2019届河北省中考数学系统复习：第24讲与圆有关的位置关系

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中考数学第1轮复习第6章第24讲与圆有关的位置关系课件

A．5 B．7 C．8 D．10
9
5．三角形的内心与外心： (1)不在同一直线上的三点确定一个圆． (2)内心：三角形内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等． (3)外心：三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等．
10
5．三角形的外心是( C ) A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三条边上高线的交点 C．三角形三条边垂直平分线的交点 D．三角形三条内角平分线的交点
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∵BC 与⊙O 相切于点 B，∴OB⊥BC. ∴∠OBC＝90°. ∴∠ODC＝90°.∴OD⊥CD. ∴CD 是⊙O 的切线．
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4．如图，AB 是⊙O 的直径，ED 切⊙O 于点 C，AD 交⊙O 于点 F，AC 平分∠BAD，连接 BF.
(1)求证：AD⊥ED.
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证明：连接 OC. ∵AC 平分∠BAD， ∴∠1＝∠2. ∵OA＝OC，∴∠1＝∠3. ∴∠2＝∠3.∴OC∥AD. ∵ED 切⊙O 于点 C， ∴OC⊥DE. ∴∠D＝∠OCE＝90°. ∴AD⊥ED.
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3．如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点 B，弦 AD∥OC.求证：CD 是⊙O 的切线．
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证明：连接 OD. ∵AD∥OC， ∴∠A＝∠COB，∠ADO＝∠COD. ∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ADO. ∴∠COB＝∠COD.
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在△COB 和△COD 中， OB＝OD， ∠COB＝∠COD， OC＝OC， ∴△COB≌△COD(SAS)． ∴∠OBC＝∠ODC.
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解：根据切线长定理，设 AE＝AF＝x cm，BD＝BF＝(9－ x)cm，CD＝CE＝(13－x)cm.

第6章第24讲直线与圆的位置关系

切线长定理是在圆中证明线段相等和角相等的重要依据之一，常与等腰三角形和直角三角形相结合考查几何的计算与证明．
切线的判定方法： 1．经过半径的________并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2．到圆心的距离________半径的直线是圆的切线．
连结 OC，∵F︵C＝B︵C，∴∠FAC＝∠BAC，∵OA＝OC，∴ ∠OAC＝∠OCA，∴∠FAC＝∠OCA，∴OC∥AF，∵CD⊥AF， ∴OC⊥CD，∴CD 是⊙O 的切线 (2)连结 BC，∵AB 为直径，∴ ∠ACB＝90°，∵A︵F＝F︵C＝C︵B，∴∠BOC＝13×180°＝60°，∴
三角形的内切圆
C
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的________，圆心叫做三角形的 ________，是三角形________的交点．三角形的内心到三边的距离 ________．
2．如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC， BC分别交于E，F，则( C )
A．EF＞AE＋BF B．EF＜AE＋BF C．EF＝AE＋BF D．EF≤AE＋BF
(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离．
已知圆的切线，一般连结圆心和切点构造切线与半径垂直或直角三角形，运用直角三角形的性质进行有关证明和计算.
切线的判定
1．(2014·毕节)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以 AC为直径作⊙O交AB于点D，连结CD. (1)求证：∠A＝∠BCD； (2)若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线 DM与⊙O相切？并说明理由．
( C)
A．20°
B．25°
C．40°
D．50°
3．(2012·金华、丽水)如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连结BD. (1)求证：BD平分∠ABH；

中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系--知识讲解(基础)

中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系—知识讲解（基础）责编：常春芳【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性．3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．4．垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等． 6．圆周角圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点二、与圆有关的位置关系 1．点和圆的位置关系设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP ＝d ，则有：点P 在圆外⇔d ＞r ；点P 在圆上⇔d ＝r ；点P 在圆内⇔d ＜r ．要点诠释：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A 、B 的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．3．圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点． ②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解． ④“R-r ”时，要特别注意，R ＞r ．【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题1】1．已知：如图所示，在⊙O 中，弦AB 的中点为C ，过点C 的半径为OD ．(1)若AB ＝OC ＝1，求CD 的长； (2)若半径OD ＝R ，∠AOB ＝120°，求CD 的长.【思路点拨】如图所示，一般的，若∠AOB ＝2n °，OD ⊥AB 于C ，OA ＝R ，OC ＝h ，则AB ＝2R ·sin n °＝2n ·tan n °＝CD ＝R －h ；AD 的长180n Rπ=．【答案与解析】解：∵半径OD 经过弦AB 的中点C ， ∴半径OD ⊥AB ．(1)∵AB＝AC＝BC∵OC＝1，由勾股定理得OA＝2．∴CD＝OD－OC＝OA－OC＝1，即CD＝1.(2)∵OD⊥AB，OA＝OB，∴∠AOD＝∠BOD．∴∠AOB＝120°，∴∠AOC＝60°．∵OC＝OA·cos∠AOC＝OA·cos60°＝12 R，∴1122CD OD OC R R R =-=-=．【总结升华】圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题．举一反三：【变式】在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图所示)，此时甲是自己直接射门好还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢?(不考虑其他因素)【答案】解：过M、N、B三点作圆，显然A点在圆外，设MA交圆于C，则∠MAN＜∠MCN．而∠MCN＝∠MBN，∴∠MAN＜∠MBN．因此在B点射门较好．即甲应迅速将球回传给乙，让乙射门．2．（2015•大庆模拟）已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是弧AC的中点．（1）如图1，求证：OP∥BC；（2）如图2，PC交AB于D，当△ODC是等腰三角形时，求∠A的度数．【思路点拨】（1）连结AC，延长PO交AC于H，如图1，由P是弧AC的中点，根据垂径定理得PH⊥AC，再根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°，然后根据OP∥BC；（2）如图2，根据圆心角、弧、弦的关系，以及三角形内角和等推论证来求得∠A的度数.【答案与解析】（1）证明：连结AC，延长PO交AC于H，如图1，∵P是弧AB的中点，∴PH⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴OP∥BC；（2）解：如图2，∵P是弧AC的中点，∴PA=PC，∴∠PAC=∠PCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠PAO=∠PCO，当DO=DC，设∠DCO=x，则∠DOC=x，∠PAO=x，∴∠OPC=∠OCP=x，∠PDO=2x，∵∠OPA=∠PAO=x，∴∠POD=2x，在△POD中，x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠PAO=36°，当CO=CD，设∠DCO=x，则∠OPC=x，∠PAO=x，∴∠POD=2x，∴∠ODC=∠POD+∠OPC=3x，∵CD=CO，∴∠DOC=∠ODC=3x，在△POC中，x+x+5x=180°，解得x=（）°，即∠PAO=（）°．综上所述，∠A的度数为36°或（）°．【总结升华】本题考查了圆周角定理及其推论同时考查了等腰三角形的性质、垂径定理和三角形内角和定理．举一反三：【变式】（2015•温州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求BE的长；（2）求△ACD外接圆的半径．【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角（已知），∴AD为圆O的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径），∴∠AED=90°（直径所对的圆周角为直角），又AD是△ABC的角平分线（已知），∴∠CAD=∠EAD（角平分线定义），∴CD=DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）；∵△ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，∴根据勾股定理得：AB==13，∴BE=13﹣AC=13﹣5=8；（2）由（1）得到∠AED=90°，则有∠BED=90°，设CD=DE=x，则DB=BC﹣CD=12﹣x，EB=AB﹣AE=AB﹣AC=13﹣5=8，在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD2=BE2+ED2，即（12﹣x）2=x2+82，解得：x=，∴CD=，又AC=5，△ACD为直角三角形，∴根据勾股定理得：AD==，根据AD是△ACD外接圆直径，∴△ACD外接圆的半径为：×=．类型二、圆的切线判定与性质的应用3．如图所示，AB＝AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．【思路点拨】AC与⊙O有无公共点在已知条件中没有说明，因此只能过点O向AC作垂线段OE，长等于⊙O的半径，则垂足E必在⊙O上，从而AC与⊙O相切．【答案与解析】证明：连接OD，作OE⊥AC，垂足为E，连结OA．∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB．∵AB＝AC，OB＝OC，∴∠1＝∠2，∴OE＝OD．∵OD为⊙O半径，∴AC与⊙O相切．【总结升华】如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没有给出，那么作垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求△ABC的内切圆的半径．【答案】解：设△ABC的内切圆与三边的切点分别为D、E、F，根据切线长定理可得：AE ＝AF ，BF ＝BD ，CD ＝CE ，而AE+CE ＝b ，CD+BD ＝a ，AF+BF ＝c ，可求2a b cCE +-=．连接OE 、OD ，易证OE ＝CE ．即直角三角形的内切圆半径2a b cr +-=．4．如图所示，已知：△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，1sin 2B =，∠D ＝30°． (1)求证：AD 是⊙O 的切线； (2)若AC ＝6，求AD 的长．【思路点拨】（1）连接OA ，根据圆周角定理求出∠O 的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OAD ，根据切线的判定推出即可；（2）得出等边三角形AOC ，求出OA ，根据勾股定理求出AD 的长即可．【答案与解析】(1)证明：连接OA ，∵1sin 2B =，∴∠B ＝30°． ∵∠AOC ＝2∠B ，∴∠AOC ＝60°． ∵∠D ＝30°，∴∠OAD ＝180°－∠D －∠AOD ＝90°． ∴AD 是⊙O 的切线．(2)解：∵OA ＝OC ，∠AOC ＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝6．∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，∴AD＝【总结升华】证明直线是圆的切线的方法：①有半径，证垂直；②有垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，半径OA⊥OB，P是OB延长线上一点，PA交⊙O于D，过D作⊙O的切线交PO于C 点，求证：PC＝CD．【答案】证明：连接OD．∵CE切⊙O于D，∴OD⊥CE．∴∠2+∠3＝90°．∵OA⊥OB，∴∠P+∠A＝90°．∵OD＝OA，∴∠3＝∠A．．∴∠P＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠P＝∠1．∴PC＝CD．类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用5．已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC 的平分线交AC于点D，求∠CDP的度数.【思路点拨】连接OC，根据题意，可知OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，可推出∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【答案与解析】解：连接OC，∵OC=OA，，PD平分∠APC，∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∵∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，∴∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【总结升华】本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关键在于做好辅助线构建直角三角形，求证∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，即可求出∠CDP=45°．【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题3】6．如图所示，AB是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF于点D，交AB的延长线于点C．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若DE＝4，sinC＝35，求AE的长．【思路点拨】构造半径、半弦、弦心距的直角三角形．【答案与解析】解：(1)证明：连接OE，BF，交于点G，则BF⊥AF，BF∥CD．∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA．∵∠OAE＝∠FAE，∴∠OEA＝∠FAE．∴OE∥AF，∵AF⊥DE，∴OE⊥CD．∴CD为⊙O的切线．(2)解：∵ BF∥DE，OE∥AF，∠D＝90°，∴四边形DEGF为矩形．∴BF＝2GF＝2DE＝8．∵BF∥CD，∴∠C＝∠ABF．可求得OA＝OB＝5，OG＝3．∴DF＝EG＝2，AF＝AB·sinC＝6．∴AD＝8，AE=【总结升华】(1)通过挖掘图形的性质，将分散的条件sinC＝35，DE＝4，集中到一个直角三角形中，使问题最终得到解决；(2)本题第(2)问还可以适当改变后进行变式训练，如改为：若DF＝2，sinC＝35，求AE的长；(3)第(2)问还可以过O作OM⊥AF于M后得OM＝DE＝4，sin∠AOM＝sinC＝35加以解决.。

九年级数学上册第二十四章圆24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系讲义新人教版-精美

OA＜r OB=r OC＞r
点A在⊙O内
点B在⊙O上 C
点C在⊙O外
A
or B
点与圆的位置关系
设⊙O 的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
p
d
点P在⊙O内
d＜r
0
r
P在⊙O上 P在⊙O外
d=r d＞r
0d
rp
d0
P
r
点与圆的位置关系
思考：平面上的一个圆把平面上的点分成哪几部分？
圆外的点圆上的点
例2 如图，在A地往北90m处的B处，有一栋民房，东120m的C处有一变电设施，在BC的中点D出有一古建筑.因施工需要必须在A处进行一次爆破，为使民房，变电设施古建筑都不遭破坏.问：爆破影响的半径应控制在什么范围之内？
四、巩固练习
1.如图，地面上有三个洞口A，B，C，老鼠可以从
任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三
圆内的点
平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.
圆的内部可以看成是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.圆上的点可以看成是到圆心的距离等于半径的点的集合.
探究 1、平面上有一点A，经过已知A点的圆有几个？圆心在哪里？
如图，如果同一直线l上的三点A， B，C能做一个圆，圆心为P，则点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P是直线l1与直线l2的交点，由此可得：过直线 l外一点P作直线l的垂线有两条 l1，l2，这与“过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，∴过同一直线上的三点不O
●A
O
●O
●

2013-2014中考数学专题复习学生版第二十四讲与圆有关的位置关系

第二十四讲与圆有关的位置关系【基础知识回顾】一、点与圆的位置关系：1、点与圆的位置关系有种，若圆的半径为r点P到圆心的距离为d则：点P在圆内<＝> 点P在圆上<＝>点P在圆外<＝>2、过三点的圆：⑴过同一直线上三点作圆，过三点，有且只有一个圆⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆的圆心叫做三角形的这个三角形叫做这个圆的。

⑶三角形外心的形成：三角形的交点，外心的性质：到相等【名师提醒：锐角三角形外心在三角形直角三角形的外心是钝角三角形的外心在三角形】二、直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系有种：当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆这时直线叫圆的线，当直线和圆有唯一公共点时叫做直线和圆这时直线叫圆的线，直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆这时直线叫圆的线。

2、设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则：直线l与⊙O相交<＝>d r,直线l与⊙O相切<＝>d r直线l与⊙O相离<＝>d r3、切线的性质和判定：⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的【名师提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常常连接圆心和切点，即可得垂直关系】⑵判定定理：经过半径的且这条半径的直线是圆的切线【名师提醒：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。

当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切】4、切线长定理：⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的长叫做这点到圆的切线长。

⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的相等，并且圆心和这一点的连线平分的夹角5、三角形的内切圆：⑴与三角形各边都的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的⑵三角形内心的形成：是三角形的交点内心的性质：到三角形各的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分【名师提醒：三类三角形内心都在三角形若△ABC三边为a、b、c面积为s，内切圆半径为r，则s= ，若△ABC为直角三角形，则r= 】一、圆和圆的位置关系：圆和圆的位置关系有种，若⊙O1半径为R，⊙O 2半径为r，圆心距为d，则⊙O 1 与⊙O 2 外离<＝> ⊙O 1 与⊙O 2 外切<＝>⊙O 1 与⊙O 2相交<＝> ⊙O 1 与⊙O 2内切<＝>⊙O 1 与⊙O 2内含<＝>【名师提醒：两圆相离（无公共点）包含和两种情况，两圆相切（有唯一公共点）包含和两种情况，注意题目中两种情况的考虑，同心圆是两圆此时d= 】二、反证法：假设命题的结论，由此经过推理得出由矛盾判定所作的假设从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫反证法【名师提醒：反证法证题的关键是提出即假设所证结论的反面成立，通过推理论证得出的矛盾可以与相矛盾，也可以与相矛盾，从而肯定原命题成立】【典型例题解析】13对应训练5（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）点评：本题考查了平行线性质，切线的判定，扇形的面积，三角形的面积，圆周角定理的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．对应训练考点三：直线与圆、圆与圆的位置关系例3（2013•盘锦）如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定点评：本题考查了直线和圆的位置关系，利用中位线定理比较出BC到圆心的距离与半径的关系是解题的关键．例4 （2013•攀枝花）已知⊙O1和⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，且两圆的圆心距等于4，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切点评：此题考查了圆与圆的位置关系与一元二次方程的解法．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．对应训练3．（2013•黔东南州）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为（）A．内含B．内切C．相交D．外切【聚焦山东中考】1．（2013•青岛）直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（）A．r＜6 B．r=6 C．r＞6 D．r≥6 2．（2013•烟台）如图，已知⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，将⊙O1，⊙O2放置在直线l上，如果⊙O1在直线l上任意滚动，那么圆心距O1O2的长不可能是（）A．6cm B．3cm C．2cm D．0.5cm3．（2013•枣庄）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（）A．90°B．60°C．45°D．30°4．（2013•泰安）如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是»EB的中点，则下列结论不成立的是（）A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE5．（2013•济宁）如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（）A．4 B．C．6 D．6．（2013•日照）如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为．7．（2013•滨州）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，EF⊥AC，垂足为F．求证：直线EF是⊙O的切线．8．（2013•济南）如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．（1）求AD的长；（2）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．9．（2013•临沂）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，E为BC上一点，以CE为直径作⊙O，AB与⊙O相切于点D，连接CD，若BE=OE=2．（1）求证：∠A=2∠DCB；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．10．（2013•东营）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，若∠BAC=∠CAM，过点C作直线l垂直于射线AM，垂足为点D．（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若直线l与AB的延长线相交于点E，⊙O的半径为3，并且∠CAB=30°，求CE的长．（2）BD=BE•BC，试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．5【备考真题过关】一、选择题1．（2013•铜仁地区）⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切3．（2013•泉州）已知⊙O1与⊙O2相交，它们的半径分别是4，7，则圆心距O1O2可能是（）A．2 B．3 C．6 D．12 4．（2013•南京）如图，⊙O1，⊙O2的圆心在直线l上，⊙O1的半径为2cm，⊙O2的半径为3cm．O1O2=8cm，⊙O1以1m/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动．在此过程中，⊙O1和⊙O2没有出现的位置关系是（）重庆A．外切B．相交C．内切D．内含5．（2013•重庆）如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO=26cm，PA=24cm，则⊙O的周长为（）A．18πcm B．16πcm C．20πcm D．24πcm 6．（2013•杭州）在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（）A．若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直B．若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点C．若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点D．若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径7．（2013•河南）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（）A．AG=BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC=∠ADC毕节8．（2013•毕节地区）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（）A．2，22.5°B．3，30°C．3，22.5°D．2，30°9．（2013•安徽）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥ACC．当PO⊥AC时，∠ACP=30°D．当∠ACP=30°时，△BPC是直角三角形二、填空题点为A，若∠MAB=30°，则∠B= 度．天水14．（2013•天水）如图所示，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC与直线AB相切．张家界16．（2013•张家界）如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，它们的半径都是a，顺次连接三个黄石18．（2013•黄石）如图所示，在边长为3的正方形ABCD 中，⊙O 1与⊙O 2外切，且⊙O 2分别于DA 、DC 边外切，⊙O 1分别与BA 、BC 边外切，则圆心距，O 1O 2为．三、解答题19．（2013•巴中）若⊙O 1和⊙O 2的圆心距为4，两圆半径分别为r 1、r 2，且r 1、r 2是方程组的解，求r 1、r 2的值，并判断两圆的位置关系．20．（2013•凉山州）在同一平面直角坐标系中有5个点：A （1，1），B （-3，-1），C （-3，1），D （-2，-2），E （0，-3）．（1）画出△ABC 的外接圆⊙P ，并指出点D 与⊙P 的位置关系；（2）若直线l 经过点D （-2，-2），E （0，-3），判断直线l 与⊙P 的位置关系．1212263-57r r r r +=⎧⎨=⎩21．（2013•永州）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A=30°，D为BC 的中点．（1）求证：AB=BC；（2）求证：四边形BOCD是菱形．22．（2013•株洲）已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C．（1）求∠BAC的度数；（2）求证：AD=CD．23．（2013•天津）已知直线I与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥I于点D．（Ⅰ）如图①，当直线I与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；（Ⅱ）如图②，当直线I与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．5 326．（2013•莆田）如图，▱ABCD 中，AB=2，以点A 为圆心，AB 为半径的圆交边BC 于点E ，连接DE 、AC 、AE ．（1）求证：△AED ≌△DCA ；（2）若DE 平分∠ADC且与⊙A 相切于点E ，求图中阴影部分（扇形）的面积．27．（2013•新疆）如图，已知⊙O 的半径为4，CD 是⊙O 的直径，AC 为⊙O 的弦，B 为CD 延长线上的一点，∠ABC=30°，且AB=AC ．（1）求证：AB 为⊙O 的切线；（2）求弦AC 的长；（3）求图中阴影部分的面积．。

河北省中考数学系统复习：第24讲与圆有关的位置关系

第24讲与圆有关的位置关系命题点近8年的命题形式考查方向点与圆的位置关系(T23(3)解) 作为圆的核心知识点的补充，在中考范围内仅出现一次()，并巧妙结合外心与扇形相关内容进行考查，估计这种形式将偶尔出现.切线的性质与判定(T25解)，(T23解)，(T25解)，(T26解)，(T25解)，(T24解)，(T25解)，(T25解)高频考点切线的性质与判定是河北省中考必考考点，呈现方式稳定，多以部分圆为背景(半圆或扇形，弓形等)，以旋转或折叠等方式，在变化过程中，对某一位置或某一时刻形成相切时，对对应的某一量进行求解，体现了从一般到特殊，再到一般的研究问题的思维过程.三角形的内心与外心(T15选，T23(3)解)，(T23(3)解)，(T9选)，(T6选)常考点作为圆的核心知识点的补充，近四年出现在中考试题中，既体现考查知识的连续性，又体现考查知识的全面性，估计这种全局设计方式在一定时期内将一直存在.命题点1三角形的内心与外心1．(·河北T6·3分)如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE相交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是(B) A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE2．(·河北T9·3分)如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是(B)A．△ACD的外心 B．△ABC的外心C．△ACD的内心 D．△ABC的内心3．(·河北T15·2分)如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为(B)A ．4.5B ．4C ．3D ．2命题点2 切线的性质与判定4．(·河北T24·11分)如图，在△OAB 中，OA ＝OB ＝10，∠AOB ＝80°，以点O 为圆心，6为半径的优弧MN ︵分别交OA ，OB 于点M ，N .(1)点P 在右半弧上(∠BOP 是锐角)，将OP 绕点O 逆时针旋转80°得OP ′.求证：AP ＝BP ′；(2)点T 在左半弧上，若AT 与MN ︵相切，求点T 到OA 的距离；(3)设点Q 在优弧MN ︵上，当△AOQ 的面积最大时，直接写出∠BOQ 的度数．解：(1)证明：∵∠AOP ＝∠AOB ＋∠BOP ＝80°＋∠BOP ，∠BOP ′＝∠POP ′＋∠BOP ＝80°＋∠BOP ， ∴∠AOP ＝∠BOP ′.又∵OA ＝OB ，OP ＝OP ′， ∴△AOP ≌△BOP ′(SAS)． ∴AP ＝BP ′.(2)连接OT ，过点T 作TH ⊥OA 于点H . ∵AT 与MN ︵相切，∴∠ATO ＝90°. ∴AT ＝OA 2－OT 2＝102－62＝8. ∵12OA ·TH ＝12AT ·OT ， ∴TH ＝AT ·OT OA ＝8×610＝245. ∴点T 到OA 的距离为245.(3)10°或170°.(注：当OQ ⊥OA 时，△AOQ 的面积最大，且左右两半弧上各存在一点)重难点1 切线的性质如图，AB 是⊙O 的直径，且长为10，点P 是AB 下方的半圆上不与点A ，B 重合的一个动点，点C 为AP 的中点，延长CO 交⊙O 于点D ，连接AD ，过点D 作⊙O 的切线交PB 的延长线于点E ，连CE.(1)若∠ADC＝30°，求BD ︵的长； (2)求证：△DAC≌△ECP；(3)在点P 运动过程中，若tan ∠DCE＝12，求AD 的长．【思路点拨】 (1)利用同弧所对圆周角与圆心角之间的关系，可求得∠DOB＝60°，利用弧长公式求BD ︵的长；(2)先证得四边形DCPE 是矩形，从而证明△DAC≌△ECP；(3)可以利用tan ∠DCE 在Rt △DAC 中获得三边的数量关系，在Rt △AOC 中建立方程求解．【自主解答】解：(1)∵∠ADC＝30°，OA ＝OD ，∴∠OAD＝30°.∴∠DOB＝60°. ∴l BD ︵＝60×π×5180＝5π3.(2)证明：连接OP.∵AO＝OP ，点C 是AP 的中点，∴∠DCP＝90°. ∵DE 是⊙O 的切线，∴∠CDE＝90°.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB＝90°.∴四边形DCPE 是矩形．∴DC＝EP. 又∵AC＝CP ，∠ACD＝∠CPE＝90°，∴△DAC≌△ECP(SAS )． (3)由(2)知，四边形DCPE 是矩形，△DAC≌△ECP， ∴∠ADC＝∠CEP＝∠DCE. ∵tan ∠DCE＝12，∴tan ∠ADC＝12.∴设AC ＝x ，则DC ＝2x ，AD ＝5x.在Rt △AOC 中，OC ＝2x －5，AO 2＝AC 2＋OC 2，∴52＝x 2＋(2x －5)2，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝4.∴AD＝4 5.【变式训练1】如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC＝60°，P 是OB 上一点，过点P 作AB 的垂线与AC 的延长线交于点Q ，过点C 的切线CD 交PQ 于点D ，连接OC.(1)求证：△CDQ 是等腰三角形；(2)如果△CDQ≌△COB，求BP∶PO 的值．解：(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°.∵PQ⊥AB，∴∠APQ＝90°. 又∵∠BAC＝60°，OA ＝OC ，∴△OAC 是等边三角形，∠ABC＝∠Q＝30°.∴∠ACO＝60°.∴∠DCQ＝180°－90°－60°＝30°. ∴∠DCQ＝∠Q.∴△CDQ 是等腰三角形．(2)设⊙O 的半径为x ，则AB ＝2x ，AC ＝x ，BC ＝3x. ∵△CDQ≌△COB，∴CQ＝BC ＝3x.∴AQ＝AC ＋CQ ＝(1＋3)x.∴AP＝12AQ ＝1＋32x.∴BP＝AB －AP ＝3－32x ，PO ＝AP －AO ＝3－12x.∴BP∶PO＝ 3. 方法指导1．遇切线，通常的方法是连接过切点的半径，利用切线垂直于过切点的半径，构建直角三角形，进而利用直角三角形进行求解或证明．2．在圆中还可以获得直角的方法有：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，直径所对的圆周角是直角． 3．以圆为背景的求解题，往往转化成解双直角三角形或者相似三角形．Ｋ重难点2 切线的判定(·聊城)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，作ED⊥EB 交AB 于点D ，⊙O 是△BED 的外接圆．(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)已知⊙O 的半径为2.5，BE ＝4，求BC ，AD 的长．【思路点拨】 (1)证AC 是⊙O 的切线，可转化为证OE⊥AC；(2)求BC ，AD 的长可通过证明△BDE∽△BEC 和△AOE∽△ABC.【自主解答】解：(1)证明：连接OE. ∵OB＝OE ，∴∠OBE＝∠OEB.∵BE 平分∠ABC，∴∠OBE＝∠CBE. ∴∠OEB＝∠CBE.∴OE∥BC.又∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC. 又∵OE 是⊙O 的半径，∴AC 为⊙O 的切线． (2)∵ED⊥BE，∴∠BED＝∠C＝90°. 又∵∠DBE＝∠EBC，∴△BDE∽△BEC. ∴BD BE ＝BE BC ，即54＝4BC .∴BC＝165. ∵∠AEO＝∠C＝90°，∠A＝∠A，∴△AOE∽△ABC. ∴AO AB ＝OE BC ，即AD ＋2.5AD ＋5＝2.5165.∴AD＝457. 【变式训练2】 (·安顺)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点O 为BC 的中点，AC 与半圆O 相切于点D.(1)求证：AB 是半圆O 所在圆的切线；(2)若cos ∠ABC＝23，AB ＝12，求半圆O 所在圆的半径．解：(1)证明：作OE⊥AB 于点E ，连接OD ，OA. ∵AB＝AC ，点O 是BC 的中点，∴∠CAO＝∠BAO. ∵AC 与半圆O 相切于点D ，∴OD⊥AC.又∵OE⊥AB，∴OD＝OE ，即OE 是半圆O 所在圆的半径． ∴AB 是半圆O 所在圆的切线．(2)∵AB＝AC ，点O 是BC 的中点，∴AO⊥BC. 在Rt △AOB 中，OB ＝AB·cos ∠ABC＝12×23＝8.根据勾股定理，得OA ＝AB 2－OB 2＝4 5.∵S △AOB ＝12AB·OE＝12OB·OA，∴OE＝OB·OA AB ＝853，即半圆O 所在圆的半径为853.方法指导1．证明某条直线是圆的切线的方法：(1)若这条直线经过圆上一点，需证明这条直线和经过这一点的半径垂直；(2)若没有明确直线经过圆上一点，需证明圆心到这条直线的距离等于圆的半径． 2．不能或不易直接求解的边长可转化成易求两条边长的差或和．重难点3 三角形的内心与外心如图，点O 为锐角△ABC 的外心，四边形OCDE 为正方形，其中E 点在△ABC 的外部，判断下列说法正确的是(B )A ．点O 是△AEB 的外心，点O 是△AED 的外心 B ．点O 是△AEB 的外心，点O 不是△AED 的外心C ．点O 不是△AEB 的外心，点O 是△AED 的外心 D ．点O 不是△AEB 的外心，点O 不是△AED 的外心【变式训练3】如图，若点O 是AB 的中点，且点O 不是一个三角形的外心，则这个三角形可以是(B )A ．△ABCB ．△ABEC ．△ABFD ．△ABD【变式训练4】如图，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是(A)A．点O是△ABC的内心B．点O是△ABC的外心C．△ABC是正三角形D．△ABC是等腰三角形【变式训练5】如图，△ABC的外心坐标是(B)A．(－1，－2) B．(－2，－1) C．(－2，－2) D．(－1，－1)方法指导1．判断点是某个三角形的外心，只需说明点到此三角形的三个顶点的距离相等即可；判断点是某个三角形的内心，只需说明点到此三角形三边的距离相等即可．2．三角形的内心是三角形角平分线的交点，又是三角形内切圆的圆心；三角形的外心是三角形各边垂直平分线的交点，又是三角形外接圆的圆心．它是串联圆与三角形之间的关键点，可以利用它从一个图形过渡到另一个图形．重难点4切线长定理如图，△ABC是一张周长为17 cm的三角形纸片，BC＝5 cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为(B)A．12 cm B．7 cm C．6 cm D．随直线MN的变化而变化【思路点拨】由切线长定理，可将△AMN的周长转化成求AD＋AE的和，而BD＋CE的和等于BC.【变式训练6】如图，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上两点．若∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A 的度数是99°．方法指导1．由切线长定理及三角形周长可得： ①AD＝12C △ABC －BC ；②BD＝12C △ABC －AC ；③CE＝12C △ABC －AB.2．若已知三角形的内切圆及切点，求线段的长或周长时，往往用到切线长定理．1．已知⊙O 的半径为6，圆心O 到直线l 的距离为10，则反映直线l 与⊙O 的位置关系的图形是(D )2．已知⊙O 的半径是3，点P 在圆内，则线段OP 的长可能是(A )A ．2B ．3C ．4D ．5 3．(·宜昌)如图，直线AB 是⊙O 的切线，C 为切点，OD∥AB 交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上，连接OC ，EC ，ED ，则∠CED 的度数为(D )A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°4．(·河北模拟)九个相同的等边三角形如图所示，已知点O 是一个三角形的外心，则这个三角形是(C )A ．△ABCB ．△ABEC ．△ABD D ．△ACE5．(·保定模拟)如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，点D ，E 分别是AC ，AB 的中点，则以DE 为直径的圆与BC 的位置关系是(B )A ．相切B ．相交C ．相离D ．无法确定6．(·烟台)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE 的度数为(C)A．56° B．62°C．68° D．78°7．(·石家庄长安区模拟)如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，点M，N，O均为格点，点N在⊙O上．若过点M作⊙O的一条切线MK，切点为K，则MK＝(B)A．3 2 B．2 5 C．5 D.348．(·烟台)如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为(－1，－2)．9．(·安徽)如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E.若点D是AB的中点，则∠DOE＝60°．10．(·邵阳)如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为D，连接BC，BC平分∠ABD.求证：CD为⊙O的切线．证明：∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠DBC.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∴∠OCB＝∠DBC.∴OC∥BD.∵BD⊥CD，∴OC⊥CD.又∵OC为⊙O的半径，∴CD为⊙O的切线．11．(·黄冈)如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C.(1)求证：∠CBP＝∠D；(2)若OA＝2，AB＝1，求线段BP的长．解：(1)证明：连接OB.∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°.∴∠A＋∠D＝90°.∵BC为切线，∴OB⊥BC，即∠OBC＝90°.∴∠OBA＋∠CBP＝90°.∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA.∴∠CBP＝∠D.(2)∵OP⊥AD，∴∠POA＝90°.∴∠P＋∠A＝90°.∴∠P＝∠D.又∵∠A＝∠A，∴△AOP∽△ABD.∴APAD＝AOAB，即1＋BP4＝21.∴BP＝7.12．(·荆门)如图，在平面直角坐标系xOy中，A(4，0)，B(0，3)，C(4，3)，I是△ABC的内心，将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后，I的对应点I′的坐标为(A)A．(－2，3) B．(－3，2) C．(3，－2) D．(2，－3)提示：I(3，2)．13．(·台州)如图，等边三角形ABC 边长是定值，点O 是它的外心，过点O 任意作一条直线分别交AB ，BC 于点D ，E.将△BDE 沿直线DE 折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E 分别交AC 于点F ，G ，连接OF ，OG ，则下列判断错误的是(D )A ．△ADF≌△CGEB ．△B′FG 的周长是一个定值C ．四边形FOEC 的面积是一个定值D ．四边形OGB′F 的面积是一个定值提示：连接OA ，OC ，易证△DOF≌△GOF≌△GOE，△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，△ADF≌△CGE，故选项A 正确；∵△DOF≌△GOF≌△GOE，∴DF＝GF ＝GE.∴△ADF≌△B′GF≌△CGE.∴B′F＝AF ，B′G＝CG.∴C △B′FG ＝FG ＋B′F ＋B′G＝FG ＋AF ＋CG ＝AC(定值)，故选项B 正确；S 四边形FOEC ＝S △OCF ＋S △OCE ＝S △OCF ＋S △OAF ＝S △AOC ＝13S △ABC (定值)，故选项C 正确；S四边形OGB′F＝S △OFG ＋S △B′GF ＝S △OFD ＋S △ADF ＝S四边形OFAD＝S △OAD ＋S △OAF ＝S △OCG ＋S △OAF ＝S △OAC －S △OFG ，过点O 作OH⊥AC于点H ，∴S △OFG ＝12FG·OH，由于OH 是定值，FG 变化，故△OFG 的面积变化，从而四边形OGB′F 的面积也变化，故选项D 错误． 14．(·南京)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝4，以CD 为直径作⊙O.将矩形ABCD 绕点C 旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O 相切，切点为E ，边CD′与⊙O 相交于点F ，则CF 的长为4．提示：连接OE ，延长EO 交CD′于点G ，则OE ＝OC ＝2.5.∴OG＝EG －OE ＝1.5.∴CG＝OC 2－OG 2＝2.∴CF＝2CG ＝4.15．【分类讨论思想】(·宁波)如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连接PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作⊙P.当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时，BP 的长为3或43．提示：分两种情况讨论：①当⊙P与直线CD相切时，BP＝3；②当⊙P与直线AD相切时，PB ＝4 3.16．(·扬州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO 于点F.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若点F是OA的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；(3)在(2)的条件下，点P是BC边上的动点，当PE＋PF取最小值时，直接写出BP的长．解：(1)证明：作OH⊥AC于点H.∵AB＝AC，AO⊥BC，∴AO平分∠BAC.又∵OE⊥AB，OH⊥AC，∴OH＝OE，即OH为⊙O的半径．∴AC是⊙O的切线．(2)∵点F是OA的中点，∴OA＝2OF＝2OE＝6.又∵OE＝3，∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°.∴AE＝3 3.∴S阴影＝S△AOE－S扇形EOF＝12×3×33－60×π×32360＝93－3π2.(3)作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于点P，此时PE＋PF最小．∵OF′＝OF＝OE，∴∠F′＝∠OEF′.∵∠AOE＝∠F′＋∠OEF′＝60°，∴∠F′＝30°.∴∠F′＝∠EAF′.∴EF′＝EA＝33，即PE＋PF最小值为3 3.在Rt△OPF′中，OP＝tan30°·OF′＝3，在Rt△ABO中，OB＝tan30°·OA＝23，∴BP＝23－3＝ 3.11 / 11。

中考数学知识点专题分类复习：第24讲与圆相关的角

中考数学知识点专题分类复习：第24讲与圆相关的角【知识巩固】一、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

3、圆周角定理及推论（1）定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于⑧这条弧所对的圆心角的一半. 2. 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 4、弧、弦、圆周角、弦切角之间的关系（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对弦的弦心距也相等.（2）推论（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中⑨有一组量相等，那么其他各组量也分别对应相等.（2）弧的度数等于它所对的圆心角的度数.【典例解析】典例一、圆心角（2016·山东省济宁市·3分）如图，在⊙O中，=，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC=∠AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵在⊙O中，=，∴∠AOC=∠AOB，∵∠AOB=40°，∴∠AOC=40°，∴∠ADC=∠AOC=20°，故选C．【变式训练】（2016·山东省滨州市·3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（）A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥ C．②③④⑥ D．①③④⑤【考点】圆的综合题．【分析】①由直径所对圆周角是直角，②由于∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角角，③由平行线得到∠OCB=∠DBC，再由圆的性质得到结论判断出∠OBC=∠DBC；④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；⑤用三角形的中位线得到结论；⑥得不到△CEF和△BED中对应相等的边，所以不一定全等．【解答】解：①、∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，②、∵∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角角，∴∠AOC≠∠AEC，③、∵OC∥BD，∴∠OCB=∠DBC，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OBC=∠DBC，∴CB平分∠ABD，④、∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，∵OC∥BD，∴∠AFO=90°，∵点O为圆心，∴AF=DF，⑤、由④有，AF=DF，∵点O为AB中点，∴OF是△ABD的中位线，∴BD=2OF，⑥∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，故选D【点评】此题是圆综合题，主要考查了圆的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌握圆的性质．典例二、圆周角（2017江苏徐州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB=72°，则∠ACB等于（）A．28°B．54°C．18°D．36°【考点】M5：圆周角定理．【分析】根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于同弧所对圆心角的一半即可求解．【解答】解：根据圆周角定理可知，∠AOB=2∠ACB=72°，即∠ACB=36°，故选D．【变式训练】（2017江苏盐城）如图，将⊙O沿弦AB折叠，点C在上，点D在上，若∠ACB=70°，则∠ADB=110°．【考点】M5：圆周角定理．【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论．【解答】解：∵点C在上，点D在上，若∠ACB=70°，∴∠ADB+∠ACB=180°，∴∠ADB=110°，故答案为：110．典例三、圆周角与切线之间的关系（2017贵州）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（）A．2 B．﹣1 C．D．4【考点】M5：圆周角定理；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．【分析】根据垂径定理得到CE=DE，∠CEO=90°，根据圆周角定理得到∠COE=30°，根据直角三角形的性质得到CE=OC=1，最后由垂径定理得出结论．【解答】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，∠CEO=90°，∵∠A=15°，∴∠COE=30°，∵OC=2，∴CE=OC=1，∴CD=2OE=2，故选A．【变式训练】（2017贵州）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（）A．2 B．﹣1 C．D．4【考点】M5：圆周角定理；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．【分析】根据垂径定理得到CE=DE，∠CEO=90°，根据圆周角定理得到∠COE=30°，根据直角三角形的性质得到CE=OC=1，最后由垂径定理得出结论．【解答】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，∠CEO=90°，∵∠A=15°，∴∠COE=30°，∵OC=2，∴CE=OC=1，∴CD=2OE=2，故选A．典例四、与圆周角有关的证明（2017哈尔滨）如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B的大小是（）A．43°B．35°C．34°D．44°【考点】M5：圆周角定理．【分析】由同弧所对的圆周角相等求得∠A=∠D=42°，然后根据三角形外角的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠D=∠A=42°，∴∠B=∠APD﹣∠D=35°，故选B．【变式训练】（2017湖北荆州）如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是60°或120°．【考点】M6：圆内接四边形的性质；L8：菱形的性质；M5：圆周角定理．【分析】连接OB，则AB=OA=OB故可得出△AOB是等边三角形，所以∠ADC=60°，∠AD′C=120°，据此可得出结论．【解答】解：连接OB，∵四边形OABC是菱形，∴AB=OA=OB=BC，∴△AOB是等边三角形，∴∠ADC=60°，∠AD′C=120°．故答案为：60°或120°．典例五、角的综合应用（2017贵州安顺）如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD的长为（）A．B．C．D．【考点】T7：解直角三角形；JA：平行线的性质；M5：圆周角定理．【分析】首先由切线的性质得出OB⊥BC，根据锐角三角函数的定义求出cos∠BOC的值；连接BD，由直径所对的圆周角是直角，得出∠ADB=90°，又由平行线的性质知∠A=∠BOC，则cos∠A=cos∠BOC，在直角△ABD中，由余弦的定义求出AD的长．【解答】解：连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB=90°．∵OC∥AD，∴∠A=∠BOC，∴cos∠A=cos∠BOC．∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，∴cos∠BOC==，∴cos∠A=cos∠BOC=．又∵cos∠A=，AB=4，∴AD=．故选B．【变式训练】（2016海南4分）如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧上，AB=8，BC=3，则DP= 5.5．【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】解：由AB和DE是⊙O的直径，可推出OA=OB=OD=4，∠C=90°，又有DE⊥AC，得到OP∥BC，于是有△AOP∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵AB和DE是⊙O的直径，∴OA=OB=OD=4，∠C=90°，又∵DE⊥AC，∴OP∥BC，∴△AOP∽△ABC，∴，即，∴OP=1.5．∴DP=OP+OP=5.5，故答案为：5.5．【点评】本题主要考查了圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．【能力检测】1. （2017宜昌模拟）如图，CD是圆O的直径，AC，BD是弦，C是弧AB的中点，且∠BDC=25°，则∠AOC的度数是（）A．25°B．45°C．50°D．60°【考点】M5：圆周角定理．【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得∠AOC=2∠CDB，进而可得答案．【解答】解：∵C是弧AB的中点，∴=，∴∠AOC=2∠CDB，∵∠BDC=25°，∴∠AOC=50°，故选：C．【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．2. (2017湖北宜昌)如图，四边形ABCD内接⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB=AD B．BC=CD C．D．∠BCA=∠DCA【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本选项正确；C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误；D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．故选B．3.（2017毕节）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，则∠BAD为（）A．30°B．50°C．60°D．70°【考点】M5：圆周角定理．【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADB=90°，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得∠ABD=∠ACD，从而可得到∠BAD的度数．【解答】解：连接BD，∵∠ACD=30°，∴∠ABD=30°，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°﹣∠ABD=60°．故选C．4.（2016·山东省济宁市·3分）如图，在⊙O中，=，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC=∠AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵在⊙O中，=，∴∠AOC=∠AOB，∵∠AOB=40°，∴∠AOC=40°，∴∠ADC=∠AOC=20°，故选C．5. （2017山东枣庄）如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，∠C=60°，则的长为π．【考点】MC：切线的性质；L5：平行四边形的性质；MN：弧长的计算．【分析】先连接OE、OF，再求出圆心角∠EOF的度数，然后根据弧长公式即可求出的长．【解答】解：如图连接OE、OF，∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD，∴∠OED=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=60°，∴∠A=∠C=60°，∠D=120°，∵OA=OF，∴∠A=∠OFA=60°，∴∠DFO=120°，∴∠EOF=360°﹣∠D﹣∠DFO﹣∠DEO=30°，的长==π．故答案为：π．6.（2016·青海西宁·2分）⊙O的半径为1，弦AB=，弦AC=，则∠BAC度数为75°或15°．【考点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．【分析】连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据垂径定理求出AE、FA值，根据解直角三角形的知识求出∠OAB和∠OAC，然后分两种情况求出∠BAC即可．【解答】解：有两种情况：①如图1所示：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∴∠OEA=∠OFA=90°，由垂径定理得：AE=BE=，AF=CF=，cos∠OAE==，cos∠OAF==，∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，∴∠BAC=30°+45°=75°；②如图2所示：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∴∠OEA=∠OFA=90°，由垂径定理得：AE=BE=，AF=CF=，cos∠OAE═=，cos∠OAF==，∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，∴∠BAC=45°﹣30°=15°；故答案为：75°或15°．7. (2017湖北宜昌)已知，四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE=EC，以AE为直径的⊙O与边CD相切于点D．B点在⊙O上，连接OB．（1）求证：DE=OE；（2）若CD∥AB，求证：四边形ABCD是菱形．【考点】MC：切线的性质；L9：菱形的判定．【分析】（1）先判断出∠2+∠3=90°，再判断出∠1=∠2即可得出结论；（2）先判断出△ABO≌△CDE得出AB=CD，即可判断出四边形ABCD是平行四边形，最后判断出CD=AD即可．【解答】解：（1）如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90°，∵DE=EC，∴∠1=∠2，∴∠3=∠COD，∴DE=OE；（2）∵OD=OE，∴OD=DE=OE，∴∠3=∠COD=∠DEO=60°，∴∠2=∠1=30°，∵OA=OB=OE，OE=DE=EC，∴OA=OB=DE=EC，∵AB∥CD，∴∠4=∠1，∴∠1=∠2=∠4=∠OBA=30°，∴△ABO≌△CDE，∴AB=CD，∴四边形A∴D是平行四边形，∴∠DAE=∠DOE=30°，∴∠1=∠DAE，∴CD=AD，∴▱ABCD是菱形．。

中考数学专题特训第二十四讲：与圆有关的位置关系(含详细参考答案)

中考数学专题复习第二十四讲与圆有关的位置关系【基础知识回顾】一、点与圆的位置关系：1、点与圆的位置关系有种，若圆的半径为r点P到圆心的距离为d则：点P在圆内<＝> 点P在圆上<＝>点P在圆外<＝>2、过三点的圆：⑴过同一直线上三点作用，过三点，有且只有一个圆⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆的圆心叫做三角形的这个三角形叫做这个圆的⑶三角形外心的形成：三角形的交点，外心的性质：到相等【赵老师提醒：1、锐角三角形外心在三角形直角三角形的外心是锐角三角形的外心在三角形】一、直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系有种：当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆直线叫圆的线，这的直线叫做圆的直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆2、设Qo的半径为r，圆心o到直线l的距离为d，则：直线l与Qo相交<＝>d r,直线l与Qo相切<＝>d r直线l与Qo相离<＝>d r3、切线的性质和判定：⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的【赵老师提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常用连接圆心和切点，即可的垂直关系】⑵判定定理：经过半径的且这条半径的直线式圆的切线【赵老师提醒：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。

⑵切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线，它们的相等，并且圆心和这一点的连线平分的夹角5、三角形的内切圆：⑴与三角形各边都的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的⑵三角形内心的形成：是三角形的交点内心的性质：到三角形各的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分【赵老师提醒：三类三角形内心都在三角形若△ABC三边为a、b、c面积为s，内切圆半径为r，则s= ，若△ABC为直角三角形，则r= 】二、圆和圆的位置关系：圆和圆的位置关系有种，若Qo1半径为R，Qo2半径为r，圆心距外，则Qo1 与Qo2 外距<＝> Qo1 与Qo2 外切<＝>两圆相交<＝> 两圆内切<＝>两圆内含<＝>【赵老师提醒：两圆相离无公共点包含和两种情况，两圆相切有唯一公共点包含和两种情况，注意题目中两种情况的考虑圆心同是两圆此时d= 】三、反证法：假设命题的结论，由此经过推理得出由矛盾判定所作的假设从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫反证法【赵老师提醒：反证法正题的关键是提出即假设所证结论的反面成立，择推理论证得出的矛盾可以与相矛盾，也可以与相矛盾，从而肯定原命题成立】【典型例题解析】考点一：切线的性质线，证明：AB=4PD．考点：切线的性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．专题：几何综合题．分析：（1）PO与BC的位置关系是平行；（2）（1）中的结论成立，理由为：由折叠可知三角形APO与三角形CPO全等，根据全等三角形的对应角相等可得出∠APO=∠CPO，再由OA=OP，利用等边对等角得到∠A=∠APO，等量代换可得出∠A=∠CPO，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠A=∠PCB，再等量代换可得出∠COP=∠ACB，利用内错角相等两直线平行，可得出PO与BC平行；（3）由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CD，又AD垂直于CD，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC与AD平行，根据两直线平行内错角相等得到∠APO=∠COP，再利用折叠的性质得到∠AOP=∠COP，等量代换可得出∠APO=∠AOP，再由OA=OP，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出三角形AOP三内角相等，确定出三角形AOP为等边三角形，根据等边三角形的内角为60°得到∠AOP为60°，由OP 平行于BC，利用两直线平行同位角相等可得出∠OBC=∠AOP=60°，再由OB=OC，得到三角形OBC为等边三角形，可得出∠COB为60°，利用平角的定义得到∠POC也为60°，再加上OP=OC，可得出三角形POC为等边三角形，得到内角∠OCP为60°，可求出∠PCD为30°，在直角三角形PCD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，而PC等于圆的半径OP等于直径AB的一半，可得出PD为AB的四分之一，即AB=4PD，得证．解答：解：（1）PO与BC的位置关系是PO∥BC；（2）（1）中的结论PO∥BC成立，理由为：由折叠可知：△APO≌△CPO，∴∠APO=∠CPO，又∵OA=OP，∴∠A=∠APO，∴∠A=∠CPO，又∵∠A与∠PCB都为PB所对的圆周角，∴∠A=∠PCB，∴∠CPO=∠PCB，对应训练1．（2012•玉林）如图，已知点O为Rt△ABC斜边AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE．（1）求证：AE平分∠CAB；（2）探求图中∠1与∠C的数量关系，并求当AE=EC时，tanC的值．考点：切线的性质；特殊角的三角函数值．专题：探究型．分析：（1）连接OE，则OE⊥BC，由于AB⊥BC，故可得出AB∥OE，进而可得出∠2=∠AEO，由于OA=OE，故∠1=∠AEO，进而可得出∠1=∠2；（2）由三角形外角的性质可知∠1+∠AEO=∠EOC，，因为∠1=∠AEO，∠OEC=90°，所以2∠1+∠C=90°；当AE=CE时，∠1=∠C，再根据2∠1+∠C=90°即可得出∠C的度数，由特殊角的三角函数值得出tanC即可．解答：（1）证明：连接OE，∵⊙O与BC相切于点E，∴OE⊥BC，∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB，∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC，∴AB=AC；（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，∵设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r，∴AB2=OA2-OB2=52-r2，AC2=PC2-PA2=(25)2-（5-r）2，∴52-r2=(25)2-（5-r）2，解得：r=3，∴AB=AC=4，∵PD是直径，∴∠PBD=90°=∠PAC，∵∠DPB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA，∴CP AP PD BP=，∴2553 33BP-=+，解得：PB=655．考点二：切线的判定（2）解：作BG⊥CD，垂足是G，在Rt△ABD中∵AB=10，sin∠DAB=35，又∵sin∠DAB=BD AB，∴BD=6∵C是弧AB的中点，∴∠ADC=∠CDB=45°，∴BG=DG=BDsin45°=6×22=32，∵∠DAB=∠DCB∴tan∠DCB=BGCG=34，∴CG=42，∴CD=CG+DG=42+32=72，∴S△CBD=12CD•BG=7232212⨯=．点评：本题考查的是切线的判定定理，涉及到圆周角定理、解直角三角形及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．对应训练考点三：三角形的外接圆和内切圆例4 （2012•阜新）如图，在△ABC中，BC=3cm，∠BAC=60°，那么△ABC能被半径至少为cm的圆形纸片所覆盖．考点：三角形的外接圆与外心；圆周角定理；锐角三角函数的定义．专题：计算题．分析：作圆O的直径CD，连接BD，根据圆周角定理求出∠D=60°，根据锐角三角函数的定义得出sin∠D= BCCD，代入求出CD即可．解答：解：作圆O的直径CD，连接BD，∵弧BC对的圆周角有∠A、∠D，∴∠D=∠A=60°，∵直径CD，A．r B．2r C．2r D．2r考点：三角形的内切圆与内心；矩形的判定；正方形的判定；切线长定理．专题：计算题．分析：连接OD、OE，求出∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，推出四边形ODBE是正方形，得出BD=BE=OD=OE=r，根据切线长定理得出MP=DM，NP=NE，代入MB+NB+MN得出BD+BE，求出即可．解答：解：连接OD、OE，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∵∠ABC=90°，∴∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，∴四边形ODBE是矩形，∵OD=OE，∴矩形ODBE是正方形，∴BD=BE=OD=OE=r，∵⊙O切AB于D，切BC于E，切MN于P，∴MP=DM，NP=NE，∴Rt△MBN的周长为：MB+NB+MN=MB+BN+NE+DM=BD+BE=r+r=2r，故选C．点评：本题考查的知识点是矩形的判定、正方形的判定、三角形的内切圆和内心、切线长定理等，主要考查运用这些性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度也适中．对应训练4．（2012•台州）已知，如图1，△ABC中，BA=BC，D是平面内不与A、B、C重合的任意一点，∠ABC=∠DBE，BD=BE．（1）求证：△ABD≌△CBE；∴sin∠D=BCCD=45，∴CD=25 4，答：三角形ABC外接圆的直径是254．（2）解：连接IC、BI，且延长BI交AC于F，过I作IE⊥AB于E，∵AB=BC=5，I为△ABC内心，∴BF⊥AC，AF=CF，∵sin∠A=45=BFAB，∴BF=4，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF=CF=3，AC=2AF=6，∵I是△ABC内心，IE⊥AB，IF⊥AC，IG⊥BC，∴IE=IF=IG，设IE=IF=IG=R，∵△ABI、△ACI、△BCI的面积之和等于△ABC的面积，∴12AB×R+12BC×R+12AC×R=12AC×BF，即5×R+5×R+6×R=6×4，∴R=32，在△AIF中，AF=3，IF=32，由勾股定理得：AI=352．答：AI的长是352．点评：本题考查了三角形的面积公式，三角形的内切圆和内心，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．考点三：圆与圆的位置关系例6（2012•毕节地区）第三十奥运会将于2012年7月27日在英国伦敦开幕，奥运会旗图案有五个圆环组成，如图也是一幅五环图案，在这个五个圆中，不存在的位置关系是（）A．外离B．内切C．外切D．相交考点：圆与圆的位置关系．分析：根据两圆的位置关系易得到它们的位置关系有外切、外离、相交．解答：解：观察图形，五个等圆不可能内切，也不可能内含，并且有的两个圆只有一个公共点，即外切；有的两个圆没有公共点，即外离；有的两个圆有两个公共点，即相交．故选B．点评：本题考查了圆与圆的位置关系：若两圆的半径分别为R，r，圆心距为d，若d＞R+r，两圆外离；若d=R+r，两圆外切；若R-r＜d＜R+r（R≥r），两圆相交；若d=R-r（R＞r），两圆内切；若0≤d＜R-r（R＞r），两圆内含．对应训练6．（2012•德阳）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），⊙A的半径是2，⊙P的半径是1，满足与⊙A及x轴都相切的⊙P有个．6．4考点：圆与圆的位置关系；坐标与图形性质；直线与圆的位置关系．分析：分两圆内切和两圆外切两种情况讨论即可得到⊙P的个数．解答：解：如图，满足条件的⊙P有4个，故答案为4．点评：本题考查了圆与圆的位置关系、坐标与图形的性质及直线与圆的知识，能充分考虑到分内切和外切是解决本题的关键．【聚焦山东中考】1．（2012•济南）已知⊙O1和⊙O2的半径是一元二次方程x2-5x+6=0的两根，若圆心距O1O2=5，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切考点：圆与圆的位置关系．分析：先根据一元二次方程根与系数的关系，可知圆心距=两圆半径之和，再根据圆与圆的位置关系即可判断．解答：解：∵⊙O1和⊙O2的半径是一元二次方程x2-5x+6=0的两根，∴两根之和=5=两圆半径之和，又∵圆心距O1O2=5，∴两圆外切．故选B．点评：此题综合考查一元二次方程根与系数的关系及两圆的位置关系的判断．圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）．2．（2012•青岛）已知，⊙O1与⊙O2的半径分别是4和6，O1O2=2，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离考点：圆与圆的位置关系．分析：由⊙O1与⊙O2的半径分别是4和6，O1O2=2，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．解答：解：∵⊙O1与⊙O2的半径分别是4和6，O1O2=2，∴O1O2=6-4=2，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是内切．故选A．点评：此题考查了圆与圆的位置关系．此题比较简单，注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．3．（2012•泰安）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=120°，OC=3，则BC的长为（）A．π B．2πC．3π D．5π考点：切线的性质；弧长的计算．分析：连接OB，由于AB是切线，那么∠ABO=90°，而∠ABC=120°，易求∠OBC，而OB=OC，那么∠OBC=∠OCB，进而求出∠BOC的度数，在利用弧长公式即可求出BC的长．解答：解：连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO=90°，∵∠ABC=120°，∴∠OBC=30°，∵OB=OC，∴∠OCB=30°，∴∠BOC=120°，∴ BC 的长为nπr 180 =120×π×3 180 =2π，故选B．点评：本题考查了切线的性质、弧长公式，解题的关键是连接OB，构造直角三角形．4．（2012•潍坊）已知两圆半径r1、r2分别是方程x2-7x+10=0的两根，两圆的圆心距为7，则两圆的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切D．外离考点：圆与圆的位置关系；解一元二次方程-因式分解法．分析：首先解方程x2-7x+10=0，求得两圆半径r1、r2的值，又由两圆的圆心距为7，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．解答：解：∵x2-7x+10=0，∴（x-2）（x-5）=0，∴x1=2，x2=5，即两圆半径r1、r2分别是2，5，∵2+5=7，两圆的圆心距为7，∴两圆的位置关系是外切．故选C．点评：此题考查了圆与圆的位置关系与一元二次方程的解法．此题比较简单，注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．5．（2012•济南）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH的各边分别与半圆相切且平行于AB或BC，则矩形EFGH的周长是．5．4848考点：切线的性质；勾股定理；矩形的性质．分析：首先取AC的中点O，过点O作MN∥EF，PQ∥EH，由题意可得PQ⊥EF，PQ⊥GH，MN⊥EH，MN⊥FG，PL，KN，OM，OQ分别是各半圆的半径，OL，OK是△ABC的中位线，又由在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，即可求得个线段长，继而求得答案．解答：解：取AC的中点O，过点O作MN∥EF，PQ∥EH，∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥PQ∥FG，EF∥MN∥GH，∠E=∠H=90°，∴PQ⊥EF，PQ⊥GH，MN⊥EH，MN⊥FG，∵AB∥EF，BC∥FG，∴AB∥MN∥GH，BC∥PQ∥FG，∴AL=BL，BK=CK，∴OL=12BC=12×8=4，OK=12AB=12×6=3，∵矩形EFGH的各边分别与半圆相切，∴PL=12AB=12×6=3，KN=12BC=12×8=4，在Rt△ABC中，AC= ，∴OM=OQ=12AC=5，∴EH=FG=PQ=PL+OL+OQ=3+4+5=12，EF=GH=MN=OM+OK+NK=5+3+4=12，∴矩形EFGH的周长是：EF+FG+GH+EH=12+12+12+12=48．故答案为：48．点评：此题考查了切线的性质、矩形的性质，三角形中位线的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．6．（2012•菏泽）如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P=46°，则∠BAC= 度．6．23考点：切线的性质．专题：计算题．分析：由PA、PB是圆O的切线，根据切线长定理得到PA=PB，即三角形APB为等腰三角形，由顶角的度数，利用三角形的内角和定理求出底角的度数，再由AP为圆O的切线，得到OA与AP垂直，根据垂直的定义得到∠OAP为直角，再由∠OAP-∠PAB即可求出∠BAC 的度数．解答：解：∵PA，PB是⊙O是切线，∴PA=PB，又∠P=46°，∴∠PAB=∠PBA=180-462=67°，又PA是⊙O是切线，AO为半径，∴OA⊥AP，∴∠OAP=90°，∴∠BAC=∠OAP-∠PAB=90°-67°=23°．故答案为：23。

冀教版数学九年级中考总复习课件和圆有关的位置关系(共29张PPT)

2.d、r 比较法判定直线与圆的位置关系．
例2 平面直角坐标系中，A（0， 2），直线 l 与 y 轴夹
角为45o，以点A为圆心，r 为半径作⊙A．
（1）若r = 0.7，直线 l与⊙A 相离； y
（（圆到23））的直若若半线径的r直=为距线1r离，，l与为直圆d⊙心.线Al相相相与交切交⊙，Add
A
O
B
C
10
例4 如图 ⊙O的半径为 3 cm，正三角形的边长为10 cm，圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为 t（s）问：（1）在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？
（2） t为何值时， ⊙O与 AC相切？
A
B
C
10
例4 如图 ⊙O的半径为 3 cm，正三角形的边长为10 cm，圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为 t（s）问：（1）在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？
解：如图，连接OT，过点T作TH OA于点H， Q AT与优弧M¼N相切， ATO＝90，
AT＝ OA2－OT 2＝ 102－62＝8.
Q 1 OATH＝ 1 AT OT，
2
2
即 1 10TH＝ 1 8 6，TH＝ 24，
2
2
5
即点T 到OA的距离为.
考点四：切线的判定
切线的判定【常见命题角度】 1.利用切线的判定定理判定直线是圆的切线．（判定定理） 2.利用d = r 判定直线是圆的切线．（距离法）
A
B
C
10
例4 如图 ⊙O的半径为 3 cm，正三角形的边长为10 cm，圆心O从B开始沿折线B-A-C-B以2 cm/s的速度移动，设运动时间为 t（s）问：（1）在移动过程中， ⊙O与△ABC 的三条边相切几次？

第1部分第24讲与圆有关的位置关系3～9分市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件

例3 如图，AB是⊙O的直径，C是弧BE的中点，AE⊥CD于点D，延长DC，AB交于点F.判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
解：CD与⊙O相切．理由如下：
如解图，连接OC．
∵C是弧BE的中点，
∴∠DAC＝∠OAC． ∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC． ∴∠DAC＝∠OCA．∴DA∥OC．又∵AD⊥DC，∴OC⊥DC．
(3)若以点C为圆心作圆，使A，O，B三点至少有一点在圆内，至少有一点在圆外，求⊙C的半径r的取值范围．
解：∵AC＝6，OC＝5，BC＝8，
∴OC＜AC＜BC．
∴当5＜r＜8时，A，O，B三点至少有一点在圆内，至少有一点在圆外．
学霸笔记构成圆的基本要素是圆心和半径，因此，这两种位置关系都转化成圆心到点的距离与半径之间的数量关系．
本节内容主要包括点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，其中直线与圆的位置关系为山西近年中考的必考内容．考查的重点是切线与过切点的半径的关系，通常会与圆周角定理、尺规作图、线段计算等结合进行考查，填空、选择、解答三种题型都时有出现，有一定难度．
考点一点与圆的位置关系 1．点与圆有三三种位置关系：点在圆圆内内、点在圆圆上上、点在圆圆外外，可转化为点点到圆到心圆的心距离的距离与圆圆的的半半径径之间的数量关系． 2．点与圆的位置关系的判定和性质：如果圆的半径是r，点与圆心的距离为d，那么点在圆外⇔ dd>>r r ；点在圆上⇔ dd＝＝r r ；点在圆内⇔ dd<<rr .
任务： (1)观察发现：IM＝R＋d，IN＝ R－d
(用含R，d的代数式表示)；
(2)请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；
解：BD＝ID．

2019中考数学第一部分教材知识梳理第六单元第24课时与圆有关的位置关系课件

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第一部分
教材知识梳理
圆
第六单元
第24课时
与圆有关的位置关系
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中考考点清单
考点1 考点2 点与圆的位置关系直线与圆的位置关系
考点3
考点4
切线的性质与判定(高频考点)
三角形的内切圆
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考点1
点与圆的位置关系
1. 点和圆的位置关系有三种，分别是：点在圆外、点在圆上和点在圆内. 2. 设圆的半径为r，平面内任意一点到圆心的
考点3
切线的性质与判定(高频考点)
1. 切线的定义：直线与圆只有⑥_____ 一个公共点，这时称直线与圆相切，这条直线叫做圆的切
线，这个公共点叫做切点.
2. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ⑦____ 垂直于过切 3. 切线的性质：圆的切线⑧____ 点的半径.
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4. 切线长及其定理
（1）定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. （2）切线长定理：过圆外一点所画的圆的两相等，这一点和圆心的连线平分两条条切线长⑨_____
切线的夹角.
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考点4 1. 定义：
三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三角角平分线的交点. 形三条⑩_________ 2. 性质：
距离为d,则
(1)点在圆外 (2)点在圆上 (3)点在圆内 d>r,如点①___; A d=r,如点B; C . d<r,如点②___
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考点2
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
相离相切相交

九年级数学上册第24章圆24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2直线和圆的位置关系(第1课时)课件1人教版

.O .C
是是非非
3 、若A、B是⊙O外两点，则直线AB 与⊙O相离。… … … … …( × )
.A2
.B2
.O
.A1
.B1
.A
.B
是是非非
4、若C为⊙O内一点，则过点C 的直线与⊙O相交。（ √ ）
C. O.
议一议：对比点和圆的位置关系的判定方法，你还有其他的方法来判断直线与圆的位置关系吗？
（2）如图，在纸上画一条直线 l，把钥匙环看
作一个圆，在纸上移动钥匙环，你能发现在钥匙
环移动的过程中，它与直线l的公共点的个数吗？
(3)你能用实物演示这个过程吗?
（1）直线和圆的公共点个数的变化情况如何？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？
（2）通过刚才的研究，你认为直线和圆的位置关系可分为几种类型呢？
①当r满足 0<r<
时，直线AB与⊙C相离；
②当r满足 r=
时，直线AB与⊙C相切；
③当r满足 r>
时，直线AB与⊙C相交；
④当r满足 r= 或 5<r≤ 12 时，线段AB与
⊙C只有一个公共点。
2.试着编一道直线与圆位置关系的题目，使得直线与圆满足相离、相切、相交三种位置关系。
的个数来判断；
（2）根据性质，由__圆__心__距__d_与__半__径__r__ 的关系来判断。
在实际应用中，常采用第二种方法判定。
生活中的例子
太阳与地平线的位置关系, 列车的轮子与铁轨之间的关系,都给我们直线与圆的位置关系的印象.
例1.根据直线和圆相切的定义，经过点A 用直尺近似地画出⊙O的切线.
24.2.2 直线和圆的位置关系（1）
1、点与圆有几种位置关系？