间 样本），当以足够快的速度来看这些时序样本时， 就会感觉到是原来连续活动景象的重现。
f1(2t)
根据傅里叶变换的尺度变换性质，f1(t)的频谱扩展2倍（时域压缩）， 所以最高频率为4kHz。
该信号的奈奎斯特频率为
fN 2 fm 8kHz
f2(t-3)
根据傅里叶变换的时移性质， f2(t-3)的幅度频谱不变（时移只改变 相位），所以最高频率为3kHz。
该信号的奈奎斯特频率为
时域：周期连续信号采样周期离散信号 频域：非周期离散频谱——周期离散频谱 (周期为S) 满足采样定理：频谱无混叠。
信号的时域采样，意味着信号频谱的周期性 信号时域的周期性，意味着信号频谱的离散性 信号时域的非周期性，意味着信号频谱的连续性
10
例 8.1
已最知高信频号率f分1(t量)是为最3k高H频z的率带分限量信为号2k。H求z的下带列限信信号号的，奈f奎2(t斯)是特 频率fN。
t N0T
(2)采样信号的频谱是离散的周期函数,周期s 。
F ( j)
0 0
最 ()
=
S
0
S
F~S ( j)
/T
S
0 0 S
当 S 20 时
1 T
F(
j) s
(t)
信号课件第三章傅里叶变换
• 从本章起，我们由时域分析进入频域分析，在频域分析中， 首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论非周期信号的 傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而 产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。
• 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或 指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级 数”。
T1 T1 T1 2
f (t) sin n1tdt 0
2 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
T21
2 T1
2
f (t)dt
f (t) c
2f T1 0
osn1tdt
(t)dt
4 T1
T1 2
0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能 含有（直流）和余弦分量。
α>0
F (w) f (t)e jwt dt ete jwt dt 1
0
jw
f (t) 1
t
F(w) 1
2 w2
1/ F( j)
(
)
arctan(
)
( )
/2
/2
2、双边指数信号
f (t)
f (t) e t α>0
1
2/ F()
F (w) f (t)e jwt dt
dt
E
e jnw1t
/2
E
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2
T / 2
T
jnw1
T
/ 2
jnw1
Ts
t
2E T
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2 2 jnw1
• 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或 指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级 数”。
T1 T1 T1 2
f (t) sin n1tdt 0
2 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
T21
2 T1
2
f (t)dt
f (t) c
2f T1 0
osn1tdt
(t)dt
4 T1
T1 2
0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能 含有（直流）和余弦分量。
α>0
F (w) f (t)e jwt dt ete jwt dt 1
0
jw
f (t) 1
t
F(w) 1
2 w2
1/ F( j)
(
)
arctan(
)
( )
/2
/2
2、双边指数信号
f (t)
f (t) e t α>0
1
2/ F()
F (w) f (t)e jwt dt
dt
E
e jnw1t
/2
E
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2
T / 2
T
jnw1
T
/ 2
jnw1
Ts
t
2E T
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2 2 jnw1
演示文稿
相卷积
相乘
Fs ( )
n
P F ( n )
n s
p(t )
抽样脉冲序列
FT
P( ) 2
n
P ( n )
n s
1、周期矩形脉冲抽样的频谱
1 f s (t ) f (t ). p (t ) Fs ( ) F ( ) * P ( ) 2 T 1 2s 1 jns t jns t 2 Pn p ( t ) e dt Ee dt Ts Ts 2 Ts 2 ns E Pn Sa ( ) Ts 2 E Fs ( ) Ts ns Sa ( )F ( ns ) 2 n
m c s m。滤除高频成份，即可重现原信号。
二、频域抽样
F ( )
F1 ( ) F ( ) ( )
( )
n
( n )
1
IFT IFT来自f1 (t ) 1
1 n
f (t nT )
1
IFT
f (t )
1 f1 (t ) f (t ) * T (t ) 1
从时域的相乘关系解释上图： g 0 (t ) [ g (t ) cos(0t )]cos(0t ) 1 = g (t )[1 cos(20t )] 2 1 1 = g (t ) g (t ).cos(20t ) 2 2 FT [ g 0 (t )] G0 1 1 G G 20 G 20 2 4
(t nT )
f1 (t )
1
1 n
f (t nT1 )
上式表明：若f (t )的频谱F ( )被间隔为1的 冲激序列在频域中抽样则在时域中等效于f (t ) 2 以T1 ( )为周期而重复。
相乘
Fs ( )
n
P F ( n )
n s
p(t )
抽样脉冲序列
FT
P( ) 2
n
P ( n )
n s
1、周期矩形脉冲抽样的频谱
1 f s (t ) f (t ). p (t ) Fs ( ) F ( ) * P ( ) 2 T 1 2s 1 jns t jns t 2 Pn p ( t ) e dt Ee dt Ts Ts 2 Ts 2 ns E Pn Sa ( ) Ts 2 E Fs ( ) Ts ns Sa ( )F ( ns ) 2 n
m c s m。滤除高频成份，即可重现原信号。
二、频域抽样
F ( )
F1 ( ) F ( ) ( )
( )
n
( n )
1
IFT IFT来自f1 (t ) 1
1 n
f (t nT )
1
IFT
f (t )
1 f1 (t ) f (t ) * T (t ) 1
从时域的相乘关系解释上图： g 0 (t ) [ g (t ) cos(0t )]cos(0t ) 1 = g (t )[1 cos(20t )] 2 1 1 = g (t ) g (t ).cos(20t ) 2 2 FT [ g 0 (t )] G0 1 1 G G 20 G 20 2 4
(t nT )
f1 (t )
1
1 n
f (t nT1 )
上式表明：若f (t )的频谱F ( )被间隔为1的 冲激序列在频域中抽样则在时域中等效于f (t ) 2 以T1 ( )为周期而重复。
抽样信号的傅立叶变换
42
❖ 第二步，用自适应噪声抵消方法从ECG 信号中消除较强的低频干扰。
Yeldman 等人的研究表明，仅仅运用自适 应噪声抵消方法而又没有任何预处理滤 波器，要消除所有ECG信号干扰是不可 能的。
43
一种基于LMS算法的数字式 自适应滤波器
44
特点
❖ 因为同时存在两个不同的干扰，所以采用双参考信 道
（5）
25
应用上述五点结论推导权系数更新表达式 应用（1）结论有： 再应用（2）（3）（4）（5）结论，有
26
❖ 由此可见，当迭代次数无限增加时，权
系数向量的数学期望值可收敛至Wiener
解，其条件是对角阵
的所有对
角元素均小于1，即
❖或
27
基本LMS自适应算法 （软件实现）
28
LMS自适应滤波器（硬件实现）
或其统计特性是随时间变化的.
因此，用维纳或卡尔曼滤波器实现不了最优滤波. 在此情况下，自适应滤波能够提供优良的滤波性能。
3
引言
自适应滤波概念
利用前一时刻已获得的滤波器参数等 结果，自动地调节（更新）现时刻的滤波 器参数，以适应信号和噪声未知的统计特 性，或者随时间变化的统计特性，从而实 现最优滤波。
29
第二节 自适应噪声抵消器
❖ 自适应噪声抵消的目的是:
主信号由有用信号和背景噪声组成;
去除主信号中的背景噪声;
背景噪声与参考信号中的噪声相关;
因此，自适应噪声抵消技术主要依赖于从主信号 和噪声中获取参考信号。
30
8.2.1 自适应噪声抵消原理
最佳噪声抵消器
❖ 其中 ❖ 估计误差 e (n)
31
低通滤波器。采用LMS算法。
64
❖ 第二步，用自适应噪声抵消方法从ECG 信号中消除较强的低频干扰。
Yeldman 等人的研究表明，仅仅运用自适 应噪声抵消方法而又没有任何预处理滤 波器，要消除所有ECG信号干扰是不可 能的。
43
一种基于LMS算法的数字式 自适应滤波器
44
特点
❖ 因为同时存在两个不同的干扰，所以采用双参考信 道
（5）
25
应用上述五点结论推导权系数更新表达式 应用（1）结论有： 再应用（2）（3）（4）（5）结论，有
26
❖ 由此可见，当迭代次数无限增加时，权
系数向量的数学期望值可收敛至Wiener
解，其条件是对角阵
的所有对
角元素均小于1，即
❖或
27
基本LMS自适应算法 （软件实现）
28
LMS自适应滤波器（硬件实现）
或其统计特性是随时间变化的.
因此，用维纳或卡尔曼滤波器实现不了最优滤波. 在此情况下，自适应滤波能够提供优良的滤波性能。
3
引言
自适应滤波概念
利用前一时刻已获得的滤波器参数等 结果，自动地调节（更新）现时刻的滤波 器参数，以适应信号和噪声未知的统计特 性，或者随时间变化的统计特性，从而实 现最优滤波。
29
第二节 自适应噪声抵消器
❖ 自适应噪声抵消的目的是:
主信号由有用信号和背景噪声组成;
去除主信号中的背景噪声;
背景噪声与参考信号中的噪声相关;
因此，自适应噪声抵消技术主要依赖于从主信号 和噪声中获取参考信号。
30
8.2.1 自适应噪声抵消原理
最佳噪声抵消器
❖ 其中 ❖ 估计误差 e (n)
31
低通滤波器。采用LMS算法。
64
§3-8 抽样信号的傅里叶变换与抽样定理
1 T
X s ( j)
T 0
T 2T
t
s
0
s
2s
4
三、自然抽样
上述开关函数s(t)若是周期性矩形脉冲，抽样称为自然抽样。 于是，信号抽样的图形如下：
x(t )
X ( j )
0
t
0
S ( j)
(s )
s (t )
1
3T 2T T
T
2T
3T
t
s
T
s
X s ( j)
写出指数形式和三角形式的傅里叶级数展开式，并画出双边与单边频谱图。 二、已知
x(t ) 2 cos(
n 三、设系统的频率响应：H ( j) 4Sa(4) ，已知： x(t ) [2 (1) u (t 4n)] 1
试求系统响应y(t)。 四、两系统对输入ej5t的响应分别是ej5(t-1)与cos5t，试问哪个系统是非线性的？ 五、一RL电路如图，输入为电流源is(t)，输出是电感中
xs (t )
s(t )
xs (t ) x(t ) s(t )
信号s(t)称为开关信号。上式关系可以用右图表示。
根据开关信号的不同，可以产生不同的抽样信号。这里只介绍 两种常见的抽样信号：理想抽样与自然抽样。 理想抽样是不能实现的，但它在说明抽样定理时，有重要的理 论价值，我们会经常用到它。 自然抽样是一种现实的抽样，它不仅有理论价值，还有实用价 值。
is (t ) io (t )
1H
的电流io(t)，试：列出电路的输入输出方程，求出其
频率响应，若输入x(t)=cost，求输出的时间函数。 六、周期性三角脉冲如图所示，试求其傅里叶级数展开式。
X s ( j)
T 0
T 2T
t
s
0
s
2s
4
三、自然抽样
上述开关函数s(t)若是周期性矩形脉冲，抽样称为自然抽样。 于是，信号抽样的图形如下：
x(t )
X ( j )
0
t
0
S ( j)
(s )
s (t )
1
3T 2T T
T
2T
3T
t
s
T
s
X s ( j)
写出指数形式和三角形式的傅里叶级数展开式，并画出双边与单边频谱图。 二、已知
x(t ) 2 cos(
n 三、设系统的频率响应：H ( j) 4Sa(4) ，已知： x(t ) [2 (1) u (t 4n)] 1
试求系统响应y(t)。 四、两系统对输入ej5t的响应分别是ej5(t-1)与cos5t，试问哪个系统是非线性的？ 五、一RL电路如图，输入为电流源is(t)，输出是电感中
xs (t )
s(t )
xs (t ) x(t ) s(t )
信号s(t)称为开关信号。上式关系可以用右图表示。
根据开关信号的不同，可以产生不同的抽样信号。这里只介绍 两种常见的抽样信号：理想抽样与自然抽样。 理想抽样是不能实现的，但它在说明抽样定理时，有重要的理 论价值，我们会经常用到它。 自然抽样是一种现实的抽样，它不仅有理论价值，还有实用价 值。
is (t ) io (t )
1H
的电流io(t)，试：列出电路的输入输出方程，求出其
频率响应，若输入x(t)=cost，求输出的时间函数。 六、周期性三角脉冲如图所示，试求其傅里叶级数展开式。
《傅里叶变换》课件
特点
小波变换具有多尺度分析的特点，能够同时获得 信号在时间和频率域的信息，并且在时频域具有 很好的局部化能力。
应用
在信号处理、图像处理、语音识别等领域广泛应 用。
周期性和共轭对称性
总结词
周期性和共轭对称性是傅里叶变换的重要性质。
详细描述
由于傅里叶变换将时间域的函数映射到频率域，因此频谱具有周期性，即F(ω) = F(ω+2πn)，其中n为整数。此 外，频谱还具有共轭对称性，即F*(ω) = F(-ω)，这意味着频谱在频率轴上关于原点对称。这些性质在信号处理 、图像处理等领域有着广泛的应用。
线性性质
如果a和b是常数，f(t)和g(t)是可傅里叶变换的函数，那么 a*f(t)+b*g(t)也是可傅里叶变换的，并且其频域表示为 a*F(ω)+b*G(ω)。
时移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t+a)也是可傅里叶变换 的，并且其频域表示为F(ω)e^(iωa)。
频移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t)e^(iω0t)也是可傅里叶 变换的，并且其频域表示为F(ω-ω0)。
04
傅里叶逆变换
傅里叶逆变换的定义
01
傅里叶逆变换是将频域函数转 换为时域函数的过程。
02
它与傅里叶变换是可逆的，即 给定一个频域函数，通过傅里 叶逆变换可以恢复原始的时域 函数。
03
傅里叶逆变换的公式为：f(t) = ∫F(ω)e^(iωt)dω，其中f(t)是 时域函数，F(ω)是频域函数。
傅里叶逆变换的性质
在图像处理中的应用
图像频域滤波
通过傅里叶变换将图像从空间域 转换到频域，可以在频域中对图 像进行滤波处理，如去除噪声、
小波变换具有多尺度分析的特点，能够同时获得 信号在时间和频率域的信息，并且在时频域具有 很好的局部化能力。
应用
在信号处理、图像处理、语音识别等领域广泛应 用。
周期性和共轭对称性
总结词
周期性和共轭对称性是傅里叶变换的重要性质。
详细描述
由于傅里叶变换将时间域的函数映射到频率域，因此频谱具有周期性，即F(ω) = F(ω+2πn)，其中n为整数。此 外，频谱还具有共轭对称性，即F*(ω) = F(-ω)，这意味着频谱在频率轴上关于原点对称。这些性质在信号处理 、图像处理等领域有着广泛的应用。
线性性质
如果a和b是常数，f(t)和g(t)是可傅里叶变换的函数，那么 a*f(t)+b*g(t)也是可傅里叶变换的，并且其频域表示为 a*F(ω)+b*G(ω)。
时移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t+a)也是可傅里叶变换 的，并且其频域表示为F(ω)e^(iωa)。
频移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t)e^(iω0t)也是可傅里叶 变换的，并且其频域表示为F(ω-ω0)。
04
傅里叶逆变换
傅里叶逆变换的定义
01
傅里叶逆变换是将频域函数转 换为时域函数的过程。
02
它与傅里叶变换是可逆的，即 给定一个频域函数，通过傅里 叶逆变换可以恢复原始的时域 函数。
03
傅里叶逆变换的公式为：f(t) = ∫F(ω)e^(iωt)dω，其中f(t)是 时域函数，F(ω)是频域函数。
傅里叶逆变换的性质
在图像处理中的应用
图像频域滤波
通过傅里叶变换将图像从空间域 转换到频域，可以在频域中对图 像进行滤波处理，如去除噪声、
3.2抽样信号的傅里叶变换及抽样定理
设：
F (ω ) = F [ f (t )]
(−ωm < ω < ωm )
(连续信号 连续信号) 连续信号 (抽样脉冲 抽样脉冲) 抽样脉冲 (抽样信号 抽样信号) 抽样信号 p(t)是周 期信号
P ( ω ) = F [ p ( t )]
Fs (ω ) = F [ f s ( t )]
满足： 满足： f s ( t ) = f ( t ) p ( t )
T 1
t
卷 积
− ω1 0 ω1
ω
− T -tm 0 tm T 1 1
t
抽样定理
时域抽样定理
•
• 频域抽样定理
1、时域抽样定理
惟一地表示。 的范围， 惟一地表示。 的范围，则信号f (t )可用等间隔的抽样值来 1 1 T (ωm = 2π fm )， 其抽样间隔必须不大于 ，即 s ≤ 2 fm 2 fm 或者说最低抽样率为 2 fm。
2．理想抽样（周期单位冲激抽样）
f ( t ) ↔ F (ω ) (−ωm < ω < ωm )
p ( t ) ↔ P (ω )
fs ( t ) ↔ Fs (ω )
p(t ) = δ T (t ) =
n =−∞
∑ δ (t − nT ) ↔ ωs ∑ δ (ω − nωs )
s
∞
∞
n =−∞
f s (t ) = f (t )δ T (t )
根据时域卷积定理
f1(t ) = F−1[F (ω)] = f (t ) ∗δT(t ) = f (t ) ∗ 1 =
∑δ (t − nT1) ω1 n=−∞
1
∞
∑ f (t − nT1) ω1 n=−∞
§3-8抽样信号的傅里叶变换与抽样定理
带通抽样信号是指采样频率小于信号最高频率的两倍但大于信号带宽的 两倍时得到的抽样信号，此时需要采用特定的重建滤波器才能恢复出原 始连续时间信号。
抽样信号的应用场景
抽样信号在数字信号处理中占有重要 地位，广泛应用于音频、视频、通信 等领域。
在视频处理中，通过对模拟视频信号 进行抽样和量化，可以将其转换为数 字视频信号，实现高清、无损的视频 传输和显示。
• 信号必须是带限的：即信号中不包含超过某一特定频率的成分。如果信号不是带限的，那么抽样后可能会导致 混叠现象，即高频成分被错误地识别为低频成分。
• 抽样过程必须是等间隔的：即每次抽样的时间间隔必须相等。如果抽样间隔不相等，那么恢复出的信号可能会 出现失真。
• 恢复滤波器必须是理想的：在实际应用中，由于滤波器的非理想特性，可能会导致恢复出的信号与原始信号存 在一定误差。因此，在设计抽样系统时需要考虑滤波器的性能及其对信号恢复的影响。
目的
通过实验掌握抽样信号的傅里叶变换 及抽样定理的基本原理和实现方法。
要求
能够熟练搭建抽样信号的实验系统， 正确设置实验参数，准确测量和分析 实验结果。
实验环境和设备
环境
实验室应具备良好的电磁屏蔽和接地措 施，避免外部干扰对实验结果的影响。
VS
设备
示波器、信号发生器、频谱分析仪等实验 设备，以及用于数据处理的计算机和相关 软件。
实验步骤和结果分析
01
步骤
02
1. 搭建抽样信号的实验系统，包括信号发生器、抽样电路和示
波器等。
2. 设置信号发生器的输出频率和幅度，产生原始信号。
03
实验步骤和结果分析
3. 通过抽样电路对原 始信号进行抽样，得 到抽样信号。
5. 使用频谱分析仪分 析抽样信号的频谱特 性。
抽样信号的应用场景
抽样信号在数字信号处理中占有重要 地位，广泛应用于音频、视频、通信 等领域。
在视频处理中，通过对模拟视频信号 进行抽样和量化，可以将其转换为数 字视频信号，实现高清、无损的视频 传输和显示。
• 信号必须是带限的：即信号中不包含超过某一特定频率的成分。如果信号不是带限的，那么抽样后可能会导致 混叠现象，即高频成分被错误地识别为低频成分。
• 抽样过程必须是等间隔的：即每次抽样的时间间隔必须相等。如果抽样间隔不相等，那么恢复出的信号可能会 出现失真。
• 恢复滤波器必须是理想的：在实际应用中，由于滤波器的非理想特性，可能会导致恢复出的信号与原始信号存 在一定误差。因此，在设计抽样系统时需要考虑滤波器的性能及其对信号恢复的影响。
目的
通过实验掌握抽样信号的傅里叶变换 及抽样定理的基本原理和实现方法。
要求
能够熟练搭建抽样信号的实验系统， 正确设置实验参数，准确测量和分析 实验结果。
实验环境和设备
环境
实验室应具备良好的电磁屏蔽和接地措 施，避免外部干扰对实验结果的影响。
VS
设备
示波器、信号发生器、频谱分析仪等实验 设备，以及用于数据处理的计算机和相关 软件。
实验步骤和结果分析
01
步骤
02
1. 搭建抽样信号的实验系统，包括信号发生器、抽样电路和示
波器等。
2. 设置信号发生器的输出频率和幅度，产生原始信号。
03
实验步骤和结果分析
3. 通过抽样电路对原 始信号进行抽样，得 到抽样信号。
5. 使用频谱分析仪分 析抽样信号的频谱特 性。
傅里叶变换详解(课堂PPT)
的拉氏逆变换．
5
7.1 傅里叶级数
本节简明扼要地复习高等数学中的傅里叶级数基本内容
7.1.1 周期函数的傅里叶展开
定义7.1.1 傅里叶级数 傅里叶级数展开式 傅里叶系数
若函数 f ( x )以 2 l 为周期，即为
f(x2l)f(x)
6
的光滑或分段光滑函数，且定义域为 [ l , l ] ，则可取三角
另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数时， 就得到不同名称的积分变换:
3
（1）特别当核函数 K(t, )ei（t 注意已将积分参
变量 改写为变量 ），当 a,b，则
F() f(t)eitdt
称函数F ( ) 为函数 f ( t ) 的傅里叶（Fourier）变换，
简称 F ( ) 为函数 f ( t ) f 的傅氏变换．同时我们称 ( t ) 为 F ( ) 的傅里叶逆变换．
7
式（7.1.3）称为周期函数 f ( x ) 的傅里叶级数展开式
（简称傅氏级数展开），其中的展开系数称为傅里叶系数（简 称傅氏系数）．
函数族 (7.1.2)是正交的．即为：其中任意两个函数的乘 积在一个周期上的积分等于零，即
8
l 1cos kπx d x 0
l
l
l 1 sin kπx d x 0
l
l
bk
1 l
l l
f (x)sin(kπx)d x l
（7.1.4）
其中
k
2 1
(k 0) (k 0)
关于傅里叶级数的收敛性问题，有如下定理：
狄利克雷（Dirichlet）定理 7.1.1 若函数 f ( x ) 满足条件：
10
(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；
5
7.1 傅里叶级数
本节简明扼要地复习高等数学中的傅里叶级数基本内容
7.1.1 周期函数的傅里叶展开
定义7.1.1 傅里叶级数 傅里叶级数展开式 傅里叶系数
若函数 f ( x )以 2 l 为周期，即为
f(x2l)f(x)
6
的光滑或分段光滑函数，且定义域为 [ l , l ] ，则可取三角
另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数时， 就得到不同名称的积分变换:
3
（1）特别当核函数 K(t, )ei（t 注意已将积分参
变量 改写为变量 ），当 a,b，则
F() f(t)eitdt
称函数F ( ) 为函数 f ( t ) 的傅里叶（Fourier）变换，
简称 F ( ) 为函数 f ( t ) f 的傅氏变换．同时我们称 ( t ) 为 F ( ) 的傅里叶逆变换．
7
式（7.1.3）称为周期函数 f ( x ) 的傅里叶级数展开式
（简称傅氏级数展开），其中的展开系数称为傅里叶系数（简 称傅氏系数）．
函数族 (7.1.2)是正交的．即为：其中任意两个函数的乘 积在一个周期上的积分等于零，即
8
l 1cos kπx d x 0
l
l
l 1 sin kπx d x 0
l
l
bk
1 l
l l
f (x)sin(kπx)d x l
（7.1.4）
其中
k
2 1
(k 0) (k 0)
关于傅里叶级数的收敛性问题，有如下定理：
狄利克雷（Dirichlet）定理 7.1.1 若函数 f ( x ) 满足条件：
10
(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；
信号分类、采样与傅里叶分析_图文_图文
11
基本信号
12
卷积
离散信号的卷积定义为
13
卷积性质
交换律 结合律 分配律
14
卷积性质
任意序列与单位脉冲序列卷积等于本身 卷积平移特性
15
信号的傅立叶分析
1. 连续周期时间周期信号
为各次谐波的线性组合
为傅立叶系数
其中F0=1/Tp为基频 16
信号的傅立叶分析
1. 连续时间周期信号 信号功率的Parselval定律
具有能量、功率是否有限：能量信号和 功率信号。
若信号能量E有限，则称为能量信号； 信号能量E可表示为
9
信号的分类
若信号功率P有限，则称为功率信号；
周期信号及随机信号一定是功率信号； 非周期的绝对可积（和）信号一定是能量信号。
10
基本信号
单位冲激信号 单位阶跃信号 指数形式信号
34
时域分析：系统的输出包括零输入响应和零状态响 应。系统的零状态响应(输出)y(n)可以表示为输入 x(n)和冲激响应h(n)的卷积，即
设x(n)和h(n)序列的长度分别为N和M,且 M<N,则根据卷积的定义，输出序列y(n)的长 度L=N+M-1
31
将输出写成矩阵的形式：
Ｘ称为输入数据矩阵，是托普利兹Toeplitz矩阵。因X 前M-1行和后M-1行包含0（或边界），因此具有边界 效应。
18
信号的傅立叶分析
2.连续时间非周期信号
信号可以从下面的傅立叶反变换公式合成
19
信号的傅立叶分析
2.连续时间非周期信号
信号能量守恒Parseval公式为
频谱特点： 连续非周期谱
20
信号的傅立叶分析
基本信号
12
卷积
离散信号的卷积定义为
13
卷积性质
交换律 结合律 分配律
14
卷积性质
任意序列与单位脉冲序列卷积等于本身 卷积平移特性
15
信号的傅立叶分析
1. 连续周期时间周期信号
为各次谐波的线性组合
为傅立叶系数
其中F0=1/Tp为基频 16
信号的傅立叶分析
1. 连续时间周期信号 信号功率的Parselval定律
具有能量、功率是否有限：能量信号和 功率信号。
若信号能量E有限，则称为能量信号； 信号能量E可表示为
9
信号的分类
若信号功率P有限，则称为功率信号；
周期信号及随机信号一定是功率信号； 非周期的绝对可积（和）信号一定是能量信号。
10
基本信号
单位冲激信号 单位阶跃信号 指数形式信号
34
时域分析：系统的输出包括零输入响应和零状态响 应。系统的零状态响应(输出)y(n)可以表示为输入 x(n)和冲激响应h(n)的卷积，即
设x(n)和h(n)序列的长度分别为N和M,且 M<N,则根据卷积的定义，输出序列y(n)的长 度L=N+M-1
31
将输出写成矩阵的形式：
Ｘ称为输入数据矩阵，是托普利兹Toeplitz矩阵。因X 前M-1行和后M-1行包含0（或边界），因此具有边界 效应。
18
信号的傅立叶分析
2.连续时间非周期信号
信号可以从下面的傅立叶反变换公式合成
19
信号的傅立叶分析
2.连续时间非周期信号
信号能量守恒Parseval公式为
频谱特点： 连续非周期谱
20
信号的傅立叶分析
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§ 3.9 抽样信号的傅里叶变换
• 主要内容
•抽样、抽样信号的概念、提出及抽样方式 •时域抽样 •频域抽样
• 重点：矩形脉冲抽样和冲激抽样 • 难点：频域抽样
一、抽样、抽样信号的概念、提出及抽样方式
1.抽样
抽样：利用抽样脉冲序列p(t)从边续信号f(t) 中“抽取”一系列的离散样值的过程，称之。
2.抽样信号
抽样信号：经抽取后的一系列的离散信号称之。
请同学们注意区别：抽样信号与抽样函数 Sa(t)=sint/t是完全不同的两个含义。 抽样也称为“采样”或“取样”。
3.实现抽样的原理及框图
（1）原理
抽样原理：连续信号经抽样成抽样信号，再经量化、 编码变成数字信号。将这种数字信号经传输，进行 上述逆过程，就可恢复出原连续信号。
相乘。即：
fs (t) f (t) p(t)
p(t)是周期信号，其傅里叶变换
P(w) 2 Pn (w nws )
其中
n
1
Pn T
Ts
2 Ts
p(t)e jnwst dt
2
是p(t)的傅里叶级数的系数
根据频域卷积定理：
1
Fs (w) 2 F (w) * P(w)
E
Ts
Sa( nws
2
)
得到矩形抽样信号的频谱：
Fs ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱw)
E
Ts
Sa( nws
n
2
)F (w nws )
说明：矩形抽样在脉冲顶部不是平的，而是随 f(t)变化的，故称之“自然抽样”。
SUCCESS
THANK YOU
2019/7/23
2.冲激抽样(理想抽样）
若抽样脉冲p(t)是冲激序列
1.矩形脉冲抽样(自然抽样）
２.冲激抽样（理想抽样）
1.矩形脉冲抽样(自然抽样）
抽样脉冲p(t)是矩形，它的脉冲幅度为E，脉宽 为，抽样角频率为s(抽样间隔为Ts)，
f (t)
F (w)
频谱
0
t
0
w
E p(t)
…
0 Ts
频谱 …
t
E P(w)
Ts
2
ws0 ws
w
频谱
相 乘
fs (t) f (t) p(t)
n
结论
不管矩形脉冲抽样或冲激抽样，其抽样后的信号 其频谱是离散周期的信号，其频谱的周期为：
ws
2
Ts
对于矩形脉冲抽样，其频谱的幅度随Sa函数变化。
对于冲激抽样，其频谱的幅度为常数。
冲激抽样是矩形脉冲抽样的一种极限情况。实际 抽样为矩形脉冲抽样。
三、频率抽样
设连续信号 f (t) FT F (w)
卷
积
Fs (w)
PnF (w nws )
n
1 Fs (w)
…
Ts
…
ws 0
ws
w
1
Pn T
Ts
2 Ts
2
p(t)e jnwst dt
1 T
Ts
2 Ts
2
T
(t )e
jnwst dt
1 Ts
得到冲激抽样信号的频谱：
1
Fs (w)
Ts
F (w nws )
5.抽样方式
抽样有两种方式： 1.时域抽样 ２.频域抽样
二、时域抽样
设连续信号 f (t) FT F (w)
抽样脉冲信号 p(t) FT P(w)
抽样后信号fs(t) fs (t) FT Fs (w)
若采用均匀抽样，抽样周期为Ts，抽样频率为
抽样过程：通过抽w样s 脉2冲序fs 列p2T(ts)与连续信号f(t)
若已知连续信号频谱 F (w) IFT f (t) 对 F (w) w (w) F1(w) 即在频域上抽样:
则抽样后的频谱:
F1 ( w)
F
(w)
w1
(w)
其中理想抽样信号为: w1(w) (w nw1)
n
w1 ( w)
n
(w
fs (t) 0
频谱
t
1
Fs (w) 2 F (w)* P(w)
卷
积 Fs (w) PnF (w nws )
E nFs (w)
Ts
2
ws0 ws
w
求得频谱包络幅度：
1
Pn T
Ts
2 Ts
2
p(t)e jnwst dt
1 T
Ts
2 Ts
2
Ee jnwst dt
频域抽样，时域周期延拓。
时域抽样，频域周期延拓。
抽样信号与周期信号的特性
抽样特性1：时域周期信号(T1) f (t) F
频域离散频谱(n1);
时域连续信号f (t) 抽样
时域抽样信号(Ts ) fs (t) F
频域重复频谱(s )
抽样特性2：时域周期信号(T1) f1(t) F 1
nw1)
IFT
1 w1
T
(t)
根据时域卷积定理
F1(w) IFT
f1(t)
1 f (t) *
w1
(t nT 1)
n
1 w1
f
n
(t
nT 1)
连续信号f (t)的频谱F ()抽样后对应的
信号f1 (t )等效于f
(t )以T1
2 1
周期重复
f (t)
F (w)
频谱
0
t
0
w
E p(t)
频谱
P(w) ws
…
…
Ts0 Ts 2Ts
t
p(t) T (t) (t nTs )
n
…
…
ws 0
ws
w
相 乘
fs (t) f (t) p(t)
频谱
fs (t) 0 Ts
频谱
t
求得频谱包络幅度：
1
Fs (w) 2 F (w) * P(w)
频域抽样频谱(1 )
F 时域连续信号f (t)
例3-12：
画出周期矩形信号经冲激抽样后的频谱。
化简 Fs (w) PnF (w nws ) n
结论：
信号时域抽样： （1）其频谱Fs(w)是连续信号频谱F(w)是原信号 频谱的周期延拓； （2）其周期为抽样频率ws， （3）其幅度被Pn加权。由于Pn仅是n的函数，所 以其形状不会发生变化。
可采用不同的抽样脉冲进行抽样，讨论两种典型 的抽样脉冲序列：
（2) 框图
连续信号 f(t)
抽样
抽样信号 fs(t)
数字信号 量化编码
抽样脉冲 p(t)
抽样过程方框图
4.抽样后，提出的问题
抽样后，有两个问题要解决：
1.抽样信号fs(t)的傅里叶变换？它和未经抽样 的原连续信号f(t)的傅里叶变换有什么联系？ （本节讨论的内容）
２.连续信号被抽样后，它是否保留了原信号 f(t)的全部信息？ 即 在什么条件下，可从抽样信号fs(t)中无失真地恢 复出原连续信号f(t)？（下节讨论）
• 主要内容
•抽样、抽样信号的概念、提出及抽样方式 •时域抽样 •频域抽样
• 重点：矩形脉冲抽样和冲激抽样 • 难点：频域抽样
一、抽样、抽样信号的概念、提出及抽样方式
1.抽样
抽样：利用抽样脉冲序列p(t)从边续信号f(t) 中“抽取”一系列的离散样值的过程，称之。
2.抽样信号
抽样信号：经抽取后的一系列的离散信号称之。
请同学们注意区别：抽样信号与抽样函数 Sa(t)=sint/t是完全不同的两个含义。 抽样也称为“采样”或“取样”。
3.实现抽样的原理及框图
（1）原理
抽样原理：连续信号经抽样成抽样信号，再经量化、 编码变成数字信号。将这种数字信号经传输，进行 上述逆过程，就可恢复出原连续信号。
相乘。即：
fs (t) f (t) p(t)
p(t)是周期信号，其傅里叶变换
P(w) 2 Pn (w nws )
其中
n
1
Pn T
Ts
2 Ts
p(t)e jnwst dt
2
是p(t)的傅里叶级数的系数
根据频域卷积定理：
1
Fs (w) 2 F (w) * P(w)
E
Ts
Sa( nws
2
)
得到矩形抽样信号的频谱：
Fs ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱw)
E
Ts
Sa( nws
n
2
)F (w nws )
说明：矩形抽样在脉冲顶部不是平的，而是随 f(t)变化的，故称之“自然抽样”。
SUCCESS
THANK YOU
2019/7/23
2.冲激抽样(理想抽样）
若抽样脉冲p(t)是冲激序列
1.矩形脉冲抽样(自然抽样）
２.冲激抽样（理想抽样）
1.矩形脉冲抽样(自然抽样）
抽样脉冲p(t)是矩形，它的脉冲幅度为E，脉宽 为，抽样角频率为s(抽样间隔为Ts)，
f (t)
F (w)
频谱
0
t
0
w
E p(t)
…
0 Ts
频谱 …
t
E P(w)
Ts
2
ws0 ws
w
频谱
相 乘
fs (t) f (t) p(t)
n
结论
不管矩形脉冲抽样或冲激抽样，其抽样后的信号 其频谱是离散周期的信号，其频谱的周期为：
ws
2
Ts
对于矩形脉冲抽样，其频谱的幅度随Sa函数变化。
对于冲激抽样，其频谱的幅度为常数。
冲激抽样是矩形脉冲抽样的一种极限情况。实际 抽样为矩形脉冲抽样。
三、频率抽样
设连续信号 f (t) FT F (w)
卷
积
Fs (w)
PnF (w nws )
n
1 Fs (w)
…
Ts
…
ws 0
ws
w
1
Pn T
Ts
2 Ts
2
p(t)e jnwst dt
1 T
Ts
2 Ts
2
T
(t )e
jnwst dt
1 Ts
得到冲激抽样信号的频谱：
1
Fs (w)
Ts
F (w nws )
5.抽样方式
抽样有两种方式： 1.时域抽样 ２.频域抽样
二、时域抽样
设连续信号 f (t) FT F (w)
抽样脉冲信号 p(t) FT P(w)
抽样后信号fs(t) fs (t) FT Fs (w)
若采用均匀抽样，抽样周期为Ts，抽样频率为
抽样过程：通过抽w样s 脉2冲序fs 列p2T(ts)与连续信号f(t)
若已知连续信号频谱 F (w) IFT f (t) 对 F (w) w (w) F1(w) 即在频域上抽样:
则抽样后的频谱:
F1 ( w)
F
(w)
w1
(w)
其中理想抽样信号为: w1(w) (w nw1)
n
w1 ( w)
n
(w
fs (t) 0
频谱
t
1
Fs (w) 2 F (w)* P(w)
卷
积 Fs (w) PnF (w nws )
E nFs (w)
Ts
2
ws0 ws
w
求得频谱包络幅度：
1
Pn T
Ts
2 Ts
2
p(t)e jnwst dt
1 T
Ts
2 Ts
2
Ee jnwst dt
频域抽样，时域周期延拓。
时域抽样，频域周期延拓。
抽样信号与周期信号的特性
抽样特性1：时域周期信号(T1) f (t) F
频域离散频谱(n1);
时域连续信号f (t) 抽样
时域抽样信号(Ts ) fs (t) F
频域重复频谱(s )
抽样特性2：时域周期信号(T1) f1(t) F 1
nw1)
IFT
1 w1
T
(t)
根据时域卷积定理
F1(w) IFT
f1(t)
1 f (t) *
w1
(t nT 1)
n
1 w1
f
n
(t
nT 1)
连续信号f (t)的频谱F ()抽样后对应的
信号f1 (t )等效于f
(t )以T1
2 1
周期重复
f (t)
F (w)
频谱
0
t
0
w
E p(t)
频谱
P(w) ws
…
…
Ts0 Ts 2Ts
t
p(t) T (t) (t nTs )
n
…
…
ws 0
ws
w
相 乘
fs (t) f (t) p(t)
频谱
fs (t) 0 Ts
频谱
t
求得频谱包络幅度：
1
Fs (w) 2 F (w) * P(w)
频域抽样频谱(1 )
F 时域连续信号f (t)
例3-12：
画出周期矩形信号经冲激抽样后的频谱。
化简 Fs (w) PnF (w nws ) n
结论：
信号时域抽样： （1）其频谱Fs(w)是连续信号频谱F(w)是原信号 频谱的周期延拓； （2）其周期为抽样频率ws， （3）其幅度被Pn加权。由于Pn仅是n的函数，所 以其形状不会发生变化。
可采用不同的抽样脉冲进行抽样，讨论两种典型 的抽样脉冲序列：
（2) 框图
连续信号 f(t)
抽样
抽样信号 fs(t)
数字信号 量化编码
抽样脉冲 p(t)
抽样过程方框图
4.抽样后，提出的问题
抽样后，有两个问题要解决：
1.抽样信号fs(t)的傅里叶变换？它和未经抽样 的原连续信号f(t)的傅里叶变换有什么联系？ （本节讨论的内容）
２.连续信号被抽样后，它是否保留了原信号 f(t)的全部信息？ 即 在什么条件下，可从抽样信号fs(t)中无失真地恢 复出原连续信号f(t)？（下节讨论）