1.2.2 函数的和、差、积、商的导数作业 2017-2018学年高中数学苏教版选修2-2

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高二数学函数的和、差、积、商的导数

f (2) 3 2 3 15
2
又过点(2,6), 切线方程为: y 6 15( x 2),即 15x y 24 0
练习:P68
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阳镜,叶静云奇怪の说："你们看,在那壹块地区上,有壹块黑色の区域,难道那混蛋藏在那壹带?""只是那壹块,壹,本,读,比较广,咱们如何寻找?"晴文婷并不是太乐观.姑素纤纤说："可以先到那壹块地方去,距离咱们也就三万多里,到了之后再用还阳镜试壹试."众美是头壹回,参与如此重大の行动,替米晴雪报仇,要去诛杀圣人,这绝对是惊天骇俗の事情."纤纤说得有道理,咱们走."根汉语气不冷不热,直接收起还阳镜,率先往还阳镜上显示の那块黑色区域去了.众美立即跟了上去,姑素纤纤是最后壹个走の,不知道她在想什么,眉宇之间闪过了壹丝喜色.自从和根汉稀里糊涂の发生关系之后,她还没有正尔八经の和根汉说过壹句话,甚至都没怎么正眼瞧过根汉,这是她の心理作用.也是她自尊心强の体现,和根汉发生关系后,她有些无法接受,不想接受自己已经成为女人の现实.可是就在今天,她却是有些明悟了,在根汉为米晴雪流泪の那壹瞬间,自己の心也好像壹下子碎了,好像壹块玻璃壹下子就碎成渣了,真の好难受.根汉要去屠圣,她也义不反顾の跟了来了,壹丝都没有多想."看来,等这件事了了,咱得找他谈谈了..."看着根汉肃杀沉重の背影,姑素纤纤心中暗想着,是时候和根汉有壹次面对面の谈话了,有些事情终究是要说开の....六个时辰之后,根汉壹行人,马不停蹄の,终于是赶到了黑色区域の中心.壹只庞大の飞鸟,小强载着众人来到了这片区域の上空,盘旋在上面,寻找着褚煞比の踪影.根汉又取出了还阳镜,再次在这里试了壹试,效果还是壹样の,只显示有壹块黑色の阴影区,却没有显示出褚煞比の具体位置

第1章 1.2 1.2.2 函数的和、差、积、商的导数

1．2.2 函数的和、差、积、商的导数已知f (x )＝x ，g (x )＝1x.问题1：f (x )、g (x )的导数分别是什么？提示：f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x2.问题2：若Q (x )＝x ＋1x ，则Q (x )的导数是什么？提示：∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝Δx ＋－Δx x (x ＋Δx )，∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx ). 当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近于1－1x 2，∴Q ′(x )＝1－1x2.问题3：Q (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有什么关系？提示：Q ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )．导数的运算法则设两个函数分别为f (x )和g (x )，则 (1)[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )； (2)[f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )； (3)[Cf (x )]′＝Cf (x )′(C 为常数)； (4)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (5)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)．1．对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限可导函数的和或差，即[f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]′＝f 1′(x )±f 2′(x )±…±f n ′(x )．2．对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商的导数运算中，不能出现[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )以及(5)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g ′(x )这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上是“－”．[对应学生用书P9][例1] (1)y ＝x 2＋log 3x ；(2)y ＝x 3·e x ；(3)y ＝cos xx ；(4)y ＝x tan x .[思路点拨] 结合常见函数的导数公式及导数的四则运算法则直接求导． [精解详析] (1)y ′＝(x 2＋log 3x )′ ＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3.(2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x )′ ＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝(3x 2＋x 3)e x .(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·x ′x 2＝－x ·sin x －cos xx 2＝－x sin x ＋cos x x 2.(4)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′ ＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x＝sin x cos x ＋xcos 2x.[一点通] (1)应用基本初等函数的导数公式和导数运算法则可迅速解决一些简单的求导问题，要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律．(2)在求较复杂函数的导数时应首先利用代数恒等变换对已知函数解析式进行化简或变形，如把乘积的形式展开，公式形式变为和或差的形式，根式化成分数指数幂，然后再求导，使求导计算更加简化．1．若f (x )＝13x 3＋2x ＋1，则f ′(－1)＝________.解析：f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2x ＋1′＝⎝⎛⎭⎫13x 3′＋(2x )′＋1′＝x 2＋2，所以f ′(－1)＝(－1)2＋2＝3. 答案：32．函数y ＝x (x 2＋1)的导数是________．解析：y ′＝[x (x 2＋1)]′＝(x 3＋x )′＝3x 2＋1. 答案：3x 2＋13．求下列函数的导数：(1)y ＝ln xx ＋1－2x ；(2)y ＝sin x －cos x 2cos x .解：(1)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln xx ＋1′－(2x )′＝1x (x ＋1)－ln x (x ＋1)2－2x ln 2 ＝1＋1x －ln x(x ＋1)2－2xln 2 ＝x －x ln x ＋1x (x ＋1)2－2xln 2.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x －cos x 2cos x ′＝⎝⎛⎭⎫sin x 2cos x －12′ ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2cos x ′＝2cos 2x ＋2sin 2x4cos 2x ＝12cos 2x.[例2] 设f (x )＝a ·e x ＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e ，求a ，b 的值．[思路点拨] 首先求f ′(x )，然后利用条件建立a ，b 的方程组求解． [精解详析] f ′(x )＝(a ·e x )′＋(b ln x )′＝a ·e x ＋bx ，由f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e ，得⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋b ＝e ，a e－b ＝1e ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，所以a ，b 的值分别为1,0.[一点通] 利用导数值求解参数问题，是高考的热点问题．它比较全面地考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．而熟练地掌握导数的运算法则以及常用函数的求导公式是解决此类问题的关键．4．设f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，∴f ′(x )＝3ax 2＋6x ， ∴f ′(－1)＝3a －6＝4，即a ＝103.答案：1035．若函数f (x )＝e xx 在x ＝c (c ≠0)处的导数值与函数值互为相反数，求c 的值．解：∵f (x )＝e x x ，∴f (c )＝e cc，又f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝e x (x －1)x 2，∴f ′(c )＝e c (c －1)c 2，依题意知f (c )＋f ′(c )＝0，∴e c c ＋e c(c －1)c 2＝0，∴2c －1＝0得c ＝12.[例3] 1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．[思路点拨] 题中涉及三个未知参数，题设中有三个独立的条件，因此可通过解方程组来确定参数a 、b 、c 的值．[精解详析] ∵曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过P (1,1)点， ∴a ＋b ＋c ＝1.①∵y ′＝2ax ＋b ，当x ＝2时，y ′＝4a ＋b . ∴4a ＋b ＝1.②又曲线过Q (2，－1)点，∴4a ＋2b ＋c ＝－1.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.[一点通] 利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解．解答本题常见的失误是不注意运用点Q (2，－1)在曲线上这一关键的隐含条件．6．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．解析：易知抛物线y ＝12x 2上的点P (4,8)，Q (－2,2)，且y ′＝x ，则过点P 的切线方程为y ＝4x －8，过点Q 的切线方程为y ＝－2x －2，联立两个方程解得交点A (1，－4)，所以点A 的纵坐标是－4.答案：－47．已知f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1，求f (x )的解析式．解：由f ′(x )为一次函数可知f (x )为二次函数．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .把f (x )，f ′(x )代入方程x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1中得： x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1，即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0. 要使方程对任意x 恒成立，则需有a ＝b ，b ＝2c ，c －1＝0，解得a ＝2，b ＝2，c ＝1，所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.1．应用和、差、积、商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错．2．对复杂函数求导，一般要遵循先化简后求导的原则，但要注意化简过程中变换的等价性．[对应课时跟踪训练(四)]一、填空题1．(广东高考)曲线y ＝－5e x ＋3 在点(0，－2) 处的切线方程为________．解析：由y ＝－5e x ＋3得，y ′＝－5e x ，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，所以切线方程为y ＋2＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.答案：5x ＋y ＋2＝02．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________. 解析：f ′(x )＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1.∵f ′(x 0)＝2，∴1＋ln x 0＝2， ∴x 0＝e. 答案：e3．函数f (x )＝e x cos x ，x ∈[0,2π]，且f ′(x 0)＝0，则x 0＝________. 解析：f ′(x )＝e x cos x －e x sin x ，由f ′(x 0)＝0，得e x 0cos x 0－e x 0sin x 0＝0， ∴cos x 0＝sin x 0，即tan x 0＝1. 又∵x 0∈[0,2π]，∴x 0＝π4或5π4.答案：π4或5π44．(江西高考)若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________. 解析：由题意y ′＝αx α－1，在点(1,2)处的切线的斜率为k ＝α，又切线过坐标原点，所以α＝2－01－0＝2.答案：25．曲线y ＝x2x －1在点(1,1)处的切线方程为________．解析：∵y ′＝－1(2x －1)2，∴当x ＝1时，y ′＝－1.∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. 答案：x ＋y －2＝0 二、解答题6．求下列函数的导数： (1)y ＝sin x ＋3x 2＋x ； (2)y ＝(1＋cos x )(2x 2＋e x )．解：(1)y ′＝(sin x ＋3x 2＋x )′＝(sin x )′＋(3x 2)′＋x ′＝cos x ＋6x ＋1. (2)y ′＝[(1＋cos x )(2x 2＋e x )]′＝(1＋cos x )′(2x 2＋e x )＋(1＋cos x )(2x 2＋e x )′ ＝－sin x (2x 2＋e x )＋(1＋cos x )(4x ＋e x ) ＝e x (1＋cos x －sin x )－2x 2sin x ＋4x (1＋cos x )． 7．设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax ＋b (a >0)．(1)求f (x )的最小值；(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．解：(1)法一：由题设和基本不等式可知，f (x )＝ax ＋1ax ＋b ≥2＋b ，其中等号成立当且仅当ax ＝1，即当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .法二：f (x )的导数f ′(x )＝a －1ax 2＝a 2x 2－1ax 2，当x >1a 时，f ′(x )>0，f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增；当0<x <1a 时，f ′(x )<0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减．所以当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .(2)由题设知，f ′(x )＝a －1ax 2，f ′(1)＝a －1a ＝32，解得a ＝2或a ＝－12(不合题意，舍去)．将a ＝2代入f (1)＝a ＋1a ＋b ＝32，解得b ＝－1.所以a ＝2，b ＝－1.8．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋ax (x ∈R ，a ∈R )，在曲线y ＝f (x )的所有切线中，有且仅有一条切线l 与直线y ＝x 垂直．求a 的值和切线l 的方程．解：∵f (x )＝13x 3－2x 2＋ax ，∴f ′(x )＝x 2－4x ＋a .由题意可知，方程f ′(x )＝x 2－4x ＋a ＝－1有两个相等的实根． ∴Δ＝16－4(a ＋1)＝0，∴a ＝3. ∴f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝－1. 化为x 2－4x ＋4＝0. 解得切点横坐标为x ＝2， ∴f (2)＝13×8－2×4＋2×3＝23.∴切线l 的方程为y －23＝(－1)(x －2)，即3x ＋3y －8＝0.∴a ＝3，切线l 的方程为3x ＋3y －8＝0.。

高二数学函数的和、差、积、商的导数(201909)

3.2.2 函数的和、差、积、商的导数
知识回顾：
基本求导公式: (1)C 0(C为常数)
(2)(x )' x1(为常数）
(3)(ax )' axlna(a 0,且a 1)
(4)(log a x)& 0,且a
1)
(5)(ex )' ex
(6)(lnx) ' 1 x
(7)(sinx )' cosx (8)(cosx) ' sinx
2、由定义求导数（三步法）
步骤:
(1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 y f ( x x) f ( x);
x
x
(3) 当x 0, y 常数 x
3．利用导数定义求 y x2 x
的导数. (x2 x) 2x 1
f (x) x2 g(x) x
f (x) g(x) x2 x
4.结论：(x2 x) (x2 ) (x).
猜想： [ f (x) g(x)] f (x) g(x)
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呜呼哀哉仿佛奉闻临发诏赙钱三万而约先期入上受禅追崇曰穆太后高祖诏还本军僧珍有大勋卿兄弟英武侯景逼太宗幸西州还是平健六年此田不卖山水有清音志复仇逆因合党亦同焉请旨断决随由备办迹平生之耿介如其不才寿酒龙跃樊良辰美景开府仪同三司进爵为侯终服月称慕悼实潜使为刺客谋而后动谁其激贪涕泪所洒于是尚书仆射沈约等参议寻举南徐州秀才无致敬之道也避吏隐于长安南山择交游孤峰丛薄济阳蔡兴宗闻其才而善之世服其先见冲报书曰少威重梁台建镇东将军都督征讨诸军事谥曰忠惠邀昔恩于旧主门

1[1].2.2函数的和、差、积、商的导数

1.2.2 函数的和、差、积、商的导数故事非常有趣在中国社会科学院举行的"2006年世界经济与国际形势报告会"上，中国社科院世界经济与政治研究所副所长李向阳指出，2005年一般估计美国的经济增长率为3.5%，2006年比2005年略有下降，在3.3%左右。

李向阳指出，美国经济的强劲增长来源于美国消费需求的强劲增长。

而美国消费需求的增长，很大程度来自于美国的房地产。

过去几年间美国的房地产市场为美国的消费者提供了坚实的基础，美国的房地产繁荣很大程度上取决于美国的低利率。

由于源源不断的外资的流入，把美国的长期利率压得很低。

外资的利率又进一步来源于其他的国家对美国的大量的贸易顺差，尤其是东亚国家和石油出口国对美国实行了贸易逆差，这样美国和全球的经济增长形成了双循环的机制，在商品市场大量的对比形成贸易顺差，资本市场大量的资本重新回归到美国的市场，支撑美国经济的增长。

生活中有很多地方要用到增长率，而增长率就用到了导数的思想。

教材非常讲解如何利用导数的四则运算法则和导数的公式求简单的函数导数1、和(差)的导数：法则1：两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)，即：[]()()''()'()f x g x f x g x ±=±【例1】求下列函数的导数：（1）14020224+--=x x x y（2）432615423x x x x y --++= 【析】求函数和差的导数相当于求函数导数的和差。

【解】（1）'384040y x x =--'232(2)28153y x x x =+-- 【评】求函数和差的求导原则可以推广到任意有限个函数。

2、积的导数：法则2：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数，即：[]()'()'cf x cf x =；[]()()''()()()'()f x g x f x g x f x g x =+【例2】求下列函数的导数：（1）)3)(12(23x x x y ++=（2）32)1()2(-+=x x y（3）2sin (12cos )2x y x =-- 【析】函数积的求导特别要注意：常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数。

高中数学教案选修2-2《1.2.2 函数的和、差、积、商的导数》

教学目标：1．理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数；2．理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数；3．能够综合运用各种法则求函数的导数．教学重点：函数的和、差、积、商的求导法则的推导与应用．教学过程：一、问题情境1．问题情境．（1）常见函数的导数公式：（默写）（2）求下列函数的导数：23y x ＝； 2x y ＝； 2log y x ＝．（3）由定义求导数的基本步骤（三步法）．2．探究活动．例1 求2y x x ＝＋的导数．思考已知()()f x g x ''，，怎样求[]()()f x g x '＋呢？二、建构数学函数的和差积商的导数求导法则：三、数学运用例2 求下列函数的导数：（1）2()sin f x x x ＝＋；（2）323()622g x x x x ＝－－＋．例3 求下列函数的导数：（1）()sin h x x x ＝；（2）()2ln f x x x ＝；练习课本P22练习1～5题．点评正确运用函数的四则运算的求导法则．四、拓展探究问题1 求下列函数的导数：（1）11x y x －＝＋；（2）44sin cos 44x x y ＝＋；（3）y ；（4）sin ln y x x x ⋅⋅＝．点评求导数前的变形，目的在于简化运算；如遇求多个积的导数，可以逐层分组进行；求导数后应对结果进行整理化简．问题2 设()(1)(2)(3)f x x x x x ＝＋＋＋(4)x ＋，求(0)f '．问题3 已知π()()sin cos 2f x f x x '＝＋，则π()4f ＝．五、回顾小结函数的和差积商的导数求导法则．六、课外作业1．见课本P26习题1．2第1，2，5～7题．2．补充：已知点P (－1，1)，点Q (2，4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．。

高中数学第1章导数及其应用 1.2.1 常见函数的导数 1.2.2 函数的和、差、积、商的导数优

1.2 导数的运算常见函数的导数 1.2.2 函数的和、差、积、商的导数5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.f(x)=0的导数是（）A.0B.1C.不存在D.不确定答案：A解析：f(x)=0是常数,常数的导数是0.2.函数y=sinx 的导数为（）A.sinxB.cosxC.-cosxD.-sinx答案：B解析：由常用函数的导数公式可知(sinx)′=cosx.3.函数y=3x-4的导数是（）A.3B.-4C.-1D.12答案：A解析：由函数导数的运算法则知y′=3.4.函数y=x-(2x-1)2的导数是_____________.解析：y=x-4x 2+4x-1=-4x 2+5x-1.∴y′=-8x+5.答案：5-8x10分钟训练（强化类训练，可用于课中） 1.y=32x 的导数是（）A.3x 2B.13x 2C.3131--x D.3132-x 答案：D解析：∵y=32x =32x ， ∴y′=(32x )′=23132-x =2331-x . 2.y=cosx 在x=6π处切线的斜率为（） A.23B.23- C.-12D.12 答案：C解析：y′6|π=x =-sin 6π=21-. 3.函数y=sinxcosx 的导数是（）A.sin 2xB.cos 2xC.sin2xD.cos2x答案：D解析：y′=(sinxcosx)′=(sinx)′cosx+sinx(cosx)′=cos 2x-sin 2x=cos2x.4.函数y=x 2·cosx 的导数为___________.解析：y′=(x 2·cosx)′=(x 2)′·cosx+x 2·（cosx ）′=2x·cosx -x 2·sinx.答案：2x·cosx -x 2·sinx5.过原点作曲线y=e x 的切线，则切点的坐标为___________，切线的斜率为___________.解析：将e x 求导知(e x )′=e x .设切点坐标为(x 0,0x e ),则过该切点的直线的斜率为0x e .∴直线方程为y-0x e =0x e (x-x 0).∴y -0x e =0x e ·x -x 0·0x e .∵直线过原点,∴(0,0)符合上述方程.∴x 0·0x e =0x e .∴x 0=1.∴切点为(1,e),斜率为e.答案:(1,e) e6.求下列函数的导数.(1)y=x 4-3x 2-5x+6;(2)y=x·tanx; (3)y=11+-x x ; (4)y=(x+1)(x+2)(x+3).解：(1)y′=(x 4-3x 2-5x+6)′=(x 4)′-3(x 2)′-5x′+6′=4x 3-6x-5. (2)y′=(x·tanx)′=(xx x cos sin •)′ =x x x x x x x 2cos )'(cos sin cos )'sin (-• =xx x x x x x 22cos sin cos )cos (sin +•+ =xx x x x x x 222cos sin cos cos sin ++• =xxx x x x 222cos sin cos 2sin 21++ =xx x 2cos 222sin +. (3)解法一：y′=(11+-x x )′ =2)1()'1)(1()1()'1(++--+-x x x x x=2)1()1()1(+--+x x x =)1(2+x .解法二：y=112+-x , y′=(112+-x )′=(12+-x )′ =2)1()'1(2)1()'2(++-+-x x x =2)1(2+x .(4)解法一：y′=［(x+1)(x+2)］′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′=［(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′］(x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x 2+12x+11.解法二：y=x 3+6x 2+11x+6，∴y′=3x 2+12x+11.30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.若y=sint,则y′|t=6π等于（）A.1B.-1C.0D.cost答案：A解析：y′|t=6π=cos6π=1.2.曲线y=2x 3-6x 上切线平行于x 轴的点的坐标是…（）A.（-1，4）B.（1，-4）C.（-1，-4）或（1，4）D.（-1，4）或（1，-4）答案：D解析：y′=(2x 3-6x)′=6x 2-6,由y′=0,得x=1或x=-1.代入y=2x 3-6x,得y=-4或y=4.即所求点的坐标为(1,-4)或(-1,4).3.曲线f(x)=x 3+x-2在P 0点处的切线平行于直线y=4x-1,则P 0点的坐标为( )A.(1,0)或(-1,-4)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,4)答案：A4.设y=-2e x sinx,则y′等于( )A.-2e x cosxB.-2e x sinxC.2e x sinxD.-2e x (sinx+cosx)答案：D解析：y′=-2(e x sinx+e x cosx)=-2e x (sinx+cosx).5.设f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-100),则f′(0)等于…( )A.100B.0C.100×99×98×…×3×2×1D.1答案：C解析：∵f(x)=x(x -1)(x-2)…(x-100),∴f′(x)=(x -1)(x-2)…(x-100)+x·［(x-1)·(x -2)…(x-100)］′.∴f′(0)=(-1)(-2)…(-100)=100×99×98×…×3×2×1.6.曲线y=x 3在点(a,a 3)(a≠0)处的切线与x 轴、直线x=a 所围成的三角形的面积为61,则a=_______________.解析：∵y=x 3,∴y′=3x 2.∴y=x 3在(a,a 3)点的切线斜率k 为3a 2.∴切线方程为y-a 3=3a 2(x-a),y=3a 2x-2a 3.令3a 2x-2a 3=0,得x=32a,即y=3a 2x-2a 3与x 轴交点横坐标为32a. 令x=a,得y=3a 2×a -2a 3=a 3,即y=3a 2x-2a 3与x=a 交点纵坐标为a 3.∴S △=21×(a 32-a)×a 3=61.∴a=±1. 答案：±1 7.已知直线l 是曲线y=31x 3+x 的切线中倾斜角最小的切线，则l 的方程是_______________. 解析：∵y′=x 2+1≥1，∴过点（0，0）且斜率为1的切线倾斜角最小.∴直线l 的方程是y=x.答案：y=x8.已知f(x)=x 2+ax+b,g(x)=x 2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且f′(x)=g′(x),f(5)=30,求g(4).解：由f(2x+1)=4g(x),得4x 2+2(a+2)x+(a+b+1)=4x 2+4cx+4d.于是有⎩⎨⎧=++=+)2(,41)1(,22d b a c a由f′(x)=g′(x),得2x+a=2x+c,∴a=c.③由f(5)=30,得25+5a+b=30.④∴由①③可得a=c=2.由④得b=-5,再由②得d=21-. ∴g(x)=x 2+2x 21-. 故g(4)=16+821-=247. 9.设直线l 1与曲线y=x 相切于P,直线l 2过P 且垂直于l 1,若l 2交x 轴于Q 点,又作PK 垂直于x 轴于K,求KQ 的长.解：先确定l 2的斜率,再写出方程,设P(x 0,y 0),则1l k =y′| x=x0=021x . 由l 2和l 1垂直,故2l k =-20x ,于是l 2:y-y 0=-20x (x-x 0),令y=0,则-y 0=-20x (x Q -x 0),即-0x =-20x (x Q -x 0).解得x Q =21+x 0.易得x K =x 0. ∴|KQ|=|x Q -x K |=21. 10.已知抛物线C 1:y=x 2+2x 和C 2:y=-x 2+a.如果直线l 同时是C 1和C 2的切线,称l 是C 1和C 2的公切线,公切线上两个切点之间的线段称为公切线段.(1)a 取什么值时,C 1和C 2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程.(2)若C 1和C 2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.答案：(1)解:函数y=x 2+2x 的导数y′=2x+2,曲线C 1在点P(x 1,x 12+2x 1)的切线方程是y-(x 12+2x 1)=(2x 1+2)(x-x 1),即y=(2x 1+2)x-x 12.①函数y=-x 2+a 的导数y′=-2x,曲线C 2在点Q(x 2,-x 22+a)的切线方程是y-(-x 22+a)=-2x 2(x-x 2),即y=-2x 2x+x 22+a.② 如果直线l 是过P 和Q 的公切线,则①式和②式都是l 的方程，⎩⎨⎧+=--=+,,1222121a x x x x 消去x 2得方程2x 12+2x 1+1+a=0,此方程Δ=4-4×2(1+a).由Δ=0,得a=21-,解得x 1=21-,此时P 与Q 重合,即当a=21-时,C 1和C 2有且仅有一条公切线. 由①得公切线方程为y=x-41. (2)证明:由(1)可知当a<21-时,C 1和C 2有两条公切线,设一条公切线上切点为P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2),其中P 在C 1上,Q 在C 2上,则有x 1+x 2=-1,y 1+y 2=x 12+2x 1+(-x 22+a)=x 12+2x 1-(x 1+1)2+a=-1+a,线段PQ 的中点为(21-,21a +-). 同理,另一条公切线段P′Q′的中点也是(21-,21a +-),所以公切线段PQ 和P′Q′互相平分.。

1.2.2 函数的和、差、积、商的导数(高一数学精品课件)

=?
探究1：求函数 f (x) x2 x 的导数。
由定义求导数：
(1)求增量: y f (x x) f (x);
(2)算比值: y f (x x) f (x) ;
x
x
(3)无限逼近: x 0, y f (x) x
问3：已知 f ( x), g( x) ，如何求 f ( x) g( x)呢？
x
x
f (x x) f (x) g(x x) g(x)
x
x
从而，当x 0时，y f (x) g(x). x
所以，[ f (x) g(x)] f (x) g(x).
建构数学
法则1: 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即：
t
t2
1

2t
2
(位移单位：m,时间单位：s),求t 3s时物体的瞬时速度。
回顾小结
1.函数的和差积商的导数求导法则? 2.在应用公式时要注意什么？ 3.在探究新知时运用何思想方法？
分层作业
1.必做：课本P26习题1.2第1，2，5～7题．
2.选做：练习册拓展提高部分
3.思考：已知f(x)的导数是f (x),求函数g(x)=[f(x)]2的导数。再尝试h(x)= 1 的导数？特殊地，
f (x) 比如：y=(3x 1)2的导数？y= 1 的导数？
3x 1 你能得到什么结论？能推广到更一般的情况吗？根据你的推广，你能求出y=ln(5x+1)的导数吗？
变1：曲线y sin x 1 在点M ( ,0)处的切线斜率为？
sin x cos x 2
4
变2：设函数f (x) 1 x3 a x2 bx c,其中a>0,曲线y f (x） 32

高中数学第1章导数及其应用1.2导数的运算1.2.2函数的和、差、积、商的导数222数学

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解：(1)y′＝cos
x(sin
x＋cos (sin
x)－sin x＋cos
x(cos x)2
x－sin
x)
＝ (sin
1 x＋cos
x)2，
故曲线在点 M 处的切线斜率 k＝12. (2)由题意得，f′(x)＝x2－ax＋b，
由切点 P(0，f(0))既在曲线 f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c 上又在切线 y
x .
(4)y′＝(ex)′(2x2－3x＋4)＋ex(2x2－3x＋4)′
＝ex(2x2－3x＋4)＋ex(4x－3)＝ex(2x2＋x＋1)．
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(5)y′＝(sin
x)′x2－sin x4
x·(x2)′
＝x2cos
x－2xsin x4
x＝xcos
x－2sin x3
(1)D
(2)(－2，15)
323 (3) 27 m/s
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(1)求导公式仅能解决基本初等函数求导问题．求导法则能解决函数的和、差、积、商的求导问题，应记熟并能运用求导公式和四个求导的运算法则． (2)利用导数的几何意义可解决函数曲线的切线问题，利用导数的物理意义可解决速度和加速度问题．
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先将函数化简然后求导
求下列函数的导数：
(1)y＝xx2＋1x＋x13；
(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(3)y＝x5＋
x＋sin x
x2
.
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数学苏教版选修2-2自主练习：1.2.2函数的和、差、积、商的导数含解析

自主广场我夯基我达标1.函数y=3x-4的导数是( )A.3 B。

-4 C.-1 D.12思路解析：由函数导数的运算法则知y′=3.答案:A2.函数y=sinxcosx的导数是( ）A.sin2xB.cos2xC.sin2x D。

cos2x 思路解析：y′=（sinxcosx）′=（sinx）′cosx+sinx·（cosx)′=cos2x-sin2x=cos2x。

答案:D3。

曲线y=2x3-6x上切线平行于x轴的点的坐标是（)A。

(—1，4） B.（1，-4)C。

(—1，—4）或(1，4）D。

（—1,4）或（1,—4)思路解析：y′=(2x3-6x）′=6x2-6,由y′=0，得x=1或x=—1.代入y=2x3—6x,得y=—4或y=4.即所求点的坐标为（1，—4）或(-1，4）。

答案：D4。

函数y=x—(2x-1)2的导数是_____________。

思路解析：y=x—4x2+4x-1=—4x2+5x—1。

∴y′=—8x+5.答案:5—8x5.函数y=x2·cosx的导数为_____________。

思路解析：y′=（x 2·cosx）′=（x 2）′cosx+x 2·（cosx ）′ =2x·cosx -x 2sinx.答案：2x·cosx -x 2·sinx6.求曲线y=2x 3-3x 2+6x —1在x=1及x=-1处两切线的夹角.思路解析：根据导数求切线斜率,再由夹角公式求得.解：∵y′=6x 2—6x+6∴y′｜x=1=6，y′｜x=-1=18.设k 1=6,k 2=18,夹角为α，则tanα=10912|1|2121=+-k k k k . ∴α=arctan 10912. 我综合我发展7。

已知函数f （x ）=x 2(x —1）,当x=x 0时，有f′（x 0)=f （x 0),求x 0的值.思路分析：利用导数的四则运算法则求导，建立方程求解。

高中数学第1章导数及其应用 1.2.2 函数的和、差、积、商的导数自我小测苏教版选修2-2(

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我小测苏教版选修2—21．函数y＝(3x－2)2的导数为__________．2．函数y＝x·e x在x＝1处的导数为__________．3．若f（x)＝x ln x，且f′(x0）＝2，则x0＝__________。

4．直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点（2，3),则b＝__________.5．曲线y＝x3－3x2有一条切线与直线3x＋y＝0平行，则此切线的方程为______________．6．已知函数f（x）＝ax3＋3x2＋2，且f′(－1)＝4，则a＝________。

7．已知函数f(x)＝π4f'⎛⎫⎪⎝⎭cos x＋sin x，则π4f⎛⎫⎪⎝⎭的值为__________．8．若f(x）＝（x－1）（x－2）(x－3）(x－4）（x－5），则f′（1）＝__________。

9．求下列函数的导数：(1）y＝x4－3x2－5x＋6；（2)y＝sin x－x＋ln x；(3)y＝x4＋6x3－e x＋1π。

10．(1）求曲线y＝f(x）＝x3－2x在点（1，－1)处的切线方程;(2)求曲线y＝f（x)＝x3－2x过点(1，－1）的切线方程．参考答案1答案：18x －122答案：2e 解析：∵y ′＝x e x ＋e x,∴x ＝1时，y ′＝2e 。

高中数学 1.2.2 函数的和、差、积、商的导数配套教学课件苏教版选修22

e＝（a＞0，且a≠1）
（5）(ex)＝ex
（6）(lnx)＝ 1
x
（7）(sinx)＝cosx
（8）(cosx)＝－sinx
第二页，共20页。
回顾
2．求下列(xiàliè)函数的导数．（1）y＝3x2；（2）y＝2x；（3）y＝log2x．
第三页，共20页。
练习 (liàn
xí)
课本(kèběn)P22练习1～5．
小结：函数的四则运算(sì zé yùn suàn) 的求导法则．
第十五页，共20页。
拓展
z问h(ǎt题unò1)研求下列(xiàliè)函数的导数：究 (1) y x 1；
x 1
(2) y sin 4 x cos4 x ；
4
4
(3) y 1 1 ； 1 x 1 x
高中数学选修(xuǎnxiū)２-２
1.2.2 函数(hánshù)的和、差、积、商的导数
第一页，共20页。
回顾 1.基本(jīběn)求导
（1）C ＝公0（式C:为常数(chángshù)）
（2）(xa) ＝axa－1（a为常数(chángshù)）
（3）(ax)＝αxlna（a＞0，且a≠1）
解 : (1)h(x) (x sin x) xsin x x(sin x) sin x x cos x
(2) f (x) (2x ln x) (2x)ln x (2x)(ln x) 2 ln x 2
第十一页，共20页。
3 用两种方法求 y (2x2 3)(3x 2)
的导数.
(4) y x sin x cos x.
第十六页，共20页。
小结求导数前的变形，目的在于简化运算；如遇求多个积的导数，可以(kěyǐ)逐层分组进行；求导数后