近世代数第21讲
近世代数知识点教学文稿
近世代数知识点近世代数知识点第一章基本概念1.1集合●A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作2A.1.2映射●证明映射：●单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。
●满射：像集合中每个元素都有原像。
Remark：映射满足结合律！1.3卡氏积与代数运算●{（a,b）∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积，其中（a,b）为有序元素对，所以一般A*B不等于B*A.●集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。
1.4等价关系与集合的分类★等价关系：1 自反性：∀a∈A,a a;2 对称性：∀a,b∈R, a b=>b a∈R;3 传递性：∀a,b,c∈R,a b,b c =>a c∈R.Remark：对称+传递≠自反★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a]表示。
第二章群2.1 半群1.半群=代数运算+结合律，记作（S,）Remark: i.证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。
ii.若半群中的元素可交换，即a b=b a,则称为交换半群。
2.单位元i.半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。
ii.单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元=右单位元=单位元。
iii.在有单位元的半群中，规定a0=e.3.逆元i.在有单位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。
ii.逆元具有唯一性，记作a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元=可逆元。
iii.若一个元素a既有左逆元a1，又有右逆元a2，则a1=a2,且为a的逆元。
4.子半群i.设S是半群，≠T S,若T对S的运算做成半群，则T为S的一个子半群ii.T是S的子半群a,b T,有ab T2.2 群1．群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元Remark：i. 若代数运算满足交换律，则称为交换群或Abel群.ii. 加群=代数运算为加法+交换群iii.单位根群Um={m=1},数域P上全体n阶可逆（满秩）矩阵集合GL(n,P),数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合SL(n,p).2. 群=代数运算+结合律+左（右）单位元+左（右）逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元=代数运算+结合律+∀a,b G,ax=b,ya=b有解3. 群的性质i. 群满足左右消去律ii.设G是群，则∀a,b G,ax=b,ya=b在G中有唯一解iii.e是G单位元⇔ e2=eiv.若G是有限半群，满足左右消去律，则G是一个群4. 群的阶群G的阶，即群G中的元素个数，用表示。
(完整版)近世代数讲义(电子教案)(1)
《近世代数》课程教案第一章基本概念教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。
集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律;掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。
理解满射,单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n的剩余类。
教学重点:映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义;代数运算的应用，对代数运算的理解;代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果;等价关系,模n的剩余类。
教学难点：元素与集合的关系（属于）,集合与集合的关系(包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别;结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义;同态映射在比较两个集合时的结果；模n的剩余类.教学措施：网络远程。
教学时数:8学时.教学过程：§1 集合定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合(简称集)。
集合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。
定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为∅，且∅是任一集合的子集。
（1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。
（2）集合表示：习惯上用大写拉丁字母A ，B ,C …表示集合，习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素. 若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ∉∈否则记为,. 表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）：例:A =｛1，2，3，4｝，B =｛1,2，3,…，100｝. 2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。
近世代数教学课件
并运算 设 A， B是两个集合 . 由 A的一切元素和 B的一切 元素所成的集合叫做A与B的并集（简称并），记作 A B. 如图1所示.
A
A B
( x A B) ( x A或x B) ( x A B) ( x A且x B)
B
交运算 由集合A与B的公共元素所组成的集合叫做A 与B的交集(简称交)，记作： A B ，如图2所示.
A A
交换律 : A B B A ; A B B A 结合律 : ( A B) C A ( B C ) ; ( A B) C A ( B C) 分配律 : A B C A B A C
A B C A B A C
A是B的子集，记作：
( A B) (x : x A x B)
如果集合A与B的由完全相同的元素组成部分的， 就说A与B 相等，记作：A=B. 即
( A B) (x : x A x B)
以集合A的所有子集为ຫໍສະໝຸດ 素的集合，称为A的幂集， 记为P(A).
如果集合A包含无限多个元素，则记为 A =；如 果A包含ｎ个元素，则记为 A =ｎ，此时 P(A) 2n
近世代数
第一章 基本概念
§1 §2 §3 集 合 映射与变换 代数运算
§4 §5 §6
运算率 同态与同构 等价关系与集合的分类
§1 集 合
表示一定事物的集体，我们把它们称为集合或集， 如“一队”、“一班”、“一筐”. 组成集合的东西 叫这个集合的元素. 我们常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用 小写拉丁字母a，b，c，…表示元素. 如果a是集合A的 元素，就说a属于A，记作 a A ；如果a不是集合A 的元素，就说a不属于A，记作 a A ； 例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4∈A， 而 3 . A
近世代数 第21讲
第21 讲§6. 多项式环(Rings of polynomials )本讲的教学目的和要求:在高等代数中,已经建立了数域F上的多项式环的一般理论,但是在处理某些问题时常会遇到诸如整系数多项式，矩阵系数多项式(譬如 —矩阵)等环上的多项式,它们与数域的多项式相比,有很多本质上的差异故此,有必要讨论环上多项式环的一般理论,这正是本讲的目的.为此对学习本讲,提出如下要求:1、明确代数元和超越元的概念以及什么是R上的关于超越元的多项式歪.(本教材称超越元为半定元—与高等代数中的称呼一致)2、超越元(半定元)的存在性定理和多项式环存在性定理的证明需要弄懂.3、对多元多项式的本质上的理论问题需要清楚.本讲的重点和难点: 本讲是高等代数中多项式环(定义在数域上)的推广,是本章中众多类型中的“另类”.由于环的“型”不同，故研究的方法也不同，这是难点之一。
如何清醒地认识到不能直接用“高代”的理理论直接套用，是关键。
而本讲的重点“存在性定理”的证明。
一、多项式环的定义。
设R 是一个含有单位元1R 的可变换环。
又设R 是0R 的子环且R R∈01，现考察0R 中含R 及任取定元素0R ∈α的最小子环：[]()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==∑是非负整数n R a a a f R i ii ,αα 显然每个()0100R a a a a f n n ni ii ∈+++==∑=αααα .定义 1. 如上形式的()αf 每个元素都叫做R 上关于α的一个多项式,而每个i a 都叫做该多项式()αf 的系数.下面我们希望能将[]αR 做成一个环.事实上([]αR 是0R 的一个 子环)()()∑∑====∀nj jj mi ii b g a f 0,αααα, 定义规则如下:(当n m )()()()∑=+=+nj j j j b a g f 0ααα, 必定假设021====++n m m a a a .()(),000∑∑∑+====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅m n k k k n j jj m i i i C b a g f ααααα其中∑=+=kj i j i k b a C又 ()()∑∑==-=-=-mi ii mi ii a a f 0ααα可知()()()()()[]ααααααR g f f g f ∈⋅-+,,∴ []α∙R 确定是一个环. (是含R 和α的最小的子环) 定义2. 如果上方得到的环[]αR 叫做R 上的α的多项式环. 显然[]αR 是0R 的一个子环,但R 中每个多项式()αf 的表达形式未必唯一.譬如,设Z R =,而R R =∈=02α. 那么[]2Z中的零元()()2222200+-=+=α. ∴ 0的表达式不唯一.换句话说:上述定义的多项式环中会出一种现象: ()02210=++++=nn a a a a f αααα ,但系数n a a a a ,,,,210 不全为零.这显然与高等代数中多项式的零多项式的定义相矛盾.于是,我们有必要对0R ∈α做如下的讨论.定义3. 设R R ,0和α如前所示,称α为R 的一个未定元(超越元),若在R 中找不到不全为零的元素n a a a ,,,10 使()*=∈∀=++++=∑N n a a a a a n n ni ii ,022100αααα( 即 002100=====⇔=∑=n ni ii a a a a a α) .否则称α为R 上的代数元. 习惯上,记R 上的未定元为x .有上述的理论做“底子”,现可以定义多项式()x f 的问题.定义 4. 设()()0210≠++++=n n n a x a x a x a a f α为环R 上的一元多项式.那么 非负整数n 叫做多项式()a f 的次数.若()0=x f ,记为没有()αf 没有次数。
近世代数课件全21 群的定义.ppt
2019/12/12
二、群的性质及等价判定方法 定理1 群中
1.左逆元也是右逆元（逆元）； 2.左单位元也是右单位元（单位元）；
aa1 a1a e ae aa1a ea a
做成交换群，称为正有理数乘群.
例3 G {全体整数}，对于运算 a b ab
2
1Leabharlann 22124
2
1
2 212 2
结合律不成立,不做成群.
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注意：
（1）对于考察集合是否作成群： 既要考虑元素，又要考虑代数运算；
（2）将群的代数运算叫做乘法，简记
a b a b ab
近世代数 第二章 群论 §1 群的定义
2019/12/12
一、群的定义与例子
定义1设 G 是一个具有代数运算 的非空集合，
并且满足:
Ⅰ. 结合律: a,b,c G, 有
(a b) c a (b c)
Ⅱ. G 中有左单位元 e ：a G, e a a Ⅲ. 对 G 中每一个元素 a , 有左逆元
左单位元1， a 1 无逆元,不能做成群；
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（3）对于运算 a b a b 4
a b c a b 4 c a b 4 c 4 a b c 8
a b c a b c 4 a b c 4 4 a b c 8
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定义4
设 G 是一个具有代数运算 的非空集合 ，并且满足结合律，则称 G 关于代数运算
商环与环同态基本定理
3. 设 是环 R 到环 R 的一个同态满射,K 为其同态核,N R.
4. 令 R a bi a,b Q , R 由一切形如
a b
b a
下面我们将说明在商加群 R I 中可以合理地引入一个乘法并使 R I ,, 做
成一环.这个乘法即前面定义的
[a][b] [ab] (或 (a I)(b I) ab I ) 现在我们来证明定义的合理性.设[a] [a' ] 且[b] [b' ] ，则 a a' I 且 b b' I ,于是 ab a'b (a a' )b I ,从而 a'b a'b' a' (b b' ) I ，所 以 [ab] [a'b'] ，即 ab a'b' I .所以定义是合理的. 很容易验证 R I , 是一个环.
习题 9 一个环 的非空子集 叫做 的一个左理想，假如 （i） （ii） 你能不能在有理数域 上的 矩阵环里找到一个不是理想的左理想？ 解：考虑有理数域 上的 矩阵
是 的子环， 是 的左理想。
习题二十一
1.设 N 是环 R 到环 R 的同态满射 的核.证明:
是同构映射 N=0.
2. 设 R 是有单位元的整环(可换,无零因子).证明:
第 21 讲
第 三 章 环与域
§6 商环与环同态基本定理
一、 商环的定义与性质
1 商环的构造： 设 为环， 为 的理想.
(1)
近世代数精品课程25页PPT
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6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
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7、心急吃不了热汤圆。
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8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
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9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
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10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
6பைடு நூலகம்最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
近世代数引论PPT课件
详细描述
域是一个非空集合，其中定义了两种运算：加法和乘法 ，满足一定的性质。在域中，加法和乘法都是可逆的， 即每个元素都有唯一的加法逆元和乘法逆元。此外，域 中的乘法满足结合律，且每个元素都有乘法单位元。
子域与扩域
环论在几何学中的应用
环论也是近世代数的一个重要分支，它在几何学中也有着广泛的应用。例如，在代数几 何中，环论被用于描述多项式环的结构；在解析几何中，环论也被用于描述函数的性质。
数论中的应用
域论在数论中的应用
域论是近世代数中一个重要的分支，它在数论中有着广泛的应用。例如，在代数数论中，域论被用于描述代数数 的性质；在数论中，域论也被用于研究整数的性质和结构。
分式域与函数域
总结词
分式域和函数域是两种特殊的域，它们在数学和物理 中有广泛的应用。分式域是由其整环的分式组成的域 ，而函数域则是基于函数的定义域和值域形成的域。
详细描述
分式域是由一个整环的分式组成的域。整环是一个只含 有限除数的环，也就是说，如果一个元素在整环中不能 被其他元素整除，则该元素被称为不可约元素。分式环 是由整环中所有分式组成的集合，它构成一个域。函数 域是基于函数的定义域和值域形成的域。具体来说，给 定一个函数f和一个集合D，函数域是由集合D中所有可 能的函数值组成的集合，它也构成一个域。
交叉学科的研究
近世代数与其他学科的交叉研究也是未来的一个重要方向，如 代数几何、代数数论、计算机科学等学科的交叉研究，可以促
进近世代数的发展和应用。
THANKS
感谢观看
环论
环的定义和性质
要点一
总结词
环是具有加法和乘法两种运算的代数系统，满足一定的性 质。
近世代数课件21 群的定义
我们要证明这个e 就是左单位元，即：对于 G 的任 意元 a，
ea a
bc a
成立．
bx a 有解 c：
（２）
由（１），（２）
ea e(bc) (eb)c bc a
这样，我们证明了 e 的存在．
Ⅳ． 对于 G 的每一个元 a ，在G 里至少存在一个 元 a 1 ，叫做 a 的一个左逆元，能让
a 1a e
成立．这里 e 是一个固定的左单位元． 由V， ya e 可解． (3) 定义I 定义III ，已经完成。
1.6 几个进一步的概念
以下我们还要说明几个名词和符号． 一个群G 的元素的个数可以有限也可以无限．我 们规定 定义1 一个群叫做有限群，假如这个群的元的 个数是一个有限数．不然的话，这个群叫做无限 群．一个有限群的元的个数叫做这个群的阶．
在一个群里结合律是对的，所以 a1a2 an 有意义，是 G 的某一个元．这样，我们当然可以把 n 个相同的元来相乘．因为我们用普通乘法的符号 a n 来表示群的乘法，这样得来的一个元我们也用 普通符号来表示：
n次
n 是正整数 并且也把它叫做 a 的 n 次乘方（简称 n 次方）
a n aa...a
在一般的群里交换律未必成立．但在特别的群 里交换律是可以成立的，比方说我们以上三个例 子里的群就都有这个性质． 定义2 一个群叫做交换群，假如 ab ba 对于 G 的任何两个元 a ， b 都成立．
作业: p35: 3
ea a 对于 G的任何元 a 都成立, 这样的 e 称为左单
Ⅳ ．对于G 的每一个元a ，在G 里存在一个元,记 为 a 1，能让 1
a ae 这样的 a 1称为 a 的左逆元.
伯克霍夫的《近世代数概论》-概述说明以及解释
伯克霍夫的《近世代数概论》-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分是文章的开头，用于引入伯克霍夫的《近世代数概论》一书的背景和主题。
这部分内容可以包括以下方面的描述：伯克霍夫的《近世代数概论》是一本经典的数学著作，该书是近现代代数学的里程碑之一。
它首次详细系统地介绍了近世代数的基本概念、原理和理论。
该书的出版填补了当时代数学发展中的空白，为后来代数学的研究和应用奠定了基础。
近世代数是数学中重要的分支领域，它主要研究代数结构、群论、环论、域论等概念和性质。
迄今为止，这些代数思想和理论在科学研究和工程技术中都发挥着不可替代的作用。
在伯克霍夫的《近世代数概论》中，他以其独特的写作风格和逻辑思维，系统地阐述了近世代数的发展历程、基本概念和主要原理。
通过对代数学思想的深入剖析和清晰的逻辑推导，伯克霍夫帮助读者理解和掌握了这些抽象的数学概念，并将它们应用到实际问题中。
此外，《近世代数概论》也为后来代数学的研究提供了广阔的发展空间，其深远的影响力也体现在数学教育和学术交流中。
无论是对于数学学生还是专业研究人员，这本著作都是不可或缺的参考书。
正因为如此，《近世代数概论》一书在数学学术界享有极高的声誉和影响力。
综上所述，伯克霍夫的《近世代数概论》阐述了近世代数的基本理论和概念，填补了代数学发展中的空白，对于后来代数学的研究和应用起到了重要的推动作用。
它的出版不仅对于数学学术界具有深远的意义，也为广大数学爱好者提供了重要的学习资料。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下几个方面：1.2 文章结构《近世代数概论》是伯克霍夫在19世纪中叶撰写的一部重要著作，该书分为引言、正文和结论三个主要部分。
接下来，我将为您逐一介绍这些章节的内容和主要讨论点。
引言部分主要包括概述、文章结构和目的三个小节。
首先，在概述中，伯克霍夫对近世代数的背景和研究现状进行了简要介绍，引出了他撰写此书的动机和重要性。
其次，在文章结构部分，伯克霍夫详细列出了本书的章节和内容安排，让读者能够清晰地了解整个书籍的组织架构。
近世代数课件(全)--近世代数1-0 基本概念
6. 数字通信的可靠性问题 现代通信中用数字代表信息，用电子设 备进行发送、传递和接收，并用计算机加以 处理。由于信息量大，在通信过程中难免会 出现错误。为了减少错误，除了改进设备 外，还可以从信息的表示方法上想办法。用 数字表示信息的方法称为编码。编码学就是 一 门 研 究 高 效 编 码 方 法 的 学 科 。 下面用两个简单的例子来说明检错码与 纠错码的概念。
2012-9-19
8. 代数方程根式求解问题 我们知道，任何一个一元二次代数方程 可用根式表示它的两个解。对于一元三次和 四次代数方程，古人们经过长期的努力也巧 妙地做到了这一点。于是人们自然要问：是 否任何次代数方程的根均可用根式表示？许 多努力都失败了，但这些努力促使了近世代 数的产生，并最终解决了这个问题：五次以 上代数方程没有根式解。
2012-9-19
2 3
1 8
4 5
7 6
例1 用黑白两种颜色的珠子做成有5颗珠子的项链
利用枚举法，得到一共8种不同类型的项链。 随着n、m的增加，用枚举法解决越来越难， 采用群论方法解决是最简单、有效的方法。
2012-9-19
2.分子结构的计数问题 在化学中研究由某几种元素可合成多少种 不同物质的问题，由此可以指导人们在大自 然中寻找或人工合成这些物质。 例2 在一个苯环上结合H原子或CH3原子团， 问可能形成多少种不同的化合物？ 如果假定苯环上相邻C原子 之间的键是互相等价的，则 此问题就是两种颜色6颗珠 子的项链问题。
2012-9-19
两种颜色 （红、绿） n=2
6面红 5面红、1面绿 4面红、2面绿 3面红、3面绿 2面红、4面绿 1面红、5面绿 6面绿
1 1 2 2 2 1 1
利用枚举法，得到一共10种不同的着色法。 对于一般的情况，目前只能用群论方法解决。
中科大近世代数讲义
8 第八周 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9 期中考试 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
12 Zorn 引理及其应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
12.1 预备 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4 第四周 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5 第五周 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.3 E/Fp 是单扩张 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4 分圆域 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
10 第十周 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
《近世代数》PPT课件
例2 设 A 1 { 东} ， A 2 { 西 南 } ， B { 高} ，低
则 1 :A 1 A 2 B ; ( 西 , 南 ） 高 不是映射.
因为映射要满足每一个元 (a1,a2) 都要有一个像．
而 2 : A 1 A 2 B ; ( 西 , 南 ） 高 ； ( 东 , 南 ） 低 是一个映射． 7
A 1A 2 A n{a1 (,a2, an)ai A i}.
即由一切从 A1,A2, ,An 里顺序取出元素组成的元素 组 (a1,a2, an)，ai Ai 组成的集合．
例 A={1,2,3}， B={4,5}, 则
AB={(1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5)}，
A称为 的定义域，B称为 的值域.
注: (1) 映射定义中 “b”的唯一性：映射不能“一对多”，
但可以“多对一”．
(2) 记法： ：A B ;ab (a )，aA ．
(3) 一般情形，将A换成集合 A 1A 2.. .A n 的积，则
对 ( a 1 ,a 2 ,.a n .) .A ,1 A 2 . .A .n有 : A 1 A 2 . . . A n B ; ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) b ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) . 6
2. 元素（或元）: 组成一个集合的事物.
如果a是集合A中的元素，记作a A ； 如果a不是集合A的元 素，记作 a A 或a A .
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3．空集：没有元素的集合，记作 .
4．子集：设A,B是集合，则
B A (B是A的子集)是指 b B b A . 真子集：B是A的真子集是指 B A 且 aA，但aB .
近世代数课件-21环的概念
环的分类与性质
单纯环
单纯环是一种特殊的环，其 性质和结构相对简单，但在 抽象数学中具有重要的作用。
整环与域
整环和域是环的两个特殊类 型，具有一些独特的性质和 规则。
Euclid环
Euclid环是一类满足Euclid算 法和欧几里德定理的特殊环。
有限环
有限环是环中元素数量有限的环，它在代数和 计算中具有广泛应用。
环的同态与同构
1 同态的定义与性质
同态是环之间的一种特殊 映射关系，它保持环运算 之间的一致和性质。
2 同构的定义与性质
同构是一种保持环之间双 向映射属性的同态。同构 让我们能够研究环之间的 等价关系和相似性。
3 理想与同态
理想与同态之间存在一种 紧密的联系和相互依赖关 系，它在环论中发挥着重 要的作用。
环是一个集合和两个二元运算组成的代数结构。 其运算满足一定的性质和公理。我们将详细了 解环的各个方面及其形式化定义。
环的性质
环具有许多重要的性质，如封闭性、结合律和 分配律。这些性质使环成为一个强大而有用的 数学对象。
环的例子
整数环
整数环是最简单和最基本的环之 一。它由整数集合和常规的加法 和乘法运算构成。
在环中有特殊的元素，称 为零元素和单位元素。它 们在环中的作用和性质将 被详细讨论。
3 反元素与可逆元素
环中的某些元素具有反元 素或可逆性。了解这些元 素的性质和特征对于解决 环的问题非常重要。
环的子环
子环的定义
子环是一个环的子集，包含环中的元素，并且满足环的各个运算的封闭性和性质。
子环的性质
子环具有一些与原环相似的性质，但也有一些独有的性质和限制。
多项式环
多项式环在代数学和计算机科学 中具有广泛应用。它由多项式的 集合和多项式的加法和乘法运算 组成。
近世代数教学
.
11
Kummer方法的前提是形如a+bη的复整数也象 整数一样具有唯一的素因子分解，其中a与b是通 常整数。并不是对于每个整数n,复整数a+bη都具 有唯一分解性，Kummer把这种复整数的因子分解 称为理想数的分解。
用这种方法 Kummer证明了n≤100时费马大定 理成立,理想数的方法不但能用于费马问题研,实 际上是代数数论的重要研究内容，其后德国数学 家R.Dedekind(1831-1916)把理想数的概念推广为 一般的理想论，使它成为近世代数的一个重要的
.
5
（1） 代数方程的解
两千多年之前古希腊时代数学家就能够利用开 ax2+bx+c=0 方法解二次方程 。16世纪初欧洲 文艺复兴时期之后，求解高次方程成为欧洲代 数学研究的一个中心问题。1545年意大利数学 家 G.Cardano(1501-1576)在他的著作《大术》 （Ars Magna）中给出了三、四次多项式的求根 公式，此后的将近三个世纪中人们力图发现五 次方程的一般求解方法，但是都失败了。
近世代数初步高等教育出版社2002年出版近世代数吴品山人民教育出版社1979抽象代数基础刘云英北京师范大学出版社1990kummer理想数的发现代数方程的解两千多年之前古希腊时代数学家就能够利用开方法解二次方程axaxbxcbxc01616世纪初欧洲文艺世纪初欧洲文艺复兴时期之后求解高次方程成为欧洲代数学复兴时期之后求解高次方程成为欧洲代数学研究的一个中心问题
.
22
并运算 设A，B是两个集合. 由A的一切元素和B的一切
元素所成的集合叫做A与B的并集（简称并），记作 AB.
如图1所示.
A
AB B
(x AB ) (x A 或 x B ) (x AB ) (x A 且 x B )
近世代数(抽象代数)课件
· eabc e eabc aaecb bb c e a c cba e
11
CHENLI
§1 代数运算
定义 1.2 设“ ”是非空集合 A 上的一个代数 运算.
(1)若对于任意的 a, b, c A 总有 (ab)c a(bc) ,
则称“ ”适合结合律. (2)若对于任意的 a, b A 总有 ab ba ,
则称“ ”适合交换律.
12
CHENLI
§1 代数运算
(3)若对于任意的 a, b, c A ,由 ab ac 可以推得 b c ,则称“ ”适合左消去律;若对 于任意的 a, b, c A ,由 ba ca 可以推得 b c , 则称“ ”适合右消去律;若“ ”既适合左消去 律,又适合右消去律,则称“ ”适合消去律.
16
CHENLI
§1 代数运算
例如,对于我们刚才提到的集合 K4 上的那个乘 法“ ”,从乘法表立即可以看出“ ”适合交换律和消 去律.
设“ ”是非空集合 A 上的乘法.根据定义,我 们每一次只能对 A 中的两个元素进行运算.要对 A 中 n ( n 3 )个元素 a1, a2 , , an 施行运算,必需添 加 n2 次括号,规定运算次序.一般说来,随着加 括号的方式不同,运算的结果有可能不同.
明:在不改变元素顺序的前提下,无论怎样在其中添
加括号其中添加括号,这 n 个元素的乘积总等于
n
ai ，
i 1
从而与加括号的
§1 代数运算
事实上,当 n 1或 n 2 时,无需加括号,我们的结论
自然成立.当 n 3时,由于“ ”适合结合律,我们的结论成
近世代数课堂讲义整理1
近 世 代 数 课 堂 讲 义 整 理 V 1.2
但是 A ∪ B 不一定。 【定义】由包含 A 的所有子半群的交集 Q 称作由 A 生成的子半群，记作 ( A) 。
∩ (A) =
P 即 ( A) 为所有包含 A 的子半群的交。
P⊇A P为S的子半群
理想：
设 (S, ) 为半群， A ⊆ S, A ≠ ∅ ，若 SA ⊆ A ，则 A 为 S 的左理想；若 AS ⊆ A ，则 A 为 S
4.循环群的子群 ①循环群的子群是循环群； ②子群的个数及生成元：
子群的阶能整除群的阶，所以子群的个数为 n 的因子数。 设 G 是循环群，| G |= n ，它的子群为 H ，| H |= (am ) ，则 m | n 。
③若 n 有因子 q ，则 G 必有 q 阶子群；（这个结论对有限交换群（有限阿贝尔群）成立，对
同态（映射）。
【定理】 设 (S, ) 为半群， (T ,∗) 为代数系，若存在满射 ϕ : S → T ，且 ∀x, y ∈ S ，有 ϕ(x y) = ϕ(x) ∗ϕ( y) ，则 (T ,∗) 为半群。 若 (S, ) 为幺半群，条件同上，可以推出 (T ,∗) 为幺半群。
第 3 页共 12 页
3.生成元
第 5 页共 12 页近源自世 代 数 课 堂 讲 义 整 理 V 1.2
⑤ G = (a) ，| G |=| a |= n ，G = (am ) ⇒ m 、n 互质，这个群的生成元有φ(n) 个，其中φ(n) 为欧拉函数，为小于或等于 n 且与 n 互素的正整数个数； ⑥ G = (a) ，| G |=| a |= ∞ ，生成元只有 a 、 a−1 。
ϕ =ϕ γ
其中 γ 为 M 到 M Eϕ 的自然同态； ④ 如果ϕ 是满同态，则 M Eϕ 与 M ' 同构。
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第21讲
§8 剩余类环、同态与理想 (Residue class ring 、homomorphism and ideal)
一． 剩余类环 在前一讲中已知,
N
是环R 的一个子环，商群N R 已有加法
，定义一个乘法，可以想到乘法定义为:
(*)
))(( N ab N a N a +=++
当N 是环R 的一个理想时，如此定义法则是否为N R 上的代 数运算？
命题3.8.1设I 是环R 的理想，在加法商群}|]{[R a I
R ∈=上
(在前一讲中,用记号I a a +=△
][)引入一个乘法为：
][][][ab b a =⋅
(或I ab I b I a +=++))(()
定义的合理性:设][]['
a a =且I
a a b
b ∈-⇔='
'
].[][且
I b b ∈-'
,I
b a a b a ab ∈-=-∴)('
'
,且
I
b b a b a b a ∈-=-)('
'''',()I R ][]['
''
'b a ab I b a ab =⇒∈-⇒
∴定义是合理的。
可以验证},,{⋅+I R 是一个环。
定义3.8.2.设R 为任意一个环.而I R ,那么},,{⋅+I R 称作R 关于理想I 的剩余类环(也叫商环),其中I R 中每个元素 叫作模I 的剩余类. 例1.设Z
R =为整数环,而使}|6{6Z n n Z I ∈∀==
那么、]}5[],4[],3[],2[],1[],0{[6==Z I
R ,就是我们已经熟悉的“模6
剩
余类环”—这是整数的剩余类环. 二.环同态及同态基本定理 定义3.8.3设21
:R R →ϕ是一个环同态,那么2R 中零元的
完全原象}0)(|{)0(11
=∈=-a R a ϕϕ
叫作ϕ
的核,通常记
ϕ
ϕ
Ker =-)0(1
.
定理3.8.4.设R R −→−ϕ
是一个环同态满射。
令ϕ
Ker I =，
那么(ⅰ)
I R
；(ⅱ)R
I
R ≅。
证明:(ⅰ)对加法而言,ϕ显然是一个加群满同态,由第二章知
I R
(即I 是R 的不变子群)。
.,R r I k ∈∀∈∀那么.00)()()()(I rk r k r rk ∈⇒===ϕϕϕϕ
同理I kr ∈.∴ I R 。
(ⅱ)由第二章知,存在R
I
R ≅Φ:.作为群同构,其中.][I R a ∈∀
),
(])([a a ϕ=Φ下面只需证明:I R b a ∈∀][],[,])([])([])][([b a b a ΦΦ=Φ但
][][)()()(][])][([b a b a ab ab b a ΦΦ===Φ=Φϕϕϕ.
∴ R I
R
→Φ:是环同构.即R I
R
≅Φ
.
定理3.8.5.设R 是一个环而I R ,那么必有环同态
I
R
R →:ϕ.使得ϕ是满同态且I
Ker =ϕ
.称这样的ϕ为
环的自然同态. 证明:令I
R R →:ϕ,其中][)(a a =ϕ,显然ϕ是个满射.
而且R b a ∈∀,.
)()(][][][)(b a b a b a b a ϕϕϕ+=+=+=+
)()(]][[][)(b a b a ab ab ϕϕϕ===
∴I
R
R ～。
I
Ker =ϕ
是显然的.
注意:上述定理1和定理2通称为环和同态基本定理.同时表明:环R 的任何商环I R 都是R 的同态象.而环R 的任何同态象实质上只能是R 的一个商环。
与群同态类似,我们可以和到一些与第二章中平行的结果. 定理3.8.6.设R
R →:ϕ
是环同态映射,那么
(ⅰ)若S 是R 的子环)(S ϕ⇒是R 的子环
(ⅱ)若I 是R 的理想且ϕ为满射)(I ϕ⇒是R 的理想 (ⅲ)若S 是R 的子环)(1
S -⇒ϕ是R 的子环 (ⅳ)若S 是R 的理想)(1
S -⇒ϕ是R
的理想
证明: (ⅰ)S
b a S b a ∈∃⇒
∈∀,)(,ϕ使).(),(b b a a ϕϕ==所以S b a ∈-,于
是()()()()()a b a b a b S S R φφφφφ-=-=-∈⇒<.(子群)
另外 ）
（
S ab S ab b a b a ∈∈== )()()()(ϕϕϕϕ ∴)(S ϕ是R
的子环.
(ⅱ)
I R
,∴I 是R 的子环)()
(I i ϕ⇒是R 的子环.须证明吸收
律成立. ϕ是满射
⇒
⎪⎪⎭⎪
⎪⎬⎫
∈∈⇒=∈∃⇒∈∀=∈⇒∈∀I ai I ia IR a a R a R a i i I i I i ,)(,)
()( ϕϕϕ使使
()()()()()()()()()ia i a ia I I R
ai a i ai I φφφφφφφφφ⎫==∈⎪
⇒⎬==∈⎪⎭
(ⅲ))(,1
s b a -∈∀ϕ
∴S
b a ∈)(),(ϕϕ, 而知
S
b a b a ∈-)()(),()(ϕϕϕϕ
∴
⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫∈⇒∈=∈-⇒∈-=---)
()()()()()()()(1
1
S ab S b a ab S b a S b a b a ϕϕϕϕϕϕϕϕ
)(1
s -ϕ
是R 的一个子环.
(ⅳ)R
r R r S a S a ∈∴∈∀∈⇒∈∀-)(.,)().(1
ϕϕϕ
S R ,∴S a r S r a ∈∈)()(,)()(ϕϕϕϕ.
于是
)
()()()()()()()()(1
1
1
S S ra S a r ra S ar S r a ar ---⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫∈⇒∈=∈⇒∈=ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
满足吸收律. 又由(ⅲ))(1
s -⇒ϕ
是R 的子环.于是1
()s R
φ
- .
注意2.从定理3.8.6.的证明中可知:除了(ⅱ)需要ϕ是满环同态外,其余情况都不需要ϕ是满射这个条件.。