高等代数考研20051
湖南大学高等代数2005--2009年考研真题
高等代数——2005年真题一．（20分）证明：数域F 上的一个n 次多项式()f x 能被它的导数整除的充要条件是()()nf x a x b =-，(),a b F 其中是中的数.二．（20分）设120n a a a ≠ ，计算下面的行列式：12311111111111111111111na a a a ++++三．（15分）已知矩阵A PQ =，其中2431P ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2121Q ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，Q '，求矩阵2100,A A A 和。
四．（20分）给定线性方程组23112131231222322313233323142434x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩ （1） 当1234,,,a a a a 满足什么条件时，方程组（1）有惟一解？无穷多解？无解？ 五．（20分）设()fX XA X '=是一实二次型，若有实n 维向量1X ,2X 使得()()12f X f X >0,<0，证明：必存在实n 维向量00X ≠使()00f X =。
六．设W 是齐次线性方程组1234512352300x x x x x x x x x +-+-=⎧⎨+- +=⎩ （2）的解空间。
1.W 中的向量与方程组（2）的系数矩阵的行向量有何关系？2。
求W 的一组标准正交基。
七．（15分）求复矩阵131616576687⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭的不变因子，初等因子及Jordan 标准形。
八．（10分）设整系数线性方程组1nij ji j a xb ==∑，()1,2,,i n = 对任意整数12,,,n b b b 均有整数解。
证明该方程组的系数矩阵的行列式必为1±。
九．（15分）设,,A B C 为复数域上n 维空间V 的线性变换，AB BA C -=,并且C 可以与,A B 交换。
青岛科技大学2005年研究生入学考试高等代数试卷
四（25分）.设 1 , 2 , 3 , 4 是线性空间 V4 的一组基，线性变换 A 在这组基下的表示
1 1 3 ,求 A 的值域与核。 5 5 1 2 五（30分）.设 A1 , A2 , A3 , A4 皆为 n 阶方阵 2
A 0 ①若 A1 , A3 皆可逆，求矩阵 A 1 的逆矩阵。 A2 A3 1 A A3 1 ②若 A4 可逆，且矩阵 B 1 可逆，试证 A1 A3 A4 A2 存在，并求 B 的 A2 A4
Span 1 , 2 , , s rank A 。
其中: Span 1 , 2 , , s 表示向量组 1 , 2 , , s 生成的子空间， ra咨询QQ：400 622 4468
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二（25分）.设 是非零实数，已知 n 阶方阵 A 满足 A2 A E 0 ， 证明： A 及 A E 都可逆，并求它们的逆。 三（25分）.设 n n 1 阶方阵 A 的伴随矩阵为 A* ， 证明：①当 A 0 时 A* 0 ②当 A 0 时 A* A
逆。 六（20分）.设 1 , 2 , , n 是 n 维线性空间 Vn 的一组基， A 是 n s 矩阵，并且
1 0 1 2 矩阵为 A 1 2 2 2
1 , 2 , , s 1 , 2 , , n A ，求证 dim
青岛科技大学2005年研究生入学考试试卷
考试科目：高等代数（试卷A） 一（25分）.设 V2 是数域 F 上的2维线性空间， A 是 V2 上的线性变换， 1 , 2 是 V2 的一
2 1 1 1 组基， A 1 , 2 1 , 2 ，并设 1 ,2 1 , 2 ， 1 0 1 2 求：线性变换 AK 在基 1 ,2 下的表示矩阵。
南京大学2005年高等代数考研试题及参考答案
123451231231231121311222321231323331424341525351121311.(,,,,),1,2,3;(,,),1,2,3,,.,,0i i i i i i j j j j a a a a a i a a a j a a a a a a x a a a a a a a a a a a a α==β==αααβββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥ααα=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦一、判断题设正确！如果线形相关，则，，线形相关如果线形相关，齐次线性方程有非零解所以秩1112131222322122231323333132331424341525351112132122231233132333,30a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a x a a a ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥⎪⎢⎥< ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎪=βββ ⎪ ⎪⎝⎭所以秩〈，那么齐次线性方程也有非零解，所以，，线形相关1232.,.2102004211100212210010120123..101101014.A B n AB A B AB AB n A B A B A B A B A ，B V V V 是线性空间V 的子空间⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设都是阶正定的矩阵，则也是正定的错误！设，，，显然非对称如果阶方阵，有完全相同的特征值，则，相似错误！，，，有完全相同的特征值，但不相似，，123112112211225..00，而且任意两个的交为0V V V V P A ，B C V A AB AC B C V P A ，B C V A A B B C C AB AC B C+==ε=εε=ε=εε=εε=ε+εε===，则+是直和。
正确！设是数域上的有限维线性空间，，都是上的线性变换，并不是零变换如果，则错误！设是数域上的二维线性空间，定义，都是上的线性变换，；，；，得出，但！ ,65432414243441.()106_310580201115(12)2005200311202.,2340246813573.(1,2,1),(1,2,1),(1,2,1),(2,3,1)(1,2,0),f x x x x x x x f D A A A A A diag B diag C diag D diag G diag B D C G 与A 相似的矩阵是：B与A 合=-+-+-==+++==-=-=--=-=二、填空则则在实数域上，，，，中，32200.21043det()?(210)3425.||111()()()(1)3333100100310033同，但不相似的矩阵是：D与A 等价，但不合同，也不相似的矩阵是：C4A B A A E B A A A f ⎛⎫- ⎪==+-= ⎪ ⎪⎝⎭=λ=λ++λ+-λ-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪-+ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭，，1是三级正交矩阵，迹为，，则的特征多项式为？若当标准型为？322212312312132323(,,)255448222254245det()(1)(10)()10(1,2,2)'()1(2,1,0)',(2,0,1)'f x x x x x x x x x x x x E A i ii =+++--⎛⎫- ⎪- ⎪⎪--⎝⎭λ-=λ-λ-λ=α=-λ=α=-α=12三、用正交线性变换将二次型化为标准型，并写出正交线性变换该二次型对应的矩阵A=当，对应的特征向量当，对应的特征向量然后用施23(1,2,2)';(2,1,0)';(2,4,5)'β=-β=-β=1密特法正交化12311111111111(,,),000000n n n C X CY四、设A ，B 都是数域上的n 阶方阵，A 有n 个不同的特征值，AB =BA 证明B 相似于对角阵A n A T T AT AB =BA T ATT BT T BTT AT T BT T BT -------=βββ=⎛⎫λ ⎪=λλ ⎪ ⎪λ ⎪⎝⎭=⎛⎫λλ ⎪= ⎪ ⎪λ ⎪⎝⎭ 令变换由于有个不同的特征值，所以可以对角化也就是存在可逆矩阵，使得，，，互不相同由于，所以即1111111111111111111111000000n n n n nn n n nn n n nn n n m mn n a a a a T BT a a a a a a a a a a a T BT a a a --⎛⎫ ⎪⎪ ⎪λ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫λ ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪λ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫λ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪λ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，设，所以化简得出为对角阵，即n ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，即证((),())1()((),())1,(),(),()()()()1,()()()()()0,()(),|()||()|||1()!0,f f(A)m f i m f m f A m A A f A E m A A f A E A f A E f A f(A)λλ⇔λλ=λλ=μλνλμλλ+νλλ=μ+ν==ν=ν===五、设m()是数域P 上n 阶方阵A 的最小多项式，()是数域P 上的任意多项式证明：可逆若所以存在多项式使得所以又因为所以所以从而可逆(((),())()()|(),()|()()0()0)|()|()()|0,1若f(A)可逆m f d d m d f d m A d d A d(A)=0d f f A f(A)d λλ=λ∴λλλλλλ=λλ=λλλλ=λ0000ii)，设如果是的一个解，那么是的一个解也就意味着是的一个特征值，且()是(的一个特征值所以|,由于，所以|这与可逆矛盾()=。
2005年大理工大攻读硕士研究生入学考试高等代数试题及参考解答
2005年大连理工大攻读硕士研究生入学考试高等代数试题及参考解答一、填空题(每小题4分)1. 设()f x 是有理数域上的不可约多项式,α为()f x 在复数域内的一个根, 则α的重数为 12. n 阶行列式211113111111n =+111![]nk n k=+∑. 3. 设α、β均为n 维列向量:'2αβ=,则'A E αβ=+可逆,1A -='13E αβ-.4. 设向量组12,,,r ααα线性无关,123213121112r r r r r rβαααβαααβαααβααα-+=+++⎧⎪=+++⎪⎪⎨⎪=+++⎪=+++⎪⎩ 则121,,,,r r ββββ+线性 相关.5. 设A 是n 阶矩阵,秩A r =,非齐次线性方程组Ax β=有解,则Ax β=的解向量组的秩为1n r -+.6. 设a 、b 均为实数,二次型222212122311(,,,)()()()()n n n n f x x x ax bx ax bx ax bx ax bx -=++++++++a 、b 满足条件1(1)0n n n a b ++-≠时,f 为正定二次型.7. 设V 是由矩阵A 的全体实系数多项式组成的线性空间,其中21000000A ωω⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 其中132i ω-+=,则V 的一组基是2,,E A A .8. 设V 是数域P 上的一维线性空间,写出V 上的所有线性变换 ： 取定V 的一个非零向量α,则()V L α=的全部线性变换形如:()a f x a x αα,其中a 是P 中任一取定的数.9. 正交矩阵的实特征值为1±.10. 设G 为群,H 、N 分别是G 的子群, H 、N 的阶分别是m 、n ,且m 、n 互素,令H N α∈⋂,则元素α的阶为 1.二、(10分) 设(),()f x g x 是数域P 上的多项式,证明:在数域P 上,若33()|()f x g x ,则()|()f x g x .参考解答：若(),()f x g x 中有一个是零多项式或零次多项式,则结论显然成立.下设()0f x ∂>,()0g x ∂>,且1212()()()()s r r r s g x ap x p x p x =是()g x 的标准分解式,其中12(),(),,()s p x p x p x 是互不相同的最高次项系数为1的不可约多项式,12,,,s r r r 都是正整数.任取()f x 的一个不可约因式()q x ,由于()|()q x f x ,3()|()f x f x ,33()|()f x g x利用多项式整除的传递性,得3()|()q x g x .由于()q x 是不可约多项式,故()|()q x g x ,进一步可知,()()i q x cp x =, 对某个1i s ≤≤及c P ∈.于是我们可以设1212()()()()s t t t s f x bp x p x p x =,其中12,,,s t t t 是非负整数.从33()|()f x g x 知,存在多项式()[]h x P x ∈,使得33()()|()g x f x h x =,即1212333333331212()()()()()()()s s r t r r t t s s a p x p x p x b p x p x p x h x =.由此推出33i i r t ≥,即i i r t ≥,1,2,,i s =.因此1211221122121212()()()()()()()()()()()s s s s s t r t t t r t r t s s r t r t r t s g x a bp x p x p x p x p x p x ba f x p x p x p x b------=∙=∙由多项式整除的定义知,()|()f x g x .三、(15分) 设A 为n 级矩阵,且秩A =秩2A ,证明:对任意自然数k ,有秩kA =秩A . 参考解答：对k 作数学归纳法.当1,2k =时结论显然成立.假设1k -时结论成立,即rank A =rank 1k A-.令{|0}n i i V X P A X =∈=, 1,2,i=那么显然有123V V V ⊆⊆⊆.从rank A =rank 1k A-知dim 1V =n -rank A n =-rank 1k A-=dim 1k V -于是1V =1k V -.任取0k X V ∈,即00k A X =,亦即10()0k A A X -=,那么011k A X V V -∈=.于是200A X =.进一步有13200()0k k A X A A X --==,这表明01k X V -∈,从而1k k V V -⊆.因此,1k k V V -=.于是rank A n =-dim 1V =n -dim 1k V -=n -dim k V = rank kA .四、(15分) 证明:一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是,它的秩等于2和符号差等于0,或者秩等于1.参考解答：充分性. 若12(,,,)n f x x x 的秩为1, 则可经非退化线性替换使2121(,,,)n f x x x ky =, 其中11122n n y a x a x a x =+++,故2121122(,,,)()n n n f x x x k a x a x a x =+++.若12(,,,)n f x x x 的秩为2, 符号差为0, 则可经非退化线性替换使2212121212(,,,)()()n f x x x y y y y y y =-=+-,其中12,y y 均为12,,,n x x x 的一次多项式, 即1112221122n n n ny a x a x a x y b x b x b x =+++=+++故12(,,,)n f x x x 可表为两个两个实系数一次齐次多项式的乘积.必要性. 设实二次型12(,,,)n f x x x 可以分解成两个实系数一次齐次多项式的乘积 1211221122(,,,)()()n n n n n f x x x a x a x a x b x b x b x =++++++若两个一次多项式的系数成比例,即(1,2,,)i i b ka i n ==,不妨设10a ≠,令1112222n nn ny a x a x a x y x y x =+++⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩则2121(,,,)n f x x x ky =,即二次型12(,,,)n f x x x 的秩为1.若两个一次多项式系数不成比例,不妨设1212a ab b ≠,令 111222112233n n n nn ny a x a x a x y b x b x b x y x y x =+++⎧⎪=+++⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩则1212(,,,)n f x x x y y =.再令11221233n ny z z y z z y z y z =+⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 则22121212(,,,)n f x x x y y z z ==-,故二次型12(,,,)n f x x x 的秩为2,符号差为零.五、(15分) 设1,,n εε是数域P 上的n 维线性空间V 的一组基,W 是V 的非平凡子空间, 1,,r αα是W 的一组基,证明:在1,,n εε中可以找到n r -个向量1,,n r i i εε-,使11,,,,,n r r i i ααεε-为V 的一组基.参考解答：因为W 是V 的非平凡子空间,故W V ≠.于是r n <.对n r -作数学归纳法.首先, 12,,,n εεε不能都在W 中.否则,W V =,出现矛盾.设1i ε是12,,,n εεε中不属于W 的一个向量,那么112,,,,r i αααε线性无关.令1112(,,,,)r i W L αααε=,则dim 11W r =+.由归纳假设,在12,,,n εεε中可以找到(1)n r -+个向量23,,,n r i i i εεε-使1212,,,,,,,n r r i i i αααεεε-是V 的一组基.六、(10分)设3阶矩阵A 满足2320A A E -+=,写出A 的若当(Jordan)标准型的所有可能形式.参考解答： 因为2320A A E -+=,故2()32f x x x =-+是A 的一个零化多项式.设()m x 是A 的最小多项式,则()|()m x f x .由于()(1)(2)f x x x =--没有重根,故()m x 没有重根.因此A 可以对角化.从2320A A E -+=知,A 的特征根为1或2.于是A 的Jordan 标准型的可能形式为111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,122⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,222⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭. 七、(10分)设V 是一个n 维欧氏空间,1,,n αα是V 的一个标准正交基, A 是V 的一个线性变换,()ij n n A a ⨯=是A 关于这个基的矩阵,证明: ji a =(A (i α),j α),,1,2,,i j n =.(其中( , )表示内积)参考解答：由所给条件知 (A 1α, A 2α,, A n α)=(1α,2α,,n α)A. 于是A i α=(1α,2α,,n α)121122i i i i ni n ni a a a a a a ααα⎛⎫⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭.注意1α,2α,,n α为V 的一组标准正交基,故11221122((),)(,)(,)(,)(,)(,)i j i i ni n j i j i j ni n j ji j j jiA a a a a a a a a αααααααααααααα=+++=+++==八、(25分) 设A 是数域P 上的n 维线性空间V 的一个线性变换,()f x 是A 的最小多项式,在[]P x 中,12()()()f x f x f x =,1()f x 、2()f x 均为首项系数为1的多项式,且1()f x 与2()f x 互素,令11{|V V f α=∈(A )(α)0=}, 22{|V V f α=∈(A )(α)0=}.证明:(1) (5分) 1V 和2V 都是A 的不变子空间； (2) (10分)12V V V =⊕；(3) (10分) A 1|V 的最小多项式是1()f x , A 2|V 的最小多项式是2()f x .参考解答：(1) 注意1f (A ), 2f (A )都是A 的多项式,故A 1f (A )=1f (A )A , A 2f (A )=2f (A )A.任取1V α∈,则1f (A )(α)=0.由于1f (A )(A (α))=(1f (A )A )(α)=(A 1f (A ))(α)= A (1f (A )(α))= A (0)=0.故A (α)1V ∈.由不变子空间的定义知,1V 是A 的不变子空间.类似地可证,2V 也是A 的不变子空间.(2) 因为1()f x 与2()f x 互素,存在(),()[]u x v x P x ∈使得12()()()()1u x f x v x f x +=.将x =A 代入上式,得u (A )1f (A )+v (A )2f (A )=ε (ε为恒等变换). (*) 任取V α∈,则()u αεα==(A )1f (A )(α)+v (A )2f (A )(α). (**) 由于()f x 是A 的最小多项式,故f (A )=1f (A )2f (A )=0.于是2f (A )(u (A )1f (A )(α))=(u (A )1f (A )2f (A ))(α)=u (A )(f (A )(α))=u (A )(0)=0类似地, 1f (A )(v (A )2f (A )(α))=0.因此u (A )1f (A )(α)2V ∈，v (A )2f (A )(α)1V ∈.于是从(**)知12V V V ⊆+.注意12,V V 都是V 的子空间,故12V V V =+.设12V V β∈⋂,则1f (A )(β)=0, 2f (A )(β)=0.由(*)知()βεβ==(u (A )1f (A ))(β)+(v (A )2f (A ))(β)=0,故12{0}V V ⋂=.因此12V V V =⊕.(3) 由于对任1V α∈,有1f (A )(α)0=,故1f (A )作为1V 上的线性变换是零变换,即1f (A )1|V 0=,亦即1()f x 是A 1|V 的零化多项式.设1()g x 是A 1|V 的最小多项式,则11()|()g x f x ,从而有 11()()g x f x ∂≤∂.类似地,设2()g x 是A 2|V 的最小多项式,则22()|()g x f x ,且22()()g x f x ∂≤∂. 取12()()()g x g x g x =,那么()|()g x f x ,故()()g x f x ∂≤∂. 任V γ∈,由(2)知12V V V =⊕,可设12γγγ=+,i i V γ∈.于是g (A )(γ)=1g (A )2g (A )(1γ)+ 1g (A )2g (A )(2γ)=2g (A )1g (A )(1γ)+1g (A )2g (A )(2γ)=000+=这表明()g x 是A 的零化多项式,故()|()f x g x .从而有()()f x g x ∂≤∂.于是12()()()()f x g x g x g x ∂=∂=∂+∂.从12()()()f x f x f x ∂=∂+∂, 11()()g x f x ∂≤∂, 22()()g x f x ∂≤∂知()()i i g x f x ∂≤∂.由于()i g x 是最高次项系数为1的多项式,且()|()i i g x f x 知()()i i g x f x =.九、(10分) 设R 是有1的交换环,P 是R 的素理想,12,,,n I I I 是R 的极大理想,如果P 包含12,,,n I I I 的交集,证明P 必为极大理想.参考解答：已知12n P I I I ⊇⋂⋂⋂. 现在我们证明:存在某个i ,1i n ≤≤,使得i P I ⊇.反证法:假设对任1i n ≤≤,P 都不包含i I ,则存在i i a I ∈,i a P ∉.由于j I 为理想,故12n j a a a I ∈, 1,2,,j n =.从而有1212n n a a a I I I P ∈⋂⋂⋂⊆.从12n a a a P ∈及P 是R 的素理想知, 12,,,n a a a 中至少有一个属于P ,这与i a P ∉,1,2,,i n =矛盾.这就证明了:存在某个i ,1i n ≤≤,使得i P I ⊇.而i I 是极大理想,故i P I =或P R =. 但P 是素理想,P R ≠,故i P I =. 因此P 为极大理想.。
05年山东科技大学高等代数试题
请在答题纸（ 请在答题纸（本）上做题， 在此试卷及草入纸上做题无效！ 上做题， 在此试卷及草入纸上做题无效！
山东科技大学 2005 年招收硕士学位研究生入学考试
高等代数试题
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一． （共 70 分，每小题 14 分） 1．试确定 A，B，使得 x − 1 是多少项式 f ( x) = Ax n +1 + Bx n + 1(n > 1) 的二重因式。 2．证明方阵 A 的最小多项式是唯一的。 3．证明实二次型
1． 级对称矩阵的集合 W1 和 n 级反对称矩阵的集合 W2 都是 M n (F ) 的 N
线性了空间；
2． M n ( F ) = W1 ⊕ W2
四． 20 分）设 （
1 4 2 A = 0 − 3 4 0 4 3
求 A k （其中 k 为正整数） 五． 20 分）设 V 是欧氏空间，W1 与 W2 是 V 的两上子空间试证： （
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 5 x12 + x2 + 5 x3 + 4 x1 x2 − 8 x1 x3 − 4 x2 x3
二． 20 分） A 是 n 级方阵， （ 设 证明： 存在一个 n 级方阵 B ≠ 0 使 AB = 0 的充分必要条件是 A = 0 。 三． 20 分） M n (F ) 表示数域 F 上的全体 n 级方阵构成的线性空间， （ 试证：
=
e1 =
( ), e = ( )
1 0 2
( ), Ta = ( )
0 1 2
a1 =
( ), a
0 1
2
=
()
2 1
中 A 是 V 上的任一正交变换。
武汉科技大学高等代数考研真题试题2005—2009、2016、2019年(含标准答案)
考试科目及代码：高等代数 420
共3页
说 明：1. 适用专业：应用数学 070104
2. 可使用的工具：计算器 （ √ ）
3. 答题内容写在答题纸上，写在试题纸或草稿纸上无效
第1页
一、填空（6 小题，共 30 分）
1 0 0
1.
设
A
0
1 2
3
2
③ kn A
④ kA
4. 如果 x2 1, g(x) 1 ，且 x2 1 g(x)h(x) ，则 。
① x 1 g(x), x 1 h(x)
② x 1 g(x), x 1 h(x)
③ x 1 ᅡ g(x) ， x 1 h(x)
④ x 1 ᅡ g(x) ， x 1 ᅡ h(x)
证明：
A
αβ
2 1
பைடு நூலகம்
2
1
2
4 2
2 1
4 2
2 1 2 2 1 2 4 2 4
A2
4
2
4
4
2
4
8
4
8
2A
2 1 2 2 1 2 4 2 4
计算 n 阶行列式 d 1 0 a3 0 ，其中 a1a2 an 0 。 1 0 0 an
四、（15 分）
设 η* 是非齐线性方程组 Ax b 的一个解， ξ1, ξ2 , , ξnr 是对应的齐次方程
高等代数 420
共 31 页 第 2 页
组的一个基础解系，证明： η*, ξ1, ξ2 , , ξnr 线性无关。
5. 设 A 为 n 阶方阵， Ax 0 有非零解，则 A 必有一个特征值为 。
6．多项式 x4 2x 1的有理根是
2005年考研数学一141分经验
2005年考研数学一141分经验本帖最近评分记录土纸威望 +25 你好,你的这个帖子 .. 2005-7-18 09:29考研已经过去了一个月了，数学应该说发挥了正常水平，对了一下网上的答案(数学一)，一如即往地犯了一些小错误，140分上下，已经达到目标了。
这里并不是要炫耀自己的分数高，想必学了概率论正态分布的朋友都应该知道，大量事件的随机变量服从正态分布。
今年的题目(数学一)应该说并不难，几十万考生的数学成绩X∽N(μ,σ^2),其中140以上的肯定不为少数，但60分以下的也不会没有。
考研论坛上能人高手大有人在，只不过很多人懒得发言而已。
个人就数学复习谈一点经验，一家之言，基础好的朋友或者高手看后尽可一笑了之。
而且不同人适合不同的方法，我的经验也就起个参考作用而已。
06年要考研的朋友现在就可以开始复习数学了，早动手肯定是有好处的。
第一个阶段的重点：打好基础，熟悉内容看到很多朋友总是在问，开始复习用哪一本复习材料好。
现在在市场上比较著名的有陈文灯的《复习指南》，李永乐的《复习全书》等等。
但是我强烈不推荐一上来就看这种大部头的全面总结性的复习材料。
特别是基础相对差一些的朋友，比如在职考研数学丢了很多年的朋友，这种书会对心理造成很大的压力。
以我自己为例，大学时高数考试全大班第一，自认为数学基础是不错的。
(决无自吹自擂之意，只是就事论事。
) 但是在工作了不少年头辞了职准备考研，发现高数忘了大半，线代已基本忘光，概率论大学时没学过。
我也是慕名买了老陈的《复习指南》(2004版)，一看就发现很难入口，正所谓“基础不牢，地动山摇“。
于是就还是从教材开始看，感觉好多了。
我高数还是用的大学时的书，<<高等数学>>同济大学第二版(怎么样，书够老得吧！现在好象都是第四版了)，线代是同济大学第三版的<<线性代数>>。
概率论用的是浙江大学盛骤、谢式千、潘承毅编的第三版<<概率论与数理统计>>(这本书我感觉很不错，在网上口碑也很好，其课后习题做好了对考研的题也基本上能掌握了。
2005年考研高数一真题及解析
x2 y2 z 2 1 u ，单位向量 n {1,1,1} ，则 6 12 18 n 3
(2 2) R3 .
(1, 2, 3)
=
3 . 3
x 2 y 2 与半球面 z R 2 x 2 y 2 围成的空间区域， 是 的
n 3n
， 则 f ( x) 在 ( , ) 内 (B)恰有一个不可导点. (D)至少有三个不可导点.
(C)
(A)处处可导. (C)恰有两个不可导点.
(8) 设 F ( x) 是连续函数 f ( x) 的一个原函数， " M N " 表示“M 的充分必要条件是 N” ， 则必有 (A) (A) F ( x) 是偶函数 f ( x) 是奇函数. (9) 设函数 u ( x, y ) ( x y ) (x y ) 一阶导数， 则必有
记 S ( x)
2n(2n 1) x
n 1
(1)
2n
, x (1,1)，
(1)n1 2 n 1 1 x , x ( 1,1) ， S ( x) (1)n1 x 2 n2 , x (1,1).„„6 分 1 x2 n 1 2n 1 n 1 x x 1 由于 S (0) 0, S (0) 0 ，所以 S ( x) S (t )dt dt arctan x, 0 0 1 t 2 x x 1 „„9 分 S ( x) S (t )dt arctan tdt x arctan x ln(1 x 2 ). 0 0 2 x2 n 1 2 n 又 (1) x „„11 分 , x (1,1), 1 x2 n 1
湖南大学高等代数2005--2009年考研真题
高等代数——2005年真题一．（20分）证明：数域F 上的一个n 次多项式()f x 能被它的导数整除的充要条件是()()nf x a x b =-，(),a b F 其中是中的数.二．（20分）设120n a a a ≠ ，计算下面的行列式：12311111111111111111111na a a a ++++三．（15分）已知矩阵A PQ =，其中2431P ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2121Q ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，Q '，求矩阵2100,A A A 和。
四．（20分）给定线性方程组23112131231222322313233323142434x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩ （1） 当1234,,,a a a a 满足什么条件时，方程组（1）有惟一解？无穷多解？无解？ 五．（20分）设()fX XA X '=是一实二次型，若有实n 维向量1X ,2X 使得()()12f X f X >0,<0，证明：必存在实n 维向量00X ≠使()00f X =。
六．设W 是齐次线性方程组1234512352300x x x x x x x x x +-+-=⎧⎨+- +=⎩ （2）的解空间。
1.W 中的向量与方程组（2）的系数矩阵的行向量有何关系？2。
求W 的一组标准正交基。
七．（15分）求复矩阵131616576687⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭的不变因子，初等因子及Jordan 标准形。
八．（10分）设整系数线性方程组1nij ji j a xb ==∑，()1,2,,i n = 对任意整数12,,,n b b b 均有整数解。
证明该方程组的系数矩阵的行列式必为1±。
九．（15分）设,,A B C 为复数域上n 维空间V 的线性变换，AB BA C -=,并且C 可以与,A B 交换。
北京大学2005年研究生入学考试——高等代数与解析几何_试题与答案2
北京大学 2005 数学专业研究生 高等代数与解析几何。
2x y z 0 1． 在直角坐标系中，求直线l :到平面: 3x By z 0 的正交投影轨迹的方程。
x y 2z1其中 B 是常数 解：可以验证点12 1 2 5,0,l , ,0,，从而 l555x 1 3k把 l 写成参数方程：y 2 5k ，任取其上一点 P : ( 1 3k,2 5k, k) ，设该点到上的投影为zk点 P ' : ( x, y, z)PP 'x 1 3k z kx 3z 1 03 1 P3x By z整理即知， l 到x 3z 1上的正交投影轨迹满足方程Byz 03x由于11 ，上述方程表示一条直线，而 2*3 B 1 0 和 3B 2 0 不同时成立，因此 l 到3 1上的正交投影轨迹是一条直线x 3z 1 0从而 l 到上的正交投影轨迹的方程就是3x By z 02． 在直角坐标系中对于参数 的不同取值，判断下面平面二次曲线的形状：x 2 y 2 2 xy0 .对于中心型曲线，写出对称中心的坐标； 对于线心型曲线，写出对称直线的方程。
解：1 , 1 x *x记 T2 2 ，容易验证 TT 'E ，因此直角坐标变换T 是一个正交变换1 , 1 y *y2 2在这个变换下，曲线方程变为 (1)x * 2(1 ) y * 21) 1 时， 1 0,1 0,0 ，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为(0,0)2)1 时，曲线方程为y * 21 ，是一对平行直线，是线心型曲线，对称直线为 y *0 ，即yx 23) 1 0时， 10,1 0,0 ，曲线为椭圆，是中心型曲线，对称点为 (0,0)4) 0 时，曲线方程为x * 2y * 20 ，是一个点，是中心型曲线，对称点为(0,0)5) 01时， 1 0,1 0, 0 ，曲线为虚椭圆，是中心型曲线，对称点为(0,0) 6)1 时，曲线方程为 x * 21 ，是一对虚平行直线，是线心型曲线，对称直线为 x *0 ，即 y x27)1时， 1 0,1 0,0 ，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为(0,0)3n级矩阵 A 的 (i , j )元为 a i b j．设数域 K 上的（ 1）.求 A ;(2). 当 n2 时， a 1 a 2 , b 1 b 2 .求齐次线性方程组 AX解：(1)若 n1， | A | a 1 b 1若 na 1b 1 a 1 b 2 (a 2 a 1 )(b 2 b 1 )2，|A|b 1 a 2 b 2a 2a 1b 1 a 1 b 2 a 1 b 3a 2b 1a 2b 2a 2b 3若 n2，|A|a n 1b 1 an 1b 2a nb 1a nb 2 a n b 3a 1b 1 a 1 b 2 a 1 b 3 R nRn 1 a 2 b 1a 2b 2a 2b 3R n 1Rn 20 的解空间的维数和一个基。
苏州大学考研真题高等代数2005
苏州大学
2005年攻读硕士学位研究生入学考试试题
考试科目：高等代数
1、（20分）设A,B均为n阶方阵,A中的所有元素均为1,B中的除元素为1外,其余元素均为0.问A,B是否等价?是否合同?是否相似?为什么?
2、（20分）设A=。
v是的A最大的特征值。
求A的属
于v的特征子空间的基。
3、（20分）设f（x）是一个整系数多项式。
证明：如果存在一个偶数m和一个奇数n使得f（m）和f（n）都是奇数，则f（x）没有整数根。
4、（20分）设A是一个2n×2n的矩阵。
证明：如果对于任意的2n×2矩阵B，矩阵方程AX=B都有解，则A是可逆的。
5、（20分）证明实系数线性方程组AX=B有解的充要条件是用它的常数项依次构成的列向量B与它所对应的齐次线性方程组AX=0的解空间正交。
6、（20分）设A，B是n×n实对称矩阵，且A+B=E,E为单位矩阵。
证明下列结论等价：
（1）AB=O,O为零矩阵
（2）秩(A)+秩(B)=n
7、（20分）设V是复数域上的n维线性空间，q，p是V上的两个可对角化的线性变换，且qp=pq。
证明：
（1）如果k是q的特征值，那么V（k）是的不变子空间。
（2）存在一组基使得q、p在这组基下的矩阵都是对角矩阵。
8、（10分）设A，B，C分别是m×m,n×n,m×n矩阵（m>n）,且AC=CB,C的秩为r.
证明: A和B至少有r个相同的特征值。
注意：7题中V(k)在原题中k为V的下标。
南开大学2005硕士研究生入学考试高等代数试题
Α (α i ) = β i ,
i = 1,2,3,4
解 ： 由 题 显 然 有 α 4 = α1 + α 2 + α 3 ,
β 4 = β 1 + β 2 + β 3 ， 且 α 1 ,α 2 ,α 3 线 性 无 关 ，
β 1 , β 2 , β 3 也线性无关. 故可添加一个向量 γ ，η 使得 α 1 ,α 2 ,α 3 , γ ， β 1 , β 2 , β 3 ,η 均线形
2
0 O 0
故 λ1 = L λ r = 1 ，此时， λi = λi ,1 ≤ i ≤ r 从而有 A = A 2 ，这与题意矛盾从而不存在 V 的一组基使 Α 在这组基下的矩阵为对角矩阵 七、设 A 为 n 阶正定实对称矩阵， α 1 , α 2 , L , α n , β 为 n 维欧式空间 R n （标准度量）中的 n+1 个向量.若已知
博士 5
家园
博士家园
λ1 O λr A=
(λ1 ,K , λ r 均不为0) 0 O 0
3 2 2
由 284 页定理 2 及 Α = Α 但Α ≠ Α ，知， A 3 = A 2 , A ≠ A 2
3 λ1 O λ3 3 r 对前式，有 A = 2 λ1 O λ2 2 r =A = 0 O 0
L 1 1 L xn +1 x1 2 2 L x n + x n = x1 L L L n −1 n −2 n −1 L xn + xn x1
1 x2 x2 2 L= ∏ (a i − a j ) 1≤ j< i ≤ n L L −1 L xn n
厦门大学2005年高等代数
厦门大学2005年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（一）高等代数部分一.填空题1.设n 阶行列式A 的值为a ,将A 的每个元素ij a 换成(1)i j ij a +-,得到的新行列式的值为2.设12,,,s ααα 是线性方程组A X b =的解,则当且仅当12,,,s a a a 满足条件 时,1122s s a a a ααα+++ 也是AX b =的解.3.000a a a A a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,0a ≠的Jordan 标准型是 .4.设A 是实数域上的3阶方阵, A 的伴随矩阵记为*A .若A 的特征值为1,2,3,则*A 的特征值为 .5.设A 是n 阶实可逆矩阵,则'00A A ⎛⎫ ⎪⎝⎭的正惯性指数是 ,符号差是 . 6.设1100001,010A B P AP -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭,其中P 是3阶可逆阵,则200422PA -= . 二.设A 是n 阶方阵,则秩(A)<n 当且仅当存在n 阶非零方阵B,使得AB=BA=0.三.设V 是n 维线性空间,ψ是V 的线性变换,设U 是V 的子空间.求证:1dim(())dim((0))dim()U U U -ψ+ψ⋂=.这里,1(){()|},(0){|()0}.V a a V a V a -ψ=ψ∈ψ=∈ψ=四.设A 是实数域上的5阶非零方阵,(),ij ij A a A =是ij a 的代数余子式.若,1,5,ij ij a A i j =≤≤求证A 可逆并求A .五.设12,V V 是n 维线性空间V 的子空间,且12V V V =⊕.设()L a 是V 中向量a 生成的子空间,且满足12()0,()0.V L a V L a ⋂=⋂=求12(())(())V L a V L a +⋂+的维数并证明. （二）抽象代数部分一.设G 为一个群,若H 为G 的一个非空子集,H 中每个元素的阶都有限,且满足:对任意,a b H ∈,都有ab H ∈.试证明H 为G 的一个子群.二.若H,K 为G 的不变子群,且H K ⊆,试证明:商群K/H 是商群G/H 的不变子群.三.设{|,R a bi a b i =+=为整数，,在复数的加法和乘法下R 成为一个环,记(1+i)为由复数1+i 生成的环R 的理想.试讨论商环R/(1+i)的结构.（三）复变函数部分一.在复平面上求级数01nn z n ∞=+∑的收敛区域. 二.计算22,(1)zC e dz z +⎰其中曲线C 为圆周|z|=2. 三.若12(),(),,()n f z f z f z 在区域D 内解析,且1()0,.nk k f z z D =≡∀∈∏试证:存在1,k n ≤≤使得()0,.k f z z D ≡∀∈。
武汉科技大学高等代数考研真题试题2005—2009、2016、2019年(含标准答案)
证明：任取 AV ，则有 V ，使得 A ，如果 A2 是零变换，就有
A A A A2 0 0 ，即 A1(0) ，所以 AV A1(0) 。
反之，如果 AV A1(0) ，那么，任取 V ，则 A AV A1(0) ，因而，
A2 0 ，即 A2 是零变换。
八、（15 分）
，则
A*
1
。
0 1 5 2
111
2. x y z
。
x2 y2 z2
3. 若 β 0 k k 2 可由 α1 1 k, 1, 1, α2 1, 1 k, 1, α3 1, 1, 1 k
唯一线性表示，则 k =
。
4. 若对任意的列向量 x ，均有 Ax 0 ，则矩阵 A
。
武汉科技大学 2005 年硕士研究生入学考试试题
考试科目及代码：高等代数 420
共3页
说 明：1. 适用专业：应用数学 070104
2. 可使用的工具：计算器 （ √ ）
3. 答题内容写在答题纸上，写在试题纸或草稿纸上无效
第1页
一、填空（6 小题，共 30 分）
1 0 0
1.
设
A
0
1 2
3
2
B. E A A2
C. E A A2
D. E A A2
3．已知 A2 E ，则必有
A. A E 可逆 C. A E 时， A E 可逆
B. A E 不可逆 D. A E 时， A E 不可逆
4．设 A 是三阶非零矩阵，满足 A2 0 ，则非齐次线性方程组 Ax b 的线性无关
计算 n 阶行列式 d 1 0 a3 0 ，其中 a1a2 an 0 。 1 0 0 an
四、（15 分）
华南理工大学2005年高等代数试卷解答
华南理工大学2005年硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答∗一.证明因为((),())1f x g x =，所以((),()())1f x f x g x +=，同理，((),()())1g x f x g x +=，从而有(()(),()())1f x g x f x g x +=，我们设()()()m x f x g x =+，()()()n x f x g x =，即有((),())1m x n x =，由上面的讨论我们可以知道(()(),()())1m x n x m x n x +=，即(()()(()()),()()()())1f x g x f x g x f x g x f x g x +++=.■二.解方程组对应的增广矩阵，经过初等行变换，化为阶梯矩阵，得到222111111101121100(2)(1)(1)(1)λλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟→−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟++++−+−⎝⎠⎝⎠由此可以知道(1)当2λ=−时，方程组无解；(2)无论1λ=时，方程组有无数组解，且1231x x x ++=，令23,x n x m ==，,n m 任意，则11x m n =−−；(3)当1λ≠且2λ≠−，方程组有唯一解，且解的结构为212311(1,,222x x x λλλλλ−−+===+++）.■三.解矩阵A 的特征方程为366020(2)(3)3126E A λλλλλλλ−−−−=−=−++求得特征值为0,2,3λλλ===−下面来求属于特征值0λ=的特征向量，将特征值0λ=代入下面的方程组1232123(3)660(2)0312(6)0x x x x x x x λλλ−−−=⎧⎪−=⎨⎪+++=⎩(1)求得基础解系为'1(2,0,1)β=−∗解答人:再求属于特征值2λ=的特征向量，将特征值2λ=代入方程组(1)，求得基础解系为2(12,5,3)'β=−，最后再求属于特征值3λ=−的特征向量，将特征值3λ=−代入方程组(1)，求得基础解系为'3(1,0,1)β=−，我们取矩阵T 为1122050131T −−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠于是得到，300'020000T AT −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，故矩阵A 可以对角化.■四.解设矩阵A 是一个s n ×的矩阵，其秩为r ，则存在初等矩阵,P Q ,使得000rEA P Q ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，我们知道，矩阵000rE ⎛⎞⎜⎟⎝⎠可以表成r 个秩为1的矩阵之和，分别记为1122,,rr E E E ⋅⋅⋅，即1122000rrr E E E E ⎛⎞=++⋅⋅⋅+⎜⎟⎝⎠，从而有1122rr A PE Q PE Q PE Q=++⋅⋅⋅+由于,P Q 是初等矩阵，故他们为可逆矩阵，从而()() 1 i=1,2,...,r ii ii rank PE Q rank E ==，所以，矩阵A 可表成r 个秩为1的矩阵之和.■五.解因为A 为实对称矩阵，所以存在正交矩阵P ，使得121n P AP λλλ−⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⋅⋅⋅⎜⎟⎝⎠，(其中12n λλλ≤≤⋅⋅⋅≤)，我们知道，,λµ分别为其最大与最小特征根，所以12n µλλλλ=≤≤⋅⋅⋅≤=故11()P AP E P A E P µµ−−−=−的特征根为0，2,,n λµλµ−⋅⋅⋅−，都是非负实数，从而A E µ−是半正定的。
中南大学2005年高等代数考研试题
（1）求 a ；
（2）求矩阵 P ，使 ( AP )T AP 为对角矩阵。
8． （12 分）设 A 与 B 是 n 阶矩阵，证明 AB 与 BA 有相同的特征值。 9． （20 分）设 A 是数域 P 上的 n 维线性空间 V 的一个线性变换，满足： A2 = A 。
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中南大学 2005 年研究生入学考试试题
考试科目： 考试科目：高等代数 1． （10 分） 设 A 是 n 阶矩阵， 满足 AAT = E（ E 是 n 阶单位阵） ，A < 0 ， 求：A + E . 2． （ 12 分）求证：下列齐次线性方程组的可解性： x1 + x2 + L + xn = 0, 2 n 2 x1 + 2 x2 + L + 2 xn = 0, LLL nx + n 2 x + L + n n x = 0. 1 2 n
3． (12 分)设 f ( x) 和 g ( x) 是数域 p 上的多项式, n 为正整数.证明:如果 f n ( x) | g n ( x) ,
则 f ( x) | g ( x) .
4．(15 分)设 α1 = (1, 2,3) , α 2 = (3, −1, 2) , α 3 = (2, 3, t ) .求解: (1) t 为何值时， α1 , α 2 , α 3 线性无关？ (2) 选取 t ，将 α 3 表示成 α1 , α 2 的线性组合。 5．(15 分) 设二次型
华师大 05年 高等代数
华东师范大学2005年功读硕士研究生入学考试试题考试科目：高等代数一填空，选择，是非题（共15小题，满分60分，每小题4分） 1. 设3阶方阵A 的特征值为2，3，5，则=-E A 2________ 2. 如果α是()x f '''的2重根，则α一定是多项式()x f 的5重根。
3. 设向量组s ααα,...,,21()2≥s 线性相关，且其中任意s-1个向量线性无关，则存在全不为零的数s k k k ,...,,21，使得0...2211=+++s s k k k ααα4. 设1W 与2W 分别是数域K 上8元齐次线性方程组AX=0与BX=0的解空间，如果rankA=3，rankB=2,821K W W =+那么()=⋂21dim W W __________ 5. 实反对称矩阵的非零特征值必为：（A ）正实数（B ）负实数（C ）1或0（D ）纯虚数6. 若三次实系数多项式()x f 恰有一个实根，∆为()x f 的判别式，则 A 。
∆>0 B 。
∆=0 C 。
∆<0 D 。
∆R ∉7. 3阶整系数的行列式等于-1的正交矩阵共有________个8. 设A 是行列式等于-1的正交变换，则________一定是A 的特征值。
9. 排列n n j j j j 121...-与排列121...j j j j n n -具有相同的奇偶性的充要条件是n=____(mod4) 10. 设0r 是数域K 上非齐次线性方程组AX=B 的特解，s ηηη,...,,21是该方程组的导出组的基础解系，则以下命题中错误的是： A ．s r r r r ηηη---020100,...,,,是AX=B 的一组线性无关解向量B ． A X=B 的每个解均可表为s s r ηηη,...,2,,210的线性组合。
C ． s r ηη+++...210是AX=B 的解。
D ．AX=B 的每个解均可表为001020,,,s γγηγηγη+++++ 的线性组合。
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南开大学2005硕士研究生入学考试试题 高等代数注：本解答所需知识均参照高教社出版的由北大代数小组主编由王萼芳、石生明修订的《高等代数》！一、计算下列行列式2n ?,x x x x x x x x x x x x 1x 1x 1x 1112n n1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 222121n 21≥=+++++++++------解：由行列式性质，2n n1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 2221212n n1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 222121n 212n n 1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 222121n 21x x x x x x x x x x x x 111111x x x x x x x x x x x x x x x 111x x x x x x x x x x x x 1x 1x 1x 111------------------+++++++++++++=+++++++++显然，第二式为0，连续运用此性质得()∏≤<≤----------==+++++++++ni j 1j i1n n1n 21n 12n 2221n 212n n 1n n 2n 21n 22n 11n 1n2n 222121n 21a ax x x x x x x x x 111x x x x x x x x x x x x 1x 1x 1x 111二、设齐次线形方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+=++-=++0ex dx bx 0ex cx ax 0dx cx x 0bx ax x 321421431432的一般解以43x ,x 为自由未知量（1） 求 a,b,c,d,e 满足的条件 （2）求齐次线形方程组的基础解系解：由自由变量数为2，可知，方程组系数矩阵的秩为2，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0e d b e 0c a d c 01b a 10的秩为2，又易得系数矩阵变形⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--0e d b e 0c a b a 10d -c -01。
故，可通过初等变换得到⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00000000b a 10d -c -01 ，即，0cb )d (ae 0ac )c (a 0=----=---及,也即ad -bc e =(2)结合上面的讨论，易知基础解系为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10b d ,01a c 及。
三、（1）已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0152095038B ,125231135A 且B XA =，求X=? (2)已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2a a 2b 1B ,211121112A ，且矩阵方程B AX =有解，求a,b,X. 解：（1）令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a X 由B 的第三列均为0知333132232122131112a a 2a ,a a 2a ,a a 2a +=+=+=不妨令111311121112d a a ,d a a ,a a +=+==则有矩阵乘法法则，知()()()()()()⎩⎨⎧=+++-+=+-+++32d a 2d a 33a -82d a 5d a 5a 1111111111，解得1d ,1a 11== ，同理1d ,4a 22==，1d ,7a 33==即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=987654321X（2）将B AX=看成两个方程组11b AX =和22b AX =， 其中()21b b B =，()21X X X =显然11b AX =有解，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a 21121211112-与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---211121112有相同的秩，也即，在⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a 21121211112-经过变形得到的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++a 2112121a 21000中有0a 21=++，得 -3a =同理，22b AX =中有 0b a 2=++，即1b =，对11b AX =中有，基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--13231。
对22b AX =有基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛13834。
综上，有R k ,k ,k k 38k 32k -34k 3k X 21212121∈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=. 四、设()AX X x ,,x ,x fn 21'= 和()BY Y y ,,y ,y g n 21'= 均为实数域上n 元二次型，且存在实数域上n 阶方阵C 和D 使得AC C B BD,D A '='=，证明：()n 21x ,,x ,x f 和()n 21y ,,y ,y g 具有相同的规范形证明：由 乘积的秩不超过各因子的秩，及AC C B BD,D A '='=得，()()B r A r ≤,及()()A r B r ≤，从而()()B r A r =，不妨设p r pE E A M M 00--'=⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，qr qE E B N N 00--'=⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若p q ≠不妨设q p < 则由AC C B BD,D A '='=，得，ND 00E E N D M 00E E M qr qpr p⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-''=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-'-- ，即，()pqqr pr qr q1111E E E E E E M D N NDM NDM NDM 0000----------''''==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦记111213142122232413132333441424344Q Q Q Q Q Q Q Q NDM Q Q Q Q Q Q Q Q -=⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中，()()()()q r q r Q ,p q p q Q ,p p Q 332211-⨯--⨯-⨯为为为 则有，,Q E Q E 11p 11p '= ()()33q r 33q -r 22p q 22p q Q E Q E -,Q E Q E ----'=-'=，从而对()22p q 22p q Q E Q E ---'=得2222p q Q Q E '=--，等式右边 2222Q Q '得到一个半正定矩阵，而左边为一负定矩阵.产生矛盾.从而q p =。
故,这样A 与B 有共同的秩,且具有相同的正惯性指数,即, A 与B 合同，也即，它们合同于同一个形为p r pE E 00--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的对角矩阵.从而，它们具有相同的规范形.也即，()n 21x ,,x ,x f和()n 21y ,,y ,y g 具有相同的规范形.五、设 为数域.已知4P 上两组向量组()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-==6,1,2,33,0,0,12,0,1,11,1,1,16,5,2,23,3,1,12,1,1,01,1,0,143214321ββββαααα试问是否存在4P 上的线形变换A 使()4,3,2,1i ,i i ==βαA 。
解：由题显然有32143214,ββββαααα++=++=，且321,,ααα线性无关，321,,βββ也线性无关. 故可添加一个向量γ，η使得γααα,,,321，ηβββ,,,321均线形无关，可以把γααα,,,321作为一组基，则存在4P 上的线性变换A 使()()ηγβα===A A ,3,2,1i ,i i , ，则由线性变换定义，()()()()()43213213214ββββααααααα=++=++=++=A A A A A 此线性变换满足 ()4,3,2,1i ,i i ==βαA 。
故存在4P 上的线形变换A 使 ()4,3,2,1i ,i i ==βαA六、设V 为数域 上n 维线形空间，A 为V 上线形变换.已知223A A A A ≠=但试问是否存在V 的一组基使A在这组基下的矩阵为对角矩阵？解：不妨设存在这样的一组基，设为n21,,,ααα ，A 在这组基下的矩阵为A ，且1rA 00λλ=⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦()0,,r 1均不为λλ 由284页定理2及223A A A A ≠=但，知，223A A ,A A ≠= 对前式，有32113232r r A A 0000λλλλ===⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故1r 1==λλ ，此时，r i 1,2i i ≤≤=λλ。
从而有2A A=，这与题意矛盾从而不存在V 的一组基使A在这组基下的矩阵为对角矩阵七、设A 为n 阶正定实对称矩阵，βααα,,,,n 21 为n 维欧式空间nR （标准度量）中的n+1个向量.若已知()()()()()()i i j i 10i 1,2,,n ;2A 0i j,i,j 1,2,,n ;3i 12n αααβα'≠==≠== 与正交，，，证明：0=β 证明：定义一组基n 1,,εε ，满足欧式空间的所有条件，且满足内积条件，()ijjia,=εε，ij a 是A 中的元素，并且，设n i 1i i n1x x εεα++= 。
由（2），()()kmkmi j km i j k m i j i j k m k mA a x x ,x x ,0ααεεαα'====∑∑∑∑.从而，n 1,,αα ，两两正交，为一正交向量组，也有它们线形无关，()0,,det j1≠αα .又,()0,,n1=βαα ,从而β=0，问题得证.八、设V 为数域 上n 维线形空间（n ≥1）.证明：必存在V 中一个无穷的向量序列{}∞=1i i α使得{}∞=1i i α中任何n 个向量都是V 的一组基.证明：采用构造法.取n 维线形空间的一组基()()()1,0,,0,,0,,0,1,0,0,,0,1n 21 ===εεε,取另一向量n 11n εεε++=+ ,则显然有从以上n+1向量中选出n 个均可作为n 维线形空间的一组基.同样，依次取向量 ,,3n 2n ++εε使得m n 2m 1m m n ++++++=εεεε 这样得到一个无穷的向量序列{}∞=1i i ε. 下证，从中任选n个，它们均线形无关.从构造中易得，()()()k 12m n h h 1h m 1h m 1,k hn mεεεεε=+++++-+++-=+ 从而不妨任选n21ii i ,,,εεε ，t t t m n h i +=.令1n1i n i x x 0εε++=得()()()[]11n n 1111n n n nx h x h x h m 1x h m 10εε++++-+++-= 从而0h x h x n n 11=+ ,…， （*）()()01m h x 1m h x n n n 111=-+++-+ 又12n12111122n n h h h h 1h 1h m 1h m 1h m 1h m 1++=+-+-+-+-()()()()12n2121n 11n n 1n 1n n 1n 1h h h h h 10h 1h h h m 1h h m 10h m 1-h h ---++-+-+-+---可以证明，对角线上的元素均不为零，从而行列式不为零.也即，方程组（*）仅有平凡解，即0x x n 1===从而它们均线形无关，故问题得证. 北京大学2005 数学专业研究生 高等代数与解析几何 1.设数域K 上的n 级矩阵A 的),(j i 元为j i b a -（1）.求A ;(2).当2≥n 时，2121,b b a a ≠≠.求齐次线性方程组0=AX 的解空间的维数和一个基。