2019-2020年高考数学一轮总复习课件：2.8 函数模型及其综合应用

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2025届高中数学一轮复习课件《函数模型及其应用》PPT

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题型函数模型解决实际问题的多维研讨维度 1 构建二次函数模型典例 3(2024·河北张家口模拟)新能源汽车环保、节能，以电代油，减少碳排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到 2025 年中国的汽车总销量将达到 3 500 万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．江苏某新能源公司某年初购入一批新能源汽车充电桩，每台 13 500 元，到第 x 年年末(x∈N*)每台设备的累计维修保养费用为(300x2＋3 200x)元，每台充电桩每年可给公司收益 8 000 元．( 19≈4.36) (1)每台充电桩第几年年末开始获利； (2)每台充电桩在第几年年末时，年平均利润最大．
2
所以
t＝log0.80.4＝llgg 00..48＝lg lg
45＝2llgg22－－llgg55＝2llgg22－－11－－llgg22＝23llgg 22－－11≈23××00..330011－－11＝ 5
－－00..309987≈4.103，最接近 4 h．故选 B.
解析
高考一轮总复习•数学
典例 2(2024·山东济南一中月考)随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成
熟．其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：L＝32.44＋20lg D＋20lg F，
其中 D 为传输距离，单位是 km，F 为载波频率，单位是 MHz，L 为传输损耗(亦称衰减)，
高考一轮总复习•数学
第28页
解：(1)设每台充电桩在第 x 年年末的利润为 f(x)元，则 f(x)＝8 000x－(300x2＋3 200x)－13 500＝－300x2＋4 800x－13 500，令 f(x)>0，解得 8－ 19<x<8＋ 19，此表达式，回答了“第几年年末开始获利”，语言表达→代数表达，估算求整数解．又 19≈4.36，∴3.64<x<12.36， ∵x∈N*，∴每台充电桩从第 4 年年末开始获利． (2)设 g(x)为每台充电桩在第 x 年年末的年平均利润，则 g(x)＝fxx＝－300x＋13 x500＋4 800.

高考数学一轮总复习课件：专题研究-函数模型及应用

思考题1 某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②(注：利润和投资单位：万元)．
(1)分别求A，B两种产品的利润与投资之间的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元投资资金，并将全部投入A，B两种产品的生产． ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？ ②怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
【解析】 (1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2% ＝100×(1＋1.2%)，
2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋ 1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2，
3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋ 1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3.
≈
13.1，
又x∈N*，所以至少通过14块这样的玻璃，光线强度能减弱
到原来的14以下．故选C.
(2)(2021·沧州七校联考)某工厂产生的废气经过过滤后排
放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中
的污染物数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的函
数关系为P＝P0e－kt(k，P0均为正的常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么至少还需过滤的时间是
专题研究二函数模型及应用
题型一分段函数模型
例2 共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总

【2019版课标版】高考数学文科精品课件§2.8函数模型及其应用.pdf

?1? ?2?
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A.{2,3}
B.{2,3,4}
C.{3,4}
D.{3,4,5}
答案 B 7.(2014 四川 ,15,5 分) 以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合 ,B 表示具有如下性质的函数 φ(x) 组成的集合 : 对于函数 φ(x), 数 φ (x) 的值域包含于区间 [-M,M]. 例如 , 当 φ1(x)=x 3 , φ 2(x)=sin x 时, φ 1(x) ∈A,φ 2(x) ∈ B. 现有如下命题 : ① 设函数 f(x) 的定义域为 D, 则“ f(x) ∈ A”的充要条件是 “ ? b∈R, ? a∈ D, f(a)=b ” ;
考点 1. 函数的实际应用问题
2. 函数的综合应用问题
§2.8 函数模型及其应用
考纲解读
内容解读了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征 , 体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义了解函数模型 ( 如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型 ) 的广泛应用 , 了解函数与方程、不等式之间的联系 , 并能解决一些具体的实际问题
A. √30
5
B. √30
10
C. 4√3
9
D. 5√3
9
答案 D
6.(2013 安徽 ,8,5 分 ) 函数 y=f(x) 的图象如图所示 , 在区间 [a,b] 上可找到 n(n ≥2) 个不同的数 x 1,x 2, … ,x n , 使得 ??(?1?) =??(?2?)=…=??(????), 则 n 的取值范围为
?≤?>0,0.若
|f(x)|
≥ ax, 则 a 的取值范围是 (

2023版高考数学一轮总复习：函数模型及其应用课件文

10千米的部分每千米收费3.5元,不足1千米按1千米计算.以下说法正确的是 ( C )
A.方案二比方案一更优惠
B.乘客甲打车行驶4千米,他应该选择方案二
C.乘客乙打车行驶12千米,他应该选择方案二
D.乘客丙打车行驶16千米,他应该选择方案二
考向3
解析
构造函数模型求解实际问题
设乘客打车行驶x千米,f(x)为按照方案一收费的费用,g(x)为按照方案二收费
判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).
(1)某种商品进价为每件100元,按进价增加10%后出售,后因库存积压降价,若按九折出
售,则每件还能获利.( ✕ )
(2)幂函数增长比一次函数增长更快.( ✕ )
(3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题( √ )
(4)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xa(a>0)的增
刻甲、乙两企业的污水排放量相同,故在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污
水治理能力比乙企业强,故①正确;甲企业污水排放量与时间的关系图象
在t2时刻切线的斜率的绝对值大于乙企业,故②正确;在t3时刻,甲、乙两
企业的污水排放量都低于污水达标排放量,故都已达标,③正确;甲企业
在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[t1,t2]的污水治理能力最强,
A.1.5
B.1.2
C.0.8
10
10≈1.259)( C )
D.0.6
1
−
解析由已知,知4.9=5+lg V⇒lg V=-0.1⇒V=10 10 =
所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.故选C.

2019届高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第九节函数模型及其应用课件理

1 解析：设利润为L(x)，则利润L(x)＝20x－C(x)＝－ (x－18)2 2 ＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．
答案：B
4．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是 A．减少7.84% C．减少9.5% B．增加7.84% D．不增不减 ( )
单调____ 递增越来越快
y＝logax(a>1)
递增单调____
y＝xn(n>0)
单调递增相对平稳
上的增减性
增长速度
越来越慢
随 x 的增大，随 x 的增大，逐图象的变化逐渐表现为与渐表现为与
随n值变化而
各有不同
y轴平行 ____
值的比较
____ x轴平行
存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax
200－x 解析：设围成的矩形场地的长为x m，则宽为 m， 4 200－x 1 则S＝x· ＝ (－x2＋200x)． 4 4 当x＝100时，Smax＝2 500 (m2)．
答案：2 500
课堂考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
考点一
一次、二次函数模型及分段函数模型的应用
[考什么·怎么考]
3.解函数应用问题的4步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型； (3)解模：求解函数模型，得出数学结论； (4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题．以上过程用框图表示如下：
[学审题] x ①空闲率是指“1－m ”； ②利用(1)的函数关系求羊群年增长量的最大值； ③构造一个关于k的含参数m的不等式，解不等式后即可求出k的取值范围．

2020版高考数学一轮总复习课件：2.8 函数模型及其综合应用

.
(1)令t(x)= 2x ,x∈[0,24],求t(x)的最值;
x2 4
(2)若用每天的f(x)的最大值作为当天的综合污染指数,市政府规定:每天
的综合污染指数不得超过2.试问目前市中心的综合污染指数是否超标?
解题导引
解析 (1)由t(x)= x22x 4 ,x∈[0,24],
得t'(x)=
方法技巧
方法函数应用题的解法
1.直线模型:即一次函数模型,其增长特点是直线上升(x的系数k>0),通过图象可以很直观地认识它. 2.指数函数模型:能用指数型函数表达的函数模型,其增长的特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(a>1),常形象地称之为“指数爆炸”. 3.对数函数模型:能用对数型函数表达的函数模型,其增长的特点是开始阶段增长得较快(a>1),但随着x的逐渐增大,其函数值变化越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”.
4.幂函数模型:能用幂函数型函数表达的函数模型,其增长情况由xn中n 的取值而定,常见的有二次函数模型.
5.“对勾”函数模型:形如f(x)=x+ a (a>0,x>0)的函数模型在现实生活中
x
也有着广泛的应用,常利用“基本不等式”解决,有时利用函数的单调性求解最值. 6.解函数应用题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题.
2 at at 3
4
3, 4 ,a
0 t
t a, 1,

2019版理科数学一轮复习高考帮课件：第2章第8讲函数模型及其应用(2019高考帮·数理)

命题规律
核心考点
考题取样 2015四川,T13
考查内容（对应考法）指数函数模型的应用 (考法2) 二次函数模型的应用 (考法1)
函数模型及其应用 2014北京,T8
命题分析预测 1.分析预测该讲在近几年全国卷中未考查,但其作为高
考考查的内容之一,常以社会实际生活为背景,以解决最优问题的形式出现,如现实中的生产经营、企业盈利与亏损等热点问题中的增长、减少问题,主要考查二次函数、指数函数、对数函数模型的应用. 2.学科素养该讲主要考查考生的数学建模能力、数学
理科数学第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
示例2
[2016四川,5,5分][理]某公司为激励创新,计划逐
年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元.在此基础上,每年投入的研发资金比上一年
增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万
元的年份是
(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)
运算能力以及分析问题和解决问题的能力.
理科数学第二章：函数概念与基本点1 常见的函数模型考点2 函数模型的应用
考点1 常见的函数模型（重点） 1.几种常见的函数模型
一次函数模型 f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0) f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1)
时间 t内台风所经过的路程 s(单位:km). (1)当 t=4时,求s的值;
(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来; (3)若N城位于M地正南方向,且距M地 650 km,试判断这场台风是否会侵袭到N 城,如果会,在台风发生后多长时间它将

2020届高三一轮复习理科数学课件函数模型及其应用

存在一个 x0，当 x＞x0 时，有 logax＜xn＜ax
【必记结论】 a 形如 f(x)＝x＋x(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型： (1)该函数在(－∞，－ a]和[ a，＋∞)上单调递增，在[－ a，0)和(0， a]上单调递减． (2)当 x＞0，即 x＝ a时取最小值 2 a，当 x＜0，即 x＝－ a时取最大值－2 a.
解析由已知得 L(Q)＝K(Q)－10Q－2 1 ＝－ (Q－300)2＋2 500， 20
1 2 000＝40Q－20Q －10Q－2
000
∴当 Q＝300 时，L(Q)max＝2 500(万元)．
6．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长 x 为 20 20 m.
解析由两者的图象易知．
(3)“指数爆炸”是指数型函数 y＝a· bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( ×)
解析增长越来越快的指数型函数是 y＝a· bx＋c(a＞0，b＞1)．
(4)幂函数的增长速度比直线更快．(× )
解析幂函数 y＝xn(0＜n＜1，x＞1)的增长速度比直线 y＝x(x＞1)的增长速度慢． (5)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．(√)
解析
由已知得 100＝ alog3(2＋ 1)，得 a＝ 100，则当 x＝ 8 时， y＝
100log3(8＋1)＝200(只)．故选 A.
5．某工厂生产某种产品，固定成本为 2 000 万元，并且每生产一单位产品，成本增加 10 万元．又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数， K(Q)＝40Q 1 2 500 － Q ，则总利润 L(Q)的最大值是 22 500 万元． 20

2020年高考理科数学一轮总复习：函数模型及其应用

2020年高考理科数学一轮总复习：函数模型及其应用第9讲函数模型及其应用1．几种常见的函数模型导师提醒1．掌握求解函数应用题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)解模：求解数学模型，得出数学结论． (4)还原：将数学结论还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：2．关注解决函数应用问题应注意的3个易误点(1)解应用题的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”)，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错．(2)解应用题建模后一定要注意定义域．(3)解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)幂函数增长比直线增长更快．()(2)不存在x0，使ax0<x n0<log a x0.()(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>1)的增长速度．()(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是()A.C．指数函数模型D．对数函数模型解析：选A.根据已知数据可知，自变量每增加1，函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点答案：D(教材习题改编)某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x 为8万元时，奖励1万元．销售额x 为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y ＝a log 4x ＋b .某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a log 48＋b ＝1a log 464＋b ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4.解得a ＝2，b ＝－2.所以y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，即2log 4x －2＝8，解得x ＝1 024(万元)．答案：1 024有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成矩形场地的最大面积为________m 2.(围墙厚度不计)解析：设矩形的长为x m ，宽为200－x4m ，则S ＝x ·200－x 4＝14(－x 2＋200x )．当x ＝100时，S max ＝2 500 (m 2)．答案：2 500用函数图象刻画变化过程(自主练透)1.高为H ，满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h 时水的体积为v ，则函数v ＝f (h )的大致图象是( )解析：选B.v ＝f (h )是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.2．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析：选D.对于A选项：由题图可知，当乙车速度大于40 km/h时，乙车每消耗1升汽油，行驶里程都超过5 km，则A错；对于B选项：由题意可知，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三辆车中甲车耗油最少，则B错；对于C选项：甲车以80千米/小时的速度行驶时，燃油效率为10 km/L，则行驶1小时，消耗了汽油80×1÷10＝8(升)，则C错；对于选项D：速度在80 km/h以下时，丙车比乙车燃油率更高，所以更省油，故D对．3．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()解析：选B.由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凸的，故选B.判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．应用所给函数模型解决实际问题(师生共研)(1)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元．(2)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．【解析】 (1)由已知得L (Q )＝K (Q )－10Q －2 000 ＝⎝⎛⎭⎫40Q －120Q 2－10Q －2 000＝－120(Q －300)2＋2 500，所以当Q ＝300时，L (Q )max ＝2 500(万元)． (2)依题意有a ·e－b ×8＝12a ，所以b ＝ln 28，所以y ＝a ·e －ln 28t.若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则有a ·e －ln 28t ＝18a ，解得t ＝24，所以再经过的时间为24－8＝16 (min)．【答案】 (1)2 500 (2)16求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．1．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟解析：选B.由题中图象可知点(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)在函数图象上，因此有⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝a ×32＋b ×3＋c ，0.8＝a ×42＋b ×4＋c ，0.5＝a ×52＋b ×5＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.故p ＝－0.2t 2＋1.5t －2，其对称轴方程为t ＝－1.52×（－0.2）＝154＝3.75.所以当t ＝3.75时，p 取得最大值．2．某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系式f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C ，0＜x ≤A ，C ＋B （x －A ），x ＞A .已知某家庭2016年前三个月的煤气费如表：若四月份该家庭使用了A ．11.5元 B ．11元 C ．10.5元D ．10元解析：选A.根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0＜x ≤5，4＋12（x －5），x ＞5，所以f (20)＝4＋12(20－5)＝11.5.构建函数模型解决实际问题(多维探究) 角度一构建二次函数模型某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R %(即每销售100元征税R 元)，若年销售量为(30－52R )万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( )A ．[4，8]B ．[6，10]C ．[4%，8%]D ．[6%，10%]【解析】根据题意，要使附加税不少于128万元，需⎝⎛⎭⎫30－52R ×160×R %≥128，整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R ≤8，即R ∈[4，8]．【答案】 A角度二构建指数函数、对数函数模型(1)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年D ．2021年(2)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时【解析】 (1)根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2016年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中，首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12n －1.由130×1.12n －1>200，两边同时取对数，得n －1>lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，则n >4.8，即a 5开始超过200，所以2020年投入的研发资金开始超过200万元，故选C.(2)由已知得192＝e b ，① 48＝e 22k ＋b ＝e 22k ·e b ，②将①代入②得e 22k ＝14，则e 11k ＝12，当x ＝33时，y ＝e 33k ＋b＝e 33k·e b＝⎝⎛⎭⎫123×192＝24，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．故选C.【答案】 (1)C (2)C角度三构建函数y ＝ax ＋bx(a ＞0，b ＞0)模型某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．【解】设该场x (x ∈N *)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y 元．因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x 天饲料的保管费与其他费用共是6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝(3x 2－3x )(元)．从而有y ＝1x (3x 2－3x ＋300)＋200×1.8＝300x ＋3x ＋357≥417，当且仅当300x ＝3x ，即x＝10时，y 有最小值．故该场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．角度四构建分段函数模型某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？【解】 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115＞0，解得x ＞2.3，因为x 为整数，所以3≤x ≤6，x ∈Z .当x ＞6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115.令－3x 2＋68x －115＞0，有3x 2－68x ＋115＜0，结合x 为整数得6＜x ≤20，x ∈Z .所以y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115（3≤x ≤6，x ∈Z ），－3x 2＋68x －115（6＜x ≤20，x ∈Z ）. (2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )，显然当x ＝6时，y max ＝185；对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎫x －3432＋8113(6＜x ≤20，x ∈Z )，当x ＝11时，y max ＝270.因为270＞185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本p (x )＝⎝⎛⎭⎫1600x 2＋x ＋150万元．(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量q (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧815m （60－m ），1≤m ≤30，480，m ＞30(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？解：(1)由总成本p (x )＝⎝⎛⎭⎫1600x 2＋x ＋150万元，可得每台机器人的平均成本y ＝p （x ）x ＝1600x 2＋x ＋150x ＝1600x ＋150x＋1≥21600x ·150x ＋1＝2.当且仅当1600x ＝150x，即x ＝300时，上式等号成立．所以若使每台机器人的平均成本最低，应买300台．(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧815m （60－m ），1≤m ≤30，480，m ＞30，当1≤m ≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m (60－m )＝－160m 2＋9 600m ，所以当m ＝30时，日平均分拣量有最大值144 000件．当m ＞30时，日平均分拣量为480×300＝144 000(件)．所以300台机器人的日平均分拣量的最大值为144 000件．若传统人工分拣144 000件．则需要人数为144 0001 200＝120(人)．所以日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少120－30120×100%＝75%.函数建模在实际问题中的应用某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y (百万元)与年投资成本x (百万元)变化的一组数据：给出以下3个函数模型：①y ＝kx ＋b (k ≠0)；②y ＝ab x (a ≠0，b ＞0，且b ≠1)；③y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)．(1)选择一个恰当的函数模型来描述x ，y 之间的关系；(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型．【解】 (1)将(3，1)，(5，2)代入y ＝kx ＋b (k ≠0)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝3k ＋b ，2＝5k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝12，b ＝－12，所以y ＝12x －12. 当x ＝9时，y ＝4，不符合题意；将(3，1)，(5，2)代入y ＝ab x (a ≠0，b ＞0，且b ≠1)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝ab 3，2＝ab 5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝24，b ＝2，所以y ＝24·(2)x ＝2x －32. 当x ＝9时，y ＝29－32＝8，不符合题意；将(3，1)，(5，2)代入y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝log a （3＋b ），2＝log a （5＋b ），解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，所以y ＝log 2(x －1)．当x ＝9时，y ＝log 28＝3；当x ＝17时，y ＝log 216＝4.故可用③来描述x ，y 之间的关系． (2)令log 2(x －1)>6，则x >65.因为年利润665＜10%，所以该企业要考虑转型．解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答．――→读题（文字语言） ――→建模（数学语言） ――→求解（数学应用）反馈（检验作答）某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f (x )＝p ·q x ；②f (x )＝px 2＋qx ＋1；③f (x )＝x (x －q )2＋p (以上三式中p ，q 均为常数，且q ＞1)．(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)? (2)若f (0)＝4，f (2)＝6.①求出所选函数f (x )的解析式(注：函数定义域是[0，5]，其中x ＝0表示8月1日，x ＝1。

2020年高考数学一轮复习(新课改)函数模型及其应用

第八节函数模型及其应用突破点一基本初等函数模型抓牢双基咱学回扣［基本知识］1.2.1 •某物体一天内的温度T是时间t的函数T(t)= f— 3t+ 60,时间单位是h，温度单位为C, t= 0时表示中午12: 00,则上午8: 00时的温度为 ______________ C .答案：82. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v = 2 000 •n 1 +豊.当燃料质量是火箭质量的________ 倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒.解析：当v= 12 000 时，2 000 ln 1+ = 12 000,•••In 1 + M= 6,「. M= e6—1.V mJ m答案：e6—1每瓶4元，每月可销售 400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为________ 元/瓶.解析：设销售价每瓶定为 x 元，利润为y 元，则y =(x — 3) -400 +冷才乂 40 = 80(x — 3)(9 —x) =— 80(x — 6)2+ 720(x > 3)，所以 x = 6 时，y 取得最大值.答案：64. (2019枣阳高级中学期中)拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费伸位：元)由f(m)=1.06(0.5[m] + 1)给出，其中 m>0 , [m]是不超过 m 的最大整数(如[3] = 3, [3.7] = 3, [3.1] =3)，则甲、乙两地通话 6.5分钟的电话费为 _______________________ 元.解析：•/ m = 6.5,「.[m] = 6，贝U f(m)= 1.06X (0.5X 6+ 1) = 4.24. 答案：4.24研透高考•深化提能[全析考法]考法一二次函数模型 •x1⑵设矩形 BNPM 的面积为 S ,贝U S(x)= xy = x ( 10— ? ) = — ?(x — 10)2+ 50,所以S(x)是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线 x = 10,所以当x € [4,8]时，S(x)单调递增，所以当x = 8时，矩形BNPM 的面积取得最大值，最大值为 48平方米.[方法技巧]在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解.解决函数应用问题时，最后[例1] (2019商丘二中检测)如图，已知边长为 8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE = 4米，CD = 6米.为了合理利用这块钢板，在五边形 ABCDE 内截取一个矩形 BNPM ，使点P 在边DE 上.(1) 设MP = x 米，PN = y 米，将y 表示成x 的函数，并求该函数的解析式及定义域；(2) 求矩形BNPM 面积的最大值.[解] ⑴如图，作PQ 丄AF 于Q ,所以PQ = 8 — y , EQ = x — 4,在厶EDF 中,EQPQ FF ，所以 x — 4 8— y 4 2,1所以 y = — ?x + 10,定义域为{x|4w x <8}.还要还原到实际问题.考法二指数函数、对数函数模型•［例2］(1)(2019贵阳摸底)20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大•这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M = lg A- lg A o,其中A是被测地震的最大震幅，A o是“标准地震”的振幅，若“标准地震”的振幅为0.001，测震仪测得某地地震的震级为4级，则该地震的最大振幅为()A• 6 B. 8C. 10D. 12(2)(2019唐山模拟)某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需 2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用 _________ 年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元.［解析］⑴由题意知，lg A—lg 0.001 = 4，所以lg A = 1,即卩A= 10.故选C.x ⑵设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1 —0.9)+2.4x=14.4.化简得x —6X 0.9x= 0.令f(x)= x—6X 0.9x,易得f(x)为单调递增函数，又f(3) =—1.374<0 , f(4) = 0.063 4>0,所以函数f(x)在(3,4)上有一个零点.故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元.［答案］(1)C (2)4［方法技巧］两种函数模型的应用技巧(1) 与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型.(2) 在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数.［集训冲关］1. ［考法一］某商场销售A型商品.已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：A. 4B. 5.5C.请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为()C. 8.5D. 10解析：选C 设定价为x元/件时，日均销售利润为y元，则y= (x —3) ［400 - (x —4) 40］=—40 x —17 2+ 1 210 ,故当x =号=8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选 C.2. ［考法二］某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据:lg 1.12~ 0.05, lg 1.3~ 0.11, lg 2~ 0.30)A. 2018年B. 2019年C. 2020年D. 2021 年解析：选C 设第n(n € N6)年该公司全年投入的研发资金开始超过根据题意得130(1 + 12%)n—1> 200,则lg[130(1 + 12%) n —1] > lg 200,••• lg 130+ (n —1)lg 1.12> lg 2+ 2,••• 2+ lg 1.3 + (n—1)lg 1.12 > lg 2+ 2,• 0.11 + (n —1)x 0.05>0.30，解得n>严,5又T n € N*, • n> 5,6 ••该公司全年投入的研发资金开始超过2016年全年投12%，则该公司全200万元.C . 8.5D . 10200万元的年份是 2020年.故选 C.突破点二两类特殊函数的模型［全析考法］考法一 y =x + a (a>0)型函数模型•［例1］ (2019盐城中学期末)某校为丰富师生课余活动，计划在一块直 '角三角形ABC 的空地上修建一个占地面积为S(平方米)的AMPN 矩形健身场地.如图，点M 在AC 上，点N 在AB 上，且P 点在斜边 BC 上.已知 / N —-VACB = 60° |AC|= 30米，|AM|= x 米，x € ［10,20］.设矩形 AMPN 健身场地每平方米的造价为3；元，再把矩形 AMPN 以外(阴影部分)铺上草坪，每平(1)试用x 表示S ,并求S 的取值范围；⑵求总造价T 关于面积S 的函数T = f(S);(3)如何选取|AM|,使总造价T 最低(不要求求出最低造价)?［解］(1)在 Rt △ PMC 中，显然 |MC| = 30 — x ，/ PCM = 60°方米的造价为 12kS元(k 为正常数).|PM|= |MC|tan/PCM = 3(30 —x),•••矩形AMPN 的面积S= |PM| |AM|= 3x(30 —x), x €[10,20],丄(x+ 30 —x \由x(30 —x)w 2 = 225,可知当x= 15时，S取得最大值为225 3,当x = 10或20时，S取得最小值为200 3,• 200 3< S W 225 3.⑵矩形AMPN健身场地造价T i= 37k S,又•••△ ABC的面积为450.3,•••草坪造价T2= 詈(450 3二•总造价T=「+ T2= 25k g S +200 3< S W 225 3.⑶...弋+詈》12 , 6 3, 当且仅当.S = 21詈，即S= 216.3时等号成立,此时3x(30 —x) = 216 3，解得x= 12 或x = 18.所以选取|AM|为12米或18米时总造价T最低.［方法技巧］y= x+ ：(a>0) ”型函数模型的求解策略⑴“y= x+ a”型函数模型在实际问题中会经常出现•解决此类问题，关键是利用已知条件，建立函数模型，然后化简整理函数解析式，必要时通过配凑得到“y= x+a型函数模型.(2)求函数解析式要确定函数的定义域•对于y= x+ a(a>0, x>0)类型的函数最值问题，要特别注意定义域和基本不等式中等号成立的条件，如果在定义域内满足等号成立，可考虑用基本不等式求最值，否则要考虑函数的单调性，此时可借用导数来研究函数的单调性.考法二分段函数模型•［例2］(2019德州期中)某地自来水苯超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质•已知每投放质量为m的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放低于5（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中的浓度不低于 5（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化. （1）如果投放的药剂的质量为m = 5,试问自来水达到有效净化总共可持续几天？（2）如果投放的药剂质量为 m ,为了使在9天（从投放药剂算起包括 9天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的最小值. 2-+ 10, Ovx w 5,-5［解］（1）当 m = 5 时，y =< 5x + 95--------- ,x>5. 2x - 2 2x当Ovx < 5时，—+ 10> 5,显然符合题意;55x + 95当x>5时，由怎二厂5解得5vxw 21.所以自来水达到有效净化总共可持续21天.2 mx ,"25 + 2m , Ovx w 5,(2)y = mf(x) =m x +佃 — ,x>5. 2x - 22 mx当Ovx w 5时，y = -- + 2m 在区间（0,5］上单调递增，25 所以 2mvy W 3m ； —40m当 x >5 时，y =ix ——T v0，所以函数y =需］；9在（5,9］上单调递减，所以yv3m.综上可知加三y w 3m.4 4 为使5W y w 10恒成立，只要弩5,i3m w 10,解得 2°< m w ¥，的浓度y （毫克/升）满足y = mf （x ），其中f （x ）= 225+ 2x + 192x - 2 Ovx W5, x>5.当药剂在水中的浓度不所以应该投放的药剂质量m的最小值为2°.［方法技巧］解：设该服装厂所获效益为 f(x)元，贝U f(x) = 100xq(x) 126 OOOx , 0<x w 20,x + 1 当 0vx < 20 时,100x 90 — 3 5 x , 20vx w 180.f(x) = 储=126 000 -磐'f (x ) 在区间(0,20］上单调递增，所以当 x = 20时，f(x)有最大值 120 000.当 20<x < 180 时，f(x)= 9 000x — 300 (x)= 0 ,••• x = 80.当 20<x<80 时,分段函数模型的求解策略(1) 实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解.(2) 构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏.(3) 分段函数的最值是各段最大值 (或最小值)中的最大者(或最小者).［集训冲关］1. ［考法一］某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形 ABCD ,腰与底边夹角为60°如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为 9 3平方米，且高度不低于 3米•记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段 BC 与两腰长的和)为y 米.要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 的取值范围为( )A • [2,4]B . [3,4]C • [2,5]D • [3,5]解析：选B 根据题意知，9 3= 2(AD + BC)h ，其中AD = BC + 2X 号=BC + x , h = J x ,所以9 3 = $2BC + xf23x ,由y =虫+乎W 10.5,解得3< X W 4.因为［3,4］ ? ［2,6),所以腰长x 的取值范围为［3,4］ •故选 2B.2. ［考法二】已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量 q(x)(单位：百件)关于每1 260 ,0<x w 20, q(x)= x + 1 _〔90-W^x , 20vx w 180, 为多少元时，该服装厂所获效益最大？并求出最大值.得BC =乎-x ，由 h = _23x > 3,BC =牛?0，得 2< x<6.所以 y = BC + 2x =乎 + 号(2 < x<6),的利润x(单位：元)的函数解析式为当每件衣服的利润B C有极大值，也是最大值240 000.故当每件衣服的利润为80 元时，该服装厂所获效益最大为240 000 元．3. 某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为。

2020高考数学总复习函数模型及其应用PPT课件

所以当 x＝100 时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值 10 000
3. 综上，当 x＝100 时，f(x)在区间[0,200]上取得最大
值10 3000≈3 333，即当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最
大，最大值约为 3 333 辆/时．
答案：(1)B
一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略 (1)直接考查一次函数、二次函数模型．解决此类问题应注意三点：①二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错； ②确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法； ③解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．
1．甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产
条件要求 1≤x≤10) ，每一小时可获得的利润是
100
5x＋1－3 x
元．
(1) 求证：生产 a 千克该产品所获得的利润为
100a·5＋1x－x32 元； (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲
明：当 20≤x≤200 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数． ①当 0≤x≤200 时，求函数 v(x)的表达式；
②当车流密度 x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上
某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，
并求出最大值．(精确到 1 辆/时)
[自主解答] (1)由实验数据和函数模型知，二次函数 p＝
答案：9
5．某种商品进价为每件 100 元，按进价增加 25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利________元．