扭转1
扭转习题1
mB
mA
mC
n
（b）
B
A
C
3
解：1.由功率与转速关系计算外力偶矩：
MA
9550 PA n
9550 36 200
1719(N m)
MB 9550 PB 9550 22 1050(N m)
n
200
MC 9550 PC 9550 14 669(N m)
（2）1－1截面的最大剪应力
（3）轴AB的最大剪应力
1 mC=0.2kNm
mB=0.1kNm
φ50 φ40
A
1D
mA=0.3kNm
解：画扭矩图
T
0.3kNm
＋
C
B
0.1kNm
＋
x
8
(1)在AD段上，D1=50mm，T1=300N.m
Ip1=0.1D14=0.1 ×504 ＝6.25×105
当ρ＝20mm 时 ，
＝
T1 I1
300 6.25105
20＝0.9610－2（Mpa)
（2）在AD段上，R1=25mm
m ax1
T1 Ip1
R1
300 6.25105
25 1.2102 (Mpa)
(3)在DC段上， T1=300N.m， D2=40mm ，R2=20mm
Ip2=0.1D24=0.1 ×404 ＝2.56×105
14
6--28实心圆轴如图所示，已知输出扭矩MB=MC=1.64kN.m； MD=2.18kN.m，材料G=80Mpa，【τ】=40Mpa，【θ】=1。/m。 （1）求输入扭矩MA；
（2）试设计轴的直径；
材料力学-扭转1ppt课件
横截面上 —
max
T IP
max
IP
T
max
T WP
Ip—截面的极惯性矩，单位：m4 , mm 4
WP
Ip
max
WP —抗扭截面模量，单位：m3, mm3.
整个圆轴上——等直杆：
max
Tm a x WP
三、公式的使用条件： 1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
30
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
d
dx
d / dx－扭转角变化率
二）物理关系：
弹性范围内 max P
G → G
G
d
dx
方向垂直于半径。
28
三）静力关系：
T A dA
T A dA
G d 2dA dx A
I p
2dA
A
Ip
横截面对形心的极惯性矩
T
GI p
d
dxp
29
二、圆轴中τmax的确定
结论：
横截面上 0, 0 0 0
根据对称性可知剪应力沿圆周均匀分布；
t D, 可认为剪应力沿壁厚均匀分布,
且方向垂直于其半径方向。
t
D
20
3、剪应力的计算公式：
T
AdA.r0
2 0
r0
2td
r02t2
d
T
2r0 2t
薄壁圆筒横截面上的剪应力计算式
21
二、关于剪应力的若干重要性质
例题： 1、一传动轴作200r／min的匀速转动，轴上装有五个轮子。 主动轮2输入的功率为60kW，从动轮1、3、4、5依次输出的 功率为18kW、12kW、22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。
第一或第二振型为扭转的调整方法
第一或第二振型为扭转的调整方法的第一或第二振动模式是扭转的调整方法。
1)SATWE程序中的振动模式按周期长度排序。
2)结构的第一和第二振动模式应该是平移的，扭转周期应该出现在第三振动模式及其之后。
见抗震规范第3.5.3条第3款和“结构在两个主轴方向上的动力特性(周期和振型)应相似”的规定；《高规范》第7.1.1条规定，“在地震结构中？？使两个方向的刚度接近是合适的”；《高规》第8.1.7条第7款规定:“在抗震设计中，剪力墙的布置应使每个主轴的横向刚度接近。
”3)结构的刚度(包括横向刚度和扭转刚度)与相应的周期成反比，即刚度越大，周期越小，刚度越小，周期越大。
4)抗侧力构件对结构扭转刚度的贡献与距结构刚性中心的距离成正比，结构外围的抗侧力构件对结构扭转刚度的贡献最大5)当第一振动模式为扭转时，表明结构扭转刚度相对于其两个主轴(第二振动模式角度方向和第三振动模式角度方向通常靠近X轴和Y 轴)的横向位移太小。
此时，适当地加强沿着两个主轴的结构外围的刚性或者适当地削弱沿着两个主轴的结构内部的刚性是合适的。
6)当第二振动模式为扭转时，表明结构沿两个主轴的横向刚度差异很大，结构的扭转刚度相对于其中一个主轴的横向刚度是合理的(第一振动模式的转角方向)；然而，相对于另一主轴的横向刚度(在第三模式角度的方向上)太小。
此时，适当削弱结构内部“第三模式角方向”的刚度或适当加强结构外围的刚度(主要是第一模式角方向)是合适的7)当主轴方向层间位移角小于极限值时(见《高规》表4.6.3，下同)，主轴方向应采用“加强结构外围刚度”的方法。
当主轴方向层间位移角大于极限值时，主轴方向应采用“削弱结构内部刚度”的方法。
当主轴方向的层间位移角接近极限值时，主轴方向应同时采用“加强结构外围刚度”和“削弱结构内部刚度”的方法。
8)在进行上述调整时，应注意使循环比符合《高等法规》第4.3.5条的要求。
9)当第一振型为扭转时，周期比肯定不符合规范要求；当第二振动模式为扭转时，周期难以满足规范要求。
一、扭转变形(相对扭转角)
rad m ——单位长度的扭转角
# 图示阶梯圆杆，如各段材料 也不同，AB 两截面的相对扭转角 为：
AB
n
i 1
MT ni li n GI pi
3
# 图示等直圆杆受分布扭矩 t
作用，t 的单位为 N m m。
从中取 dx 段，dx 段两相邻截面 的扭转角为：
d MTn x dx
GI p
sin 2 cos 2
sin2 ; cos2
分析：
1 ) max , min :
450 , max ;
450 , min ; 2 ) max :
45°
0 , max ; 横截面上！
´
结论：
若材料抗剪切能力差，构件沿横截面发生破坏(塑性材料）；
[ ]=60 MPa，G＝8×104 MPa，轴的许用单位长度扭转角为 [θ]＝2°/m，试校核该轴的强度和刚度。
解（1）作出扭矩图
（2）强度校核 由于AC 段和BD 段的直径不相 同，横截面上的扭矩也不相同，因 此，对于AC 段轴和BD 段轴的强度 都要进行校核。
0.62 kN•m
1.43 kN•m
试校核此杆的刚度，并求右端面相对于左端面的转角。
1
D
16Tm a x
（1 4）[
]
3
L-x
代入数值得：D 0.0226m。
T 40
刚度足够
3. 由扭转刚度条件校核刚度
x
max
Tm a x GI P
180
32 40 180
80 109 2D4 (1 4 )
1.89 / m
例 长 L=2 m的圆杆受均布力偶 m=20 Nm/m的作用，杆的内外径之比为
材力讲稿第3章扭转1-2
内外径之比
Wp =
Ip D/2
=
π
16
D 3 (1 − α 4 )
扭 转/圆轴扭转时的应力和变形
Tρ τ ρ = Gρθ = Ip
T
由两种不同材料组成的圆轴， 讨论 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材 料的剪切弹性模量分别为G 料的剪切弹性模量分别为 1和G2，且G1＝2G2。圆轴 尺寸如图中所示。 尺寸如图中所示。 圆轴受扭时， 外层之间无相对滑动。 圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于 横截面上的切应力分布，有图中( 、 横截面上的切应力分布，有图中(A)、(B)、(C)、(D) 、 、 所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。 所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。
T
扭 转/圆轴扭转时的应力和变形 观察到的变形现象 （1）A ） B C D A B C ∴横截面上存在切应力！ 横截面上存在切应力！ D
（2）圆周线大小、位置、形状、间距保持不变，绕轴线产生相 圆周线大小、位置、形状、间距保持不变， 对转动。 对转动。 ∴横截面上不存在正应力！ 横截面上不存在正应力！
薄壁圆轴的扭转 扭 转/薄壁圆轴的扭转
薄壁圆轴两端截面之间相对 转动的角位移， 转动的角位移，称为 相对扭
m
A B
γ
D C
m
ϕ
转角 ，用ϕ 表示。 表示。
薄壁圆轴表面上每个格子的直 角的改变量，称为 切应变。 角的改变量， 用 γ 表示 。
(c)
A D
横截面上没有正应力，只有切应力。 横截面上没有正应力，只有切应力。 且横截面上的切应力的方向是沿着 B 圆周的切线方向， 圆周的切线方向，并设沿壁厚方向 是均匀分布的(壁厚较小 。 是均匀分布的 壁厚较小)。 壁厚较小
扭转角公式(一)
扭转角公式(一)扭转角公式什么是扭转角公式？扭转角公式是用来计算两条直线之间的扭转角的数学公式。
它在几何学和物理学中非常常见，被广泛应用于各种领域。
扭转角公式的公式表达式扭转角公式的一般表达式如下：θ = arccos((a·b) / (|a|·|b|))其中，θ代表两条直线之间的扭转角，a和b分别是两条直线的方向向量。
·表示向量的点积，|a|表示向量a的模。
扭转角公式的解释扭转角公式用于计算两条直线之间的夹角，其基本思想是计算两条直线方向向量的夹角。
当两条直线的方向相同时，夹角为0度；当两条直线的方向完全相反时，夹角为180度。
以三维空间为例，假设有两条直线a和b，它们的方向向量分别为a = (1, 0, 0)和b = (0, 1, 0)。
根据扭转角公式，我们可以计算出它们之间的夹角θ。
θ = arccos((1·0 + 0·1 + 0·0) / (sqrt(1^2+0^2+0^2)·s qrt(0^2+1^2+0^2)))= arccos(0 / (1·1))= arccos(0)= 90°所以，直线a和直线b之间的夹角θ为90度。
扭转角公式的应用举例1. 机械工程中的轴扭转角计算在机械工程中，轴的扭转角是一个非常重要的参数。
通过扭转角公式，可以计算出轴在旋转过程中的扭转程度，从而为该设计提供参考依据。
2. 电子游戏中的摄像机跟踪角度计算在电子游戏中，摄像机通常会跟踪某个对象或角色。
通过计算摄像机与目标之间的扭转角，可以确定摄像机应该以何种角度跟踪目标，从而提供更好的游戏体验。
3. 导航系统中的车辆与目标之间的角度计算在导航系统中，需要计算车辆与目标之间的夹角，从而确定车辆应该如何转向以达到目标。
扭转角公式可以用于计算这种夹角，提供导航系统更准确的指引。
总结扭转角公式是一种用于计算两条直线之间夹角的数学公式。
昆明理工大学材料力学1-14概念答案
。根据这连一续假性设假构设件的
、
和 应力就可以应用变坐标的连变续形函等数来表示。
1.11 填题 1.11 图所示结构中，杆 1 发生 拉伸 变形， 杆 2 发生 压缩 变形，杆 3 发生 弯曲 变形。
F
1
3
1.12 下图 (a)、(b)、(c)分别为构件内某点处取出的单元体，变形
2
后情况如虚线所示，则单元体(a)的切应变γ＝ 2α ；单元体 (b)的切应变γ＝ α-β ；单元体(c)的切应变γ＝ 0 。
(×)
F
F
F
F
F
F
钢
木
钢
2.10 图示杆件受轴向力 FN 的作用，C、D、E 为杆件 AB 的三个等分点。在杆件变形过程中，
此三点的位移相等。
(×)
A
C
D
E
B
F
2.11 对于塑性材料和脆性材料，在确定许用应力时，有相同的考虑。 2.12 连接件产生的挤压应力与轴向压杆产生的压应力是不相同的。 二、填空题 2.1 轴力的正负规定为 拉力为正，压力为负
5
材料力学 练习册 80 学时
昆明理工大学
专业
学号
姓名
日期
评分
面积A= lb ，切应力τ＝ F/2lb ；挤压面积Abs=δb ，挤压应力σbs= F/2δb 。
2.15 挤压应力与压杆中的压应力有何不同 挤压应力作用在构件的外表面，一般不是均匀分
布；压杆中的压应力作用在杆的横截面上且均匀分布
。
2.16 图示两钢板钢号相同，通过铆钉连接，钉与板的钢号不同。对铆接头的强度计算应
正确答案是 C 。
选题 1.2 图
1.3 等截面直杆其支承和受力如图所示。关于其轴线在变形后的位置（图中虚线所示），有
9-1扭转习题
0 lBC GIP GIP
2lAB
取mx Tmax 110N m ,
IP
32
24
108
1.57 108 m4
AC
110 0.2 80109 1.57 108
(1
100 ) 2 200
0.0219rad
1.25
4.图（a)所示传动轴的转速n为200r/min，从主动轮上输 入功率kW，由从动轮1、3、4及5输出的功率分别为10kW、
32
mxb d
d 4 / 32
a
d
mxax
A
B
2d
A
mxb
x
B
答案： 1/8
l
（a）
l （b）
4.多边形截面棱柱受扭转力偶作用，根据（ ）定理可
以证明其横截面角点上的剪应力为（ ）。
答案： 剪应力互等，零。
二、选择
1.空心圆轴外径为D，内径为d，在计算最大剪应力时需要确定抗扭
截面系数WWtp，, 以下正确的是（ ）。
max
Tmax
G d4
180
32
d
4
32 2149180
81109 2 0.5
7.5102 m=75mm
综上述所以取d 75mm
5. 如图(a)所示，实心轴和空心轴通过牙式离合器 连接在一起。已知轴的转速n＝100r/min，传递的
功率P＝ 7.5kW，材料的许用切应力 40MPa。试
答案：
3.应用公式 =T/IP计算扭转剪应力的基本条件是等截面
直圆杆，最大剪应力不超过材料的剪切比例极限。 （ ）
第一或第二振型为扭转的调整方法
第一或第二振型为扭转时的调整方法1）SATWE程序中的振型是以其周期的长短排序的。
2）结构的第一、第二振型宜为平动，扭转周期宜出现在第三振型及以后。
见抗规3.5.3条3款及条文说明“结构在两个主轴方向的动力特性（周期和振型）宜相近”；高规7.1.1条条文说明“在抗震结构中……宜使两个方向的刚度接近”；高规8.1.7条7款“抗震设计时，剪力墙的布置宜使各主轴方向的侧移刚度接近”。
3）结构的刚度（包括侧移刚度和扭转刚度）与对应周期成反比关系，即刚度越大周期越小，刚度越小周期越大。
4）抗侧力构件对结构扭转刚度的贡献与其距结构刚心的距离成正比关系，结构外围的抗侧力构件对结构的扭转刚度贡献最大。
5）当第一振型为扭转时，说明结构的扭转刚度相对于其两个主轴（第二振型转角方向和第三振型转角方向，一般都靠近X轴和Y轴）的侧移刚度过小，此时宜沿两主轴适当加强结构外围的刚度，或沿两主轴适当削弱结构内部的刚度。
6）当第二振型为扭转时，说明结构沿两个主轴方向的侧移刚度相差较大，结构的扭转刚度相对其中一主轴（第一振型转角方向）的侧移刚度是合理的；但相对于另一主轴（第三振型转角方向）的侧移刚度则过小，此时宜适当削弱结构内部沿“第三振型转角方向”的刚度，或适当加强结构外围（主要是沿第一振型转角方向）的刚度。
7）某主轴方向的层间位移角小于限值（见高规表4.6.3，下同）较多时，对该主轴方向宜采用“加强结构外围刚度”的方法；某主轴方向的层间位移角大于限值较多时，对该主轴方向宜采用“削弱结构内部刚度”的方法；某主轴方向的层间位移角接近限值时，对该主轴方向宜同时采用“加强结构外围刚度”和“削弱结构内部刚度”的方法。
8）在进行上述调整的同时，应注意使周期比满足高规4.3.5条的要求。
9）当第一振型为扭转时，周期比肯定不满足规范的要求；当第二振型为扭转时，周期比较难满足规范的要求。
【答1】简单的说，当扭转周期不在第一周期时，就是有一个轴的平面刚度超过了扭转刚度。
材料力学-扭转1精选ppt
§5-1 扭转概念和工程实例 §5-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §5-3 纯剪切 §5-4 圆轴扭转时横截面上的应力 §5-5 扭转变形 扭转强度和刚度计算 §5-6 扭转静不定问题 §5-7 矩形截面杆的自由扭转
.
§5-1 扭转概念和工程实例
一、扭转的工程实例 1、螺丝刀杆工作时受扭。
.
二、扭转杆件的内力——扭矩及扭矩图
圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号T 表示。
1、扭转杆件的内力（截面法）
m
m
左段：
m x
0,
T m0
T m
右段：
m x
0,
mT 0
T m
m
Tx
T
m
x
内力偶矩——扭矩 T .
2、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
+
T
T
-
.
.
3、内力图（扭矩图） 扭矩图作法：同轴力图：
阻抗力偶
Me
主动力偶
.
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
.
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
.
3、机器中的传动轴工作时受扭。
汽车传.动轴
4、汽车离合器连接时受扭。
.
5、扳手卸轮胎
.
二、扭转的概念
受力特点：杆两端作用着大小相等、转向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于杆的轴线。
阻抗力偶
Me
主动力偶
负号说明与假设方向相反。
.
（三）绘扭矩图。
扭矩图
.
§5-3 纯剪切
薄壁圆筒轴的扭转
一、薄壁圆筒横截面上的应力
(壁厚
t
1 10
第一周期扭转周期
刚入行自己的理解如下正好和前人有相同之处不足不对的额地方请大家指教扭转系数和平动系数加起来为一，第一个扭转系数超过50%，也就是0.5以上的，就可以认为是以扭转为主的周期，平动也是这样平动系数中须X或Y方向任一方向大于0。
5，则视为平动；若平动系数中X或Y方向无任一方向大于0。
5，则视为扭转；我也是这样理解这样做的。
PKPM软件如何判断扭转周期昨天，有一个纯剪力墙结构的工程问过来，透露一个小技巧——如何判断“纯”扭转周期。
周期、地震力与振型输出文件(侧刚分析方法)===================================================================== 考虑扭转耦联时的振动周期(秒)、X,Y 方向的平动系数、扭转系数振型号周期转角平动系数 (X+Y) 扭转系数1 1.4675 88.39 0.61 ( 0.00+0.61 ) 0.392 1.3954 93.54 0.44 ( 0.00+0.44 ) 0.563 0.8524 0.57 1.00 ( 1.00+0.00 ) 0.004 0.3356 92.82 0.06 ( 0.01+0.05 ) 0.945 0.3174 91.93 1.00 ( 0.00+1.00 ) 0.006 0.2319 2.03 1.00 ( 1.00+0.00 ) 0.007 0.1594 103.11 0.09 ( 0.02+0.07 ) 0.91===================================================================== 如果看这个您判断扭转周期是第二周期吗？有人会断定第四周期才是第一扭转周期吗？【问题】遇到这种情况怎么看数据文件呢？继续看WZQ.OUT文件的下面的内容步骤一：看两个方向的基底反力各振型作用下 X 方向的基底剪力-------------------------------------------------------振型号剪力(kN)1 2.862 10.063 8468.624 6.925 5.626 3616.597 12.15各振型作用下 Y 方向的基底剪力-------------------------------------------------------振型号剪力(kN)1 2884.642 2076.293 1.094 6.815 4538.906 5.997 33.10============================================================【局部数据】步骤二：看振型对应的位移============================================================ 耦联时的振型Floor : 层号Tower : 塔号X-Disp : 耦联振型在 X 方向的位移分量Y-DISP : 耦联振型在 Y 方向的位移分量Angle-Z: 耦联振型绕 Z 轴的转角振型 1------------------------------------------------------- Floor Tower X-Disp Y-DISP Angle-Z(mm) (mm) (rad)24 1 0.015 0.454 0.02523 1 0.013 0.466 0.02422 1 0.012 0.449 0.02321 1 0.012 0.427 0.02220 1 0.011 0.404 0.02119 1 0.011 0.380 0.02018 1 0.010 0.355 0.01917 1 0.010 0.330 0.01716 1 0.009 0.305 0.01615 1 0.008 0.279 0.01514 1 0.008 0.253 0.01413 1 0.007 0.226 0.01212 1 0.006 0.201 0.01111 1 0.006 0.175 0.01010 1 0.005 0.151 0.0089 1 0.005 0.127 0.0078 1 0.004 0.104 0.0066 1 0.003 0.062 0.004 5 1 0.002 0.044 0.003 4 1 0.002 0.028 0.002 3 1 0.005 0.015 0.001 2 1 0.000 0.000 0.000 1 1 0.000 0.000 0.000振型 2------------------------------------------------------- Floor Tower X-Disp Y-DISP Angle-Z (mm) (mm) (rad) 24 1 -0.026 0.433 -0.02923 1 -0.024 0.386 -0.02922 1 -0.023 0.364 -0.02821 1 -0.022 0.346 -0.02620 1 -0.021 0.328 -0.02519 1 -0.020 0.308 -0.02418 1 -0.019 0.289 -0.02217 1 -0.018 0.269 -0.02116 1 -0.017 0.248 -0.01915 1 -0.015 0.227 -0.01814 1 -0.014 0.206 -0.01613 1 -0.013 0.185 -0.01512 1 -0.012 0.164 -0.01311 1 -0.011 0.143 -0.01110 1 -0.009 0.123 -0.0109 1 -0.008 0.104 -0.008 8 1 -0.007 0.085 -0.0076 1 -0.005 0.051 -0.004 5 1 -0.003 0.035 -0.003 4 1 -0.002 0.022 -0.002 3 1 -0.006 0.012 -0.001 2 1 0.000 0.000 0.000 1 1 0.000 0.000 0.000振型 3------------------------------------------------------- Floor Tower X-Disp Y-DISP Angle-Z (mm) (mm) (rad) 24 1 0.960 0.010 -0.00323 1 0.918 0.007 -0.00322 1 0.886 0.007 -0.00321 1 0.852 0.007 -0.00320 1 0.816 0.007 -0.00319 1 0.778 0.007 -0.00218 1 0.738 0.007 -0.00217 1 0.696 0.007 -0.00216 1 0.653 0.007 -0.00215 1 0.607 0.007 -0.00214 1 0.560 0.007 -0.00113 1 0.512 0.007 -0.00112 1 0.463 0.006 -0.00111 1 0.414 0.006 -0.00110 1 0.364 0.006 -0.0019 1 0.315 0.005 0.000 8 1 0.266 0.005 0.0006 1 0.171 0.004 0.000 5 1 0.126 0.003 0.000 4 1 0.084 0.002 0.000 3 1 0.048 0.002 0.000 2 1 0.002 0.000 0.000 1 1 0.000 0.000 0.000振型 4------------------------------------------------------- Floor Tower X-Disp Y-DISP Angle-Z (mm) (mm) (rad) 24 1 0.037 -0.098 0.04223 1 0.031 -0.028 0.04122 1 0.027 -0.015 0.03321 1 0.022 -0.010 0.02520 1 0.017 -0.005 0.01619 1 0.012 0.000 0.00818 1 0.007 0.005 -0.00117 1 0.002 0.010 -0.00916 1 -0.003 0.014 -0.01615 1 -0.008 0.018 -0.02314 1 -0.012 0.021 -0.02813 1 -0.016 0.024 -0.03212 1 -0.018 0.025 -0.03511 1 -0.021 0.025 -0.03710 1 -0.022 0.025 -0.0369 1 -0.022 0.024 -0.035 8 1 -0.022 0.021 -0.0326 1 -0.020 0.014 -0.0245 1 -0.018 0.010 -0.0194 1 -0.015 0.006 -0.0133 1 -0.046 0.001 -0.0082 1 0.000 0.000 0.0001 1 0.000 0.000 0.000============================================================【局部数据】步骤三，进行判断通过以上的数据，我们可以确认：1、第二周期是平动加扭转，第四周期是纯扭转；2、第一周期和第二周期的变形结果通过对比可以看出二者只是x向平动成分的方向有所改变；3、第二周期作为第一扭转周期不太合适，第四周期定为扭转周期比较合适。
第8章扭转[1]
![第8章扭转[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/8f682ce019e8b8f67c1cb9ff.png)
• 强度条件- 破坏形式
塑性材料
脆性材料
• 强度条件: 最大切应力不得超过材料的许用切
应力[τ]，即 τmax ≤ [τ]
强度校核、设计轴的截面和确定最大扭力。
• 横截面的合理设计 ：
τ max
=
TR Ip
=
T Wp
如果实心圆轴和空心圆轴承担相同的扭矩，则
空心轴消耗的材料少，更轻，更经济。
• 例5 有一传动轴，已知轴的转速 n=100rpm，传递功率N=10kw，许用剪应
• 静力学方面
∫ ρτ ρ dA = T
A
τρ
= Gρ
dφ
dx
dφ = T
dx GI p
τρ
=
Tρ
Ip
∫ I p = ρ 2dA 称为极惯性矩 A
• 公式分析
1. 式中：T—扭矩，IP— 横截面极惯性矩， GIP —轴截 面的抗扭刚度 。
2. 圆轴受扭的剪应力公式，式中ρ为计算之点到圆心的 距离。τρ沿半径线性分布，其沿扭矩方向垂直于半
单元体
• 切应力互等定律 在单元体的两个互相垂直的截面
上，切应力必然成对出现，其大小相等，方向相反， 同时指向（或背离）两截面的交线。
τ= τ´
剪切虎克定律
• 在线弹性范围内，切应力和切应变成线性关系。
τ =G γ
• G- 剪切弹性模量，其值与材料有关。
8.5 实心圆轴横截面上的应力及强度条件
A
B
解
• 例9 图示阶梯圆轴，已知D=20mm，L=0.5m,
M=10Nm，剪切弹性模量G=80GPa，许用扭转角
[θ]=0.5°/m，试画扭矩图，并校核轴的刚度。
解 绘出扭矩图，校核刚
9扭转-1
扭矩计算
已知：Me1= 6M
Me2= M ，Me3= 2M
M = 3M Me1 1 Me2
2
Me3 3 Me4
e4
1
2
3
求：计算各段扭矩
Me1
Me2 T2 T2 Me3 Me4 解：∑Mx=0，T2－Me1 +Me2 = 0
T2=Me1－Me2= 5M
∑Mx=0 , －T2+Me3+Me4= 0 ， T2= Me3+Me4 = 5M
4.1 概述
一、工程实例
Me
Me
11
传动轴 12
13
Me
Me φAB
A
B
l
二、扭转的特点
受力特点：扭转外力偶； 变形特点：横截面绕轴线转过不同角度。 相对扭转角 φAB : B 截面相对A 截面
绕轴线转过的角度。 轴 ：以扭转变形为主的杆件，如圆轴。
14
三、传动轴上的外力偶矩计算
N Me = 9549 n ( N·m）
NA n
= 9549 × 150 300
= 4774.5 N ⋅ m
MB
=
9549
NB n
=
9549 ×
75 300
= 2387.3 N ⋅ m
MC
= 9549 NC n
= 9549 × 45 300
= 1432.4 N ⋅ m
MD
= 9549 N D n
=
9549 × 30 300
= 954.9 N ⋅ m
25
Me
T
τ
2. 横截面上的剪应力
各点剪应变相同，所以 各点剪应力τ相同， 分布规律： ⅰ 沿壁厚均匀分布； ⅱ 垂直于所在半径； ⅲ 方向：对轴线的矩与
3-1 扭转的概念及实例 3-2 3-3 3-4
∑M
x
=0
Me Me
T − Me = 0 T = Me
3 扭矩的正负号规定： 扭矩的正负号规定：
Me
T
x
的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正， “T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正， 的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正 反之为负。 反之为负。
MT MT
扭矩矢量指向(大拇指） 扭矩矢量指向 大拇指） 大拇指 与截面的外法线方向一致
P 500 1 Me1 = 9.55 = 9.55× n 300 A =15.9(kN⋅ m )
n B C D
P 150 2 Me2 = Me3 = 9.55 = 9.55× = 4.78 (kN⋅ m ) n 300 P 200 4 = 6.37 (kN⋅ m ) Me4 = 9.55 = 9.55× n 300
补充题：冲床的最大冲压力F=400KN，冲头材料的许用压应力 补充题：冲床的最大冲压力F=400KN， [σ]=440MPa，钢板的剪切强度极限τb=360MPa。试求冲头能冲剪 ]=440MPa，钢板的剪切强度极限τ =360MPa。 的最小孔径d 的最小孔径d和最大的钢板厚度 δ 。
F
冲头
d
钢板
d ) 2
τmax
T = W t
Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：[长度]3。
对于实心圆截面：
Wt = I p R = πD 3 16
对于空心圆截面： Wt = I p R = πD 3 (1 − α 4 ) 16
例题1 例题1： 图示阶梯圆轴，AB段的直径d1 =120 mm ，BC段的直 图示阶梯圆轴，AB段的直径 段的直径d1 BC段的直 径 d2 = 100 mm。扭转力偶矩为 MA = 22 KN.m，MB = 36 mm。 KN.m， KN.m ， MC =14 KN.m 。已知材料的许用剪应力[τ] = 80 MPa， 已知材料的许用剪应力[ MPa， 试校核该轴的强度。 试校核该轴的强度。 解：作轴的扭矩图 MA = 22 kN。m， MB = 36 kN。m MC =14 kN。m
材料力学-第四章 扭转_1
该轴满足强度条件的要求。
§5-5圆轴的扭转变形与刚度条件
d T d x GI p
T d dx GI p
T dx GI p l
d
Tl 若T const，则 GIp
比较拉压变形：
Nl l EA
公式适用条件：
1）当p（剪切比例极限）公式才成立
2）仅适用于圆杆（平面假设对圆杆才成立）
扭矩T的符号规定：
n
n
T Me
㈩
T Me
㈩
[例5-1]图示传动轴，主动轮A输入功率NA=50 马力，从 动轮B、C、D输出功率分别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马 力，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
NA 50 M A 7024 7024 1170 N m n 300 NB 15 M B M C 7024 7024 351 Nm n 300 NC 20 M D 7024 7024 468N m n 300
外表面dx rd d r dx
横截面上距形心为 的任一点处应变
d
dx d d
dx
(a)
2. 物理关系
剪应力方向垂直于半径。根据剪切胡克定律, 当剪 应力不超过材料的剪切比例极限时 d G G (b) dx
（5-6） （5-7）
max
Wt
T max T Wt Ip
Ip
max
(抗扭截面模量 )
max
max
4.圆与圆环的极惯性矩 I p和抗扭截面模量 Wt
Ip
d /2
0
Байду номын сангаас
第三章扭转(1)
因此，外力偶Me每秒钟所作功，即该轮所传递的 功率为
{P}kw
{M
e
}Nm
{a }rad
{t}s
103
{Me }Nm
rad s
103
{M e }Nm
2π
{n}r
min
60
103
因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上每个轮的转速)和主动轮或从动轮
所传递的功率P之后，即可由下式计算作用于每一轮上的外力偶矩：
20
2. 横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律
a
b
T
O1
E
A
T
G O2
dj
D G'
D'
ρ
tan
ρ
GG EG
dj
dx
即
a
d/2
O1 E
A
21
dx
b
dx
O2
G
D
dj
G'
D'
ρ
dj
dx
a
b
T
O1
E
A
a
T
G O2
dj
D G'
D'
dx
b
ρ
dj
dx
j 式中 d——相对扭转角j 沿杆长的
变化率，常d用xj' 来表示，对于给定的横
截面为常量。
可见，在横截面的同一半径 的圆周上各点处的切应变 均相同； 与 成正比，且发生在与半径垂直的平面内。
工程力学(单辉祖)合肥工业大学精品讲义第09章 扭转(1)
横截面的
一部分
x
Me
dx t
mn
g
mn l
mn
Me
f
r0
t
x
mn
单元体——边长趋于无限小的平行六面体
纯剪切——单元体上只有切应力，没有正应力的变形
现象。
§9－3 切应力互等定律与剪切胡克定律
由 Mz 0 :
dx dy
( t dy)dx ( t dx)dy dy
y x
得到
z dx t
A
dA
AG 2
df
dx
dA
G df dx
A
2dA
GIp
df
dx
B B'dA
R O
max
Ip = A 2 dA ——微整面个积截面dA 对 极点O的极惯性矩
即：
df T
(3)
dx GIp
§9－4 圆轴扭转横截面上的应力
一、扭转切应力的一般公式
T
将(3)式代入(2)式，得到
T
Ip
B B'dA
max [ ]
2.最大切应力的计算
§9－6 圆轴扭转破坏与强度条件
max
T Wp
(1) 计算内力，找危险截面
350 Nm 300Nm 650 Nm
等直杆： T max
(2) 计算危险截面上的应力
A
B
C
650 N m
350 N . m
T
T
max
max [ ]
WP
m1
m2 m3 m4
二、轴的强度条件
1.横轴表示横截面位置，纵轴表示扭矩；
2.正值画在上方，负值画在下方。
产前超声诊断胎儿脐带扭转1例
西藏医药2021年第42卷第2期（总155期）1583.3 极低剂量利伐沙班联合双联抗血小板的循证医学证据ATLAS 2 ACS-TIMI 51试验[6]在阿司匹林和氯吡格雷基础上加用极低剂量利伐沙班(2.5mg bid)，降低了近期发生ACS 患者的心血管死亡、心梗和卒中的死亡率。
与房颤患者所用剂量(20mg /15mg qd)相比，2.5/5mg bid 剂量的抗凝水平更低，并不是严格意义上的抗凝。
PIONEER AF-PCI [7]研究将2124例植入支架的患者按1:1:1的比例随机分为3个抗血栓治疗方案组：利伐沙班(15mg/d)+P2Y12抑制剂12个月；利伐沙班(2.5mg bid)+双联抗血小板治疗(DAPT) 1、6、12个月；剂量调整的VKA+DAPT 治疗1、6、12个月[7]。
两个利伐沙班组的安全性结局：临床严重出血的发生率较低(3组的发生率分别为16.8%、18.0%和26.7%)，大出血及轻微出血的发生率无显著差异。
3组的有效率相近，因心血管性、心肌梗死或脑卒中死亡的发生率分别为6.5%、5.6%和6.0%。
该研究结果显示，对于植入支架的房颤患者，相较于VKA ＋DAPT （1、6、12个月），利伐沙班2.5 mg bid ＋DAPT（1、6、12个月）与利伐沙班15mg qd ＋P2Y12抑制剂1年的疗效相当，且均能降低临床严重出血事件、全因死亡率或住院率。
3.4 利伐沙班联合双联抗血小板三联抗栓治疗疗程根据2018年欧洲专家共识推荐[8]：对于HAS-BLED ≥3分的STEMI 合并房颤患者，无论支架类型如何，应考虑在经皮冠脉介入治疗（PCI）术后给予三联治疗（OAC、阿司匹林+氯吡格雷）4周；其后长期进行双联治疗(OAC+氯吡格雷/阿司匹林)至12个月。
而根据中国最新专家共识推荐和2020年ESC 房颤诊断和管理指南[9]:三联治疗的疗程可大幅度缩短至出院后停止或只限于围术期。
结构第一扭转第一平动周期大于0.9该如何处理
结构第一扭转/第一平动周期大于0.9该如何处理？高规4.3.5规定结构扭转为主的第一自振周期Tt与平动为主的第一自振周期T1之比，A级高度高层建筑不应大于0.9，B级高度高层建筑、混合结构高层建筑及本规程第10章所指的复杂高层建筑不应大于0.85.在设计过程中往往Tt/T1会大于0.9该怎么处理呢?？?以下是从论坛里看到网友给出的一些意见，供大家讨论学习.根据经验，行之有效的办法就是加强建筑物端部的刚度，主要采取的措施有：1。
加高建筑端部的梁高，前提是该位置没有阳台，开窗是没有问题的梁可以上翻。
阳台就不行了。
2。
有剪力墙的话也可以加厚或者拉长.3.合理的布局，使得刚度中心与质量中心尽量重合。
楼上的做法加强建筑物端部的刚度不管是加高边梁或拉长边墙都是为了增加了抗扭刚度使第三周期减小，而达到小于0。
9的目的，是一个很有效的办法但很多情况就靠加大外围刚度是没效果的，这种情况我们应该调整剪力墙的布置使其尽量均匀来减小扭转周期，这也是达到规范要求的最普遍做法···个人意见，请多指点首先周期比反映的是结构扭转刚度和平动刚度之间的一种比值关系,如果周期比大于0.9的话说明你的结构扭转刚度相对于平动刚度来说小了，地震中会发生扭转严重破坏，，既然周期比反映的是扭转刚度合平动刚度的关系的话很显然,处理办法就是两个：第一增加结构的扭转刚度，第二,减小结构的平动刚度。
那么什么时侯用第一呢，当结构的平动刚度比较合适的时候就是层间相对转角位移比较大（当然不能超过规范限制）这时候可以考虑增加扭转刚度，具体的做法是加强结构周边的梁和柱。
很多新人搞不懂为什么要加强周边,在这里可以举个简单的列子，同志们你们的自行车车架为什么用钢管做而不用相同钢材的钢筋做，一个很重要的因素就是钢管抗扭比钢筋强,当然自行车还涉及到抗压等其他的因素。
用第二种方法的话和第一个相反，就是结构平动刚度比较大而导致平动周期小，着时候考虑消减平动周期,具体做法是消减结构中部刚度，达到降低平动刚度同时增强扭转刚度的目的。
孕犬产前子宫扭转的治疗1例
孕犬产前子宫扭转的治疗1例龚剑峰【期刊名称】《中国工作犬业》【年(卷),期】2016(000)008【总页数】1页(P18-18)【作者】龚剑峰【作者单位】公安部南昌警犬基地，330100【正文语种】中文子宫扭转是整个怀孕子宫围绕自身纵轴发生的扭转。
各种动物均可发生，尤其是奶牛，发病率高于其他类动物，在小动物临床上，偶见发生。
本病多发生于临产时，但也可以发生在怀孕期中的任何时间。
由于本病在小动物临床上较少发生，且易与正常的分娩及迁延性分娩相混淆，而发生误诊，延误治疗。
犬的子宫扭转常发生于妊娠中后期，特别是临产期，多由于胎儿数较多、过大、子宫阔韧带松驰、分娩前犬有过剧烈运动或分娩时过量使用缩宫素等因素造成。
现介绍1例杜伯文犬产前子宫扭转病例。
据犬主介绍：该犬怀孕第58天的早上5时左右，发现孕犬出现流羊水、偶有努责，直至8时半也未见分娩出仔犬。
上午9时前来就医，此时孕犬精神差，喜卧不动，经补液和使用催产素增加能量和产力，到下午2时仍未见好转。
（一）触诊腹部：腹壁紧张，有痛感；手指阴道内探查，未能触及胎儿。
（二）听诊：未能听到胎音，心跳音急促。
（三）B超检查：发现子宫右侧位置有明显改变和增大，出现子宫角扭转的迹象。
两子宫角均有多个不见蠕动的胎儿声像。
（四）诊断：初步诊断为子宫角右侧扭转。
决定剖腹产，手术治疗。
（一）保定和麻醉：仰卧保定，全身麻醉。
采用复麻846按体重每千克0.06ml计算，肌注1.8ml 846，15分钟后进入麻醉状态。
（二）手术：术部消毒，由脐后部腹中线常规打开腹腔。
打开腹腔后见有大量淡红色腹水，右侧子宫角肿胀，颜色呈暗红色，出现轻度坏死迹象。
切开右侧子宫角，取出胎儿3个，均已死亡。
进行右侧子宫复位发现子宫角逆时针扭转720度。
左侧子宫角内取出的3个胎儿活力较弱，心跳、呼吸尚有，经抢救后才出现微弱叫声和动作（后来成活）。
检查子宫，排尽胎盘，进行子宫切口缝合、复位，清洗腹腔，除去腹腔内血水。
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D 2 d 2
π 4 4 D d 32
πD 4 1 4 32 Ip
d D
O
d A 2π d
πD 4 d 4 πD 3 1 4 Wp D/2 16 D 16
注意：对于空心圆截面
O
π 4 I p D d 4 32 π 3 Wp D d 3 16
弹性范围内
max P
G
→
→
G
d G dx
方向垂直于半径。
扭转切应力分布
d dx
→
d G dx
（实心截面）
（空心截面）
三）静力关系：
d G dx
d ? dx
2
A
O
dA
d M n d 令 I p A dA M n GI p dx GI p dx 3 3 m , mm . Ip—截面的极惯性矩，单位： 扭转变形计算式 d M n G 代入物理关系式 dx 得：
第八章
扭 转
§8-1 圆轴扭转时横截面上的应力及强度计算
§8-2 圆轴扭转时的变形及刚度计算
§8-3 圆轴受扭破坏分析
§8-4 矩形截面杆的自由扭转
§4-1 圆轴扭转时横截面上的应力及强度计算
一、薄壁圆筒轴的扭转---推出关于切应力的若干重要性质
（一）、薄壁圆筒横截面上的应力
1 r0 , r0为平均半径） 10 实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式。
WP M n max
≤
[ ]
M n max≤ WP [ ]
D 3 实 心, 16 WP 3 D (1 4 ) 空 心. 16
m
例 已知 Mn =1.5 kN . m，[ ] = 50 MPa，试根据强度条件
设计实心圆轴与 = 0.9 的空心圆轴。
F M
得
y z
0 自动满足 0 存在'
z
dx
d y d z d x d x d z d y
且由于 Fx 0
y
切应力互等定理
'
a dy
O ' dx
d
c
z
b
x
在相互垂直的两个面上，切 应力总是成对出现，并且大小相 等，方向同时指向或同时背离两 个面的交线。
计算结果表明，轴的强度足够
5、切应变的变化规律：
D’
取楔形体O1O2ABCD 为研究对象 A点处的切应变
微段扭转 变形 d
DD' Rd tg dx dx
A
a点处的切应变
Db D’
tg dd d dx dx
b'
d dx
二）物理关系：
d / dx－扭转角变化率
阶梯形圆轴
0.62kN•m 1.43kN•m
例 有一阶梯形圆轴，轴的直径 分别为d1＝40㎜，d2＝70㎜，。已 知T1＝0.62kN•m，T2＝0.81kN•m， T3＝1.43kN•m。材料的许用切应力 [τ]=60MPa，G＝8×104MPa，试 校核该轴的强度。
阶梯形圆轴
0.62kN•m
1.43kN•m
圆管强度足够
例 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径 d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN•m， MB=36 kN•m， MC=14 kN•m。 材料的许用切应力 ] = 80MPa ，试校核该轴 MA 的强度。 MC Ⅰ MB Ⅱ 解： 1、求内力，作出轴的扭矩图 A C B 22 2、计算轴横截面上的最大 Mn图（kN· m） 切应力并校核强度
A 0
Mn 2 2r0 t
薄壁圆筒扭转时 横截面上的切应力计算式
（二）、关于切应力的若干重要性质 1、剪切虎克定律
l
为扭转角 r0 l
r0 l 即
Mn 纵轴 T—— 2 2r0 t
横轴
τ
做薄壁圆筒的扭转试验可得 Mn
r0 l
τ
b
τ τ p
由截面法 M m 199N m n （2）计算极惯性矩 , AC段和CB段 横截面的极惯性矩分别为 D 4 4
I P1
d 4 6.38 cm 4 Mn D Mn AC AC 37.5 106 Pa 37.5 MPa （3）计算应力 max 外 I P1 2 WP1 M D M CB CB max 外 n n 46.8 106 Pa 46.8 MPa I P 2 2 WP 2
2 4 mm，m = 3500 N . m/m，l = 1 m，[ 50 MPa，试校核
圆管强度。 解：1. 计算扭矩作扭矩图 2. 强度校核 危险截面： 截面 A 与 B
Mn
M nA ml A 44.6 MPa [ ] 2 2 2πR0 1 2πR0 1
ml M nB 2 27.9 MPa [ ] B 2 2 2 π R 2 πR0 2 0 2
(壁厚
t
1、实验：
2、变形规律：
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
3、切应变（角应变）：直角角度的改变量 。
' '
' '
3、切应变（角应变）：直角角度的改变量 。 4、定性分析横截面上的应力 （1） 0, 0
实心圆截面：
2 A
I p d A (2π d )
2
d 2 0
O
2 π(
4
d /2
4
)
0
πd 4 32
d
d A 2π d
πd 3 Wp d / 2 16
Ip
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
空心圆截面：
D d
I p 2 π 3 d
max Ip—截面的极惯性矩，单位：m4 , mm4
WP Ip
Mn WP
max
Байду номын сангаас
WP —抗扭截面模量，单位：m3 , mm3.
整个圆轴上——等直杆： max
M n max WP
（三）、公式的使用条件：
1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
（四）、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
M n 0.621103 0.621103 49.4MPa [ ] 60MPa AC 段 max 3 d WP 1 (403 ) 109 16 16 M n 1.43103 1.43103 21.2MPa [ ] 60MPa BD 段 max 3 d WP 2 (703 ) 109 16 16
解：1. 确定实心圆轴直径 max [ ] max M n3 πd Mn 16 π 3 d 16
3
3
2. 确定空心圆轴内、外径
Mn π 3 D (1 4) 16
Wp
πD 3 16
1
4
16 M n 16(1.5 10 N m) d 6 π( 50 10 Pa) π 0.0535 m 实心轴取： d 54 mm
'
a
d
单元体在其两对互相 垂直的平面上只有切应力 而无正应力的状态称为纯 剪切应力状态。
b
'
c
二、圆轴扭转时横截面上的应力
（一）、圆轴扭转时横截面上的应力计算公式 几何关系：由实验找出变形规律→应变的变化规律 物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律 静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式。 一）、几何关系： 1、实验： 2、变形规律：
4
I P2
D 32
32
7.95cm
三、扭转强度计算
1、强度条件：
max [ ]
变截面圆轴: max 等截面圆轴:
Mn W p max
2、强度条件应用： 1）校核强度: max
max
M n max Wp
M n max
2）设计截面尺寸: WP ≥ 3）确定外载荷:
AB段 1,max
M n1 22 106 N mm 64.8MPa π Wp1 120mm 3
16
14
BC段
2,max
M n 2 14106 N mm 71.3MP a [ ] 80MPa π Wp 2 100mm3 16 该轴满足强度条件。
2、变形规律： 圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。 3、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大 小、间距不变，半径仍为直线。
4、定性分析横截面上的应力 （1） 0 0 （2） 0 0 因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应 力大小相等，并且方向垂直于其半径方向。
s
γ
剪切虎克定律
在弹性范围内切应力 与切应变成正比关系。
p,
G
G
γ τ τ p
s
E 2(1 )
τ
b
τ
2、切应力互等定理
单元体—— 从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体
Me
Me