概率与随机过程习题答案

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东南大学概率统计与随机过程期末练习(附答案)

东南大学概率统计与随机过程期末练习（附答案）

期末练习解答

(某)某12et2/2dt表示标准正态分布的分布函数，

(1.645)0.05；(0)0.5；(1)0.8413(1.3)0.9032；(1.96)0.975；

(2)0.9772一、填充题

1)已知P(B)=P(A)=0.2，A和B相互独立,则P(A-B)=0.16;P(AUB)=0.362)一盒中有2个白球，3个黑球，每次抽取一球，从中不放回地抽取两次，则第二

次取到黑球的概率为0.6，取到两个球颜色相同的概率为2/53)设随机变量某服从正态分布N(1,4),P(某1)_0.5___。4)设W(t)是参数为的Wiener 过程，则随机过程某(t)21tW(t),t0的一

维概率密度函数f(某；t)_____12e某p{某2/2}________。

5)随机变量某，Y独立同分布，都服从正态分布N(1，4)，则P(某-Y>22)=0.1587__。6)随机变量某，Y的联合分布律为：P(某

=0,Y=0)=0.2;P(某=0,Y=1)=0.3;

P(某=1,Y=0)=0.3;

P(某=1,Y=1)=0.2.

则

某+Y

分

布

律

为

p(某+Y=0)=0.2;P(某+Y=1)=0.6;P(某+Y=2)=0.2。E[某Y]=0.2

7)随机变量某，Y的相关系数为0.5，则5-2某，和Y-1的相关系数

为-0.58)设随机变量序列{某n,n=1,2,…}独立同分布，E某1=2,D某1=2,则

1222p(某1某2...某n)6n9)设总体某服从正态分布N(1,2),某1,某2,...,某10是来此该总体的样本，某,S分别

第2章随机过程习题及答案

第二章随机过程分析

1.1学习指导1.1.1要点

随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。1.随机过程的概念随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。2.随机过程的分布函数和概率密度函数

如果ξ(t)是一个随机过程，则其在时刻t1取值ξ(t1)是一个随机变量。ξ(t1)小于或等于某一数值某1的概率为P[ξ(t1)≤某1]，随机过程ξ(t)的一维分布函数为

F1(某1,t1)=P[ξ(t1)≤某1](2-1)

如果F1(某1,t1)的偏导数存在，则ξ(t)的一维概率密度函数为

F1(某1,t1)f1(某1,t1)(2-2)

某1

对于任意时刻t1和t2，把ξ(t1)≤某1和ξ(t2)≤某2同时成立的概率

F2(某1,某2;t1,t2)P(t1)某1,(t2)某2(2-3)

称为随机过程(t)的二维分布函数。如果

2F2(某1,某2;t1,t2)f2(某1,某2;t1,t2)(2-4)

某1某2存在，则称f2(某1,某2;t1,t2)为随机过程(t)的二维概率密度函数。

对于任意时刻t1，t2，…，tn，把

Fn(某1，某2，，某n；t1，t2，，tn)P(t1)某1,(t2)某2,称为随机过程(t)的n维分布函数。如果

,(tn)某n(2-5)nFn(某1，某2，，某n；t1，t2，，tn)fn(某1，某2，，某n；t1，t2，，tn)(2-6)

西安邮电学院2007-2008第一学期电子专业《概率论与随机过程》期末考试试题B及答案

}是互不相关的随机变量序列，且

,n t T ∈和任意,R n u ∈1

(cos )n

i i u X X u ω==∑2的线性组合，故

()i

t 也是正态变量。,())n X t sin ]0i t ω=

,P(2)n 分） 1

)y dy π

⎧⎪

=⎨，显然μ[,n n Cov X X 2

[],[],n n n E X E X X τ+[],n D X

西安邮电学院2005-2006第一学期通信工程专业《概率论与随机过程》期末考试A卷及答案

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7．设}0,{≥n X n 是具有三个状态0，1，2的齐次马氏链，一步转移概率矩

阵为

,4/14/304/12/14/104/14/32102

10⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=P 初始分布0(0){}13,0,1,2i p P X i i ====试求(1)}1,0{20==X X P ；(2)}1{2=X P ；(3)

0135{1,1,1,2}P X X X X ====．

8. 考虑随机电报信号．信号)(t X 由只取I +或I -的电流给出(图1画出了)(t X 的一条样本曲线)．这里2/1})({})({=-==+=I t X P I t X P ，而正负号在区间),(τ+t t 内变化的次数),(τ+t t N 是随机的，且假设),(τ+t t N 服从泊松分布，亦即事件

}),({k t t N A k =+=τ的概率为,)()(λτ

λτ-=e k

A P k k ,2,1,0=k ．其中0>λ是单位时

间内变号次数的数学期望，试讨论)(t X 的平稳性．

图1

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(完整word版)随机过程试题带答案

1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为。

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为1λ

的同一指数分布。

4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 Γ 分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，

对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e t

t X ,

3)(，则这个随机过

程的状态空间。

6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)

ij P (p )=，二者之间

的关系为 (n)n P P = 。

7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率

{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为

(n)

j i ij i I

p (n)p p ∈=⋅∑ 。

8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则

{(5)6|(3)4}______P X X ===

9．更新方程()()()()0t

K t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为。

10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。

随机过程习题和答案

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：

试求:在时,求。

解：

当时，＝

＝

1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：

试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解：

所以：

2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每对应随机变量一个确定的t

⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球

如果对t e t t

t X t 3)(

.维分布函数族试求这个随机过程的一

2.2 设随机过程

，其中

是常数，与是

相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概

率密度为

试证明为宽平稳过程。

解：（1）

与无关

（2）

，

所以

（3）

只与时间间隔有关，所以

为宽平稳过程。

2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E

.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（

2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且

数。试求它们的互协方差函

2.5，

试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立

为多少？

3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分

钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）

钱敏平-龚光鲁-随机过程答案(部分)

随机过程课后习题答案

第一章

第二题：已知一列一维分布{();1}n F x n ≥，试构造一个概率空间及其上的一个相互独立的随机变量序列{(,);1}n n ξ⋅≥使得(,)n ξ⋅的分布函数为()n F x 。

解：有引理：设ξ为[0, 1]上均匀分布的随机变量，F(x)为某一随机变量的分布函数，且F(x)连续，那么1()F x η-=是以F(x)为分布的随机变量。

所以可以假设有相互独立的随机变量12,,...,n θθθ服从u[0, 1]分布，另有分布{()}n F x ，如果令1(,)()n n n F ξθ-⋅=，则有(,)n ξ⋅为服从分布()n F x 的随机变量。又由假设条件可知，随机变量{(,),1}n n ξ⋅≥之间相互独立，则其中任意有限个随机变量12(,),(,),...,(,)n i i i ξξξ⋅⋅⋅的联合分布为：

11221122{(,),(,),...,(,)}()()()i i n in i i i i in in P i x i x i x F x F x F x ξξξ⋅≤⋅≤⋅≤=⋅⋅⋅⋅

再令112{,,...,,...},,{|()[0,1],1,2,...}n i i i i w w w w A A x F x i -Ω=∈=∈=，令F 为Ω所有柱集的σ代数，则由Kolmogorov 定理可知，存在F 上唯一的概率测度P 使得：

11221122{(,),(,),...,(,)}()()()i i n in i i i i in in P i w i w i w F w F w F w ξξξ⋅≤⋅≤⋅≤=⋅⋅⋅⋅

概率统计随机过程-期末试卷-参考答案

)2
2. D(S 2 ) 2 4
99
四、 ˆ矩
1 n
n i 1
(Xi
X
)2
ˆ矩 X
1 n
n i 1
(Xi
X )2
(此题详解见最后)
L
min
1 i n
Xi
L
1 n
n i 1
Xi
L
5 3 1
五、 1.
P(2)
P2
1 9
3 2
4 4
23
2.
p(2)
p(0)P(2)
10 27
7. 2, 12e-8
8. 2 mins,t 9. 0.6067 , 0.3933
10. X (t)X (t ) RX ( )
2
11. 1+ 2 , 1
数理统计
二、解:(1) 检验假设 H0 : 0 2000, H1 : 0
因为 2 未知, 所以采用 t 检验,
即选用 t X 0 作为统计量.,
d
a2
2
cos
(0
)e
i
d
a2 2
0
0
数理统计
《概率统计与随机过程》期末试卷二参考答案
一、填空题
1. F(1,n)
n
n
xi
n xi
2. P X1 x1,..., X n xn p i1 (1 p) i1 ,

随机过程第一章习题答案

1
似水年华轻轻一瞥，年华似水轻描淡写
3. X (t )的一维分布：P{X (t ) 1} p, P{ X (t ) 0} 1 p X (t )的二维分布： P{X (t1 ) 1, X (t2 ) 1} p 2 , P{X (t1 ) 0, X (t2 ) 1} p(1 p) P{X (t1 ) 1, X (t2 ) 0} p(1 p), P{X (t1 ) 0, X (t2 ) 0} (1 p) 2
2
似水年华轻轻一瞥，年华似水轻描淡写
8.mY (t ) E[Y (t )] 1 P{ X (t ) x} 0 P{ X (t ) x} P{ X (t ) x} FX (t; x) Y (t )Y ( s)的分布律为：
Y(t)Y(s) P 0 1-P1 1 P{X(t)<=x, X(s)<=x }=P1
n n1 t t e (t ) n1 e t , t 0 ( n) (n 1)! 由于运输流强度每分钟30辆，即每秒0.5辆，即 0.5
w n (n, ), 其密度函数为：f (t ) P{w n x}
x
f (t )dt
2 2 E[ X 2 XYt2 XZt2 2 XYt1 Y 2t1t2 YZt1t2 XZt12 YZt12t2 Z 2t12t2 ] 2 EX 2 t1t2 EY 2 t12t2 EZ 2

《概率论与随机过程》第6章习题解答

第6章习题答案

6.1 设)(t x 为实函数，试证

（1）)(t x 为t 的奇函数时，它的希尔伯特变换为t 的偶函数；（2）)(t x 为t 的偶函数时，它的希尔伯特变换为t 的奇函数。证明（1）：)(t x =)(t x --

t x t x

π1

)()(ˆ*= )(ˆ1

)(1)()(1)()(1)()(ˆt x

t t x t t x t t x t t x t x

=*=*=-*-=-*-=-∴ππππ （2）)(t x =)(t x -

)(ˆ1

)()(1)()(1)()(ˆt x

t x t t x t t x t x

-=*-=-*=-*-=-∴πππ

6.3 设)(t a ∞<<∞-t 是具有频谱)(ωA 的已知实函数，假定ωω∆>||时，)(ωA =0，且满足

ωω∆≥0，求

（1）t t a 0cos )(ω和 )ex p()(21

0t j t a ω的傅立叶变换以及两个傅氏变换的关系；（2）t t a 0sin )(ω 和 )ex p()(2

0t j t a j

ω-的傅立叶变换以及两个傅氏变换的关系；

（3）t t a 0cos )(ω 和 t t a 0sin )(ω的傅立叶变换关系。

解：（1）t t a t x 0cos )()(ω= 且 )exp()(2

)(0t j t a t y ω=

)]()([21

)(00ωωωωω-++=∴A A X

)(2

)(0ωωω-=A Y

（2）t t a t x 0sin )()(ω= 且)ex p()(2

)(0t j t a j

t y ω-=

(完整版)随机过程习题和答案

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：

试求:在时,求。

解：

当时，＝

＝

1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：

试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解：

所以：

2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每对应随机变量一个确定的t

⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球

如果对t e t t

t X t 3)(

.维分布函数族试求这个随机过程的一

2.2 设随机过程

，其中

是常数，与是

相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概

率密度为

试证明为宽平稳过程。

解：（1）

与无关

（2）

，

所以

（3）

只与时间间隔有关，所以

为宽平稳过程。

2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E

.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（

2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且

数。试求它们的互协方差函

2.5，

试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立

为多少？

3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分

(完整)随机过程复习试题及答案,推荐文档

，四步转移概率矩阵为
P(4)
P(2) P(2)
0.5749 0.5668
0.4251 0.4332 ，从而得到
今天有雨且第四天仍有雨的概率为
P(4) 00
0.5749 。
4.一质点在 1,2,3 三个点上作随机游动，1 和 3 是两个反射壁，当质点处于 2 时，下一时刻处于 1,2,3 是等可能的。写出一步转移概率矩阵，判断此链是否具有遍历性，若有，求出极限分布。
2.设{X(t),t0}是独立增量过程, 且 X(0)=0, 证明{X(t),t0}是一个马尔科夫过程。
证明：当 0 t1 t2 tn t 时， P(X(t) x X(t1)=x1, X(t2 )=x2,X(tn )=xn ) =
P(X(t)-X(tn ) x-xn X(t1)-X(0)=x1, X(t2 )-X(0)=x2,X(tn )-X(0)=xn ) =
P X(n)=j,
X(l)=k X(0)=i =
P
kI
kI
X(n)=j,X(l)=k X(0)=i
=
P X(l)=k X(0)=i AP X(n)=j X(l)=k,X(0)=i =
P P (l) (n-l) ik kj
，其意义为
n
步转移概率可以
kI
用较低步数的转移概率来表示。
4.设N(t),t 0是强度为的泊松过程，Yk , k=1,2,是一列独立同分布随机变量，且与

随机过程考试试题及答案详解

1、（15分）设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均

匀分布。

（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数；（2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。【理论基础】（1

（2F (（3(F （4，

（1)(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度⎪⎩

⎪⎨⎧+≤≤=其他,0,1

)(t

C x C t x f ，一维分布

函数⎪⎩

⎪⎨⎧

+>+≤≤-<=t C x t C X C t

x C x x F ,1,,0)(；

（2）根据相关定义，均值函数C t

t EX t m X +==2

)()(；相关函数2)(2

31)]()([),(C t s C

st t X s X E t s R X +++=

=；协方差函数12

)]}()()][()({[),(st

t m t X s m s X E t s B X X X =

--=（当t s =时为方差函数）【注】)()()(2

X E X E X D -=；)()(),(),(t m s m t s R t s B X X X X -=

求概率密度的通解公式|)(|/)(|)(|)()('

'y x y f x y y f x f t ==

2、（15分）设{

}∞<<∞-t t W ),(是参数为2

σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量；且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。令R t W t X +=)()(，求随机过程

随机过程试题带答案

1 ?设随机变量X服从参数为■的泊松分布，则X的特征函数为 __________

2 ?设随机过程X(t)⼆Acos( ? ? t+G),-：：

⽴的随机变量，且A和门服从在区间10,1 1上的均匀分布，贝U X(t)的数学期望为______________ 。

3?强度为⼊的泊松过程的点间间距是相互独⽴的随机变量，且服从均值为丄____ 的同⼀指数分布。

4?设:W n,n 是与泊松过程1X(t),t ⼀0?对应的⼀个等待时间序列，则W n服从-分布。

5?袋中放有⼀个⽩球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取⼀球，取后放回，

f t

对每⼀个确定的t对应随机变量x(t)⼆3,如果t时取得红球，则这个随机过e t, 如果t时取

得⽩球

程的状态空间_________ 。

6?设马⽒链的⼀步转移概率矩阵P=(P j)，n步转移矩阵P(n)，⼆者之间的关系为—P(n) =P n—。

7?设:X n,n ⼀0?为马⽒链，状态空间I，初始概率P i⼆P(X。⼆i)，绝对概率P j(n) =P(X n⼆j?，n步转移概率p j n)，三者之间的关系为P j(n)⼋P i p j n)。8 .设｛X(t),t - 0｝是泊松过程，且对于任意t2t^ 0则

1. 设A,B,C为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：

P(BC A)=P(B A)P(C AB)。

1.为e，(e -1)。

2. (sin(?t+1)-sin t)。

3. _ 2 ■

1 2

4. - 5 . -1,—t,|l| ;e,e2"l 。6 . P(n^ P n。7 . P j(n) 7 P i p j n) <

随机过程习题和答案

、1.1设二维随机变量（X , F）的联合概率密度函数为:

=—i—[l241-ι>⅛= "k"

QTh Xl-JF)

1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：

Hm=(Ip)HP

试求/的特征函数，并以此求其期望E(X)与方差I K X)

¾0 = Efr ir) = ∑

⅛ = *)

解：一

=⅛α-ri M P=√^∑^α-p)t U O-P) ⅛J

1—(I-JI)1—q/

(O)=α⅛

24(1-小

丄

苴它

试求：在OJu <■ 1时,求I『F)

解：

J；240 H)JKfc0

P 其它^{θ其它当OJXI 时，Aw)

2OT

(Xy)

其它

所以：

-⅛(0)二丄

f P

ZUr=

J Er3-(

EIf)3=^^-^=4

PPp

2.1袋中有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球后放回，对每一个确定的t 对应随机变量

x(t^3如果对t

时取得红球

e t如果对t时取得白球

试求这个随机过程的一维分布函数族

2.2设随机过程 W 加吨MIF)∙ gZ I叫，其中吗是常数，/与F是

相互独立的随机变量，F服从区间(°2刘上的均匀分布，/服从瑞利分布，其概率密度为

x>0

x≤0

试证明Xu)为宽平稳过程。

解:( 1)⑷+F)} q啊诚如+ f)}

= 与无关

（2）枚F（M 仪加血I（Q/伽说如"）汁F（才）

f _ t t

⅛(Q) =-J PQ ÷g)

= -te^t∣Γ÷p ^dt =-2σ1e^i∣Γ=2σ3所以必U）啟0⑴卜"

（3）R lM壊M∞¼⅛+Hl∕∞Ψ⅛+y）］｝

=豺］£｛oKs（A +Γ）∞

=2^J

tt 2{α≈(0A + β⅛+ y)-rasffl

(完整版)随机过程习题答案

随机过程部分习题答案

习题2

2.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的一维概率密度、均

值和相关函数。解因)1,0(~N V

，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，

b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=

所以

),(~)(2t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为

),(,21);(2

22)(+∞-∞∈=

x e

t x f t b x π，),0(+∞∈t

均值函数 b t X E t m X ==)]([)(