高中数学基础知识篇 2.2一次函数和二次函数同步练测新人教B版必修1

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高中数学必修1(人教B版)第二章函数2.2知识点总结含同步练习题及答案

已知函数 f (x) = x 2 − 2x + 3 在区间那么实数 a 的取值范围是______．解： [1, 2]
[0, a] (a > 0) 上的最大值为 3 ，最小值为 2 ，
因为 f (x) = x 2 − 2x + 3 = (x − 1)2 + 2，又因为 f (1) = 2 ，f (0) = f (2) = 3，则 a ∈ [1, 2]．
1 例题：求函数 y = − − − − − 的最小值． √x − 1− x
解：因为 x − 1 ⩾ 0 且 x ≠ 0，所以 x ⩾ 1 ，则函数 f (x) 的定义域为 [1, +∞)．
1 1 在 [1, +∞) 上单调递减，所以 y = − x x 1 − − − − − 在 [1, +∞) 上单调递增．所以 y = √x − 1 − 在 [1, +∞) 上单调递增． x 所以，当 x = 1 时，y min = −1 ，故所求的最小值为 −1． − − − − 又 y = √− x − 1 在 [1, +∞) 上单调递增，而 y =
四、课后作业
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1. 函数 y = ax 2 + bx 与 y = ax + b (ab ≠ 0) 的图象只能是 (
)
A．
B．
C．
D．
答案： D
2. 二次函数 f (x) = ax 2 + bx + c 的图象开口向下，对称轴为 x = 1 ，图象与 x 轴的两个交点中，一个交点的横坐标 x 1 ∈ (2, 3) ，则有 ( A．abc > 0
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高中数学第二章函数2.2一次函数和二次函数2.2.2二次函数的性质与图象自我小测新人教B版必修1

2.2.2 二次函数的性质与图象自我小测1．函数y＝x2－2x＋m的单调增区间为( )A.(－∞，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，1] D．[－2，＋∞)2．函数f(x)＝x2－mx＋4(m＞0)在(－∞，0]上的最小值是( )A.4 B．－4 C．与m的取值有关 D．不存在3．已知二次函数y＝6x－2x2－m的值恒小于零，那么实数m的取值范围为( )A.92⎧⎫⎨⎬⎩⎭B.9,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C．{9} D．(－∞，9)4．已知一次函数y＝ax＋c(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们在同一平面直角坐标系中的大致图象是( )5．已知定义在R上的二次函数f(x)，对任意x∈R，有f(4－x)＝f(x)，且函数在区间(2，＋∞)上是增函数，则( )A.f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(－25)＜f(80) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)6．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则m的取值范围是( )A.(0,4]B.3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7．抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴的两个交点为A，B，顶点为C，则△ABC的面积为__________．8．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上是减函数，且f(m)≤f(0)，则实数m 的取值范围是__________．9．若二次函数f(x)满足下列性质：(1)定义域为R，值域为[1，＋∞)；(2)图象关于x＝2对称；(3)对任意x1，x2∈(－∞，0)，若x1＜x2，都有f(x1)＞f(x2)．请写出函数f(x)的一个解析式__________(只要写出一个即可)．10．已知二次函数y＝x2－2kx＋k2＋k－2.(1)当k＝1时，写出函数图象的对称轴方程、单调区间；(2)当实数k为何值时，图象经过原点？(3)当实数k在什么范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？11．定义在R上的函数y＝f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝－4x2＋8x－3.(1)当x＜0时，求f(x)的解析式．(2)求y＝f(x)的最大值，并写出f(x)在R上的单调区间(不必证明)．参考答案1. 解析：此二次函数的图象开口向上，且对称轴为x ＝1，所以其单调增区间为[1，＋∞)．答案：B2. 解析：∵函数f (x )的图象开口向上，且对称轴x ＝2m＞0， ∴f (x )在(－∞，0]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (0)＝4. 答案：A3. 解析：由题意，得Δ＝36－4×2m ＜0，则m ＞92. 答案：B 4. 答案：D5. 解析：因为对任意x ∈R ，有f (4－x )＝f (x )，所以二次函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝2.因为函数在(2，＋∞)上是增函数，所以抛物线开口向上．又因为11离2最近，80离2最远，所以f (11)最小，f (80)最大．所以f (11)＜f (－25)＜f (80)．答案：C6. 解析：函数y ＝x 2－3x －4＝32x ⎛⎫-⎪⎝⎭2－254，作出图象如图所示：由图象知对称轴为x ＝32，f (0)＝－4，f 32⎛⎫⎪⎝⎭＝－254，f (3)＝－4，若函数在[0，m ]上有最小值－254，所以m ≥32. 若函数在[0，m ]上有最大值－4，因为f (0)＝f (3)＝－4，所以m≤3.综上可知，32≤m≤3.答案：C7.解析：由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得点A(－3,0)，B(1,0)，C(－1,4)，所以|AB|＝|1－(－3)|＝4，点C到边AB的距离为4，所以S△ABC＝12×4×4＝8.答案：88.解析：二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c图象的对称轴为x＝1.由f(x)在[0,1]上是减函数，可知a＞0，所以f(m)≤f(0)可化为am2－2am＋c≤c，即m2－2m≤0，得0≤m≤2.答案：[0,2]9.解析：二次函数的最小值为1，图象关于x＝2对称，在(－∞，0)上为减函数，所以f(x)＝(x－2)2＋1(f(x)＝a(x－2)2＋1(a＞0)均可)．答案：f(x)＝(x－2)2＋1(f(x)＝a(x－2)2＋1(a＞0)均可)10. 解：(1)当k＝1时，函数y＝x2－2x，函数图象的对称轴方程为x＝1，函数的单调减区间为(－∞，1]，单调增区间为[1，＋∞)．(2)当k2＋k－2＝0，即k＝－2或k＝1时，函数y＝x2－2kx＋k2＋k－2的图象经过原点．(3)因为函数y＝x2－2kx＋k2＋k－2图象的顶点坐标为(k，k－2)，若函数图象的顶点在第四象限内，则20kk>⎧⎨<⎩，－，解得0＜k＜2.11. 解：(1)设x＜0，则－x＞0，f(－x)＝－4(－x)2＋8(－x)－3＝－4x2－8x－3，∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴x＜0时，f(x)＝－4x2－8x－3.(2)由(1)知f(x)＝224(1)104(1)10x xx x⎧≥⎪⎨<⎪⎩－－＋，，－＋＋，，∴y＝f(x)有最大值f(1)＝f(－1)＝1.函数y＝f(x)的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]；单调减区间是[－1,0)和[1，＋∞)．。

高中数学第二章函数2.2一次函数和二次函数学习导航学案新人教B版必修1

2.2 一次函数和二次函数自主整理(1)定义:函数y=kx+b(k≠0)叫做一次函数,又叫线性函数;它定义域为R ,值域为R .(2)性质:①函数改变量y 2-y 1与自变量改变量x 2-x 1比值等于常数k;k 大小表示直线与x 轴倾斜程度; ②当k>0时,一次函数为增函数,当k<0时,一次函数为减函数;③当b=0时,一次函数为正比例函数,是奇函数;当b≠0时,一次函数既不是奇函数也不是偶函数;④直线y=kx+b(k≠0)与x 轴交点为(kb -,0),与y 轴交点为(0,b).(1)定义:函数y=ax 2+bx+c(a≠0)叫做二次函数,它定义域为R .(2)性质:①函数图象是一条抛物线,它顶点坐标为(a b 2-,),它对称轴为x=ab 2-. ②当a>0时,抛物线开口向上,函数在x=a b 2-处取得最小值,在区间(-∞,a b 2-］上是减函数,在区间［ab 2-,+∞)上是增函数. ③当a<0时,抛物线开口向下,函数在x=a b 2-处取得最大值,在区间［a b 2-,+∞)上是减函数,在区间(-∞,ab 2-］上是增函数. ④当二次函数图象对称轴与y 轴重合即b=0时二次函数为偶函数,否那么既不是奇函数也不是偶函数.⑤在y=ax 2(a≠0)中,假设a>0,a 越大,抛物线开口越小,a 越小,抛物线开口越大;反之,假设a<0,a 越大,抛物线开口越大,a 越小,抛物线开口越小.总之,y=ax 2(a≠0)中,假设|a|越大,抛物线开口越小,|a|越小,抛物线开口越大.(3)三种形式:①一般式:f(x)=ax 2+bx+c(a≠0),其中a 是开口方向与大小,c 是y 轴上截距,而a b 2-是对称轴.②顶点式(配方式):f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),其中(h,k)是抛物线顶点坐标.h=ab 2 ,k=. ③两根式(因式分解):f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)(a≠0),其中x 1、x 2是抛物线与x 轴两个交点横坐标.如果知道一个函数一般形式,可先把所求函数写为一般形式,其中系数待定,然后再根据题设条件求出这些待定系数,这种通过求待定系数来确定变量之间关系式方法称为待定系数法. 高手笔记1.常数函数是较为特殊函数,原因在于在函数解析式y=b 中没有出现自变量x.其实常数函数就是一个多对一映射.注意:当a=0时,函数y=ax 2=0是一个常数函数,其图象即为x 轴.2.式子x=a(a 是一固定常数)虽然含有x,但不能称其为函数,原因在于一个x 对应无穷多个y,不符合函数定义,应将其与y=b 区别开来.3.二次函数是重要根底函数,必须作为重点内容来掌握.应从解析式、定义域、值域、图象、单调性、奇偶性几个方面内容进展把握.4.解决二次函数问题一定要牢牢树立数形结合思想,通过对函数图象分析寻找解决问题思路和分类讨论依据.名师解惑1.如何认识与理解常数函数？剖析:要全面认识一个函数,主要从解析式、定义域、值域、单调性、奇偶性等五个方面来认识,对于常数函数:解析式:当k=0时,y=kx+b 就变成了y=b,这就是常数函数解析式,其中b 是某一固定常数.这个解析式特点在于没有出现自变量x,这也是许多同学对常数函数感到难于理解原因.定义域:自变量x 可以取任意实数.解析式中没有出现x,说明解析式对x 没有要求,可以取任意实数.值域:常数函数值域为{b}.常数函数只有一个函数值b,就是说不管自变量怎么取值,都对应同一个函数值b.图象:因为不管自变量x 取什么值都对应一个函数值b,所以函数图象是平行于x 轴水平直线(特殊情况是x 轴).单调性:因为函数值是固定常数b,没有增减变化,函数图象也是一条水平直线,没有起伏变化,所以常数函数在定义域上没有单调性.奇偶性:定义域为R ,并且f(-x)=f(x)=b,所以一定是偶函数.如果b=0那么既是奇函数又是偶函数.2.如何由函数y=x 2图象变化得到函数y=a·x 2(a≠0)图象？又如何由函数y=ax 2(a≠0)图象变化得到y=a(x+h)2+k(a≠0)图象？再如何由函数y=ax 2(a≠0)图象得到函数y=ax 2+bx+c(a≠0)图象？剖析:(1)二次函数y=a·x 2(a≠0)图象可由y=x 2图象各点纵坐标变为原来a 倍得到,而横坐标保持不变.(2)二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)可由y=ax 2(a≠0)图象向左(或向右)平移|h|个单位,再向上(或下)平移|k|个单位得到.(3)要得到二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)图象,先将其化为y=a(x+h)2+k(a≠0)形式,再通过y=ax 2(a≠0)图象上下左右平移得到.3.二次函数性质常见有哪些综合应用？剖析:(1)关于对称轴问题:假设二次函数f(x)满足f(t+x)=f(t-x),那么f(x)关于直线x=t对称,这一性质对于一般函数也适用.(2)关于二次函数在闭区间上最值问题:当a>0时,f(x)在区间［p,q ］上最大值为M,最小值为m,令x 0=21(p+q). 假设a b 2-<p,那么f(p)=m,f(q)=M; 假设p≤a b 2-<x 0,那么f(ab 2-)=m,f(q)=M; 假设x 0≤a b 2-<q,那么f(p)=M,f(ab 2-)=m; 假设a b 2-≥q,那么f(p)=M,f(q)=m. (3)关于二次方程f(x)=ax 2+bx+c=0实根分布问题:①方程f(x)=0两根中一根比r 大,另一根比r 小a·f(r)<0.②二次方程f(x)=0两根都大于r ⇔③二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根⇔讲练互动【例题1】方程ax-by+c=0(ab≠0)所对应一次函数,当a 、b 满足什么条件时函数为减函数分析：首先将直线方程化为一次函数y=kx+b 形式,然后根据k>0时函数为增函数,k<0时函数为减函数,进而求得a 、b 所满足条件,即ab<0. 解：把ax-by+c=0整理,得y=b a x+bc , 要使得一次函数为减函数,那么b a <0,即只要a 、b 异号就可以了. 绿色通道处理一次函数问题常把解析式整理成标准形式,然后再求解.变式训练1.直线mx+(m-2)y=3(m≠2,m≠0)所对应一次函数,当函数为增函数时m 满足条件是( )A.0<mB.m<2C.0<m<2解析：把mx+(m-2)y=3整理,得y=x+,要使得一次函数为增函数,那么>0,即只要-m 、m-2同号就可以了,所以易得0<m<2. 答案：C【例题2】二次函数f(x)=ax 2+(2a-1)x+1在区间［23-,2］上最大值为3,求实数a 值. 分析：这是一个逆向最值问题,假设从求最值入手,需分a>0与a<0两大类五种情形讨论,过程烦琐不堪.假设注意到f(x)最值总是在闭区间端点或抛物线顶点处取到,因此先计算这些点函数值,再检验其真假,过程简明.解：(1)令f()=3,得a=21-. 此时抛物线开口向下,对称轴为x=-2,且-2［23-,2］,故a=21-不合题意. (2)令f(2)=3,得a=21,此时抛物线开口向上,对称轴为x=0,闭区间右端点2距离对称轴远些,故a=21符合题意. (3)假设f(23-)=3,得a=32-,此时抛物线开口向下,对称轴为x=47-,闭区间为单调减区间,所以a=-32符合题意. 综上,a=21或a=32-. 绿色通道此题利用特殊值检验法,先计算特殊点(闭区间端点、抛物线顶点)函数值,再检验其真假,思路明了、过程简洁,是解决逆向型闭区间二次函数最值问题一种有效方法.变式训练2.二次函数y=x 2+2ax-3,x∈［1,2］,试求函数最小值.分析：首先观察到函数图象过(0,-3),再考虑对称轴位置,由于对称轴在不同位置会出现不同结果,所以需要分三种情况讨论.解：y=x 2+2ax-3=(x+a)2-a 2-3,当-a∈(2,+∞),即a<-2时,此时函数在［1,2］上为减函数,故此时最小值为f(2)=4a+1; 当-a∈(-∞,1),即a>-1时,函数最小值为f(1)=2a-2;当-a∈［1,2］,即-2≤a≤-1时,函数最小值为f(-a)=-a 2-3.【例题3】二次函数图象过(0,1)、(2,4)、(3,10)三点,求这个二次函数解析式.分析：是二次函数,且知三个点坐标,所以可以先设出二次函数解析式,用待定系数法求得.解：根据题意设这个二次函数解析式为y=ax 2+bx+c(a≠0),然后将图象所经过三个点坐标分别带入方程,联立三个方程,得解得故f(x)=23x 223-x+1. 绿色通道使用待定系数法解题根本步骤是第一步,设出含有待定系数解析式;第二步,根据恒等条件,列出含待定系数方程或方程组;第三步,解方程或方程组解出待定系数,使问题得到解决.变式训练3.假设f(x)为一次函数,且满足f ［f(x)］=1+2x,那么f(x)解析式为______.解析：f(x)为一次函数,可以使用待定系数法.设f(x)=kx+b,那么f ［f(x)］=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k 2x+kb+b,利用对应系数相等即可求得k=2-,b=2--1或k=2,b=2-1.答案：f(x)=2-x 2--1或f(x)=2x+2-14.〔2007黄冈第一次高三诊断试卷,17〕二次函数f(x)满足条件f(0)=1,及f(x+1)-f(x)=2x.(1)求f(x)解析式;(2)求f(x)在[-1,1]上最值.分析：此题求函数解析式根本方法仍然是待定系数法,但确定待定系数方法是根据代数式恒等对应项系数相等来确定.求函数在给定区间上最值时,要注意对称轴位置.解：(1)由f(0)=1,可设f(x)=ax 2+bx+1.那么由f(x+1)-f(x)=2x,可得2ax+a+b=2x.∴a=1,a+b=0,即b=-1.∴f(x)=x 2-x+1.(2)∵f(x)=x 2-x+1=(x 21-)2+43, 又x∈［-1,1］,∴当x=21时有最小值43,x=-1时有最大值3. 【例题4】二次函数f(x)=ax 2+bx+c,a∈N *,c≥1,a+b+c≥1,方程ax 2+bx+c=0有两个小于1不等正根,那么a 最小值为( )B.3C.4解析：由题意有由于方程有两个小于1不等正根,画图可知0<a b 2-<1,即b 2<4a 2. ∴4ac<b 2<4a 2,即a(a-c)>0.又a∈N *,且c≥1,∴a 最小值为2.答案：A绿色通道一般地,一元二次方程根分布情况问题往往从三个角度加以考虑:Δ符号,对称轴是否在区间内,端点函数值正负.变式训练2+2mx+2m+1=0.假设方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m 范围. 分析：二次方程根问题实质上是讨论二次函数图象与x 轴交点与坐标原点位置关系问题,因此,理解交点及二次函数系数(a ——开口方向,a 、b ——对称轴,c ——图象与y 轴交点)几何意义,掌握二次函数图象特点,是解决此类问题关键.解：条件说明抛物线f(x)=x 2+2mx+2m+1与x 轴交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图,得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=.65,21,,21056)2(024)1(02)1(012)0(m m R m m m f m f f m f ∴65-<m<21-. 教材链接1.［探索与研究］设一次函数y=5x-3,取一系列x值,使得每一个x值总是比前一个大2,然后计算对应y值,这一系列函数值之间有什么关系？对任意一个一次函数都有类似性质吗？答:对于一次函数y=5x-3,取一系列x值总是比前一个大2时,那么有与之对应每一个y值总是比前一个大10;对任意一个一次函数y=kx+b(k>0),假设取一系列x值总是比前一个大m 时(m为正整数),那么有与之对应每一个y值总是比前一个大mk.2.［探索与研究］结合课件1207,对一次函数性质进展探索.答:注意强调一次函数定义中一次项系数k≠0这一条件,当k=0时,函数为y=b,它不再是一次函数,它图象是一条与x轴平行直线,通常称为常值函数.函数值改变量y2-y1与自变量改变量x2-x1比值,称作函数x1到x2之间平均变化率,对一次函数来说它是一个常数,等于这条直线斜率.一次函数y=kx+b(k≠0)单调性与一次项系数正负有关,当k>0时,函数为增函数,当k<0时,函数为减函数.理由如下:设x1、x2是任意两个不相等实数,且x1<x2,那么Δx=x2-x1>0,所以Δy=f(x2)-f(x1)=(kx2+b)-(kx1+b)=k(x2-x1)=kΔx.当k>0时,kΔx>0,所以Δy>0,所以f(x)在R上是增函数;当k<0时,同理可证f(x)在R上是减函数.要准确地作出一次函数图象,只要找准图象上两个点即可,这两个点通常是找图象与坐标轴交点.3.［探索与研究］在同一坐标系中,作函数y=x2,y=(x+1)2,y=(x-1)2,y=x2+1,y=x2-1图象,研究它们图象之间关系.答:列表:x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …y=x2…9 4 1 0 1 4 9 …y=(x+1)2… 4 1 0 1 4 9 16 …y=(x-1)2…16 9 4 1 0 1 4 …y=x2+1 …10 5 2 1 2 5 10 …y=x2-1 …8 3 0 -1 0 3 8 …在同一坐标系中画出这五个图,如图2-2-1所示:图2-2-1通过图象,可知后四个图象都可以由y=x2通过左右上下平移得到,y=(x+1)2由y=x2向左平移一个单位得到;y=(x-1)2由y=x2向右平移一个单位得到,y=x2+1由y=x2向上平移一个单位得到,y=x 2-1由y=x 2向下平移一个单位得到.4.［探索与研究］二次函数y=ax 2+bx+c=a(x+a b 2)2+中a 、b 、c 对函数性质与图象各有哪些影响？答:二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)中系数a 、b 、c 决定着函数图象和性质.(1)二次项系数a 决定了函数图象开口方向、开口大小和单调性,当a>0时,开口向上,a 越大,开口越小,函数在对称轴两侧先减后增.当a<0时,开口向下,a 绝对值越大开口越小,函数在对称轴两侧先增后减.(2)b 是否为零决定着函数奇偶性.当b=0时,函数为偶函数;当b≠0且c≠0时,函数既不是奇函数也不是偶函数.(3)c 是否为零决定着函数图象是否经过原点.另外,a 和b 共同决定着函数对称轴,a 、b 和c 三者共同决定着函数顶点位置.5.［探索与研究］请同学们自己探索研究一下,给定哪些条件,才能求出一个具体二次函数.答:运用待定系数法求二次函数解析式时,一般可设出二次函数一般形式y=ax 2+bx+c(a≠0),但如果函数对称轴或顶点坐标或最值,那么解析式可设为y=a(x-h)2+k 会使求解比拟方便.具体来说:(1)顶点坐标为(m,n),可设为y=a(x-m)2+n,再利用一个独立条件求a;(2)对称轴方程x=m,可设为y=a(x-m)2+k,再利用两个独立条件求a 与k;(3)最大值或最小值为n,可设为y=a(x+h)2+n,再利用两个独立条件求a 与h;(4)二次函数图象与x 轴只有一个交点时,可设为y=a(x+h)2,再利用两个独立条件求a 与h.。

高中数学第二章函数 2.2 一次函数和二次函数 2.2.1 一次函数的性质与图象自我小测新人教B版必修1

2.2.1 一次函数的性质与图象自我小测1．若函数y ＝ax 2＋xb －1＋2表示一次函数，则a ，b 的值分别为( ) A.11a b ⎧⎨⎩＝，＝ B.01a b ⎧⎨⎩＝，＝ C.02a b ⎧⎨⎩＝，＝ D.12a b ⎧⎨⎩＝，＝ 2．一次函数y ＝kx －k ，若y 随x 的增大而增大，则它的图象经过( ) A.第一、二、三象限B ．第一、三、四象限C ．第一、二、四象限D ．第二、三、四象限3．若函数的解析式为x －2y ＋7＝0，则其对应直线的斜率和在y 轴上的截距分别为( ) A.12，72 B ．1，－7 C ．1，72 D ．－12，724．直线mx ＋(m －2)y ＝3(m ≠2，m ≠0)所对应的一次函数为增函数时，m 应满足的条件是( )A.m ＞0 B ．m ＜2 C ．0＜m ＜2 D ．无法确定5．汽车开始行驶时，油箱中有油4 L ，如果每小时耗油0.5 L ，那么油箱中剩余油量y (L)与它工作的时间t (h)之间的函数关系的图象是()6．两条直线y 1＝ax ＋b 与y 2＝bx ＋a 在同一直角坐标系中的图象可能是()7．已知关于x 的一次函数y ＝(m －1)x －2m ＋3，则当m ∈__________时，函数的图象不经过第二象限．8．若一次函数f(x)＝(1－m)x＋2m＋3在[－2,2]上总取正值，则m满足的条件是__________．9．某航空公司规定乘客所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)由如图所示的一次函数确定，求乘客可免费携带行李的最大质量．10．求直线y＝x＋3和直线y＝－x＋5以及x轴围成的三角形的面积．参考答案1. 解析：若函数为一次函数，则有011a b ⎧⎨⎩＝，－＝，即02a b ⎧⎨⎩＝，＝答案：C2. 解析：由题意知k ＞0，所以－k ＜0，故y ＝kx －k 的图象经过第一、三、四象限．答案：B3. 解析：∵x －2y ＋7＝0，∴y ＝12x ＋72. ∴斜率k ＝12，在y 轴上的截距b ＝72，故选A. 答案：A 4. 解析：把mx ＋(m －2)y ＝3整理，得y ＝2m m --x ＋32m -.要使得一次函数为增函数，则2m m --＞0，解得0＜m ＜2. 答案：C5. 答案：D6. 答案：A解析：函数的图象不过第二象限，如图．所以10230m m >⎧⎨≤⎩－，－＋，得1,3.2m m >⎧⎪⎨≥⎪⎩ 故m ≥32. 答案：3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7. 解析：∵函数f (x )为一次函数，∴m ≠1，要使f (x )在[－2,2]上总取正值，则需()(2)020f f >⎧⎪⎨>⎪⎩－，，即2(1)2302(1)230m m m m >⎧⎨>⎩－－＋＋，－＋＋，解得m ＞－14. 又∵m ≠1，∴m 满足的条件为m ＞－14，且m ≠1. 答案：m ＞－14，且m ≠1 9. 解：设题图中的函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，其中y ≥0.由题图，知点(40,630)和(50,930)在函数图象上，∴6304093050k b k b ⎧⎨⎩＝＋，＝＋，得30570.k b ⎧⎨⎩＝，＝－ ∴函数解析式为y ＝30x －570.令y ＝0，得30x －570＝0，解得x ＝19.∴乘客可免费携带行李的最大质量为19 kg.10. 解：设两条直线的交点为A ，y ＝x ＋3与x 轴的交点为B ，y ＝－x ＋5与x 轴的交点为C ，解35y x y x ⎧⎨⎩＝＋，＝－＋得14x y ⎧⎨⎩＝，＝，即A (1,4)，y ＝x ＋3与x 轴的交点为B (－3,0)，y ＝－x ＋5与x 轴的交点为C (5,0)，∴|BC |＝8，S △ABC ＝12|BC |·4＝12×8×4＝16，即两条直线与x 轴围成的三角形的面积为16.。

高中数学第二章函数 2.2 一次函数和二次函数 2.2.1 一次函数的性质与图象同步训练新人教B版必修1

2.2.1 一次函数的性质与图象5分钟训练1.下列说法正确的是( )A.y=kx(k 为常数)是正比例函数B.y·x=1是一次函数C.y=a 21-x(a 为常数)是一次函数 D.一次函数的一般式是y=kx+b 答案：C解析：A 、D 中缺少条件k≠0,B 中函数为反比例函数. 2.设函数f(x)=ax+b,若f(1)=-2,f(-1)=0,则( )A.a=1,b=-1B.a=-1,b=-1C.a=-1,b=1D.a=1,b=1 答案：B 解析：由⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧=+--=+.1,1,0,2b a b a b a 得 3.两条直线y 1=ax+b,y 2=bx+a,其中a>0,b<0,这两条直线在同一坐标系中图象的位置关系大致是( )答案：A提示：同一个选项中两条直线反映出a 、b 的值应该一致. 10分钟训练1.如果一次函数y=kx+b 的图象过第一、二、四象限，则k 、b 的符号是( ) A.k ＞0，b ＞0 B.k ＞0，b ＜0 C.k ＜0，b ＞0 D.k ＜0，b ＜0 答案：C解析：一次函数y=kx+b 中k 的正负决定直线在直角坐标系中倾斜的方向，b 是直线在y 轴上的截距，然后画出图象确定k 、b 的符号. 如下图，k ＜0，b ＞0，故选2.已知函数f （x ）是一次函数，2f （2）-3f （1）=5，f （0）-f （-1）=1，则f （x ）的解析式为( )A.3x-2B.3x+2C.x+4D.x-4 答案：D解析：设f(x)=kx+b(k≠0), 由已知,得⎩⎨⎧=+--=+-+)2(,1)()1(,5)(3)2(2b k b b k b k解得⎩⎨⎧-==.4,1b k∴f(x)=x -4. 3.函数f(x)=x+xx ||的图象是( )答案：C 解析：f(x)=⎩⎨⎧<->+.0,1,0,1x x x x4.已知一次函数y=ax+4与y=bx-2的图象在x 轴上相交于同一点,则ab的值是( ) A.4 B.-2 C.21 D.21-答案：D解析：令ax+4=0,得x=a4-(a≠0), 令bx-2=0,得x=b 2(b≠0). 由题意,可知b a 24=-,∴2142-=-=a b .5.(1)下列三个函数y=-2x,x=41-x,y=(2-3)x,共同点是①___________;②___________;③___________.(2)某种储蓄的月利率为0.15%,现存入1 000元,则本息和y(元)与所存月数x 之间的函数关系式是___________.(3)写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式(写出一个即可):.______________________ ①y 随着x 的增大而减小; ②图象经过点(1,-3).答案：(1)一次函数斜率小于0 图象过原点(2)y=1.5x+1 000,x∈N *(3)y=-x-26.已知A 地在B 地的正南方向3 km 处,甲、乙两人同时分别从A 、B 两地向正北方向匀速直线前进,他们与A 地的距离s(km)与所用时间t(h)之间的函数关系的图象如图所示,当他们走了3 h 的时候,他们之间的距离是多少千米?解：设AC 的表达式为y=kx(k≠0),BD 的表达式为y=k 1x+3(k 1≠0), 令P 点坐标为(2,2k),又此点坐标满足BD 的表达式,∴2k=2k 1+3,∴k 1=232-k . ∴BD 的表达式为y=3232+-x k .当x=3时,甲距A 地的距离为3k km,乙距A 地的距离为(232-k ×3+3) km, ∴3k -(232-k ×3+3)=23329=-(km). 30分钟训练 1.下列函数①y=21-x;②y=2x -1;③y=x1;④y=2-1-3x;⑤y=x 2-1中,是一次函数的有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个答案：B提示：根据一次函数的定义进行判断.2.已知点(-4,y 1),(2,y 2)都在直线y=21-x+2上,则y 1、y 2大小关系是( ) A.y 1>y 2 B.y 1=y 2 C.y 1<y 2 D.不能比较答案：A解析：∵函数y=21-x+2为R 上的减函数. ∴y 1>y 2.3.2006年,小华的月工资(元)与劳动生产率(千元)变化的近似方程为y=500+80x,下列判断正确的是( )A.劳动生产率为1 000元时,工资为80元B.劳动生产率提高1 000元时,工资平均提高80元C.劳动生产率提高1 000元时,工资平均提高580元D.当月工资为740元时,劳动生产率为2 000元答案：B4.(探究题)已知一次函数y=(p+3)x+(2-p),试确定p 的范围,使得： (1)当_____________时,y 随x 增大而减小;(2)当_____________时,图象过第一、二、三象限; (3)当_____________时,图象过原点. 答案：(1)p<-3 (2)-3<p<2 (3)p=25.(创新题)如图是某出租车单程收费y(元)与行驶路程x(千米)之间的函数关系图象,根据图象回答下列问题:(1)当行驶8千米时,收费应为_____________元. (2)从图象上你能获得哪些信息?(请写出2条)①__________________________;②__________________________.(3)求出收费y(元)与行驶路程x(千米)(x≥3)之间的函数关系式为_____________. 答案：(1)11(2)①从起步到不超过3千米,收费5元 ②超过3千米后,每增加1千米,出租费增加1.2元(3)y=1.2x+1.4(x≥3)6.2006年,在一次摇控车比赛中,电脑记录了速度的变化过程,如图所示,能否用函数关系式表示这段记录?解：观察题中图象可知,当t 在0-1 s 内时,速度v 与时间t 是正比例函数关系, v=7.5t(0≤t≤1);当t 在1-8 s 内时,速度v 保持不变, v=7.5(1<t≤8);当t 在8-10 s 内时,速度v 与时间t 是一次函数关系,v=-3.75t+37.5(8<t≤10).即v=⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<≤≤.108,5.3775.3,81,5.7,10,5.7t t t t t 7.科学家通过研究得出:一定质量的某种气体在体积不变的情况下,压强p(kPa)随温度t(℃)变化的函数关系式是p=kt+b,其图象如图所示.(1)根据图象求出上述气体的压强p 与温度t 之间的函数关系式; (2)当压强为200 kPa 时,求上述气体的温度.解：(1)观察题中图象可知,点(25,110),(50,120)在该图象上.⎪⎩⎪⎨⎧==∴⎩⎨⎧+=+=.100,52,50120,25110b k b k b k ∴函数关系式为p=10052+t . (2)当p=200时,有200=10052+t ,∴t=250.∴当压强p 为200 kPa 时,气体的温度是250 ℃.8.某单位急需用车,但不准备买车,他们准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订合同,设汽车每月行驶x km,应付给个体车主的月租费是y 1元,应付给国营出租车公司的月租费是y 2元,y 1、y 2分别与x 之间的函数关系的图象(两条射线)如图所示,观察图象,回答下列问题.(1)分别写出y 1、y 2与x 之间的函数关系式;(2)每月行驶的路程在什么范围内时,租国营公司的车合算?(3)每月行驶的路程等于多少时,租两家车的费用相同?(4)如果这个单位估计平均每月行驶的路程为2 300 km,那么,这个单位租哪家的车合算?解：由题图可知,(1)设y 1=k 1x+b(k 1、b 为常数,且k 1≠0),y 2=k 2x(k 2≠0). ∴y 1、y 2都经过点(1 000,2 000). ∴2 000=1 000k 2.∴k 2=2.⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧+∙=+=.1000,1,01000,10002000111b k b k b k ∴y 1=x+1 000,y 2=2x(x ≥0).(2)当y 2<y 1时,有2x<x+1 000, ∴x<1 000.∴每月行驶的路程在0 km≤x<1 000 km 时,租国营公司的车合算. (3)当y 2=y 1时,有2x=x+1 000, ∴x=1 000.∴每月行驶的路程等于1 000 km 时,租两家车的费用相同. (4)当y 2>y 1时,有2x>x+1 000, ∴x>1 000.∴每月行驶的路程大于1 000 km 时,租个体车比较合算. ∴当x=2 300 km 时,这个单位租个体车比较合算.。

数学人教B版必修1同步练习2.2一次函数和二次函数第一小节 Word版含解析

一次函数和二次函数．一次函数的性质与图象．下列函数中既是一次函数，又是正比例函数的是()．＝－．＝．＝＋．＝．关于函数＝＋(·≠)，下列说法正确的是()．与成正比例．与成正比例．与＋成正比例．－与成正比例．函数＝(－)＋是一次函数，则的取值范围是()．≠－．≠．≠±．为一切实数．若＋与成正比例，且＝时，＝，则当＝时，＝.．设一次函数＝＋的图象过点(－)及直线＝－和直线＝－－的交点.()则该函数的解析式为；()设(，)，(，)是函数＝＋图象上两相异点，则该函数从到之间的平均变化率为．．已知一次函数＝(＋)－，若随的增大而减小，而的取值范围是()．<－．>－．≤－．≥－．已知直线＝＋过点(，)和(，)，若<且<，则与的大小关系是…()．>．<．＝．不能确定．两条直线＝＋与＝＋在同一坐标系中的图象可能是()．已知点(－，)，(－，)都在直线＝＋(为常数)上，则和的大小关系为.．若方程＋＝(>)的解为正值，则＝＋经过第象限．．在同一直角坐标系中画出一次函数＝＋和＝－＋的图象．．已知地在地的正南方向处，甲、乙两人同时分别从、两地向正北方向匀速直线前进，他们与地的距离()与所用时间()之间的函数关系的图象如图所示，当他们走了的时候，他们之间的距离是多少千米？．若函数＝(－)－－是正比例函数，则的值是()．．－．或－．或．函数＝－(－)的图象在第一、二、三象限，那么的取值范围是()．>．>．<．<<．一次函数()的斜率<，且[()]＝＋，则()等于()．－－．－＋．－－．－＋．在下列各图中，不可能是一次函数()＝－(－)的图象的是()．当＝时，函数＝(＋)－＋－是一次函数．．若函数＝－＋在[，＋∞)上为增函数，则实数，的取值范围为．．教师给出一个函数＝()，让甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：在区间(－∞，)上，函数＝()为减函数；丁：当<时，>.已知这四位同学的叙述都正确，请构造满足上述所有性质的一个函数为．。

数学人教B版必修1同步练习2.2一次函数和二次函数第三小节 Word版含解析

待定系数法．已知一个正比例函数的图象过()点，则这个函数的解析式为()．＝．＝－．＝．＝－．若直线＝＋与直线＝－相交于点()，则有()．＝－，＝．＝，＝．＝－，＝－．＝，＝．如果直线＝＋与＝＋的图象相交于轴上一点，那么，的关系为()．＝．∶＝∶．＋＝＋．·＝．已知＋－＝(－)(＋)，则＝，＝.．已知抛物线＝与直线＝＋交于两点，其中一点坐标为()，则另一点的坐标为．．已知一个一次函数的图象经过点()，()，则这个函数的解析式为()．＝－．＝＋．＝－＋．＝－－．已知一个二次函数的顶点为()，且过()点，则这个二次函数的解析式为()．＝＋．＝＋．＝＋．＝＋．已知一个二次函数经过(－)，()，()点，则这个函数的解析式为()．＝－．＝－．＝＋．＝－．函数＝－＋与轴交于、两点，与轴交于点，则△的面积为．．已知一个二次函数＝()，()＝，又知当＝－或－时，这个函数的值都为零，则这个二次函数的解析式为．．如图，一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面，铅球落地点距铅球刚出手时的水平距离为，铅球运动的最高点距地面．已知铅球的运动轨迹是抛物线，求这个抛物线的解析式．．已知一次函数的图象与轴的交点为()，又与正比例函数图象交于点，点在第一象限且横坐标为，如果△(为原点)的面积为，求这个正比例函数和一次函数的解析式．．若()，()是抛物线＝＋＋上的两点，那么它的对称轴为直线()．＝－．＝．＝．＝．如图所示，函数＝＋＋(≠)的对称轴为直线＝，则，，应满足的条件为()．＋<．＋＋>．>>．>．若()＝(－)＋＋为偶函数，则()在[－]上()．单调递增．单调递减．先增后减．先减后增．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到下列文字：“已知二次函数＝＋＋的图象过点()，…，求证：这个二次函数的图象关于直线＝对称．”根据以上信息，题中的二次函数图象不具有的性质是()．过点()．顶点为()．在轴上截得的线段长为．与轴交点为().已知关于抛物线＝(＋)＋(－)＋＋的图象与轴的两交点的横坐标满足倒数之和等于－，则＝.．二次函数＝＋＋的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的二次函数为＝－＋，则＝，＝.．某抛物线与＝的图象形状相同，对称轴平行于轴，且顶点为(－)，则它的解析式为．．已知二次函数()满足()＝－，(－)＝－，且()的最大值为，试确定二次函数的解析式．．已知二次函数满足(－)＝(－－)，且其图象在轴上的截距为，在轴上截得的线段长为，求()的表达式．。

高中数学第二章函数2.2一次函数和二次函数同步测控新人教B版必修1

2.2 一次函数与二次函数同步测控我夯基,我达标1.二次函数y=ax 2+bx+c 满足f(4)=f(1),那么…( )A.f(2)>f(3)B.f(2)<f(3)C.f(2)=f(3)D.f(2)与f(3)大小关系不能确定解析：二次函数对称轴两侧单调性与二次项系数正负有关,结合对称轴位置即可得到答案.答案：C2.函数y=ax+b 与y=ax 2+bx+c,那么它们图象可能是( )图2-2-2解析：在看每一个选项时候,先假设其中一条曲线位置是正确,由此观察出a 、b 、c 符号,然后再去看另一个函数图象位置是否正确,继而得到答案.答案：C3.假设二次函数y=x 2-3x-4定义域为［0,m ］,值域为［425-,-4］,那么m 取值范围是( )A.［0,4］B.［23,4］C.［23,3］D.［23,+∞)解析：易知f(0)=-4,f(23)=425-,又因为对称轴为x=23,故f(3)=-4,结合图形不难得到答案.答案：C4.设二次函数y=ax2+bx+c,对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t)成立,在函数值f(2)、f(1)、f(-1)、f(5)中,最小一个不可能是( )A.f(2)B.f(1)C.f(-1)D.f(5)解析：由f(2+t)=f(2-t)成立,知二次函数对称轴为x=2,易知函数在(-∞,2)上为单调函数,同时注意到开口方向不定,故f(1)不可能最小.答案：B5.假设f(x)=-x2+2ax与g(x)=1+xa在区间［1,2］上都是减函数,那么a取值范围是( )A.(-1,0)∪(0,1)B.(-1,0)∪(0,1］C.(0,1)D.(0,1］解析：二次函数单调区间与其对称轴有关.因为f(x)=-x2+2ax二次项系数为负,即在对称轴左侧为增函数,在对称轴右侧为减函数.即在［a,+∞)上为减函数,又在区间［1,2］上都是减函数,即［1,2］⊆［a,+∞),可求出a≤1.又g(x)=1+xa在［1,2］上为减函数,那么a>0.取两个范围交集得0<a≤1.答案：D6.如果二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间(21,1)上是增函数,那么f(2)取值范围是________.解析：由于f(2)=22-(a-1)×2+5=-2a+11,求f(2)取值范围就是求一次函数y=-2a+11值域.当然就应领先求其定义域.因为f(x)在区间(21,1)上是增函数,由于其图象(抛物线)开口向上,故其对称轴x=21-a或与直线x=21重合或位于直线x=21左侧,于是21-a ≤21,解得a≤2,故f(2)≥-2×2+11=7,即f(2)≥7.答案：f(2)≥77.函数y=(m-2)x m m -2+6x+2是一个二次函数,求m 值,并判断此抛物线开口方向,并写出它是由函数y=(m-2)x m m -2通过怎样平移得到. 分析：根据定义确定二次函数解析式,应注意二次函数二次项系数不为零,且x 最高次是二次形式.图象进展平移变换时,通常先将解析式配方为y=a(x+h)2+k(a≠0)形式,再由y=ax 2(a≠0)通过左右(或上下)平移得到.解：由解得m=-1.∴y=-3x 2+6x+2=-3(x-1)2+5,函数开口向下.它可由函数y=-3x 2向右平移1个单位,再向上平移5个单位得到.8.对于二次函数f(x)=21x 2+4x+6.(1)指出图象开口方向、对称轴方程、顶点坐标;(2)画出它图象,并说明其图象由y=x 2图象经过怎样平移得来;(3)求函数最大值或最小值;(4)分析证明函数单调性.分析：研究二次函数通常会运用以下几点知识:(1)配方;(2)求函数图象与坐标轴交点;(3)函数对称性质;(4)函数单调性.运用描点法作图象应防止描点前盲目性,也应防止盲目地连点成线.要把表列在关键处,要把线连在恰当处.画抛物线,我们先画对称轴,再取极值点(也就是顶点),接着再多描一点,依开口方向及对称性就可画出图形.解：(1)配方,得f(x)=21(x+4)2-2,可知图象开口向上,对称轴为直线x=-4,顶点坐标为(-４,-2).(２)列表略,作图如下图.函数f(x)图象可以看作是由y=x 2经一系列变换得到,具体地说:先将y=x 2上每一点纵坐标变为原来21,再将所得图象向左移动4个单位,向下移动2个单位得到.(3)由图,函数在定义域R 内没有最大值,y min =f(-4)=-2.(4)设x 1<x 2<-4,x 1-x 2<0,f(x 1)-f(x 2)=21(x 12-x 22)+4(x 1-x 2)=21(x 1-x 2)(x 1+x 2+8).∵x 1-x 2<0,x 1+x 2<-8,∴x 1+x 2+8<0.∴f(x 1)-f(x 2)>0.∴函数f(x)在(-∞,-4］上是减函数.同理,函数f(x)在［-4,+∞)上是增函数.我综合,我开展9.二次函数f(x)=x 2+x+a(a>0),假设f(m)<0,那么f(m+1)值是( )解析：充分利用坐标轴位置与函数图象与坐标轴交点,得到f(x)与x轴两个交点距离小于1.应用数形结合思想可得f(m+1)>0.答案：A10.f(x)=(x-a)(x-b)-2(a<b),并且α、β(α<β)是方程f(x)=0两根,那么实数a 、b 、α、β大小关系是( )A.α<a<b<βB.a<α<b<βC.a<α<β<bD.α<a<β<b解析：由函数f(x)=(x-a)(x-b)-2与f(x)=(x-a)(x-b)图象平移关系,得到两个函数分别与x 轴交点,观察图形不难得到答案.答案：A11.当m∈［-1,2］时,函数y=mx+2m+1值总大于0,那么x 取值范围是________.解析：可以利用变量转换方法,原来变量是x,可以将其变为以m 为变量函数,即y=(2+x)m+1,此时原来不等式就变为以m 为变量不等式,其对应函数为f(m)=(2+x)m+1.根据数形结合思想,只需f(-1)与f(2)同时大于0即可,进而求得原不等式解集.答案：(25 ,-1)12.某汽车运输公司购置了一批豪华大客车投入运营.据市场分析,每辆客车营运利润y 与营运年数x(x∈Z)为二次函数关系(如图2-2-3),那么客车有营运利润时间不超过_______年.图2-2-3解析：首先根据条件求出y=-(x-6)2+11,此题要求“客车有营运利润时间〞实际上是求图象与x 轴两个交点横坐标之差.答案：713.函数f(x)=-x 2+3x+1,x∈［m,m+1］.(1)求f(x)最小值g(m);(2)求g(m)最大值.分析：二次函数是确定,但是区间［m,m+1］不确定,可以设想让这个动区间块沿x 轴从右向左移动,从而求出f(x)最小值g(m).解：(1)当函数对称轴x=23≥m+21,即m≤1时,f(x)最小值g(m)=f(m)=-m 2+3m+1.当函数对称轴x=23<m+21,即m>1时,f(x)最小值是g(m)=f(m+1)=-(m+1)2+3(m+1)+1=-m 2+m+3.(2)由g(m)=知g(m)max =g(1)=3.14.二次函数对称轴为x=2-,截x 轴上弦长为4,且过点(0,-1),求函数解析式.分析：一般情况下,由于常见函数(一次函数,二次函数等函数)解析式构造形式是确定,故可用待定系数法确定其解析式.而二次函数形式有一般式、两点式、顶点式,往往要结合题设适中选择.解：∵二次函数对称轴为x=2-,设所求函数为f(x)=a(x+2)2+b.又∵f(x)截x 轴上弦长为4,∴f(x)过点(-2+2,0),f(x)又过点(0,-1).∴解得 ∴f(x)=21(x+2)2-2.我创新,我超越15.函数f(x)=ax 2+2ax+4(0<a<3),假设x 1<x 2,x 1+x 2=1-a,那么( )A.f(x 1)>f(x 2)B.f(x 1)<f(x 2)C.f(x 1)=f(x 2)D.f(x 1)与f(x 2)大小不能确定解析：f(x 1)-f(x 2)=ax 12+2ax 1+4-(ax 22+2ax 2+4)=ax 12-ax 22+2ax 1-2ax 2=a(x 1-x 2)(x 1+x 2+2).因为x 1<x 2,有x 1-x 2<0.又x 1+x 2=1-a,0<a<3,有-2<x 1+x 2<1.所以f(x 1)-f(x 2)<0.答案：B16.函数f(x)=,x∈［1,+∞).(1)当a=21时,求函数f(x)最小值;(2)假设对任意x∈［1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a 取值范围. 分析：对于(1),将f(x)变形为f(x)=x+2+x a =x+x 21+2,然后利用单调性求解.对于(2),运用等价转化>0(x∈［1,+∞))恒成立,等价于x 2+2x+a>0恒成立,进而解出a 范围.解：(1)当a=21时,f(x)=x+x21+2. 可以证明f(x)在区间［1,+∞)上为增函数,所以f(x)在区间［1,+∞)上最小值为f(1)=27.(2)解法一:在区间［1,+∞)上,f(x)=>0恒成立 x 2+2x+a>0恒成立. 设y=x 2+2x+a,∵(x+1)2+a-1在［1,+∞)上单调递增,∴当x=1时,y min =3+a.于是只需y min =3+a>0,函数f(x)>0即恒成立,∴a>-3.解法二:f(x)=x+x a +2,x∈［1,+∞).当a≥0时,函数f(x)值恒为正;当a<0时,函数f(x)单调递增.故当x=1时,f(x)min=3+a.于是只需f(x)min=3+a>0,函数f(x)>0即恒成立.故a>-3.。

高中数学第二章第二单元一次函数和二次函数练习题新人教B版必修1

高中数学第二章第二单元一次函数和二次函数练习题新人教B版必修11．一次函数（1）一次函数的概念函数叫做一次函数，它的定义域是R，值域为R.一次函数的图象是，其中k叫做该直线的，b叫做该直线在y 轴上的．一次函数又叫．（2）一次函数的性质①函数的改变量Δy＝与自变量改变量Δx＝的比值等于，k的大小表示直线与x轴的．②当k>0时，一次函数是；当k<0时，一次函数是．③当b＝0时，一次函数为，是；当b≠0时，它．④直线y＝kx＋b与x轴的交点为，与y轴的交点为。

2．二次函数（1）函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做，它的定义域为R.（2）二次函数的性质与图象图象函数性质a＞0 a＜0 定义域x∈R值域a>0 a<024[,)4ac bya-∈+∞24(,]4ac bya-∈-∞奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数单调性a>0 a<0(,],2bxa∈-∞-时递增[,)2bxa∈-+∞时递减(,],2bxa∈-∞-时递减[,)2bxa∈-+∞时递增图象特点()()241:;2:(,)224b b ac b x a a a-=--对称轴顶点最值抛物线有最低点，当2bx a=-时，y 有最小值2min44ac b y a-=抛物线有最高点，当2bx a=-时，y 有最大值2max44ac b y a-=(3) 配方法将二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 配成顶点式y ＝x (a(－)h)2＋k 来求抛物线的顶点和函数y 的最值问题．配方法是研究二次函数的主要方法，熟练地掌握配方法是掌握二次函数性质的关键，对一个具体的二次函数，通过配方就能知道这个二次函数的主要性质．（4）二次函数解析式的三种形式①一般式：f （x ）= ax 2+bx+c(a ≠0) .②顶点式：f(x)= f(x)=a(x-h)2+k (a ≠0) ，(k ，h)为顶点坐标． ③两根式：f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0) ， x 1、x 2为两实根． 3．待定系数法一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数. 这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法。

高中数学第二章函数2.2一次函数和二次函数2.2.2二次函数的性质与图象同步训练新人教B版必修1

二次函数性质与图象5分钟训练1.抛物线y=x 2-2x+1对称轴是( )A.直线x=1B.直线x=-1C.直线x=2D.直线x=-2答案：A解析一：因为抛物线y=ax 2+bx+c 对称轴方程是y=a b 2-,将抛物线中a=1,b=-2代入,求得x=1.解析二：可将抛物线配方为y=a(x-h)2+k 形式,对称轴为x=h,抛物线可配方为y=(x-1)2,所以对称轴x=1.2.设集合A={x||x-2|≤2,x∈R },B={y|y=-x 2,-1≤x≤2},那么(A∩B)等于( )A.RB.{x|x∈R ,x≠0}C.{0}D.∅答案：B解析：A=［0,2］,B=［-4,0］,所以(A∩B)={x|x∈R ,x≠0}.3.函数y=ax 2+bx+c 图象与函数y=3x 2+2x-1图象关于原点对称，那么a=_____________，b=_____________，c=_____________.答案：-3 2 1解析：设点〔x ，y 〕在y=3x 2+2x-1图象上，那么点〔-x ，-y 〕在y=ax 2+bx+c 图象上.所以-y=a 〔-x 〕2+b 〔-x 〕+c ，即y=-ax 2+bx-c.从而a=-3，b=2，c=1.A.y=x2-3x+2B.y=5-x2C.y=-x2+2xD.y=x2-4x+4(1)图象经过坐标原点函数是_____________;(2)图象顶点在x轴上函数是_____________;(3)图象顶点在y轴上函数是_____________.答案：(1)C (2)D (3)B10分钟训练1.函数y=-ax+1与y=ax2在同一坐标系图象大致是图中( )答案：D解析：因为函数y=ax2一定经过坐标原点，所以先排除答案A、B.对a＞0、a＜0两种情况进展讨论、分析、验证.2.当a、b为实数，二次函数y=a〔x-2〕2+b有最小值-1时，那么有( )A.a＜bB.a=bC.a＞b答案：C解析：二次函数有最小值-1，所以a＞0，b=-1.所以a＞b.3.函数f〔x〕=x2+2〔a-1〕x+2在区间〔-∞，4］上是减函数，那么实数a取值范围是( )A.a≤-3B.a≥-3C.a≤5D.a≥3答案：A解析：二次函数对称轴x=1-a 在x=4右侧，即1-a≥4.∴a≤-3.4.假设0<x<21,那么函数y=x(1-2x)最大值为____________. 答案：81 解析：y=-2(x 41-)2+81. ∵41∈(0, 21),∴y max =81. 5.二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)(x∈R ),且f(x)在(2,+∞)上是减函数,那么f(5),f(-2),f(3)大小关系为____________. 答案：)2()5()3(-<<f f f解析：依题意,二次函数f(x)对称轴是x=2,且在(-∞,2)上是增函数. ∵f(5)=f(-1),且312<-<-,6.某省两相近重要城市之间人员交流频繁,为了缓解交通压力,特修一条专用铁路,用一列火车作为交通车,该车每次拖4节车厢,一日能来回16次,如果每次拖7节车厢,那么每日能来回10次,每日来回次数是车头每次拖挂车厢个数一次函数,每节车厢能载乘客110人.问这列火车每天来回多少次,每次应拖挂多少车厢才能使运营人数最多并求出每天最多运营人数.解：设每日来回y 次,每次挂x 节车厢,由题意,得y=kx+b.当x=4时y=16,当x=7时y=10,得以下方程组解得k=-2,b=24. ∴y=-2x+24.由题意,知每日挂车厢最多时,营运人数最多,设每日营运S 节车厢, 那么S=xy=x(-2x+24)=-2x 2+24x=-2(x-6)2+72.所以当x=6时,S max =72,此时y=12.那么每日最多运营人数为110×6×12=7 920(人).30分钟训练1.〔2006陕西高考,文2〕函数f(x)=(x∈R )值域是( )A.(0,1)B.(0,1］C.［0,1)D.［0,1］答案：B解析：函数f(x)=(x∈R ),∴1+x 2≥1.∴原函数值域是(0,1］.2.设b>0,二次函数y=ax 2+bx+a 2-1图象为以下图之一,那么a 值为( )B.-1C.D.答案：B解析：∵b>0,∴不是前两个图形,从后两个图形看ab 2->0,∴a<0. 故应是第3个图形.∵过原点,∴a 2-1=0.结合a<0.∴a=-1.3.假设函数y=x 2-3x-4定义域为［0,m ］,值域为［425-,-4］,那么m 取值范围是( )A.(0,4］B.［23,4］C.［23,3］D.［23,+∞)答案：C解析：∵y=(x 23-)2425-, ∴当x=23时,y min =425-. ∴m≥23.令x 2-3x-4=-4,得x=0或x=3. ∴23≤m≤3.4.(探究题)二次函数y=ax 2+bx+c 图象如下图,那么abc,b 2-4ac,2a+b,a+b+c 这四个式子中,值为正数有( ) 答案：B解析：∵二次函数图象开口向上,∴a>0.又∵图象与x 轴有两个交点,∴方程ax 2+bx+c=0有两个相异实根,即Δ=b 2-4ac>0.二次函数图象对称轴在原点右侧、直线x=1左侧,故0<a b 2-<1,即-b<2a,2a+b>0. 观察图象可知f(1)=a+b+c<0.5.如图,在同一直角坐标系中,二次函数图象与两坐标轴分别交于点A(-1,0)、点B(3,0)与点C(0,-3),一次函数图象与抛物线交于B 、C 两点.(1)二次函数解析式为______________.(2)当自变量______________时,两函数函数值都随x 增大而增大.(3)当自变量______________时,一次函数值大于二次函数值.(4)当自变量______________时,两函数函数值积小于0.答案：(1)y=x 2-2x-3 (2)x≥1 (3)0<x<3(4)x<-1解析：(1)设二次函数解析式为y=a(x+1)(x-3)(a>0).∵图象过(0,-3),∴-3=a×1×(-3),a=1.∴函数解析式为y=x 2-2x-3.(2)函数对称轴方程为x=1,当x≥1时,两函数函数值都随x 增大而增大.(3)当0<x<3时,一次函数图象在二次函数图象上方.(4)当x<-1时,两函数函数值积小于0.6.设函数f(x)=假设f(-4)=f(0),f(-2)=-2,那么f(x)解析式为f(x)= _________.答案：解析：由题意,得⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧-=+-=+-.2,4224416c b c b c c b ∴f(x)=7.(创新题)有一个二次函数图象,三位学生分别说出了它一些特点：甲:对称轴是直线x=4;乙:与x 轴两个交点横坐标都是整数;丙:与y 轴交点纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点三角形面积为3.请你写出满足上述全部特点一个二次函数解析式:.______________________.答案：y=或y=或y=,或y=.解法一：设所求解析式为y=a(x-x 1)(x-x 2),且设x 1<x 2,那么其图象与y 轴两交点分别是A(x 1,0),B(x 2,0),与y 轴交点坐标是(0,ax 1x 2).∵抛物线对称轴是直线x=4,∴x 2-4=4-x 1,即x 1+x 2=8. ①∵S △ABC =3,∴21(x 2-x 1)·|ax 1x 2|=3,即x 2-x 1=.②①②两式相加减,可得x 2=||34,||3421121x ax x x ax -=+. ∵x 1、x 2是整数,ax 1x 2也是整数,∴ax 1x 2是3约数,共可取值为±1,±3.当ax 1x 2=±1时,x 2=7,x 1=1,a=±71;当ax 1x 2=±3时,x 2=5,x 1=3,a=±51. 因此,所求解析式为y=±71(x-7)(x-1)或y=±51(x-5)(x-3), 即y=或y=或y=或y=.解法二:用猜想验证法.例如:猜想与x 轴交点为A(5,0),B(3,0).再由题设条件求出a,看c 是否是整数.假设是,那么猜想得以验证,填上即可.8.二次函数对称轴为x=2-,截x 轴上弦长为4,且过点(0,-1),求函数解析式.解：∵二次函数对称轴为x=2-,可设所求函数为f(x)=a(x+2)2+b,又∵f(x)截x轴上弦长为4,∴f(x)过点(2--2,0),f(x)又过点(0,-1).-+2,0)与(21(x+2)2-2.∴f(x)=22+2.6x+43(0<x<30).y值越大,表示承受能力越强.(1)x在什么范围内,学生承受能力逐步增强x在什么范围内,学生承受能力逐步降低(2)第10分时,学生承受能力是什么(3)第几分时,学生承受能力最强解：2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9,所以当0≤x≤13时,学生承受能力逐步增强;当13<x≤30时,学生承受能力逐步下降.(2)当x=10时,y=-0.1×(10-13)2+59.9=59.第10分时,学生承受能力为59.(3)当x=13时,y取得最大值.所以在第13分时,学生承受能力最强.10.〔2006上海春季高考,21〕设函数f(x)=|x2-4x-5|.(1)在区间［-2,6］上画出函数f(x)图象;(2)设集合A={x|f(x)≥5},B=(-∞,-2］∪［0,4］∪［6,+∞).试判断集合A与B之间关系,并给出证明.解：(1)(2)方程f(x)=5解分别是142+,由于f(x)在(-∞,-1］与2-,0,4与14［2,5］上单调递减,在［-1,2］与［5,+∞)上单调递增,因此A=(-∞,142+,+∞).2-］∪［0,4］∪［14故B A.。

高中数学第二章2.2 一次函数和二次函数讲解与例题新

2.2 一次函数和二次函数1．一次函数的性质与图象(1)一次函数的概念函数y＝kx＋b(k≠0)叫做一次函数，又叫做线性函数；它的定义域为R，值域为R.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是直线，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y 轴上的截距．对一次函数的概念要注意以下三点：①k≠0.若k＝0，则函数就成为常数函数．②x的最高次项次数为1.否则，也不是一次函数．③b为任意常数．一次y＝kx＋b(k≠0)函数分k＞0k＜0类图象因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要描出两个点，再连成直线即可． (4)图象的特点①正比例函数y ＝kx 的图象是经过原点(0,0)的一条直线．②一次函数y ＝kx ＋b 的图象是经过y 轴上点(0，b )的一条直线． (5)画法技巧①画正比例函数y ＝kx 的图象，通常取(0,0)，(1，k )两点，然后连线．②画一次函数y ＝kx ＋b 的图象，通常取它与坐标轴的交点(0，b )，⎝ ⎛⎭⎪⎫－bk，0，然后连线．原因是上述两点在坐标轴上，描点较准确．但由于－b k多数情况下是分数，故在描点时，我们也可以取x 和y 都是整数的点．谈重点对截距b 含义的理解 (1)b 的取值范围：b ∈R .(2)b 的几何意义：直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点的纵坐标．(3)点(0，b )是直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点．当b ＞0时，此交点在y 轴的正半轴上；当b ＜0时，此交点在y 轴的负半轴上；当b ＝0时，此交点在原点，此时的一次函数就是正比例函数．(4)截距与距离是两个不同的概念．截距可正可负可以为零，但距离不可能为负．【例1－1】一次函数y ＝kx －k ，若y 随x 的增大而增大，则它的图象过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限 C ．第一、二、四象限 D ．第二、三、四象限解析：由题意知k ＞0，所以－k ＜0，故y ＝kx －k 的图象过第一、三、四象限．答案：B 【例1－2】函数的解析式为x －2y ＋7＝0，则其对应直线的斜率与纵截距分别为( )A ．17,22 B ．1，－7 C ．1，72 D ．17,22-解析：∵x－2y＋7＝0，∴17 =22y x+，∴斜率1=2k，纵截距7=2b，故选A.答案：A【例1－3】在同一直角坐标系内画出一次函数y＝2x＋1和y＝－2x＋1的图象．解：列表．描点(0,1)，(－0.5,0)x＋1和y＝－2x＋1的图象，如图．【例1－4】已知一次函数的图象经过A(3,5)和B(－4，－9)两点，求该一次函数的解析式．分析：一次函数的图象是一条直线，可设解析式为y＝kx＋b(k≠0)，又因为其图象过A，B两点，所以A，B两点的坐标适合方程，由此解出k和b.解：设这个一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)．∵当x＝3时，y＝5；当x＝－4时，y＝－9，∴3=5,4=9. k bk b+⎧⎨-+-⎩①②①－②，得7k＝14，∴k＝2.把k＝2代入①，得b＝－1.∴这个一次函数的解析式为y＝2x－1.2．二次函数的定义函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，它的定义域是R.特别地，当b＝c＝0，则函数变为y＝ax2(a≠0)．点技巧学习二次函数的定义应注意的两点(1)对二次函数的定义，要特别注意a≠0这个条件．函数y＝ax2＋bx＋c只有在a≠0的条件下才是二次函数，且x的最高次数是2，b，c可取任意实数．(2)任何一个二次函数的解析式都可化成y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的形式，因此把y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数的一般形式．3．二次函数的图象变换及参数a ，b ，c ，h ，k 对其图象的影响(1)函数y ＝x 2和y ＝ax 2(a ≠0)的图象之间的关系二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到，参数a 的取值不同，函数及其图象也有区别，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．当a ＞0时，二次函数y ＝ax 2的图象开口向上，当a ＜0时，图象开口向下．而且，当a ＞0时，a 的值越大，函数y ＝ax 2的图象开口越小，a 的值越小，函数y ＝ax 2的图象开口越大；当a ＜0时，a 的值越小，函数y ＝ax 2的图象开口越小，a 的值越大，函数y＝ax 2图象开口越大．也就是说，|a |越大，抛物线的开口越小；反之，|a |越小，抛物线的开口越大．(2)函数y ＝ax 2和y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图象之间的关系函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图象可以由函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象向左(h ＞0)或向右(h ＜0)平移|h |个单位长度，再向上(k ＞0)或向下(k ＜0)平移|k |个单位长度得到．h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．可简记为“左加右减，上加下减”．由于只进行了图象的平移变换，所以函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图象与函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象形状相同，只是位置不同．(3)函数y ＝ax 2和y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象之间的关系二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)通过配方可以得到其恒等形式y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，从而可以知道，由y ＝ax 2的图象如何平移就得到y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象．在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，即y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a ≠0)中，二次项系数a 决定着函数图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小；b 和a 共同决定抛物线的对称轴的位置，抛物线的对称轴是直线x ＝－b2a，它是一条平行于y 轴或与y 轴重合的直线；a ，b ，c 共同决定抛物线顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a 的位置，c 的大小决定抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交点的位置，当c ＝0时，抛物线经过坐标原点，当c ＞0时，抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，当c ＜0时，交点在y 轴的负半轴．【例3－1】(1)由y ＝－2x 2的图象，如何得到y ＝－2(x ＋1)2－3的图象？(2)把y ＝2x 2的图象，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，能得到哪个函数的图象？(3)将函数y ＝4x 2＋2x ＋1写成y ＝a (x ＋h )2＋k 的形式，并说明它的图象是由y ＝4x 2的图象经过怎样的变换得到的？解：(1)把y ＝－2x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度就得到y＝－2(x ＋1)2－3的图象．(2)把y ＝2x 2的图象，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，就得到函数y ＝2(x －3)2＋4，即y ＝2x 2－12x ＋22的图象．(3)y ＝4x 2＋2x ＋1＝21412x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ ＝21114121616x x ⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭ ＝21141416x ⎡⎤⎛⎫+-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＝213444x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.把y ＝4x 2的图象向左平移14个单位长度，再向上平移34个单位长度，就可得到函数y＝4x 2＋2x ＋1的图象．【例3－2】(1)在同一坐标系中作出下列函数的图象：①y ＝x 2；②y ＝x 2－2；③y ＝2x 2－4x .(2)分析如何把y ＝x 2的图象变换成y ＝2x 2－4x 的图象．分析：解答本题可就每个函数列表、描点连线，作出相应图象，然后利用图象以及二次函数的平移变换规律分析y ＝x 2与y ＝2x 2－4x 的图象之间的关系．x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y ＝x 2 … 9 4 1 0 1 4 9 … y ＝x 2－2 … 7 2 －1 －2 －1 2 7 …y ＝2x 2－4x … 30 16 6 0 －2 0 6 …(2)y ＝2x 2－4x＝2(x 2－2x )＝2(x 2－2x ＋1－1)＝2(x －1)2－2.由y ＝x 2到y ＝2x 2－4x 的变化过程如下．方法一：先把y ＝x 2的图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y ＝2x2的图象，然后把y ＝2x 2的图象向下平移2个单位长度得到y ＝2x 2－2的图象，最后把y ＝2x2－2的图象向右平移1个单位长度得到y ＝2(x －1)2－2，即y ＝2x 2－4x 的图象．方法二：先把y ＝x 2的图象向右平移1个单位长度得到y ＝(x －1)2的图象，然后把y ＝(x －1)2的图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y ＝2(x －1)2的图象，最后把y ＝2(x －1)2的图象向下平移2个单位长度便可得到y ＝2(x －1)2－2，即y ＝2x 2－4x 的图象．析规律二次函数图象的变换规律所有二次函数的图象均可以由函数y ＝x 2的图象经过变换得到，变换前，先将二次函数的解析式化为顶点式，再确定变换的步骤．常用的变换步骤如下：y ＝x 2------------------→横坐标不变纵坐标变为原来的a 倍y ＝ax 2----------------------→k >0，上移k 个单位长度k <0，下移|k |个单位长度y ＝ax 2＋k --------------------→h >0，左移h 个单位长度h <0，右移|h |个单位长度y ＝a (x ＋h )2＋k ，其中a 决定开口方向及开口大小(或纵坐标的拉伸)；h 决定左、右平移，k 决定上、下平移．【例3－3】已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与函数y ＝－2x 2＋3x 有相同的开口方向和大小，与函数y ＝x 2－12x ＋1有相同的对称轴，与函数y ＝4x 2－x －1在y 轴上有相同的交(1)求f (x )．(2)由y ＝x 2的图象能得到f (x )的图象吗？分析：(1)根据a ，b ，c 对f (x )的图象影响，由y ＝－2x 2＋3x 确定a ，由y ＝x 2－12x ＋1确定b ，由y ＝4x 2－x －1确定c ；(2)由y ＝x 2的图象得f (x )的图象要分步骤：y ＝x 2→y＝ax 2→y ＝a (x ＋h )2→y ＝a (x ＋h )2＋k ，因此先将f (x )的解析式化为f (x )＝a (x ＋h )2＋k 的形式．解：(1)∵f (x )与y ＝－2x 2＋3x 有相同的开口方向和大小，∴a ＝－2.∵f (x )与函数y ＝x 2－12x ＋1有相同的对称轴1=4x ， ∴1=24b a -. 又∵a ＝－2，∴b ＝1.∵f (x )与函数y ＝4x 2－x －1在y 轴上有相同的交点(0，－1)， ∴c ＝－1.∴f (x )＝－2x 2＋x －1.(2)f (x )＝217248x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭.将函数y ＝x 2图象上点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的－2倍得到函数y ＝－2x 2的图象；将函数y ＝－2x 2的图象向右平移14个单位长度，再向下平移78个单位长度得到函数217=248y x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的图象，即函数y ＝－2x 2＋x －1的图象．析规律二次函数的图象变换应先配方解决本题的关键是明确a ，b ，c 对函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的影响以及利用配方法将y ＝ax 2＋bx ＋c 化为y ＝a (x ＋h )2＋k 的形式，这是一项基本要求，往往由于配方过程中出现错误导致后面解答全部错误．4．二次函数的性质二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 可以通过配方转化为f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a ，结合图象函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)性质(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸(2)对称轴是直线x＝－b2a，顶点坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，4ac－b24a(2)对称轴是直线x＝－b2a，顶点坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，4ac－b24a(3)在区间⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b2a上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a，＋∞上是增函数(3)在区间⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b2a上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a，＋∞上是减函数(4)抛物线有最低点，当x＝－b2a时，y有最小值，y min＝4ac－b24a(4)抛物线有最高点，当x＝－b2a时，y有最大值，y max＝4ac－b24a由上表可以看出，函数的性质就是函数图象特征的具体描述，因此可借助于图象特征来理解记忆二次函数的主要性质．以上大部分性质在初中都已了解，新增加的是单调区间，所以，教科书首先通过图象观察得到函数的单调区间，然后利用单调性的定义进行了严格的证明，用定义证明函数单调性的方法和步骤在前面已经学过．【例4－1】分别指出下列二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴方程，写出函数的单调区间及最大值或最小值：(1)y＝x2－4x＋9；(2)y＝－2x2＋4x－3.分析：首先将所给的二次函数解析式配方化成顶点式，然后利用图象研究其性质．解：(1)y＝x2－4x＋9＝(x－2)2＋5，由于x2的系数是正数，所以函数图象开口向上；顶点坐标为(2,5)；对称轴方程为x＝2；函数在区间(－∞，2]上是减函数，在区间[2，＋∞)上是增函数；函数有最小值，没有最大值，函数的最小值是5.(2)y＝－2x2＋4x－3＝－2(x－1)2－1，由于x2的系数是负数，所以函数图象开口向下；顶点坐标为(1，－1)；对称轴方程为x＝1；函数在区间(－∞，1]上是增函数，在区间[1，＋∞)上是减函数；函数有最大值，没有最小值，函数的最大值是－1. 谈重点配方法的重要作用配方法是研究二次函数最值及对称性、顶点坐标等的基本方法，在探究出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴以后，其图象的对称性及其单调性可直观的反应在大脑中，解题中应注意多总结这些性质，以便拓展自己的思维空间．【例4－2】抛物线y ＝8x 2－(m ＋1)x ＋m －7的顶点在x 轴上，则m ＝________.解析：因为抛物线y ＝8x 2－(m ＋1)x ＋m －7的顶点在x 轴上，所以其顶点的纵坐标248(7)(1)=048m m ⨯⨯--+⨯，即m 2－30m ＋225＝0，所以(m －15)2＝0，所以m ＝15. 答案：15点技巧牢记二次函数的性质是关键抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a ，当顶点在x 轴上时，其纵坐标4ac －b 24a ＝0；当顶点在y 轴上时，其横坐标－b2a＝0.【例4－3】若函数y ＝x 2＋2(a －1)x ＋2在(－∞，4]上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3，＋∞)C ．(－∞，5]D ．[5，＋∞)解析：易知函数y ＝x 2＋2(a －1)x ＋2是二次函数，其图象的开口向上，对称轴是直线x ＝1－a ，此函数在区间(－∞，1－a ]上是减函数，若函数在(－∞，4]上是减函数，则1－a ≥4，所以a ≤－3.答案：A5．二次函数解析式的求法求二次函数的解析式，应根据已知条件的特点，灵活地运用解析式的形式，选取最佳方案，用待定系数法求之．(1)当已知抛物线上任意三点时，通常设所求二次函数为一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，然后列出三元一次方程组求解．(2)当已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式y ＝a (x ＋h )2＋k (其顶点是(－h ，k )，a ≠0)．(3)当已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为(x 1,0)，(x 2,0)，则设所求二次函数为交点式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．【例5－1】如图，坐标系中抛物线是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，则下列式子能成立的是( )A ．abc ＞0B ．b ＜a ＋cC ．a ＋b ＋c ＜0D ．2c ＜3b解析：图中出现的点(1,0)和(－1,0)要注意观察． A 中，∵抛物线开口向下，∴a ＜0.∵抛物线与y 轴的交点(0，c )在x 轴上方，∴c ＞0. 又∵=1>02ba-，∴b ＞0.∴abc ＜0.因此A 是错误的． B 中，∵当x ＝－1时，y ＜0(抛物线上横坐标为－1的点在x 轴下方)，∴a －b ＋c ＜0(把x ＝－1代入函数得y ＝a (－1)2＋b (－1)＋c ＝a －b ＋c )， ∴b ＞a ＋c .因此B 是错误的．C 中，∵抛物线上横坐标为1的点在x 轴上方，即y ＞0，又∵当x ＝1时，函数y ＝a ·12＋b ·1＋c ＝a ＋b ＋c ， ∴a ＋b ＋c ＞0.因此C 是错误的． D 中，由上得b ＞a ＋c .又∵=12b a -，∴1=2a b -. ∴2c ＜3b .因此D 正确．答案：D【例5－2】已知二次函数的图象的顶点坐标是(1，－3)，且经过点P (2,0)，求这个函数的解析式．分析：本题已知图象上两点的坐标(1，－3)和(2,0)，若不考虑已知点的特点，设二次函数的一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)似乎差一个条件，但注意到点(1，－3)是抛物线的顶点，再利用对称轴方程，就可以列出关于a ，b ，c 的三元一次方程组，从而得解；根据顶点坐标是(1，－3)，也可设二次函数的顶点式y ＝a (x －1)2－3(a ≠0)，只需将点P (2,0)的坐标代入，即可求出a ；若看到P (2,0)点是图象与x 轴的交点，利用对称性即可求出图象与x 轴的另一个交点，设二次函数的交点式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)也能求解．解：(方法1)设所求函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意，得=3,42=0,=1,2a b c a b c b a⎧⎪++-⎪++⎨⎪⎪-⎩解得=3,=6,=0.a b c ⎧⎪-⎨⎪⎩∴所求函数的解析式为y ＝3x 2－6x .(方法2)设所求函数的解析式为y ＝a (x －1)2－3(a ≠0)，由图象经过点P (2,0)，得a (2－1)2－3＝0，解得a ＝3.∴所求函数的解析式为y ＝3(x －1)2－3，即y ＝3x 2－6x . (方法3)∵二次函数的图象的顶点坐标为(1，－3)， ∴其对称轴为直线x ＝1.又∵图象与x 轴的一个交点坐标为P (2,0)，∴由对称性可知，图象与x 轴的另一个交点坐标为(0,0)． ∴可设所求函数的解析式为y ＝a (x －0)(x －2)(a ≠0)． ∵图象的顶点坐标是(1，－3)， ∴a (1－0)(1－2)＝－3，解得a ＝3. ∴所求函数的解析式为y ＝3x (x －2)，即y ＝3x 2－6x .析规律由二次函数的图象与x 轴的交点求解析式若二次函数y ＝f (x )的图象与x 轴的两个交点坐标为(x 1,0)和(x 2,0)，则其对称轴方程为x ＝x 1＋x 22，由此可以看出，已知二次函数的对称轴及其与x 轴的一个交点坐标，即可求出另一个交点的坐标．6．二次函数图象的草图画法画二次函数的图象时，重点体现抛物线的特征“三点一线一开口”．“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．根据这些特征，在坐标系中可快速画出抛物线的草图，使画图的操作更简便，使图象更精确．【例6】画出函数y ＝2x 2－4x －6的草图．解：y ＝2x 2－4x －6＝2(x 2－2x )－6＝2(x 2－2x ＋1－1)－6＝2[(x －1)2－1]－6＝2(x －1)2－8.函数图象的开口向上，顶点坐标为(1，－8)，对称轴为直线x ＝1.令y ＝0，得2x 2－4x －6＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3，故函数图象与x 轴的交点坐标为(－1,0)，(3,0)．画法步骤：①描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，－8)，(－1，0)，(3,0)，画出直线x ＝1；②连线：用光滑的曲线连点(1，－8)，(－1，0)，(3,0)，在连线的过程中，要保持关于直线x ＝1对称，即得函数y ＝2x 2－4x －6的草图，如图所示．7．待定系数法一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．待定系数法求解析式的基本步骤如下： (1)设出含有待定系数的解析式；(2)根据恒等条件，列出含待定系数的方程或方程组；(3)解方程或方程组求出待定系数，从而使问题得到解决．【例7】若f (x )为一次函数，且满足f [f (x )]＝1＋2x ，则f (x )的解析式为________．解析：已知f (x )为一次函数，可以使用待定系数法．设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f [f (x )]＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ，利用对应系数相等即可求得=2k ，=21b 或2k ，=21b .答案：()=221f x x 或(221f x x -8．给定区间上二次函数的最值或值域的求法求二次函数的最值或值域，基本的方法是配方法，当限定在某个闭区间上时，关键是确定函数图象的开口方向和对称轴与所给区间的相对位置，结合函数图象确定该函数的单调性、最大值或最小值是在端点处取得还是在顶点处取得．一般地，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在闭区间[p ，q ]上的最值有下列四种情况： (1)当－b2a＜p ，即对称轴在区间[p ，q ]的左边时，画出草图如图①，从图象上易得f (x )在[p ，q ]上是增函数，则f (x )min ＝f (p )，f (x )max ＝f (q )．(2)当p ≤－b 2a ≤p ＋q2，即对称轴在区间[p ，q ]的左端点与区间中点之间时，画出草图如图②.从图象上易得f (x )在[p ，q ]上的最值情况是f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝4ac －b 24a ，f (x )max ＝f (q )．(3)当p ＋q 2＜－b 2a≤q ，即对称轴在区间[p ，q ]的中点与右端点之间时，画出草图如图③.从图象上易得f (x )在[p ，q ]上的最值情况是f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝4ac －b 24a ，f (x )max ＝f (p )．(4)当－b2a＞q ，即对称轴在区间[p ，q ]的右边时，画出草图如图④.从图象上易得f (x )在[p ，q ]上是减函数，则f (x )min ＝f (q )，f (x )max ＝f (p )．【例8】已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值； (2)用a 表示出函数在[－5,5]上的最值；(3)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在[－5,5]上是单调函数．分析：f (x )＝x 2＋2ax ＋2＝(x ＋a )2＋2－a 2.(1)当a ＝－1时，由于对称轴x ＝1在区间[－5,5]内，则由图象知函数f (x )的最大值是f (－5)，最小值是f (1)；(2)中对称轴x ＝－a ，要根据对称轴与区间[－5,5]的相对位置来讨论最值，因此要对对称轴的位置分类讨论；(3)切入点是单调函数，结合图象可知对称轴不能在区间[－5,5]内部，因此也要讨论对称轴的位置．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]，当x ＝1时，f (x )取得最小值，即f (x )min ＝f (1)＝1.当x ＝－5时，f (x )取得最大值，即f (x )max ＝f (－5)＝(－5－1)2＋1＝37.所以函数f(x)的最大值为37，最小值为1.(2)函数y＝f(x)＝(x＋a)2＋2－a2图象的对称轴为x＝－a.当－a≤－5，即a≥5时，函数在区间[－5,5]上是增函数，所以f(x)max＝f(5)＝27＋10a，f(x)min＝f(－5)＝27－10a；当－5＜－a≤0，即0≤a＜5时，f(x)max＝f(5)＝27＋10a，f(x)min＝f(－a)＝2－a2；当0＜－a≤5，即－5≤a＜0时，f(x)max＝f(－5)＝27－10a，f(x)min＝f(－a)＝2－a2；当－a＞5，即a＜－5时，函数在区间[－5,5]上是减函数，所以f(x)min＝f(5)＝27＋10a，f(x)ma x＝f(－5)＝27－10a.故当a≥5时，f(x)max＝27＋10a，f(x)min＝27－10a；当0≤a＜5时，f(x)max＝27＋10a，f(x)min＝2－a2；当－5≤a＜0时，f(x)max＝27－10a，f(x)min＝2－a2；当a＜－5时，f(x)max＝27－10a，f(x)min＝27＋10a.(3)由(2)可知若函数f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，则有a≤－5或a≥5.释疑点如何在给定区间求二次函数的最值或值域当函数的解析式中含有参数或给定的区间不固定时，求二次函数在此区间上的最值，应按开口方向或对称轴与所给区间的相对位置进行正确合理的讨论，一要考虑二次函数的对称轴在区间的某侧还是在区间内，从而确定函数的单调区间；当对称轴在区间内部时，还要考虑区间的两个端点与对称轴的距离的远近，当开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴越近，函数值越小；反之，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大．9．一元二次方程与二次函数的关系一元二次方程与二次函数的关系是方程与函数关系的特例，是研究函数与方程关系的典范．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是相应的二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时的自变量x的值，从图象上看，就是抛物线与x轴交点的横坐标．当一元二次方程的判别式Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，此时对应的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，其解析式又可写成两根式的形式：y＝a(x－x1)·(x－x2)，抛物线与x 轴的两个交点间的距离|x 2－x 1|＝(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2－4c a＝b 2－4ac |a |.当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，此时对应的二次函数的图象与x 轴只有一个公共点；当Δ＜0时，方程没有实数根，此时对应的二次函数的图象与x 轴没有交点．当a ＞0时，它们之间的关系如下图所示：Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0求解一元二次方程根的问题，一般使用求根公式或根与系数的关系，但有些问题用这种方法解决比较繁琐，甚至无法求解，此时若借助于二次函数，并借助于图象，则问题会转化为易于理解和表达的问题．例如，实数a 为何值时，关于x 的一元二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋2a ＝0有一根小于－1，另一根大于1?显然，如果使用根与系数的关系或求根公式求解非常困难，我们可以利用相应的二次函数的图象解决该问题．设f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋2a ，画出该函数的图象(如下图)，方程的两根中一根小于－1，另一根大于1，等价于函数的图象与x 轴的一个交点在－1的左侧，另一个交点在1的右侧，只需⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)<0，f (1)<0，由此可解得a ＜－23.通过上述实例，我们可以看到，用函数的思想解决一元二次方程根的分布问题，运用了数形结合的思想，使难以处理的问题转化的非常直观简单．一般情况下，用二次函数的图象处理一元二次方程根的分布问题，要从多个方面考虑使结论成立的等价条件，如判别式、对称轴、函数值的正负大小等．【例9－1】已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)，并且m，n是方程f(x)＝0的两根，则实数a，b，m，n的大小关系可能是( )A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜bC．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b解析：由f(x)＝1－(x－a)(x－b)可知，二次函数f(x)的开口向下，且f(a)＝f(b)＝1＞0.∵m，n是方程f(x)＝0的两根，∴f(m)＝f(n)＝0.由f(x)的图象可知，实数a，b，m，n的关系可能是m＜a＜b＜n(如图所示)．答案：A点技巧由二次函数图象比较参数大小比较实数a，b，m，n的大小，可转化为比较四个函数值f(a)，f(b)，f(m)，f(n)的关系．根据条件可容易画出函数的图象并得到a，b，m，n四个变量在x轴上的位置，从而写出a，b，m，n的大小关系．【例9－2】若方程x2－32x＝k在(－1,1)上有实根，求k的取值范围．分析：显然利用求根公式求解不可取，我们可以利用相应二次函数的图象解决该问题，或将其转化为二次函数k＝x2－32x在区间(－1,1)上的值域问题．解：(方法1)设f(x)＝x2－32x－k，函数f(x)的图象开口向上，对称轴为直线3=4x.若方程x2－32x＝k在(－1,1)上有两个实根，则函数f(x)的图象如图甲所示，故2223()40,23(1)110,23(1)(1)(1)0,2kf kf k⎧∆=-+≥⎪⎪⎪=-⨯->⎨⎪⎪-=--⨯-->⎪⎩即9,161,25,2kkk⎧≥-⎪⎪⎪<-⎨⎪⎪<⎪⎩∴91<162k-≤-.若方程x 2－32x ＝k 在(－1,1)上有一实根，则函数f (x )的图象如图乙、丙所示，故(1)0,(1)0,f f ->⎧⎨≤⎩即223(1)(1)0,23110,2k k ⎧--⨯-->⎪⎪⎨⎪-⨯-≤⎪⎩∴5,21,2k k ⎧<⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩∴15<22k -≤.综上所述，实数k 的取值范围是95,162⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.(方法2)方程23=2x x k -可以看作是k 关于x 的二次函数23=2k x x -，配方得239=416k x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，其对称轴方程为3=4x ，函数在区间31,4⎛⎤- ⎥⎝⎦上是减函数，在区间3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数(图象如图所示)．由函数的单调性可知，此函数在区间(－1,1)上的值域为3,(1)4f f⎡⎫⎛⎫-⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，∵233339==442416 f⎛⎫⎛⎫-⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，f(－1)＝(－1)2－32×(－1)＝52，∴ 实数k的取值范围是95,162⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.。

高中数学第二章函数 2.2 一次函数和二次函数教研素材新人教B版必修1(2021年最新整理)

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2。

2 一次函数和二次函数教研中心教学指导一、课标要求1.理解一次函数的图象中在有关y=kx+b的具体数学问题中经常会出现分类讨论的情况;理解在二次函数的图象中a,b，c，h,k的作用，能够熟练地研究二次函数图象的上下左右移动,并能迁移到其他函数。

2。

研究一次函数、二次函数其定义域、值域、单调性、最大(小）值等性质。

对一般二次函数解析式配方，确定其位置。

培养化归意识，学会讨论参数。

3。

理解函数图象的平移与变换，进一步巩固数形结合这一数学思想，从形出发,然后升华为一般的数的认识。

注意对知识发生发展过程的认识，把握从具体到抽象的逐步深化。

4.了解待定系数法及其应用,体会知识由简单到复杂的发展过程和把复杂化简单的化归方法。

学法指导1。

过程与思想和方法相连,往往比结论更重要，所以应该注意对知识发生发展过程的认识，把握从具体到抽象的逐步深化.2.数形结合。

涉及图象的移动，从形出发,然后升华为一般的数的认识。

3.解决实际问题，是数学学习的重要目的,也是引起思考的重要方法。

要善于联系实际，可根据当地实际找一些具体的问题.4。

运用几何画板去发现、探索、总结数学规律,使自己成为一个数学“研究者".发现一些新结论，从而找到成功，找到自信，找到学习数学的乐趣。

人教B版数学必修1同步练习-2.2.2 二次函数的性质与图象 Word版含答案

1．若抛物线y ＝x 2＋6x ＋c 的顶点恰好在x 轴上，则c 的值为( )．A ．0B ．3C ．6D ．92．如图所示，坐标系中抛物线是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，则下列式子能成立的是( )．A ．abc ＞0B ．b ＜a ＋cC ．a ＋b ＋c ＜0D ．2c ＜3b3．函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2在(－∞，6)内是减函数，则实数a 的取值范围是( )． A ．[3，＋∞) B ．(－∞，3] C ．[－3，＋∞) D ．(－∞，－3]4．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2，且经过点(1,4)和点(5,0)，则该抛物线的解析式为________．5．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是________．6．已知f (x )＝ax 2＋bx (ab ≠0)，若f (m )＝f (n )，且m ≠n ，则f (m ＋n )＝________. 7．已知函数215()322f x x x =---. (1)求这个函数的顶点坐标和对称轴方程； (2)已知715()28f -=，不计算函数值，求5()2f -的值； (3)不直接计算函数值，试比较1()4f -与15()4f -的大小． 8．已知函数f (x )＝x 2＋2(a ＋1)x ＋2，x ∈[－2,3]． (1)当a ＝－2时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－2,3]上是单调函数．参考答案1.答案：D解析：∵y ＝x 2＋6x ＋c ＝(x ＋3)2＋c －9， ∴c －9＝0，c ＝9. 2.答案：D解析：观察图象开口向下，∴a ＜0. 又∵对称轴12bx a=-=，∴b ＝－2a ＞0.由图象观察与y 轴交点(0，c )在x 轴上方 ∴c ＞0，∴abc ＜0；又∵f (1)＞0，∴a ＋b ＋c ＞0；又∵f (－1)＜0，∴a －b ＋c ＜0；又∵f (3)＜0，∴9a ＋3b ＋c ＜0. 又∵12b a -=，∴2ba =-代入9a ＋3b ＋c ＜0， ∴302b c -+<，∴32c b <.即2c ＜3b . 3.答案：D解析：f (x )＝x 2＋4ax ＋2＝(x ＋2a )2＋2－4a 2， ∵f (x )在(－∞，6)内是减函数，∴－2a ≥6，∴a ≤－3. 4.答案：215222y x x =-++ 解析：由题意知：2242550b a a b c a b c ⎧-=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩解得12252a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩∴抛物线的解析式为215222y x x =-++. 5.答案：{x |x ＜－2或x ＞3}解析：由表中的二次函数对应值可得，二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2和3，又根据f (0)＜f (－2)且f (0)＜f (3)可知a ＞0.∴不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |x <－2或x >3}． 6.答案：0解析：f (m )－f (n )＝am 2＋bm －an 2－bn ＝a (m ＋n )(m －n )＋b (m －n )＝(m －n )[a (m ＋n )＋b ]＝0. 由于m ≠n ，所以a (m ＋n )＋b ＝0.从而f (m ＋n )＝(m ＋n )[a (m ＋n )＋b ]＝0.7.解：22151()3(3)2222f x x x x =---=-++. (1)这个二次函数的顶点坐标和对称轴方程分别为(－3,2)和x ＝－3. (2)∵7115()(3)(3)()2222f f f f -=--=-+=-， ∴515()28f -=. (3)∵15339()(3)(3)()4444f f f f -=--=-+=-．又∵14-，94-∈[－3，＋∞)， ∵102a =-<，∴y ＝f (x )在[－3，＋∞)上是单调递减的． ∵1944->-，∴19()()44f f -<-．即115()()44f f -<-． 8.解：(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －2＝(x －1)2＋1， ∴f (x )的图象的对称轴是x ＝1.∴f (x )在[－2,1]上递减，在(1,3]上递增． ∴当x ＝1时，y min ＝1. ∵f (－2)＝10，f (3)＝5， ∴f (－2)＞f (3)＞f (1)． ∴当x ＝－2时，y m ax ＝10.(2)∵f (x )＝[x ＋(a ＋1)]2＋2－(a ＋1)2， ∴函数f (x )的图象对称轴为x ＝－(a ＋1)．当f (x )在[－2,3]上单调递减时，有－(a ＋1)≥3，即a ≤－4；当f (x )在[－2,3]上单调递增时，有－(a ＋1)≤－2，即a ≥1.综上所述，当a ≤－4或a ≥1时，函数f (x )在[－2,3]上是单调函数．。

人教B版高中数学必修一同步练习2.2一次函数和二次函数

第二章《函数》2.2一次函数和二次函数2.2.1 一次函数的性质与图象1．下列说法正确的是( )。

①y ＝kx (k 为常数)是正比例函数；②y ＝kx (k 为常数)一定是奇函数；③若a 为常数y ＝a －x 是一次函数；④一次函数的一般式是y ＝kx ＋bA ．②③B ．②④C ．仅③D ．①③ 2．若函数221(2)m m y m x m -+=-+为一次函数，则此函数为( )。

A ．增函数B ．减函数C ．在(－∞，0]上增，在[0，＋∞)上减D ．以上都不对3．(创新题)若一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，则一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过( )。

A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．若函数y ＝ax －2与y ＝bx ＋3的图象与x 轴交于同一点，则ab＝________。

5．某班学生委员带3元人民币帮同学买作业本，若每本作业本0.25元，则买作业本的本数x 与所剩人民币y (元)之间的函数关系式为____________________。

6．已知函数f (x )的图象关于y 轴对称，当－1≤x ＜0时，f (x )＝x ＋1，求当0＜x ≤1时，f (x )的表达式。

7．已知不等式ax －2a ＋3＜0的解集为(6，＋∞)，试确实实数a 的大小。

8．某地的水电资源丰富，并且得到了较好的开发，电力充足．某供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费。

月用电量x(度)与相应电费y(元)之间的函数关系的图象如下图所示。

(1)月用电量为100度时，应交电费________元；(2)当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；(3)月用电量为260度时，应交电费多少元？9．已知一次函数y＝kx＋b的图象与函数6yx的图象交于A、B两点，点A的横坐标是3，点B的纵坐标是－3.(1)求一次函数的解析式；(2)画出一次函数的图象；(3)当x为何值时，一次函数的值小于零？10.设f(x)＝2－ax，若在[1,2]上，f(x)＞1恒成立，求a的取值范围。

人教B版高中数学必修1同步单元小题练习一次函数和二次函数

2.2 一次函数和二次函数 1、已知函数()f x 满足(2)()f x f x +=,且其图象关于直线1x =对称，若()0f x =在[0,1]内有且只有一个根12x =,则()0f x =在区间[0,2017]内根的个数为( ) A.1006B.1007C.2016D.20172、函数221()()2x x f x -=的值域为( )A.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B.[)1,+∞C.(0,)+∞D.R3、函数1()f x x x =-的图象关于( ) A.y 轴对称B.直线y x =-对称C.坐标原点对称D.直线y x =对称4、若函数3()()f x x x R =∈,则函数()y f x =-在其定义域上是( )A.单调递减的偶函数B.单调递减的奇函数C.单调递增的偶函数D.单调递增的奇函数5、已知全集U R =,则正确表示集合{}1,0,1M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩图是( ) A. B.C. D.6、已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 交于点()2,0-,()1,0x 且112x <<,与y 轴的正半轴的交点在点()0,2的下方,下列结论:①0a b <<②20a c +>③40a c +<④210a b -+>其中正确结论的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个7、已知抛物线和直线l 在同一直角坐标系中的图象如图所示抛物线的对称轴为直线1x =-, ()111,P x y ,()222,P x y 是抛物线上的点, ()333,P x y 是直线l 上的点,且12311x x ,x -<<<-则123,,y y y 的大小关系为( )A. 123y y y <<B. 312y y y <<C. 321y y y <<D. 213y y y <<8、.将抛物线22y x =向左平移1个单位,再向上平移3个单位得到的抛物线,其解析式是( )A. ()2213y x =++B. ()2213y x =--C. ()2213y x =+-D. ()2213y x =-+9、在同一直角坐标系中,一次函数y ax c =+和二次函数2y ax c =+的图象大致为( ) A. B.C. D.10、已知二次函数的图象顶点为()2,1,-且过点()3,1,则函数的解析式为( )A. ()2221y x =--B. ()2221y x =+-C. ()2221y x =++D. ()2221y x =-+ 11、已知函数211x y x -=+的图象与函数2y kx =+的图象恰有两个交点,则实数k 的取值范围是 . 12、若一次函数()382y a x a =-+-的图象与两坐标轴都交于正半轴,则a 的取值范围是__________.13、抛物线223?y x x =--+与x 轴的两个交点为,A B ,顶点为C ,则ABC ∆的面积为__________.14、函数()23210y x x x =++≥的最小值为__________. 15、如图,抛物线()2213y x m x m =-++++与x 轴交于,A B 两点,且OA 3OB =,则m 的值为__________.答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：由题意,函数()f x 的周期是2,且图象关于直线1x =对称,由()0f x =在[0,1]内有且只有一个根12x =,即1()02f =可得3()02f =.故()f x 在一个周期内有且只有2个根,从而得到()0f x =在区间[0,2017]内根的个数为2017.2答案及解析：答案：A 解析：指数函数1()2x y =在其定义域内单调递减,而22(1)1x x x -=--≤,所以221111()()()222x x f x -=≥=所以函数221()()2x x f x -=的值域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.3答案及解析：答案：C 解析：因为1()f x x x=-,以x -,代,x y -代y,解析式不变,因此是关于原点对称,选C4答案及解析：答案：B解析：函数3()y f x x =-=-单调递减且为奇函数,选B5答案及解析：答案：B解析：6答案及解析：答案：D解析：7答案及解析：答案：D解析：8答案及解析：答案：A解析：9答案及解析：答案：B解析：10答案及解析：答案：A解析：11答案及解析：答案：(0,1)(1,4)U解析：函数21(1)(1)11x x x y x x -+-==++1,1;1,1,11,x x x x x -><-⎧=⎨--<≤⎩作出函数的图象如下图所示, 直线2y kx =+过定点(0,2)A ,其中(1,2)B --,4AB k =根据图象可知要使两个函数的图象恰好有两个交点，则04k <<且1k ≠12答案及解析：答案：823,⎛⎫ ⎪⎝⎭解析：13答案及解析：答案：8解析：主要考查二次函数的性质与图象。