圆人教版九年级数学上册
九年级数学上人教版《圆》教案
《圆》教案
一、教学目标
(一)知识与技能
了解圆的有关基本概念，掌握圆的基本性质，理解垂径定理、弧、弦的关系以及圆心角、弧、弦的关系，并能运用这些性质进行简单的计算。
(二)过程与方法
通过观察、操作、推理、交流等活动，发展学生的空间观念和推理能力，同时培养学生的观察力和动手操作能力。
(三)情感态度和价值观
让学生在学习过程中感受圆在生活中的广泛应用，体会数学的价值，同时培养学生的合作精神和独立思考的习惯。
二、教学重难点
(一)教学重点
1.掌握圆的基本性质，理解垂径定理、弧、弦的关系以及圆心角、弧、弦的
关系。
2.能运用圆的相关性质进行简单的计算。
(二)教学难点
1.理解垂径定理及其推论。
2.理解弧、弦的关系以及圆心角、弧、弦的关系。
3.能运用圆的相关性质解决实际问题。
三、教学准备
教师准备多媒体课件、圆规、直尺等教学工具；学生准备圆规、直尺等学习工具。
四、教学过程
(一)导入新课
教师通过多媒体展示一些与圆有关的图片或动画，引导学生观察并思考：什么是圆？圆有哪些基本性质？如何画出一个标准的圆？……从而引出本节课的主题——圆。
(二)学习新课
1.了解圆的基本概念
教师通过多媒体展示一些与圆有关的图片或动画，引导学生观察并思考：什么是圆？圆有哪些基本性质？如何画出一个标准的圆？……从而引出本节课的主题——圆。
人教版九年级数学上册圆
温馨提示：
对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
人教版九年级数学上册 24.1.1 圆(共29张PPT)
人教版九年级数学上册 24.1.1 圆(共29张PPT)
思考题
求证：矩形的四个顶点在以对角线交点为圆心的圆上。
人教版九年级数学上册 24.1.1 圆(共29张PPT)
问题 圆中最长的弦是什么？为什么？
A
A
C
B
C
B
O C
O
B A
O
D
D
A
A
C
B
B C
O
O
B A
O
C
D
D
【发现】直径是最长的弦
与圆有关的概念
2. (圆)弧：圆上任意两点间的部分.
A O
A B
O
B
半个圆叫做半圆 可见半圆是弧
与圆有关的概念 2. (圆)弧：圆上任意两点间的部分.
AH
C
K
G
如图,弧有:_______A⌒_B___B⌒C
A
B⌒AC ⌒ABC ⌒ACB ⌒BCA它们一样么？
B
O● 劣弧有： A⌒B B⌒C
C
优弧有： A⌒CB B⌒AC
判断：半圆是弧，但弧不一定是半圆.( )
人教版九年级数学上册第二十四章圆知识点总结
第二十四章 圆
24.1 圆
24.1.1 圆
知识点一 圆的定义
圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。第二种：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。
比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。
知识点二 圆的相关概念
（1） 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。
（2） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （3） 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。
（4） 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。
24.1.2 垂直于弦的直径
知识点一 圆的对称性
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
知识点二 垂径定理
（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为CD，AB是弦，且CD⊥AB，
AM=BM
垂足为M AC=BC
AD=BD
D
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
如上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点M，
CD⊥AB
AM=BM AC=BC
AD=BD
注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。
人教版初中数学九年级上册《圆》课件
拓展点
拓展点利用圆的周长和面积解决实际问题
例题 某校计划在校园内修建一座周长为12米的花坛,同学们设计
出正三角形、正方形和圆共三种图案,其中使花坛面积最大的图案
是(
)
A.正三角形 B.正方形
C.圆 D.不能确定
拓展点
解析:根据周长分别求得正三角形、正方形、圆的面积,从而比
较可得到面积最大的是什么形状.当设计成正三角形,则边长是 4 米,
知识点一
知识点二
例3 如图,在☉O中,半径有
有
,弦有
,劣弧有
有
.
,直径
,优弧
解析:根据半径、直径、弦、劣弧和优弧的定义分别求解.
答案:OA,OB,OC,OD AB AB,BC , , , ,
, , ,
知识点一
知识点二
解答这类问题,要注意按照一定的次序分别依次列出,避免漏
定,则不能确定圆;B,2 cm长为半径,圆心不确定,则不能确定圆;C,以
点O为圆心,以5 cm长为半径可确定圆;D,经过点A,则圆心和半径都
不能确定,则不能确定圆.
答案:C
知识点一
知识点二
理解圆的定义并且明确确定圆的两个条件缺一不
可是解答的关键.
知识点一
知识点二
知识点二圆的相关概念
(1)弦和直径:连接圆上任意两点间的线段叫做弦,经过圆心的弦叫
第二十四章圆(完整知识点)人教版九年级数学上册
第二十四章 圆
一、圆的有关概念及表示方法 （一）圆的定义
1、描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。其固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。
2、集合性定义：圆可以看成是所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。 （二）圆的表示方法：以点O 为圆心的圆，记作⨀O ，读作“圆O ”。 （三）圆具有的特性
1、圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）。
2、到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。
注：（1）确定一个圆需要两个因素：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
（2）同一个圆中的所有半径都相等，所以圆上任意两点和圆心[三点不共线(直径)]构成的三角形都是等腰三角形。
（四）圆的有关概念
1、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。以AC 为端点的弦，记作：弦AC 。
注：圆中有无数条弦，其中直径是最长的弦，但弦不一定是直径。
2、弧
2.1圆上任意两点间的部分叫做圆弧、简称弧。以A 、B 为端点的弧记作⨀AB ，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”。
2.2圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于
半圆的弧叫做优弧，如图中的⨀ABC 。小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的⨀AC
。
注：（1）在一个圆中，任意一条弦都对着两条弧，任意一条弧只对着一条弦。
（2）弧包括优弧、劣弧、半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧。
3、同圆或等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。同圆或等圆的半径相等。
最新人教版初中九年级上册数学《圆》精品课件
∴OA=OC=1 AC,OB=OD=1 BD.
又∵AC=BD2，
2
∴OA=OC=OB=OD.
∴A、B、C、D四个点在以点O为
圆心，OA为半径的圆上.
随堂演练
基础巩固
1.下列说法正确的是( ) D A.直径是弦，弦是直径 B.半圆是弧，弧是半圆 C.弦是圆上两点之间的部分 D.半径不是弦，直径是最长的弦
弧都叫做半圆．
劣弧与优弧
小于半圆的弧(如图中的 AC)叫做劣弧． 大于半圆的弧(用三个字母表示，如图中的ABC )叫做优弧．
B
O
A
C
在同圆或等圆 中，能重合的弧 叫等弧．
典例解析
例1 矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.求证：A、 B、C、D四个点在以点O为圆心的圆上.
证明：∵四边形ABCD为矩形，
形成性定义(动态)：在一个平面内，线段 OA 绕它 固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图 形叫做圆．
集合性定义(静态)：圆心为 O、 半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合．
战国时的《墨经》 就有“圆,一中同长也” 的记载.它的意思是圆 上各点到圆心的距离都 等于半径.
24.1 圆的有关性质 24.1.1 圆
R·九年级上册
圆
新课导入
这些图片中都
有哪种图形？
九年级数学上册(人教版)第二十四章《圆》课件
O
2023/1/4
二. 圆的基本性质 1.圆的对称性: (1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直 线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴. (2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转 任何一个角度都能与自身重合,即圆具 有旋转不变性.
．
2023/1/4
2.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:
个量，如图有：
a
h
2
⑴d + h = r
d
O
⑵ r2 d 2 (a)2 2
2023/1/4
4.圆周角:
定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的 角，叫做圆周角. 性质:(1)在同一个圆中,同弧所对的圆周 角等于它所对的圆心角的一半.
A O
C
∠BAC=
1 ∠BOC
2
B
2023/1/4
圆周角的性质(2)
2023/1/4
6.如图,AB是圆O的直径,AD,BC,DC均 为切线,则:
A
D
E O
(1)DC=AD+BC (2) ∠DOC=900
C B
2023/1/4
专题一：与圆有关的辅助线的作法：
辅助线， 莫乱添，
弦与弦心距， 亲密紧相连；
规律方法记心间；
圆半径，
切点和圆心，
不起眼，
连结要领先；
角的计算常要连， 遇到直径想直角，
人教版九年级初中数学上册第二十四章圆PPT课件
O·
O·
A
B A
新知探究
与圆有关的概念（优弧和劣弧）
小于半圆的弧（如图中的
⌒ AC
）叫做劣弧；
⌒ 大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的 ABC
）叫做优弧.
O·
A
B
【注意】 1）弧分为是优弧、劣弧、半圆。 2）已知弧的两个起点，不能判断它是优弧还是
C
劣弧，需分情况讨论。
与圆有关的概念
新知探究
能够重合的两个圆是等圆。
课堂练习
3．如图，在 中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（ B ）
条弦．
A.2
B.3
C.4
D.5
【详解】 解：图中的弦有AE、AD、CD这3条
课堂练习
4．如图，半径为1的圆从表示1的点开始沿着数轴向左滚动一周，圆上的点A与表示1
的点重合，滚动一周后到达点B，点B表示的数是（ B ）
A．﹣2π
B．1﹣2π
C．﹣π D．1﹣π
【详解】 解：∵直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向左滚 动一周， ∴AB之间的距离为圆的周长＝2π，A点在数轴上表示 1的点的左边． ∴A点对应的数是1﹣2π． 故选：B．
第二十四章 圆
课程结束
人教版九年级（初中）数学上册 授课老师：XX
B
➢ 经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
人教版九年级数学上册《圆》教案
人教版九年级数学上册《圆》教案圆》教案研究目标：
1.感受并发现圆的有关特征，理解圆的圆心、半径和直径
等概念。
2.进一步积累认识图形的研究经验，培养学生的观察能力、动手操作能力、抽象概括能力和合作交流能力，增强空间观念，发展数学思考。
3.体验圆与生活的联系，从数学的角度感受圆的美，激发
学生数学研究的热情和兴趣。
教学过程：
一、情境引入
前段时间我们研究了图形的旋转，图形的旋转创造了生活中的许多美。思考：圆绕其圆心旋转任何度数都能和自身重合吗？圆是一种基本的几何图形，圆形物体在生活中随处可见。展示图片（生活中的圆）。
这一节课我们一起研究“圆”。
二、学生自学
组织学生自学，并要求学生完成自学提纲里的问题。自学提纲为：
1.请同学们阅读课本练前的内容，并思考：
①观察画圆的过程，你能概括出圆的定义吗？②圆的图形符号怎样来表示？③确定一个圆需要哪两个要素？
2.从集合的角度怎样定义圆？车轮为什么做成圆形的？
3.理解圆的相关概念：弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧。注意区别优弧和劣弧。
三、检查自学效果
请学生回答自学提纲中的问题，检测学生是否真正理解这些知识点，再组织学生进行评价并纠错。在学生回答的过程中，老师把主要知识点在黑板上予以呈现，部分答案利用多媒体展示。
四、学以致用
想一想：通过七道题，先让学生独立思考，然后请学生汇报结果，再请学生评价并纠错，最后归纳解题方法。老师适时做以引导，方法上的总结。
1.判断下列说法的正误：
1）弦是直径；（）（2）半圆是弧；（）（3）过圆心的线段是直径；（）（4）过圆心的直线是直径；（）（5）半
人教版九年级数学上册第二十四章《圆》课件
为了使游戏公平， 在目标周围围成一个圆排队， 因为圆上各点到圆心的距离都等于半径.
乙 甲
丙 丁
问题 观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？
圆的旋转定义
A
在一个平面内，线段OA绕它固定的
一个端点O旋转一周，另一个端点所
r
形成的图形叫做圆．以点O为圆心的
·
圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.
O
有关概念
（2）图中有 一 条直径， 二 条非直径的弦，
D
圆中以A为一个端点的优弧有 四 条，
A
劣弧有 四 条．
E O
B
C
2.一点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远的距离为F
10cm, 则这个圆的半径是 7cm或3cm .
3.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例. (1)弦是直径；
(2)半圆是弧； (3)过圆心的线段是直径； (4)过圆心的直线是直径； (5)半圆是最长的弧； (6)直径是最长的弦； (7)长度相等的弧是等弧.
B
以A、B为端点的弧记作 AB ，读作“圆
·O
弧AB”或“弧AB”．
➢半圆
A
C
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成
两条弧，每一条弧都叫做半圆．
B
➢劣弧与优弧
·O
小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的AC ;
A
新人教版九年级上册数学[《圆》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)
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新人教版九年级上册数学[《圆》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基
础)
1)相交圆的位置关系：两圆相交于两点，相切于一点，相离于两点.
2)内切圆和外切圆的位置关系：内切圆和外切圆的切点在圆心连线上，内切圆和外切圆的圆心连线垂直于切点所在的直线.
要点诠释：
在解决两圆位置关系问题时，需要注意圆心的位置关系，切点的位置关系以及圆心连线与切点所在直线的垂直关系.
要点二、切线及其性质
1．切线的定义：过圆上一点，且与圆相交于该点的直线叫做圆的切线.
2．切线的性质：
1)切线与半径的关系：切线与过切点的圆的半径垂直.
2)切线定理：切线与半径的关系可以推出切线定理：过圆外一点作圆的切线，切点与此点的连线垂直于切线.
3)切线的判定方法：切线与圆的位置关系可以通过勾股定理、切线定理和判别式来进行判定.
要点诠释：
切线是圆的一个重要性质，切线定理是判定切线的重要工具，切线的判定方法可以根据具体情况选择不同的方法.
要点三、圆的面积和弧长
1．圆的面积公式：S=πr².
2．弧长公式：L=αr(α为圆心角的度数).
3．扇形的面积公式：S=(α/360°)πr².
要点诠释：
圆的面积公式和弧长公式是圆的基本公式，扇形的面积公式可以通过弧长公式和圆的面积公式来推导得出.
要点四、圆锥的侧面积和全面积
1．圆锥的侧面积公式：S=πrl.
2．圆锥的全面积公式：S=πr(l+r).
要点诠释：
圆锥的侧面积公式和全面积公式是圆锥的基本公式，其中l为斜高，r为底面半径.
1) 两个圆是轴对称图形，其对称轴是连接两圆心的直线。
2) 相交的两个圆的连心线垂直平分它们的公共弦，相切的两个圆的连心线经过切点。
教学机构人教版九年级数学上册《圆》ppt课件
第一页，共三十页。
学习目(Mu) 标
1.认识圆，理解圆的本质属性.（重点(Dian)）
2.认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、 等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系. （难点）
3.初步了解点与圆的位置关系.
第二页，共三十页。
导(Dao)入新课
观(Guan)察与
讲授新(Xin)课
一 探究圆的概念
合作探究
情景(Jing)：一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排 开．这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当 排成什么样的队形？
第七页，共三十页。
为了使游戏公平， 在目标周围围成一个圆排队，
因为圆上各点到圆心的距离都等于半径.
乙
甲
(Jia)
丙
(Bing)
丁
有间wenku.baidu.com吗？
圆可以看成到定满(足Ding什)点么距(M离e)条等件于的定？(Ding)长的所有点组成
的.
第十二页，共三十页。
想一想：从画圆的过程可以看出什么呢？
（1）圆上各点到(Dao)定点（圆心O）的距离都等于 定长．r （2）到定点的距离等于定长的点都在 同一个圆．上
圆的集合定义
圆心为O、半径为r的圆可以 看成是所有到定点O的距离等(Deng) 于定长r的点的集合．
观察思下考列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形.
人教版九年级数学上册圆课件
人教版九年级数学上册圆课件
2． 判断下列说法的正误：
(1)弦是直径； × (2)半圆是弧； √ (3)过圆心的线段是直径； × (4)过圆心的直线是直径； × (5)半圆是最长的弧； × (6)直径是最长的弦； √ (7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆; × (8)半径相等的两个圆是等圆．√
人教版九年级数学上册圆课件
圆心、半径
固定的端点O叫做圆心（center of acircle）． 线段OA叫做半径（radius），一般用r表示． 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆 O”．
O1
O2
人教版九年级数学上册圆课件
人教版九年级数学上册圆课件
圆的特点
O
A
（1）图上各点到定点（圆心O）的 距离都等于定长（半径 r ）．
（2）到定点的距离等于定长的点 都在同一个圆上．
人教版九年级数学上册圆课件
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圆的新定义 静态定义 圆心为O，半径为r的圆是所有到定点 O的距离等于定长 r 的点的集合．
人教版九年级数学上册圆课件
人教版九年级数学上册圆课件
动态：在一个平面内，线段OA绕它固定的一 个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图 形叫做圆． 静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有 到定点O的距离等于定长r 的点组成的图形．
人教版九年级数学上册圆课件
九年级数学上人教版《圆》教学反思
《圆》教学反思
《圆》是九年级数学上册的重要内容，它不仅涉及到的概念较多，而且比较抽象，对于学生来说可能有一定的难度。以下是我对《圆》这一章的教学反思：
一、概念教学应注重实际应用
在《圆》这一章中，涉及到的概念较多，如圆、弦、直径、半径、弧等。我在教学过程中，通过让学生观察生活中的圆，引出圆的概念，让学生通过实际操作和观察，自主总结出圆的基本性质，从而加深对圆的理解。同时，在讲解弦、直径、半径等概念时，也注重通过实例进行讲解，让学生在实际应用中掌握这些概念。
二、性质教学应注重推理过程
在讲解圆的相关性质时，我注重让学生经历性质推理的过程，让学生在探究中掌握性质，而不是简单地记忆结论。例如，在讲解垂径定理时，我通过让学生观察、猜想、验证等步骤，让学生理解垂径定理的内容及其推理过程，从而更好地应用这些性质解决问题。
三、应注重学生的参与和合作
在教学过程中，我注重学生的参与和合作，通过小组讨论、集体交流等方式，让学生自主探究问题，并在合作中互相学习、互相帮助。例如，在讲解圆心角、弧、弦的关系时，我让学生通过小组讨论的方式，自主探究这些量之间的关系，并通过集体交流的方式，让学生分享自己的探究成果，从而加深对这一性质的理解和应用。
四、应注重教学方式的多样性和趣味性
在教学过程中，我注重教学方式的多样性和趣味性，通过多媒体演示、实物展示、游戏互动等方式，让学生更加生动地了解圆的相关知识。例如，在讲解圆的定义时，我通过多媒体演示的方式，让学生了解圆的定义和画法；在讲解圆的相关性质时，我通过实物展示的方式，让学生更加直观地了解这些性质的实际应用。同时，在教学过程中，我也注重通过游戏互动的方式，让学生更加积极地参与到学习中来，增强学习的趣味性。
人教版九年级数学上册 (圆)教学课件课件
(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.
因此，圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r的点的集合.
三 新知应用
讲一讲
例1:矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.求证：A， B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.
（A ）
D．GH
2．如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点
B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有( B )
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
3．半径为5的圆的一条弦长不可能是( D )
A．3 B．5 C．10 D．12
4．已知⊙O的直径为10cm，则⊙O的弦不可能是（ D ）
A．4cm B．5cm C．9cm D．12cm
1 ③如图 3，把 AB 分成四条相等的线段，每个小圆的周长 l4＝____4_l ___；
1 ④把 AB 分成 n 条相等的线段，每个小圆的周长 ln＝___n_l____. 结论：把大圆的直径分成 n 条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那
1 么每个小圆周长是大圆周长的___n_____.
形成的图形叫做圆．其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． ● 注意：确定一个圆取决于两个因素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半 径确定圆的大小．
人教版数学九年级上册第二十四章《圆》知识点及练习题(附答案)
《圆》章节知识点复习和练习附参考答案
一、圆的概念
集合形式的概念： 1 、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
（补充） 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内 d r点 C 在圆内；A d
2、点在圆上 d r点 B 在圆上；
r
B
O
3、点在圆外 d r点 A 在圆外；
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离d r无交点；
2、直线与圆相切d r有一个交点；
3、直线与圆相交d r有两个交点；
r
d d=r
四、圆与圆的位置关系
d
C r d
外离（图1）无交点
外切（图2）有一个交点相交（图3）有两个交点内切（图4）有一个交点内含（图5）无交点d R r；
d R r；
R r d R r ；
d R r ；
d R r ；
d d d R r R r R r 图 1图 2图 3
d d r
R r
R
图4图5
五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论 1：（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
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既然它们是重合的，因此我们也时D常认为同圆是“同一个圆”.
换句话说仅当作一个圆看待
同时我们还知道了在等圆中考虑问题，和在同圆中考虑问题， 往往效果是一样的.
确定一个圆的要素是什么？
一是圆心，圆心确定其位置， 二是半径，半径确定其大小．
与圆有关的概念
1. 弦： 连接圆上任意两点的线段.
A
B
特殊化
A
24.1.1 圆
圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象.
r
想一想，动手画圆 如果没有圆规，你还会画圆吗？
圆的定义
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个 端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做 圆．
A
固定的端点O叫做圆心
r
线段OA叫做半径一般用r表示．
O·
以点O为圆心的圆，记作
A
C “等弧”要区别于“长度相等的弧”
结论：等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.
判断下列说法的正误：
(1)弦是直径；( )
(2)半圆是弧； (
)
(3)过圆心的线段是直径； ( )
(4)过圆心的直线是直径；( )
(5)半圆是最长的弧；( )
(6)直径是最长的弦；( ) (7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心 圆;( )
车轮为什么做成圆形的？
试想一下，如果车轮 不是圆的（比如三角 形或正方形的），坐 车的人会是什么感觉？
圆形车轮为什么平稳? 归纳总结
把车轮做成圆形，车轮上各 点到车轮中心（圆心）的距离都 等于车轮的半径，当车轮在平面 上滚动时，车轮中心与平面的距 离保持不变，因此，当车辆在平 坦的路上行驶时，坐车的人会感 到非常平稳，这就是车轮都做成 圆形的数学道理。
B
C
又∵AC=BD ∴OA=OB=OC=OD
∴A、B、C、D在以O为圆心以OA为半径的圆上。
练一练
7、如图,一根
5m长的绳子,
一端栓在柱子
上,另一端栓着
一只羊,请画出
羊的活动区域.
5
5m
4m o
5m
4m o
(8)半径相等的两个圆是等圆.( )
A
4.如图,半径有:
B
O●
O_A_、OB、_O_C_
弦有:_A_B、BC、AC__
C
若∠AOB=60°，
则△AOB是_等__边__三角形.
如图(1)直径是___A__B__;
P
(2)弦是___C_D__、__D_K_、__A_B; E
. (3) PQ是直径吗?__不__是__; G O
O
经过圆心的弦
O
B
弦AB
“直径”和“弦” 有什么关系？
直径AB
【发现】直径是特殊的弦.
问题 圆中最长的弦是什么？为什么？
A
A
C
B
C
B
O C
O
B A
O
D
D
A
A
C
B
B C
O
O
B A
O
C
D
D
【发现】直径是最长的弦
与圆有关的概念
2. (圆)弧：圆上任意两点间的部分.
A O
A B
O
B
半个圆叫做半圆 可见半圆是弧
B
D 直长度都是10cm，平移并调 整小圆的位置，是否能使这两
条弧完全重合？
A C
与圆有关的概念
3.等弧：同圆或等圆中能够完全重合的弧是等弧.
︵︵
如图，如果AB和CD的拉直长度都
Dwenku.baidu.com是10cm，平移并调整小圆的位置，
B
是否能使这两条弧完全重合？
可见这两条弧不可能完全重合
实际上，这两条弧弯曲程度不同
与圆有关的概念 2. (圆)弧：圆上任意两点间的部分.
特殊化
(其中线段AB是直径)
C 半圆
【发现】弧可分为： 劣弧，半圆，优弧.
与圆有关的概念
3.等弧：同圆或等圆中能够完全重合的弧是等弧.
A
B
A
B
C
D
同圆中
︵︵
AB = CD
等圆中
与圆有关的概念
3.等弧：同圆或等圆中能够完全重合的弧是等弧.
︵︵ 如图，如果AB和CD的拉
径.AD与BC平行吗?说说你的理 由.四边形ACBD是矩形么?为什 么?
温馨提示：
对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
思考题
求证：矩形的四个顶点在以对角线交点为圆心的圆上。
已知：矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O。
求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上。
A
D 证明：∵ABCD是矩形
O
∴AO=OC；OB=OD；
“⊙O”，读作“圆O”．
圆的特点
（1）圆上各点到定点（圆心O）
O
的距离都等于定长（半径 r ）．A （2）到定点的距离等于定长的
点都在同一个圆上．
圆的新定义（静态定义）
圆心为O，半径为r的圆是所有到定点O 的距离等于定长 r 的点的集合．
• o
同一个圆内，半径有无数条，长度都相等.
议一议、说一说
FB
(4)线段EF、GH 是弦吗？___不__是__.
AH
C
K
G
如图,弧有:_______A⌒_B___B⌒C
A
B⌒AC ⌒ABC ⌒ACB ⌒BCA它们一样么？
B
O● 劣弧有： A⌒B B⌒C
C
优弧有： A⌒CB B⌒AC
判断：半圆是弧，但弧不一定是半圆.( )
思考
思考:在⊙O中,AB、CD是直
依据：圆上的点到圆心的距离是 一个定值
同心圆 圆心相同，半径不等的一组圆.
A
B
O C
等圆 圆心不同，半径相等.
A
B
O1
O2
同圆1 同圆2
O1A=O2B
同圆 圆心相同，半径也相等.
如果把这幅 图看作由多 个等圆叠合 而成，那么 这些圆……
G
A
F O
E
从侧面并拉 B 开一点看看
^_^
原本是叠合的
C