组合数学C2_2_Fibonacci_Number

y
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
0 a x1
x2 b
x
13
§2.4 在选优法上的应用 设函数y=f(x)在区间(a,b)上有一单峰极值点 ，假定为极大点。
所谓单峰极值，即只有一个极值点ξ，而且当x与ξ偏离越 大，偏差|f(x)-f(ξ) | 也越大。如下图：
y
0
a

b
x
14
§2.4
• 在西方，1202年，斐波那契出版的《算盘全 书》(Liber abbaci)中提出了一个关于兔子繁 殖的问题：
– 第一个月有一对刚诞生的兔子； – 如果一对兔子每月能生一对小兔（一雄一雌）； – 而每对小兔在它出生后的第三个月里，又能开始 生一对小兔， – 兔子永不死去； – 由一对出生的小兔开始，50个月后会有多少对兔 子？ 9
20
§2.4
在选优法上的应用
优选法中可利用Fibonacci数列，和0.618法不同之 点在于它预先确定试验次数，分两种情况介绍其方法。 (a) 所有可能试验数正好是某个Fn。
0 1


Fn2
Fn1
这时两个试验点放在Fn-1和Fn-2两个分点上， 如果Fn-1分点比较好，则舍去小于Fn-2的部分；
5
•
– – – – – –
–
Leonardo of Pisa 1175-1250年 Fibonacci，Bonacci之子 波那契(Bonacci)家族的成员; Bonacci: 好、自然或简单 22岁时随父亲亚非等国家，在那里学会了用印度数码计算； 12世纪末，回到比萨，著书立说，阐述了许多代数和几何问 题．在不定分析和数论方面，远远超过了前人． 大约1225年，受到国王腓德烈二世(1194—1250)的召见，成 为宫庭数学家．由于斐波那契曾向市民和官吏讲授计算方法 ，每年给予他薪金若干金磅． 在西方的数学复兴中起到了先锋作用，在东西方的数学发展 中起到了桥梁作用． G．卡尔达诺(Cardano) ：“我们可以假定，所有我们掌握的 希腊之外的数学知识都是由于斐波那契的存在而得到的。”
Fn+1 – Fn-1 = Fn
0 1
Fn1
Fn
Fn 1
§2.4
在选优法上的应用
因 Fn / Fn1 ( 5 1) / 2 0.618 , 当n较大时， 可将相继的两个测试点取在待测区间的0.618 及1-0.618处。由 5 1 n 1 5 1 n1 ( ) ( ) , n 2, 2 Fn 2 可知，0.618法比 Fn 法最多多测试一次。0.618
0 a 1- 1 1+ 2 b
23
定理：测试n次可将包含单峰极值点的区间 缩小到原区间的 1 / Fn1 ，其中 是任意小的 正整数，n 2
假设对于n-1，命题成立
对于n，将(a,b)平分成Fn+1段，对分点（包括端点 a，b）依次标上0,1,2…。先在Fn点与Fn-1点测试 无论哪一点较优，保留下来的区间均为Fn段。 根据归纳假设，再做n-1次测试（内含前两次测试之一） 可将含极值点的区间缩小到1+ 段，即原区间的 1/Fn+1+ 。
斐波那契
Fibonacci 兔子
• 1150年印度数学家研究箱子包裝物件长宽 刚好 为1和2的可行方法数目时，首先描述 这个数列。 • 在西方，1202年，斐波那契出版的《算盘 全书》(Liber abbaci)中提出了一个关于兔 子繁殖的问题：
7
Fibonacci 兔子
8
Fibonacci 兔子
(1 2 x) H ( x) h(1) x [ h( 2) 2h(1)] x 2
) 2 xH__________ ( x) - 2h (1) x 2h ( 2) x _______ , __________ __________
[ h(3) 2h( 2)] x 3
G ( x) x x x(G ( x) x) x G ( x)
2 2
x : F4 F3 F2
4
(1 x x )G ( x) x
2
x G ( x) 2 1 x x
A B 1 5 1 5 1 5 1 5 (1 x)(1 x) 1 x 1 x 2 2 2 2
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§2.4 在选优法上的应用 定理：测试n次可将包含单峰极值点的区间 缩小到原区间的 1 / Fn1 ，其中 是任意小的 n2 正整数， 证：对n用数学归纳法。
n=2时，将区间(a.b)平分成F(2+1)=2 段。在分点 （包括端点a，b）分别标上0，1，2。在1点的两侧取 ，在（1- ）与(1+ )两点上测试，无论哪一点较优， 保留下来的区间长度均为(1+ )，命题成立。
21

如果Fn-2点更好，则舍去大于Fn-1的部分。

可见在Fn个可能试验中，最多用n-1次试验便可得到所求的极值点。
§2.4
在选优法上的应用
(b)利用Fibonacci数列进行优选不同于 0.618法之点,还在于它适合于参数只能取整 数数值的情况.如若可能试验的数目比 Fn 小, 但比 Fn1大时,可以虚加几个点凑成Fn 个点 ，但新增加的点的试验不必真做，可认定 比其他点都差的点来处理。
x
0 a x1
x2
x
15
§2.4
在选优法上的应用
当 f ( x1 ) f ( x2 ) ，则极大点 必在 ( x1 , b) 区间 上，区间 ( a, x1 ) 可以舍去。
y
y f ( x)
f ( x1 ) f ( x ) 2
y
0 a x1 x2 b f ( x1 ) f ( x2 )
Combinatorics
第二章 母函数和递推关系
马昱春 myc@mail.tsinghua.edu.cn
1
Project I
• 全排列生成算法的研究和实现 – 10分，必作 – C/C++ or Java – 11月20日前网络学堂提交 • 目标 – Research and Novelty（每组1-3人） • 在实现和研究4种全排列生成算法基础上进行创新 • 算法效率和复杂度分析或理论证明 • 新的算法, 有关排列生成的任何相关内容的创新点 – Paper (80%)： 3-6页 – 代码以及可执行文件 (20%)
在选优法上的应用
依据f ( x1 ), f ( x2 ) 的大小分别讨论如下： 当 f ( x1 ) f ( x2 )，则极大点 必在 (a, x2 ) 区间 上，区间 ( x2 , b) 可以舍去。 y y
y f ( x)
f ( x1 ) f ( x2 )
0 a x1 x2 b f ( x1 ) f ( x2 )
0
0.382 (0.618) 2
0.618
1
19
Hale Waihona Puke Baidu
§2.4
在选优法上的应用
这就是所谓的0.618优选法。即若在 (0,1) 区间上找单峰极大值时，可在 x1 0.618, x2 1 0,618 0.3832
点做试验。比如保留区间 (0,0.618) ，由于 2 (0.618) 0.328 ，故只要在 0.618 0.328 0.236 点作一次试验。
0
x
0
1 x
x
1
18
0
1 x
x
1
设保留(0, x)区间，继续在 (0, x) 区间的下面 两个点x2,(1-x)x 处做试验，若 2 x (1 x ) (2 - 3 - 6) 则前一次1 x 的点的试验，这一次可继续使 用可节省一次试验。由(2-3-6)式有 x2 x 1 0 0.382，0.618 1 5 0.236，0.382 x 0.618 2 0.146，0.236
x
0
x1
x2
x
17
y
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
可见做两次试验，至少可把区间缩至原 来区间的2/3，比如 f ( x1 ) f ( x2 ) ，进一步在 (a, x2 ) 区间上找极值点。 若继续用三等分法，将面对着这一实事，即其 中 x1 点的试验没发挥其作用。为此设想在(0,1) 区间的两个对称点 x, l x 分别做试验。
Fn
留下的部分共Fn-Fn-2 = Fn-1个分点，其中第Fn-2和第Fn-3二试验点，对应 的原标号是Fn-2+Fn-2=2Fn-2以及Fn-3+Fn-2=Fn-1,恰好Fn-1点是刚才留下来的 试验可以利用。 在留下的部分共Fn-1个分点，下一步Fn-2和Fn-3二试验点中，恰好Fn-2是 刚才留下来的试验可以利用。
G(x)=(x+x2+x3+x4+x5+x6)m 展开式中xn项的系数
函数: f ( x) an x
n 0

n
G ( x ) an x
n 0

n
3
母函数
递推关系 h(n) 2h(n 1) 1, h(1) 1 (2 - 2 - 1) – 递推运算 – 初始值 • 代数运算： A B C 2 3 H ( x) h(1) x h( 2) x h(3) x , •
Fibonacci兔子
• F0 = 0, F1 = 1 ， …… • Fn = Fn - 1 + Fn - 2
10
递推关系
设
2
F0 = 0, F1 = 1, F2 = 1 …… Fn = Fn - 1 + Fn - 2
3
G ( x) F1 x F2 x
x : F3 F2 F1 ) _________ __________
x
0
x1 x2 b
x
16
§2.4
在选优法上的应用
当 f ( x1 ) f ( x2 )，则极大点 必在( x1 , x2 ) 区间 上，区间 ( a, x1 ) 和 ( x2 , b) 均可以舍去。
y
y f ( x)
f ( x1 ) f ( x ) 2
y
0 a x1 x2 b f ( x1 ) f ( x2 )
4
Fibonacci数列
Fibonacci数列是以递归的方法來定义： • F0 = 0， F1 = 1 ， …… • Fn = Fn - 1 + Fn - 2 （ 1） • 斐波那契数列由0和1開始，之后的斐波那契数就由 之前的两数相加。 – 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946， ……………… – 0不是第一项，而是第0项。 – OEIS: A000045
x
递推关系
{

A B 0 5 ( A B) 1 2
1
{
A B 0
G( x)
1 1 [ ] 1 [( ) x ( 2 2 ) x 2 ] 5 1 5 1 5 5 1 x 1 x 2 2 2 1 5 2 1 5 , 1 5 2 1 5 2
1 2 A 5 , A B 5
1 B 5
1 1 1 5 n 1 5 n n n Fn ( ) (( ) ( ) ) 2 2 5 5
Fn 1 5 1.618 Fn 1 2
(2)
12
§2.4 在选优法上的应用 设函数 f ( x) 在 x 点取得极大值。要求 用若干次试验找到 点准确到一定的程度。最 简单的方法，把 (a, b) 三等分，令： 1 2 x1 a (b a ), x2 a (b a ) 3 3 如下图：
母函数就是一列用来展示一串数字序列的挂衣架。 — 赫伯特·维尔夫
•
G(x)是计数序列a0,a1,a2…的母函数
• G(x)=a0+a1x+a2x2+……
(1 ax)1 1 ax a2 x2 .....
x0 a0
x1 a1
x2 a2
x3 a3
x4 a4
x5 a5
• 投掷m粒色子时，加起来点数总 和等于n的可能方式的数目？
• 化为部分分数的算法 x ( 2 1) x ( 22 1) x 2 ( 23 1) x3 H ( x) (1 2 x )(1 x ) k k ( 2 1 ) x 1 2 2
(1 ax) 1 ax a x .....
k 1