高中数学8_2_6随机变量的数学期望同步精练湘教版
高中数学离散型随机变量的期望与方差练习(含答案)
离散型随机变量均值与方差专题练习一、单选题（共16题；共32分）1.将三颗骰子各掷一次，记事件A=“三个点数都不同”，B=“至少出现一个6点”，则条件概率P（A|B），P （B|A）分别是（）A. ，B. ，C. ，D. ，2.已知随机变量ξ服从正态分布N（1，1），若P（ξ＜3）=0.977，则P（﹣1＜ξ＜3）=（）A. 0.683B. 0.853C. 0.954D. 0.9773.随机变量X的取值为0，1，2，若P（X=0）= ，E（X）=1，则D（X）=（）A. B. C. D.4.已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（X≥4）=0.1587，则P（2＜X＜4）=（）A. 0.6826B. 0.3413C. 0.4603D. 0.92075.甲乙等人参加米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是（）A. B. C. D.6.不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数的数学期望是（）A. B. C. D.7.下面说法中正确的是（）A. 离散型随机变量ξ的均值E（ξ）反映了ξ取值的概率的平均值B. 离散型随机变量ξ的方差D（ξ）反映了ξ取值的平均水平C. 离散型随机变量ξ的均值E（ξ）反映了ξ取值的平均水平D. 离散型随机变量ξ的方差D（ξ）反映了ξ取值的概率的平均值8.每次试验的成功率为，重复进行10次试验，其中前7次都未成功，后3次都成功的概率为（）A. B. C. D.9.已知随机变量，则（）A. B. C. D.10.设随机变量的分布列为，，则等于（）A. B. C. D.11.现在有张奖券，张元的，张元的，某人从中随机无放回地抽取张奖券，则此人得奖金额的数学期望为（）A. B. C. D.12.已知X～B（n，p），E（X）＝2，D（X）＝1.6，则n，p的值分别为（）A. 100，0.8B. 20，0.4C. 10，0.2D. 10，0.813.袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量，则所有可能取值的个数是（）A. 5B. 9C. 10D. 2514.电灯泡使用时数在1 000小时以上的概率为0.2，则三个灯泡在1 000小时以后最多有一个坏了的概率是（）A. 0.401B. 0.104C. 0.410D. 0.01415.已知随机变量的概率分布列如下表所示：50.4且的数学期望，则（）A. B. C. D.16.用电脑每次可以从区间（0，1）内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于的概率为（）A. B. C. D.二、解答题（共7题；共65分）17.某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校组织的义务植树活动．（I）求男生甲、女生乙至少有1人被选中的概率；（II）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P （A）和P （B|A）．18.某射手每次射击击中目标的概率是，求这名射手在10次射击中，（1）恰有8次击中目标的概率；（2）至少有8次击中目标的概率．19.“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图.问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在的人数；（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在的人数的分布列及数学期望.20.某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛中获胜的事件是独立的，并且获胜的概率均为．（1）求这支篮球队首次获胜前已经负了两场的概率；（2）求这支篮球队在6场比赛中恰好获胜3场的概率；（3）求这支篮球队在6场比赛中获胜场数的期望．21.某学校有甲、乙两个实验班，为了了解班级成绩，采用分层抽样的方法从甲、乙两个班学生中分别抽取8名和6名测试他们的数学成绩与英语成绩（单位：分），用表示（m，n）．下面是乙班6名学生的测试分数：A（138，130），B（140，132），C（140，130），D（134，140），E（142，134），F（134，132），当学生的数学、英语成绩满足m≥135，且n≥130时，该学生定为优秀学生．（1）已知甲班共有80名学生，用上述样本数据估计乙班优秀生的数量；（2）从乙班抽出的上述6名学生中随机抽取3名，求至少有两名优秀生的概率；（3）从乙班抽出的上述6名学生中随机抽取2名，其中优秀生数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．22.甲参加A，B，C三个科目的学业水平考试，其考试成绩合格的概率如下表，假设三个科目的考试甲是否成绩合格相互独立．（I）求甲至少有一个科目考试成绩合格的概率；（Ⅱ）设甲参加考试成绩合格的科目数量为X，求X的分布列和数学期望．23.由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某高中随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）如图：（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）若视力测试结果不低丁5.0，则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】条件概率与独立事件【解析】【解答】解：根据条件概率的含义，P（A|B）其含义为在B发生的情况下，A发生的概率，即在“至少出现一个6点”的情况下，“三个点数都不相同”的概率，∵“至少出现一个6点”的情况数目为6×6×6﹣5×5×5=91，“三个点数都不相同”则只有一个6点，共C31×5×4=60种，∴P（A|B）= ；P（B|A）其含义为在A发生的情况下，B发生的概率，即在“三个点数都不相同”的情况下，“至少出现一个6点”的概率，∴P（B|A）= ．故选A．【分析】根据条件概率的含义，明确条件概率P（A|B），P（B|A）的意义，即可得出结论．2.【答案】C【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】【解答】解：随机变量ξ服从正态分布N（1，1），∴曲线关于x=1对称，∵P（ξ＜3）=0.977，∴P（ξ＞3）=0.023，∴P（﹣1≤ξ≤3）=1﹣2P（ξ＞3）=1﹣0.046=0.954．故选：C．【分析】根据随机变量ξ服从正态分布，知正态曲线的对称轴是x=1，且P（ξ＞3）=0.023，依据正态分布对称性，即可求得答案．3.【答案】B【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】解：设P（X=1）=p，P（X=2）=q，∵E（X）=0× +p+2q=1①，又+p+q=1，②由①②得，p= ，q= ，∴D（X）= （0﹣1）2+ = ，故选：B．【分析】设P（X=1）=p，P（X=2）=q，则由P（X=0）= ，E（X）=1，列出方程组，求出p= ，q= ，由此能求出D（X）．4.【答案】A【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（3，1），∴正态曲线的对称轴是x=3，∵P（X≥4）=0.1587，∴P（2＜X＜4）=1﹣2P（X≥4）=1﹣0.3174=0.6826．故选：A．【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴x=μ=3，利用对称性，即可求得P（2＜X ＜4）．5.【答案】D【考点】古典概型及其概率计算公式，条件概率与独立事件【解析】【解答】由题得甲不跑第一棒的总的基本事件有个，甲不跑第一棒，乙不跑第二棒的基本事件有,由古典概型的概率公式得在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是.故答案为：D.【分析】由题得甲不跑第一棒的总的基本事件有18 个,甲不跑第一棒，乙不跑第二棒的基本事件有14个,由古典概型的概率公式求得在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率.6.【答案】D【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】当时，第次取出额必然是红球，而前k-1次中，有且只有1次取出的是红球，其余次数取出的皆为黑球，故，于是得到X的分布列为故故答案为：D【分析】X的可能取值为2，3，4，5，6，7，利用互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式分别求出相应的概率，由此能求出摸取次数X的分布列，最后利用数学期望求解即可．7.【答案】C【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】离散型随机变量ξ的均值E（ξ）反映ξ取值的平均水平，它的方差反映ξ的取值的离散程度．故答案为：C.【分析】由离散型随机变量的均值与方差的意义判断。
离散型随机变量的数学期望课件-高二下学期数学湘教版(2019)选择性必修第二册
三、归纳总结：
2．两点分布的数学期望
若X～B(1，p)，则E(X)＝__p___．
3．二项分布的数学期望 若X～B(n，p)，则E(X)＝__n_p__．
4．超几何分布的数学期望
nM
若X～H(N，M，n)，则E(X)＝__N____．
四、小试牛刀：
1.若随机变量X～B(5,0.8)，则E(X)的值为
3.2.3 离散型随机变量的数学期望（2）
二、学习目标
1.掌握两点分布、二项分布、超几何分布的数学期望； 2.会利用离散型随机变量的数学期望，解决一些相关的实际 问题.(重点)
一、复习回顾：
1. 离散型随机变量的期望： 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
X
x1
x2
‧‧‧
xn
P
p1
p2
分析：各方案的总损失分别为多少？没有洪水的概率又是多少？
例4 根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为
0.01. 该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小
洪水时要损失10000元. 为保护设备，有以下3种方案:
方案1 运走设备，搬运费为3800元；
跟踪训练2 盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有2节废电池. (1)若无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数 X的分布列及数学期望；
(2)若有放回地每次取一节电池检验，求检验4次取到好电池次数Y的数学 期望.
由题意知，每次检验取到好电池的概率均为35， 故 Y～B4，35，则 E(Y)＝4×35＝152.
‧‧‧
pn
n
则称E( X ) x1 p1 x2 p2 xn pn xi pi
2019年高中数学第8章统计与概率8.2概率8.2.4离散型随机变量及其分布讲义(含解析)湘教版
8．2.4 离散型随机变量及其分布[读教材·填要点]1．随机变量(1)定义：在一个对应关系下，随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．(2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．2．离散型随机变量所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．3．随机变量X的概率分布如果随机变量X的取值是x1，x2，…，x n，则{X＝x i}是事件，用p i＝P(X＝i)表示事件{X＝x i}的概率，则p i＝P(X＝x i)，i＝1,2，…，n是离散型随机变量X的概率分布．当X的概率分布{p i}规律性不明显时，可用下面的表格表示X的分布.4.随机变量X①p i≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋p n＝1.[小问题·大思维]1．任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？提示：可以．实际上我们可以建立一个随机试验的所有结果同实数间的对应关系，根据问题的需要选择相应数字．2．是不是所有试验的离散型随机变量？并举例说明．提示：不是．如在东北森林中任取一棵树木的高度．[例1](1)湖南矮寨大桥桥面一侧每隔30米有一路灯，将所有路灯进行编号，其中某一路灯的编号X；(2)在一次数学竞赛中，设一、二、三等奖，小明同学参加竞赛获得的奖次X；(3)丁俊晖在2017年世锦赛中每局所得的分数．[解] (1)桥面上的路灯是可数的，编号X可以一一列出，是离散型随机变量．(2)小明获奖等次X可以一一列出，是离散型随机变量．(3)每局所得的分数X可以一一列举出来，是离散型随机变量．判断一个随机变量是否是离散型随机变量的关键是判断随机变量的所有取值是否可以一一列出，具体方法如下：(1)明确随机试验的所有可能结果；(2)将随机试验的结果数量化；(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．1．写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品的件数X是随机变量；(2)一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ是一个随机变量．解：(1)随机变量X可能的取值为：0,1,2,3,4.{X＝0}，表示抽出0件次品；{X＝1}，表示抽出1件次品；{X＝2}，表示抽出2件次品；{X＝3}，表示抽出3件次品；{X＝4}，表示抽出的全是次品．(2)随机变量ξ可能的取值为：0,1,2,3.{ξ＝0}，表示取出0个白球，3个黑球；{ξ＝1}，表示取出1个白球，2个黑球；{ξ＝2}，表示取出2个白球，1个黑球；{ξ＝3}，表示取出3个白球，0个黑球．[例2] 个球，设X 表示取出3个球中的最大号码，求X 的概率分布．[解] 根据题意，随机变量X 的所有可能取值为3,4,5,6.X ＝3，即取出的3个球中最大号码为3，其他2个球的号码为1,2.所以，P (X ＝3)＝C 22C 6＝120； X ＝4，即取出的3个球中最大号码为4，其他2个球只能在号码为1,2,3的3个球中取．所以，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320；X ＝5，即取出的3个球中最大号码为5，其他2个球只能在号码为1,2,3,4的4个球中取．所以，P (X ＝5)＝C 24C 36＝310；X ＝6，即取出的3个球中最大号码为6，其他2个球只能在号码为1,2,3,4,5的5个球中取．所以，P ＝(X ＝6)＝C 25C 36＝12.所以，随机变量X 的概率分布为：求随机变量的概率分布的关键是搞清离散型随机变量X 取每一个值时对应的随机事件，然后利用排列组合的知识求出X 取每个值时的概率，最后列出表格即可．2．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取1个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，每取到一个红球则得2分，用X 表示所得分数，求X 的概率分布列．解：由题意知X 的可能取值为0,1,2，则P (X ＝0)＝C 14C 19＝49，P (X ＝1)＝C 13C 19＝13，P (X ＝2)＝C 12C 19＝29.故X 的概率分布列为：[例3] 设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝10，k ＝1,2,3,4.求：(1)P (X ＝1或X ＝2)；(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <72. [解] ∵P (X ＝k )＝k10，k ＝1,2,3,4，(1)P (X ＝1或X ＝2)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝110＋210＝310. (2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <72 ＝P (X ＝1或X ＝2或X ＝3) ＝1－P (X ＝4)＝1－410＝610＝35.利用离散型随机变量概率分布的性质可以求随机变量在某个范围内取值的概率，此时只需根据随机变量的取值范围确定随机变量可取哪几个值，再利用分布表即可得到它的概率，注意分布表中随机变量取不同值时所表示的随机事件彼此互斥，因此利用概率的加法公式即可求出其概率．3．某离散型随机变量的概率分布列如下：(1)求常数a ，k ； (2)求概率P (X ≤5)．解：(1)因为随机变量X 的取值及其概率的值都是按等差数列变化的，因此只要确定项数n 就可以求出常数a .所以n ＝23－－－－－＋1＝273＋1＝10，a ＝1＋(10－1)(3－1)＝19.即k ＋3k ＋5k ＋…＋19k ＝1，求得k ＝0.01.(2)由加法公式，可以得到P (X ≤5)＝P (X ＝－4)＋P (X ＝－1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝5)＝k ＋3k ＋5k ＋7k ＝16k ＝0.16.在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇)，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．若以X 表示笼内还剩下的果蝇的只数，求X 的概率分布．[尝试] [巧思] 若以A k 表示事件“剩下k 只果蝇”(k ＝0,1，…，6)，则当A k 发生时，第(8－k )只飞出的蝇子是苍蝇，且在前(7－k )只飞出的蝇子中恰有1只是苍蝇，因此P (A k )＝C 17－kC 28＝7－k28. [妙解] 设A k 表示事件“剩下k 只果蝇”(k ＝0,1,2，…，6)，则P (A k )＝C 17－k C 28＝7－k28.∴P (X ＝0)＝P (A 0)＝728；P (X ＝1)＝P (A 1)＝628；P (X ＝2)＝P (A 2)＝528；P (X ＝3)＝P (A 3)＝428； P (X ＝4)＝P (A 4)＝328；P (X ＝5)＝P (A 5)＝228；P (X ＝6)＝P (A 6)＝128.即X 的概率分布列为1．一个袋中装有除颜色外完全相同的2个黑球和6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是( )A ．取到的球的个数B ．取到红球的个数C ．至少取到一个红球D ．至少取到一个红球或一个黑球解析：选B A 中叙述的结果是确定的，不是随机变量，B 中叙述的结果可能是0,1,2，所以是随机变量．C 和D 叙述的结果也是确定的，而且不能包含所有可能出现的结果，故不是随机变量．2．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能值的个数是( )A ．25B ．10C ．9D ．5解析：选C 第一次可取1,2,3,4,5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1,2,3,4,5中的任何一个，两次的号码和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10.3．已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝a (11－2k )，k ＝1,2,3,4,5，其中a 为常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<ξ<235＝( )A.35 B.1325 C.45D.825解析：选D 由a (9＋7＋5＋3＋1)＝1，可得a ＝125，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<ξ<235＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝525＋325＝825，故选D.4．甲进行3次射击，甲击中目标的概率为12，记甲击中目标的次数为X ，则X 的可能取值为________．解析：甲可能在3次射击中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次． 答案：0,1,2,35．随机变量X 的概率分布列如图所示：(1)x ＝(2)P (X >3)＝________； (3)P (1<X ≤4)＝________.解析：(1)由X 概率分布的性质得0.2＋x ＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x ＝0； (2)P (X >3)＝P (X ＝4)＋P (X ＝5)＋P (X ＝6) ＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45；(3)P(1<X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝0＋0.35＋0.1＝0.45.答案：(1)0 (2)0.45 (3)0.456．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．解：(1)设“当天商店不进货”为事件A，“当天商品的销售量为0件”为事件B，“当天商品的销售量为1件”为事件C，则P(A)＝P(B)＋P(C)＝120＋520＝310.(2)由题意，知X的可能取值为2,3.P(X＝2)＝P(C)＝520＝14，P(X＝3)＝1－P(X＝2)＝1－14＝34.故X的分布列为一、选择题1．有下列四个命题：①某立交桥一天经过的车辆X；②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X；③测量一批电阻，阻值在950 Ω～1 200 Ω之间；④一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X.其中是离散型随机变量的是( )A．①②B．①③C．①④D．①②④解析：选A ①②中变量X所有可能取值是可以一一列出，是离散型随机变量，而③④中的结果不能一一列出，故不是离散型随机变量．2．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取得黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为( ) A．X＝4 B．X＝5C．X＝6 D．X≤4解析：选C 第一次取到黑球，则放回1个球，第二次取到黑球，则共放回2个球…，共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6.3．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，若P(X<4)＝0.3，则n的值为( )A．3 B．4C．10 D．不确定解析：选C X的概率分布表为：P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝n ＝0.3＝10.∴n＝10.4．从含有2名女生的10名大学毕业生中任选3人进行调研，记女生入选的人数为X，则X的概率分布列为( )A.C.解析：选A X 的所有可能取值为0,1,2，“X ＝0”表示入选3人全是男生， 则P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，“X ＝1”表示入选3人中恰有1名女生， 则P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，“X ＝2”表示入选3人中有2名女生， 则P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.因此X 的概率分布列为：二、填空题5．在8件产品中，有3 件次品，5 件正品，从中任取一件，取到次品就停止，抽取次数为X ，则“X ＝3”表示的试验结果是________．解析：X ＝3表示前2次均是正品，第3次是次品． 答案：共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品6．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分X 的所有可能取值是__________．解析：可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．答案：300,100，－100，－3007．已知随机变量X 只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围为________．解析：设X 的概率分布为：⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝1，0≤a －d ≤1，0≤a ＋d ≤1.解得－13≤d ≤13.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 8．设随机变量X 的概率分布为P (X ＝k )＝ak (k ＝1,2，…，n )，则常数a ＝________. 解析：由分布列的性质可得，a (1＋2＋…＋n )＝1，所以a ＝2n n ＋.答案：2nn ＋三、解答题9．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X ； (2)一袋中装有5只同样大小的球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数X .解：(1)X 可取0,1,2.X ＝i ，表示取出的3个球中有i 个白球，3－i 个黑球，其中i ＝0,1,2.(2)X 可取3,4,5.X ＝3，表示取出的3个球的编号为1,2,3；X ＝4，表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；X ＝5，表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5.10．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)求x ，y 的值；(2)将频率视为概率，求顾客一次购物的结算时间X 的分布列． 解:(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P (X ＝1)＝15100＝320，P (X ＝1.5)＝30100＝310， P (X ＝2)＝25100＝14，P (X ＝2.5)＝20100＝15， P (X ＝3)＝10100＝110. X 的分布列为。
2019年数学新同步湘教版选修2-3讲义+精练：第8章 8.2.6 离散型随机变量的数学期望 Word版含解析
8．2.6 离散型随机变量的数学期望[读教材·填要点]1．离散型随机变量X 的数学期望当离散型随机变量X 有概率分布p i ＝P (X ＝x j )，j ＝0,1，…，n ，就称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 为X 的数学期望或均值．如果X 是从某个总体中随机抽取的个体，X 的数学期望E (X )就是总体均值μ. 2．数学期望的有关公式(1)若Y ＝aX ＋b ，a ，b 为常数，则E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ； (2)当X 服从两点分布B (1，p )时，E (X )＝p ； (3)当X 服从二项分布B (n ，p )时，E (X )＝np ； (4)当X 服从超几何分布H (N ，M ，n )时，E (X )＝n MN.[小问题·大思维]1．随机变量X 的均值E (X )是一个常数还是一个变量？提示：随机变量X 是可变的，可以取不同的值，而数学期望(或均值)是不变的，它描述X 取值的平均水平，由X 的分布列唯一确定．2．若c 为常数，则E (c )为何值？提示：由离散型随机变量的均值的性质E (aX ＋b )＝aE (X )＋b 可知，若a ＝0，则E (b )＝b ，即若c 为常数，则E (c )＝c .3．E (X )与X 的单位是否一致？提示：E (X )表示随机变量X 的平均值，因此E (X )与X 的单位是一致的．[例1]位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： (1)顾客所获的奖励额为60元的概率； (2)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望； [解]设顾客所获的奖励额为X .(1)依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.(2)依题意，得X 的所有可能取值为20,60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，即X 的分布列为所以顾客所获的奖励额的期望为 E (X )＝20×12＋60×12＝40(元)．解决此类问题的一般步骤为：①明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果； ②求出随机变量取各个值的概率； ③列出概率分布； ④利用均值公式进行计算．1．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．解：(1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14. (2)X 的所有可能值为0,1,2，且P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上知，X 的分布列为故E (X )＝0×715＋1×715＋2×115＝35⎝⎛⎭⎫或E (X )＝3×210＝35. 2．某运动员投篮命中率为p ＝0.6. (1)求一次投篮时命中次数X 的数学期望； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y 的数学期望． 解：(1)投篮一次，命中次数X 的概率分布为：则E (X )＝p ＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5,0.6)． 则E (Y )＝np ＝5×0.6＝3.[例2](1)求m 的值； (2)求E (X )；(3)若Y ＝2X －3，求E (Y )． [解](1)由随机变量概率分布的性质， 14＋13＋15＋m ＋120＝1，解得m ＝16. (2)E (X )＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.(3)法一：由公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，得E (Y )＝E (2X －3)＝2E (X )－3＝2×⎝⎛⎭⎫－1730－3＝－6215. 法二：由于Y ＝2X －3， 所以Y 的概率分布为：所以E (Y )＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×120＝－6215.保持例题条件不变，若Y ＝aX ＋3，且E (Y )＝－112，求a 的值．解：E (Y )＝E (aX ＋3)＝aE (X )＋3＝－1730a ＋3＝－112，∴a ＝15.求均值的关键是求出概率分布，只要求出随机变量的概率分布，就可以套用均值的公式求解，对于aX ＋b 型随机变量的均值，可以利用均值的性质求解，当然也可以先求出aX ＋b 的概率分布，再用定义求解．3．随机变量X 可能取的值为1,2,3,4.P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1,2,3,4)．又X 的数学期望E (X )＝3，求E (aX ＋b )的值．解：由已知得(a ×1＋b )＋(a ×2＋b )＋(a ×3＋b )＋(a ×4＋b )＝1，即10a ＋4b ＝1.① 又E (X )＝3，故(a ＋b )×1＋(2a ＋b )×2＋(3a ＋b )×3＋(4a ＋b )×4＝3，即30a ＋10b ＝3.②联立①，②，解得b ＝0，a ＝110， ∴E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ＝110E (X )＝110×3＝0.3.[例3]期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．Y 表示经销一件该商品的利润．(1)求事件A “购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P (A )； (2)求Y 的分布列及均值E (Y )．[解](1)由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知，A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．P (A )＝(1－0.4)3＝0.216， P (A )＝1－P (A )＝1－0.216＝0.784.(2)Y 的可能取值为200元，250元，300元． P (Y ＝200)＝P (X ＝1)＝0.4，P (Y ＝250)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4， P (Y ＝300)＝P (X ＝4)＋P (X ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2， 因此Y 的分布列为E (Y )＝200×0.4＋250×处理与实际问题有关的均值问题，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并求出随机变量的概率分布，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值．4．某游戏射击场规定：①每次游戏射击5发子弹；②5发全部命中奖励40元，命中4发不奖励，也不必付款，命中3发或3发以下，应付款2元．现有一游客，其命中率为0.5.(1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率； (2)求该游客在一次游戏中获得奖金的均值． 解：(1)设5发子弹命中X (X ＝0,1,2,3,4,5)发， 则由题意有P (X ＝5)＝C 55⎝⎛⎭⎫125＝132. (2)X 的分布列为设游客在一次游戏中获得奖金为Y 元， 于是Y 的分布列为故该游客在一次游戏中获得奖金的均值为E(Y)＝(－2)×2632＋0×532＋40×132＝－0.375(元).万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防方案允许甲、乙两种措施单独采用，联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少．(总费用＝采取预防措施的费用＋发生突发事件损失的均匀值) [尝试][巧思]用数学期望确定三种预防方案哪种使用总费用最少，分别求出单独采用甲措施，单独采用乙措施，联合采用甲乙措施的总费用，然后选取最小者即可．[妙解]①不采取预防措施时，总费用损失期望值为400×0.3＝120(万元)；②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9＝0.1，损失期望值为400×0.1＝40(万元)，所以总费用为45＋40＝85(万元)．③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85＝0.15，损失均匀值为400×0.15＝60(万元)，所以总费用30＋60＝90(万元)．④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用45＋30＝75(万元)，发生突发事件的概率为(1－0.9)(1－0.85)＝0.015，损失均值为400×0.015＝6(万元)，所示总费用为75＋6＝81(万元)．综合①②③④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少．1．随机变量次品数X 的概率分布为：则E (5X ＋4)等于( )A ．13B ．11C ．2.2D ．2.3 解析：选AE (X )＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8， E (5X ＋4)＝5E (X )＋4＝5×1.8＋4＝13.2．口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X 的期望为( )A.13B.23C ．2 D.83 解析：选D X ＝2,3.P (X ＝2)＝1C 23＝13，P ＝(X ＝3)＝C 12C 23＝23.∴E (X )＝2×13＋3×23＝83.3．一名射手每次射击中靶的概率均为0.8，则他独立射击3次中靶次数X 的均值为( ) A ．0.8 B ．0.83 C ．3D ．2.4 解析：选D 射手独立射击3次中靶次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.8)，∴E (X )＝3×0.8＝2.4.4．某人共有5发子弹，他射击一次命中目标的概率为12，击中目标射击停止，射击次数X 为随机变量，则E (X )＝________.解析：由题易知，X 的概率分布为：可知E (X )＝1×12＋2×14＋3×18＋4×116＋5×116＝3116.答案：31165.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E (X )等于( )A.126125B.65C.168125D.75解析：选B 由题意X 可取0,1,2,3，且P (X ＝0)＝33125＝27125，P (X ＝1)＝9×6125＝54125，P (X＝2)＝3×12125＝36125，P (X ＝3)＝8125.故E (X )＝54125＋2×36125＋3×8125＝65. 6．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)X 表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X 的期望． 解：记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买． (1)P (A )＝0.5，P (B )＝0.3，C ＝A ∪B ， P (C )＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.8. (2)D ＝C －，P (D )＝1－P (C )＝1－0.8＝0.2， X ～B (100,0.2)，即X 服从二项分布， 所以期望E (X )＝100×0.2＝20.一、选择题1．已知X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12，Y ～B ⎝⎛⎭⎫n ，13.且E (X )＝15，则E (Y )等于( ) A ．5 B ．10 C ．15D ．20解析：选B 因为X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12，所以E (X )＝n 2， 又E (X )＝15，则n ＝30.所以Y ～B ⎝⎛⎭⎫30，13， 故E (Y )＝30×13＝10.2．已知随机变量X 的概率分布为：E (X )＝7.5，则a 等于( A ．5B ．6C ．7D ．8 解析：选C ∵E (X )＝4×0.3＋0.1×a ＋9b ＋2＝7.5， 0．3＋0.1＋b ＋0.2＝1，∴a ＝7，b ＝0.4.3．袋中有7个球，其中有4个红球，3个黑球，从袋中任取3个球，以X 表示取出的红球数，则E (X )为( )A.6135B.127C.2235D.1835解析：选B 随机变量X 的取值分别为0,1,2,3，且P (X ＝0)＝C 33C 37＝135，P (X ＝1)＝C 14C 23C 37＝1235，P (X ＝2)＝C 24C 13C 37＝1835，P (X ＝3)＝C 34C 37＝435，∴E (X )＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435＝127. 4．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花销售情况需求量X (束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则期望利润是( )A ．706元 C ．754元D ．720元解析：选A 节日期间这种鲜花需求量的均值为E (X )＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)．设利润为Y ，则Y ＝5X ＋1.6(500－X )－500×2.5 ＝3.4X －450，所以E (Y )＝3.4E (X )－450＝3.4×340－450＝706(元)． 二、填空题5．若随机变量X ～B (40，p )，且E (X )＝16，则p ＝________. 解析：∵E (X )＝16，∴40p ＝16，∴p ＝0.4. 答案：0.46．同时抛掷2枚均匀的硬币100次，设两枚硬币都出现正面的次数为X ，则E (X )＝________.解析：掷两枚均匀的硬币，两枚硬币都出现正面的概率为p ＝12×12＝14，所以X ～B ⎝⎛⎭⎫100，14. 故E (X )＝np ＝100×14＝25.答案：257．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.解析：∵P (X ＝0)＝112＝(1－p )2×13，∴p ＝12，随机变量X 的可能值为0,1,2,3，因此P (X ＝0)＝112，P (X ＝1)＝23×⎝⎛⎭⎫122＋2×13×⎝⎛⎭⎫122＝13，P (X ＝2)＝23×⎝⎛⎭⎫122×2＋13×⎝⎛⎭⎫122＝512，P (X ＝3)＝23×⎝⎛⎭⎫122＝16，因此E (X )＝1×13＋2×512＋3×16＝53.答案：538．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是________．解析：X 的取值为6,9,12，相应的概率为P (X ＝6)＝C 38C 310＝715，P (X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115，E (X )＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8. 答案：7.8 三、解答题9．某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：(1)由已知，有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13. 所以事件A 发生的概率为13. (2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715，P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415. 所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝0×415＋1×715＋2×415＝1. 10．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列．解：(1)记“每一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，P (A )＝A 12A 13A 25＝310. (2)X 的可能取值为200,300,400.P (X ＝200)＝A 22A 25＝110， P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－110－310＝6 10.故X的分布列为E(X)＝200×110＋300×310＋400×610＝350.。
2012高中数学 第8章8.2.6知能优化训练 湘教版选修2-3
知能优化训练1．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分ξ的期望是( )A ．0.2B ．0.8C ．1D ．0解析：选B.因为P (ξ＝1)＝0.8，P (ξ＝0)＝0.2，所以E (ξ)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.2．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若ξ表示取到次品的个数，则E (ξ)等于( ) A.35 B.815 C.1415D ．1 解析：选A.ξ～H (10,3,2)，E (ξ)＝3×210＝35. 3．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数X 的期望为( )A ．0.6B ．1C ．3.5D ．2解析：选C.X 1 2 3 4 5 6 P 16 16 16 16 16 16E (X )＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×16＝3.5. 4．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种1粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________．解析：∵种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，没有发芽的种子数即为补种的种子数，则X ～B (1000,0.1)，∴E (X )＝1000×0.1＝100.答案：100一、选择题1．若X 的分布列为X0 1 P15 a ，则E (X )＝( )A.45B.12C.25D.15 解析：选A.由题意知15＋a ＝1，E (X )＝0×15＋a ＝a ＝45. 2．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球的命中率是0.7，则他罚球6次的总得分的均值是( )A ．0.70B ．6C ．4.2D ．0.42解析：选C.得分X ～B (6,0.7)，E (X )＝6×0.7＝4.2.3．已知ξ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12，η～B (n ，13)，且E (ξ)＝15，则E (η)等于( ) A ．5 B ．10C ．15D ．20解析：选B.E (ξ)＝12n ＝15，∴n ＝30， ∴η～B ⎝⎛⎭⎫30，13，∴E (η)＝30×13＝10. 4．李老师乘车到学校，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.5，则他上班途中遇见红灯次数的数学期望是( )A ．0.4B ．1.5C ．0.43D ．0.6解析：选B.途中遇到红灯次数服从二项分布X ～B (3，0.5)，∴E (X )＝3×0.5＝1.5.5．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为23，则此人试验次数ξ的期望是( ) A.43 B.139C.53D.137解析：选B.试验次数ξ的可能取值为1,2,3，P (ξ＝1)＝23， P (ξ＝2)＝13×23＝29， P (ξ＝3)＝13×13×⎝⎛⎭⎫23＋13＝19. 所以ξ的分布列为 所以E (ξ)＝1×23＋2×29＋3×19＝139. 6．若X 、Y 是离散型随机变量，且Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，则有E (Y )＝aE (X )＋b .利用这个公式计算E (E (ξ)－ξ)＝( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定解析：选A.∵E (ξ)是常数，∴E (E (ξ)－ξ)＝E (ξ)＋E (－ξ)＝E (ξ)－E (ξ)＝0.二、填空题7．已知随机变量ξ则x ＝________，P (1≤ξ解析：x ＝1－(0.1＋0.2＋0.3＋0.1)＝0.3，P (1≤ξ<3)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝0.2＋0.3＝0.5，E (ξ)＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.3＋4×0.1＝2.1.答案：0.3 0.5 2.18．随机变量X 的分布列为则E (X )＝________.解析：由均值的定义得E (X )＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.答案：2.49．设离散型随机变量ξ可能的取值为1,2,3,4，P (ξ＝k )＝ak ＋b (k ＝1,2,3,4)，又ξ的数学期望E (ξ)＝3，则a ＋b ＝________.解析：∵E (ξ)＝1×(a ＋b )＋2×(2a ＋b )＋3×(3a ＋b )＋4×(4a ＋b )＝3，即30a ＋10b ＝3，又a ＋b ＋2a ＋b ＋3a ＋b ＋4a ＋b ＝1，即10a ＋4b ＝1，解得：a ＝110，b ＝0， ∴a ＋b ＝110. 答案：110三、解答题10．某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取，假设任一客户去领奖的概率为4%.问：寻呼台能否向每一位顾客都发出领奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少份礼品？解：设来领奖的人数ξ＝k (k ＝0,1,2，…，3000)，所以P (ξ＝k )＝C k 3000·0.04k ·(1－0.04)3000－k ， 可见ξ～B (3000，0.04)，所以E (ξ)＝3000×0.04＝120(人)>100(人)．所以不能向每一位顾客都发出领奖邀请，寻呼台至少应准备120份礼品，才能使每一位领奖人都得到礼品．11．某游戏射击场规定：①每次游戏射击5发子弹；②5发全部命中奖励40元；命中4发不奖励，也不必付款；命中3发或3发以下，应付款2元．现有一游客，其命中率为0.5.(1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率；(2)求该游客在一次游戏中获得奖金的均值.解：(1)设5发子弹命中ξ(ξ＝0,1,2,3,4,5)发，则由题意有P (ξ＝5)＝C 550.55＝132. (2)ξ的分布列为于是X 的分布列为故该游客在一次游戏中获得奖金的均值：E (X )＝(－2)×2632＋0×532＋40×132＝－0.375(元)． 12．两名战士在一次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4、0.1、0.5；战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1、0.6、0.3，那么两名战士获胜希望较大的是谁？ 解：设这次射击比赛战士甲得X 1分，战士乙得X 2分，则分布列分别如下：根据均值公式，得E (X 1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1；E (X 2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2.E (X 2)＞E (X 1)，故这次射击比赛战士乙得分的均值较大，所以乙获胜希望大．。
湘教版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第3章 概率 3.2.3 离散型随机变量的数学期望
.
3.若X服从参数为N,M,n的超几何分布,即X~H(N,M,n),则E(X)=
.
自主诊断
1.一名射手每次射击中靶的概率为0.9,则独立射击3次中靶的次数X的数学
2.7
期望是
.
解析 E(X)=3×0.9=2.7.
2.在10件产品中有3件次品,从中不放回地抽5件产品,抽到次品数的数学期
是
3
2
.
A.1
B.2 C.3 D.4
解析 (方法一)设小王正确完成的面试题数为X,则X的可能取值为1,2,3.
C 22 ·C 14
P(X=1)= C 3
6
C 12 ·C 24
P(X=2)= C 3
6
C 02 ·C 34
P(X=3)= C 3
6
=
4
20
=
12
20
=
4
20
=
1
;
5
=
3
;
5
=
1
.
5
1
3
1
∴E(X)=1×5+2×5+3×5=2.
(1)均值是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均数.
(2)离散型随机变量的均值E(X)是一个数值,是随机变量X本身固有的一个
数字特征,它不具有随机性,反映的是随机变量取值的平均水平.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)随机变量X的均值E(X)是个变量,其随X的变化而变化.( × )
是先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(Y);也可以利用X的分布
列得到Y的分布列,关键由X的取值计算Y的取值,对应的概率相等,再由定义
湘教版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第3章 概率 离散型随机变量的方差 分层作业册
故事件A,B,C发生次数的方差之比为3∶3∶2,故选C.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1
发生的概率为5,
,
3.已知 A1,A2 为两所高校举行的自主招生考试,某同学参加每所高校的考试获
1
得通过的概率均为2,该同学一旦通过某所高校的考试,就不再参加其他高校
的考试.设该同学通过考试的高校个数为随机变量 X,则 D(X)=( A )
解(1)甲、乙两人射击命中的次数服从二项分布,故乙至多击中目标2次的
概率为
3 2 3 19
1-C3 ( ) = .
3 27
1
(2)由题意知 Z~B(3,2),
0 1 3 1
P(Z=0)=C3 ( ) = ,
2 8
1 1 3 3
P(Z=1)=C3 (2) =8,
2 1 3 3
P(Z=2)=C3 (2) =8,
2
2
又 0≤a≤1,0≤3-a≤1,故可得 a∈ 0, 3 ,
1
1
8
1
2
2
则当 a=3时,D(X)的最大值为-4×9 + 3 × 3 + 9 = 3,又 D(3X-1)=9D(X),故
2
D(3X-1)的最大值为 9×3=6.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
12.在一次随机试验中,事件A发生的概率为p,0<p<1,事件A发生的次数为ξ,
解析 因为随机ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量 X 服从两点分布,且
3
2
E(X)= ,D(X)=
5
5
3
5
× =
2
8.2.7随机变量的方差课件-湘教版数学选修2-3
【方法技能】利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤 (1)比较均值.离散型随机变量的均值反应了离散型随机变量取 值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看 一下谁的平均水平高. (2)在均值相等的情况下计算方差.方差反应了离散型随机变量 取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析 一下谁的水平发挥相对稳定. (3)下结论.根据均值和方差的几何意义做出结论.
【知识拓展】证明公式D(X)=E(X2)-(E(X))2
证明:D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn
=(
x12
p1+
x
22p2+…+
x
2 n
pn)-2E(X)(x1p1+x2p2+…+xnpn)
+(E(X))2(p1+p2+…+pn)
=E(X2)-2(E(X))2+(E(X))2
随机变量的方差
1.离散型随机变量的方差及标准差的定义是什么？ 问题 2.方差具有哪些性质？两点散布与二项散布的方差分别 引航 是什么？
3.如何计算简单离散型随机变量的方差？
1.方差、标准差的定义及方差的性质
(1)方差及标准差的定义:
设离散型随机变量X的散布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
1
3
P
1
3
1
5
5
5
由散布列可知E(ξ)=1 1 2 3 3 1 =2，
湘教版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第3章 概率 离散型随机变量及其分布 分层作业册
P(X≤120)=0.8时,P(Y>2 600)的值为
0.2
解析 根据题意有Y=15X+800.
因为X≤120,故15X+800≤2 600,即Y≤2 600.
所以P(Y≤2 600)=P(X≤120)=0.8,
从而P(Y>2 600)=1-0.8=0.2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
5.甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8,0.7,他们各自投篮1
次,设两人命中总次数为X,则X的分布列为( D )
A.
X
P
0
0.08
1
0.14
2
0.78
C.
X
P
0
0.06
1
0.56
2
0.38
B.
X
P
0
0.06
1
0.24
2
0.56
D.
X
P
0
0.06
1
0.38
2
0.56
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
D.10
+
1
=0.2,所以
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
n=10.故选 D.
3.甲、乙两班进行足球对抗赛,每场比赛赢了的队伍得3分,输了的队伍得0
分,平局的话,两队各得1分,共进行三场.用ξ表示甲的得分,则ξ=3表示( D )
A.甲赢三场
B.甲赢一场、输两场
4.离散型随机变量X的概率分布直观图如图所示,则a=( C )
湘教版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第3章 概率 3.2.1 离散型随机变量及其分布
取值范围相当于函数的值域
把试验结果映射为实数,即随机变 把实数映射为实数,即函数的自
量的自变量是试验结果
变量是实数
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)随机变量的取值可以是有限个,也可以是无限个.( √ )
(2)试验之前不能判断离散型随机变量的所有值.( × )
2.抛掷两枚骰子,所得点数之和记为ξ,那么ξ=4表示的随机试验的结果是
简称为X的 分布列 .
离散型随机变量X的概率分布列也可以列成下表:
X
P
x1
P1
x2
P2
…
…
xi
Pi
…
…
xn
Pn
2.离散型随机变量的分布列的性质:
(1)pi≥0,i=1,2,3,…,n;
(2)p +p +…+p = 1
1
2
n
.
利用此性质检验所求分布列中的概率是否正确
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
故2X+1的分布列为
2X+1
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
变式探究 若例2的分布列不变,求η=|X-1|时的随机变量η的分布列.
解 由例2可知当m=0.3时,X与|X-1|的关系列表如下:
X
0
1
2
|X-1|
1
0
1
故P(η=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3,
3
4
2
A.第5次击中目标
B.第5次未击中目标
湘教版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第3章 概率 全概率公式 贝叶斯公式 分层作业册
则
7
3
1
4
P(A)= ,P(B)= ,P(R|A)= ,P(R|B)= .
10
10
2
5
事件“试验成功”表示为 RA∪RB,又事件 RA 与事件 RB 互斥,所以由概率的
加法公式得
4
5
×
3
10
=
1
P(RA∪RB)=P(RA)+P(RB)=P(R|A)·P(A)+P(R|B)·P(B)=
记事件Bj表示“第j次取到的是一等品”,则j=1,2.由题意得
1
P(A1)=P(A2)=P(A3)=3,
20
12
P(B1|A1)=50 =0.4,P(B1|A2)=30 =0.4,
任取一个,则取到优质品的概率是
0.68
.
解析 设B=“任取一个产品为优质品”,A1=“产品由甲生产线生产”,A2=“产品
由乙生产线生产”,
根据题意得P(A1)=0.6,P(A2)=0,4,P(B|A1)=0.7,P(B|A2)=0.65,
根据题意可知样本空间Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥.
所以根据全概率公式可
选一袋,从中任取一球,若取到的球是红球的概率为
数为
2
1
4
,则乙袋中红球的个
.
解析 设乙袋中红球的个数为 x(0<x<6,x∈N),记事件 A=“抽取的为甲袋”,记
事件 B=“抽取的为乙袋”,则
1
P(A)=P(B)=2,记事件
C=“抽取的一球为红球”,则
1
1
P(C|A)=6,P(C|B)=6 ,P(C)=P(A)·P(C|A)+P(B)·P(C|B)=2
高中数学湘教版 第3章 概率 课后练习、课时练习
一、单选题1. 若随机变量的分布列为且，则的值为（）A．B．C．D．2. 某小区有1000户各户每月的用电量近似服从正态分布N（300，100），则用电量在320度以上的户数估计约为（）参考数据：若随机变量与服从正态分布A．17 B．23 C．34 D．3. 设随机变量服从正态分布，则（）A．B．C．D．4. 从一批含有8件正品，2件次品的产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X，则（）A．B．C．D．5. 在某项测验中，假设测验数据服从正态分布.如果按照，，，的比例将测验数据从大到小分为，，，四个等级，则等级为的测验数据的最小值可能是（）【附：随机变量服从正态分布，则，，】A．75 B．79 C．83 D．916. 若事件E与事件F相互独立，且，则=（）A．0B．C．D．二、多选题7. 若随机变量，的密度函数为，则（）A．的密度曲线与轴只有一个交点B．的密度曲线关于对称C．D．若，则8. 已知事件满足，则（）A．事件相互独立B．C．事件互斥D．三、填空题9. 一批产品中，有10件正品和5件次品，现对产品逐个进行检测，如果已检测到前3次均为正品，则第4次检测的产品仍为正品的概率是__________．10. 设随机变量服从正态分布，则函数不存在零点的概率为________．11. 甲乙两个盒子中装有大小、形状相同的红球和白球，甲盒中有5个红球，2个白球；乙盒中有4个红球，3个白球.先从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，则从乙盒中取出的是红球的概率为______.12. 已知随机变量的期望为3，则______.四、解答题13. 从4名男生和2名女生中任选2人参加抗疫志愿服务活动.（1）设X表示所选2人中男生的人数，求X的分布列和数学期望E（X）；（2）已知选出了A，B这两人参加此次服务活动，A的服务满意率为0.87，B的服务满意率为0.91，用“Y A＝1，Y B＝1，”分别表示对A，B的服务满意，“Y A＝0，Y B＝0，”分别表示对A，B的服务不满意，写出方差D（Y A），D（Y B）的大小关系.（只需写出结论）14. 4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每日课外阅读的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a的值，并估计1000名学生每日阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值），若学生甲的阅读时长排在第600名，估计该生的阅读时长；(2)若采用分层抽样的方法，从样本在内的学生中共抽取5人来进一步了解阅读情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求抽取的这2名学生来自不同组的概率；(3)从全市所有中学生中随机抽取4人进行进一步调查，求4人中恰有两人课外阅读时长均不超过60分钟的概率.15. 已知随机变量X的分布列为X0 1 xP p若，(1)求的值;(2)若，求的值.16. 每年8月8日为我国的全民健身日,倡导大家健康、文明、快乐的生活方式．为了激发学生的体育运动兴趣,助力全面健康成长,某中学组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活动．为了解该校学生参与活动的情况,随机抽取100名学生作为样本,统计他们参加体育锻炼活动时间(单位:分钟),得到下表：(1)从该校随机抽取1名学生,若已知抽到的是女生,估计该学生参加体育锻炼活动时间在的概率；(2)从参加体育锻炼活动时间在和的学生中各随机抽取1人,其中初中学生的人数记为X,求随机变量X的分布列和数学期望；(3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替,样本中的100名学生参加体育锻炼活动时间的平均数记为,初中、高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为．写出一个m的值,使得(结论不要求证明)。
2018年数学同步优化指导湘教版选修2-3练习：8-2-7 离
第8章 8.2 8.2.71．下列说法中，正确的是( )A ．离散型随机变量的均值E (X )反映了X 取值的概率平均值B ．离散型随机变量的方差D (X )反映了X 取值的平均水平C ．离散型随机变量的均值E (X )反映了X 取值的平均水平D ．离散型随机变量的方差D (X )反映了X 取值的概率平均值解析：离散型随机变量X 的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．答案：C2．已知X ～B (n ，p )，E (X )＝2，D (X )＝1.6，则n ，p 的值分别为( ) A ．100,0.8 B ．20,0.4 C ．10,0.2D ．10,0.8解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧np ＝2，np (1－p )＝1.6，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝0.2，n ＝10.答案：C3．已知X 的分布列为则D (X )等于( ) A ．0.7 B ．0.61 C ．－0.3D ．0解析：∵E (X )＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，∴D (X )＝(－1＋0.3)2×0.5＋(0＋0.3)2×0.3＋(1＋0.3)2×0.2＝0.61. 答案：B4．从1,2,3,4,5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数乘积的数学期望是________． 解析：从1,2,3,4,5中任取不同的两个数，其乘积X 的值为2,3,4,5,6,8,10,12,15,20，取每个值的概率都是110，∴E (X )＝110×(2＋3＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15＋20)＝8.5.答案：8.55．设在15个同类型的零件中有2个是次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出不再放回．若以ξ表示取出次品的个数，求ξ的均值E (ξ)和方差D (ξ)．解：P (ξ＝0)＝C 313C 315＝2235，P (ξ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235，P (ξ＝2)＝C 22C 113C 315＝135.故ξ的概率分布是∴E (ξ)＝0×2235＋1×1235＋2×135＝25，D (ξ)＝⎝⎛⎭⎫0－252×2235＋⎝⎛⎭⎫1－252×1235＋⎝⎛⎭⎫2－252×135＝52175.。
高中数学 8_2_1 概率的加法公式同步精练 湘教版选修2-31
高中数学 8.2.1 概率的加法公式同步精练 湘教版选修2-3基础巩固1在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )A.112B.110C.15D.3102一个口袋内有9张大小相同的票，其号数分别为1,2,3，…，9，从中任取2张，其号数至少有1个为偶数的概率等于( )A.59B.49C.518D.13183某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查1件抽得正品的概率为 …( )A ．0.99B ．0.98C ．0. 97D ．0.964设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P(a ，b)．记“点P(a ，b)落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n≤5，n∈N )，若事件C n 的概率最大，则n 的所有可能值为( )A ．3B ．4C ．2和5D ．3和45甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同．其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为________．(答案用分数表示)6在一次口试中，要从10道题中随机抽出3道题进行回答，答对了其中的2道题就获得及格，某考生会回答10道题中的6道题，那么他(她)获得及格的概率是．7掷一枚骰子，事件A ＝“朝上一面的点数是奇数”，事件B ＝“朝上一面的点数不超过3”，求P(A∪B)．下面给出两种不同解法：解法一：∵P(A)＝36＝12，P(B)＝36＝12，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝12＋12＝1. 解法二：A∪B 这一事件包括4种结果，即出现1,2,3和5.所以P(A∪B)＝46＝23. 请你判断解法一和解法二的正误．综合过关8电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为( )A.1180 B.1288 C.1360 D.14809一个口袋中装有大小相同的2个红球，3个黑球和4个白球．从口袋中一次摸出一个球，摸出的球不再放回．(1)连续摸球2次，求第一次摸出黑球、第二次摸出白球的概率；(2)如果摸出红球，则停止摸球，求摸球次数不超过3次的概率．能力提升10一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球，已知袋中共有10个球，从中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.求： (1)从中任意摸出2个球，得到的都是黑球的概率；(2)袋中白球的个数．参考答案1解析：基本事件总数为C 25＝10，数字之和为3或6，则可以是1与2,2与4,1与5，共有3种符合条件的情况．所以所求概率为310. 答案：D2解析：从1～9这9张卡片中任取2张，这两张中没有偶数的抽法有C 25种，故这两张中没有偶数的概率为C 25C 29＝518，故所求概率为1－518＝1318，故选D. 答案：D3解析：P ＝1－(0.03＋0.01)＝0.96.答案：D4解析：点P(a ，b)共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)6种情况，x ＋y 分别等于2,3,4,3,4,5，∴出现3与4的概率最大．∴n＝3和4.答案：D5解析：P(A)＝C 14·C 11C 16·C 16＝46×6＝19. 答案：196解析：及格概率P ＝C 26·C 14＋C 36C 310＝23. 答案：237分析：本题的两种解法均利用了概率的加法公式求两事件和的概率，而概率的加法公式使用的前提条件是事件两两互斥，这是判断两解法正误的突破口．解：解法一是错误的，解法二是正确的．错解的原因在于忽视了互斥事件的概率公式应用的前提条件．由于“朝上一面的点数是奇数”与“朝上一面的点数不超过3”二者不是互斥事件．即出现1或3时，事件A 、B 同时发生，所以不能应用P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解．而解法二中，事件A∪B 包括4个基本事件，Ω中包含6个基本事件，∴P(A∪B)＝46＝23. ∴解法二正确．8解析：电子钟显示时刻可设为AB ：CD ，其中A ＝0,1,2，B ＝0,1,2，...，9，C ＝0,1,2，...，5，D ＝0,1，2， (9)(1)当A ＝0时，B 、C 、D 可分别为9、5、9一种情况．(2)当A ＝1时，B 、C 、D 可分别为9、4、9或9、5、8或8、5、9三种情况．(3)当A ＝2时，不存在．∴符合题意的只有4种情况．由于电子钟每分钟显示的数字都互不相同，故一天内显示的数字共有24×60＝1 440种．∴P＝41 440＝1360，故选D. 答案：D9分析：(1)可运用概率公式P(A)＝A 中元素数Ω中元素数求解；(2)可分三种情况分别求概率，再根据概率加法公式求解．解：(1)从袋中依次摸出2个球共有A 29种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有A 13A 14种结果，则所求概率P 1＝A 13A 14A 29＝16.(2)第一次摸出红球的概率为A 12A 19，第二次摸出红球的概率为A 17A 12A 29，第三次摸出红球的概率为A 27A 12A 39，则摸球次数不超过3的概率为P 2＝A 12A 19＋A 17A 12A 29＋A 27A 12A 39＝712. 10分析：应先建立方程求解三种颜色的球的个数，然后计算指定事件的概率．解：(1)由题意知，袋中黑球的个数为10×25＝4.记“从袋中任意摸出两个球，得到的都是黑球”为事件A ，则P(A)＝C 24C 210＝215. (2)记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B.设袋中白球的个数为x ，则P(B)＝1－P(B )＝1－C 210－x C 210＝79，得到x ＝5. 即袋中白球有5个．欢迎您的下载，资料仅供参考！。
高中数学 8.2.5 几个常用的分布同步精练 湘教版选修23
高中数学 8.2.5 几个常用的分布同步精练 湘教版选修2-3基础巩固1设在一次试验中事件A 发生的概率为p ，在n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率为P k ，则( )A ．P 1＋P 2＋…＋P n ＝1B ．P 0＋P 1＋P 2＋…＋P n ＝1C ．P 0＋P 1＋P 2＋…＋P n ＝0D ．P 1＋P 2＋…＋P n －1＝12设某批电子手表正品率为34，次品率为14，现对该批电子手表进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)等于( )A ．C 23(14)2×34B ．C 23(34)2×14C ．(14)2×34D ．(34)2×143 某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用ξ表示这6人中“三好生”的人数，则下列概率中等于C 35C 37C 612的是( )A ．P(ξ＝2)B ．P(ξ＝3)C ．P(ξ≤2)D ．P(ξ≤3)4某人考试，共有5题，至少解对4题为及格，若他解每一道题的正确率均为0.6，则他及格的概率为( )A.81125B.81625C.1 0533 125D.2436255设X ～B(2，p)，Y ～B(4，p)，已知P(X≥1)＝59，则P(Y≥1)＝________.6某厂生产电子元件，某产品的次品率为5%，现从一批产品中任意地连续抽取2件，则次品数ξ的概率分布是：7在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的．若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：(1)恰有两道题答对的概率；(2)至少答对一道题的概率． 综合过关8一个口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }： a n ＝{ －1 第n 次摸取红球， 1 第n 次摸取白球.设S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A ．C 57(13)2·(23)5B ．C 57(23)2·(13)5C ．C 57(13)2·(13)5D ．C 57(13)2·(23)29某人抛掷一颗质地均匀的骰子，构造数列{a n }，使a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 当第n 次出现偶数点，－1 当第n 次出现奇数点.记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n∈N ＋)． (1)求S 6＝2时的概率； (2)求S 2≠0且S 6＝2时的概率． 能力提升10据某地气象部门统计，该地区每年最低气温在－2 ℃以下的概率为13.(1)设ξ为该地区从2015年到2020年最低气温在－2 ℃以下的年数，求ξ的分布列； (2)设η为该地区从2015年到2020年首次遇到最低气温在－2 ℃以下经过的年数，求η的分布列；(3)求该地区从2015年到2020年至少遇到一次最低气温在－2 ℃以下的概率．参考答案1解析：由题意可知，ξ～B(n ，p)，由分布列的性质可知∑k ＝0nP k ＝1，故选B.答案：B 2答案：C 3答案：B4解析：此人要想及格，必须解对4题或5题，根据二项分布的概率公式，他及格的概率为P ＝C 45×0.64×0.4＋C 55×0.65＝1 0533 125. 答案：C5解析：由1－C 02p 0(1－p)2＝59，得p ＝13.P(Y≥1)＝1－C 04(13)0(23)4＝6581.答案：65816解析：P(ξ＝0)＝C 02×0.050×(1－0.05)2＝0.902 5，p(ξ＝1)＝C 12×0.05×0.95＝0.095，p(ξ＝2)＝C 22×0.052×(1－0.05)0＝0.002 5.答案：0.902 5 0.095 0.002 57分析：“对4道选择题中的一道任意选定一个答案”为一次试验，则“对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案”是4次独立重复试验，且每次试验中“选择正确”这一事件发生的概率为14. 解：由独立重复试验的概率计算公式得： (1)恰有两道题答对的概率为P ＝C 24(14)2(34)2＝27128.(2)解法一：至少有一道题答对的概率为 P ＝1－C 04(14)0(34)4＝1－81256＝175256.解法二：至少有一道题答对的概率为P ＝C 14(14)(34)3＋C 24(14)2(34)2＋C 34(14)3(34)＋C 44(14)4(34)0＝108256＋54256＋12256＋1256＝175256. 8解析：由S 7＝3知在7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球，而每次摸取红球的概率为23，摸取白球的概率为13，则S 7＝3的概率为C 57(23)2·(13)5，故选B.答案：B9分析：由于掷骰子出现偶数点和出现奇数点是等可能的，发生的概率均为12，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n∈N ＋)表示数列{a n }的前n 项的和，故(1)中S 6＝2的含义为前6次有4次出现偶数点，两次出现奇数点．(2)中S 2≠0，说明前两次出现奇偶性相同的点数，或偶数点或奇数点．解：(1)S 6＝2，需抛掷6次骰子中有4次出现偶数点，2次出现奇数点，设其概率为P 1，则P 1＝C 26(12)4(12)2＝1526＝1564.(2)S 2≠0，即前两次同时出现偶数点或同时出现奇数点．①前两次同时出现偶数点时，S 2＝2，要使S 6＝2，需后四次中两次出现偶数点，两次出现奇数点．设其概率为P 2，则P 2＝12×12×C 24(12)2×(12)2＝626＝332.②当前两次同时出现奇数点时，S 2＝－2，要使S 6＝2，需后四次中全出现偶数点，设其概率为P 3，则P 3＝12×12×C 44(12)4＝164.故S 2≠0且S 6＝2的概率P ＝P 2＋P 3＝332＋164＝764.10分析：由题意可知该地区每年的最低气温是相互独立的，且(1)中ξ～B(6，13)；(2)中η符合几何分布；(3)中属于相互独立事件与互斥事件概型的综合应用．解：(1)将每年的气温情况看作一次试验，则遇到最低气温在－2 ℃以下的概率为13，且每次试验结果是相互独立的．故ξ～B(6，13)，所以ξ的分布列为P(ξ＝k)＝C k 6(13)k×(23)6－k ，k ＝0,1,2,3,4,5,6.(2)由于η表示该地区从2015年到2020年首次遇到最低气温在－2 ℃以下经过的年数，显然η是随机变量，其取值为0,1,2,3,4,5,6，其中{η＝k}(k ＝0,1,2,3,4,5)表示前k 年没有遇到最低气温在－2 ℃以下的情况，但在第k ＋1年遇到了最低气温在－2 ℃以下的情况．故应按独立事件同时发生计算．P(η＝k)＝(23)k ×13(k ＝0,1,2,3,4,5)．而{η＝6}表示这6年没有遇到最低气温在－2 ℃以下的情况． 故其概率为P(η＝6)＝(23)6，因此η的分布列为：(3)该地区从2015年到2020年至少遇到一次最低气温在－2 ℃以下的事件为{ξ≥1}＝{ξ＝1，ξ＝2，…，ξ＝6}，所以P(ξ≥1)＝ k ＝16P (ξ＝k)＝1－P(ξ＝0)＝1－(23)6＝665729.。
高中数学8.1随机对照试验同步精练 湘教版选修
高中数学 8.1 随机对照试验同步精练湘教版选修2-3 基础巩固1在对一种新药进行药效评估时，调查了20位开始使用这种药的人，结果有16人认为新药比常用药更有效，则( )A．该新药的有效率为80%B．该新药比常用药更有效C．该新药为无效药D．本试验需改进，故不能作出新药比常用药更有效的结论2在评价疫苗对小儿麻痹症是否有效时，在试验组中使用该疫苗，在对照组中使用生理盐水注射代替疫苗，以上设计中都采取了随机的原则，连医生也不知道哪个儿童分在试验组，哪个儿童分在对照组，在以上试验中，(1)对照组中使用生理盐水(安慰剂)是为了________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________.(2)不让医生知道儿童是来自试验组还是对照组是为了__________．(2)使医生能够作出更公正的诊断，避免在诊断时受到心理因素影响3安排试验的基本原则是______________．4随机对照试验必须有________组和________组．5__________组的成员要接受某种特殊的待遇或治疗．6在随机对照试验中，为了得到更真实的结果，有时还需要在__________组中使用安慰剂．7在无对照组和非随机选取对照组的试验中，得出的结果是__________．综合过关8你认为教材第45页的案例1，还可以怎样改进？9在研究新鲜芦荟外敷对治疗静脉炎的效果时，按随机原则将88例静脉炎患者随机分为试验组和对照组．其中试验组46例，对照组42例．两组患者在年龄、性别、病种、静脉炎程度等方面具有可比性．护理措施：试验组：采用捣碎的新鲜芦荟外敷．每天3～4次，每次1小时．对照组：采用捣碎的新鲜白菜叶(对治疗静脉炎无效果，但告诉试验者也是芦荟)外敷．每天3～4次，每次1小时．根据自定疗效评定标准，分为痊愈、显效、有效和无效，研究结果如下表：(1)该试验中是否使用了安慰剂？其作用是什么？(2)你认为新鲜芦荟外敷对治疗静脉炎是否有效果？能力提升10某药厂研发了一种新的安眠药——安眠1号，在进行药效评估时，随机选取了20 000人，结果有18 000人认为安眠1号比常用药更有效．(1)能否作出安眠1号比常用药更有效的结论？(2)你认为应当采用怎样的试验方案更能反映真实的药效？参考答案1解析：随机对照试验必须有试验组和对照组．故本试验得出的结论不可靠．答案：D2答案：(1)避免儿童的心理作用影响试验结果3答案：随机选取试验组4答案：试验对照5答案：试验6答案：对照7答案：不真实的8解：可以将四艘军舰上的水手按随机选取的方式分出试验组和对照组，在试验组中提供柑橘汁，对照组中提供不含柑橘汁的其他饮料．这样试验的对象分布在各个军舰上，避免了只选一艘军舰而造成的随机误差的影响．9解：(1)本试验中对对照组使用捣碎的新鲜白菜叶对患者外敷就是安慰剂，其作用是消除心理因素对试验结果的影响，以保证试验结果的可靠性．(2)从表中可以看出试验组和对照组的治疗效果存在较大差异．由于97.83%和50%的差别超出了随机性本身所能解释的范围，所以认为新鲜芦荟外敷对治疗静脉炎是有效的．10解：(1)因为原试验没有对照组，故不能作出安眠1号比常用药更有效的结论．(2)将随机选取的20 000人利用掷硬币的方法分为试验组和对照组，在试验组中使用安眠1号新药，在对照组中使用常用安眠药(与安眠1号药片形状、大小完全一样)，让他们认为服用的也是安眠1号，然后得出测试结果．如果试验组和对照组中认为安眠1号比常用药更有效的比例差不多，则认为安眠1号新药不比常用药药效更好，如果试验组中认为安眠1号比常用药更有效的比例远远大于对照组，这种差别超出了随机性本身所能解释的范围，则认为安眠1号新药比常用药药效更好．。
湘教版高中数学选修2-3理科课件 8.2.6 离散型随机变量的数学期望课件
1.离散型随机变量的分布列
2.离散型随机变量分布列的性质:
(⑴23).．常p对1见任的p意随2 机的变 正量整的数1概i.，率有分p布i 0
1）二 项 分 布 ~ Bn， p
P
k
C
k n
pk
1
p nk
bk(k0;，n,1，p)， n
2）几 何 分 布
E(a b) aE b
3.服从二项分布 ~ B(n, p)的随机变
量的数学期望 E np
4.服从几何分布P( k) g(k, p)的随机 变 量的 数 学 期 望
E
1 p
2.4
5.8
解 : (1)EX 1 0.5 3 0.3 5 0.2 2.4
(2)EX E(2X 1) 2EX 1 2 2.4 1 5.8
P k qk1 p gk(k,1，p) 2，
二.新课 (mathematical expectation) 1.数学期望
若 离 散 型 随 机 变 量的 概 率 分 布 为
x1 x2 xn p p1 p2 pn
则望简称期望.
(复习回顾)1.离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为：
x1, x2,, xi,
取每一个值xi(i 1,2,)的概率 P( xi) pi,则下表
为随机变量ξ的概率分布,简称为ξ的分布列.
注:1.离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：
(1) pi 0, i 1,2, ,
数学期望也称均值，它所描述的是
随机变量取值的平均状态。
2.离散型随机变量 a b(a,b为常数)的
数学期望公式 E(a b) aE b
2.离散型随机变量 a b(a,b为常数)的
湘教版高考数学一轮总复习课后习题 课时规范练81 离散型随机变量及其分布列、数字特征 (2)
课时规范练81 离散型随机变量及其分布列、数字特征1.(江苏镇江模拟)随机变量Y的分布列如下表,且E(Y)=3,则D(3Y-5)=( )A.10B.15C.40D.452.设0<a<1,随机变量X的分布列为则当a在(0,1)内增大时( )A.D(X)增大B.D(X)减小C.D(X)先减小后增大D.D(X)先增大后减小3.(多选题)已知投资A,B两种项目获得的收益分别为X,Y,分布列如下表,则( )A.m+n=0.5B.E(2X+1)=4C.投资两种项目的收益数学期望一样多D.投资A项目的风险比B项目高4.一个不透明的盒子中有质地、大小相同的5个球,其中红球3个,黄球2个,每次不放回地随机从盒子中取1个球,当盒子中只剩一种颜色时,停止取球.(1)求盒子中恰好剩2个红球的概率;(2)停止取球时,记盒子中所剩球的个数为X,求X的分布列与均值.5.(广东揭阳模拟)某大学为调研学生在A,B两家餐厅用餐的满意度,从在A,B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了200人,每人分别对这两家餐厅进行评分,满分为60分.整理评分数据,将分数分成6组:[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),得到A餐厅分数的频率分布直方图和B餐厅分数的频数分布表:A餐厅分数的频率分布直方图B餐厅分数的频数分布表定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下:(1)在随机抽取的200人中,求对A餐厅评价的“满意度指数”为4的人数;(2)从该校在A,B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查,试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”低的概率;(3)如果根据学生对餐厅评价的“满意度指数”从A,B两家餐厅中选择一家用餐,从数学期望的角度你会选择哪一家?并说明理由.6.(山西太原模拟)对某地区过去20年的年降水量(单位:毫米)进行统计,得到以下数据:887 939 643 996 715 838 1 082 923 9011 182 1 035 863 772 943 1 035 1 022 8551 118 768 809将年降水量处于799毫米及以下、800至999毫米、1 000毫米及以上分别指定为降水量偏少、适中、偏多三个等级.(1)将年降水量处于各等级的频率作为概率,分别计算该地区年降水量偏少、适中、偏多的概率;(2)根据经验,种植甲、乙、丙三种农作物在年降水量偏少、适中、偏多的情况下可产出的年利润(单位:千元/亩)如下表所示.你认为这三种作物中,哪一种最适合在该地区推广种植?请说明理由.7.中非经贸合作座谈会议在长沙举行,拟在某单位招募5名志愿者,该单位甲、乙、丙三个部门可分别向单位推选3名志愿者以供选拔,每个部门有3个小组,每个小组可向本部门推选2名志愿者供部门选拔,假设每名志愿者入选的机会相等.(1)求甲部门志愿者入选人数为1人的概率;(2)求所招募的5名志愿者来自三个部门的概率;(3)求某小组志愿者入选人数X的分布列及数学期望.课时规范练81 离散型随机变量及其分布列、数字特征1.D 解析由题意得16+m+13=1,得m=12,所以E(Y)=0×16+2×12+13a=3,解得a=6,所以D(Y)=(0-3)2×16+(2-3)2×12+(6-3)2×13=5,所以D(3Y-5)=32D(Y)=9×5=45.2.A 解析根据随机变量分布列的性质可知2-a 3+13+b=1,所以b=13a,所以E(X)=0×2-a 3+1×13+2b=13(1+2a),所以D(X)=0-13(1+2a)2×2-a 3+1-13(1+2a)2×13+2-13(1+2a)2×a 3=-49a 2+89a+29=-49(a-1)2+23,又0<a<1,所以当a 在(0,1)内增大时,D(+0.6=1,所以m=0.2,0.3+0.4+n=1,所以n=0.3,所以m+n=0.5,故A 正确;所以E(X)=-1×0.2+0×0.2+2×0.6=1,则E(2X+1)=2E(X)+1=3,故B 错误; E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1,所以E(X)=E(Y),故C 正确; 因为D(X)=(-1-1)2×0.2+(0-1)2×0.2+(2-1)2×0.6=1.6,D(Y)=(0-1)2×0.3+(1-1)2×0.4+(2-1)2×0.3=0.6,即D(X)>D(Y),所以投资A 项目的风险比B 项目高,故D 正确.故选ACD.4.解(1)因为恰好剩2个红球,所以第1次和第2次必是1个红球和1个黄球,第3次必是黄球,所以盒子中恰好剩2个红球的概率P=C 21C 31A 22A 53=15.(2)X 的所有可能取值为1,2,3,P(X=1)=C 32C 21A 33C 21A 54=35,P(X=2)=A 33A 53+C 21C 31A 22A 53=310,P(X=3)=A 22A 52=110,所以X 的分布列为E(X)=1×35+2×310+3×110=32.5.解(1)由对A 餐厅分数的频率分布直方图,得对A 餐厅评价的“满意度指数”为4的频率为(0.020+0.020)×10=0.4,所以,对A 餐厅评价的“满意度指数”为4的人数为200×0.4=80(人).(2)设“对A 餐厅评价的‘满意度指数’比对B 餐厅评价的‘满意度指数’低”为事件C.记“对A 餐厅评价的‘满意度指数’为3”为事件A 1;“对A 餐厅评价的‘满意度指数’为4”为事件A 2;“对B 餐厅评价的‘满意度指数’为4”为事件B 1;“对B 餐厅评价的‘满意度指数’为5”为事件B 2.所以P(A 1)=(0.003+0.005+0.012)×10=0.2,P(A 2)=(0.020+0.020)×10=0.4, 由频率估计概率得P(B 1)=30+80200=0.55,P(B 2)=70200=0.35.所以P(C)=P(A 1B 1+A 1B 2+A 2B 2)=P(A 1)·P(B 1)+P(A 1)P(B 2)+P(A 2)·P(B 2)=0.2×0.55+0.2×0.35+0.4×0.35=0.32,所以该学生对A 餐厅评价的“满意度指数”比对B 餐厅评价的“满意度指数”低的概率为0.32.(3)设对A 餐厅评价的“满意度指数”为X,对B 餐厅评价的“满意度指数”为Y,则随机变量X 的可能取值有3,4,5,P(X=3)=0.2,P(X=4)=0.4,P(X=5)=0.4,所以对A 餐厅评价的“满意度指数”X 的分布列为所以E(X)=3×0.2+4×0.4+5×0.4=4.2.随机变量Y 的可能取值有3,4,5,P(Y=3)=0.1,P(Y=4)=0.55,P(Y=5)=0.35,所以B 餐厅评价的“满意度指数”Y 的分布列为所以E(Y)=3×0.1+4×0.55+5×0.35=4.25.因为E(X)<E(Y),所以如果根据学生对餐厅评价的“满意度指数”的数学期望角度看,会选择B餐厅用餐.6.解(1)将过去20年的年降水量按照降水量等级分类,可知:降水量偏少有4年,概率可估计为4=0.2;20=0.5;降水量适中有10年,概率可估计为1020降水量偏多有6年,概率可估计为6=0.3.20于是该地区年降水量偏少、适中、偏多的概率分别为0.2,0.5,0.3. (2)设种植农作物甲、乙、丙一年后每亩地获得利润分别是随机变量X,Y,Z,X的分布列为X 8 12P 0.5 0.5故种植甲则每亩地获利的数学期望E(X)=8×0.5+12×0.5=10,Y的分布列为故种植乙则每亩地获利的数学期望E(Y)=12×0.2+10×0.5+7×0.3=9.5,Z的分布列为故种植丙则每亩地获利的数学期望E(Z)=7×0.2+10×0.5+12×0.3=10,所以E(Y)<E(X)=E(Z),即种植甲、丙的获利的数学期望值比乙更高,不考虑推广乙,又D(X)=0.5×(8-10)2+0.5×(12-10)2=4,D(Z)=0.2×(7-10)2+0.5×(10-10)2 +0.3×(12-10)2=3,D(X)>D(Z),故种植丙时获利的稳定性更好,因此,农作物丙最适合在该地区推广种植.7.解(1)由题意,甲部门志愿者入选人数为1人的概率为C 31C 64C 95=514.(2)由题意,所招募的5名志愿者来自三个部门的概率为1-C 32×(C 33×C 32×2)C 95=67.(3)由题意可知X 的可能取值为0,1,2, P(X=1)=C 22C 41C 63×C 21C 74C 95+C 21C 42C 63×C 11C 84C 95=49,P(X=2)=C 22C 41C 63×C 22C 73C 95=118,P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=12,所以X 的分布列为所以E(X)=0×12+1×49+2×118=59.。
离散型随机变量的数学期望教学设计20232024学年高二下学期数学湘教版2019)选择性必修第二 册
3.2.3离散型随机变量的数学期望教学设计-2023-2024学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册一、教材分析本节课选自湘教版（2019）选择性必修第二册，主要讲解离散型随机变量的数学期望。
本节课的内容与课本关联性强，符合教学实际，能够帮助学生更好地理解和掌握离散型随机变量的数学期望。
通过本节课的学习，学生能够掌握离散型随机变量的数学期望的定义和性质，了解如何计算离散型随机变量的数学期望，并能运用所学知识解决实际问题。
二、核心素养目标本节课旨在培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养。
通过学习离散型随机变量的数学期望，学生能够运用抽象思维将实际问题转化为数学模型，运用逻辑推理理解数学期望的定义和性质，运用数学建模解决实际问题，运用数学运算计算离散型随机变量的数学期望。
此外，学生还将通过小组合作、问题解决等教学活动，培养团队协作、沟通表达和自主学习能力。
三、重点难点及解决办法本节课的重点是离散型随机变量的数学期望的定义和性质，以及如何计算离散型随机变量的数学期望。
难点是理解离散型随机变量的数学期望的定义和性质，以及如何运用所学知识解决实际问题。
解决方法：1. 对于定义和性质的理解，可以通过举例子、画图等直观的方式帮助学生理解。
2. 对于计算离散型随机变量的数学期望，可以通过例题讲解、练习题巩固等方式帮助学生掌握。
3. 对于解决实际问题，可以通过设计一些与生活相关的实际问题，让学生运用所学知识解决，从而提高学生的应用能力。
突破策略：1. 在讲解定义和性质时，可以通过与学生生活经验相关的例子进行讲解，帮助学生更好地理解。
2. 在计算离散型随机变量的数学期望时，可以通过逐步引导的方式，让学生逐步掌握计算方法。
3. 在解决实际问题时，可以通过分组讨论、展示等方式，激发学生的思考和参与，提高学生的应用能力。
四、教学方法与策略1. 教学方法本节课采用讲授法为主，结合讨论法、案例研究和项目导向学习法。
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高中数学 8.2.6 随机变量的数学期望同步精练 湘教版选修2-3
基础巩固
1已知X 的分布列为：
且E(X)＝7.5，则A 等于( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
2一射手对靶射击，直到第一次命中或子弹打光停止射击，每次命中的概率为0.6.现有4发子弹，则停止射击后尚余子弹数目的均值为( )
A ．2.44
B ．3.376
C ．2.376
D ．2.4
3一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中随机取出2个，其中含有红球个数的数学期望是 ( )
A.32
B.53
C.65
D.35
4某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )
A ．100
B ．200
C ．300
D ．400
5某保险公司新开设了一项保险业务，规定该份保单在一年内如果事件E 发生，则该公司要赔偿a 元，假若在一年内E 发生的概率为p ，为使公司收益的期望值等于a 的1
10，公司应要求该份保
单的顾客缴纳的保险金为________元．
6设l 为平面上过点(0,1)的直线，l 的斜率等可能地取－22，－3，－52，0，52
，3，2 2.用X 表示坐标原点到l 的距离，则随机变量X 的均值E(X)＝________.
7A ，B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比实验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A 有效的概率为2
3，服用B 有效的
概率为12
.
(1)求一个试验组为甲类组的概率；
(2)观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．
综合过关
8设随机变量的概率分布为
则ξ的数学期望的最小值为( )
A.1
2
B ．0
C ． 2
D ．随p 的变化而变化 9抛掷三个骰子，当至少有一个5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在54次试验中，成功次数n 的数学期望为________．
能力提升
10为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12、13、1
6.现在3名工人独立地从中任选一个项目
参与建设．
(Ⅰ)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
(Ⅱ)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数学期望．
参考答案
1解析：由0.3＋0.1＋B ＋0.2＝1，得B ＝0.4.∴E(X)＝4×0.3＋A×0.9＋9×B＋10×0.2＝7.5，∴A＝7，故选C.
答案：C
2解析：X ＝k 表示第(4－k)次命中目标，P(X ＝3)＝0.6，P(X ＝2)＝0.4×0.6，P(X ＝1)＝0.42
×0.6，P(X ＝0)＝0.43
.
∴E(X)＝3×0.6＋2×0.4×0.6＋1×0.42
×0.6＝2.376，故选C. 答案：C
3解析：红球个数X 服从超几何分布H(5,3,2)，根据超几何分布期望公式，E(X)＝2×35＝65.
答案：C
4解析：E(X)＝1 000×0.9×0＋1 000×0.1×2＝200. 答案：B
5解析：用随机变量ξ表示公司此项业务的收益额，x 表示顾客交纳的保险金，则ξ的所有可能取值为x 、x －a ，且P(ξ＝x)＝1－p ，P(ξ＝x －a)＝p.
所以E(ξ)＝x(1－p)＋(x －a)p ＝x －ap.由x －ap ＝1
10a ，得x ＝
＋10
.
答案：
＋10
6解析：设l 的方程为y ＝kx ＋1，原点到直线l 的距离为1k 2
＋1
.
∴X 的取值分别为：13，12，2
3，1
∴X 的分布列为
故E(X)＝13×27＋12×27＋23×27＋1×17＝4
7.
答案：4
7
7分析：(2)中ξ服从二项分布．因而求E(ξ)时，可直接用公式E(ξ)＝np. 解：(1)设A i 表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，i ＝0,1,2. B i 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只”，i ＝0,1,2. 依题意有
P(A 1)＝2×13×23＝4
9，
P(A 2)＝23×23＝4
9.
P(B 0)＝12×12＝1
4，
P(B 1)＝2×12×12＝1
2.
所求的概率为
P ＝P(B 0∩A 1)＋P(B 0∩A 2)＋P(B 1∩A 2) ＝14×49＋14×49＋12×49＝49
. (2)ξ的可能值为0,1,2,3且ξ～B(3，4
9
)．
P(ξ＝0)＝(59)3＝125
729，
P(ξ＝1)＝C 1
3×49×(59)2＝100243，
P(ξ＝2)＝C 2
3×(49)2×59＝80243，
P(ξ＝3)＝(49)3＝64
729.
ξ的分布列为
数学期望E(ξ)＝3×49＝4
3
.
寻找随机变量的取值要仔细分析问题，由题意确定变量值的构成，而求数学期望时，可先判别ξ是否服从某种分布．
8解析：由题意，可知p 3＋p 3＋(1－2p 3)＝1，p 3≥0且1－2p 3≥0，解得0≤p≤3
2，
又E(ξ)＝p 3×1＋(1－2p 3)×2＝－p ＋2，∴当p ＝32时，E(ξ)min ＝2－32＝1
2，故选A.
答案：A
9解析：抛掷三个骰子，三个骰子都不出现5点或6点的概率为46×46×46＝8
27.所以至少有一个5
点或6点的概率1－827＝1927.所以n ～B(54，1927)，E(n)＝54×19
27
＝38.
答案：38
10分析：解答本题的关键是，首先要对所涉及的事件进行合适的表示，其次就是要将所求解的概率问题转化为恰当的概率模型．
解：记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1,2,3，且i ，j ，k 互不相同)相互独立，且P(A i )＝12，P(B i )＝13，P(C i )＝1
6
.
(Ⅰ)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P ＝3！P(A 1B 2C 3)＝6P(A 1)P(B 2)P(C 3)＝6×12×13×16＝1
6
.
(Ⅱ)解法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，
由已知，η～B(3，1
3)，且ξ＝3～η.
所以P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝C 33(13)3
＝127，
P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝C 23(13)2(2
3)＝29，
P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝C 13(1
3)(23)2＝49，
P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝C 03(23)3
＝827.
故ξ的分布列是
ξ的数学期望E(ξ)＝0×127＋1×29＋2×49＋3×8
27
＝2.
解法二：记第i 名工人选择的项目属于基础工程或产业建设工程分别为事件D i ，i ＝1,2,3. 由已知，D 1，D 2，D 3相互独立，且
P(D i )＝P(A i ＋C i )＝P(A i )＋P(C i )＝12＋16＝2
3
，
所以ξ～B(3，23)，即P(ξ＝k)＝C k 3(23)k (13)3－k
，k ＝0,1,2,3.
故ξ的分布列是
ξ的数学期望E(ξ)＝0×127＋1×29＋2×49＋3×8
27＝2.。