四边形的判定复习课件 华东师大版

2
2
25 4
7 4
） ∴EF=±7.5(负根舍去）
注：①解“翻折图形”问题的关键是要认识到对折时折痕为重合两点的对 称轴，会形成轴对称图形。 ②本题通过设未知数，然后根据图形的几何元素间的关系列方程求解的方 法，是数学中常用的“方程思想”。
例4：已知，如图，矩形纸片长为8cm，宽为6cm, 把纸对折 使相对两顶点A，C重合，求折痕的长。 A O
B
中心对称： C o
如果把一个图形绕着某一 点旋转180°后与另一个图 形重合，那么这两个图形 关于这个点中心对称，这 个点叫做对称中心。
A
C′ A′
1、中心对称的两个图形是全等图形
C
2、中心对称的两个图形的对称点连线通过对称中心，且被对称中心平分
B A
B′
C
五、有关定理：
1、四边形的内角和等于 360°，外角和等于 360°。 n边形的内角和等于（n - 2）180°，外角和等于 360° 2、梯形的中位线 平行 于两底，且等于 两底和的一半 A B 如： 条件：在梯形ABCD中，EF是中位线 E F D
如图：点C就是 线段AB的中点
2、用平行线等分线段
把线段AB二等分 把线段AB五等分 C N
A
C
B A D E F H B
如图：点C就是 线段AB的中点
如图：点D、E、F、H就是 线段AB的五等分点
七、典型举例：
例1：如图，四边形ABCD为平行四边形，延长BA至 E，延长DC至F，使BE=DF，AF交BC于H，CE交 E AD于G. G A 求证：∠E=∠F
菱形
正方形
等腰梯形
1、两腰相等的梯形 3、对角线相等的梯形
2、在同一底上的两角相等的梯形
四、中心对称图形与中心对称的区别和联系
A
中心对称图形：
B o A DB AC D B C C A D B
如果把一个图形绕着某一 点旋转180°后与原来的图 形重合，那么这个图形叫 做中心对称图形，这个点 叫做对称中心。 中心对称图形的对称点连线通过 对称中心，且被对称中心平分
D
平移一腰
作两高
平移一对角线
过梯形一腰中点和 上底一端作直线
延长两腰
例3：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF=7cm， 对角线AC⊥BD，∠BDC=30°，求梯形的高线AH 解： 过A作AM∥BD，交CD A B 的延长线于M E F 又∵AB∥CD ∴四边形ABDM是平行四边形， ∴DM=AB，∠AMC= ∠BDC=30° C H 又∵中位线EF=7cm， ∴CM=CD+DM=CD+AB=2EF=14cm 1 又∵AC⊥BD， ∴AC⊥AM， ∴AC= 2 CM=7cm ∵AH⊥CD，∠ACD=60°
F
解法2
D
FO AO CD = AD
FO 6 = FO=
FE=
5
8 15 4 15 2
B
E
C
证明： 四边形ABCD 是平行四边形 B AB∥ = CD BE=DF 四边形AFCE是 平行四边形 H F AE∥ = CF ∠E=∠F C
D
注：利用平行四边形的性质来证明线段或角相等是一种常用方法。
例2：如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°， ∠B= ∠D=90 °，求四边形ABCD的面积。 A 解： 延长AD，BC交于点E， D 2 ∵在Rt△ABE中，∠A=60°， ∴∠E=30° 又∵AB=2 B ∴BE=√3AB=2 √3 ∵在Rt△CDE中，同理可得 DE=√3CD= √3 ∴S四边形ABCD=S Rt△ABE - S Rt△CDE =
7 ∴AH=AC· sin60°= 2
D
M
√3(cm)
例4：已知，如图，矩形纸片长为8cm，宽为6cm, 把纸对折 使相对两顶点A，C重合，求折痕的长。 D 解： 设折痕为EF，连结AC，AE，CF， 若A，C两点重合，它们必关于EF对 F A D 称，则EF是AC的中垂线 ，故AF=FC， 设AC与EF交于点O，AF=FC=xcm O 则FD=AD – AF=8 - x
∵在Rt△CDF中，FC = FD2 + CD 2
2 2 2
B
25 4
E
∴ x 2 = （8 - x）+ 6 解得x= 25 7 ∴AF=FC= 4 ,FD=8 – x= 4 作FH⊥BC于H
在Rt△FEH中， EF = FH 2 + EH 2 2
2
H
C
∴EF =6 + （ 答：折痕的长为7.5cm
一、四边形的分类及转化
矩形 两组对边平行 平行四边形 正方形
任意四边形
菱 形 等腰梯形
一组对边平行 另一组对边不平行
梯形
直角梯形
二、几种特殊四边形的性质：
项目 四边形
对边
角
对角相等 邻角互补 四个角
对角线
对称性
中心对称图形 中心对称图形
平行且相等
平行四边形
互相平分
平行且相等
矩形
菱形
平行 且四边相等 平行 且四边相等 两底平行 两腰相等
【备注2】： [1]平行四边形的对边相等、对角相等、 对角线互相平分。 [2]一组对边平行且相等，或两组对边 分别相等，或对角线互相平分的四边形 是平行四边形。 [3]矩形的四个角都是直角，对角线 相等；菱形的四条边相等，对角线互相 垂直平分。
四边形 一、四边形的分类及转化 二、几种特殊四边形的性质 三、几种特殊四边形的常用判定方 法 四、中心对称图形与中心对称的区 别和联系 五、有关定理 六、主要画图 七、典型举例
A
。 。
1 结论： EF ∥ AB ∥ CD ， EF= （AB+CD） 2 C
3、两条平行线之间的距离以及性质： 两条平行线中，一条直线上任意一 点到另一条直线的距离，叫这两条 如： L1 平行线的距离。 L2 夹在两条平行线间的 平行线段 相等 夹在 两条平行线 间的垂线段相等
L1 如： L2
B A C A C D D B B
平行 四边形
矩形
1、定义：有一外角是直角的平行四边形 2、三个角是直角的四边形 3、对角线相等的平行四边形 1、定义：一组邻边相等的平行四边形 2、四条边都相等的四边形 3、对角线互相垂直的平行四边形 1、定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 2、有一组邻边相等的矩形 3、有一个角是直角的菱形
4、一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 则在其它直线上截得的线段也 相等 。 条件：AD∥BE∥CF，AB=BC 结论：DE=EF B C
A
D E F A
5、过三角形一边的中点，且平行于另一边 的直线，必过 第三边的中点 。 条件：在△ABC中，AD= BD ， DE∥BC
结论：AE=EC 6、过梯形一腰的中点，且平行于底边 的直线，必过 另一腰的中点 。 条件：在梯形ABCD中，AE=DE ， AB∥EF∥DC 结论：BF=FC B D
(5)四边形 ①探索并了解多边形的内角和与外角 和公式，了解正多边形的概 念。 ②掌握平行四边形、矩形、菱形、正 方形、梯形的概念和性质，了解它们之 间的关系；了解四边形的不稳定性。 ③探索并掌握平行四边形的有关性质[1] 和四边形是平行四边形的条件[2]。 ’ ④探索并掌握矩形、菱形、正方形的 有关性质[3]和四边形是矩形、菱形、正 方形的条件[4]1 2 1 2Fra bibliotek1 CE
AB· BE -
1 2
CD· DE
1 2
=
×2×2√3 -
×1×√3
=
3 2
√3
注：四边形的问题经常转化为三角形的问题来解，转化的方法 是添加适当的辅助线，如连结对角线、延长两边等。
例3：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF=7cm， 对角线AC⊥BD，∠BDC=30°，求梯形的高线AH A B 析：求解有关梯形类的题目，常需添加辅助 F 线，把问题转化为三角形或四边形来求解， E 添加辅助线一般有下列所示的几种情况： C H
E
C
A E
B F
D
C
六、主要画图：
1、画平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形 如：画一个平行四边形ABCD，使边BC=5cm, 对角线AC=5cm，BD=8cm.
A
4 B 5 O 2.5 C
D
A
O 4 B 5 2.5 C
D
2、用平行线等分线段
把线段AB二等分 把线段AB五等分 C N
A
C
B A B
都是直角 对角相等
邻角互补 四个角 都是直角 同一底上
互相平分且相等
互相垂直平分，且每一 条对角线平分一组对角
轴对称图形 中心对称图形
正方形
轴对称图形 互相垂直平分且相等，每 中心对称图形 一条对角线平分一组对角 轴对称图形
相等
轴对称图形
等腰梯形
的角相等
三、几种特殊四边形的常用判定方法：
四边形 条件 1、定义：两组对边分别平行 3、一组对边平行且相等 2、两组对边分别相等 4、对角线互相平分