数理方程练习题(1)
数理方程习题全解
n
n
k 0 n
k Cn cos n k sin k j k k 0
1 sin n 1 2 （2） cos k 1 2 k 1 2 sin 2
n
证
cos k j sin k e
k 0 k 0 k 0
3 8
k k 2 8 cos j sin 2 16 2 16
3 3 8 3
k 0,1,2,3
7 7 2 cos j sin ， 2 8 cos j sin ， 16 16 16 16 9 15 15 9 2 cos j sin ， 2 8 cos j sin ； 16 16 16 16
92
cos k
k 0
n
1 cos cosn 1 cos cosn 1 sin sin n 1 21 cos 1 cos cosn 1 sin sin n 1 cosn 1
2
1 1 （4） 4 2 2 j 4 2 2 j 2 cos j sin 2 4 2 4
3 8
1 4
2k 2k 4 j sin 4 2 cos 4 4
数理方程练习题（1）
数理方程练习题（1）
一、填空题
1．二阶线性偏微分方程xx xy yy x y Au Bu C u D u Eu Fu G +++++=（其中各系数均为x 和y 的函数）在某一区域的性质由式子：24B AC -的取值情况决定，取值为正对应的是（双曲）型，取值为负对应的是（椭圆）型，取值为零对应的是（抛物）型。
2．在实际中广泛应用的三个典型的数学物理方程：
第一个叫（弦自由横振动），表达式为（2tt xx u a B u =），属于（双曲）型；第二个叫（热传导），表达式为（ 2t xx u a B u =），属于（椭圆）型；第三个叫（拉普拉斯方程和泊松方程），表达式为（0
x x y y
u u
+=，
(,)xx yy u u x y ρ+=-），属于（椭圆）型；
二、选择题
1．下列泛定方程中，属于非线性方程的是［ B ］
(A) 260t xx u u xt u ++=；(B) sin i t tt xx u u u e ω-+=； (C) (
)22
0y xx
xxy u x y
u
u +++=； (D) 340t x xx u u u ++=；
2. 下列泛定方程中，肯定属于椭圆型的是［ D ］
(A)0xx yy u xyu +=； (B) 22x xx xy yy x u xyu y u e -+=；
(C)0xx xy yy u u xu +-=； (D)()()()22sin sin 2cos xx xy yy x u x u x u x ++=； 3. 定解问题
()()(
)()()()2,0,00,,0
数理方程习题全解
2
z1 z 2
2
z1 z 2
2
z1 z 2 z1 z 2 z1 z 2
几何意义， OB z1 ， OA z 2 ， AB z1 z 2 ， z1 z 2 z1 z 2 是三角 形任一边大于另两边之差； z1 z 2 z1 z 2 是三角形两边之和大于第三边；等 号表示 z1 和 z 2 位于通过原点的同一条直线上线段之间的关系。
2 1 2 2 cosn 1 cosn 1 4 sin 2 2 sin 4 sin 2
2
1 cos n cosn 1 2 4 sin 2 2
1 2
1 2 n n n sin n sin 1 2 2 2 2 4 sin 2 2 sin 2 2
此式称为拉格朗日三角恒等式。从上式可以得到
1 sin n 1 2 cos k cos k 1 2 k 1 k 0 2 sin 2
n n
1.3 解方程 （1） z 3 8 j 0 ； 解
z 3 8 j 23 j 23 cos j sin 2 2
A
z2
z2
B
O
z1
图 1.2 题 1.3（2）图 （3） z1 z 2 z1 z 2 ； 证
初一数学有理数计算题方程练习
8141211+-+
- )3(3
1
)2(-⨯÷-
()()18--- )5()2()10(8---+-+
)6()11()8(12+--+-- 12—（—18）+（—7）—15
(一3)×18+14 25409+--；
)543()511(-++ )3(3
1
)2(-⨯÷-
22)2(323-⨯-⨯- 15＋(―4
1)―15―(―0.25)
6.32.53.44.15.1+--+- ()⎪⎭
⎫
⎝⎛-÷-21316
－9+5×(－6) －(－4)2
÷(－8) 11＋(－22)－3×(－11)
()⎪⎭
⎫ ⎝⎛-÷-455 ⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-⨯-314
32
124
48165
⨯-÷-（） 36(6)72(8)-÷--÷-
)32(9449)81(-÷⨯÷- —48 × )12
16136141(+--
()⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⨯-854342 22)7(])6()6
1121197(50[-÷-⨯+--
⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++-24161315.0 )7.1(5.2)4.2(5.23.75.2-⨯--⨯+⨯-
()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛
÷-+---2532.0153 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯----35132211|5|
()⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯-21412432
2
()2313133.0121-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+-
4×(－3)2－13＋(－12 )－|－43| －32 －［（－2）2
－（1－54×4
3）÷（－2）］
-22
-（-3）3×（-1）4-（-1）5
-1-（1-0.5）×3
数理方程模拟试题1X
200__～200__学年第___学期《数理方程》期末模拟试卷1 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分
一、 选择题(每题只有一个正确答案， 每小题4分，共28分）
1、34233
(,,)v v v xyv g x y z x x y z ∂∂∂+++=∂∂∂∂ 是( )偏微分方程 A 、 一阶 B 、二阶 C 、 三阶 D 、 四阶 2、2(,)tt xx u a u x t ϕ-= (其中0>a ) 属于( )型偏微分方程 A 、 抛物 B 、双曲 C 、 椭圆 D 、 混合 3、在用分离变量法求解定解问题
200
,0,0
|0,|0|()t x x x x x
l t u a u x l t u u u x ϕ===⎧=<<>⎪
==⎨⎪=⎩
时，得到的固有函数系为( )
A 、,...2,1,sin
=⎭⎬⎫⎩
⎨⎧n x l n π B 、,...2,1,0,cos
=⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧n x l n π C 、(21)cos
,1,2,...2n x n l π-⎧
⎫
=⎨⎬⎩
⎭
D 、 (21)sin
,1,2,...2n x n l π-⎧⎫
=⎨⎬⎩
⎭
4、下列方程是非线性偏微分方程的是（ ） A 22(
)()sin u u x x y 抖+=抖 B (,)u u f x y x y
抖+=抖 C 2
2(,)(,)cos u u a x t b x t x x t 抖+=抖 D 3433(,,)v v v g x y z x x y z
∂∂∂++=∂∂∂∂ 5、对Laplace 变换的性质下列式子错误的是（ ） A 22
初一数学有理数计算题方程练习
8141211+-+
- )3(3
1
)2(-⨯÷-
()()18--- )5()2()10(8---+-+
)6()11()8(12+--+-- 12—（—18）+（—7）—15
(一3)×18+14 25409+--；
)543()511(-++ )3(3
1
)2(-⨯÷-
22)2(323-⨯-⨯- 15＋(―4
1)―15―(―0.25)
6.32.53.44.15.1+--+- ()⎪⎭
⎫
⎝⎛-÷-21316
－9+5×(－6) －(－4)2
÷(－8) 11＋(－22)－3×(－11)
()⎪⎭
⎫ ⎝⎛-÷-455 ⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-⨯-314
32
124
48165
⨯-÷-（） 36(6)72(8)-÷--÷-
)32(9449)81(-÷⨯÷- —48 × )12
16136141(+--
()⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⨯-854342 2
2)7(])6()6
1121197(50[-÷-⨯+--
⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++-24161315.0 )7.1(5.2)4.2(5.23.75.2-⨯--⨯+⨯-
()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛
÷-+---2532.0153 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯----35132211|5|
()⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯-21412432
2
()2313133.0121-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+-
4×(－3)2－13＋(－12 )－|－43| －32 －［（－2）2
－（1－54×4
3）÷（－2）］
-22
-（-3）3
×（-1）4
-（-1）5
-1-（1-0.5）×3
初一数学有理数计算题方程练习
8141211+-+
- )3(3
1
)2(-⨯÷-
()()18--- )5()2()10(8---+-+
)6()11()8(12+--+-- 12—（—18）+（—7）—15
(一3)×18+14 25409+--；
)543()511(-++ )3(3
1
)2(-⨯÷-
22)2(323-⨯-⨯- 15＋(―41)―15―(―0.25)
6.32.53.44.15.1+--+- ()⎪⎭
⎫
⎝⎛-÷-21316
－9+5×(－6) －(－4)2
÷(－8) 11＋(－22)－3×(－11)
()⎪⎭
⎫ ⎝⎛-÷-455 ⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-⨯-314
32
124
48165
⨯-÷-（） 36(6)72(8)-÷--÷-
)32(9449)81(-÷⨯÷- —48 × )12
16136141(+--
()⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⨯-854342 2
2)7(])6()6
1121197(50[-÷-⨯+--
⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⎪⎭⎫
⎝
⎛++-24161315.0 )7.1(5.2)4.2(5.23.75.2-⨯--⨯+⨯-
()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛
÷-+---2532.0153 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯----35132211|5|
()⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯-21412432
2
()2313133.0121-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+-
4×(－3)2－13＋(－12 )－|－43| －32 －［（－2）2
－（1－54×4
3）÷（－2）］
-22
-（-3）3
×（-1）4
-（-1）5
-1-（1-0.5）×3
数学物理方程题库
()(
)22
221211*********cos 3sin 0
cos 3sin 40.2cos 2cos 2sin x x y a a a x x x
x y x −−+−=∆=−=−++=>⎧⎪==−⎪⎨
⎪=
=−−⎪⎩=−xx xy yy y ，指出下列方程的类型并化为标准形式。1） u u u u 解：方程的判别式所以方程为双曲型。
dy dx
该方程的一组特征微分方程为dy dx 积分得到特征曲线为11122222111222
22111222sin 2sin 2sin 2sin 2sin 0
82x c c y x x
y x x c c y x x
y x x
y x x U U U
B a a a x x x y y x y y a a x x y ξηξηξηξηξηξηξη
ξξ+=−+⎧⎧⇒⎨⎨
=−−+=++⎩⎩−+⎧⎨
=++⎩∂∂∂++=∂∂∂∂⎛⎞∂∂∂∂∂∂∂∂=+++=−⎜⎟∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎠
∂∂=+∂∂∂1211121=于是令此时原方程可以转化为2A A 其中，A A ()()2221222211122212222sin 2sin 0
0a b y x
y y B a a a b y x
x x y y y
U U U
u u u ξξ
ηηηη
ξηξη
ξη
ξηξηξηξη∂∂++=−−∂∂∂∂∂∂=+++=−−∂∂∂∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂⎛⎞
∂∂∂++=⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠
1所以16y+sinx y+sinx +由于y+sinx=，所以上式可以变为关于，得标准方程
2
+32
()22
2
22121122121122
数理方程第一章答案
∅(x) = kx )] + ∫
) + sin( −
= sin cos + 若为cos , 则作以下延拓： cos φ(x) = , −cos 由达朗贝尔公式得：
∅(x) = kx
⎧ 1 [cos( + ) + cos( − )] + 1 ⎪2 2 u(t, x) = 1 ⎨1 ⎪ [cos( + ) − cos( − )] + 2 ⎩2 化简得： u(t, x) = + cos cos − sin sin , , − − >0 <0
(2). 由（1） ， 3u eiwt (
d 2 R 2 dR 2u ), 2 (iw)2 eiwt R (r ) 2 dr r dr t
数理方程 A 参考答案 中国科学技术大学
代入原式得： w2 eiwt R (r ) a 2 eiwt (
d 2 R 2 dR w2 R0 dr 2 r dr a 2
12.求下列方程的通解： (1). (y + z) + ( + ) 解： 可得：
+( + ) =
=0 =
含有第三变量，不可直接积分求得特征方程 我们通过凑出两个首次积分来解决问题。
( ( ( ( ) ( ) ( ) ) ) )
=(
( ) ( ( ) (
数理方程总结复习及练习要点-V1
数理方程总结复习及练习要点-V1
数理方程是整个数学中最为基础、也最为重要的一个分支。在学习数学时，数理方程是必修课程之一。但由于涉及到复杂的计算和具有一定的抽象性质，因此很多学生可能会感到难以掌握。下面我们一起来总结复习及练习中的要点。
一、基本概念
数理方程，又称代数方程，是指含有一个或多个未知量的式子，其中未知量是我们需要求解的。数理方程主要包括一元一次方程、一元二次方程、多元线性方程组等。
二、重要公式
复习数理方程需要掌握一些重要的公式，如求根公式、配方法、消元法等。这些公式在解题时经常会用到，掌握它们有助于我们快速准确地解题。
三、解题技巧
在解数理方程时，我们需要注意一些技巧。例如：
1. 整式变形：将不易求解的方程转化为易求解的方程，如配方法。
2. 对称性：通过利用数学上的对称性，简化计算。
3. 系数对应逐项相消：将一个数学表达式与另一个表达式逐项对应相消，简化计算过程。
四、常见误区
在学习数理方程时，我们需要注意一些常见误区。例如：
1. 不认真阅读题目，以及不分析题目中的数据和条件，导致解题错误。
2. 没有掌握好基本概念和公式，导致做题准确性不高。
3. 对题目中的关键词理解不透彻，导致无法准确解题。
五、练习要点
练习数理方程需要注意以下要点：
1. 反复练习基本公式和解题技巧，多进行心算和口算练习。
2. 练习时要重视细节，注意避免因粗心大意而犯错。
3. 建立练习记录，对带有难度的题目进行整理分类，加强对知识点的
掌握。
总之，无论是在学习还是练习中，都要保持认真、耐心、细致的态度。只有不断地努力和积累，才能准确解出所有的数理方程。
数学物理方程考试试题及解答
数学物理方程试题（一）
一、填空题（每小题5分，共20分）
1.长为π的两端固定的弦的自由振动，如果初始位移为x sin 2x ，初始速度为
cos2x 。则其定解条件是
2.方程∂u ∂u -3=0的通解为∂t ∂x
⎧X "(x )+λX (x )=0
3.已知边值问题⎨'，则其固有函数X n
(x )=
⎩X (0)=X (π)=0
4.方程x y +xy +(αx -n )y =0的通解为
2"'222二.单项选择题（每小题5分，共15分）
∂2u ∂2u
1.拉普拉斯方程
2+2
=0的一个解是（）
∂x ∂y （A ）u (x ,y )=e sin xy （B ）u (x ,y )=
（C ）u (x ,y )=
x x 2+y 2
x 2+y 2
1x 2+y 2
（D ）u (x ,y )=ln
2.一细杆中每点都在发散热量，其热流密度为F (x ,t ),热传导系数为k ，侧面绝热,体密度为ρ,比热为c ，则热传导方程是(
)
∂
2u F (x ,t )∂u ∂
2u F (x ,t )2（A ）（B ）=a 2
+
=a +
2
2∂t c ρc ρ∂x ∂t ∂x 2222∂F
∂
F u (x ,t )∂F ∂F u (x ,t )
(其中2k )22(C )(D)
=a +
=a +
a =22
2
c ρ∂t c ρc ρ∂t ∂x ∂x 2⎧∂2u 2∂u =a ⎪
⎪∂t 2∂x 2
3.理想传输线上电压问题⎨
⎪u (x ,0)=A cos ωx ,∂u ⎪∂t ⎩
∂2u
t =0
=aA ωsin ωx
(其中
a 2=
1
)的解为（）
数理方程习题综合
例 1.1.1 设v=v(线x,y),二阶性偏微分方程v xy =xy 的通解。 解 原方程可以写成 ð／ðx（ðv／ðy） =xy 两边对x 积分，得 v y =¢（y ）+1/2 x 2Y ,
其中¢（y ）是任意一阶可微函数。进一步地，两边对y 积分，得方程得通解为
v （x,y ）=∫v y dy+f （x ）=∫¢（y ）dy+f （x ）+1/4 x 2y 2
=f （x ）+g （y ）+1/4 x 2y 2
其中f （x ）,g （y ）是任意两个二阶可微函数。 例1.1.2
即 u(ξ,η) = F(ξ) + G(η),
其中F(ξ),G(η)是任意两个可微函数。
例1.2.1设有一根长为L 的均匀柔软富有弹性的细弦，平衡时沿直线拉紧，在受到初始小扰动下，作微小横振动。试确定该弦的运动方程。
取定弦的运动平面坐标系是O XU ,弦的平衡位置为x 轴，弦的长度为L ，两端固定在O,L 两点。用u(x,t)表示弦上横坐标为x 点在时刻t 的位移。由于弦做微小横振动，故u x ≈0.因此α≈0，cos α≈1,sin α≈tan α=u x ≈0,其中α表示在x 处切线方向同x 轴的夹角。下面用微元法建立u 所满足的偏微分方程。
在弦上任取一段弧'MM ,考虑作用在这段弧上的力。作用在这段弧上的力有张力和外力。可以证明，张力T 是一个常数，即T 与位置x 和时间t 的变化无关。
事实上，因为弧振动微小，则弧段'MM 的弧长
dx u x
x x
x ⎰
∆++=∆2
1s ≈x ∆。
这说明该段弧在整个振动过程中始终未发生伸长变化。于是由Hooke 定律，张力T 与
数理方程课后习题(带答案)
v(x,t)
vea2nl222t n
n1
sinnx
l
其 中 v n2 l 0 l[g (x) w (x)]sinn lxd x
原 问 题 得 解 为 u ( x ,t) v ( x ,t) w ( x )
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
习题2第12题： 求下列定解问题：
u(x20u2,y)y2u2u(l10,,y)0,
方法二 ：可设 u(x,t)v(x,t)w (x)
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
习题2第10题： 求满足下列定解条件的一维热传导方程的解
u(0,t) 10,u(l,t) 5,
u(x,0) kx 齐次方程非齐次边界条件问题
可设 u (x ,t) v (x ,t) w (x ) 代 入 方 程 vt a2 x2v2 a2w"(x) 选取w（x）使得：w"(x) 0,
Cn(0)0
由 此 可 得 C n(t)2n A l2 ([n 1 2 (2 1)n2 e l 2 )l](1en 2 2 l2 2t)
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
方法二 ：可设 u(x,t)v(x,t)w (x)
代入原问题得v(x20v2,t)w"w(x(0))a20,vvt(l,tA)ewx(l)0,0,
0xl,t 0
数理方程习题
(方法二) 因x = r cos θ,
∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂u = + = cos θ + sin θ, ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r ∂x ∂y ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂u = + = (−r sin θ) + r cos θ, ∂θ ∂x ∂θ ∂y ∂θ ∂x ∂y ∂2u ∂2u ∂2u ∂2u 2 = cos θ + sin 2 θ + sin2 θ, ∂r2 ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 ∂2u ∂2u 2 ∂u ∂2u 2 2 ∂2u ∂u sin 2 θ + r cos θ − r sin θ. = r sin θ − r cos2 θ − 2 2 2 ∂θ ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y 因此 1 ∂2u ∂ 2 u 1 ∂u ∂2u ∂2u + + = + 2. ∂r2 r ∂r r2 ∂θ2 ∂x2 ∂y
3. 证明三维拉普拉斯算子在柱面坐标系(r, θ, z )下可以写成 ∆u = 1 ∂2u ∂2u ∂ 2 u 1 ∂u + + + 2. ∂r2 r ∂r r2 ∂θ2 ∂z
证. 柱面坐标系与直角坐标系之间的变换关系为 x = r cos θ, 或者为 r = (x2 + y 2 ) 2 , 完全同上题的计算, 得证. 4. 证明三维拉普拉斯算子在球坐标系(r, θ, ϕ)下可以写成 ( ) 1 ∂2u ∂u 1 ∂2u ∂ 2 u 2 ∂u + 2 + cot θ + . ∆u = 2 + ∂r r ∂r r ∂θ2 ∂θ sin2 θ ∂ϕ2
数理方程第一章、第二章习题全解
另一端( x = l) 放手后就为自由端 , 也就是在振动过程中不受外力作
用 , 故有
ux ( l, t) = 0
边值条件已经确定 , 下面考虑初始条件。由于弦初始时刻处于静 止状态 , 即初速度为 0 , 故 ut ( x, 0) = 0。而在 t = 0 时 , 整个杆被纵向
拉长 e, 则单位杆长的伸长为 e , 故 x 点处的伸长为 e x , 即
u( 0 , t) = u( l, t) = 0 现考虑初始条件,当冲量 k 作用于 x = c处时, 就相当于在这点 给出了一个初速度 , 我们考虑以 c点为中心 , 长为 2δ的一小段弦 ( c δ, c + δ) , 设弦是均匀的 , 其线密度为 ρ, 则这 一小段 弦的质量 为 2δρ, 受冲击时速度为 ut ( x, 0) , 由动量定理得
出,为
u( x , 0 )
=
x( l 2
x)
(0 ≤ x ≤ l)
第一章 一些典型方程和定解条件的推导
17
现考虑边值条件,设在 x = 0 这 个端点处温度为 0,则有
u( 0 , t) = 0 ( t > 0 ) 另一端( x = l) 处再恒定的热流 q 进入杆内, 由傅里叶实验定律, 在
边界曲面∑ 上有
= 0 ( i = 1 , 2 , … ) 。由于其中 A, B, C, D, E, F 都只是 x , y 的函数 , 故 L
数理方程课后习题答案
数理方程课后习题答案
数理方程课后习题答案
数理方程是数学中的一个重要分支，它研究的是各种数学模型中的方程。在学
习数理方程的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径之一。本文
将为大家提供一些数理方程课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。1. 解方程：2x + 5 = 13
解答：将方程中的常数项5移到等号右边，得到2x = 13 - 5，即2x = 8。然后
将2移到等号右边，得到x = 8/2，即x = 4。所以方程的解为x = 4。
2. 解方程组：{2x + y = 7，x - y = 1}
解答：可以使用消元法来解决这个方程组。首先将第二个方程的系数取负，得
到{-x + y = -1}。然后将第二个方程乘以2，得到{-2x + 2y = -2}。将这两个方
程相加，得到{0x + 3y = -3}，即3y = -3。解得y = -1。将y的值代入第一个方程，得到2x - 1 = 7，即2x = 8。解得x = 4。所以方程组的解为x = 4，y = -1。
3. 解二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0
解答：可以使用因式分解法来解决这个二次方程。将方程因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0。根据乘积为零的性质，得到x - 2 = 0或x - 3 = 0。解得x = 2或x = 3。所以方程的解为x = 2或x = 3。
4. 解三次方程：x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0
解答：可以使用因式分解法来解决这个三次方程。观察方程，可以发现x = 1
是一个解。通过除以x - 1，得到(x - 1)(x^2 - 5x + 6) = 0。将x^2 - 5x + 6进行因式分解，得到(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0。根据乘积为零的性质，得到x - 1 = 0
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一、填空题
1．二阶线性偏微分方程xx xy yy x y Au Bu C u D u Eu Fu G +++++=（其中各系数均为x 和y 的函数）在某一区域的性质由式子：24B AC -的取值情况决定，取值为正对应的是（ 双曲 ）型，取值为负对应的是（ 椭圆）型，取值为零对应的是（ 抛物 ）型。
2．在实际中广泛应用的三个典型的数学物理方程：
第一个叫（ 弦自由横振动 ），表达式为（2tt xx u a B u =），属于（双曲）型； 第二个叫（ 热传导 ），表达式为（ 2t xx u a B u =），属于（ 椭圆 ）型； 第三个叫（拉普拉斯方程和泊松方程），表达式为（0
x x y y
u u
+=，
(,)xx yy u u x y ρ+=-），属于（椭圆）型；
二、选择题
1．下列泛定方程中，属于非线性方程的是［ B ］
(A) 260t xx u u xt u ++=； (B) sin i t tt xx u u u e ω-+=； (C) (
)22
0y xx
xxy u x y
u
u +++=； (D) 340t x xx u u u ++=；
2. 下列泛定方程中，肯定属于椭圆型的是［ D ］
(A)0xx yy u xyu +=； (B) 22x xx xy yy x u xyu y u e -+=；
(C)0xx xy yy u u xu +-=； (D)()()()22sin sin 2cos xx xy yy x u x u x u x ++=； 3. 定解问题
()()(
)()()()2,0,00,,0
,0,,0tt xx x x t u a u t x l
u t u l t u x x u x x
ϕφ⎧=><<⎪
==⎨⎪==⎩的形式解可写成［ D ］
(A) ()01
,cos
cos
2
n n a n at n x u x t a l
l ππ∞
==
+
∑
(B) ()001
,cos
cos
n n n at n x u x t a b t a l
l
ππ∞
==++∑
(C) ()0,cos sin cos n n
n n at n at n x u x t a b l l l πππ∞
=⎡
⎤=
+⎢⎥⎣
⎦∑
(D) ()001
,cos sin cos n n n n at n at n x
u x t a b t a b l l
l
πππ∞
=⎡⎤=+++⎢⎥
⎣
⎦
∑ 4. 若非齐次边界条件为12(0,)(),(,)()x u t t u l t t μμ==，则辅助函数可取［C ］ (A) ()()12(,)W x t t x t μμ=+； (B) ()()21(,)W x t t x t μμ=+； (C) ()()()12(,)W x t x l t t μμ=-+； (D) ()()()21(,)W x t x l t t μμ=-+；
三、求解下列问题
（1）2,0,tt xx u a u t x =>-∞<<∞ ，其中a 为常数。
解：设试探解为 f (Ax+Bt)，代入泛定方程。
得 B 2f” = A 2a 2f” B 2 = A 2a 2
不妨取A=1，则B=+a 或-a
故试探解的形式为 f (x+at)或 f (x-at) 问题的通解为u (x,t) = f (x+at)+g (x-at)，其中f 和g 为任意函数。
（2）(
)()2
,0,,0cos(),,00tt xx t u a u t x u x x a u x ω⎧=>-∞<<+∞
⎪⎨==⎪⎩，其中
a 和ω为常数。
解：由上题知 u (x,t) = f (x+at)+g (x-at) 代入初始条件，得
u (x,0) = f (x)+g (x) = cos(ωx/a) u t (x,0) = a f (x)-a g (x) = 0 联合求解得f (x)=g (x) = 0.5cos(ωx/a) 故u (x,t) =0.5cos[ω(x+at)/a]+ 0.5cos[ω(x-at)/a]= cos(ωx/a)cos (ωt) 本题也可以用行波法公式直接求解。
（3）()()()()2,0,00,,0,0sin(2),,00
tt xx t u a u t x l
u t u l t u x x a u x ω⎧=><<⎪
==⎨⎪==⎩
， 其中 2a l πω=
，a 和ω均为常数。
解：由边界条件得形式解为：
11(,)cos sin sin cos sin sin 222n n
n n n
n n at n at n x u x t a b l l l n t n t n x a b a πππωωω∞
=∞
=⎛
⎫
=
+ ⎪
⎝
⎭
⎛
⎫
=
+ ⎪
⎝
⎭
∑∑
将初始条件代入上式，得：
11,42sin sin 20,0
n n
n n n n x x
a a a a
b ωω∞=⎧=⎧=⇒=⎨⎪⎨⎩⎪
=⎩∑当其它时
由上述结果得 2(,)sin cos 2x u x t t
a
ωω=
四对给定的二维金属矩形谐振腔()a b ⨯，横电模式的电场强度(,)E x y 满足定解问题：其中ω 和c 为电磁波频率和光速。用分离变量法求通解；ω 能连续取值吗？
解：令 E = X(x)Y(y)，代入定解问题，有：
2
X Y X Y c ωλ''''
⎛⎫
-=+= ⎪⎝⎭
由0,
(0)()0X X X X a λ''+===，知λ只在满足2
m a πλ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
时
有非零解：()sin
m m m x X x A a
π=，其中m = 1，2，3…
同理，由220,
(0)()0
m Y Y Y Y b c a ωπ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫''+-===⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
仅当
Y 的本征值满足：222
m n c a b ωππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎢⎥⎣⎦，其中
n = 1，2，3…时，Y 有
a
x
y b
2
0(0,)(,)0(,0)(,)0xx yy E E E c E y E a y E x E x b ω⎧⎛⎫
++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨
==⎪⎪==⎩