数理方程练习题(1)
数理方程 习题答案
数理方程习题答案数理方程习题答案数理方程是数学中一门重要的学科，它研究的是各种各样的方程。
在学习数理方程的过程中，习题是不可或缺的一部分。
通过解习题，我们可以加深对数理方程的理解，掌握解题的方法和技巧。
在这篇文章中，我将为大家提供一些数理方程习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 求解方程：2x + 5 = 17。
解：将方程化简，得到2x = 17 - 5，即2x = 12。
再将等式两边同时除以2，得到x = 6。
所以方程的解为x = 6。
2. 求解方程组：2x + y = 73x - 2y = 4解：可以使用消元法来求解这个方程组。
首先，将第一个方程乘以2，得到4x + 2y = 14。
然后将第二个方程与这个结果相加，得到7x = 18。
再将等式两边同时除以7，得到x = 18/7。
将x的值代入第一个方程，可以求得y的值为y = 7 - 2x = 7 - 2(18/7) = 7 - 36/7 = 7/7 - 36/7 = -29/7。
所以方程组的解为x = 18/7，y = -29/7。
3. 求解二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0。
解：可以使用因式分解法来求解这个二次方程。
首先，将方程化简，得到(x - 2)(x - 3) = 0。
根据乘积为零的性质，可以得到x - 2 = 0或者x - 3 = 0。
解这两个方程，可以得到x = 2或者x = 3。
所以方程的解为x = 2或者x = 3。
4. 求解三次方程：x^3 - 3x^2 + 2x - 4 = 0。
解：可以使用综合除法来求解这个三次方程。
首先，将方程按照降幂排列，得到x^3 - 3x^2 + 2x - 4 = 0。
然后，尝试将方程的第一项x^3除以x的最高次数x^3，得到商为1。
将这个商乘以方程的所有项，得到x^3 - 3x^2 + 2x - 4 - (x^3 - 3x^2 + 2x - 4) = 0。
化简这个等式，可以得到0 = 0。
07级数理方程试题答案
07级数理方程试题答案07801-808数学物理方法期中测验试题一填空题（每题5分，共20分）1 现有一长度为l 的均匀细弦，弦的0x =端固定，x l =端受迫作简谐振动sin A t ω，弦的初始位移和初始速度都是零，那么弦的位移函数(),u x t 所满足的定解问题是（）。
2000(0,0),0,sin (0),0,0(0).tt xxx x l t t t u a u x l t u u A t t u u x l ω====?=<<>??==>??==≤≤?? 2 有一矩形薄板，其中板的一组对边绝热，而另一组对边中，一边的温度保持零度，另一边保持常温0u ，那么此矩形板的稳定温度分布所满足的定解问题是（）。
0000(0,0),0,0(0),0,(0).x x y y x x x x a y y b u u x a y b u u y b u u u x b ====?+=<<<<??=<<(,)u u f M t n αβΩ+=?），当（0β= ）就是第一类边界条件；当（0α= ）时，就是第二类边界条件。
4 积分()30x J x dx =?（）。
解利用递推公式1[()]()m mm m d x J x x J x dx-=和分部积分法，得32002321113212()[()][()]()2()()2().x J x dx x xJ x dxx d xJ x x J x x J x dxx J x x J x C ===-=-+?二求解下列本征值问题的本征值和本征函数（每题10分，共20分）（1） ()()0,(0)0,()0.X x X xX X l λ''+=??'==? （2）2'''2()()(9)()0,()0,|(0)|.r R r r R r r R r R a R μ?++-=?=<∞?解（1）因为我们已经知道，本征值0λ≥。
数理方程习题全解
93
2k 1 j sin 2k 1 = 2 cos 4 4
k 0,1,2,3
1 1 k 0 ： z1 2 cos j sin 2 j 1 j 4 4 2 2 3 3 1 1 k 1 ： z2 2 cos j sin 2 j 1 j 4 4 2 2 5 5 1 1 k 2 ： z3 2 cos j sin 2 j 1 j 4 4 2 2 7 7 1 1 k 3 ： z4 2 cos j sin 2 j 1 j 4 4 2 2
3 8
k k 2 8 cos j sin 2 16 2 16
3 3 8 3
k 0,1,2,3
7 7 2 cos j sin ， 2 8 cos j sin ， 16 16 16 16 9 15 15 9 2 cos j sin ， 2 8 cos j sin ； 16 16 16 16
1 3 5 5 （2） j sin cos j sin 2 2 j cos 3 3 3 3 1 3 j 2 2
4
cos j sin 4 4
4
2
cos j sin 1 j 3 5 5 cos j sin 3 3
数理方程模拟试题1X
200__～200__学年第___学期《数理方程》期末模拟试卷1 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分一、 选择题(每题只有一个正确答案， 每小题4分，共28分）1、34233(,,)v v v xyv g x y z x x y z ∂∂∂+++=∂∂∂∂ 是( )偏微分方程 A 、 一阶 B 、二阶 C 、 三阶 D 、 四阶 2、2(,)tt xx u a u x t ϕ-= (其中0>a ) 属于( )型偏微分方程 A 、 抛物 B 、双曲 C 、 椭圆 D 、 混合 3、在用分离变量法求解定解问题200,0,0|0,|0|()t x x x x xl t u a u x l t u u u x ϕ===⎧=<<>⎪==⎨⎪=⎩时，得到的固有函数系为( )A 、,...2,1,sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π B 、,...2,1,0,cos=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π C 、(21)cos,1,2,...2n x n l π-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭D 、 (21)sin,1,2,...2n x n l π-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭4、下列方程是非线性偏微分方程的是（ ） A 22()()sin u u x x y 抖+=抖 B (,)u u f x y x y抖+=抖 C 22(,)(,)cos u u a x t b x t x x t 抖+=抖 D 3433(,,)v v v g x y z x x y z∂∂∂++=∂∂∂∂ 5、对Laplace 变换的性质下列式子错误的是（ ） A 22[sin ](Re 0)L t p p ww w =>+B []2[][]L f g L f L g p *=?C 0[()]()(Re )p L f t e F p p tt g --=>D 0000[()]()(Re Re )p t L e f t F p p p p g =->+6、在弱相等意义下，对d 函数的说法错误的是（ ） A ()()x x d d =- B ()x x x d = C 1()()(0)||ax x a a d d =? D ()()()()x x a a x a j d j d -=-7、给出未知函数 u 在区域Ω的边界Γ上的值0,),,(|≥Γ∈=Γt M t M u μ 的边界条件，称为第( )类边界条件。
方程题100道带答案
方程题100道带答案1. 2x + 3 = 7，答案：x = 22. 5x 8 = 12，答案：x = 43. 3x + 4 = 19，答案：x = 54. 7x 15 = 14，答案：x =5.29（约等于5.3）5. 9x + 11 = 32，答案：x = 1.89（约等于1.9）6. 4x 6 = 18，答案：x = 6.57. 8x + 5 = 37，答案：x = 3.758. 6x 9 = 21，答案：x = 5.59. 10x + 13 = 53，答案：x = 410. 3x + 7 = 16，答案：x = 311. 2x 5 = 9，答案：x = 712. 4x + 8 = 24，答案：x = 413. 5x 3 = 22，答案：x = 514. 7x + 6 = 51，答案：x = 5.（约等于5.9）15. 9x 4 = 35，答案：x = 4.11（约等于4.1）16. 6x + 5 = 47，答案：x = 617. 8x 7 = 29，答案：x = 5.2518. 10x + 2 = 42，答案：x = 419. 3x 8 = 7，答案：x = 520. 5x + 9 = 44，答案：x = 5.2继续完善方程题100道带答案文档：21. 若4x 2 = 14，求x的值。
答案：x = 422. 解方程6x + 3 = 39，得x等于多少？答案：x = 623. 当7x 5 = 46时，x的值为多少？答案：x = 7.29（约等于7.3）24. 8x + 4 = 36，求x的值。
答案：x = 3.525. 如果9x 6 = 30，那么x等于多少？答案：x = 4.22（约等于4.2）26. 解方程3x + 5 = 14，得x的值。
答案：x = 327. 当5x 2 = 23时，求x的值。
答案：x = 528. 7x + 8 = 57，求x的值。
答案：x = 5.29（约等于5.3）29. 9x 3 = 42，求x的值。
数理方程练习题
数理方程练习题第二章定解问题与偏微分方程理论习题2.11. 密度为ρ均匀柔软的细弦线x =0端固定，垂直悬挂，在重力作用下，于横向拉它一下，使之作微小的横振动。
试导出振动方程。
2. 长为L ，均匀细杆，x = 0端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长b 静止后（在弹性限度内）突然放手，细杆作自由振动。
试写出振动方程的定解条件。
3. 长为L 、密度为ρ的底半径为R 的均匀圆锥杆（轴线水平）作纵振动，锥的顶点固定在x =0处。
导出此杆的振动方程。
4. 一根长为L 、截面面积为1的均匀细杆，其x =0端固定，以槌水平击其x =L 端，使之获得冲量I 。
试写出定解问题。
习题2.21. 一半径为r ，密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k 的匀质圆杆，如同截面上的温度相同，其侧面与温度为u 1的介质发生热交换，且热交换的系数为k 1。
试导出杆上温度u 满足的方程。
4. 设有一根具有绝热的侧表面的均匀细杆，它的初始温度为)(x ?，两端满足下列边界条件之一：（1）一端（x =0）绝热，另一端（x = L ）保持常温u 0；（2）两端分别有热流密度q 1和q 2进入；（3）一端（x =0）温度为u 1(t )，另一端（x = L ）与温度为)(t θ的介质有热交换。
试分别写出上述三种热传导过程的定解问题。
习题2.41. 判断下列方程的类型：（1）04=+++++u cu bu au au au y x yy xy xx ；（2）02=+++++u cu bu au au au y x yy xy xx ；（3）02222=+++++u au bu au au au y x yy xy xx ；（4）0=+yy xx xu u 。
2. 求下列方程的通解（1）0910=++yy xy xx u u u ；（3）0384=++yy xy xx u u u 。
第三章分离变量法习题3.12. 求解下列定解问题（1）-====><<=====)(,00)0,0(,0002x L x u u u u t L x u a u t t t L x x xx tt3. 求下列边值问题的固有值和固有函数：（1）===+''==0,000L x x X X X X λ （3）0,0012===+'+''==e x x y y y y x y x λ 习题3.21.求定解问题：-===><<====)(0,0)0,0(,002x L x u u u t L x u a u t L x x xx t 习题3.52. 求解定解问题：===><<=+-===-00020,0)0,0(,0T u u u t L x Ae u a u t L x x x t xx α 0T 是常数。
数理方程常规例题I
数学物理方程常规例题I(1-20题)一、数学模型例题例1． 密度为ρ均匀柔软的细弦线x =0端固定，垂直悬挂，在重力作用下，横向拉它一下，使之作微小的横振动。
试导出振动方程。
解：考虑垂直悬挂的细弦线上一段微元ds ，该微元在坐标轴上投影为区间[x ，x+d x ]，在微元的上端点处有张力：)(1x L g T -=ρ，在下端点处有张力：)(2dx x L g T --=ρ考虑张力在位移方向的分解，应用牛顿第三定律，有tt u m T T =-1122sin sin αα 由于细弦作微小振动，所以有近似)(tan sin 22dx x u x +=≈αα )(tan sin 11x u x =≈αα代入牛顿第三定律的表达式，有tt x x u ds t x u x L g t dx x u dx x L g ρρρ≈--+--),()(),()(上式两端同除以ds ρ，得tt x x u dsx u x L dx x u dx x L g≈--++-)()()())((由于dx ds ≈，而x x x x x u x L dxx u x L dx x u dx x L )]()[()()()())((-≈--++-所以，细弦振动的方程为tt x x u u x L g =-])[(例2． 长为L 密度为ρ底半径为R 的均匀圆锥杆（轴线水平）作纵振动，锥顶点固定在x =0处。
导出此杆的振动方程。
（需要包括假设在内的具体推导） 解：设均匀圆锥杆作纵振动时位移函数为u (x ，t )则在点x 处，弹力与相对伸长量成正比，即),(),(t x Yu t x P x = 其中，Y 为杨氏模量。
在截面上张力为T (x , t ) = S (x ) P (x , t )这里，S (x )为x 处圆锥截面积。
考虑圆锥杆上对应于区间[x ，x+dx ]处的微元（如右图所示）。
应用牛顿第二定律，得),()]()()[(31),(),(t x u x xS dx x S dx x t x T t dx x T tt -++=-+ρ 由于圆锥截面积2)()(x LR x S π= 微元（圆台）体积)33()(31)]()()[(313222dx xdx dx x LRx xS dx x S dx x ++=-++ρπρ 所以),()33()(31)],(),()[()(3222222t x u dx xdx dx x L Rt x u x t dx x u dx x L R Y tt x x ++=-++ρππ两端除dx ，并取极限，得),()],([22t x u x t x u x Y tt x x ρ=记ρ/2Y a =，则有方程)2(2x xx tt u xu a u += 二、二阶偏微分方程化简与求通解只考虑未知函数是两个自变量情形，即),(y x u 。
数理方程题库
第一章定义和方程类型1、34233(,,)v v v xyv g x y z x x y z∂∂∂+++=∂∂∂∂ 是( D )偏微分方程 A 、 一阶 B 、二阶 C 、 三阶 D 、 四阶 1、22(,,)vxy v g x y z z∂+=∂ 是( A )偏微分方程 A 、 一阶 B 、二阶 C 、 三阶 D 、 四阶1、33232(,,)v v vv xyv g x y z x x y z ∂∂∂+++=∂∂∂∂ 是( C )偏微分方程A 、 一阶B 、二阶C 、 三阶D 、 四阶 2、2(,)txx u a u f x t -= (其中0>a ) 属于( A )型偏微分方程A 、 抛物B 、双曲C 、 椭圆D 、 混合 2、2(,)ttxx u a u x t ϕ-= (其中0>a ) 属于( B )型偏微分方程A 、 抛物B 、双曲C 、 椭圆D 、 混合2、22(,,)tt xx u a u x y t ϕ+= (其中0>a ) 属于( C )型偏微分方程 A 、 抛物 B 、双曲 C 、 椭圆 D 、 混合 2、(,)xx yy u u f x y += (其中(,)u u x y =) 属于( C )型偏微分方程A 、 抛物B 、双曲C 、 椭圆D 、 混合 4、下列方程是非线性偏微分方程的是（ A ）A 22()()sin u u x x y 抖+=抖 B (,)u uf x y x y抖+=抖 C 22(,)(,)cos u ua x tb x t x x t抖+=抖 D 3433(,,)v v v g x y z x x y z ∂∂∂++=∂∂∂∂ 7、下列方程是非齐次方程的是（ A ）A(,)(,)0u uxy f x y f x y x y 抖+=?抖， B 2,0t xx u a u a =?C 22(,)(,)0u u a x t b x t x t 抖+=抖 D 34330v v v x x y z ∂∂∂++=∂∂∂∂3、在用分离变量法求解定解问题200,0,0|0,|0|()t xx x x x l t u a u x l t u u u x ϕ===⎧=<<>⎪==⎨⎪=⎩时，得到的固有函数系为( D ) A 、,...2,1,sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x ln π B 、,...2,1,0,cos=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π C 、{},...2,1,sin =n x n π D 、 ,...2,1,2)12(sin =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n x ln π 3、在用分离变量法求解定解问题⎪⎩⎪⎨⎧====><<=====)(|),(|0|,0|0,0,0002x u x u u u t l x u a u t t t l x x x x xx tt ψϕ时，得到的固有函数系为( B )A 、,...2,1,sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n πB 、,...2,1,0,cos=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n πC 、(21)cos ,1,2,...2n x n l π-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ D 、 ,...2,1,2)12(sin =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n x l n π3、在用分离变量法求解定解问题⎪⎩⎪⎨⎧===><<====)(|0|,0|0,0,002x u u u t l x u a u t l x x xx t ϕ时，得到的固有函数系为( A )A 、,...2,1,sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π B 、,...2,1,0,cos=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n πC 、(21)cos,1,2,...2n x n l π-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ D 、,...2,1,2)12(sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n x l n π7、给出未知函数 u 在区域Ω的边界Γ上的值0,),,(|≥Γ∈=Γt M t M u μ 的边界条件，称为第( A )类边界条件。
数理方程习题集综合
例 1.1.1 设v=v(线x,y),二阶性偏微分方程v xy =xy 的通解。
解 原方程可以写成 ð／ðx（ðv／ðy） =xy 两边对x 积分，得v y =¢（y ）+1/2 x 2Y,其中¢（y ）是任意一阶可微函数。
进一步地，两边对y 积分，得方程得通解为v （x,y ）=∫v y dy+f （x ）=∫¢（y ）dy+f （x ）+1/4 x 2y 2=f （x ）+g （y ）+1/4 x 2y 2其中f （x ）,g （y ）是任意两个二阶可微函数。
例1.1.2即 u(ξ,η) = F(ξ) + G(η),其中F(ξ),G(η)是任意两个可微函数。
例1.2.1设有一根长为L 的均匀柔软富有弹性的细弦，平衡时沿直线拉紧，在受到初始小扰动下，作微小横振动。
试确定该弦的运动方程。
取定弦的运动平面坐标系是O XU ,弦的平衡位置为x 轴，弦的长度为L ，两端固定在O,L 两点。
用u(x,t)表示弦上横坐标为x 点在时刻t 的位移。
由于弦做微小横振动，故u x ≈0.因此α≈0，cos α≈1,sin α≈tan α=u x ≈0,其中α表示在x 处切线方向同x 轴的夹角。
下面用微元法建立u 所满足的偏微分方程。
在弦上任取一段弧'MM ,考虑作用在这段弧上的力。
作用在这段弧上的力有力和外力。
可以证明，力T 是一个常数，即T 与位置x 和时间t 的变化无关。
事实上，因为弧振动微小，则弧段'MM 的弧长dx u xx xx ⎰∆++=∆21s ≈x ∆。
这说明该段弧在整个振动过程中始终未发生伸长变化。
于是由Hooke 定律，力T 与时间t 无关。
因为弦只作横振动，在x 轴方向没有位移，故合力在x 方向上的分量为零，即T(x+x ∆)cos α’-T(x)cos α=0.由于co's α’≈1，cos α≈1,所以T(X+∆x)=T(x),故力T 与x 无关。
数理方程课后习题(带答案)
u0 X0T0 B0A0 C0
0
Tn
a2n22
l2
Tn
0
a2n22 t
Tn Ane l2
un XnTn
ABea2nl222t nn
cons l
xCea2nl222t n
cosn
l
x
un 0unC 0n 1Cnea2n l2 22tconlsx
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
u(uutx(,0x0,)at)2xx,20u2,,u(lx,t) 0,
由此可得：w (x)1
xt
dt
f()dC xA ,
a2 0 0
其中
C1 l(BAa 1 2 0 ldt0 tf()d),
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
然后用分离变量解
v(vt0,t)a2
2v x2 , 0, v(l,
t)
0,
0 x l,t 0 t 0
v(x,0) g(x) w(x), 0 x l
0xl1,0yl2 0yl2
u(x,0)0,u(x,l2)(x), 0xl1
uXY
XX0,
X(0)X(l1)0
0xl1
YY0
n n2 nl1 2,n1,2,3,L
n
Xn An sin l1 x
Yn
n2 2
l12
Yn
0
ny
ny
Yn Cnel1 Dne l1
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
un 1unn 1Cnenl1 yD nenl1 ysinnl1 x u(x,0)n 1CnDnsinnl1x0 u(x,l2)(x)n 1 C nenl1l2D nenl1l2 sinn l1x
数理方程练习题(作业)
数理方程练习题一（2009研）1. 设(,)u u x y =，求二阶线性方程20ux y∂=∂∂ 的一般解。
2. 设u f = 满足Laplace 方程22220u u x y ∂∂∂∂+=求函数u.3. 求Cauchy 问题22000(,)(0,)cos tt xx t t t u a u x t u x u x x ==⎧-=∈⨯∞⎪⎨==∈⎪⎩的解．4. 求解Cauchy 问题200cos (,)(0,)cos 010tt xx t t t u a u t x x t x x u x u x ==⎧-=∈⨯∞⎪≥⎧⎨==⎨⎪<⎩⎩5. 解在半无界问题20000(,)(0,)sin (0)0(0)tt xx t t t x u a u x t u x u x x u t +===⎧+=∈⨯∞⎪⎪==≤≤∞⎨⎪=≥⎪⎩6. 求解二维Cauchy 问题222200(,,)(0,)0()(,)tt t t t u a u x y t u u x x y x y ==⎧-∆=∈⨯∞⎪⎨==+∈⎪⎩求下列函数的Fourier 变换1 0()00axe xf x a x -⎧≥=>⎨<⎩2 1||()0||a x a x x a≤⎧∏=⎨>⎩3 2()x f x e -=7. 磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆，它作纵振动．研究两端自由棒的自由纵振动，即定解问题。
200,0(,0)(),(,0)()0(0,)(,)00tt xx t xx u a u x l t u x x u x x x l u t u l t t ϕψ⎧-=<<>⎪==≤≤⎨⎪==≥⎩8. 散热片的横截面为矩形。
它的一边y=b 处于较高温度V ，其他三边b=0，x=0，x=a 则处于冷却介质中因而保持较低的温度v 求解这横截面上的稳定温度分布Ux,y)即定解问题0;0(0,),(,)0(,0),(,)()0xx yy u u x a y b u y v u a y vy b u x v u x b V x x a +=<<<<⎧⎪==<<⎨⎪==<<⎩9. 求解定解问题2000cos sin 0,00,0ttxx x x x x l t t t x u a u A t lu u u u πω====⎧-=⎪⎪⎪==⎨⎪'==⎪⎪⎩10. 求解定解问题200sin 0,00t xx x x x l t u a u A tu u u ω===⎧-=⎪⎪==⎨⎪=⎪⎩ 11. 弦的x=0端固定而x=l 端受迫作谐振动sin A t ω，则弦的初始位移和初始速度都是零，求弦的振动。
数理方程习题
uyy + uzz = 0的解; (3) un (r, θ) = rn cos(nθ)), rn sin(nθ)) (n = 0, 1, 2, · · · )是拉普拉斯方程urr +
1 r ur 1 u r2 θθ
+
= 0的解. ut = −uxx , u(x, 0) = 1,
10. 说明定解问题
− auxx = 0的解.
((x, y ) ̸= (0, 0)), eax cos(ay ), eax sin(ay )均是二维 ((x, y, z ) ̸= (0, 0, 0))是三维拉普拉斯方程uxx +
拉普拉斯方程uxx + uyy = 0的解; (2) u(x, y, z ) = √
1 x2 + y 2 + z 2
证. (方法一) 极坐标系与直角坐标系之间的变换关系为 x = r cos θ, 或者为 r = (x2 + y 2 ) 2 , 于是 ∂r x = = cos θ, ∂x r ∂θ y sin θ =− 2 =− , 2 ∂x x +y r 从而 ∂u ∂r ∂u ∂θ ∂u ∂u sin θ ∂u = + = cos θ − , ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂r ∂θ r ∂u ∂u ∂r ∂u ∂θ ∂u ∂u cos θ = + = sin θ + , ∂y ∂r ∂y ∂θ ∂y ∂r ∂θ r ∂r y = = sin θ, ∂y r ∂θ x cos θ = 2 = . 2 ∂y x +y r
习题1
1. 对下列偏微分方程, 指出它的阶, 并指出它是线性的、拟线性的还是非线性 的. 若是线性的, 再指出它是齐次的还是非齐次的. (1) u3 x + 2uuy = xy ; (2) uuy − 6xyux = 0; (3) uxx − x2 uy = sin x;
数理方程题库.doc
第一部分分离变量法一、(1) 求解特征值问题(2) 验证函数系关于内积正交，并求范数二、用分离变量法求解定解问题的解的表达式，写出具体的分离变量过程. 进一步，当时，求和时的值.三、（方程非齐次的情形）求定解问题四、（边界非齐次的情形）求定解问题五、（Possion方程）求定解问题六、求定解问题：注意：1、考试只考四种边界条件，即还有以下三种：2)3)4)2、以上均为抛物型方程，还可以考双曲型方程（相应的初值条件变为两个）和椭圆型方程（无初值条件）；3、考试中除特别要求（如以上的第二题）外，不要求必须用分离变量法、特征函数法等方法求解，你可以自己选择方法（如上面的第三题）可以用Laplace 变换求解。
第二部分 积分变换法一、请用下面三种方法求解无穷限波动问题()()2222200,, 0,,t t u u a x t t x u x x u x x t ϕψ==⎧∂∂=-∞<<∞>⎪∂∂⎪⎪=-∞<<∞⎨⎪∂⎪=-∞<<∞∂⎪⎩ (1) 用积分变换法推导达朗贝尔公式(2) 用特征线法推导达朗贝尔公式 (3) 用降维法推导达朗贝尔公式二、用积分变换法求解定解问题22301,1, 0,1cos ,0y x u x y x y x y u x x u y y ==⎧∂=>>⎪∂∂⎪⎪=≥⎨⎪=>⎪⎪⎩注意：只考应用Fourier 变换和Laplace 变换求解方程的问题第三部分 特征线问题一、判断方程的类型.二、从达朗贝尔公式出发，证明在无界弦问题中(1) 若初始位移()x ϕ和初始速度()x ψ为奇函数，则(),00u t = (2) 若初始位移()x ϕ和初始速度()x ψ为偶函数，则(),00x u t = 三、请用下列方法求解定解问题(1) 用特征线法求解 (2) 用积分变换法求解第四部分 Legendre 多项式一、将()2f x x =在区间()1,1-内展成勒让德多项式的级数二、在半径为1的球内求调和函数，使1321cos r u θ==+（提示：边界条件仅与θ有关，解也同样）第五部分 Green 函数20、证明：()()0lim x x εεδρ→=（弱），其中 ()1,20,x x x εερεε⎧<⎪=⎨⎪≥⎩21、证明：()sin limN Nxx Nxδ→+∞=（弱） 22、证明：当时，弱收敛于23、求()()0x δξξπ-<<在()0,π上的余弦级数，并证明该级数若收敛于()x δξ- 24、求()()0x δξξπ-<<在()0,π上的正弦级数，并证明该级数若收敛于()x δξ-赠送相关资料考试答题的技巧拿到试卷之后，可以总体上浏览一下，根据以前积累的考试经验，大致估计一下试卷中每部分应该分配的时间。
数理方程复习试卷2014
一、（15分）用达朗贝尔公式求解定解问题：�ðð2uu ððtt 2=16ðð2uu ððxx 2，−∞<xx <+∞，tt >0uu |tt=0=3xx 2，ððuu ððtt |tt=0=9xx 解：∵uu (xx ,tt )=12[φφ(xx +aatt )+φφ(xx −aatt )]+12aa ∫ψψ(ξξ)ddξξxx+aatt xx−aatt∴φφ(xx )=3xx 2，ψψ(xx )=9xx , aa =4 ∴uu (xx ,tt )=12[3(xx +4tt )2+3(xx −4tt )2]+18∫9ξξddξξxx+4tt xx−4tt =3xx 2+9xxtt +48tt 2二、（15分）用分离变量法求解定解问题：⎩⎪⎨⎪⎧ðð2uu ððtt 2=aa 2ðð2uu ððxx 2，0<xx <ll ，tt >0uu |xx=0=0，uu xx |xx=ll =0uu |tt=0=5，uu tt |tt=0=3ssss ss 3ππxx 2ll 解：∵令uu (xx ,tt )=XX (xx )TT (tt )∴TT ,,(tt )aa 2TT (tt )=XX ,,(xx )XX (xx )=−λλ ∴�TT ,,(tt )+λλaa 2TT (tt )=0…①XX ,,(xx )+λλXX (xx )=0…②∵uu |xx=0=0，uu xx |xx=ll =0 ∴XX (0)=XX ,(ll )=0 （1）当λλ<0时，XX (xx )=AAee √−λλxx +BBee −√−λλxx ∵XX (0)=XX ,(ll )=0，则AA =BB =0 ∴λλ不能小于零。
天津大学研究生课程-数理方程试题
一． 判断题（每题2分）.1. 2u u x y x y x∂∂+=∂∂∂是非线性偏微分方程.( ) 2. 绝对可积函数一定可做Fourier 积分变化.( )3. ()(1) 1.n n F x n Legendre F =是次正交多项式， 则 ( )4. (,)0xy f x y =的解是调和函数.( )5. **12u u 已知,是线性偏微分方程(,)xx yy u u f x y +=的解，则**12u u -是0u ∆= 的解.( )二． 填空题（每题2分）.1. ()sin t xx yy u u u xt -+= 是____________型偏微分方程.2. 内部无热源的半径为R 的圆形薄板,内部稳态温度分布，当边界上温度为()t φ时，试建立方程的定解问题________________________.3. 2x 的Legendre 正交多项式的分解形式为__________________.4.某无界弦做自由振动,此弦的初始位移为()x φ,初始速度为()a x φ-,则弦振动规律为______________________________.5. []()____________.at m L e t s =三．求解定解问题（12分）200sin ;0,0;0.t xx xx x x l t u a u A t u u u ω===-====四．用积分变换方法求解以下微分方程（每题12分，共24分）（1） 001,0,0;1,1.xy x y u x y u y u ===>>=+= （2） 00230, 1.tt t y y y e y y =='''+-='==五．某半无界弦的端点是自由的，初始位移为零，初始速度为cos x ，求弦的自由振动规律。
（12分）六．设有长为a ，宽为b 的矩形薄板，两侧面绝热，有三边的温度为零，另一边的温度分布为x ，内部没有热源，求稳定状态时板内的温度分布。
数理方程习题综合知识交流
数理方程习题综合例 1.1.1 设v=v(线x,y),二阶性偏微分方程v xy =xy 的通解。
解 原方程可以写成 ð／ðx（ðv／ðy） =xy两边对x 积分，得v y =¢（y ）+1/2 x 2Y ,其中¢（y ）是任意一阶可微函数。
进一步地，两边对y 积分，得方程得通解为v （x,y ）=∫v y dy+f （x ）=∫¢（y ）dy+f （x ）+1/4 x 2y 2=f （x ）+g （y ）+1/4 x 2y 2其中f （x ）,g （y ）是任意两个二阶可微函数。
例1.1.2即 u(ξ,η) = F(ξ) + G(η),其中F(ξ),G(η)是任意两个可微函数。
例1.2.1设有一根长为L 的均匀柔软富有弹性的细弦，平衡时沿直线拉紧，在受到初始小扰动下，作微小横振动。
试确定该弦的运动方程。
取定弦的运动平面坐标系是O XU ,弦的平衡位置为x 轴，弦的长度为L ，两端固定在O,L 两点。
用u(x,t)表示弦上横坐标为x 点在时刻t 的位移。
由于弦做微小横振动，故u x ≈0.因此α≈0，cos α≈1,sin α≈tan α=u x ≈0,其中α表示在x 处切线方向同x 轴的夹角。
下面用微元法建立u 所满足的偏微分方程。
在弦上任取一段弧'MM ,考虑作用在这段弧上的力。
作用在这段弧上的力有张力和外力。
可以证明，张力T 是一个常数，即T 与位置x 和时间t 的变化无关。
事实上，因为弧振动微小，则弧段'MM 的弧长dx u xx x x ⎰∆++=∆21s ≈x ∆。
这说明该段弧在整个振动过程中始终未发生伸长变化。
于是由Hooke 定律，张力T 与时间t 无关。
因为弦只作横振动，在x 轴方向没有位移，故合力在x 方向上的分量为零，即T(x+x ∆)cos α’-T(x)cos α=0.由于co's α’≈1，cos α≈1,所以T(X+∆x)=T(x),故张力T 与x 无关。
数学物理方程考试试题及解答
数学物理方程试题（一）一、填空题（每小题5分, 共20分）1.长为 的两端固定的弦的自由振动, 如果初始位移为 , 初始速度为x 2cos 。
则其定解条件是2.方程.的通解................3.已知边值问题 , 则其固有函数 =4.方程0)(222'"2=-++y n x xy y x α的通解为 二.单项选择题（每小题5分, 共15分）1. 拉普拉斯方程 的一个解是.. ）（A ）xy e y x u x sin ),(= （B ）22),(y x y x u +=（C ）221),(y x y x u += （D ）22ln),(y x y x u += 2.一细杆中每点都在发散热量, 其热流密度为 ,热传导系数为 , 侧面绝热,体密度为 ,比热为 , 则热传导方程....)（A ）ρc t x F x u a t u),(22222+∂∂=∂∂ （B ）ρc t x F x u a t u ),(222+∂∂=∂∂ (C ) ρc t x u x F a t F ),(22222+∂∂=∂∂ (D) ρc t x u x F a t F ),(222+∂∂=∂∂ (其中ρc k a =2) 3.理想传输线上电压问题( 其中CL a 12=)的解为（ ） （A ）)(cos ),(at x A t x u +=ω （B ）t a x A t x u ωωcos cos ),(=（C ）t a x A t x u ωωsin cos ),(= （D ）)(cos ),(t a x A t x u -=ω1. 三.解下列问题2. ( 本题8分) 求问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂+∂∂x ex u yu x u 38)0,(03的解3. ( 本题8分)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==∂∂∂222),0(,cos 1)0,(6y y u x x u y x y x u...本题8分.求问. 的解1. 四.用适当的方法解下列问题2. ( 本题8分) 解问题 ⎪⎩⎪⎨⎧+-=∂∂=∂∂2222321)0,(x x x u x u a t u 2.( 本题8分) 解问题 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂==202202222222226,32)(y t uxz y u z u y u x u a t u t t 五. ( 本题10分)解混合问题:六. ( 本题15分)用分离变量法解下列混合问题：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂-===∂∂=∂∂=xt u x x x u t u t u x u a t u t 2sin 3,)(2)0,(0),(),0(022222ππ 一.单项选择题（每小题4分, 共20分）1.（D..2.（B..3.（D..4.（D ）二.填空题（每空4分, 共24分）1....2...3.. ，4.)(x X n =cos ,(0,1,2,3,)2n n x B n π= 5.通解为223(,)()()2u x t x y f x g y =++ 三.解下列问..本题7分.1. 求问题 的解解: 设 （2分）代入方程,330,1m m +==- （6分）所以解为 3(,)8x y u x t e -= （7分）2． ( 本题7分) 求问题 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=∂∂=20222223,2sin )0,(x t ux x u x u a t u t 的解 解: 由达朗贝尔公式, 得211(,)[sin 2()sin 2()]322x at x at u x t x at x at d aξξ+-=++-+⎰（3分） 223cos 2sin 23at x x t a t =++ （7分）四.用适当的方法解下列问题1. .本题7分.解问.解: 设代入方程,令 2066A A a x''=⎧⎨=+⎩ 显然成立 解为 22(,)12366u x t x x a t xt =-+++2.( 本题7分) 解问题 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂++=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂==202202222222226,32)(y t u yz y x u z u y u x u a t u t t 解: 设 （2分）代入方程22326[(212)(12)]A Bt a y At t Bt +=++∆++∆ （4分）令 , 显然成立, 解为322222632),(t a t y t a yz y x t x u +++++=五. ( 本题7分)解混合问题:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===∂∂=∂∂x x u t u t u x u a t u πsin 2)0,(0),1(),0(222 解1(,){(,)}u x t L U x s -=222sin a t e x ππ-= 六. ( 本题15分)用分离变量法解下列混合问题:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂-===∂∂=∂∂=xt u x x x u t u t u x u a t u t 2sin 3,)(2)0,(0),(),0(022222ππ 解: 设 代入方程及边界200(0)()0T a T X X X X λλπ''⎧+=⎪''+=⎨⎪==⎩22(),sin n n n n X nx πλπ=== (cos sin )sin n n n u C ant D ant nx =+1(,)(cos sin )sin n n n u x t C ant D ant nx ∞==+∑其中 3028[1(1)]()sin n n C x x nxdx n ππππ--=-=⎰ 00(2)23sin 2sin 3(2)n n D x nxdx n aππ≠⎧⎪==⎨=⎪⎩⎰ 所以解为3138[1(1)](,)sin 2sin 2cos sin n n u x t at x ant nx a n π∞=--=+∑2009-2010学年第一学期数学物理方程试题一、 填空题（每小题4分, 共24分）1.方程.的特征线..........2.长为 的弦做微小的横振动, 、 两端固定, 且在初始时刻处于水平状态, 初始速度为 .则其定解条件.................3.方程 的通解.........4.已知边值问. .. 则其固有函数)(x X n =5.方程 的通解............6...........二. 单项选择题（每小题4分, 共20分）1.微分方程.是..）（A ）三阶线性偏微分方程 （B ）三阶非线性偏微分方程（C ）三阶线性齐次常微分方.....（D ）三阶非线性常微分方程2. 拉普拉斯方程 的一个解是.. ）（A ）xy e y x u x sin ),(= （B ）22),(y x y x u +=（C ）221),(y x y x u += （D ）22ln),(y x y x u += 3.一细杆中每点都在发散热量, 其热流密度为 ,热传导系数为 , 侧面绝热,体密度为 ,比热为 , 则热传导方程....)（A ）ρc t x F x u a t u),(22222+∂∂=∂∂ （B ）ρc t x F x u a t u ),(222+∂∂=∂∂ (C ) ρc t x u x F a t F ),(22222+∂∂=∂∂ (D) ρc t x u x F a t F ),(222+∂∂=∂∂ (其中ρc k a =2) 4.理想传输线上电压问题（A ）)(cos ),(at x A t x u +=ω （B ）t a x A t x u ωωcos cos ),(=（C ）t a x A t x u ωωsin cos ),(= （D ）)(cos ),(t a x A t x u -=ω5.单位半径的圆板的热传导混合问题⎪⎩⎪⎨⎧=<=<∂∂+∂∂=∂∂)()0,(,),(,0),1()1()1(222ρρρρρρρf u M t u t u u u a t u 有形如（ ）的级数解。
数理方程习题答案
习题4.11．（2）解：根据一维波动方程的达朗贝尔公式有()[]()[]11,()()221155225+x atx at x atx at u x t x at x at d a d atxϕϕψξξξξ+-+-=++-+=++=⎰⎰ 6.（1）解：根据一维波动方程一般强迫振动的解公式有()[]()()()()[]()()()020232211,()()221,21115522215232x atx at t x a t x a t x at t x a t x at x a t x at x at x u x t x at x at d a f d d a d e d d a a a t x t e e e aτττατϕϕψξξατατξξατ+-+---++----+-=++-+⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦=++++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰习题4.21. 解:根据端点固定的半无界弦的自由振动的解公式有()()()()()()()()()()()11,22,11,2211sin sin cos ,2211sin sin cos ,22c sin cos x at x at x at at x x at x at x at at x x x at x at d t a au x t xx at at x d t a a x x at x at d t a ax x at at x d t a a x at ϕϕψξξϕϕψξξξξξξ+-+-+-+-⎧++-+≤⎡⎤⎣⎦⎪⎪=⎨⎪+--+>⎡⎤⎣⎦⎪⎩⎧++-+≤⎡⎤⎣⎦⎪⎪=⎨⎪+--+>⎡⎤⎣⎦⎪⎩+=⎰⎰⎰⎰os sin ,sin cos sin cos ,x at x t a a x at xx at t a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩2．解：齐次波动方程2tt xx u a u =的通解为()()()12,u x t f x at f x at =++-由初始条件有当0x ≥时的()1f x 和()2f x 都为0，但x a t -可正可负。
长沙理工数理方程试卷及答案
长沙理工数理方程试卷及答案长沙理工大学考试试卷…………………………………………………………………………………………………………………试卷编号拟题教研室（或教师）签名教研室主任签名…………………………………………………………………………………………………………………课程名称（含档次）数学物理方程与特殊函数课程代号专业层次（本、专）本科考试方式（开、闭卷）闭卷一．判断题：（本题总分25分，每小题5分）1．二阶线性偏微分方程062432=+++-y x yy xy xx u u u u u 属于双曲型；（）2．定解问题的适定性包括解的唯一性、解的存在性和解的稳定性；（） 3．上半空间内狄利克雷问题的格林函数为-=101141),(0MM MM r r M M G π；（） 4．设)(x P n 为n 次Legendre 多项式，则0)(110?-=dx x xP ；（）5．n 阶Bessel 方程的一般形式为0)()1()(2)()1(2=++'-''-x y n n x y x x y x ．（）二．解答题：（本题总分65分）1．（本小题15分）长为2的弦在0=x 端点固定，另一端2=x 处自由，且在初始时刻0=t 时处于水平状态，初速度为)2(x x -，写出相应定解问题．2．（本小题20分）在矩形域b y a x ≤≤≤≤0,0内求拉普拉斯方程的解，使满足边界条件====.0),(,0),0(),(),(),()0,(y a u y u x g b x u x f x u 3．（本小题15分）用达朗贝尔法解下面定解问题：==>+∞<<-∞= ２).()0,(),()0,(),0,(x x u x x u t x u a u t xx tt ψ? 4．（本小题15分）求解下面的定解问题=<+-=?=+ .0|),(4),(222222ay x u a y x y x u三．证明题：（本题总分10分）验证函数22sin ),(y x xy y x u +=是方程0=-y x yu xu 的解．长沙理工大学试卷标准答案课程名称：数学物理方程与特殊函数试卷编号：一．判断题：（本题总分25分，每小题5分）1．×；2．√；3．√；4．√；5．×．二．解答题：（本题总分65分） 1．（本小题15分）泛定方程：xx tt u a u 2=，)0,20(><<="" p="" t="" u="" x="" …………………10分="" …………………15分="" …………………5分="" 初始条件：0)0,(="x" 边界条件：0),0(="t" ，)2()0,(x="" ，0),2(="t" ；="">用分离变量法，设)()(),(y Y x X y x u =，代入泛定方程，得0)()(=''x X x X λ＋，0)()(=''y Y y Y λ－，…………………3分解特征值问题?===+''.0)(,0)0(,0)()(a X X x X x Xλ，得2=a n n πλ，a x n x X n πsin)(=，,2,1=n …………………8分将2=a n n πλ代入0)()(=''y Y y Y λ－得其通解为y an n y an n n eB eA y Y ππ-+=)(， ,2,1=n …………………14分故此定解问题的通解为∑∞=-+=1s i n ),(n y a n n y a n n a x n e B e A y x u πππ，…………………16分其中n n B A ,由下面的方程组确定=+=+??-aa b n n a b n n an n dx a x n x g a e B e A dx a xn x f a B A 00.sin )(2,sin)(2ππππ ,2,1=n ………………20分3．（本小题15分）特征方程为 0222=-dt a dx ，………………2分两积分曲线为 1C at x =+， 2C at x =-，作变换at x +=ξ，at x -=η，………………5分原方程化为0=ξηu ，………………8分积分后代回原变量得通解为 )()(),(21at x f at x f t x u -++=，…………10分由初始条件 )()()()0,(21x x f x f x u ?=+=[])()()()0,(21x x f x f a x u t ψ='-'= ………………12分积分上式 a c d a x f x f xx +=-?0)(1)()(21ξξψ，故 acd a x x f x x 2)(21)(21)(01++=?ξξψ?，a c d a x x f x x2)(21)(21)(02--=?ξξψ?，……………14分所以其解 )()(),(21at x f at x f t x u -++=[]?+-+-++=atx atx d a at x at x ξξψ??)(21)()(21．…………15分 4．（本小题15分）显然，泊松方程有一个特解 )(),(22y x y x w +-=， (4)分令 )(),(),(22y x y x v y x u +-=，则上述问题化为==?=+ .|,0),(2222a v y x v a y x …………………8分由极值原理，有2),(a y x v =，…………………12分所以所求定解问题的解为()222),(y x a y x u +-=．…………………15分三．证明题：（本题总分10分）证明：由22sin ),(y x xy y x u +=有22c o s xy xy y u x +=， y x xy x u y 22cos +=， (8)分故 [][]y x xy x y xy xy y x yu xu y x 222cos 2cos +-+=-0=．所以结论成立．………………16分。
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一、填空题1．二阶线性偏微分方程xx xy yy x y Au Bu C u D u Eu Fu G +++++=（其中各系数均为x 和y 的函数）在某一区域的性质由式子：24B AC -的取值情况决定，取值为正对应的是（ 双曲 ）型，取值为负对应的是（ 椭圆）型，取值为零对应的是（ 抛物 ）型。
2．在实际中广泛应用的三个典型的数学物理方程：第一个叫（ 弦自由横振动 ），表达式为（2tt xx u a B u =），属于（双曲）型； 第二个叫（ 热传导 ），表达式为（ 2t xx u a B u =），属于（ 椭圆 ）型； 第三个叫（拉普拉斯方程和泊松方程），表达式为（0x x y yu u+=，(,)xx yy u u x y ρ+=-），属于（椭圆）型；二、选择题1．下列泛定方程中，属于非线性方程的是［ B ］(A) 260t xx u u xt u ++=； (B) sin i t tt xx u u u e ω-+=； (C) ()220y xxxxy u x yuu +++=； (D) 340t x xx u u u ++=；2. 下列泛定方程中，肯定属于椭圆型的是［ D ］(A)0xx yy u xyu +=； (B) 22x xx xy yy x u xyu y u e -+=；(C)0xx xy yy u u xu +-=； (D)()()()22sin sin 2cos xx xy yy x u x u x u x ++=； 3. 定解问题()()()()()()2,0,00,,0,0,,0tt xx x x t u a u t x lu t u l t u x x u x xϕφ⎧=><<⎪==⎨⎪==⎩的形式解可写成［ D ］(A) ()01,coscos2n n a n at n x u x t a ll ππ∞==+∑(B) ()001,coscosn n n at n x u x t a b t a llππ∞==++∑(C) ()0,cos sin cos n nn n at n at n x u x t a b l l l πππ∞=⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑(D) ()001,cos sin cos n n n n at n at n xu x t a b t a b l llπππ∞=⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦∑ 4. 若非齐次边界条件为12(0,)(),(,)()x u t t u l t t μμ==，则辅助函数可取［C ］ (A) ()()12(,)W x t t x t μμ=+； (B) ()()21(,)W x t t x t μμ=+； (C) ()()()12(,)W x t x l t t μμ=-+； (D) ()()()21(,)W x t x l t t μμ=-+；三、求解下列问题（1）2,0,tt xx u a u t x =>-∞<<∞ ，其中a 为常数。
解：设试探解为 f (Ax+Bt)，代入泛定方程。
得 B 2f” = A 2a 2f” B 2 = A 2a 2不妨取A=1，则B=+a 或-a故试探解的形式为 f (x+at)或 f (x-at) 问题的通解为u (x,t) = f (x+at)+g (x-at)，其中f 和g 为任意函数。
（2）()()2,0,,0cos(),,00tt xx t u a u t x u x x a u x ω⎧=>-∞<<+∞⎪⎨==⎪⎩，其中a 和ω为常数。
解：由上题知 u (x,t) = f (x+at)+g (x-at) 代入初始条件，得u (x,0) = f (x)+g (x) = cos(ωx/a) u t (x,0) = a f (x)-a g (x) = 0 联合求解得f (x)=g (x) = 0.5cos(ωx/a) 故u (x,t) =0.5cos[ω(x+at)/a]+ 0.5cos[ω(x-at)/a]= cos(ωx/a)cos (ωt) 本题也可以用行波法公式直接求解。
（3）()()()()2,0,00,,0,0sin(2),,00tt xx t u a u t x lu t u l t u x x a u x ω⎧=><<⎪==⎨⎪==⎩， 其中 2a l πω=，a 和ω均为常数。
解：由边界条件得形式解为：11(,)cos sin sin cos sin sin 222n nn n nn n at n at n x u x t a b l l l n t n t n x a b a πππωωω∞=∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑将初始条件代入上式，得：11,42sin sin 20,0n nn n n n x xa a a ab ωω∞=⎧=⎧=⇒=⎨⎪⎨⎩⎪=⎩∑当其它时由上述结果得 2(,)sin cos 2x u x t taωω=四对给定的二维金属矩形谐振腔()a b ⨯，横电模式的电场强度(,)E x y 满足定解问题：其中ω 和c 为电磁波频率和光速。
用分离变量法求通解；ω 能连续取值吗？解：令 E = X(x)Y(y)，代入定解问题，有：2X Y X Y c ωλ''''⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭由0,(0)()0X X X X a λ''+===，知λ只在满足2m a πλ⎛⎫= ⎪⎝⎭时有非零解：()sinm m m x X x A aπ=，其中m = 1，2，3…同理，由220,(0)()0m Y Y Y Y b c a ωπ⎡⎤⎛⎫⎛⎫''+-===⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦仅当Y 的本征值满足：222m n c a b ωππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，其中n = 1，2，3…时，Y 有axy b20(0,)(,)0(,0)(,)0xx yy E E E c E y E a y E x E x b ω⎧⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨==⎪⎪==⎩非零解 ()sinn n n y Y y B bπ=故故问题的通解为：()()sinsinm n m m x n y X x Y y C abππ=，m 和n 为整数因 222m n c a b ωππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知ω不能连续变化，一、填空题二阶线性偏微分方程xx xy yy x y Au Bu C u D u Eu Fu G +++++=分成三类，决定于24B AC-的取值：24B AC ->0对应的是（ 双曲 ）型，24B AC -=0对应的是（ 抛物）型，24B AC -<0对应的是（椭圆 ）型。
对于常见的三类泛定方程，热传导方程或扩散方程的表达式是（2t xx u a u =），属于（椭圆 ）型；弦振动方程的表达式是（2tt xx u a u =），属于（ 双曲 ）型；泊松方程的表达式是（0xx yy u u +=），属于（ 抛物）型。
二、单选题1．下列泛定方程中属于线性方程的是［ C ］ (A) 0t xx u u u ++=，其中u 表示u 的复共轭； (B) sin i t tt xx u u u e ω-+=； (C)()()22220xx yyx yu x yu-++=； (D) 0t x xx u uu u ++=；2. 下列泛定方程中，肯定属于椭圆型的是［ B ］(A)0xx yy u xyu +=； (B) 22x xx xy yy x u xyu y u e -+=；(C)0xx xy yy u u xu +-=； (D)()()()22sin sin 2cos xx xy yy x u x u x u x ++=； 3. 定解问题()()()()()()2,0,00,,0,0,,0tt xx t u a u t x u t u t u x x u x xππϕφ⎧=><<⎪==⎨⎪==⎩的形式解是［ B ］(A) ()[]0,cos()sin()cos()nn n u x t anat b nat nx ∞==+∑(B) ()[]0,cos()sin()sin()nn n u x t anat b nat nx ∞==+∑(C) ()[]001,cos()sin()cos()n n n u x t a b t a nat b nat nx ∞==+++∑(D) ()[]001,cos()sin()sin()n n n u x t a b t a nat b nat nx ∞==+++∑三、用适当方法求解下列问题。
（1）2,0,tt xx u a u t x =>-∞<<∞解：设试探解为 f (Ax+Bt)，代入泛定方程。
得 B 2f” = A 2a 2f” B 2 = A 2a 2不妨取A=1，则B=+a 或-a 故试探解的形式为 f (x+at)或 f (x-at) 问题的通解为u (x,t) = f (x+at)+g (x-at)，其中f 和g 为任意函数。
（2）()()2,0,,00,,0cos()tt xx t u a u t x u x u x x ω⎧=>-∞<<+∞⎪⎨==⎪⎩解：由上题知 u (x,t) = f (x+at)+g (x-at) 代入初始条件，得u (x,0) = f (x)+g (x) =0 u t (x,0) = a f’(x)-a g ’(x) = cosx 联合求解得f (x)= -0.5(sinx+c); g (x) =0.5(sinx-c)故u (x,t) =-0.5sin (x+at) + 0.5sin (x-at) = -cosxsin (at) 本题也可以用行波法公式直接求解。
（3）()()()()2,0,00,,0,00,,0cos()tt xx t u a u t x u t u t u x u x x ππω⎧=><<⎪==⎨⎪==⎩解：由边界条件得形式解为：()1(,)cos sin sin nn n u x t anat b nat nx∞==+∑将初始条件代入上式，得：101sin 001sin cos cos sin n n n n nn a nx a nab nx x b x nxdxna πωω∞=∞=⎧=⇒=⎪⎪⎨⎪=⇒=⎪⎩∑∑⎰（4）()()()()2cos ,0,00,,0,00,,00tt xx t u a u x t x u t u t u x u x ωππ⎧=+><<⎪==⎨⎪==⎩解：由边界条件，得形式解 1(,)()sin nn u x t Tt nx∞==∑，代入泛定方程，得2(0)(0)0n n nn n T a T bT T ⎧''''+=⎪⎨'==⎪⎩求上述常微分方程，可得最后解。