数列
数列ppt课件
等差数列的求和公式
总结词
等差数列的求和公式是用来计算数列 中所有项的和的数学公式。
详细描述
等差数列的求和公式是 S_n = n/2 * (2a_1 + (n - 1)d)，其中 S_n 表示前 n 项的和，a_1 表示首项，d 表示公差， n 表示项数。这个公式可以帮助我们快 速计算出等差数列中所有项的和。
03 等比数列
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其中任意项与它的前一项的比值都相等。
详细描述
等比数列是一种有序的数字排列，其中任意一项与它的前一项的比值都等于同一个常数。这个常数被称为公比， 通常用字母q表示。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示数列中每一项的数学表达式。
04 数列的极限与收敛
数列的极限定义
极限的定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$ 趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个
常数$a$，则称$a$为数列${ a_{n}}$的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性 等性质。
极限的运算性质
极限具有可加性、可乘性、可分离 性等运算性质。
收敛数列的性质
在经济学中的应用
在经济学中，很多问题也可以转化为求和问题，例如计算总收益、总成本等。而求和问题 同样可以转化为数列的极限问题。因此，数列的极限和收敛的概念在经济学中也有着广泛 的应用。
05 数列的级数
级数的定义与分类
要点一
定义
级数是无穷数列的和，可分为数项级数和函数项级数。
要点二
分类
根据项的正负和收敛性，级数可分为正项级数、负项级数 、交错级数等。
正项级数的审敛法
数列的概念和计算
数列的概念和计算数列是数学中常见的概念，它由一系列有序的数字组成。
数列的概念与计算对于数学的学习和应用都具有重要的意义。
本文将介绍数列的定义、常见类型和计算方法。
一、数列的概念数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。
数列中的每个数字称为这个数列的项，用a₁，a₂，a₃，……表示。
数列中的每个项之间有着特定的关系，这种关系可以用公式、递推公式、递归式等形式来表示。
二、常见类型的数列1. 等差数列等差数列是指数列中的每一项与前一项之间的差等于同一个常数的数列。
设数列为{a₁，a₂，a₃，……}，公差为d，那么有 a₂ - a₁ =a₃ - a₂ = d。
等差数列的通项公式为 an = a₁ + (n-1)d，其中n表示项数。
2. 等比数列等比数列是指数列中的每一项与前一项的比等于同一个常数的数列。
设数列为{a₁，a₂，a₃，……}，公比为r，那么有 a₂/a₁ = a₃/a₂ = r。
等比数列的通项公式为 an = a₁ * r^(n-1)，其中n表示项数。
3. 斐波那契数列斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项的和的数列。
斐波那契数列的前两项通常为1，1或0，1，根据定义可以得到后续项。
斐波那契数列的递推公式为 an = a(n-1) + a(n-2)，其中n表示项数。
三、数列的计算1. 求和求和是数列计算中经常遇到的问题之一。
在数列求和时，常用的方法有以下几种：- 等差数列求和公式：Sn = n/2 * (a₁ + an)，其中Sn表示前n个项的和。
- 等比数列求和公式：Sn = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示前n 个项的和。
- 斐波那契数列求和：Sn = a(n+2) - 1，其中Sn表示前n个项的和。
2. 项数计算在一些问题中，我们需要求解数列的项数。
常用的计算方法如下：- 等差数列的项数：n = (an - a₁) / d + 1，其中n表示项数。
数列的概念和性质
数列的概念和性质数列（Sequence）是数学中一个重要的概念，指按照特定顺序排列的一组数的集合。
数列可分为有穷数列和无穷数列两种。
具体而言，数列的概念和性质如下所述：一、数列的概念数列是按照特定规律排列的一组数的有序集合。
数列常用字母表示，如a₁,a₂,a₃,…,aₙ，其中的a₁、a₂、a₃等分别表示数列的第1、2、3个元素，而aₙ表示数列的第n个元素。
数列中的每个元素都有其独立的位置和值。
根据数列的特点，数列可以分为等差数列、等比数列和等差数列的一般形式。
二、等差数列的性质等差数列（Arithmetic Progression）指数列中的每一项与前一项的差等于同一个常数d，该常数称为该等差数列的公差（Common Difference）。
等差数列的性质如下：1. 通项公式：等差数列的第n项的通项公式可表示为an = a₁ + (n-1)d，其中a₁为首项，d为公差。
2. 前n项和公式：等差数列的前n项和公式可表示为Sn = n/2(a₁ + an) = n/2(2a₁ + (n-1)d)，其中a₁为首项，an为末项，n为项数。
3. 等差中项：等差数列中两个相邻的项的平均值称为等差数列的中项，若n为奇数时，中项可表示为an/2 +1 = a₁ + (n/2-1)d；若n为偶数时，中项可表示为aₙ/2 = a₁ + (n/2-0.5)d。
三、等比数列的性质等比数列（Geometric Progression）指数列中的每一项与前一项的比等于同一个非零常数q，该常数称为该等比数列的公比（Common Ratio）。
等比数列的性质如下：1. 通项公式：等比数列的第n项的通项公式可表示为an = a₁ *q^(n-1)，其中a₁为首项，q为公比。
2. 前n项和公式：等比数列的前n项和公式可表示为Sn = a₁(q^n -1) / (q - 1)，其中a₁为首项，q为公比。
四、等差数列和等比数列的一般形式在实际问题中，数列的规律未必只符合等差或等比的特性。
数学数列知识点整理
数学数列知识点整理数学数列是数学中的重要概念，是指按照特定规律排列的一系列数。
数列具有重要的应用价值，例如在数学、物理、计算机科学等领域中都有广泛的应用。
本文将从数列的定义、分类、性质、求和公式和应用等方面进行整理和介绍。
一、数列的定义和分类数列是按照一定规律排列的一系列数，可以用{a1, a2, a3, …, an}表示，其中a1、a2、a3等分别表示数列的第1项、第2项、第3项等。
数列可以分为等差数列、等比数列、递推数列等几种类型。
1.等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差相等的数列，常用an=a1+(n-1)d表示，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
2.等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列，常用an=a1*r^(n-1)表示，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
3.递推数列递推数列是指数列中每一项都是前一项的某个函数，常用an=f(an-1)表示。
二、数列的性质数列具有一些基本性质，如有限项数列的和等于各项之和，等差数列和等比数列的前n项和公式等。
1.有限项数列的和有限项数列的和是指将数列中所有项相加的结果，用Sn表示。
例如，数列{1,2,3,4,5}的和为1+2+3+4+5=15，用S5表示。
有限项数列的和公式为Sn=(a1+an)*n/2，其中a1为首项，an为末项，n 为项数。
2.等差数列的和等差数列的和是指将等差数列中前n项相加的结果，用Sn表示。
等差数列的和公式为Sn=n*(a1+an)/2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。
3.等比数列的和等比数列的和是指将等比数列中前n项相加的结果，用Sn表示。
等比数列的和公式为Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
三、数列的求和公式求和公式是指可以用一种通用的方法来计算数列的和。
除了上述等差数列和等比数列的前n项和公式外，还有一些其他的求和公式。
1.调和级数调和级数是指数列1/1、1/2、1/3、1/4、1/5……的和，用Hn表示。
(完整版)数列的概念
【解析】(1)各数都是偶数，且最小为 4，所以通项公式 an＝2(n＋1)(n∈N＋)． (2)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数，且奇数项为负，
偶数项为正，所以它的一个通项公式
an＝(－1)n× n
1 n ＋1
.
(3)这是一个摆动数列，奇数项是 a，偶数项是 b，所以此数列的一个通项公式
（1）3,5,7,9，…
（2）1,2,4,8，…
（3）9,99,999,9 999，…
解:（1）观察知，这个数列的前4项都是序号的
2倍加1，所以它的一个通项公式为
an 2n 1；
（2）这个数列的前4项可以写成20,21,22,23，
所以它的一个通项公式为
an 2n1;
（3）这个数列的前4项可以写成10-1,100-1,1 0001,
【即时训练】
1.下面数列是有穷数列的是 ( B )
A.1,0,1,0, C.2,22,222,
B.1, 1 , 1 , 1 234
D.0,0,0,0,
2.以下四个数中，是数列 {n(n 1)}中的一项的是 ( A )
A.380 B.39 C.32 D.23
探究点2 数列的通项概念
在数列⑤中，每一项的序号n与这一项 an有下
与该项都有对应关系，见下表.
序号
1
2
3
4
…
n
…
项 a1 a2 a3 a4 … an …
因此数列也可以看作定义域为正整数集N+(或它的 有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时， 该函数对应的一列函数值就是这个数列.
如果数列 an的第n项 an与n之间的函数关系可
以用_一__个__式__子__表示成an f (n) ，那么这个式子就 叫作这个数列的_通__项__公__式__，数列的通项公式就是
数列(共84张PPT)
观察
在自然数集N中，能被2整除的数称为偶数.按照从小到大的次序写出偶数：
0，2，4，6，8，10，12，16， ⋯ .
偶数数列的第1项是0，从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等于2.
3.2
等差数列及其通项公式
抽象
定义
如果一个数列从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等
由已知，4 = 7，9 = 22，根据通项公式得
1 + 4 − 1 = 7，
ቊ
1 + 9 − 1 = 22.
整理，得
1 + 3 = 7，
ቊ
1 + 8 = 22.
解得
1 = −2， = 3.
因此
20 = −2 + 20 − 1 × 3 = 55.
即第20项是55.
1.2
如果一个数列的第项能用它前面若干项的表达式来表示，那么把
这个表达式称为这个数列的递推公式.
公式（2）是斐波那契数列的递推公式，1 ，2 称为初始项．
3.1
例 1
数列的概念
己知下述数列的通项公式，分别求出它们的前4项：
（1） = 3 + 1；
（2） =
1
；
（3） =
1
；
2
（4） = −1
= 1 + ，
⋯，
−2 + 3 = 1 + − 2 − 1 + 1 + − 2 − 1 −
= 1 + ，
−1 + 2 = 1 + − 1 − 1 + + − 1 − 1 −
数列的概念与分类
数列的概念与分类数列是数学中的一个重要概念，它在不同领域的应用非常广泛。
本文将介绍数列的概念、分类以及一些相关的性质和应用。
一、数列的概念数列是由一串按照一定规律排列的数构成的序列。
这些数可以是整数、实数或者其他类型的数。
数列中的每个数称为数列的项，用An表示第n项。
二、数列的分类1.等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之差保持恒定的数列。
如果数列公差为d，则数列的通项公式可以表示为An = A1 + (n-1)d。
其中，A1为首项，n为项数。
等差数列的常用表示方法有递推公式和通项公式。
2.等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之比保持恒定的数列。
如果数列公比为q，则数列的通项公式可以表示为An = A1 * q^(n-1)。
其中，A1为首项，n为项数。
等比数列的常用表示方法有递推公式和通项公式。
3.斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，它的前两项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
即A1 = A2 = 1，An = An-1 + An-2 (n≥3)。
斐波那契数列在自然界中常常能够找到相应的规律。
4.调和数列调和数列是指数列中的每一项的倒数构成的数列。
调和数列的通项公式为An = 1/n。
5.等差-等比数列等差-等比数列是指数列中既有等差又有等比关系的数列。
它的通项公式可以表示为An = (A1 + (n-1)d) * q^(n-1)。
三、数列的性质和应用1.数列的递增和递减性质根据数列的定义，可以得出数列的递增和递减性质。
如果数列中的每一项都比前一项大，则该数列为递增数列；如果数列中的每一项都比前一项小，则该数列为递减数列。
递增和递减数列在求和、求极限等数学运算中有重要应用。
2.数列的求和公式对于一些特殊的数列，可以通过求和公式计算数列的前n项和。
例如等差数列的前n项和公式为Sn = (A1 + An) * n / 2；等比数列的前n项和公式为Sn = (A1 * (q^n - 1)) / (q - 1)。
(完整)数列常见数列公式(很全)
常见数列公式等差数列1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，(n ≥2，n ∈N +)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示)2．等差数列的通项公式:d n a a n )1(1-+= =n a d m n a m )(-+或 n a =pn+q (p 、q 是常数））3．有几种方法可以计算公差d① d=n a －1-n a ② d =11--n a a n ③ d =mn a a mn -- 4．等差中项：,,2b a ba A ⇔+=成等差数列 5．等差数列的性质： m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ （m, n, p ， q ∈N ) 等差数列前n 项和公式6。
等差数列的前n 项和公式 （1）2)(1n n a a n S +=(2)2)1(1d n n na S n -+= （3）n )2da (n 2d S 12n -+=，当d ≠0,是一个常数项为零的二次式8.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1） 利用n a ：当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值当n a <0,d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值（2） 利用n S ：由n )2da (n 2d S 12n -+=二次函数配方法求得最值时n 的值 等比数列1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(q ≠0）,即:1-n na a =q (q ≠0) 2。
等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ， )0(1≠⋅⋅=-q a q a a m n m n 3．｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q (+∈N n ，q ≠0) “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．5．等比中项：G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ，b 同号）。
数列所有公式大全
数列所有公式大全数列是数学中一个重要的概念，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的。
在数列中，每一个数称为该数列的项，而规律则是指相邻项之间的关系。
数列在数学和其他科学领域中都有广泛的应用。
接下来，我们将介绍一些常见的数列及其公式。
等差数列是最常见的数列之一，它的每一项与前一项之间的差值都是相等的。
等差数列的通项公式为：an = a1 +(n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
等比数列是另一种常见的数列，它的每一项与前一项之间的比值都是相等的。
等比数列的通项公式为：an = a1 *r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
斐波那契数列是一种特殊的数列，其前两项为0和1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列的通项公式为：an = an-1 + an-2，其中an表示第n项。
素数数列是由素数（只能被1和自身整除的数）组成的数列。
素数数列的通项公式较为复杂，通过直接给出每一项的算法来计算。
阶乘数列是由阶乘数（n!）组成的数列。
阶乘数列的通项公式为：an = n!，其中an表示第n项。
三角数列是由三角数（n(n+1)/2）组成的数列。
三角数列的通项公式为：an = n(n+1)/2，其中an表示第n项。
费马数列是由费马数（2^(2^n)+1）组成的数列。
费马数列的通项公式为：an = 2^(2^n)+1，其中an表示第n项。
自然数数列是由自然数（1, 2, 3, ...）组成的数列。
自然数数列没有明确的通项公式，因为它包括了所有正整数。
从上面的介绍可以看出，不同的数列有不同的通项公式，这些公式可以用来计算数列中的任意一项。
数列的研究在数学中有着重要的地位，可以揭示数学中的一些基本规律和性质。
数列的概念和应用
数列的概念和应用一、数列的概念1.数列的定义：数列是由按照一定顺序排列的一列数组成的。
2.数列的表示方法：用大括号“{}”括起来，例如：{a1, a2, a3, …, an}。
3.数列的项：数列中的每一个数称为数列的项，简称项。
4.数列的项的编号：数列中每个项都有一个编号，通常表示为n，n为正整数。
5.数列的通项公式：用来表示数列中第n项与n之间关系的公式称为数列的通项公式，例如：an = n^2。
6.数列的类型：(1)等差数列：数列中任意两个相邻项的差都相等，记为d（d为常数）。
(2)等比数列：数列中任意两个相邻项的比都相等，记为q（q为常数，q≠0）。
(3)斐波那契数列：数列的前两项分别为0和1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
二、数列的应用1.等差数列的应用：(1)等差数列的求和公式：Sn = n/2 * (a1 + an)。
(2)等差数列的前n项和公式：Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)。
(3)等差数列的第n项公式：an = a1 + (n-1)d。
2.等比数列的应用：(1)等比数列的求和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)。
(2)等比数列的前n项和公式：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)。
(3)等比数列的第n项公式：an = a1 * q^(n-1)。
3.斐波那契数列的应用：(1)斐波那契数列的性质：斐波那契数列的前两项分别为0和1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
(2)斐波那契数列的通项公式：Fn = (1/√5) * [((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n]。
4.数列在实际生活中的应用：(1)计数：数列可以用来表示一些有序的集合，如自然数集、整数集等。
(2)计时：数列可以用来表示时间序列数据，如一天内的每小时气温变化。
(3)排队：数列可以用来表示排队时的人数，以及每个人的位置。
(4)数据分析：数列可以用来表示一组数据的分布情况，如成绩分布、经济发展水平等。
数列常见的基本公式
数列常见的基本公式数列是数学中一个重要的概念，它描述了一系列按照特定规律排列的数字或者其他数学对象。
数列常见的基本公式包括等差数列、等比数列、调和数列等。
一、等差数列：等差数列是指数列中的任意两个相邻项之差都是一个常数d，这个常数称为公差。
等差数列一般用an表示，其中a1是首项，d是公差。
等差数列的定义公式为：an = a1 + (n - 1)d。
等差数列的特点：1. 任意两个相邻项之差都是一个常数，即an+1 - an = d。
2.等差数列的通项公式可以用递推公式表示为an = an-1 + d。
3.等差数列的前n项和可以用求和公式表示为Sn = (n/2)(a1 + an)。
4.等差数列的前n项和也可以用递推公式表示为Sn=(n/2)(2a1+(n-1)d)。
二、等比数列：等比数列是指数列中的任意两个相邻项之比都是一个常数q，这个常数称为公比。
等比数列一般用an表示，其中a1是首项，q是公比。
等比数列的定义公式为：an = a1 * q^(n - 1)。
等比数列的特点：1. 任意两个相邻项之比都是一个常数，即an+1 / an = q。
2.等比数列的通项公式可以用递推公式表示为an = an-1 * q。
3.等比数列的前n项和可以用求和公式表示为Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)，其中q不等于14.当公比q等于1时，等比数列变为等差数列。
三、调和数列：调和数列是指数列中的任意两个相邻项的倒数之差都是一个常数h，这个常数称为调和差。
调和数列一般用an表示，其中a1是首项，h是调和差。
调和数列的定义公式为：an = 1 / (a1 + (n - 1)h)。
调和数列的特点：1. 任意两个相邻项的倒数之差都是一个常数，即1 / an+1 - 1 /an = h。
2. 调和数列的通项公式可以用递推公式表示为an = 1 / (1 / an-1 + h)。
除了这些常见的基本公式外，还有其他一些特殊的数列，如等差矩阵数列、Fibonacci数列、Arithmetico-geometric数列等。
数列的基本概念
数列的基本概念数列是数学中的一个重要概念，它在数学研究和实际应用中都具有广泛的应用价值。
本文将介绍数列的基本概念及其相关特性。
一、数列的定义数列是由一系列有序的数字所组成的集合，每个数字称为数列的项。
数列可以用一个通项公式来表示，并按照一定的规律排列，其中通项公式可以是一个递推公式或直接给出每一项的算式。
二、等差数列等差数列是一种常见的数列形式，其中每一项与前一项之差都相等。
等差数列的通项公式通常表示为an=a1+(n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
例如，1, 4, 7, 10, 13就是一个公差为3的等差数列，其中a1=1，d=3，可以通过通项公式an=1+(n-1)3计算出任意一项的值。
等差数列具有以下特性：1. 公差相等，每一项与前一项之差都为固定值。
2. 通项公式可以确定数列中任意一项的值。
3. 数列的前n项和可以通过求和公式Sn=n/2[2a1+(n-1)d]计算，其中Sn表示前n项的和。
三、等比数列等比数列是一种特殊的数列形式，其中每一项与前一项之比都相等。
等比数列的通项公式通常表示为an=a1*r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
例如，2, 4, 8, 16, 32就是一个公比为2的等比数列，其中a1=2，r=2，可以通过通项公式an=2*2^(n-1)计算出任意一项的值。
等比数列具有以下特性：1. 公比相等，每一项与前一项之比都为固定值。
2. 通项公式可以确定数列中任意一项的值。
3. 数列的前n项和可以通过求和公式Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)计算，其中Sn表示前n项的和。
四、斐波那契数列斐波那契数列是一种经典的数列形式，其特点是每一项都是前两项的和。
斐波那契数列的通项公式通常表示为an=an-1+an-2，其中a1和a2为给定的首项。
例如，1, 1, 2, 3, 5, 8就是一个斐波那契数列，可以通过通项公式递推计算出后续的项。
数列
一．数列的概念按照一定的次序排成的一列数叫做数列.数列中的每一个数叫做数列的项.从开始的项起,从左往右,各项按照其位置依次叫做这个数列的第1项(首项),第2项,第3项,…,第n项,…,其中反映各项在数列中位置的数字1, 2, 3,…,n,…分别叫做对应的项的项数.我们看到的数列中的数就是数列中的项,而从左往右数出的项的位置数就是该项的项数.数列与数集的区别:(1)数列是有序的,数集是无序的;(2) 数列中的项可以是相同的数,而数集中的元素必须是不同的数.只有有限项的数列叫做有穷数列,有无限多项的数列叫做无穷数列.[有穷数列的最后一项叫该数列的末项][根据数列各项之间的大小关系,数列还可分为递增数列,递减数列,摆动数列,常数列] [数列的项数组成的集合为N*(无穷数列)或N*的有限子集(有穷数列)]从数列的首项开始,各项的项数依次与正整数对应,故无穷数列的一般形式为a1,a2,a3,…,a n,…(n∈N*),简记为{ a n}.[下标表示各项的项数]当n从小到大依次取正整数时,a n依次表示数列中的各项,因此,通常把第n项a n叫做数列{ a n}的通项或一般项.一个数列的第n项a n,如果能够用关于项数n的一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.用花括号将这个式子括起来,表示对应的无穷数列.给定通项公式的数列是唯一的,但给出了有限项的无穷数列并不唯一.数列不一定有通项公式,同一个数列也有可能写出多个通项公式.S n= a1+a2+a3+…+a n叫做数列{a n}的前n项和.题型总结:1.判断一个数列是有穷数列还是无穷数列.2.已知数列的通项公式,求出数列的某些项.将通项公式中的n换成要求的项的项数.3.判断某个数是否为数列中的一项.让这个数等于通项公式,解出n.若n为正整数,则这个数是数列的项,且项数就是解出的n值;若n不是正整数,则这个数不是数列的项.[也可以凑公式]4.已知数列的前几项,写出数列的一个通项公式.观察项与项数的关系,如项是否为正整数的倍数,是否为某个数的正整数次幂,是否与正整数的平方、立方等等有关.若数列为负正相间的数列,则通项公式中包含(-1)n-1或(-1)n+1; 若数列为正负相间的数列,则通项公式中包含(-1)n.若数列的项都是同一个数a,则这个数列是常数列,通项公式为a n=a.[5.已知S n关于n的式子,求a n.当n=1时, a1 = S1;当n≥2时, a n=S n- S n-1]二．等差数列如果一个数列从第2项开始,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,一般用字母d表示.数列{a n}为等差数列,d为公差,则a n-a n-1=d(n≥2), a n+1-a n=d(n≥1) , a n+1=a n+d(n≥1) ,a n-1=a n-d(n≥2).已知等差数列{a n}的公差为d,则{a n}的通项公式为a n=a1+(n-1)d.[已知等差数列{a n}的某两项a k与a m,则{a n}的公差为d=a k−a mk−m, 即公差等于项之差除以项数差;通项公式为a n=a m+(n-m)d][若{a n}为等差数列,m,n,s,t∈N*,且m+n=s+t,则a m+a n=a s+a t,即项数和相等,则同样个数的项的和也相等;特别的,若m+n=2s,则a m+a n=2a s]已知等差数列{a n}的公差为d,则{a n}的前n项和公式为S n=n(a1+a n)2=na1+n(n−1)2d.[逆序相加法][若{a n}为等差数列,则S2n-1= (2n-1)a n][a n+1+a n+2+a n+3+…+a n+k=S n+k-S n= S k+knd]题型总结:1.在等差数列{a n}中,已知a1,n,d,a n,S n中的任意三个量, 可以列方程或方程组求出剩下的一个量或两个量.a n=a1+(n−1)dS n=n(a1+a n)2或a n=a1+(n−1)dS n=na1+n(n−1)2d2.等差数列{a n}的某两项a k与a m,求出a1与d(或通项公式,前n项和公式).解法1:联立方程组a k=a1+(k−1)da m=a1+(m−1)d,两式相减得a k-a m=(k-m)d,故d=a k−a mk−m.再将d代入两式中任意一个求出a1.[解法2:公差d=a k−a mk−m,通项公式为a n=a m+(n-m)d]3.已知等差数列的前几项,求通项公式,某一项或前多少项和.写出首项a1,公差d=a n-a n-1[相邻两项后一项减前一项],再代入通项公式与前n项和公式.4.三个数成等差数列,一般设三个数为a-d,a,a+d,其中d为公差.5.在a与b之间插入若干个(n-2)数,组成一个项数为n的等差数列,求插入的所有数.由a1=a, a n=b得b=a+(n-1)d,解出d.再由a2=a+d, a3=a2+d,…,a n-1=a n-2+d求出插入的所有数.6.利用S2n-1= (2n-1)a n;m+n=s+t,则a m+a n=a s+a t等性质有时可以化简运算.7.a n+1+a n+2+a n+3+…+a n+k=S n+k-S n= S k+knd.8.存款利息=本金×期利率×期数,存款本利和=本金×(1+期利率×期数),月利率=年利率12.某人以零存整取的方式将钱存入银行,每期存入钱数为都a,共存n期,期利率为i,则到期后本利和为na+a∙i∙1+2+⋯+n=na+n(n+1)2ai.三．等比数列如果一个数列从第2项开始,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,一般用字母q表示.数列{a n}为等比数列,q为公比,则首项a1与公比q都不等于零,且a na n−1=q(n≥2),a n+1a n=q(n≥1),a n+1=a n q(n≥1) ,a n−1=a nq(n≥2).[常数列是公差为0的等差数列,非零常数列是公比为1的等比数列][若a1>0,q>0,等比数列{a n}为全正的数列; 若a1<0,q>0,等比数列{a n}为全负的数列; 若a1>0,q<0,等比数列{a n}为正负相间的数列; 若a1<0,q<0,等比数列{a n}为负正相间的数列]已知等比数列{a n}的公比为q,则{a n}的通项公式为a n=a1q n-1.[已知等比数列{a n}的某两项a k与a m,则q k−m=a ka m;通项公式为a n=a m q n-m] [若{a n}为等比数列,m,n,s,t∈N*,且m+n=s+t,则a m·a n=a s·a t,即项数和相等,则同样个数的项的积也相等;特别的,若m+n=2s,则a m·a n=a s2]已知等比数列{a n}的公比为q,则{a n}的前n项和公式为S n=na1,当q=1时a1−a n q1−q=a1(1−q n)1−q,当q≠1时.[错位相减法] [a n+1+a n+2+a n+3+…+a n+k=S n+k-S n=q n S k]题型总结:1.在等比数列{a n}中,已知a1,n,d,a n,S n中的任意三个量, 可以列方程或方程组求出剩下的一个量或两个量.(特别注意,若q未知,则需讨论q=1是否满足题意)a n=a1q n−1 S n=a1−a n q1−q 或a n=a1q n−1S n=a1(1−q n)1−q2.等比数列{a n}的某两项a k与a m,求出a1与q(或通项公式,前n项和公式).解法1:联立方程组a k=a1q k−1a m=a1q m−1,两式相比得q k−m=a ka m,根据k-m的奇偶求出q.再将q代入两式中任意一个求出a1.[解法2:公比q k−m=a ka m,通项公式为a n=a m q n-m]若k-m为奇数,则q只有一个.若k-m为偶数,则q有两个,看题目中是否有限定条件;如果没有限定条件分情况讨论;如果有限定条件,判断是否需要去掉某个值.3.已知等比数列的前几项,求通项公式,某一项或前多少项和.写出首项a1,公比q=a na n−1[相邻两项后一项除以前一项],再代入通项公式与前n项和公式.4.三个数成等比数列,一般设三个数为aq,a,aq,其中q为公比.5.在a与b之间插入若干个(n-2)数,组成一个项数为n的等比数列,求插入的所有数.由a1=a, a n=b得b=aq n-1,解出q.再由a2=aq, a3=a2q,…,a n-1=a n-2q求出插入的所有数.6.利用m+n=s+t,则a m·a n=a s·a t等性质有时可以化简运算.7.a n+1+a n+2+a n+3+…+a n+k=S n+k-S n= q n S k.8.等额本息分期付款模型.贷款本金为A,贷款期数为n,期利率为i.一次性偿还金额为S=A(1+i)n,分期付款每一期偿还金额为a=A∙(1+i)n∙i(1+i)−1.解题时先看清是等差数列还是等比数列.练习1.根据数列{a n }, {b n }的通项公式,写出它的前5项：(1)a n =1+n n ； (2)b n =n n 21)(-． 2.写出一个数列的通项公式,使它的前4项分别是下列各数：(1)11, 21, 31, 41, …； (2)2, -4, 6, -8, …． 3.已知数列的通项公式,求其前4项：(1)a n =10n ；(2)a n =n n 11+-)(；(3)a n =31n；(4)a n =n(n+2)． 4.已知数列的前4项,试求出其通项公式：(1)2, -4, 6, -8, 10, …； (2)1, -1, 1, -1, …； (3)21, 21, 21, 21,…； (4)21, 45, 89, 1613,…． 5. 已知数列{a n }的通项公式a n =12+n n ,8.1是这个数列中的项吗？如果是,是第几项？ 6.下面的数列中,哪些是等差数列？为什么？如果是等差数列,求出公差d ：(1)-0.70,-0.71,-0.72,-0.74,-0.76,…；(2)-9,-9,-9,-9,-9,…；(3)-1,0,1,0,-1,0, 1,…； (4)1,4,7,10,13,….7.下列数列都是等差数列,试求出其中的未知项：(1)3,a,5； (2)3,b,c,-9．8.下面的数列中,哪些是等差数列？为什么？如果是等差数列,求出公差d ：(1)-1,-1,-1,-1,…； (2)1.1,1.11,1.111,1.1111,…； (3)-321,-1,121,4,621,…； (4)1, 0, 1, 0,1,…； (5)1, 21, 31, 41, …. 9.已知下列数列是等差数列,试在括号内填上适当的数：(1)( ), 5, 10； (2)31, ( ), ( ), 1．10.(1)求等差数列8, 5, 2,…的第20项；(2)在等差数列{a n }中,已知a 5=10, a 12=31,求首项a 1与公差d ．11.设等差数列{a n }的公差d=21, a n =23, 前n 项之和S n =－215．求首项a 1及n ． 12.组由直径成等差数列的6个滑轮组成．已知最小和最大的滑轮的直径分别为15cm 和25cm,求中间四个滑轮的直径．13.求等差数列3, 7, 11,…的第4项与第10项．14.等差数列的通项公式为 a n =-2n+7,求其首项和公差．15.在等差数列{a n }中,已知a 3=10, a 9=28,求a 12．16.梯子的最高一级宽33cm,最低一级宽110cm,中间还有10级,各级的宽度成等差数列．计算中间各级的宽度.17.-401是不是等差数列-5, -9, -13, … 的项？如果是,是第几项？如果不是,说明理由．18.(1)求正奇数前100项之和；(2)等差数列的通项公式为a n =100-3n,求前65项之和；(3)在等差数列{a n }中,已知a 1=3, d=21,求S 10． 19.在等差数列{a n }中:(1)已知a n =2-0.2n, 求S 50； (2)已知a n =3n , 求第10项至第50项的和S ； (3)已知a 1=100, d=-2, 求S 50； (4)a 1=14.5, d=0.7, 求S 32．20. 设{a n }是等差数列,a 1=65, n=34, S n =-15832,求a n 和公差d ． 21. 在一个成等腰梯形屋面上铺瓦,最上面一层铺了21块,往下每一层多铺2块,共铺了19层,问共铺了多少块瓦片？22. 已知一个等差数列{b n }的首项b 1=-35,公差d=7,这个数列的前多少项和恰好为0？23.下面是数列{a n }的前4项,据此判断哪些是等比数列？为什么？如果是等比数列,求出公比q ：(1)-1, -4, -16, -64, …； (2)2, 2, 2, 2, …； (3)1, 21, 41, 61, 81, …； (4)0, 1, 2, 22, 23, 24, … ． 24.求出下列等比数列中的未知项：(1)2, a, 8,(a>0)； (2)4, b, c, 21． 25. 下面是数列{a n }的前4项,由此判断哪些是等比数列？为什么？如果是等比数列,求出公比q ：(1)0, 0, 0, 0,…； (2)1.21, 1.331, 1.4641, 1.61051, …； (3)1001,0.1,10,100, …． 26. 已知下列数列是等比数列,试在括号内填上适当的数：(1)( ), 3, 27；(2)16, ( ), ( ), 2．27.已知等比数列{a n }为2, 6, 18, 54, …,求其公比q, a 5和a n ．28.在等比数列{b n }中,(1)已知b 1=3, q=2,求b 6；；(2)已知b 3=20, b 6=160,求b n ．29. 设0.3, 0.09, 0.027, ...为一等比数列{b n }的前3项,求其公比q 及第5项和第n 项．30. 已知等比数列的通项公式a n =41 10n ,求其首项与公比． 31. 在等比数列{a n }中,a 3=2, a 6=18,求q 与a 10．32. 在9与243中间插入两个数,使它们与这两个数成等比数列．33.在等比数列{a n }中,(1)已知a 1=-4, q=21,求前10项的和S 10； (2)已知a 1=1, a k =243, q =3,求前k 项的和S k ．34.已知等比数列{a n }中的a 2=5, a 5=40,求其前7项之和S 7．35.在等比数列{a n }中：(1)a 4=27, q =-3,求a 7； (2)若a 3=-1, a 6=-8,求公比q 及a 10；(3)若a 7=-1251, a 2=25,求公比q 及a 1． 36. 已知{a n }为等比数列,a 7=2, a 17=2048,求a 12．37. 求等比数列1, -21, 41, -81, ...的前8项之和．。
数列
此 题 也 可 用 排 除 法 求 解 ， 只 需 验 证 当 n= 1 时 ， A 3 3 1 选 项 为 ， B 选 项 为 ， C选 项 为 ， 均 不 为 1 ， 故 2 4 3 排除A 、B、C，从而选D.
3.在数列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an (n∈N*), 则a100等于 A.1 解析 B.-1 方法一 C.5 （ B ） D.-5 由 a1 = 1 , a2 = 5 , an + 2 = an + 1 - an
存在正数M，使|an|≤M an的符号正负相间，如 1，-1，1，-1，…
摆动数列
3.数列的表示法： 数列有三种表示法，它们分别是 列表法、图象法 和解析法. 4.数列的通项公式 如果数列 { an} 的第 n项 an与 序号n 之间的关系可 以用一个公式 an=f(n)来表示，那么这个公式叫 做这个数列的通项公式.
解
∵当n≥2, n∈N*时，an=Sn-Sn-1,∴Sn-Sn-1
+2SnSn-1=0，
1 1 即 − = 2, S n S n −1 1 ∴ 数列 { }是公差为2的等差数列 . Sn 1 1 又S1 = a1 = ,∴ = 2, 2 S1 ∴ 1 = 2 + (n − 1) ⋅ 2 = 2n, S1
题型分类
题型一
深度剖析
由数列的前几项写数列的通项公式
【例1】 根据数列的前几项，写出下列各数列的一 个通项公式： （1）-1，7，-13，19，… （2）0.8，0.88，0.888，… 1 1 5 13 29 61 （3） , , − , , − , , 2 4 8 16 32 64 3 7 9 （4） ,1, , , 2 10 17 （5）0 ， 1 ， 0 ， 1 ， …
数列：第1讲数列的概念及表示
数列的概念及表示1．数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 ．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做 )，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项．所以，数列的一般形式可以写成 ，其中a n 是数列的第n 项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{a n }．(2)通项公式：如果数列{a n }的 与序号 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(3)从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列________．(4)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项 与它的前一项 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． (5)数列的表示方法有 、 、 、 . 2．数列的分类(1)数列按项数是有限还是无限来分，分为 、 .(2)按项的增减规律分为 、 、 和 ．递增数列⇔a n ＋1 a n ；递减数列⇔a n ＋1 a n ；常数列⇔a n ＋1 a n .递增数列与递减数列统称为 ．3．数列前n 项和S n 与a n 的关系已知S n ，则a n ＝⎩⎨⎧≥=）.2（ ），1（ n n4．常见数列的通项(1)1，2，3，4，…的一个通项公式为a n ＝____________； (2)2，4，6，8，…的一个通项公式为a n ＝____________； (3)3，5，7，9，…的一个通项公式为a n ＝____________； (4)2，4，8，16，…的一个通项公式为a n ＝____________； (5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为a n ＝____________； (6)1，0，1，0，…的一个通项公式为a n ＝____________；(7)a ，b ，a ，b ，…的一个通项公式为a n ＝____________； (8)9，99，999，…的一个通项公式为a n ＝ .注：据此，很易获得数列1，11，111，…；2，22，222，…；…；8，88，888，…的通项公式分别为19(10n－1)，29(10n －1)，…，89(10n －1)．【基础自测】1 数列－1，43，－95，167，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)nn （n ＋1）2n －1 B ．a n ＝(－1)n n 22n －1C ．a n ＝(－1)nn 22n ＋1 D ．a n ＝(－1)nn 3－2n 2n －12 下列有四个命题：①数列是自变量为正整数的一类函数；②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n ＝nn ＋1；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列． 其中正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．43 若数列a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，则a 5－a 4＝( )A.110B ．－110C.190D.19904 数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1，则{a n }的通项公式为____________．5 数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________.【典例】类型一 数列的通项公式例一 已知数列：45，910，1617，2526，….(1)试写出该数列的一个通项公式；(2)利用你写出的通项公式判断0.98是不是这个数列中的一项．【评析】①一个数列只知道前n 项，其通项公式是不能确定的，即使完全知道该数列，其通项公式的形式也不一定是惟一的，如数列1，0，1，0，…的通项公式可写成a n ＝1＋（－1）n ＋12或a n ＝⎪⎪⎪⎪sin n π2甚至分段形式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 是奇数，0，n 是偶数等．②对于此类归纳猜想求通项的题目，一定要掌握一些常见数列的通项公式，如{n }，{2n }，{(－1)n }，{2n }，{n 2}，{2n －1}等，在此基础之上还要掌握一定的方法，如将各项分解成若干个数的和、差、积、商，分离分子分母等．③由于数列是特殊的函数，因此判断某数是否为数列中的项，即是知a n 判断方程a n ＝f (n )是否有正整数解． 变式 写出下列数列的一个通项公式：(1) －1，12，－13，14，－15，…； (2)3，5，9，17，33，…；(3)3，33，333，3333，…； (4)23，－1，107，－179，2611，….类型二 由前n 项和公式求通项公式例二 (1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n ，则此数列的通项公式为a n ＝______________． (2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1，则此数列的通项公式为a n ＝______________．【评析】任何一个数列，它的前n 项和S n 与通项a n 都存在关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2）. 若a 1适合S n －S n －1，则应把它们统一起来，否则就用分段函数表示．另外一种快速判断技巧是利用S 0是否为0来判断：若S 0＝0，则a 1＝S n －S n －1，否则不符合，这在解小题时比较有用．变式 已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，分别求它们的通项公式a n . (1)S n ＝2n 2＋3n; (2)S n ＝3n ＋1.类型三 由递推公式求通项公式例三 写出下面各递推公式表示的数列{a n }的通项公式． (1) a 1＝1，a n ＋1＝2n ·a n (n ≥1)；(2)a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n （n －1）(n ≥2)．【评析】已知a 1和数列递推关系求通项时，可先计算出前若干项，通过分析这些项与序号的关系，归纳猜想出数列的通项公式，但这种不完全归纳得到的结论往往需要进行验证；但对于“a na n －1＝f (n )”型递推关系常用“累乘法”求通项；对于“a n －a n －1＝f (n )”型递推关系常用累加法求通项；以上两种情形皆可用迭代法求通项．还须注意检验n ＝1时，是否适合所求．变式 写出下面各递推公式表示的数列{a n }的通项公式． (1) a 1＝1，a n ＝3n －1＋a n －1；(2)a 1＝4，a n ＋1＝n ＋2n a n .类型四 数列通项的性质例四 在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }先递增，后递减； (2)求数列{a n }的最大项．【评析】要证明数列{a n }是单调的，可利用“{a n }是递增数列⇔a n ＜a n ＋1，数列{a n }是递减数列⇔a n ＞a n ＋1”来证明．注意数列的单调性是探索数列的最大、最小项及解决其他许多数列问题的重要途径，因此要熟练掌握上述求数列单调性的方法．变式 设函数f (x )＝log 2x －log x 2(0＜x ＜1)，数列{a n }满足()na f 2＝2n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)判断数列{a n }的单调性．【点睛】1．已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑： (1)如果符号正负相间，则符号可用(－1)n 或(－1)n＋1来调节．(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系来解决． (3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决．此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法来解决．2．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2），务必注意a n ＝S n －S n －1是在n ≥2的条件下，还需注意验证a 1是否符合a n (n ≥2)，是则合并，否则写成分段形式． 3．已知递推关系求通项这类问题要求不高，主要掌握由a 1和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想a n 的方法，以及“累加法”“累乘法”等．(1)已知a 1且a n －a n －1＝f (n )，可以用“累加法”得： a n ＝a 1＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1)＋f (n )． (2)已知a 1且a na n －1＝f (n )，可以用“累乘法”得：a n ＝a 1·f (2)·f (3)·…·f (n －1)·f (n )． 4．数列的简单性质(1)单调性：若a n ＋1＞a n ，则{a n }为递增数列；若a n ＋1＜a n ，则{a n }为递减数列．(2)周期性：若a n ＋k ＝a n (n ∈N *，k 为非零正整数)，则{a n }为周期数列，k 为{a n }的一个周期．(3)最大值与最小值：若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1， 则a n 最大；若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1， 则a n 最小．针对训练1．数列0.9，0.99，0.999，…的一个通项公式是( ) A ．1＋⎝⎛⎭⎫110nB ．－1＋⎝⎛⎭⎫110nC ．1－⎝⎛⎭⎫110nD ．1－⎝⎛⎭⎫110n ＋12．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＝a n －1＋1a n －2(n ≥3)，则a 4等于( )A.5512 B.133C ．4D ．53．对于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n (n －40)，则下列判断中正确的是( ) A ．a 19>0，a 21<0 B ．a 20>0，a 21<0 C ．a 19<0，a 21>0D ．a 19<0，a 20>05．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋lg ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 的值为( ) A ．2＋lg n B ．2＋(n －1)lg n C ．2＋n lg nD ．1＋n lg n6．对于函数y ＝f (x )，部分x 与y 的对应关系如下表：数列{x n }满足x 1＝2，且对任意n ∈N *，点(x n ，x n ＋1)都在函数y ＝f (x )的图象上，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋…＋x 2012＋x 2013的值为( ) A ．9394B ．9380C ．9396D ．94007．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为________．8．根据下面的图形及相应的点数，在空格和括号中分别填上适当的图形和点数，并写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.9．根据数列{a n } 的前几项，分别写出下列数列的一个通项公式． (1)7，77，777，7777，…； (2)4，－52，2，－74，85，…；(3)3，5，3，5，…； (4)1，2，2，4，3，8，4，16，….10．数列{a n }中，a n ＝n －n 2＋2，求数列{a n }的最大项和最小项．11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，并且满足a 1＝2，na n ＋1＝S n ＋n (n ＋1)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝S n2n ，当n ≥3时，求证：T n ＞T n ＋1.12 已知数列{a n }的通项a n ＝n －98n －99(n ∈N *)，求{a n }的最大项及最小项．。
第1讲 数列的概念及简单表示法
第1讲数列的概念及简单表示法一、知识梳理1．数列的有关概念(1)数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．(2)数列的分类(3)数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．2．数列的通项公式(1)数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.常用结论1．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集或其子集{1，2，3，…，n }上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值．2．在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.二、教材衍化1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋（－1）na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A.32 B.53 C.85D ．23解析：选D.a 2＝1＋（－1）2a 1＝2，a 3＝1＋（－1）3a 2＝12，a 4＝1＋（－1）4a 3＝3，a 5＝1＋（－1）5a 4＝23. 2．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝ ．答案：5n －4一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ) (2)所有数列的第n 项都能使用通项公式表示．( ) (3)数列{a n }和集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }是一回事．( ) (4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．( ) (5)一个确定的数列，它的通项公式只有一个．( )(6)若数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N ＋，都有a n ＝S n －S n －1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)× 二、易错纠偏常见误区(1)忽视数列是特殊的函数，其自变量为正整数集N ＋或其子集{1，2，…，n }； (2)根据S n 求a n 时忽视对n ＝1的验证．1．在数列－1，0，19，18，…，n －2n 2中，0.08是它的第 项．解析：依题意得n －2n 2＝225，解得n ＝10或n ＝52(舍)．答案：102．已知S n ＝2n ＋3，则a n ＝ ．解析：因为S n ＝2n ＋3，那么当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋3＝5；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n＋3－(2n －1＋3)＝2n －1(*)．由于a 1＝5不满足(*)式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n －1，n ≥2由数列的前几项求数列的通项公式(师生共研)(1)数列1，3，6，10，15，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－(n －1)B ．a n ＝n 2－1C ．a n ＝n （n ＋1）2D ．a n ＝n （n －1）2(2)已知数列{a n }为12，14，－58，1316，－2932，6164，…，则数列{a n }的一个通项公式是 ．【解析】 (1)设此数列为{a n }，则由题意可得a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，a 5＝15，…仔细观察数列1，3，6，10，15，…可以发现：1＝1，3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4.…所以第n 项为1＋2＋3＋4＋5＋…＋n ＝n （n ＋1）2，所以数列1，3，6，10，15，…的通项公式a n ＝n （n ＋1）2.(2)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子数比分母少3，且第1项可变为－2－32，故原数列可变为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…故其通项公式可以为a n ＝(－1)n·2n －32n .【答案】 (1)C (2)a n ＝(－1)n·2n －32n解决此类问题，需抓住下面的特征：(1)各项的符号特征，通过(－1)n或(－1)n＋1来调节正负项．(2)考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系．(3)相邻项(或其绝对值)的变化特征．(4)拆项、添项后的特征．(5)通过通分等方法变化后，观察是否有规律．[注意]根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法，蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的！1．数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝ ．解析：数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.答案：2n ＋1n 2＋12．数列3，7，11，15，…的一个通项公式是 ．解析：因为7－3＝11－7＝15－11＝4，即a 2n －a 2n －1＝4，所以a 2n ＝3＋(n －1)×4＝4n －1，所以a n ＝4n －1.答案：a n ＝4n －1由a n 与S n 的关系求通项公式a n (师生共研)(1)(2020·河南三市联考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1（4n －1）3，若a 4＝32，则a 1的值为( )A.12B.14C.18D ．116(2)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，则a 1＝ ，{a n }的通项公式为 ．【解析】 (1)因为S n ＝a 1（4n －1）3，a 4＝32，所以S 4－S 3＝255a 13－63a 13＝32，所以a 1＝12，故选A.(2)数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ， 当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)， 所以(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1. 当n ＝1时，a 1＝2，上式也成立． 所以a n ＝22n －1.【答案】 (1)A (2)2 a n ＝22n －1(1)已知S n 求a n 的三个步骤 ①先利用a 1＝S 1求出a 1；②用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系式，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；③注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n ≥2的表达式合并． (2)S n 与a n 关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． ①利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解； ②利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N ＋)，则a n ＝ ．解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥22．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝ ．解析：由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，整理得a n ＝－2a n －1，又当n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，所以a 1＝1，所以{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，故a n ＝(－2)n －1.答案：(－2)n－1由递推关系求数列的通项公式(师生共研)分别求出满足下列条件的数列的通项公式．(1)a1＝0，a n＋1＝a n＋(2n－1)(n∈N＋)；(2)a1＝1，a n＋1＝2n a n(n∈N＋)；(3)a1＝1，a n＋1＝3a n＋2(n∈N＋)．【解】(1)a n＝a1＋(a2－a1)＋…＋(a n－a n－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋(2n－3)＝(n－1)2，所以数列的通项公式为a n＝(n－1)2.(2)由于a n ＋1a n ＝2n ，故a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a na n －1＝2n －1，将这n －1个等式叠乘， 得a n a 1＝21＋2＋…＋(n －1)＝2n （n －1）2，故a n ＝2n （n －1）2，所以数列的通项公式为a n ＝2n （n －1）2.(3)因为a n ＋1＝3a n ＋2，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以该数列的通项公式为a n ＝2·3n－1－1.由递推关系求数列的通项公式的常用方法1．在数列{a n}中，若a1＝2，a n＋1＝a n＋2n－1，则a n＝．解析：a1＝2，a n＋1＝a n＋2n－1⇒a n＋1－a n＝2n－1⇒a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1，则a n＝2n－2＋2n－3＋…＋2＋1＋a1＝1－2n－11－2＋2＝2n－1＋1.答案：2n－1＋12．若a1＝1，na n－1＝(n＋1)a n(n≥2)，则数列{a n}的通项公式a n＝．解析：由na n－1＝(n＋1)a n(n≥2)，得a na n－1＝nn＋1(n≥2)．所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n n ＋1·n －1n ·n －2n －1·…·34×23×1＝2n ＋1，(*) 又a 1也满足(*)式，所以a n ＝2n ＋1. 答案：2n ＋1数列的函数特征(多维探究) 角度一 数列的单调性已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋k2n，若数列{a n }为递减数列，则实数k 的取值范围为( )A ．(3，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)【解析】 因为a n ＋1－a n ＝3n ＋3＋k 2n ＋1－3n ＋k 2n ＝3－3n －k2n ＋1，由数列{a n }为递减数列知，对任意n ∈N ＋，a n ＋1－a n ＝3－3n －k2n ＋1＜0，所以k ＞3－3n 对任意n ∈N ＋恒成立，所以k ∈(0，＋∞)．故选D.【答案】 D(1)解决数列单调性问题的三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列； ②用作商比较法，根据a n ＋1a n (a n >0或a n <0)与1的大小关系进行判断；③结合相应函数的图象直观判断． (2)求数列最大项或最小项的方法①可以利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)找到数列的最大项；②利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)找到数列的最小项．角度二 数列的周期性等差数列{a n}的公差d＜0，且a21＝a211，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n的值为()A．5 B．6C．5或6 D．6或7【解析】由a21＝a211，可得(a1＋a11)(a1－a11)＝0，因为d＜0，所以a1－a11≠0，所以a1＋a11＝0，又2a6＝a1＋a11，所以a6＝0.因为d＜0，所以{a n}是递减数列，所以a1＞a2＞…＞a5＞a6＝0＞a7＞a8＞…，显然前5项和或前6项和最大，故选C.【答案】 C解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．已知数列{a n}满足a n＝(n－λ)2n(n∈N ＋)，若{a n}是递增数列，则实数λ的取值范围是．解析：因为数列{a n}是递增数列，所以a n＋1＞a n，所以(n＋1－λ)2n＋1＞(n－λ)2n，化为λ＜n＋2，对任意的n∈N＋都成立．所以λ＜3.答案：(－∞，3)核心素养系列13 逻辑推理——数列的通项公式逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程．主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比推理；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎推理．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，且a 1＝1，通过计算a 2，a 3，猜想a n 等于( )A.2（n ＋1）2B.2n （n ＋1）C.12n －1D ．12n －1【解析】 法一(归纳推理)：因为S n ＝n 2a n ，所以a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ， 故a n ＋1＝nn ＋2a n ，当n ＝2时，a 1＋a 2＝4a 2，a 1＝1， 所以a 2＝13.所以a 1＝1＝21×2，a 2＝13＝22×3，a 3＝22＋2a 2＝12×13＝16＝23×4，a 4＝33＋2a 3＝35×16＝110＝24×5，a 5＝44＋2a 4＝23×110＝115＝25×6，由此可猜想a n ＝2n （n ＋1）.法二(演绎推理)：因为a 1＝1，S n ＝n 2a n ，所以n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n－1，即(n ＋1)(n －1)a n ＝(n －1)2a n －1，所以a na n －1＝n －1n ＋1，所以a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1＝n －1n ＋1×n －2n ×n －3n －1·…·24×13，即a n a 1＝2n （n ＋1），所以a n ＝2n （n ＋1）. 【答案】 B本题是从特殊到一般的归纳，是不完全归纳，解答此类问题的具体策略：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征；(5)化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；(6)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N ＋处理．1．在数列1，2，7，10，13，…中219是这个数列的第项．解析：数列1，2，7，10，13，…，即数列1，3×1＋1，3×2＋1，3×3＋1，3×4＋1，…，所以该数列的通项公式为a n＝3（n－1）＋1＝3n－2，所以3n－2＝219＝76，所以n＝26，故219是这个数列的第26项．答案：262．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝a2n－2a n＋1(n∈N＋)，则a2 020等于．解析：因为a1＝1，所以a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知数列{a n}是以2为周期的周期数列，所以a2 020＝a2＝0.答案：0[基础题组练]1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15，则( ) A ．3不是数列{a n }的项 B ．3只是数列{a n }的第2项 C ．3只是数列{a n }的第6项 D ．3是数列{a n }的第2项和第6项解析：选D.令a n ＝3，即n 2－8n ＋15＝3.整理，得n 2－8n ＋12＝0，解得n ＝2或n ＝6.故选D.2．已知数列{a n }满足：任意m ，n ∈N ＋，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，则a 5＝( )A.132B.116C.14D ．12解析：选A.由题意，得a 2＝a 1a 1＝14，a 3＝a 1·a 2＝18，所以a 5＝a 3·a 2＝132.3．在数列{a n }中，“|a n ＋1|>a n ”是“数列{a n }为递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.“|a n ＋1|>a n ”⇔a n ＋1>a n 或－a n ＋1>a n ，充分性不成立，数列{a n }为递增数列⇔|a n ＋1|≥a n ＋1>a n 成立，必要性成立，所以“|a n ＋1|>a n ”是“数列{a n }为递增数列”的必要不充分条件．故选B.4．已知数列{a n }满足a n ＋1＝1－1a n (n ∈N *)，且a 1＝2，则( )A ．a 3＝－1B ．a 2 019＝12C ．S 3＝3D ．S 2 019＝2 019解析：选A.数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n (n ∈N *)，可得a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2，a 5＝12，…所以a n －3＝a n ，数列的周期为3.a 2 019＝a 672×3＋3＝a 3＝－1.S 6＝3，S 2 019＝2 0192.5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，{S n ＋na n }为常数列，则a n ＝( ) A.13n －1 B.2n （n ＋1） C.6（n ＋1）（n ＋2）D ．5－2n 3解析：选B.由题意知，S n ＋na n ＝2， 当n ≥2时，S n －1＋(n －1)a n －1＝2， 所以(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1， 从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13·24·…·n －1n ＋1，则a n ＝2n （n ＋1），当n ＝1时上式成立，所以a n ＝2n （n ＋1）.6．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n ＝ ．解析：由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项公式可以为n2n －1.答案：n2n －17．若数列{a n }满足a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2＋3n ＋2，则数列{a n }的通项公式为 ． 解析：a 1·a 2·a 3·…·a n ＝(n ＋1)(n ＋2)， 当n ＝1时，a 1＝6；当n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1·a 2·a 3·…·a n －1·a n ＝（n ＋1）（n ＋2），a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝n （n ＋1），故当n ≥2时，a n ＝n ＋2n，所以a n＝⎩⎨⎧6，n ＝1，n ＋2n ，n ≥2，n ∈N *.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，n ＋2n ，n ≥2，n ∈N*8．(2020·重庆(区县)调研测试)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，2S n ＝(n ＋1)a n ，则a n ＝ ．解析：由2S n ＝(n ＋1)a n 知，当n ≥2时，2S n －1＝na n －1，所以2a n ＝2S n －2S n －1＝(n ＋1)a n－na n －1，所以(n －1)a n ＝na n －1，所以当n ≥2时，a n n ＝a n －1n －1，所以a n n ＝a 11＝1，所以a n ＝n .答案：n9．已知数列{a n }的前n 项和为S n . (1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ，求a 5＋a 6及a n ； (2)若S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n .解：(1)因为a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1)＝ (－1)n ＋1·[n ＋(n －1)]＝(－1)n ＋1·(2n －1)， 又a 1也适合此式，所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)． (2)因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2×3n －1＋2，由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2×3n －1＋2，n ≥2.10．(2020·安徽合肥四校联考)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝4a n ＋3. (1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{a n }的通项公式；(2)证明：a n ＋1＋1a n ＋1＝4.解：(1)a 1＝3，a 2＝15，a 3＝63，a 4＝255.因为a 1＝41－1，a 2＝42－1，a 3＝43－1，a 4＝44－1，…，所以归纳得a n ＝4n －1.(2)证明：因为a n ＋1＝4a n ＋3，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝4a n ＋3＋1a n ＋1＝4（a n ＋1）a n ＋1＝4.[综合题组练]1．(2020·河南焦作第四次模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ，记数列{a n b n }的前n 项和为S n ，若S n －22n ＋1＋1＝n ，则数列{b n }的通项公式为b n ＝ ．解析：因为S n －22n ＋1＋1＝n ，所以S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.所以当n ≥2时，S n －1＝(n －2)2n ＋2，两式相减，得a n b n ＝n ·2n ，所以b n ＝n ；当n ＝1时，a 1b 1＝2，所以b 1＝1.综上所述，b n ＝n ，n ∈N *.故答案为n .答案：n2．(2020·新疆一诊)数列{a n }满足a 1＝3，a n －a n a n ＋1＝1，A n 表示{a n }的前n 项之积，则A 2 019＝ ．解析：由a n －a n a n ＋1＝1，得a n ＋1＝1－1a n，又a 1＝3，则a 2＝1－1a 1＝23，a 3＝1－1a 2＝1－32＝－12，a 4＝1－1a 3＝1－(－2)＝3，则数列{a n }是周期为3的周期数列，且a 1a 2a 3＝3×⎝⎛⎭⎫23×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，则A 2 019＝(a 1a 2a 3)·(a 4a 5a 6)·…·(a 2017a 2 018a 2 019)＝(－1)673＝－1.答案：－13．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N ＋)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N ＋)，可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2；同理a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，① 当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0， 所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .4．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N ＋. (1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N ＋，求a 的取值范围． 解：(1)依题意得S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ， 即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )，即b n ＋1＝2b n ， 又b 1＝S 1－3＝a －3，因此，所求通项公式为b n ＝(a －3)2n －1，n ∈N ＋. (2)由(1)可知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N ＋，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n－2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2 ＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12·⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3，所以，当n ≥2时， a n ＋1≥a n ⇒12⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9，又a2＝a1＋3＞a1，a≠3.所以，所求的a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．。
数列知识点、公式讲解
数列知识点、公式讲解一、数列的概念1、数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成123,,,,,n a a a a ，简记为数列{}n a ，其中第一项1a 也成为首项；n a 是数列的第n 项，也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集N *（或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1）有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限；（2）无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.3、通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成()n a f n =，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征：一般地，一个数列{}n a ，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即1n n a a +>，那么这个数列叫做递增数列;如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1n n a a +<，那么这个数列叫做递减数列;如果数列{}n a 的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.5、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．二、等差数列1、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即1n n a a d +-=（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2、等差数列的通项公式：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则通项公式为：解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++，由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得,2,3,1654-=-=-=a a a ,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a ……2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a ∵665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a ∴S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++=)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a 2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=2002200120001999a a a a +++＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5[例14]在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值。
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专题复习 数列部分 一 数列的概念一、知识归纳☞☞☞1、数列的定义：按一定顺序排列的一列数叫数列，数列的每一个数都叫这个数列的项；在函数的意义下，数列是一类离散函数，是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值。
在直角坐标系中，其图象是一些离散的点，数列的通项公式就是相应函数的解析式。
2、数列的分类：（1）按数列的项数分类：分为有限数列和无限数列； （2）按数列的任意相邻两项之间的大小关系分类：有递增数列（n n a a ≥+1）；递减数列（n n a a ≤+1）；摆动数列；常数数列（各项都相等） 3、数列的通项公式：如果数列}{n a 的第n 项n a 与n 之间的函数关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。
数列的通项公式)(n f a n =揭示了数列}{n a 的第n 项n a 与n 的函数关系。
4、数列的递推公式：如果已知数列}{n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式叫这个数列的递推公式。
5、数列}{n a 的前n 项和n S 与通项n a 的关系：设数列}{n a 的前n 项和为n S ，即n n a a a S +++= 21，那么n S 与n a 有如下关系：⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn二、方法归纳1、数列通项公式的求法：（1）归纳法：通过对数列前几项的观察、分析，可以寻找第n 项n a 与n 的函数关系，归纳出数列的一个通项公式，这种方法叫不完全归纳法。
[例题] （1）分别写出下列数列的一个通项公式： ①,167,85,43,21--；________________ ② ,9910,638,356,154,32；______________ ③7，77，777，7777，…；____________ ④nn a a a 12,211-==+；_______________ （2）点((),(1))P f n f n +在函数112y x =+的图象上，若(1)2f =，则(4)f =__,()f n =___.（1） 解：①nn n n a 212)1(1--=+；②)12)(12(2+-=n n n a n ；③7(101)9nn a =- ④依题设，23212,221=-==a a ，45432,3432243=-==-=a a ，…… 故可归纳出通项nn a n 1+=（2）(4)f =_2_,()f n =_2__.（2）利用通项n a 与前n 项和n S 的关系求通项公式。
[例题] 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，求该数列分别满足下列条件的一个通项公式： （1）n n S n +=23； （2）1)1(log 2+=+n S n 解：（1）当1=n 时，411==S a当2≥n 时，)]1()1(3[3221-+--+=-=-n n n n S S a n n n 26-=n 因为41=a 适合上式，故有26-=n a n （2）由1)1(log 2+=+n S n ，得121-=+n n S ，当1=n 时，311==S a当2≥n 时，nnn n n n S S a 22211=-=-=+-，则⎩⎨⎧≥==)2(2)1(3n n a n n（3）累加法求通项公式：形如1()n n a a f n +=+或1()n n a a f n -=+形式可用累加法2、数列单调性的证明：比较1+n a 与n a 的大小关系（作差或作商） [例题] 设函数2()log log 2(01)x f x x x =-<<，数列}{n a 满足)(2)2(+∈=N n n f n a（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）证明：数列}{n a 是递增数列。
解：（1）由)(2)2(+∈=N n n f n a ，得n a a nn 21=-，即0122=-⋅-n na n a 故12+±=n n a n ，由10<<x ，知120<<na ，即2<n a ，故12+-=n n a n（2）由11122++-=+-=n n n n a n ，可知n n a a >+1)(+∈N n ，故此数列为递增数列。
或由11n n a a +==< ，且0n a <，得n n a a >+13、最大项、最小项问题： 在数列}{n a 中，若n a 最大，则{11n n n n a a a a +-≥≥，若n a 最小，则{11n n n n a a a a +-≤≤[例题]已知数列}{n a 的通项是)()109()2(+∈⋅+=N n n a nn ，试问n 取何值时，n a 取最大值？并求此最大值。
解法一：1199(3)()(2)()1010n n n n a a n n ++-=+⋅-+⋅ 91()(7)1010n n =⋅-∴当6n ≤时，10n n a a +->，1n n a a +>，即1267a a a a <<<<当7n =时，78a a =当8n ≥时，10n n a a +-<，1n n a a +<，即8910a a a >>>则7=n 或8=n 时，n a 取最大值78109解法二：由不等式组⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+≥⋅+⋅+≥⋅+-+11)109()1()109()2()109()3()109()2(n n n n n n n n整理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥⋅+⋅+≥+1109)2(109)3(2n n n n ，解得⎩⎨⎧≤≥87n n ，则7=n 或8=n 时，n a 取最大值78109三、练习题：1、已知数列}{n a 首项为11=a ，且121+=-n n a a ，则5a 为（ ） A ．7 B ．15 C ．30 D ．312、已知数列}{n a 满足)(,112100+-∈++++==N n a a a a a a n n ，则当+∈N n 时，=n a （ ）A ．n 2B ．)1(21+n n C ．12-n D ．12-n 3、数列的前几项是： ,32,53,21,31,0，则此数列的一个通项公式是=n aA ．n n 21-B ．11+-=n n a nC ．1+n nD ．12+n n4、数列}{n a 中，11=a ，对所有的2≥n ，都有2321n a a a a n = ，则=+53a aA ．925 B ．1625 C ．1661 D ．1531 5、已知数列{a n }的通项公式是1n ana an =+，其中a 为正常数，那么a n 与1+n a 的大小关系是A.1+<n n a aB. 1+>n n a aC.1+=n n a aD.与a 的取值有关 6、若数列}{n a 的前n 项和322+-=n n S n ，则此数列的前3项依次是： A ．3,1,1- B ．3,1,2 C ．3,1,6 D ．6,3,2 7、若数列若数列{}n a 的前n 项和为)1(log 3+=n S n ，则=5a A ．6log 5 B ．5log 3 C ．6log 3 D ．56log 38、已知数列{}n a 满足：434121,0,,N ,n n n n a a a a n *--===∈则2009a =_____；2014a =______. 9、在数列{}n a 中，若11a =，12(1)n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a = 。
10、若数列的前4项是： ,47,2,25,4--，则数列的一个通项公式是____.11、数列{}n a 中，若1,121==a a ，且)2(21>+=--n a a a n n n ，则该数列的前5项依次是： _______________； 设nn n a a b 1+=，则数列}{n b 的前5项依次是：___________. 12、已知数列}{n a 的通项2514n a n n =--（1）求234,,a a a 的值； （2）22是否为该数列的项？，说明理由。
（3）当n 为何值时，n a 有最小值，最小值是多少？ （4）当n 为何值时，数列}{n a 的前n 项和n S 最小？13、已知数列}{n a 的前n 项和2)21(21+-=n n S ，（1）求678a a a ++的值； （2）求数列}{n a 的奇数项的和：12531-++++n a a a a1~8．DCBCA BD9． n a = 2n －1 ，10． _ nn a n n 3)1(1+-=- ___. 11． _5,3,2,1,1___； _58,35,23,2,1_____. 分析：5．函数1()111ax f x ax ax ==-++，其中0a >在),0(+∞上是增函数。
故选A 7．由455S S a -=可得D8．2009450331a a ⨯-==，2014210071007425210a a a a ⨯⨯-====. 10．原数列改写为： ,47,36,25,14-- 解答题：12．解：（1）23420,20,18a a a =-=-=-（2）由251422n a n n =--=，得 9n =或4n =-（舍去），故22是数列的第9项。
（3）22581514()24n a n n n =--=--，故当2n =或3n =时，n a 有最小值20- （4）由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩，即225140(1)5(1)140n n n n ⎧--≤⎪⎨+-+-≥⎪⎩解得6n =或7n = 即当6n =或7n =时，n S 最小。
13．解：（1）85678851111[()][()]2222a a a S S ++=-=---5811()()22=-7256=（2）当1=n 时，8311==S a ，当2≥n 时，2211)21()21()21(+++-=-=-=n n n n n n S S a 则12531-++++n a a a a 1275)21()21()21(83+++++=n 2)1(25)21(1])21(1[)21(83--+=-nn n 2)1(2)21(6112524)21(183⋅-=-+=-n )41(61125⋅-= 二 等差数列一、知识归纳☞☞☞1、等差数列的概念：概念：若数列{a n }从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则数列{a n }叫等差数列. 数学表达式为)(1++∈=-N n d a a n n 或),2(1+-∈≥=-N n n d a a n n ，其中d 为常数，叫这个数列的公差。