高考数学(理)一轮【专题二】《三角函数、平面向量综合题的解答》ppt课件
高考数学二轮复习 专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 第一讲 三角函数的图象与性质 理-
专题二 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
第一讲 三角函数的图象与性质
1．角的概念．
(1)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同(填“一定”或“不一定”)． (2)确定角α所在的象限，只要把角α表示为α＝2k π＋α0[k ∈Z，α0∈[0，2π)]，判断出α0所在的象限，即为α所在象限．
2．诱导公式．
诱导公式是求三角函数值、化简三角函数的重要依据，其记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．
1．三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，
y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y
x
.
2．同角三角函数的基本关系． (1)sin 2
α＋cos 2
α＝1. (2)tan α＝sin α
cos α．
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)角α终边上点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2，32，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α
终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.(×)
(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√)
(4)常函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．(√) (5)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数．(×) (6)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．(×)
1．(2015·某某卷)若sin α＝－5
13，且α为第四象限角，则tan α的值等于(D )
A.
125 B ．－125 C.512 D ．－512
高考数学一轮复习 平面向量的应用02课件
1 2b
.
因 为 A， M，D 三 点 共线，所以m － － 11
＝n 1 ， 即 m＋ 2n＝ 1.
2
2
而C → M＝O → M－O → C＝ (m－1 4)a＋nb，
=(m 1)a+nb, C → B＝O → B－O → C＝b－1 4a＝－1 4a＋b，
因为 C，M，B 三点共线，所以m － － 14 1
[12 分] [14 分]
批阅笔记
(1)用向量研究平面几何问题，是向量的一个重要应用，也是高考 的热点．本题难度不大，属中档题．(2)本题的错误非常典型．造 成错误的主要原因就是思维定势所致．第(1)问，三点不能构成三 角形，从构成三角形的条件直接否定，转化成求解不等式，从而 使问题变得复杂，无法进行下去．第(2)问，由于思维定势，误认 为∠A 一定为直角，从而使解答不完整．(3)考生书写格式不规范， 不完整，也是失分的一个重要因素．
方法与技巧
1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和 函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些 函数问题．
2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等 式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运 算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题 的一般方法．
a＝
－
a＋
1 2b.
题二 三角函数与平面向量综合题的解答
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知能演练轻松闯关
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0，3π 上的取值范围为[－1－ 2，2－ 2 ]. 故函数 f(x)在 5
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专题 3 解三角形 此类题主要考查三角函数在三角形中的利用．解三角形的 关键是在转化与化归数学思想的指导下，正确、灵活地运用 正弦、余弦定理、三角形的面积公式及三角形内角和等公式 及定理． 例3 (2012· 高考安徽卷)设△ABC 的内角 A，B，C 所对边的长 分别为 a，b，c，且有 2sin Bcos A＝sin Acos C＋cos Asin C. (1)求角 A 的大小； (2)若 b＝2，c＝1，D 为 BC 的中点，求 AD 的长．
2 2 2
3 因为 BD＝ ，AB＝1，所以 AD＝ 2
3 7 1＋ ＝ . 4 2
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专题 4 平面向量与三角函数 平面向量与三角函数的结合，仍然是以三角题型为背景的 一种向量描述．它需要根据向量的运算性质将向量问题转化 成三角函数的相关知识来解答，三角知识是考查的主体． 例4 如图，A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点，点 B、P 在单位 3 4 → 圆上，且 B(－ ， )，∠AOB＝α，∠AOP＝θ(0<θ<π)，OQ＝ 5 5 → → OA＋OP，四边形 OAQP 的面积为 S.
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【解】 (1)法一：由题设知，2sin Bcos A＝sin(A＋C)＝sin B. 1 因为 sin B≠0，所以 cos A＝ . 2 π 由于 0＜A＜π，故 A＝ . 3 法二：由题设可知， b2＋c2－a2 a2＋b2－c2 b2＋c2－a2 2b· ＝a· ＋c· ， 2bc 2ab 2bc b2＋c2－a2 1 于是 b2＋c2－a2＝bc，所以 cos A＝ ＝ . 2 2bc π 由于 0＜A＜π，故 A＝ . 3
高考数学大一轮专题复习 专题二 三角函数与平面向量配套课件 文
(2)∵y＝2sinπ4x＋π4＋2sinπ4x＋2＋π4 ＝2sinπ4x＋π4＋2cosπ4x＋π4 ＝2 2sinπ4x＋π2 ＝2 2cosπ4x， ∴ymax＝2 2，ymin＝－2 2.
第十四页，共36页。
题型 3 三角函数与平面向量(xiàngliàng)的整合 例3：已知m＝(cosx，sinx)，n＝(cosx,2 3cosx－sinx)，f(x) ＝m·n＋|m|，x∈51π2，π. (1)求f(x)的最大值； (2)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(B) ＝－1，a＝c＝2，求A→B·B→C的值．
第二十八页，共36页。
方法二，因为f(－1)＝sinπ4－1＋1＝0，
f(1)＝sinπ41＋1＝1，f(5)＝sinπ45＋1＝－1， 所以M(－1,0)，N(1,1)，P(5，－1)．
所以N→M＝(－2，－1)，N→P＝(4，－2)，N→M·N→P＝－6.
所以|N→M|＝ 5，|N→P|＝ 20＝2 5.
又A＝π4，a＝ 2.
所以b＝assiinnAB＝2sin58π，c＝assiinnAC＝2sinπ8.
所以三角形ABC的面积＝
1 2
bcsinA＝
2
sin
5π 8
sin
π 8
＝
2
sin
π 8
专题二 三角函数与平面向量的综合应用
π 思维启迪 x＝ 时，ymax＝3.由最 6 π π 高点 ， 3与其相邻的对称中心坐标为－ ，0 ，得周期 6 12 1 π 的 为 . 4 4 1 π π π 解 (1)由题意知 A＝3， T＝ －－ ＝ ， 4 6 12 4 2π 所以 T＝π，ω＝ ＝2.y＝3sin(2x＋φ)， T π π π 又由 2× ＋φ＝2kπ＋ ，k∈Z，得 φ＝2kπ＋ ， 6 2 6 π π k∈Z.因为|φ |< ，所以 φ＝ . 2 6 π 所以 y＝3sin2x＋ 6，x∈R.
π 由图象最高点为 ， 3得 6
(2)由 (1)知，函数的最小值为－ 3； π π π 由 2x＋ ＝2kπ－ ，k∈Z，得 x＝kπ－ ，k∈ Z， 6 2 3 π ∴函数取得最小值时自变量 x 的集合为x|x＝kπ－ ， k∈ Z. 3
探究提高
确定函数关系式 y＝Asin( ω x＋φ)就是确定其中
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[难点正本
疑点清源]
1．三角函数问题一是化简求值问题，要熟练应用公 式，紧扣角的范围，才可避免出错；二是三角函 数的性质， 要先将函数式化简为 y＝ Asin(ωx＋ φ) (A>0， ω>0)的形式，再研究其性质． 2．向量的运算法则、运算律与数量的运算法则、运 算 律形成 鲜明对比 ，要理 解它们 的联系 与区 别．要用向量的思想和方法去分析解决问题，一 定要突出向量的工具性作用．
专题二三角函数
2x0＋π cos π＋sin2x0＋π sin π＝3－4 3. ＝cos 6 6 6 6 10
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专题 2
考查三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质是高考考查的重点， 其中图像的变换 是重中之重，函数的各种变换，都是对自变量 x 与函数值 y 进行的变换． 准确作出三角函数的图像， 可以帮助我们迅速 而又准确地求解相关问题．
例1
解：(1)由 f(x)＝2 3sin xcos x＋2cos2x－1. 得 f(x)＝ 3(2sin xcos x)＋(2cos2x－1) 2x＋π . ＝ 3sin 2x＋cos 2x＝2sin 6 所以函数 f(x)的最小正周期为 π.
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2x＋π 在区间0，π 上为增函数，在区间 因为 f(x)＝2sin 6 6 π，π 上为减函数，又 f(0)＝1，fπ ＝2，fπ ＝－1，所以 6 2 6 2 0，π 上的最大值为 2，最小值为－1. 函数 f(x)在区间 2 2x0＋π . (2)由(1)，可知 f(x0)＝2sin 6
6 又因为 f(x0)＝ ， 5
2x0＋π ＝3， 所以 sin 6 5
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π，π ， 由 x0∈ 4 2 π 2π 7π 得 2x0＋ ∈ 3 ， 6 . 6 2x0＋π 从而 cos 6 2x0＋π ＝－4. ＝－ 1－sin 6 5 2x0＋π－π 所以 cos 2x0＝cos 6 6
高考数学一轮复习 名师专题讲座2 三角函数、平面向量的高考解答题型及求解策略课件 文
12/11/2021
第五页，共三十五页。
[审题程序] 第一步：化简 f(x)为“一角一函数”形式； 第二步：求 ω 和单调递增区间； 第三步：求 f(x)在给定区间上的值域．
12/11/2021
第六页，共三十五页。
[规范解答] (1)f(x)＝2 3cosωxsinωx＋sin2ωx－cos2ωx＝ 3 sin2ωx－cos2ωx＝2sin2ωx－π6.
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第三十二页，共三十五页。
[解] (1)f(x)＝ 23sin2ωx－1－co2s2ωx＋1＝sin2ωx＋6π＋12. 因为函数 f(x)的图象中相邻两条对称轴之间的距离为2π，所以 T＝π，即22ωπ ＝π，所以 ω＝1. 所以 f(x)＝sin2x＋π6＋12. 令π2＋2kπ≤2x＋π6≤32π＋2kπ(k∈Z)，解得π6＋kπ≤x≤23π＋kπ(k ∈Z)． 所以函数 f(x)的单调递减区间为6π＋kπ，23π＋kπ(k∈Z)．
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第十五页，共三十五页。
(4)已知两边 a，b 及其中一边的对角 A，由正弦定理sianA＝sibnB 可求出另一边 b 的对角 B，由 C＝π－(A＋B)，可求出角 C，再由 sianA＝sincC可求出 c，而通过sianA＝sibnB求角 B 时，可能有一解或 两解或无解的情况．
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高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第3讲平面向量课件
因为 0≤θ≤π，所以 θ＝π6. 答案：(1)D (2)π6
热点 3 平面向量与三角函数的综合问题
平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几 何形式的“双重性”，高考常在平面向量与三角函数的 交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．
[例 3] (2017·郑州质检)已知向量 m＝(2sin ωx，cos2
＝(－1，λ)，若 a∥b，则 λ＝________．
(2)(2017·北京海淀期末)如图，在正方形 ABCD 中，E
为 DC 的中点，若A→E＝λA→B＋μA→C，则 λ＋μ 的值为
()
1 A.2
B．－12
C．1
D．－1
解析：(1)因为 a∥b，所以 2λ＋6＝0，解得 λ＝－3， 当 λ＝－3 时，b＝(－1，－3)，a＝－2b，所以 a∥b 成立． (2)因为 E 为 BC 的中点， 所以A→C＝A→B＋A→D＝12A→B＋12A→B＋A→D＝12A→B＋A→E， 即A→E＝－12A→B＋A→C，
[规律方法] 1．(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底， 同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视 数形结合，结合图形分析向量间的关系． 2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也 可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利 用坐标对应成比例求解．
[变式训练] (1)(2017·山东卷)已知向量 a＝(2，6)，b
2023年新高考数学大一轮复习专题二平面向量与三角函数第2讲向量共线定理的应用
第2讲 向量共线定理的应用
向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁．
例1 (1)若点M是△ABC所在平面内一点，且满足|3AM－A B－AC|＝0，则△ABM与△ABC的面积之比等于( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 ∵|3AM－AB－AC|＝0，∴3AM－AB－AC＝0，∴AB＋AC＝3AM.
设BC的中点为G，则AB＋AC＝2AG，
∴3AM＝2AG，即AM＝AG，
∴点M在线段AG上，且＝.
∴＝＝，易得＝＝，
∴＝·＝×＝，
即△ABM与△ABC的面积之比等于.
(2)在△ABC中，AN＝AC，P是BN上的一点，若AP＝m AB＋AC，则实数m的值为_____ ___．
答案
解析 方法一 ∵B，P，N三点共线，
∴BP∥PN，∴存在实数λ，使得BP＝λPN(λ>0)，
∴AP－AB＝λ(AN－AP)，
∵λ>0，∴AP＝AB＋AN.
∵AN＝AC，AP＝m AB＋AC，
∴AP＝m AB＋AN，
∴解得
方法二 ∵AN＝AC，AP＝m AB＋AC，
∴AP＝m AB＋AN.
∵B，P，N三点共线，∴m＋＝1，∴m＝.
例2 (1)(2020·河北省石家庄一中质检)在△ABC中，D为线段AC的中点，点E在边BC 上，且BE＝EC，AE与BD交于点O，则AO等于( )
A.AB＋AC
B.AB＋AC
C.AB＋AC
D.AB＋AC
答案 A
解析 如图，设AO＝λAE(λ>0)，
又AE＝AB＋BC＝AB＋AC，
∴AO＝λAB＋λAC＝λAB＋λAD.
2023年新高考数学大一轮复习专题二平面向量与三角函数第4讲平面向量“奔驰定理”(含答案)
新高考数学大一轮复习专题：
第4讲 平面向量“奔驰定理”
定理：如图，已知P 为△ABC 内一点，则有S △PBC ·PA →＋S △PAC ·PB →＋S △PAB ·PC →
＝0.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．
例 (1)已知点A ，B ，C ，P 在同一平面内，PQ →＝13PA →，QR →＝13QB →，RP →＝13
RC →，则S △ABC ∶S △PBC 等于( )
A ．14∶3B．19∶4C．24∶5D．29∶6
答案 B 解析 由QR →＝13QB →，得PR →－PQ →＝13
(PB →－PQ →)， 整理得PR →＝13PB →＋23PQ →＝13PB →＋29
PA →， 由RP →＝13RC →，得RP →＝13
(PC →－PR →)， 整理得PR →＝－12PC →，∴－12PC →＝13PB →＋29
PA →， 整理得4PA →＋6PB →＋9PC →＝0，
∴S △ABC ∶S △PBC ＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.
(2)已知点P ，Q 在△ABC 内，PA →＋2PB →＋3PC →＝2QA →＋3QB →＋5QC →＝0，则|P Q →||A B →|
等于( )
A.130
B.131
C.132
D.133 答案 A 解析 根据奔驰定理得，S △PBC ∶S △PAC ∶S △PAB ＝1∶2∶3，S △QBC ∶S △QAC ∶S △QAB ＝2∶3∶5，
2023年新高考数学大一轮复习专题二平面向量与三角函数第6讲三角函数的图象与性质(含答案)
新高考数学大一轮复习专题：
第6讲 三角函数的图象与性质
[考情分析] 1.高考对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，常与三角恒等变换交汇命题.2.主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下． 考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系 核心提炼
1．同角关系：sin 2α＋cos 2
α＝1，sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .
2．诱导公式：在
k π
2
＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．
例 1 (1)已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为( ) A.
5π6B.11π6 C.5π3 D.2π
3
答案 C
解析 角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，即为点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，在第四象限，
且满足cos α＝12，sin α＝－32，故α的最小正值为5π
3
，故选C.
(2)(2020·山东师范大学附中模拟)若sin θ＝5cos(2π－θ)，则tan2θ等于( ) A ．－
53B.53C ．－52D.52
答案 C
解析 ∵sin θ＝5cos(2π－θ)， ∴sin θ＝5cos θ，得tan θ＝5， ∴tan 2θ＝2tan θ1－tan 2
θ＝251－5
2
＝－5
2
. 二级结论 (1)若α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin α<α<tan α.
(2)由(sin α±cos α)2
2017届高考数学大一轮复习 专题2 三角函数、平面向量综合题的解答课件 文 北师大版
题的解答课件 文 北师大版
三角函数是重要的基本初等函数，它在解决高中数学的其他 问题上具有非常广泛的应用，是高中数学中主要的基础知识，也 是高考必考的热点和难点．该部分内容由于概念多、公式多、解 题的方法灵活，就有不少难点问题，主要是三角函数的图像和性 质、三角恒等变换以及三角函数和其他知识的交汇问题．平面向 量是高中数学的重要的基础知识之一，由于其兼具代数与几何的 双重特征，是解决代数与几何问题的有力工具．
[例3] 已知A、B、C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos α， sin α)，α∈π2，32π.
(1)若|A→C|＝|B→C|，求角α的值； (2)若A→C·B→C＝－1，求2sin12＋α＋tansinα 2α的值． 【审题】 求出向量A→C、B→C的坐标．
【转化】 第(1)问利用两个向量的模相等建立角α的三角方 程进行求解；第(2)问利用向量 A→C 与 B→C 数量积的坐标运算化简已 知条件，得到角α的三角函数值，把所求式子化简，寻找两个式 子之间的关系．
[例2] 在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b， c，已知c＝2，C＝π3.
(1)若△ABC的面积等于 3，求a，b； (2)若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC的面积． 【审题】 (1)关键点①c＝2，C＝π3；②S△＝ 3. (2)求a，b.
2023年新高考数学大一轮复习专题二平面向量与三角函数第3讲平面向量数量积的最值问题(含答案)
新高考数学大一轮复习专题：
第3讲 平面向量数量积的最值问题
平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化．
例 (1)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝A B →|AB →|
＋4AC →|AC →|
，则PB →·PC →
的最大值等于( ) A ．13B ．15C ．19D ．21
答案 A 解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1t ，0，AC →＝(0，t )， A P →＝A B →|AB →|＋4AC →|AC →|
＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)， PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4) ＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋4t ≤17－21t
·4t ＝13， 当且仅当t ＝12
时等号成立． ∴PB →·PC →的最大值等于13.
(2)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3
的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·PA →的最小值为________．
答案 5－213
解析 以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线
为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)， 设P (2cos θ，2sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫π3
高考数学 热点专题突破系列(二)三角函数与平面向量的综合应用
f(x)=m·n=(sinx, co3 sx)·(sinx,sinx)
=sin2x+
3
cosxsinx= 1cos2x 3sin2x
2
2
= 3 sin2x- c1 os2x+ =1 sin(2x- )+ . 1
2
2
2
62
故 f()sin(2)11.
12
12 6 2 2
Fra Baidu bibliotek
(2)当x∈[0, ]时, 2x[,5],
【变式训练】(2015·南京模拟)已知向量a=(sinθ,-2)与
b=(1,cosθ)互相垂直,其中θ∈(0, ).
2
(1)求cosθ,sinθ的值.
(2)若5cos(θ-φ)=3
5
cosφ,0<φ<
2
,求cosφ的值.
【解析】(1)因为a⊥b,所以a·b=sinθ-2cosθ=0,
即sinθ=2cosθ.
又sin2θ+cos2θ=1,
所以4cos2θ+cos2θ=1,即cos2θ=1 .
5
因为θ∈(0, ) ,所以cosθ= ,sin5 θ=2cosθ=
2
5
.25
5
(2)由5cos(θ-φ)=3 5cosφ,得
5(cosθcosφ+sinθsinφ)=3 5cosφ,
高三一轮复习课堂新坐标理科数学人教A平面向量应用举例PPT课件
第2页/共41页
• 过点(1，2)且与向量a＝(4，2)所在的直线平行的直线，其斜率与a的坐标有何 关系？你能写出该直线的方程吗？
【提示】
直线的斜率k＝
2 4
＝
1 2
，为a的纵坐标与横
坐标的比值，∴直线方程为y－2＝12(x－1)， 即x－2y＋3＝0.
第15页/共41页
一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的
作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的
大小分别为2和4，则F3的大小为( )
A．2 7
B．2 5
C．2
D．6
【解析】 如图所示，由已
知得F1＋F2＋F3＝0， ∴F3＝－(F1＋F2)． F23＝F12＋F22＋2F1·F2 ＝F21＋F22＋2|F1||F2|cos 60°＝28. ∴|F3|＝2 7.
π ＝－ 2sin(2α＋ 4 )， ∴f(α)的最小正周期T＝π. (2)由O、P、C三点共线可得
(－1)×(－sin α)＝2×(2cos α－sin α)，得tan α＝
43，
第22页/共41页
sin 2α＝s2isnin2αα＋ccooss2αα＝12＋tatnanα2α＝2245， |O→A＋O→B|＝ （sin α＋cos α）2＋1＝ 2＋sin 2α＝
新高考数学大一轮复习专题二平面向量与三角函数第7讲三角恒等变换与解三角形
第7讲 三角恒等变换与解三角形
[考情分析] 1.三角恒等变换的求值、化简是命题的热点,利用三角恒等变换作为工具,将三角函数与解三角形相结合求解最值、范围问题.2.单独考查可出现在选择题、填空题中,综合考查以解答题为主,中等难度． 考点一 三角恒等变换 核心提炼
1．三角求值“三大类型”
“给角求值”“给值求值”“给值求角”． 2．三角恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：常用到“1”的代换,1＝sin 2
θ＋cos 2
θ＝tan45°等．
(2)项的拆分与角的配凑：如sin 2
α＋2cos 2
α＝(sin 2
α＋cos 2
α)＋cos 2
α,α＝(α－β)＋
β等．
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化．
例1 (1)(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0,π),且3cos2α－8cos α＝5,则sin α等于( ) A.
53 B.23C.13D.59
答案 A
解析 由3cos2α－8cos α＝5, 得3(2cos 2
α－1)－8cos α＝5, 即3cos 2
α－4cos α－4＝0,
解得cos α＝－2
3或cos α＝2(舍去)．
又因为α∈(0,π),所以sin α>0, 所以sin α＝1－cos 2
α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－232
＝53
. (2)已知sin α＝55,sin(α－β)＝－1010
,α,β均为锐角,则β等于( ) A.
5π12B.π3C.π4D.π
6
答案 C
解析 因为α,β均为锐角,所以－π2<α－β<π
2
.
又sin(α－β)＝－1010,所以cos(α－β)＝31010
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π π f(x)＝sinx－ ＋cosx－ 6 3 3 1 1 3 ＝ sin x－ cos x＋ cos x＋ sin x 2 2 2 2 ＝ 3sin x， x g(x)＝2sin2 ＝1－cos x. 2 3 3 3 (1)由 f(α )＝ 得 sin α ＝ . 5 5 又 α 是第一象限角，所以 cos α ＞0. 从而 g(α )＝1－cos α ＝1－ 1－sin2α 4 1 ＝1 － ＝ . 5 5
x g(x)＝2sin2 . 2
3 3 (1)若 α 是第一象限角，且 f(α )＝ ， 5 求 g(α )的值； (2)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合．
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三角恒等变换与化简求值
方法分析 解题过程 回归反思
(2013·高考湖南卷)
π π 已知函数 f(x)＝sinx－ ＋cosx－ ， 6 3
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三角恒等变换与化简求值ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
方法分析 解题过程 回归反思
(2013·高考湖南卷)
π π 已知函数 f(x)＝sinx－ ＋cosx－ ， 6 3
x g(x)＝2sin2 . 2
3 3 (1)若 α 是第一象限角，且 f(α )＝ ， 5 求 g(α )的值； (2)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合．
(2012·高考四川卷)函数
f(x)＝6cos2
ωx ＋ 3sin ω x－3(ω ＞0) 2
在一个周期内的图象如图所示，A 为图象 的最高点 B，C 为图象与 x 轴的交点， 且△ABC 为正三角形． (1)求 ω 的值及函数 f(x)的值域；
10 2 8 3 (2)若 f(x0)＝ ，且 x0∈－ ， ， 5 3 3
(2)f(x)≥g(x)等价于 3sin x ≥1－cos x，即 3sin x＋cos x≥1 π 1 ，于是 sinx＋ ≥ ， 6 2 π π 5π 从而 2kπ ＋ ≤x＋ ≤2kπ ＋ ， 6 6 6 k ∈Z ， 2π 即 2kπ ≤x≤2kπ ＋ ，k∈Z. 3 故使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合为 2π x2kπ ≤x≤2kπ ＋ ，k∈Z. 3
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(2013·高考湖南卷)
π π 已知函数 f(x)＝sinx－ ＋cosx－ ， 6 3
①化简 f(x)是用差角公式， 化简 g(x)用降幂公式． ②由 f(α )求 g(α )时注意 象限符号． ③化简 f(x)≥g(x)，用辅助 角公式．结合三角函数图象解
π 1 不等式 sinx＋ ≥ . 6 2
x g(x)＝2sin2 . 2
3 3 (1)若 α 是第一象限角，且 f(α )＝ ， 5 求 g(α )的值； (2)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合．
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考向二 三角函数图象性质的应用
方法分析 解答过程 回归反思
求 f(x0＋1)的值．
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(2012·高考四川卷)函数
f(x)＝6cos2
ωx ＋ 3sin ω x－3(ω ＞0) 2
在一个周期内的图象如图所示，A 为图象 的最高点 B，C 为图象与 x 轴的交点， 且△ABC 为正三角形． (1)求 ω 的值及函数 f(x)的值域；
在一个周期内的图象如图所示，A 为图象 的最高点 B，C 为图象与 x 轴的交点， 且△ABC 为正三角形． (1)求 ω 的值及函数 f(x)的值域；
第一章 从实验学化学
第四章 平面向量、数系的扩充 与复数的引入
专题二 三角函数、平面向量综合问题的解答
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1
聚焦考向透析
2
学科能力提升
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考向一 三角恒等变换与化简求值
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(2013·高考湖南卷)
π π 已知函数 f(x)＝sinx－ ＋cosx－ ， 6 3
x g(x)＝2sin2 . 2
3 3 (1)若 α 是第一象限角，且 f(α )＝ ， 5 求 g(α )的值； (2)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合．
题目条件、解题目标． 题目条件：已知具体函数f(x)、 g ( x ) 和 f (α )． 解题目标：①求值g(α)；(2) 解三角不等式f(x)≥g(x)． 关系探索：条件与目标、已知 与未知的转化． (ⅰ)首先化简f(x)与g(x)． (ⅱ)f(α)与g(α)是同角关 系． (ⅲ)转化f(x)≥g(x)成为简单 型，sin x≥a.
C
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(2013·高考湖南卷)
π π 已知函数 f(x)＝sinx－ ＋cosx－ ， 6 3
x g(x)＝2sin2 . 2
3 3 (1)若 α 是第一象限角，且 f(α )＝ ， 5 求 g(α )的值； (2)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合．
10 2 8 3 (2)若 f(x0)＝ ，且 x0∈－ ， ， 5 3 3
求 f(x0＋1)的值．
题目条件：未化简的f(x)解析式 (含ω)和图象中的三个关键点A、 B 、C . 解题目标：①待定ω，求f(x)的 值域． ②给值f(x0)，求值f(x0＋1)． 关系探索：(1)f(x)通过降幂化 为Asin(ωx＋φ)型再解△ABC求 f(x)的解析式，代入f(x0)化简 求值． (2)△ABC⇒T⇒ω⇒f(x)⇒f(x0) ⇒f(x0＋1)．
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(1)由已知可得，
f(x)＝6cos2
ωx ＋ 3sin ω x－3(ω ＞0) 2
f(x)＝3cos ω x＋ 3sin ω x
π ＝2 3sinω x＋ .又正三角形 ABC 3