凸几何分析简介48页PPT
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凸体投影的极值问题及不等式.pptx
凸体投影的极值问题及不等式
本博士论文的研究内容隶属于几何分析中的凸体理论（简称凸 几何或凸几何分析）,该理论的核心内容是Brunn-Minkowski理 论（又称为混合体积理论）.本文主要致力于研究凸体投影问题 在凸几何分析中的应用,这是该领域研究的热点问题之一,本文 主要涉及关于对偶Minkowski型不等式,关于凸体不等式的函数 化,广义质心体的非对称以及极体和对偶星体的OrliczBrunnMinkowski不等式等问题的研究.凸体的投影问题一直是凸几何 中研究的热点之一.在本文第二章,研究了Orlicz-Brunn Minkowski理论的对偶问题,我们给出了对偶的Orlicz-Brunn Mgt;p</sub>混合体积的 推广.我们还给出了星体的对偶调和组合的定义,并研究了对偶
本博士论文的研究内容隶属于几何分析中的凸体理论（简称凸 几何或凸几何分析）,该理论的核心内容是Brunn-Minkowski理 论（又称为混合体积理论）.本文主要致力于研究凸体投影问题 在凸几何分析中的应用,这是该领域研究的热点问题之一,本文 主要涉及关于对偶Minkowski型不等式,关于凸体不等式的函数 化,广义质心体的非对称以及极体和对偶星体的OrliczBrunnMinkowski不等式等问题的研究.凸体的投影问题一直是凸几何 中研究的热点之一.在本文第二章,研究了Orlicz-Brunn Minkowski理论的对偶问题,我们给出了对偶的Orlicz-Brunn Mgt;p</sub>混合体积的 推广.我们还给出了星体的对偶调和组合的定义,并研究了对偶
凸优化课件
针对非线性约束条件，需要采用约束优化方法，如拉格朗日乘子法 、罚函数法等。
局部最优解和全局最优解
非线性凸优化问题可能存在多个局部最优解，需要研究如何找到全 局最优解或近似全局最优解。
大规模凸优化问题
计算复杂度
大规模凸优化问题的计算复杂度通常很高，需要采用高效的优化 算法。
并行计算和分布式计算
为了加速大规模凸优化问题的求解，可以采用并行计算和分布式计 算技术。
凸函数性质
凸函数具有单调性、有下界性、最小化性质等性质。在优化问题中，凸函数的最小值可 以通过优化方法求解。
凸集与凸函数的几何解释
凸集的几何解释
凸集可以用图形表示，例如二维平面上的一个凸集可以表示 为一个凸多边形。
凸函数的几何解释
对于凸函数，其图像是一个向上的曲线，且在该曲线上任意 两点之间画一条线，该线总是在函数图像之下。这意味着对 于凸函数，其最小值存在于其定义域的端点或边界上。
凸函数的性质
凸函数具有连续性、可微性、单调性 、凸性等性质，这些性质使得凸优化 问题在求解过程中具有一些特殊的优 势。
凸优化在数学与工程领域的应用
在数学领域的应用
凸优化在数学领域中广泛应用于最优化理论、统计推断、机器学习等领域。例 如，在机器学习中，凸优化方法可以用于求解支持向量机、神经网络等模型的 参数。
现状与挑战
目前，凸优化算法在理论和实际应用中都取得了很大的进展。然而，随着问题的复杂性和规模的增加，凸优化算 法也面临着一些挑战，如计算复杂度高、局部最优解等问题。未来，需要进一步研究和发展更高效的算法和技术 ，以解决更复杂的问题。
02
凸集与凸函数
凸集的定义与性质
凸集定义
一个集合称为凸集，如果该集合中的 任意两点之间的线段仍在集合中。
局部最优解和全局最优解
非线性凸优化问题可能存在多个局部最优解，需要研究如何找到全 局最优解或近似全局最优解。
大规模凸优化问题
计算复杂度
大规模凸优化问题的计算复杂度通常很高，需要采用高效的优化 算法。
并行计算和分布式计算
为了加速大规模凸优化问题的求解，可以采用并行计算和分布式计 算技术。
凸函数性质
凸函数具有单调性、有下界性、最小化性质等性质。在优化问题中，凸函数的最小值可 以通过优化方法求解。
凸集与凸函数的几何解释
凸集的几何解释
凸集可以用图形表示，例如二维平面上的一个凸集可以表示 为一个凸多边形。
凸函数的几何解释
对于凸函数，其图像是一个向上的曲线，且在该曲线上任意 两点之间画一条线，该线总是在函数图像之下。这意味着对 于凸函数，其最小值存在于其定义域的端点或边界上。
凸函数的性质
凸函数具有连续性、可微性、单调性 、凸性等性质，这些性质使得凸优化 问题在求解过程中具有一些特殊的优 势。
凸优化在数学与工程领域的应用
在数学领域的应用
凸优化在数学领域中广泛应用于最优化理论、统计推断、机器学习等领域。例 如，在机器学习中，凸优化方法可以用于求解支持向量机、神经网络等模型的 参数。
现状与挑战
目前，凸优化算法在理论和实际应用中都取得了很大的进展。然而，随着问题的复杂性和规模的增加，凸优化算 法也面临着一些挑战，如计算复杂度高、局部最优解等问题。未来，需要进一步研究和发展更高效的算法和技术 ，以解决更复杂的问题。
02
凸集与凸函数
凸集的定义与性质
凸集定义
一个集合称为凸集，如果该集合中的 任意两点之间的线段仍在集合中。
第1章凸分析的基本概念
基于上述原因，我们将引入扩充实值 (extended real-valued)函数的 概念，即定义在全空间 n 上且可在一些点上取值 −∞ 或 ∞ 的函数. 为了 刻画这样的函数，我们先来介绍上图 (epigraph) 的概念.
6
凸优化理论
考虑定义域为某子集 X ⊂ n 的函数 f : X → [−∞, ∞]，则其上图是 n+1 的子集，定义如下
epi(f ) = (x, w) | x ∈ X, w ∈ , f (x) w .
函数 f 的有效定义域 (effective domain)则定义为如下集合
dom(f ) = x ∈ X | f (x) < ∞
(见图 1.1.4). 我们易得出
dom(f ) = x | 存在 w ∈ 使得(x, w) ∈ epi(f ) , 即 dom(f ) 为 epi(f ) 在 n (自变量 x 的空间) 上的投影. 如果把 f 的定义 域限制为其有效定义域，函数的上图不变. 类似地，如果扩展 f 的定义域到
(λ1 + λ2)C = λ1C + λ2C.
(d) 凸集的闭包 (closure) 与内点集 (interior) 是凸集. (e) 凸集在仿射函数下的象和原象是凸集.
证明 证明的思路是直接利用凸集的定义. 在 (a) 中，我们在交集 ∩i∈I Ci 中任取两点 x，y. 由于每个 Ci 都是凸集，x 和 y 间的线段被每个 Ci 所包含, 因而也属于它们的交集.
我们试图为扩充实值函数定义凸性，传统对实凸函数的定义方法会遇到 这样的困难，若 f 既能取值 −∞ 也能取值 ∞，则插值项 αf (x) + (1 − α)f (y) 变成了不可求和的 −∞ + ∞ (该情况仅在 f 非真时发生，但是这种函数却在 证明和其他分析中常常出现，因此我们并不希望事先排除它们的存在)，引 入上图的概念恰可有效地回避这个难题，其引申出的凸函数定义如下.
6
凸优化理论
考虑定义域为某子集 X ⊂ n 的函数 f : X → [−∞, ∞]，则其上图是 n+1 的子集，定义如下
epi(f ) = (x, w) | x ∈ X, w ∈ , f (x) w .
函数 f 的有效定义域 (effective domain)则定义为如下集合
dom(f ) = x ∈ X | f (x) < ∞
(见图 1.1.4). 我们易得出
dom(f ) = x | 存在 w ∈ 使得(x, w) ∈ epi(f ) , 即 dom(f ) 为 epi(f ) 在 n (自变量 x 的空间) 上的投影. 如果把 f 的定义 域限制为其有效定义域，函数的上图不变. 类似地，如果扩展 f 的定义域到
(λ1 + λ2)C = λ1C + λ2C.
(d) 凸集的闭包 (closure) 与内点集 (interior) 是凸集. (e) 凸集在仿射函数下的象和原象是凸集.
证明 证明的思路是直接利用凸集的定义. 在 (a) 中，我们在交集 ∩i∈I Ci 中任取两点 x，y. 由于每个 Ci 都是凸集，x 和 y 间的线段被每个 Ci 所包含, 因而也属于它们的交集.
我们试图为扩充实值函数定义凸性，传统对实凸函数的定义方法会遇到 这样的困难，若 f 既能取值 −∞ 也能取值 ∞，则插值项 αf (x) + (1 − α)f (y) 变成了不可求和的 −∞ + ∞ (该情况仅在 f 非真时发生，但是这种函数却在 证明和其他分析中常常出现，因此我们并不希望事先排除它们的存在)，引 入上图的概念恰可有效地回避这个难题，其引申出的凸函数定义如下.
第三章 凸分析2015
第三章 凸分析
2、判定： （1）根据图形判断： 凸函数的图形为下单峰，凹函数的图形为上单峰， 仿射函数的图形为直线。 （2）由二阶导信息：
一元 n元
凸函数 f”(x) ≥0 H(x) ≥0
凹函数 f”(x) ≤0 H(x) ≤0
2 f 其中H ( x) xi x j
第三章 凸分析
(Convex Analysis)
3.1 凸集与凸集分离定理 3.2 凸函数与次微分
第三章 凸分析
凸分析是上世纪60年代以后 ，由于数学规划、博弈论、数理 经济学、变分学等多方面需求而 发展起来的一个数学分支。 美国华盛顿州立大学的洛克 菲拉1970年所著凸分析为该分支 的早期发展做出了重要贡献。
第三章 凸分析
例3：设C为R n中不含原点的非空凸集。证明存在p R n， p 0，使对任意x C，都有pT x 0。 （首先说明：单点集和空集是凸集。）
存在一个超平面H x | pT x 把0 与C分离。 即对任意x C， 0 0，有：pT x ，pT 0 ， pT x 0。 pT即为所求的向量。 （但，若此p使pT x ，该怎么办？）
思考题：理论的力量——例举10个数学理论对经济管理 学科发展做出重要贡献的例子。
第三章 凸分析
3.2 凸函数与次微分
一、凸函数
1、定义：设X 是R n中的凸集，f : X R1，若对于任 意的x，y X ， [0，，有 1] f ( x (1 ) y ) f ( x) (1 ) f ( y )， 则称f 为X 上的凸函数；若以上不等式中不等号是严 格的，则称f 为严格凸函数；若函数( f )是凸函数， 则称f 是凹函数；若f 既是凸函数又是凹函数，则称 f 为仿射函数。
凸几何分析简介
ε →0
+
V ( K + εL) − V ( K )
ε
.
⇔ V ( K , n − 1; L) =
1 ∫−1hL (u )dS ( K , u ). n Sn
5
2011-10-11
Steiner 对称与亮度函数
K
Su K
Steiner 对称
u
K
亮度函数 (brightness function)
u⊥ K u⊥
s K (u) = s L(u) ∀u ⇒ K = L.
2011-10-11 11
截
1
面
1.5 1
体
(Intersection Bodies) Bodies)
0.5 0.5
-1
-0.5
0.5
1
-1.5
-1
-0.5 -0.50.51Fra bibliotek1.5
-0.5 -1
-1.5 -1
ρ IK = s K
2011-10-11
bK (u) = bL(u) ∀u ⇒ K = L.
1.5
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
1 bK (u) = ∫ |u ⋅ v | dS ( K , v ) 2 S n −1
K的表面积测度
2011-10-11
Cauchy投影公式
8
Shephard问题 Shephard问题
• Shephard (1964)问: 对于原点对称的凸体 K 和 L, 是否有
-0.5 0.5 -0.25 0 0.25 0
-0.5 0.5 -0.25
0
0
0.5
0.25
0.5
+
V ( K + εL) − V ( K )
ε
.
⇔ V ( K , n − 1; L) =
1 ∫−1hL (u )dS ( K , u ). n Sn
5
2011-10-11
Steiner 对称与亮度函数
K
Su K
Steiner 对称
u
K
亮度函数 (brightness function)
u⊥ K u⊥
s K (u) = s L(u) ∀u ⇒ K = L.
2011-10-11 11
截
1
面
1.5 1
体
(Intersection Bodies) Bodies)
0.5 0.5
-1
-0.5
0.5
1
-1.5
-1
-0.5 -0.50.51Fra bibliotek1.5
-0.5 -1
-1.5 -1
ρ IK = s K
2011-10-11
bK (u) = bL(u) ∀u ⇒ K = L.
1.5
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
1 bK (u) = ∫ |u ⋅ v | dS ( K , v ) 2 S n −1
K的表面积测度
2011-10-11
Cauchy投影公式
8
Shephard问题 Shephard问题
• Shephard (1964)问: 对于原点对称的凸体 K 和 L, 是否有
-0.5 0.5 -0.25 0 0.25 0
-0.5 0.5 -0.25
0
0
0.5
0.25
0.5
凸轮机构 课件
机械基础
第七章 凸轮机构（建议6课时）
一、考试要求
了解
理解
掌握
1.了解凸轮机构的分类、特点 和应用。
2.了解压力角、基圆半径、滚 子半径、行程等参数对机 构工作性能的影响。
理解压力角、基 圆半径、滚子半 径、行程等参数 的概念。
掌握从动件具有等速运动 规律和等加速等减速运动 规律凸轮机构的工作特点、 应用场合。
（5）该机构推程时必须满足α__≤__3_0_°。条件才
图6-9
能避免产生自锁现象，若不满足该条件时，
可以适当增大_基__圆__半__径___来满足要求。
【解题思路】 1.回忆凸轮机构应用特点和适用范围。 2.理解相关概念，运用概念和公式来进行有关计算。
【拓展训练】图6-10为组合机构的传动简图。单线蜗杆1的轴线与蜗轮2的轴线在空间
问题二
如图6-6所示的凸轮机构，已知圆盘凸轮逆时针方向转动，其半径r=25mm，凸 轮回转中心“O2”距圆盘几何中心“O1”的距离e=10mm，试解答下列问题：
1.指出实际轮廓线和理论轮廓线，画出基圆； 2.从动件的推程运动角为_1_8_0_度，回程运动角1. 为_1_8_0_度；画出当凸轮由图示位置转过90°后， 从动件的位移s，标出从动件的行程h，并求出 行程h=_____；20mm （3）分别画出在图示位置接触和在D点接触时 的压力角，当凸轮A、B两点与从动件接触时， 压力角为_0_度；
（2）要使该机构的从动件的运动规律为等加
速等减速，则必须改变凸轮的___轮__廓__形__状___，
此时该机构会产生_柔__性__冲击。
（3）该机构逆时针转过45º时，该机构将作
_上_升__（上升、下降）运动，在图中作出此时
的压力角。（略）
第七章 凸轮机构（建议6课时）
一、考试要求
了解
理解
掌握
1.了解凸轮机构的分类、特点 和应用。
2.了解压力角、基圆半径、滚 子半径、行程等参数对机 构工作性能的影响。
理解压力角、基 圆半径、滚子半 径、行程等参数 的概念。
掌握从动件具有等速运动 规律和等加速等减速运动 规律凸轮机构的工作特点、 应用场合。
（5）该机构推程时必须满足α__≤__3_0_°。条件才
图6-9
能避免产生自锁现象，若不满足该条件时，
可以适当增大_基__圆__半__径___来满足要求。
【解题思路】 1.回忆凸轮机构应用特点和适用范围。 2.理解相关概念，运用概念和公式来进行有关计算。
【拓展训练】图6-10为组合机构的传动简图。单线蜗杆1的轴线与蜗轮2的轴线在空间
问题二
如图6-6所示的凸轮机构，已知圆盘凸轮逆时针方向转动，其半径r=25mm，凸 轮回转中心“O2”距圆盘几何中心“O1”的距离e=10mm，试解答下列问题：
1.指出实际轮廓线和理论轮廓线，画出基圆； 2.从动件的推程运动角为_1_8_0_度，回程运动角1. 为_1_8_0_度；画出当凸轮由图示位置转过90°后， 从动件的位移s，标出从动件的行程h，并求出 行程h=_____；20mm （3）分别画出在图示位置接触和在D点接触时 的压力角，当凸轮A、B两点与从动件接触时， 压力角为_0_度；
（2）要使该机构的从动件的运动规律为等加
速等减速，则必须改变凸轮的___轮__廓__形__状___，
此时该机构会产生_柔__性__冲击。
（3）该机构逆时针转过45º时，该机构将作
_上_升__（上升、下降）运动，在图中作出此时
的压力角。（略）
凸集和凸函数和凸规划-完整ppt课件
X αx1+(1-α)x2 X2
.
23
f(X) f(X1)
αf( x1 ) +(1- α) f( x2)
f(X2)
f(αx1+(1-α)x2 )
X1
αx1+(1-α)x2
X2
X
.
24
f(X) 任意两点的函数值的连线上的点都在曲线的上方
αf( x1 ) +(1- α) f( x2)
f(X2)
f(αx1+(1-α)x2 )
证法：在Young不等式中令
n
n
n
xkyk
n
xkpp
n
ykqq
k1
k1kq
ykq
.
P41 2.37
26
凸函数
例：设fxx12,试证明 f x在,
上是严格凸函数．
证明: 设 x, yR, 且xy, 0 ,1 都有：
.
1
凸集---定义
线性组合 (linear Combination)
m ix i,其i 中 R ,x i R n ,i 1 ,2 ,.m ...
i 1
仿射组合 (Affine Combination)
m
m
ix i,其 i R 中 ,x i R n ,i 1 ,2 ,.m ,.且 . i 1 .
(a)D1D2x1x2|x1D1,x2D2是凸; 集 (b)D1D2x1x2|x1D1,x2D2是凸. 集
.
7
凸集-----性质
k
推论：设D i,i1,2,,k是凸集，则 i D i i1 也是凸集，其中 i 是实数．
(4) S 是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸 组合仍然在S中.P23,定理2.9
高数课件14凹凸性
凹凸性与光滑性 的应用：在优化 问题、微分方程 等领域有广泛应 用
凹凸性与函数的单调性
凹凸性：函数在某点处的二阶导数符号决定了该点的凹凸性
单调性：函数在某点处的一阶导数符号决定了该点的单调性
凹凸性与单调性的关系：凹凸性与单调性是函数在某点处的二阶导数和一阶导数的符号决定的
凹凸性与单调性的应用：在解决实际问题时，可以利用凹凸性与单调性来判断函数的极值和拐 点
利用极限判断： 如果极限存在且 大于0，则为凹 函数；如果极限 存在且小于0， 则为凸函数。
03
凹凸性的性质
凹凸函数的性质
01 02
03 04
05 06
凸函数：对于任意x1, x2, y1, y2，若x1 < x2，则f(x1) < f(x2) 凹函数：对于任意x1, x2, y1, y2，若x1 < x2，则f(x1) > f(x2) 凸函数的二阶导数大于等于0
正二阶导数：函数在该点处 为凸函数
负二阶导数：函数在该点处 为凹函数
注意事项：凹凸性判定法只 适用于二阶可导的函数
06
凹凸性的扩展知识
凹凸性的连续性和可微性
凹凸性的连续性：凹凸性是函数 在某点附近的局部性质，与函数 的连续性无关
凹凸性的可导性：凹凸性是函数 在某点附近的局部性质，与函数 的可导性无关
凹凸性与函数极值的关系
凹凸性是函数在某点附近的性质，与函数在该点的极值有关 凸函数在极小值点处具有凹性，凹函数在极大值点处具有凸性 凸函数的极小值点处，其导数大于等于0 凹函数的极大值点处，其导数小于等于0 凸函数的极小值点处，其二阶导数大于等于0 凹函数的极大值点处，其二阶导数小于等于0
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汇报人：
第3讲凸集凸函数凸规划整理ppt
x 1 y D,
则称集合 D 为凸集．
常见的凸集：单点集 { x }，空集 ，整个欧氏空间 Rn，
超平面：H x Rn a1 x1 a2 x2 an xn b ,
H
半空间：
x Rn a1x1 a2 x2 L an xn b
= x Rn aT x b
凸集----举例
及 0, 有x0 x S, 则称S是
以x0为顶点的锥. 如果S又是凸集， 则称S为凸锥.
凸函数
严格凸函数
设 D Rn 是非空凸集， f x: S R,
若对任意的 x, y D (x y),及任意的 0,1
都有：f x 1 y f x 1 f y
则称函数 f x 为 D 上的严格凸函数．
注：定理3 的逆命题不成立.
凸函数
下面的图形给出了凸函数 f x, y x4 3x2 y4
y2 xy的等值线的图形，可以看出水平集是凸集.
凸函数
凸函数
凸函数的判别定理 定理1: 设 f x是定义在凸集 D Rn 上，x, y D ,
令 t f tx 1 t y, t 0,1, 则:
注：将上述定义中的不等式反向，可以 得到严格凹函数的定义．
凸函数
几何性质
对一元函数 f x,在几何上 f x1 1 f x2 0 1 表示连接 x1, f x1 ,x2, f x2 的线段． f x1 1 x2 表示在点 x1 1 x2处的
函数值． 所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点 的线段总是位于曲线弧的上方．
f(X1)
X1
αx1+(1-α)x2
X2
X
f(X) 任意两点的函数值的连线上的点都在曲线的上方 f(X2)αf( x1 ) +(1- α) f( x2)
则称集合 D 为凸集．
常见的凸集：单点集 { x }，空集 ，整个欧氏空间 Rn，
超平面：H x Rn a1 x1 a2 x2 an xn b ,
H
半空间：
x Rn a1x1 a2 x2 L an xn b
= x Rn aT x b
凸集----举例
及 0, 有x0 x S, 则称S是
以x0为顶点的锥. 如果S又是凸集， 则称S为凸锥.
凸函数
严格凸函数
设 D Rn 是非空凸集， f x: S R,
若对任意的 x, y D (x y),及任意的 0,1
都有：f x 1 y f x 1 f y
则称函数 f x 为 D 上的严格凸函数．
注：定理3 的逆命题不成立.
凸函数
下面的图形给出了凸函数 f x, y x4 3x2 y4
y2 xy的等值线的图形，可以看出水平集是凸集.
凸函数
凸函数
凸函数的判别定理 定理1: 设 f x是定义在凸集 D Rn 上，x, y D ,
令 t f tx 1 t y, t 0,1, 则:
注：将上述定义中的不等式反向，可以 得到严格凹函数的定义．
凸函数
几何性质
对一元函数 f x,在几何上 f x1 1 f x2 0 1 表示连接 x1, f x1 ,x2, f x2 的线段． f x1 1 x2 表示在点 x1 1 x2处的
函数值． 所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点 的线段总是位于曲线弧的上方．
f(X1)
X1
αx1+(1-α)x2
X2
X
f(X) 任意两点的函数值的连线上的点都在曲线的上方 f(X2)αf( x1 ) +(1- α) f( x2)
《曲线的凹凸与拐点》课件
《曲线的凹凸与拐点》ppt课件
contents
目录
• 曲线凹凸的定义与性质 • 判断曲线凹凸的方法 • 曲线的拐点及其性质 • 曲线凹凸与拐点的应用 • 总结与思考
01
曲线凹凸的定义与性质
凹凸的定义
凹函数
对于曲线上的任意两点$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），如果函 数值$f(x_1) > f(x_2)$，则称该函 数为凹函数。
通过学习更多的函数曲线，加深对 凹凸性和拐点的理解。
探索应用领域
了解曲线凹凸性和拐点在实际问题 中的应用，如物理学、工程学等。
对实际应用的展望
工程设计
在工程设计中，了解曲线的凹凸 性和拐点有助于优化设计，如桥 梁、建筑等结构的稳定性分析。
数据分析
在数据分析中，可以利用曲线凹 凸性和拐点的知识，对数据进行
凸函数
对于曲线上的任意两点$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），如果函 数值$f(x_1) < f(x_2)$，则称该函 数为凸函数。
凹凸的性质
01
凹函数的图像呈下凹状，凸函数 的图像呈上凸状。
02
在凹函数中，中点的函数值小于 两端点的函数值；在凸函数中， 中点的函数值大于两端点的函数 值。
凸函数的定义
对于函数$f(x)$在区间$[a,b]$上，如果对任意$x_1, x_2$（$x_1 < x_2$）都有 $f(x_1) - f(x_2) > frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} (x_1 - x_2)$，则称$f(x)$在区间 $[a,b]$上为凸函数。
凹凸的判断方法
计算二阶导数
拐点的连续性判定
若函数在拐点处的一阶导 数存在且二阶导数改变符 号，则该点为拐点的充分 必要条件是该点连续。
contents
目录
• 曲线凹凸的定义与性质 • 判断曲线凹凸的方法 • 曲线的拐点及其性质 • 曲线凹凸与拐点的应用 • 总结与思考
01
曲线凹凸的定义与性质
凹凸的定义
凹函数
对于曲线上的任意两点$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），如果函 数值$f(x_1) > f(x_2)$，则称该函 数为凹函数。
通过学习更多的函数曲线，加深对 凹凸性和拐点的理解。
探索应用领域
了解曲线凹凸性和拐点在实际问题 中的应用，如物理学、工程学等。
对实际应用的展望
工程设计
在工程设计中，了解曲线的凹凸 性和拐点有助于优化设计，如桥 梁、建筑等结构的稳定性分析。
数据分析
在数据分析中，可以利用曲线凹 凸性和拐点的知识，对数据进行
凸函数
对于曲线上的任意两点$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），如果函 数值$f(x_1) < f(x_2)$，则称该函 数为凸函数。
凹凸的性质
01
凹函数的图像呈下凹状，凸函数 的图像呈上凸状。
02
在凹函数中，中点的函数值小于 两端点的函数值；在凸函数中， 中点的函数值大于两端点的函数 值。
凸函数的定义
对于函数$f(x)$在区间$[a,b]$上，如果对任意$x_1, x_2$（$x_1 < x_2$）都有 $f(x_1) - f(x_2) > frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} (x_1 - x_2)$，则称$f(x)$在区间 $[a,b]$上为凸函数。
凹凸的判断方法
计算二阶导数
拐点的连续性判定
若函数在拐点处的一阶导 数存在且二阶导数改变符 号，则该点为拐点的充分 必要条件是该点连续。
凸轮机构的设计和计算-PPT
S
h
2h 2
(
)2
v
4h
2
(
)
a
4h
2
2
3、加速度按余弦运动规律变化
运动特征：
若 S , S 为零，无冲击， 若 S , S 不为零，有冲击
S R R cos
R
h 2
所以 S h (1 cos )
2
从动件按余弦加速规律上升时的运动方程为
S
h 2
(1
cos
)
v
h
2
sin
S
h(
1
2
sin
2
)
v
h
(1
cos
2
)
a
2h 2
2
sin
2
§4-3 凸轮轮廓的设计
设计方法：作图法，解析法 已知 0 , e, S , 转向。作图法设计凸轮轮廓 一、直动从动件盘形凸轮机构
反转法
1、尖底直动从动件盘形凸轮 机构凸轮轮廓设计： 已知 0 , e, S , 转向
2、滚子从动件
lOP
v
dS d
/ dt / dt
dS d
d S e
d S e
arctg d
arctg d
S S0
S r02 e2
η——转向系数 δ——从动件偏置方向系数
由式可知ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱr0↓α↑
三、按轮廓曲线全部外凸的条件确定平底从动件盘形凸轮机构 凸轮的基圆半径
0
四、滚子半径的选择
滚最子小半曲径率半rT必径须ρ小min于，理设论计轮时廓，r曲T 线 0外.8凸m部in 分的
§4-5 凸轮机构基本尺寸的确定
第三章凸分析(管理数学基础)
3、下面我们看两个证明集合为凸集的例子： 例1：证明线性规划的可行域D x R n | Ax b，x 0 是 一个凸集。 证：任取D中两个元素，要证其两者凸组合仍属于D即可。 取D中x和y， [0，。则有： 1] A[ x (1 ) y ] Ax (1 ) Ay b (1 )b b。 而 x (1 ) y 0，故 x (1 ) y D, 所以D是一个凸集。 例2：对任p R n，p 0， R1，集合H {x R n | pT x } 称为以p为法向量的超平面。超平面H 是R n中的凸集。 因为对任x，y H， [0，，有： 1] pT [ x (1 ) y ] pT x (1 ) pT y (1 ) ， 说明 x (1 ) y H。
第二节 凸函数与次微分
一、凸函数 1、定义：设X 是R n中的凸集，f : X R1，若对于任 意的x，y X ， [0，，有 1] f ( x (1 ) y ) f ( x ) (1 ) f ( y )， 则称f 为X 上的凸函数；若以上不等式中不等号是严 格的，则称f 为严格凸函数；若函数( f )是凸函数， 则称f 是凹函数；若f 既是凸函数又是凹函数，则称 f 为仿射函数。
第三章 凸分析
第一节 凸集与凸集分离定理
一、凸集 1、定义：设集合C R n， 1，若C中任意两点x和y 0 的凸组合 x (1 ) y C，则称C是一个凸集。 2、几何意义：在二维中，x和y的凸组合 x (1 ) y即 为x和y的连线。所以在二维中，若集中任意两点连线段仍属 原集合，则原集合为凸集。
'
(3)求f (0)： 由(2)有，f (0) [11] ，。
《高数课件14凹凸性》课件
高数课件14凹凸性
目录
CONTENTS
• 凹凸性的定义 • 凹凸性的判定 • 凹凸性与函数性质 • 凹凸性在数学中的应用 • 总结与思考
01
CHAPTER
凹凸性的定义
凹函数的定义
凹函数
对于函数$f(x)$在区间$I$上，若对于任意$x_1, x_2 in I$，且$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) + f(x_2) > 2f[(x_1 + x_2)/2]$，则称$f(x)$在区间$I$上是凹函数。
05
CHAPTER
总结与思考
本章重点回顾
凹凸性的定义
凹函数和凸函数的定义及其几何意义。
判定凹凸性的方法
利用导数判定凹凸性的方法，包括凹凸性的判 定定理和推论。
凹凸性的应用
凹凸性在函数极值、不等式证明等方面的应用。
思考题与习题
思考题：如何利用凹凸性 判定定理证明不等式？
$f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3x$
凹凸性与函数的最值
总结词
函数的凹凸性与其最值有密切关系，了解凹 凸性有助于更好地理解函数的最值。
详细描述
在数学中，如果一个函数在某区间内是凹的 ，那么该函数在此区间内只可能有一个极大 值点和一个极小值点；如果一个函数在某区 间内是凸的，那么该函数在此区间内只可能 有一个极大值点和一个极小值点。因此，了 解函数的凹凸性有助于我们更好地确定函数 的最值。
凹凸性的判定实例
函数$f(x) = x^2$在$mathbf{R}$上 是凸函数，因为其二阶导数$f''(x) = 2 > 0$。
VS
函数$f(x) = x^3$在$mathbf{R}$上 是凹函数，因为其二阶导数$f''(x) = 6x < 0$当且仅当$x < 0$。
目录
CONTENTS
• 凹凸性的定义 • 凹凸性的判定 • 凹凸性与函数性质 • 凹凸性在数学中的应用 • 总结与思考
01
CHAPTER
凹凸性的定义
凹函数的定义
凹函数
对于函数$f(x)$在区间$I$上，若对于任意$x_1, x_2 in I$，且$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) + f(x_2) > 2f[(x_1 + x_2)/2]$，则称$f(x)$在区间$I$上是凹函数。
05
CHAPTER
总结与思考
本章重点回顾
凹凸性的定义
凹函数和凸函数的定义及其几何意义。
判定凹凸性的方法
利用导数判定凹凸性的方法，包括凹凸性的判 定定理和推论。
凹凸性的应用
凹凸性在函数极值、不等式证明等方面的应用。
思考题与习题
思考题：如何利用凹凸性 判定定理证明不等式？
$f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3x$
凹凸性与函数的最值
总结词
函数的凹凸性与其最值有密切关系，了解凹 凸性有助于更好地理解函数的最值。
详细描述
在数学中，如果一个函数在某区间内是凹的 ，那么该函数在此区间内只可能有一个极大 值点和一个极小值点；如果一个函数在某区 间内是凸的，那么该函数在此区间内只可能 有一个极大值点和一个极小值点。因此，了 解函数的凹凸性有助于我们更好地确定函数 的最值。
凹凸性的判定实例
函数$f(x) = x^2$在$mathbf{R}$上 是凸函数，因为其二阶导数$f''(x) = 2 > 0$。
VS
函数$f(x) = x^3$在$mathbf{R}$上 是凹函数，因为其二阶导数$f''(x) = 6x < 0$当且仅当$x < 0$。
《凸轮轮廓解析法》课件
坐标系的建立
确定凸轮轴心位置
选择凸轮轴心作为坐标系原点，并确定其位置。
确定坐标轴方向
根据凸轮的工作要求，确定X、Y、Z三个坐标轴的方向。
建立凸轮轮廓坐标系
以凸轮轴心为原点，以凸轮的旋转轴线为Z轴，建立凸轮轮廓的坐 标系。
凸轮轮廓方程的推导
1 2
确定凸轮轮廓上各点的坐标
根据凸轮的几何形状和尺寸，确定凸轮轮廓上各 点的坐标。
绘制凸轮轮廓图
将求解得到的点绘制成凸轮轮廓图，以便于后续设计和加工。
03
凸轮轮廓解析法的实现方 法
基于几何的方法
几何解析法
通过几何学原理，利用凸轮的几何形 状和参数，建立数学模型，求解凸轮 轮廓。
解析几何法
利用解析几何的基本原理，将凸轮轮 廓表示为参数方程或极坐标方程，通 过代数运算求解。
基于数值的方法
有限差分法
将凸轮轮廓离散化为一系列小的差分，通过迭代计算求解每个点的坐标。
有限元法
将凸轮轮廓划分为一系列小的单元，对每个单元进行近似求解，最终得到凸轮 轮廓的近似解。
基于计算机图形学的方法
光线追踪法
利用光线追踪技术，模拟光线在凸轮轮廓上的反射和折射，通过计算光线的路径得到凸轮轮廓。
参数化建模法
利用计算机图形学的参数化建模技术，建立凸轮轮廓的参数化模型，通过调整参数得到不同的凸轮轮 廓。
建立凸轮轮廓方程
根据凸轮轮廓上各点的坐标，建立凸轮轮廓的数 学方程。
3
验证方程的正确性
通过将方程代入已知点坐标进行验证，确保方程 的正确性。
凸轮轮廓方程的求解
解方程求解凸轮轮廓上的点
通过解方程求解出凸轮轮廓上的各个点。
判断解的合理性
根据实际情况判断解的合理性，如不符合要求 则需重新推导方程或调整参数。
《曲线凹凸与拐点》课件
曲线凹凸的计算方法
定义法
通过定义凹凸性，利用二阶导数正负来判断。如果二阶导数大于0，则曲线在相 应区间内是凹的；如果二阶导数小于0，则曲线在相应区间内是凸的。
切线法
通过切线斜率判断。在某点处做切线，如果切线斜率在相邻两点之间由负变正， 则该点为拐点。
拐点的计算方法
定义法
根据拐点的定义，即函数在某点的左 右极限不相等，来确定拐点。
具体应用
在气候学中，通过研究气候数据的曲线凹凸性，可以更好地理解气候变化的规律和趋势 。在金融学中，通过研究股票价格的拐点，可以更好地把握股票市场的变化和趋势。
导数符号变化法
通过判断函数在某点附近左右两 侧导数的符号变化来确定是否为
拐点。
二阶导数测试法
通过判断二阶导数的符号变化来确 定是否为拐点。如果二阶导数在某 点处从正变为负或从负变为正，则 该点为拐点。
切线方向变化法
通过观察曲线在某点处的切线方向 是否发生变化来确定是否为拐点。 如果切线方向发生改变，则该点为 拐点。
导数法
通过求函数的二阶导数，并令其为0 ，解出相应的x值，再判断该点是否为 拐点。
曲线凹凸与拐点计算中的注意事项
初始判断
在计算前应先大致判断 函数的形态，以便选择
合适的计算方法。
精确度要求
对于实际应用，应考虑 计算结果的精确度，选 择合适的数学工具和算
法。
拐点判断
在确定拐点时，应同时 考虑左右极限，避免误
拐点是曲线上的一个点，在该点处曲线的切线方向发变符号
在拐点处，曲线的导数由正变负或由 负变正。
拐点处凹凸性改变
拐点处切线方向变化
在拐点处，曲线的切线方向发生变化 ，由上升变为下降或由下降变为上升 。
小学教育ppt课件教案认识凸多面体与凹多面体
凸多面体顶点、棱和面
顶点
凸多面体的顶点是指多面体的各 个角的点。
棱
连接两个相邻顶点的线段称为棱。
面
由若干条棱围成的多边形称为面。
凸多面体二面角
二面角定义
两个相邻面所构成的角称为二面角。
二面角性质
凸多面体的所有二面角都是锐角或直角。
03
凹多面体基本概念与性质
凹多面体定义及特点
凹多面体定义
一个多面体中，如果有一个或多个顶 点不是由相邻的三个平面所围成的， 则称该多面体为凹多面体。
美学效果
建筑师经常利用凸多面体 和凹多面体的几何美感来 增强建筑的艺术表现力。
日常生活中应用
容器设计
许多日常用品如水瓶、花瓶等， 其形状灵感来源于凸多面体或凹 多面体，这些设计不仅美观，而
且符合人体工学。
玩具设计
儿童玩具如积木、拼图等常常采 用凸多面体和凹多面体的形状， 以激发孩子们的创造力和空间想
完成相关练习题巩固所学知识
1 2
练习题选择
教师选择适当难度的练习题，涵盖凸多面体和凹 多面体的基本概念、性质和应用等方面。
学生练习
学生独立完成练习题，巩固所学知识，提高解题 能力。
3
教师讲解
教师对学生完成的练习题进行讲解，重点分析解 题思路和方法，帮助学生加深对知识点的理解。
07
总结回顾与拓展延伸
凹多面体的棱
凹多面体的棱连接两个顶点，可以是 直线段或曲线段。与凸多面体相比， 凹多面体的棱可能更加复杂。
凹多面体二面角
二面角的定义
二面角是由两个半平面所夹的角，其大小等于这两个半平面 法线之间的夹角。
凹多面体的二面角
在凹多面体中，两个相邻面之间的夹角称为二面角。由于凹 多面体的形状复杂，其二面角的大小和性质也各不相同。二 面角可以是锐角、直角或钝角，具体取决于相邻面的法线之 间的夹角大小。
凸轮机构运动模型和受力分析
• （3）运动参数方面，凸轮机构压力角是反映凸轮与从动件之间速度 与力传递关系的重要参数。在不考虑磨擦力时，压力角是某瞬时接触 点处的公法线方向与从动件的运动方向之间的夹角。直动从动件凸轮 最大压力角不宜大于30º。[7] 减小压力角，可降低接触应力，降低磨 损。
软件模拟
• 下图为凸轮机构的位移分析图，从上到下为总位置，X方 向的位置，以连杆最左下端点为测量点，可以看出，凸轮 机构的总位移基本成余弦规律，位移图较平稳，但在0点 时刻 出现尖点。
凸轮机构运动模型和受力分析
• 凸轮表面轮廓曲线和平底从动件的接触点的直角坐标为 x，y，O点到 接触点用矢量R(r,θ)表示，r表示矢量R的模，θ表示矢量R与X轴的夹角。 根据其几何关系，有：
• 上式中 为凸轮曲线表面和平底从动件接触点在Y方向的 加速度，即平底从动件（挺杆）垂直上下运动的加速度。 挺杆垂直上下运动的速度和加速度的大小对移动副磨损会 产生很大影响，以挺杆为研究对象，有：
• （1）材料选取方面，要注意凸轮挺杆材料选配，选材时应考虑到摩 擦副表面硬度的适当匹配，凸轮硬度应略低于挺杆硬度，硬度过大或 硬度相同都会使擦伤倾向增加。为了提高表面耐磨性必须对表面进行 硬化处理。有两种方法：一是提高表面硬度，二是提高润滑性或在表 面上形成一层阻止薄膜。
• （2）润滑油方面，从润滑油对挺杆擦伤的影响试验得知，擦伤与油 基的粘度无关，而与添加剂有密切关系特别是二硫化磷酸锌之类的优 良的抗磨损添加剂能够消除擦伤，பைடு நூலகம்无抗磨损性能的氧化剂却会加重 擦伤。
凸轮机构磨损形式和三个阶段
• 凸轮以不同速度旋转时，其接触应力是变化的。低速时， 由于气门弹簧压缩量最大，凸轮桃尖的载荷最大；高速时， 在负加速度区，即在凸轮桃尖附近，由于往复运动的惯性 力抵消了一部分气门弹簧力，凸轮桃尖的载荷降低了，因 此发动机速度较高时点蚀磨损减少。而在最大正加速度区， 接触应力分布幅度小，不易产生点蚀磨损，偶尔会出现金 属间的直接接触，因此会出现擦伤现象。实际上，由于气 门传动机构零件不是刚性的并可产生振动，从而改变了凸 轮桃尖附近的接触压力，高速时这些振动力就会使凸轮— 挺杆副产生点蚀。由于凸轮和挺杆都是硬而脆的材料，若 都是经淬火处理的白口铸铁，其疲劳损坏出现在拉应力最 大的区域，即出现在表面上。这些疲劳损坏向内扩展，形 成松散的鳞屑并产生凹坑(点蚀)。一般金属裂纹的扩展方 向与凸轮转动方向相反，即与滑动方向相反。
软件模拟
• 下图为凸轮机构的位移分析图，从上到下为总位置，X方 向的位置，以连杆最左下端点为测量点，可以看出，凸轮 机构的总位移基本成余弦规律，位移图较平稳，但在0点 时刻 出现尖点。
凸轮机构运动模型和受力分析
• 凸轮表面轮廓曲线和平底从动件的接触点的直角坐标为 x，y，O点到 接触点用矢量R(r,θ)表示，r表示矢量R的模，θ表示矢量R与X轴的夹角。 根据其几何关系，有：
• 上式中 为凸轮曲线表面和平底从动件接触点在Y方向的 加速度，即平底从动件（挺杆）垂直上下运动的加速度。 挺杆垂直上下运动的速度和加速度的大小对移动副磨损会 产生很大影响，以挺杆为研究对象，有：
• （1）材料选取方面，要注意凸轮挺杆材料选配，选材时应考虑到摩 擦副表面硬度的适当匹配，凸轮硬度应略低于挺杆硬度，硬度过大或 硬度相同都会使擦伤倾向增加。为了提高表面耐磨性必须对表面进行 硬化处理。有两种方法：一是提高表面硬度，二是提高润滑性或在表 面上形成一层阻止薄膜。
• （2）润滑油方面，从润滑油对挺杆擦伤的影响试验得知，擦伤与油 基的粘度无关，而与添加剂有密切关系特别是二硫化磷酸锌之类的优 良的抗磨损添加剂能够消除擦伤，பைடு நூலகம்无抗磨损性能的氧化剂却会加重 擦伤。
凸轮机构磨损形式和三个阶段
• 凸轮以不同速度旋转时，其接触应力是变化的。低速时， 由于气门弹簧压缩量最大，凸轮桃尖的载荷最大；高速时， 在负加速度区，即在凸轮桃尖附近，由于往复运动的惯性 力抵消了一部分气门弹簧力，凸轮桃尖的载荷降低了，因 此发动机速度较高时点蚀磨损减少。而在最大正加速度区， 接触应力分布幅度小，不易产生点蚀磨损，偶尔会出现金 属间的直接接触，因此会出现擦伤现象。实际上，由于气 门传动机构零件不是刚性的并可产生振动，从而改变了凸 轮桃尖附近的接触压力，高速时这些振动力就会使凸轮— 挺杆副产生点蚀。由于凸轮和挺杆都是硬而脆的材料，若 都是经淬火处理的白口铸铁，其疲劳损坏出现在拉应力最 大的区域，即出现在表面上。这些疲劳损坏向内扩展，形 成松散的鳞屑并产生凹坑(点蚀)。一般金属裂纹的扩展方 向与凸轮转动方向相反，即与滑动方向相反。
第七章 凸分析简介
第七章凸分析简介（本章内容取自[11]）7.1基本概念凸集、凸函数、次梯度、集合的凸包、函数的凸包、法锥、切锥定义132.线性空间X的子集C称为凸集，如果：αx+(1−α)y∈C,∀x,y∈C,α∈[0,1].(7.1)空集定义为凸集。
定理133.凸集有如下基本性质：1.任意多个凸集的交还是凸集。
2.如果C1、C2是凸集，则C1+C2≡{x1+x2|x1∈C1,x2∈C2}也是凸集。
3.凸集的闭包和内部也是凸集。
4.凸集经仿射变换后还是凸集；凸集的仿射变换的原像也是凸集。
Proof.定义134.线性空间X的子集C称为锥，如果：λx∈C,∀x∈C,λ>0.(7.2)定义135.设X为点集，x i∈X，i=1,···,m，则m ∑i=1αi x i,αi≥0,m∑i=1αi=1,(7.3)m ∑i=1αi x i,m∑i=1αi=1,(7.4)m∑i=1αi x i,αi≥0(7.5)分别称为{x i}的凸组合、仿射组合和非负组合。
智能科学系教材——流形学习与稀疏表示定义136.设X为点集，则X的凸包为包含X的所有凸集的交。
它由所有X的点的凸组合构成，记作conv(X)。
定义137.设X为点集，则X的仿射包为包含X的所有仿射空间的交。
它由所有X的点的仿射组合构成，记作aff(X)。
aff(X)的维数称为X的维数。
定义138.设X为点集，由所有X的点的非负组合构成的集合称为X生成的锥，记作cone(X)。
定义139.设X⊂R m为点集，x∈X，B r(x)为中心在x、半径为r的m维球。
如果存在r>0使得B r(x)∩aff(X)⊂X，则称x为X的相对内点(relative interior)。
X的相对内点集记为ri(X)。
定义140.设C为凸集，f:C→R称为凸函数，如果：f(αx+(1−α)y)≤αf(x)+(1−α)f(y),∀x,y∈C,α∈[0,1].(7.6)函数g称为凹函数，如果−g是凸函数。
4.2函数的凸性与拐点课件
两式相加,得
f '' ( 1) f '' ( 2 ) 2 f ( x1 ) f ( x 2 ) 2 f ( x0 ) h ， 2
已知：f ''( 1) 0，f ''( 2 ) 0， 且 h2 0，
从而，f ( x1 ) f ( x2 ) 2 f ( x0 )
( 2)若 在(a , b)内 f ( x )单 调 递 减 ， 则 f ( x )是[a , b]上 的凹函数（ ） ．
证明（ 2 ）：若在 (a, b)内 f ( x )单调递减 ，则f ( x ) 是[a , b]上的凹函数（ ）．
证明： 任取 x1 , x2 [a , b]， 设 a x1 x2 b， 令 x0
又 (1 x ) 0
e
x 1
3 x . 1 x
性质2(曲线和割线的关系)
（ 1 ）f ( x )是[a, b]上二阶可导的凸函数 ,
x是[ x1 , x 2 ]上任一点， [ x1 , x2 ]是[a, b]的子区间， x x2 x x1 则 f ( x) f ( x1 ) f ( x2 ) y x1 x2 x2 x1 几何意义：凸函数，弦在弧的上方。 x2 0 x1 （2）f ( x )是[a, b]上二阶可导的凹函数 , [ x1 , x2 ]是[a, b]的子区间，x是[ x1 , x 2 ]上任一点， x x2 x x1 y 则 f ( x) f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2 x2 x1
第四章 导数的应用
4.2 函数的凸性与拐点
4.2.1 凸（凹）函数的概念
定义 设 f ( x ) 在[a, b] 上有定义，
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