新高考数学(理)大二轮复习专题特训卷二函数

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2020届高考数学(理)二轮专题复习：专题二函数、不等式、导数 1-2-2 Word版含答案.doc

限时规范训练五不等式及线性规划限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3＞b 3B.1a ＜1bC ．a b ＞1D ．lg(b －a )＜a解析：选D.∵0＜a ＜b ＜1，∴0＜b －a ＜1－a ，∴lg(b －a )＜0＜a ，故选D. 2．已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，则1a ＋4b( )A ．有最小值8B ．有最小值9C ．有最大值8D ．有最大值9解析：选B.因为1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23时取“＝”，所以1a ＋4b的最小值为9，故选B.3．对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； ③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ④若a ＞b ，则1a ＞1b.其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B.①ac 2＞bc 2，则c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③需满足a 、b 、c 、d 均为正数才成立；④错误，如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2.故选B. 4．已知不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( )A ．{x |2＜x ＜3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12解析：选B.∵不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13， ∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a ＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3. 5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x 的取值范围为( )A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2C ．[－1,2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析：选B.作出可行域(图略)，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1,3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2，故选B.6．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( ) A.92 B.72 C ．22＋12D ．22－12解析：选A.∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n＋n2， ∴S n ＋8a n＝n＋n2＋8n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．∴S n ＋8a n 的最小值是92，故选A.7．一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为3，a ，b 的三条线段，则ab 的最大值为( ) A. 5 B. 6 C.52D ．3解析：选C.如图，构造一个长方体，体对角线长为2，由题意知a 2＋x 2＝4，b 2＋y 2＝4，x2＋y 2＝3，则a 2＋b 2＝x 2＋y 2＋2＝3＋2＝5，又5＝a 2＋b 2≥2ab ，所以ab ≤52，当且仅当a ＝b 时取等号，所以选C.8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( ) A ．[1,5] B ．[2,6] C ．[3,11]D ．[3,10]解析：选C.画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12的可行域如图阴影部分所示，则x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2y ＋2x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1的几何意义为过点(x ，y )和(－1，－1)的直线的斜率．由可行域知y ＋1x ＋1的取值范围为k MA ≤y ＋1x ＋1≤k MB ，即y ＋1x ＋1∈[1,5]，所以x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[3,11]．9．设x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，若M ＝3x ＋y ，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72，则M －N 的最小值为( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：选A.作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A (－1,2)，B (3,2)，当直线3x ＋y －M ＝0经过点A (－1,2)时，目标函数M ＝3x ＋y 取得最小值－1.又由平面区域知－1≤x ≤3，所以函数N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72在x ＝－1处取得最大值－32，由此可得M －N 的最小值为－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝12.10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0＜a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0＜a ≤1或a ≥43解析：选D.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．其中直线x －y ＝0与直线2x ＋y ＝2的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，而直线x ＋y ＝a 与x 轴的交点是(a,0)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需a ≥23＋23或0＜a ≤1，所以选D.11．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －10≥0，x ≤4，y ≤3表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 、B ，当∠APB 最大时，cos∠APB ＝( )A.32 B.12 C ．－32D ．－12解析：选B.画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，易知当点P 到点O 距离最小时，∠APB 最大，此时|OP |＝|3×0＋4×0－10|32＋42＝2，又OA ＝1，故∠OPA ＝π6， ∴∠APB ＝π3，∴cos∠APB ＝12.12．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3＜c ≤6 C ．6＜c ≤9D ．c ＞9解析：选C.由0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，得0＜－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ≤3，由－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，得3a －b －7＝0，① 由－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，得 4a －b －13＝0，②由①②，解得a ＝6，b ＝11，∴0＜c －6≤3，即6＜c ≤9，故选C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f (x )＝1＋log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1n的最小值为________．解析：因为log a 1＝0，所以f (1)＝1，故函数f (x )的图象恒过定点A (1,1)．由题意，点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m ＋n ＝2.而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ×(m ＋n ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ，因为mn ＞0，所以nm ＞0，m n＞0. 由均值不等式，可得n m ＋m n ≥2×n m ×mn＝2(当且仅当m ＝n 时等号成立)，所以1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，即1m ＋1n 的最小值为2.答案：214．设P (x ，y )是函数y ＝2x(x ＞0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为________．解析：因为x ＞0，所以y ＞0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．答案：2 215．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，3x ＋2y ≤15，则w ＝4x ·2y的最大值是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．w ＝4x ·2y ＝22x ＋y，要求其最大值，只需求出2x ＋y ＝t 的最大值即可，由平移可知t ＝2x ＋y 在A (3,3)处取得最大值t ＝2×3＋3＝9，故w ＝4x·2y的最大值为29＝512.答案：51216．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意知，m 2－34m ≥f (x )max .当x ＞1时，f (x )＝log 13x 是减函数，且f (x )＜0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝12，且开口向下，∴f (x )max ＝－14＋12＝14.∴m 2－34m ≥14，即4m 2－3m －1≥0，∴m ≤－14或m ≥1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪[1，＋∞)。

高考数学(理科)二轮复习【专题2】函数的应用(含答案)

第2讲函数的应用考情解读(1)函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以填空题的形式出现．(2)函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题．1．函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．(2)函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y ＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．2．函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.热点一函数的零点例1(1)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是________．(2)(2014·辽宁改编)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx ，x ∈[0，12]，2x －1，x ∈(12，＋∞)，则不等式f (x －1)≤12的解集为________．思维升华 (1)根据二分法原理，逐个判断；(2)画出函数图象，利用数形结合思想解决．答案 (1)1 (2)[14，23]∪[43，74]解析 (1)先判断函数的单调性，再确定零点．因为f ′(x )＝2x ln 2＋3x 2>0，所以函数f (x )＝2x ＋x 3－2在(0,1)上递增，且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0，所以有1个零点．(2)先画出y 轴右边的图象，如图所示．∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称，∴可画出y 轴左边的图象，再画直线y ＝12.设与曲线交于点A ，B ，C ，D ，先分别求出A ，B 两点的横坐标．令cos πx ＝12，∵x ∈[0，12]，∴πx ＝π3，∴x ＝13.令2x －1＝12，∴x ＝34，∴x A ＝13，x B ＝34.根据对称性可知直线y ＝12与曲线另外两个交点的横坐标为x C ＝－34，x D ＝－13.∵f (x －1)≤12，则在直线y ＝12上及其下方的图象满足，∴13≤x －1≤34或－34≤x －1≤－13， ∴43≤x ≤74或14≤x ≤23. 思维升华函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．(1)已知函数f (x )＝(14)x －cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数是________．(2)已知a 是函数f (x )＝2x －log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)和0的大小关系是________．答案 (1)3 (2)f (x 0)<0解析 (1)f (x )在[0,2π]上的零点个数就是函数y ＝(14)x 和y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的交点个数，而函数y ＝(14)x 和y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的交点有3个．(2)∵f (x )＝2x －log 12x 在(0，＋∞)上是增函数，又a 是函数f (x )＝2x －log 12x 的零点，即f (a )＝0，∴当0<x 0<a 时，f (x 0)<0.热点二函数的零点与参数的范围例2 (2014·常州高三模拟)对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是________．思维启迪先确定函数f (x )的解析式，再利用数形结合思想求k 的范围．答案 [－2,1)解析解不等式x 2－1－(4＋x )≥1，得x ≤－2或x ≥3，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ∈(－∞，－2]∪[3，＋∞)，x 2－1，x ∈(－2，3).函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点转化为函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝－k 恰有三个不同交点．如图，所以－1<－k ≤2，故－2≤k <1.思维升华已知函数的零点个数求解参数范围，可以利用数形结合思想转为函数图象交点个数；也可以利用函数方程思想，构造关于参数的方程或不等式进行求解．定义在R 上的函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)的单调增区间为(－1,1)，若方程3a (f (x ))2＋2bf (x )＋c ＝0恰有6个不同的实根，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－12)解析 ∵函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)的单调增区间为(－1,1)，∴－1和1是f ′(x )＝0的根， ∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，∴⎩⎨⎧(－1)＋1＝－2b 3a，(－1)×1＝c3a，∴b ＝0，c ＝－3a ，∴f (x )＝ax 3－3ax ，∵3a (f (x ))2＋2bf (x )＋c ＝0，∴3a (f (x ))2－3a ＝0，∴f 2(x )＝1，∴f (x )＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)>1，f (－1)<－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a －3a >1，－a ＋3a <－1，∴a <－12.热点三函数的实际应用问题例3 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f (x )与时刻x (时)的关系为f (x )＝|x x 2＋1－a |＋2a ＋23，x ∈[0,24]，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈[0，12]，若用每天f (x )的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M (a )．(1)令t ＝xx 2＋1，x ∈[0,24]，求t 的取值范围；(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？思维启迪 (1)分x ＝0和x ≠0两种情况，当x ≠0时变形使用基本不等式求解．(2)利用换元法把函数f (x )转化成g (t )＝|t －a |＋2a ＋23，再把函数g (t )写成分段函数后求M (a )．解 (1)当x ＝0时，t ＝0；当0<x ≤24时，x ＋1x≥2(当x ＝1时取等号)，∴t ＝x x 2＋1＝1x ＋1x ∈(0，12]，即t 的取值范围是[0，12]．(2)当a ∈[0，12]时，记g (t )＝|t －a |＋2a ＋23，则g (t )＝⎩⎨⎧－t ＋3a ＋23，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a <t ≤12.∵g (t )在[0，a ]上单调递减，在(a ，12]上单调递增，且g (0)＝3a ＋23，g (12)＝a ＋76，g (0)－g (12)＝2(a －14)．故M (a )＝⎩⎨⎧ g (12)，0≤a ≤14，g (0)，14<a ≤12.即M (a )＝⎩⎨⎧a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14<a ≤12.当0≤a ≤14时，M (a )＝a ＋76<2显然成立；由⎩⎨⎧3a ＋23≤2，14<a ≤12，得14<a ≤49， ∴当且仅当0≤a ≤49时，M (a )≤2.故当0≤a ≤49时不超标，当49<a ≤12时超标．思维升华 (1)关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去． (2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－130x 2 (0<x ≤10)，108x －1 0003x 2(x >10).(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本) 解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x . ∴W ＝⎩⎨⎧8.1x －x 330－10 (0<x ≤10)，98－1 0003x－2.7x (x >10).(2)①当0<x ≤10时，由W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，且当x ∈(0,9)时，W ′>0；当x ∈(9,10)时，W ′<0，∴当x ＝9时，W 取得最大值，且W max ＝8.1×9－130·93－10＝38.6.②当x >10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎫1 0003x ＋2.7x ≤98－21 0003x·2.7x ＝38，当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009时，W ＝38，故当x ＝1009时，W 取最大值38.综合①②知：当x ＝9时，W 取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．1．函数与方程(1)函数f (x )有零点⇔方程f (x )＝0有根⇔函数f (x )的图象与x 轴有交点． (2)函数f (x )的零点存在性定理：如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.①如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f (x )在区间[a ，b ]上是一个单调函数，那么当f (a )·f (b )<0时，函数f (x )在区间(a ，b )内有唯一的零点，即存在唯一的c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.②如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )>0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内不一定没有零点．2．函数综合题的求解往往应用多种知识和技能．因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决． 3．应用函数模型解决实际问题的一般程序读题(文字语言)⇒建模(数学语言)⇒求解(数学应用)⇒反馈(检验作答)与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.真题感悟1．(2014·重庆改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3， x ∈(－1，0]，x ， x ∈(0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12 解析作出函数f (x )的图象如图所示，其中A (1,1)，B (0，－2)．因为直线y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)恒过定点C (－1,0)，故当直线y ＝m (x ＋1)在AC 位置时，m ＝12，可知当直线y ＝m (x ＋1)在x 轴和AC 之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y ＝m (x ＋1)可与AC 重合但不能与x 轴重合)，此时0<m ≤12，g (x )有两个不同的零点．当直线y ＝m (x ＋1)过点B 时，m ＝－2；当直线y ＝m (x ＋1)与曲线f (x )相切时，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ＋1－3，y ＝m (x ＋1)，得mx 2＋(2m ＋3)x ＋m ＋2＝0，由Δ＝(2m ＋3)2－4m (m ＋2)＝0，解得m ＝－94，可知当y ＝m (x ＋1)在切线和BC 之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y ＝m (x ＋1)可与BC 重合但不能与切线重合)，此时－94<m ≤－2，g (x )有两个不同的零点．综上，m 的取值范围为(－94，－2]∪(0，12]．2．(2014·北京改编)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a 、b 、c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．答案 3.75解析根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.0.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2.0＝－15(t 2－152t ＋22516)＋4516－2＝－15(t －154)2＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．押题精练1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )＋1]的零点有________个．答案 4解析当f (x )＝0时，x ＝－1或x ＝1，故f [f (x )＋1]＝0时，f (x )＋1＝－1或1.当f (x )＋1＝－1，即f (x )＝－2时，解得x ＝－3或x ＝14；当f (x )＋1＝1，即f (x )＝0时，解得x ＝－1或x ＝1.故函数y ＝f [f (x )＋1]有四个不同的零点．2．函数f (x )＝x e x －a 有两个零点，则实数a 的取值范围是________．答案 (－1e，0)解析令f ′(x )＝(x ＋1)e x ＝0，得x ＝－1，则当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，要使f (x )有两个零点，则极小值f (－1)<0，即－e －1－a <0，所以a >－1e ，又x →－∞时，f (x )>0，则a <0，∴a ∈(－1e，0)．3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)．则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．答案 5 8解析由题意知每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－(x ＋25x )，而x >0，故yx ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元．(推荐时间：60分钟)一、填空题1．函数f (x )＝x 2－2x 的零点个数为________．答案 3解析由于f (－1)＝1－2－1＝12>0，又f (0)＝0－1<0，则在区间(－1,0)内有1个零点；又f (2)＝22－22＝0，f (4)＝42－24＝0，故有3个零点．2．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．答案－12，－13解析由⎩⎪⎨⎪⎧ 22－2a －b ＝0，32－3a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－6.所以g (x )＝－6x 2－5x －1的零点为－12，－13.3．f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为________．答案 5解析 ∵2sin πx －x ＋1＝0，∴2sin πx ＝x －1，图象如图所示，由图象看出y ＝2sin πx 与y ＝x －1有5个交点，∴f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，x 2－x ，x >0，若方程f (x )＝m 有三个不同的实根，则实数m 的取值范围为________．答案 (－14，0)解析作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示．当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝(x －12)2－14≥－14，所以要使函数f (x )＝m 有三个不同的零点，则－14<m <0，即m 的取值范围为(－14，0)．5．(2013·江西改编)如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F 、G 两点，与三角形ABC 两边相交于E 、D 两点．设弧FG 的长为x (0<x <π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图象大致是________．答案 ④解析如图所示，连结OF ，OG ，过点O 作OM ⊥FG ，过点A 作AH ⊥BC ，交DE 于点N .因为弧FG 的长度为x ，所以∠FOG ＝x ，则AN ＝OM ＝cos x 2，所以AN AH ＝AE AB ＝cos x 2，则AE ＝233cos x 2，所以EB ＝233－233cos x2.所以y ＝EB ＋BC ＋CD ＝433－433cos x 2＋233＝－433cos x 2＋23(0<x <π)．对照图象知④正确． 6．已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ∈[0，1)，2－x 2，x ∈[－1，0)，且f (x ＋2)＝f (x )，g (x )＝2x ＋5x ＋2，则方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为________．答案－7解析由题意知g (x )＝2x ＋5x ＋2＝2(x ＋2)＋1x ＋2＝2＋1x ＋2，函数f (x )的周期为2，则函数f (x )，g (x )在区间[－5,1]上的图象如图所示：由图形可知函数f (x )，g (x )在区间[－5,1]上的交点为A ，B ，C ，易知点B 的横坐标为－3，若设C 的横坐标为t (0<t <1)，则点A 的横坐标为－4－t ，所以方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为－3＋(－4－t )＋t ＝－7.7．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．答案 (0,1]解析当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1.因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时，函数f (x )＝2x －a 有一个零点，令f (x )＝0得a ＝2x ，因为0<2x ≤20＝1，所以0<a ≤1，所以实数a 的取值范围是0<a ≤1.8．(2014·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1， x <1，x 13， x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．答案 (－∞，8]解析当x <1时，x －1<0，e x －1<e 0＝1≤2， ∴当x <1时满足f (x )≤2.当x ≥1时，x 13≤2，x ≤23＝8,1≤x ≤8. 综上可知x ∈(－∞，8]．9．已知函数f (x )＝1x ＋2－m |x |有三个零点，则实数m 的取值范围为________．答案 (1，＋∞)解析函数f (x )有三个零点等价于方程1x ＋2＝m |x |有且仅有三个实根． ∵1x ＋2＝m |x |⇔1m ＝|x |(x ＋2)，作函数y ＝|x |(x ＋2)的图象，如图所示，由图象可知m 应满足0<1m <1，故m >1.10．若对于定义在R 上的函数f (x )，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R )使得f (x ＋λ)＋λf (x )＝0对任意实数都成立，则称f (x )是一个“λ－伴随函数”．有下列关于“λ－伴随函数”的结论：①f (x )＝0是常数函数中唯一一个“λ－伴随函数”；②f (x )＝x 是“λ－伴随函数”；③f (x )＝x 2是“λ－伴随函数”；④“12－伴随函数”至少有一个零点．其中正确结论的个数是________．答案 1解析对于①，若f (x )＝c ≠0，取λ＝－1，则f (x －1)－f (x )＝c －c ＝0，即f (x )＝c ≠0是一个“λ－伴随函数”，故①不正确．对于②，若f (x )＝x 是一个“λ－伴随函数”，则(x ＋λ)＋λx ＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故②不正确．对于③，若f (x )＝x 2是一个“λ－伴随函数”，则(x ＋λ)2＋λx 2＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故③不正确．对于④，若f (x )是“12－伴随函数”，则f (x ＋12)＋12f (x )＝0，取x ＝0，则f (12)＋12f (0)＝0，若f (0)，f (12)任意一个为0，函数f (x )有零点；若f (0)，f (12)均不为0，则f (0)，f (12)异号，由零点存在性定理，知f (x )在(0，12)内存在零点x 0，所以④正确．二、解答题11．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)．(1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.所以函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根．所以b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4(4a )<0⇒a 2－a <0，所以0<a <1.因此实数a 的取值范围是(0,1)．12．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人(140<2a <420，且a 为偶数)，每人每年可创利b 万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b 万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b 万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的34，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？解设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元，则y ＝(2a －x )(b ＋0.01bx )－0.4bx ＝－b 100[x 2－2(a －70)x ]＋2ab . 依题意得2a －x ≥34·2a ，所以0<x ≤a 2. 又140<2a <420，即70<a <210.(1)当0<a －70≤a 2，即70<a ≤140时，x ＝a －70，y 取到最大值； (2)当a －70>a 2，即140<a <210时，x ＝a 2，y 取到最大值．故当70<a ≤140时，公司应裁员(a －70)人，经济效益取到最大，当140<a <210时，公司应裁员a 2人，经济效益取到最大． 13．是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．解令f (x )＝0，则Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9a 2－16a ＋8＝9(a －89)2＋89>0，即f (x )＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，∴a ≤－15或a ≥1. 检验(1)当f (－1)＝0时，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠1.(2)当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65. 令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解得x ＝－25或x ＝3. 方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠－15. 综上所述，a <－15或a >1.。

2023届新高考数学二轮复习：专题(利用奇偶性、单调性解函数不等式问题)提分练习(附答案)

2023届新高考数学二轮复习：专题（利用奇偶性、单调性解函数不等式问题）提分练习一、单选题1．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 在(],3-∞上单调递增，且()3f x +为偶函数，则不等式()()12f x f x +>的解集为（）A ．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()5,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(),1-∞D ．()1,+∞2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，不等式()()24f x f x ≥的解集为（）A ．(][),04,-∞+∞UB ．[]0,4C ．(][),02,-∞⋃+∞D ．[]0,23．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知偶函数()f x 的定义域为R ，且当0x ≥时，()11x f x x -=+，则使不等式()2122f a a -<成立的实数a 的取值范围是（） A ．()1,3- B ．()3,3- C ．()1,1- D ．(),3-∞4．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，且(2)2f -=-，则不等式1(lg )lg 4f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的解集为（）A ．10,100⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．(0,100)D ．(100,)+∞5．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()cos x f x e x =-，则不等式(3)(21)0f x f x ---<的解集为（） A ．42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(,2)-∞-C ．(2,)-+∞D ．4(,2),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数21()e e c 2os x xf x x x -=++-，则关于x 的不等式()()213f x f x -<+的解集为（）A ．()1,2-B ．2(,4)3-C ．()(),12,-∞-+∞D ．2(,(4,)3-∞-+∞7．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）函数()1ln 1x f x x-=+，则不等式()()2110f a f a -+-<的解集为（） A ．()2,1-B ．()0,2C ．()1,2-D ．()0,18．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数())lg f x x =，不等式()()()2log 120f x f x ++-≥的解集为（）A ．(]1,1-B ．[)2,+∞C ．[)1,+∞D ．(],1-∞9．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()e e 2sin x x f x x -=--，则关于x 的不等式()()2320f x f x -+<的解集为（）A ．()3,1-B ．()1,3-C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．[]1,3-10．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）已知函数131()2021(1)20212x x f x x x --=+--+，则不等式2(4)(23)4f x f x -+-≤的解集为（）． A ．[1,4]-B ．[4,1]-C ．(,1][4,)-∞-⋃+∞D ．(,4][1,)-∞-+∞11．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()20172017log x f x =+)20173x x --+，则关于x 的不等式()()126f x f x -+>的解集为（）A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．()1,2D ．()1,412．（2023春ꞏ广东清远ꞏ高三校考阶段练习）已知函数()211202320233xxf x x =+-+，则不等式()()12f x f x +>的解集为（）A ．1,2023⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．()2023,+∞ C ．()()1,1,3-∞-⋃+∞D ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭13．（2023春ꞏ江苏苏州ꞏ高三统考阶段练习）已知函数()e e 2sin 1x xf x x -=-++，则不等式()()4232f x f x -+-…的解集为（）A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．(],1-∞-D ．(),1-∞-14．（2023春ꞏ四川成都ꞏ高三树德中学校考阶段练习）已知函数()e e 2sin 1x xf x x -=--+，则关于t 的不等式()(21)2f t f t +-≤的解集为（）A ．1,3⎛⎤-∞ ⎝⎦B ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭15．（2023春ꞏ河南ꞏ高三校联考阶段练习）意大利画家达ꞏ芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为e e cosh 2x x x -+=，相应的双曲正弦函数的表达式为e e sinh 2xxx --=．设函数()sinh cosh x f x x=，若实数a 满足不等式()()232020f a f a ++-<，则a 的取值范围为（） A ．5,42⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．54,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()5,4,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()5,4,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭16．（2023ꞏ全国ꞏ高一专题练习）函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()f x []0,1x t ∈-，均有()()f x t x -≥则实数t 的最大值是（） A ．32B ．2C ．52D ．317．（2023春ꞏ江西九江ꞏ高三校考阶段练习）函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()()1xf x a a =>.若对任意的[]0,21x t ∈+，均有()[]3()f x t f x +≥，则实数t 的最大值是（）A ．49-B ．13-C ．0D ．1618．（2023春ꞏ安徽安庆ꞏ高三宿松县程集中学校考阶段练习）设()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,()2f x x =,若对任意的[],2x a a ∈+,不等式()()2f x a f x +≥恒成立,则实数a 的取值范围是( )A ．)+∞B ．[2,)+∞C ．(]0,2D ．[1]2]-19．（2023ꞏ浙江ꞏ模拟预测）已知函数(2()ln e 1xf x x =-+，若对任意的实数x ，恒有()2(1)2f ax x f x -+-+<成立，则实数a 的取值范围为（）A ．()0,∞+B ．[)0,∞+C ．()1,+∞D ．[)1,+∞20．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数32()log (31xf x x =-+，若()()22122f a f a -+-≤-，则实数a 的取值范围是（） A ．[]3,1-B ．[]2,1-C ．(]0,1D ．[]0,121．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()2ln x x f x e e x -=++，则使得()()230f x f x -+>成立的x 的取值范围是A ．()1,3-B ．()(),33,-∞-+∞C ．()(),13,-∞-+∞D ．()3,3-22．（2023ꞏ浙江ꞏ高三专题练习）函数()()2211x x f x e x e-=++-，则使得()()23f x f x >+成立的x 取值范围是（）A ．()(),13,-∞-⋃+∞B ．()1,3-C ．()1,3,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭二、多选题23．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()3f x x x =+，实数,m n 满足不等式()()2320f m n f n -+->，则（）A ．e e m n >B ．11n n m m +>+ C ．()ln 0m n -> D ．20212021m n <三、填空题24．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()2228x f x x =+-，则不等式()234f x x -≤的解集为___________.25．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数()()e e x x f x a a -=+∈R 为奇函数，则不等式()()ln ln f x f x <的解集为___________.26．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()11x x f x e e x --=-+，则不等式()()2432f x f x -+-≤的解集是______.27．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()ln 1x x f x e e -⎛⎫=-++，则关于x 的不等式()()212f x f x ++<的解集为___________.28．（2023春ꞏ辽宁大连ꞏ高三校联考期中）已知()e e sin 1xxf x x x -=-+-+，若()()22ln 122x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的取值范围是______．29．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数2()ln(1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是_______________30．（2023春ꞏ江苏连云港ꞏ高二校考阶段练习）已知函数21()ln 1f x x x =-+，若对[1,3]x ∈，不等式(ln 1)(ln 1)2(1)f ax x f ax x f -+++--≥恒成立，则实数a 的取值范围___________.参考答案一、单选题1．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 在(],3-∞上单调递增，且()3f x +为偶函数，则不等式()()12f x f x +>的解集为（）A ．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()5,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(),1-∞D ．()1,+∞【答案】B【答案解析】∵()3f x +为偶函数，∴()()33f x f x -+=+，即函数()f x 关于3x =对称，又函数()f x 在(],3-∞上单调递增， ∴函数()f x 在[)3,+∞上单调递减，由()()12f x f x +>，可得1323x x +-<-，整理得，23850x x -+>，解得1x <或53x >. 故选：B.2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，不等式()()24f x f x ≥的解集为（）A ．(][),04,-∞+∞UB ．[]0,4C ．(][),02,-∞⋃+∞D ．[]0,2【答案】C【答案解析】根据题意，当0x ≥时，()2f x x =，所以()f x 在[0,)+∞上为增函数，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在R 上为增函数，因为20x ≥，所以24()f x x =，24124x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以221()42x f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以不等式()()24f x f x ≥可化为2()2x f f x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以22x x ≥，解得0x ≤或2x ≥，所以不等式()()24f x f x ≥的解集为(][),02,-∞⋃+∞，故选：C3．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知偶函数()f x 的定义域为R ，且当0x ≥时，()11x f x x -=+，则使不等式()2122f a a -<成立的实数a 的取值范围是（） A ．()1,3- B ．()3,3-C ．()1,1-D ．(),3-∞【答案】A【答案解析】当0x ≥时，()()12121111x x f x x x x +--===-+++，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增，且()132f =，不等式()2122f a a -<即为()()223f a a f -<.又因为()f x 是偶函数，所以不等式()()223f a a f -<等价于()()223f a a f -<，则223a a -<，所以，222323a a a a ⎧-<⎨->-⎩，解得13a -<<.综上可知，实数a 的取值范围为()1,3-，故选：A.4．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，且(2)2f -=-，则不等式1(lg )lg 4f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的解集为（）A ．10,100⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．(0,100)D ．(100,)+∞【答案】D【答案解析】因为函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，又(2)2f -=-，(2)2f =，所以不等式1(lg )lg 4f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，可化为()2(lg )422f x f >=，即()(lg )2f x f >，又因为()f x 在(,0]-∞上单调递增，所以()f x 在R 上单调递增，所以lg 2x >，解得100x >. 故选：D.5．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()cos x f x e x =-，则不等式(3)(21)0f x f x ---<的解集为（）A ．42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(,2)-∞-C ．(2,)-+∞D ．4(,2),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【答案解析】当0x ≥时，()cos x f x e x =-，所以()sin x f x e x '=+，因为0x ≥，所以1x e ≥，即()1sin 0f x x '≥+≥，所以函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，又因为函数()f x 为R 上的偶函数，所以函数()f x 在(],0-∞上单调递减．则不等式(3)(21)0f x f x ---<，即(3)(21)f x f x -<-等价于321x x -<-，解得<2x -或43x >．故选：D ．6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数21()e e c 2os x xf x x x -=++-，则关于x 的不等式()()213f x f x -<+的解集为（）A ．()1,2-B ．2(,4)3-C ．()(),12,-∞-+∞D ．2(,)(4,)3-∞-+∞【答案】B【答案解析】因为()()2211()e e e e co c 2o )2s s (x xx x f x x x x f x x ---=+-==+--++-，所以函数()f x 为偶函数，当0x …时，有()e e sin x x f x x x -'=---，令()e e sin x x g x x x -=---，则()e e cos 1cos 11cos 0x x g x x x x -'=+----=-厖，所以函数()g x 在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)0g x g =…，即()0f x '≥恒成立，所以函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，又函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，所以关于x 的不等式(21)(3)f x f x -<+可转化为|3||21|x x +>-，解得243x -<<.关于x 的不等式()()213f x f x -<+的解集为2(,4)3-，故选：B.7．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）函数()1ln 1x f x x-=+，则不等式()()2110f a f a -+-<的解集为（） A ．()2,1- B ．()0,2C ．()1,2-D ．()0,1【答案】D【答案解析】函数()1ln 1x f x x -=+的定义域满足101xx->+，即定义域为-,11（），又()11ln ln ()11x x f x f x x x +--==-=--+，故()1ln 1xf x x-=+为奇函数，而12111x x x-=-++ 在-,11（）上随x 的增大而减小，故()1ln1xf x x-=+在-,11（）上为单调递减函数，则由不等式()()2110f a f a -+-<可得不等式()()()2111f a f a f a -<--=-，故2211111111a a a a ⎧->-⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩ ，解得01a << ，故选：D8．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数())lg f x x =+，不等式()()()2log 120f x f x ++-≥的解集为（）A ．(]1,1-B ．[)2,+∞C ．[)1,+∞D ．(],1-∞【答案】C【答案解析】函数())lgf x x =+的定义域为(),-∞+∞，且()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，()f x在[0,)+∞上递增，则可得在(),-∞+∞上单调递增，()()()2log 120f x f x ++-≥可以变为()()()2log 12f x f x +≥--，即()()()2log 12f x f x +≥-，所以()2log 12x x +≥-，2log (1)20x x ++-≥，记2()log (1)2g x x x =++-，()g x 在(1,)-+∞上是增函数，且(1)0g =，所以()0g x ≥的解集为{}1x x ≥，故选：C ．9．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()e e 2sin x x f x x -=--，则关于x 的不等式()()2320f x f x -+<的解集为（）A ．()3,1-B ．()1,3-C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．[]1,3-【答案】A【答案解析】函数()e e 2sin x xf x x -=--的定义域为R ，()()()e e 2sin e e 2sin x x x x f x x x f x ---=---=-+=-，所以函数()e e 2sin x xf x x -=--为奇函数，因为()'e e 2cos 22cos 0x xf x x x -=+-≥-≥，所以函数()e e 2sin x xf x x -=--在R 上单调递增，所以()()()()()22320322f x f x f x f x f x -+<⇔-<-=-，所以232x x -<-，即2230x x +-<，解得31x -<<所以不等式()()2320f x f x -+<的解集为()3,1-故选：A10．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）已知函数131()2021(1)20212x x f x x x --=+--+，则不等式2(4)(23)4f x f x -+-≤的解集为（）．A ．[1,4]-B ．[4,1]-C ．(,1][4,)-∞-⋃+∞D ．(,4][1,)-∞-+∞【答案】A【答案解析】设函数3()202120212x x g x x x -=+-+，则函数()g x 是定义域为R ，根据指数函数与幂函数的单调性可得，2021x y =是增函数，2021x y -=是减函数，3y x =是增函数，所以3()202120212x x g x x x -=+-+在R 上单调递增；又3()202120212()x x g x x x g x --=-=---，所以()g x 是奇函数，其图象关于原点对称；又()131()2021(1)202121)212x xf x x xg x --=+--+-+=-+（，即()f x 的图象可由()g x 向右平移一个单位，再向上平移两个单位后得到，所以131()2021(1)202121)2x x f x x x --=+--+-+（是定义域为R 的增函数，且其图像关于点(1,2)对称，即有()(2)4f x f x +-=，即 (2)4()f x f x -=-．由2(4)(23)4f x f x -+-≤得 2(4)4(23)f x f x -≤--，即()()242(23)f x f x -≤--，即2(4)(3)f x f x -≤，所以 243x x -≤，解得 14x -≤≤．故选：A ．11．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()20172017log xf x =+)20173x x --+，则关于x 的不等式()()126f x f x -+>的解集为（）A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．()1,2D ．()1,4【答案】A【答案解析】设()201720172017log x xg x -=-+)x ，显然定义域为R20172017()20172017log )20172017log )x x x x g x x x ---=-+=--()g x =-，()g x 是奇函数，0x ≥时，2017log )y x =是增函数，2017x y =是增函数，2017x y -=-是增函数，所以()g x 是增函数，又()g x 是奇函数，所以0x ≤时，()g x 是增函数，从而()g x 在R 上是增函数，∴()()12336g x g x -+++>，即()()21g x g x >-，∴21x x >-，∴1x <，∴不等式()()126f x f x -+>的解集为(),1-∞，故选：A ．12．（2023春ꞏ广东清远ꞏ高三校考阶段练习）已知函数()211202320233x x f x x =+-+，则不等式()()12f x f x +>的解集为（） A ．1,2023⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．()2023,+∞C ．()()1,1,3-∞-⋃+∞D ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【答案解析】由题意可知，函数()f x 的定义域为R ，且()()()221111202320232023202333xxxxf x f x x x ---=+-=+-=+-+，所以，函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，()()()()222211222023ln 2023ln 20232023ln 202302023202333xx x x x xf x x x-=++=-+≥++'且()f x '不恒为零，所以，函数()f x 在[)0,∞+上为增函数，由()()12f x f x +>可得()()12f x f x +>，则12x x +>，可得()2214x x +>，整理可得()()3110x x +-<，解得113-<<x .故选：D.13．（2023春ꞏ江苏苏州ꞏ高三统考阶段练习）已知函数()e e 2sin 1x xf x x -=-++，则不等式()()4232f x f x -+-…的解集为（） A ．(),1-∞ B ．(],1-∞ C ．(],1-∞- D ．(),1-∞-【答案】C【答案解析】因为函数()e e 2sin 1x xf x x -=-++，令()e e 2sin x xg x x -=-+，(),x ∈-∞+∞，则()()1g x f x =-，因为()()()()e e2sin e 2n e si x xx x x g x x g x -----=---+=--=，所以函数()g x 为奇函数，因为()e e 2cos 2cos 22cos 0x x x g x x x -++≥=+=≥'，所以函数()g x 在区间(),-∞+∞上单调递增，不等式()()4232f x f x -+-…可化为()()41231f x f x ⎡⎤-----⎣⎦…，又因为()()1g x f x =-，所以()()()42332g x g x g x -≥--=-，又因为函数()g x 在区间(),-∞+∞上单调递增，所以432x x -≥-，解得1x ≤-，所以不等式()()4232f x f x -+-…的解集为(],1-∞-. 故选：C.14．（2023春ꞏ四川成都ꞏ高三树德中学校考阶段练习）已知函数()e e 2sin 1x xf x x -=--+，则关于t 的不等式()(21)2f t f t +-≤的解集为（）A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【答案解析】x ∈R ，令()()1e e 2sin -=-=--x x h x f x x ，()()()()1e e 2sin --=--=---=-x xh x f x x h x ，所以()h x 为奇函数，因为()()e e 2cos 22cos 0-''==+-≥-≥x xh x f x x x ，所以()h x 为单调递增函数，由()()212+-≤f t f t 得()()1121-≤--f t f t ，即()()()2112h t h t h t ≤--=-，所以12t t ≤-，解得13t ≤.故选：A.15．（2023春ꞏ河南ꞏ高三校联考阶段练习）意大利画家达ꞏ芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为e e cosh 2x x x -+=，相应的双曲正弦函数的表达式为e e sinh 2xxx --=．设函数()sinh cosh x f x x=，若实数a 满足不等式()()232020f a f a ++-<，则a 的取值范围为（） A ．5,42⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．54,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()5,4,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()5,4,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【答案解析】由题意可知：e e ()e +e x xx x f x ---=的定义域为R ，因为e e ()()e +ex xx x f x f x ----==-，所以函数()f x 为奇函数，又因为222e e e 12()==1e +e e +1e +1x x x x x x x f x ----=-，且22()=e +1x g x 在R 上为减函数，由复合函数的单调性可知：22()1e +1xf x =-在R 上为增函数，因为()()232020f a f a ++-<，所以()()()2232022f a f a f a +<--=，所以23202a a +<，解得：4a >或52a <-，所以实数a 的取值范围为5(,(4,)2-∞-+∞ ，故选：D.16．（2023ꞏ全国ꞏ高一专题练习）函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()f x =[]0,1x t ∈-，均有()()f x t x -≥则实数t 的最大值是（） A ．32B ．2C ．52D ．3【答案】A【答案解析】易知，函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，由10t ->，得1t >，又()()()2f x t x f x -≥= ，且函数为偶函数，2x t x ∴-≥，两边平方化简，则22320x xt t +-≤在[]0, 1t -恒成立，令()2232g x x xt t =+-，则()()0010g g t ⎧≤⎪⎨-≤⎪⎩，即()()222031210t t t t t ⎧-≤⎪⎨-+--≤⎪⎩，解得1322≤≤t ，综上：t 的最大值为32．故选：A ．17．（2023春ꞏ江西九江ꞏ高三校考阶段练习）函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()()1xf x a a =>.若对任意的[]0,21x t ∈+，均有()[]3()f x t f x +≥，则实数t 的最大值是（）A ．49-B ．13-C ．0D ．16【答案】A【答案解析】∵()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()()1xf x a a =>，∴()()1xf x aa =>，当0x ≥时为增函数，∴[]()()333()3xxf x a af x ===，则()[]3()f x t f x +≥等价于()()3f x t f x +≥，即3x t x +≥，即22820x tx t --≤对任意[]0,21x t ∈+恒成立，设()2282g x x tx t =--，则有()()()()22008212210210g t t t t g t ≤⎧⎪⇒+-+-≤⎨+≤⎪⎩，解得2439t -≤≤-，又∵210t +>，∴1429t -<≤-. 故选：A.18．（2023春ꞏ安徽安庆ꞏ高三宿松县程集中学校考阶段练习）设()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,()2f x x =,若对任意的[],2x a a ∈+,不等式()()2f x a f x +≥恒成立,则实数a 的取值范围是( )A ．)+∞B ．[2,)+∞C ．(]0,2D ．[1]2]-【答案】A【答案解析】 ()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,()2f x x =∴ 当0x <,有0x ->,2()()f x x -=- 2()f x x ∴-=即2()f x x =-22,0(),0x x f x x x ⎧≥∴=⎨-<⎩()f x ∴在R 上是单调递增函数,且满足2())f x f =∴不等式()2())f x a f x f +≥=在[],2x a a ∈+恒成立,x a ∴+≥,[],2x a a ∈+恒成立1)x a ≤∴+对[],2x a a ∈+恒成立2(1a a ∴+≤解得:a ≥∴则实数a 的取值范围是:)+∞. 故选:A.19．（2023ꞏ浙江ꞏ模拟预测）已知函数(2()ln e 1xf x x =-+，若对任意的实数x ，恒有()2(1)2f ax x f x -+-+<成立，则实数a 的取值范围为（）A ．()0,∞+B ．[)0,∞+C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【答案】C【答案解析】令()()((21e 11ln ln e 1e 1x x x g x f x x x -=-=--=-++，由于()(()1e e 1ln ln e 11exx x xg x x x g x ----⎛-=--+=+=- ⎝++，所以得()g x 为奇函数.又因为()g x 在()0,x ∈+∞上单调递减，所以()g x 在R x ∈上单调递减.已知对于任意的实数x ，恒有()()212f ax x f x -+-+<，整理得：()()()2111[11]f ax x f x f x --<--++=--+-，即()()21g ax x g x -<--+，由于()g x 为奇函数，得()()21g ax x g x -<-，由于()g x 在R x ∈上单调递减，得21ax x x ->-对于任意的实数x 恒成立，即2210ax x -+>对于任意的实数x 恒成立. 当0a =时，210x -+>不恒成立，故0a ≠，当0a ≠时，有()2Δ240a a >⎧⎪⎨=--<⎪⎩，解得1a >. 故选：C20．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数32()log (31xf x x =-+，若()()22122f a f a -+-≤-，则实数a 的取值范围是（） A ．[]3,1- B ．[]2,1- C ．(]0,1 D ．[]0,1【答案】A【答案解析】由题可知x R ∈且()(32log 31x f x x --=--+()()((3322log log 3131x x f x f x x x -∴+-=-+-+-++ ()223223log 123131xx x x x ⋅=-++--=-++，()()11f x f x ⎡⎤∴+=--+⎣⎦，令()()1g x f x =+，则()()g x g x =--且定义域为R 关于原点对称，即()g x 为奇函数，函数y x =31x y =+在()0,∞+上均单调递增，(3log y x ∴=与231xy =-+在()0,∞+上单调递增， ()f x \在()0,∞+上单调递增，即()g x 在()0,∞+上也单调递增且()00g =，又 ()g x 为奇函数，()g x ∴在R 上单调递增，不等式()()22122f a f a -+-≤-⇔等价于()()221121f a f a ⎡⎤-+≤--+⎣⎦，()()()222122g a g a g a ∴-≤--=-，()g x 在R 上单调递增， 2212a a ∴-≤-，解得31a -≤≤，∴ 实数a 的取值范围是[]3,1-，故选：A.21．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()2ln x x f x e e x -=++，则使得()()230f x f x -+>成立的x 的取值范围是A ．()1,3-B ．()(),33,-∞-+∞C ．()(),13,-∞-+∞D ．()3,3-【答案】C【答案解析】因为()()()2xxf x ln e e x f x --=++=,所以函数为偶函数，又()2x x x x e ef x x e e--+'-=+知当0x >时，()0f x '>，所以函数在(0,)+∞上是增函数，所以原不等式转化为(2)(3|)f x f x +即|2||3|x x >+，所以2230x x -->，解得13x x <->或，故选C.22．（2023ꞏ浙江ꞏ高三专题练习）函数()()2211x x f x e x e-=++-，则使得()()23f x f x >+成立的x 取值范围是（）A ．()(),13,-∞-⋃+∞B ．()1,3-C ．()1,3,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【答案解析】()21'22x xf x e x e -=-+- 且令()'0f x = 得1x =，所以当(),1x ∈-∞ 时，()'0f x ＜，函数()f x 单调递减；当()1+x ∈∞，时，()'0f x >，函数()f x 单调递增；若()()23f x f x >+，则23x x >+ 或()2113x x -<-+解不等式得3x >或13x <-即x 的解集为 ()1,3,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，故选C二、多选题23．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()3f x x x =+，实数,m n 满足不等式()()2320f m n f n -+->，则（）A ．e e m n >B ．11n n m m +>+ C ．()ln 0m n -> D ．20212021m n <【答案】AC【答案解析】因为()()()()()33f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以()f x 为奇函数，因为()2310f x x '=+>，所以()f x R 上单调递增，由()()2320f m n f n -+->，得()()()2322f m n f n f n ->--=-，所以232m n n ->-，即1m n ->，m n >，因为x y e =在R 上是增函数，所以m n e e >，故A 正确；因为ln y x =在()0,∞+上是增函数，所以ln()0m n ->，故C 正确；因为2021y x =在R 上是增函数，所以20212021m n >，故D 错误；令2,0m n ==，可验证B 错误. 故选：AC 三、填空题24．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()2228x f x x =+-，则不等式()234f x x -≤的解集为___________.【答案】[]1,4-【答案解析】函数()f x 的定义域为R ，()()()22228228x xf x x x f x --=+--=+-=，所以，函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，()2228x f x x =+-为增函数，因为()42424284f =+-=，则()()2344f x x f -≤=，所以，()()234f x x f -≤，所以，234x x -≤，所以，2434x x -≤-≤，因为223734024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，故234x x -≥-恒成立，由234x x -≤可得2340x x --≤，解得14x -≤≤. 因此，原不等式的解集为[]1,4-. 故答案为：[]1,4-.25．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数()()e e x xf x a a -=+∈R 为奇函数，则不等式()()ln ln f x f x <的解集为___________. 【答案】()0,1【答案解析】因为函数()f x 为R 上的奇函数，所以()000e e 0f a =+=，解得1a =-，检验可得此时()()f x f x -=-，函数()f x 为R 上的奇函数，所以()e e x xf x -=-，易知()f x 为R 上的增函数，所以不等式()()ln ln f x f x <等价于ln ln x x <，所以ln 0x <，解得01x <<，所以原不等式的解集为()0,1. 故答案为：()0,1.26．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()11x xf x e e x --=-+，则不等式()()2432f x f x -+-≤的解集是______.【答案】[1，)∞+【答案解析】构造函数111()()1(1)x x g x f x e x e --=-=-+-，那么()g x 是单调递增函数，且向左移动一个单位得到1()(1)xxh x g x e x e =+=-+， ()h x 的定义域为R ，且1()()x x h x e x h x e-=--=-，所以()h x 为奇函数，图象关于原点对称，所以()g x 图象关于(1,0)对称．不等式()()2432f x f x -+-≤ 等价于(2)1(43)10f x f x --+--…，等价于()()()()()2430224332g x g x g x g x g x ⎡⎤-+-∴---=-⎣⎦，剟结合()g x 单调递增可知232,1x x x --∴剠，所以不等式()()2432f x f x -+-≤的解集是[1，)∞+．故答案为：[1，)∞+．27．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()ln 1x xf x e e -⎛⎫=-++，则关于x 的不等式()()212f x f x ++<的解集为___________.【答案】1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 【答案解析】由题意可知，定义域为R ，设()x x g x e e -=-，()ln 1h x ⎛⎫=+，由函数()x x g x e e -=-在R 上的增函数，()ln 1)1h x x ⎛⎫=+=+在[0,)+∞为增函数，且()())22h x h x x x -+=+=，所以()h x 关于(0,1)对称，故()h x 在(,0)-∞为增函数，且()h x 在0x =处连续，()h x 在R 上的增函数，故函数()f x 在R 上递增，()()ln 1ln 12x x x x f x f x e e e e --⎛⎫⎛⎫+-=-+++-++=，且()f x 在R 上递增，原不等式等价于()()()212f x f x f x +<-=-则21x x +<-，解得13x <-. 故答案为：1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 28．（2023春ꞏ辽宁大连ꞏ高三校联考期中）已知()e e sin 1x x f x x x -=-+-+，若()()22ln 122x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】12ln 22a ≥-．【答案解析】令()e e sin x x x x x ϕ-=-+-，则有()()x x ϕϕ-=-， ∴()x ϕ为奇函数，图像关于点()0,0对称，()e e sin 1x x f x x x -=-+-+ ，∴()f x 的图像关于()0,1对称，且()e e cos 1x x f x x -'=++-，由()e e cos 1cos 11cos 0x x f x x x x -'=++-≥-=+≥，所以()f x 是R 上的增函数，()()22ln 122x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭，等价于()()222ln 2221x x f f f a x ⎛⎫⎛⎫≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-，所以()22ln 12x a x -+≥-，所以()22ln 12x a x ≥-++，令()2()2ln 12x g x x =-++，则()max a g x ≥，因为()()g x g x -=且定义域为R ，所以()2()2ln 12x g x x =-++是R 上的偶函数，所以只需求在()g x 在[)0,+∞上的最大值．当[)0,+x ∈∞时，2()2ln(1)2x g x x =-++， 222(2)(1)()111x x x x g x x x x x --++-'=-+==-+++，则当[)0,1x ∈时，()0g x '>；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<；所以()g x 在[)0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，可得：1()(1)2ln 22g x g ≤=-，()max 12ln 22g x =∴- 即12ln 22a ≥-．故答案为：12ln22a ≥-. 29．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数2()ln(1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是_______________【答案】(,2)(1,)-∞-+∞【答案解析】由210x ->，解得：1x <-或1x >，故函数的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞ ，又()()()()()22ln 122ln 122x x x x f x x x f x ---=--++=-++=，()f x \为(,1)(1,)-∞-+∞ 上的偶函数；当1x >时，()2ln 1y x =-单调递增，设22x t =>，()1222x x t t t-∴+=+>， 1y t t=+ 在()2,∞+上单调递增，22x x y -∴=+在()1,+∞上单调递增， ()f x \在()1,+∞上单调递增，又()f x 为偶函数，()f x \在(,1)-∞-上单调递减；由(1)(2)f x f x +<可知121121x x x x ⎧+<⎪+>⎨⎪>⎩，解得(,2)(1,)x -∞-∈+∞ ．故答案为：(,2)(1,)-∞-+∞ .30．（2023春ꞏ江苏连云港ꞏ高二校考阶段练习）已知函数21()ln 1f x x x =-+，若对[1,3]x ∈，不等式(ln 1)(ln 1)2(1)f ax x f ax x f -+++--≥恒成立，则实数a 的取值范围___________. 【答案】12ln 3,3e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案解析】由函数21()ln 1f x x x =-+的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 关于原点对称，又由2211()ln ln ()1()1f x x x f x x x -=--=-=+-+，所以函数()f x 为定义域上的偶函数，所以(ln 1)(ln 1)2(ln 1)f ax x f ax x f ax x -+++--=--，即不等式可化为()(ln 1)1f ax x f --≥，当0x >时，函数21()ln 1f x x x =-+ 根据初等函数的单调性，可得函数21()ln 1f x x x =-+为单调递减函数，所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减，由()(ln 1)1f ax x f --≥，可得1ln 11ax x -≤--≤，整理得ln x a x ≥且ln 2x a x+≤，即ln x a x ≥且ln 2x a x +≤在[1,3]x ∈上恒成立，设()ln x g x x =，可得()21ln x g x x-'=，其中[1,3]x ∈，当[1,)x e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当(,3]x e ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()max 1()g x g e e==. 设()ln 2x h x x +=，可得()21ln x h x x --'=，当[1,3]x ∈时，()0h x '<，所以()()min 2ln 333h x h +==，综上可得，实数a 的取值范围为12ln 3,3e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：12ln 3,3e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。

高考数学大二轮复习专题2函数与导数第2讲综合大题部分真题押题精练(理)

第2讲综合大题部分1. (2017·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝a e 2x ＋(a －2)e x－x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．解析：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2a e 2x ＋(a －2)e x －1＝(a e x －1)(2e x ＋1)．①若a ≤0，则f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减． ②若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝－ln a . 当x ∈(－∞，－ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(－ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(－∞，－ln a )上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增．(2)①若a ≤0，由(1)知，f (x )至多有一个零点．②若a >0，由(1)知，当x ＝－ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (－ln a )＝1－1a＋ln a .a ．当a ＝1时，由于f (－ln a )＝0，故f (x )只有一个零点；b ．当a ∈(1，＋∞)时，由于1－1a＋ln a >0，即f (－ln a )>0，故f (x )没有零点；c ．当a ∈(0,1)时，1－1a＋ln a <0，即f (－ln a )<0.又f (－2)＝a e －4＋(a －2)e －2＋2>－2e －2＋2>0，故f (x )在(－∞，－ln a )有一个零点．设正整数n 0满足n 0>ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a－1，则f (n 0)＝e n 0(a e n 0＋a －2)－n 0>e n 0－n 0>2n 0－n 0>0.由于ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a－1>－ln a ，因此f (x )在(－ln a ，＋∞)有一个零点．综上，a 的取值范围为(0,1)．2．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x －1－a ln x . (1)若f (x )≥0，求a 的值；(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <m ，求m 的最小值．解析：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．①若a ≤0，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12＋a ln 2<0，所以不满足题意； ②若a >0，由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax知，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，a )单调递减，在(a ，＋∞)单调递增．故x ＝a 是f (x )在(0，＋∞)的唯一最小值点．由于f (1)＝0，所以当且仅当a ＝1时，f (x )≥0. 故a ＝1.(2)由(1)知当x ∈(1，＋∞)时，x －1－ln x >0.令x ＝1＋12n 得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <12n .从而ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1. 故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <e. 而⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋123>2，所以m 的最小值为3.3．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝e x －ax 2. (1)若a ＝1，证明：当x ≥0时，f (x )≥1； (2)若f (x )在(0，＋∞)只有一个零点，求a .解析：(1)证明：当a ＝1时，f (x )≥1等价于(x 2＋1)e －x－1≤0.设函数g (x )＝(x 2＋1)e －x－1，则g ′(x )＝－(x 2－2x ＋1)·e －x＝－(x －1)2e －x. 当x ≠1时，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，＋∞)单调递减．而g (0)＝0，故当x ≥0时，g (x )≤0，即f (x )≥1. (2)设函数h (x )＝1－ax 2e －x.f (x )在(0，＋∞)只有一个零点等价于h (x )在(0，＋∞)只有一个零点．(ⅰ)当a ≤0时，h (x )＞0，h (x )没有零点； (ⅱ)当a ＞0时，h ′(x )＝ax (x －2)e －x.当x ∈(0,2)时，h ′(x )＜0；当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )＞0. 所以h (x )在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增．故h (2)＝1－4ae 2是h (x )在(0，＋∞)的最小值．①若h (2)＞0，即a ＜e24，h (x )在(0，＋∞)没有零点．②若h (2)＝0，即a ＝e24，h (x )在(0，＋∞)只有一个零点．③若h (2)＜0，即a ＞e24，因为h (0)＝1，所以h (x )在(0,2)有一个零点；由(1)知，当x ＞0时，e x＞x 2，所以h (4a )＝1－16a 3e 4a ＝1－16a3e2a2＞1－16a 32a 4＝1－1a＞0，故h (x )在(2,4a )有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)有两个零点．综上，当f (x )在(0，＋∞)只有一个零点时，a ＝e24.1. 已知函数f (x )＝ln(x ＋1)＋ax 2，a >0. (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在区间(－1,0)上有唯一零点x 0，证明：e －2<x 0＋1<e －1. 解析：(1)f ′(x )＝1x ＋1＋2ax ＝2ax 2＋2ax ＋1x ＋1，x >－1，令g (x )＝2ax 2＋2ax ＋1，则Δ＝4a 2－8a ＝4a (a －2)，若Δ<0，即0<a <2，则g (x )>0，故当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．若Δ＝0，即a ＝2，则g (x )≥0，仅当x ＝－12时，等号成立，故当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增．若Δ>0，即a >2，则g (x )有两个零点，x 1＝－a －a a －22a ，x 2＝－a ＋a a －22a，由g (－1)＝g (0)＝1>0，g (－12)<0得，－1<x 1<－12<x 2<0，故当x ∈(－1，x 1)时，g (x )>0，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )<0，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )>0，f ′(x )>0，f (x )单调递增．综上所述，当0<a ≤2时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，当a >2时，f (x )在(－1，－a －a a －22a )和(－a ＋a a －22a ，＋∞)上单调递增，在(－a －a a －22a，－a ＋a a －22a)上单调递减．(2)由(1)及f (0)＝0可知：仅当极大值等于零，即f (x 1)＝0时，符合要求．此时，x 1就是函数f (x )在区间(－1,0)上的唯一零点x 0. 所以2ax 20＋2ax 0＋1＝0，从而有a ＝－12x 0x 0＋1，又f (x 0)＝ln(x 0＋1)＋ax 20＝0，所以ln(x 0＋1)－x 02x 0＋1＝0，令x 0＋1＝t 0，则ln t 0－t 0－12t 0＝0，即ln t 0＋12t 0－12＝0，且0<t 0<12，设h (t )＝ln t ＋12t －12，则h ′(t )＝2t －12t 2，当0<t <12时，h ′(t )<0，h (t )单调递减，又h (e －2)＝e 2－52>0，h (e －1)＝e －32<0，所以e －2<t 0<e －1，即e －2<x 0＋1<e －1.2．已知函数f (x )＝12ln x －mx ，g (x )＝x －ax (a >0)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若m ＝12e 2，对∀x 1，x 2∈[2,2e 2]都有g (x 1)≥f (x 2)成立，求实数a 的取值范围．解析：(1)f (x )＝12ln x －mx ，x >0，所以f ′(x )＝12x－m ，当m ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当m >0时，由f ′(x )＝0得x ＝12m；由⎩⎪⎨⎪⎧f ′x >0，x >0得0<x <12m ；由⎩⎪⎨⎪⎧f ′x <0，x >0得x >12m.综上所述，当m ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当m >0时，f (x )的单调递增区间为(0，12m )，单调递减区间为(12m ，＋∞)．(2)若m ＝12e 2，则f (x )＝12ln x －12e 2x .对∀x 1，x 2∈[2,2e 2]都有g (x 1)≥f (x 2)成立，等价于对∀x ∈[2,2e 2]都有g (x )min ≥f (x )max ，由(1)知在[2,2e 2]上f (x )的最大值为f (e 2)＝12，g ′(x )＝1＋ax2>0(a >0)，x ∈[2,2e 2]，函数g (x )在[2,2e 2]上是增函数，g (x )min ＝g (2)＝2－a2，由2－a 2≥12，得a ≤3，又a >0，所以a ∈(0,3]，所以实数a 的取值范围为(0,3]．3．已知函数f (x )＝ln xx ＋a (a ∈R )，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直．(1)试比较：2 0182 019与2 0192 018的大小并说明理由；(2)若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点x 1，x 2，证明：x 1x 2>e 2.解析：(1)依题意得f ′(x )＝x ＋ax－ln x x ＋a 2，所以f ′(1)＝1＋a 1＋a2＝11＋a，又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以f ′(1)＝1，即11＋a＝1，解得a ＝0. 故f (x )＝ln x x ，f ′(x )＝1－ln xx2.令f ′(x )>0，则1－ln x >0，解得0<x <e ；令f ′(x )<0，则1－ln x <0，解得x >e ，所以f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．∴f (2 018)>f (2 019)，即ln 2 0182 018>ln 2 0192 019，即ln 2 0182 019>ln 2 0192 018，∴2 0182 019>2 0192 018.(2)不妨设x 1>x 2>0，因为g (x 1)＝g (x 2)＝0，所以ln x 1－kx 1＝0，ln x 2－kx 2＝0，可得ln x 1＋ln x 2＝k (x 1＋x 2)， ln x 1－ln x 2＝k (x 1－x 2)．要证x 1x 2>e 2，即证ln x 1x 2>2，只需证ln x 1＋ln x 2>2，也就是证k (x 1＋x 2)>2，即证k >2x 1＋x 2. 因为k ＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2，所以只需证ln x 1－ln x 2x 1－x 2>2x 1＋x 2，即证ln x 1x 2>2x 1－x 2x 1＋x 2.令x 1x 2＝t (t >1)，则只需证ln t >2t －1t ＋1(t >1)．令h (t )＝ln t －2t －1t ＋1(t >1)，则h ′(t )＝1t－4t ＋12＝t －12t t ＋12>0，故函数h (t )在(1，＋∞)上是单调递增的，所以h (t )>h (1)＝0，即ln t >2t －1t ＋1.所以x 1x 2>e 2. 4．已知函数f (x )＝exx.(1)求曲线y ＝f (x )在点P (2，e22)处的切线方程；(2)证明：f (x )>2(x －ln x )．解析：(1)因为f (x )＝exx，所以f ′(x )＝e x ·x －e xx2＝exx －1x 2，f ′(2)＝e24，又切点为(2，e22)，所以切线方程为y －e 22＝e24(x －2)，即e 2x －4y ＝0.(2)设函数g (x )＝f (x )－2(x －ln x )＝exx－2x ＋2ln x ，x ∈(0，＋∞)，则g ′(x )＝exx －1x 2－2＋2x ＝e x－2x x －1x2，x ∈(0，＋∞)．设h (x )＝e x－2x ，x ∈(0，＋∞)，则h ′(x )＝e x－2，令h ′(x )＝0，则x ＝ln 2. 当x ∈(0，ln 2)时，h ′(x )<0；当x ∈(ln 2，＋∞)时，h ′(x )>0. 所以h (x )min ＝h (ln 2)＝2－2ln 2>0，故h (x )＝e x－2x >0. 令g ′(x )＝e x－2xx －1x2＝0，则x ＝1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0. 所以g (x )min ＝g (1)＝e －2>0，故g (x )＝f (x )－2(x －ln x )>0，从而有f (x )>2(x －ln x )．。

高三理科数学二轮复习专题能力提升训练：函数、导数、不等式的综合问题(含答案解析).pdf

训练　函数、导数、不等式的综合问题一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(aR)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)等于( )． A. B．－ C. D．－或 2．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为( )． A．1 B. C. D. 3．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，xR，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是( )． A. B. C. D. 4．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－aln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于( )． A．1 B．2 C．0 D. 5．设aR，若函数y＝eax＋3x，xR有大于零的极值点，则( )． A．a＞－3 B． a＜－3 C．a＞－ D．a＜－二、填空题(每小题5分，共15分) 6．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于________． 7．函数f(x)＝x3－x2＋ax－5在区间[－1,2]上不单调，则实数a的范围是________． 8．关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________．三、解答题(本题共3小题，共35分) 9．(11分)已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋a.(a，bR)的导函数f′(x)的图象过原点． (1)当a＝1时，求函数f(x)的图象在x＝3处的切线方程； (2)若存在x＜0，使得f′(x)＝－9，求a的最大值． 10．(12分)已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋axln x，f(e)＝2(e＝2.718 28…是自然对数的底数)． (1)求实数b的值； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)当a＝1时，是否同时存在实数m和M(m＜M)，使得对每一个t[m， M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由． 11．(12分)已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3. (1)求函数f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值； (2)对一切的x(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：对一切x(0，＋∞)，都有ln x＞－.参考答案 1．D　[f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，f′(x)的图象开口向上，若图象不过原点，则a＝0时，f(－1)＝，若图象过原点，则a2－1＝0，又对称轴x＝－a＞0，a＝－1，f(－1)＝－.] 2．D　[|MN|的最小值，即函数h(x)＝x2－ln x的最小值，h′(x)＝2x－＝，显然x＝是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t＝.] 3．A　[因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m，所以f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－，不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－≥－9，解得m≥.] 4．B　[函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，≥1，得a≥2.又g′(x)＝2x－，依题意g′(x)≥0在x(1,2)上恒成立，得2x2≥a在x(1, 2)上恒成立，有a≤2，a＝2.] 5．B　[令f(x)＝eax＋3x，可求得f′(x)＝3＋aeax，若函数在xR上有大于零的极值点，即f′(x)＝3＋aeax＝0有正根．当f′(x)＝3＋aeax＝0成立时，显然有a＜0，此时x＝ln.由x＞0，解得a＜－3，a的取值范围为(－∞，－3)．] 6．解析　由题得f′ (x)＝12x2－2ax－2b＝0，f′(1)＝12－2a－2b＝0，a＋b＝6.a＋b≥2，6≥2，ab≤9，当且仅当a＝b＝3时取到最大值．答案　9 7．解析　f(x)＝x3－x2＋ax－5，f′(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1，如果函数f(x)＝x3－x2＋ax－5在区间[－1,2]上单调，那么a－1≥0或f′(－1)＝3＋a≤0且f′(2)＝a≤0，a≥1或a≤－3.于是满足条件的a(－3,1)．答案　(－3,1) 8．解析　由题意知使函数f(x)＝x3－3x2－a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得，x1＝0，x2＝2，当x＜0时，f′(x)＞0；当0＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0，所以当x＝0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值＝f(0)＝－a；当x＝2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值＝f(2)＝－4－a，所以，解得－4＜a＜0. 答案　(－4,0) 9．解　由已知，得f′(x)＝x2－(a＋1)x＋b. 由f′(0)＝0，得b＝0，f′(x)＝x(x－a－1)． (1)当a＝1时，f(x)＝x3－x2＋1，f′(x)＝x(x－2)，f(3)＝1， f′(3)＝3. 所以函数f(x)的图象在x＝3处的切线方程为y－1＝3(x－3)，即3x－y－8＝0. (2)存在x＜0，使得f′(x)＝x(x－a－1)＝－9，－a－1＝－x－＝(－x)＋≥2＝6，a≤－7，当且仅当x＝－3时，a＝－7. 所以a的最大值为－7. 10．解　(1)由f(e)＝2，得b＝2. (2)由 (1)可得f(x)＝－ax＋2＋axln x. 从而f′(x)＝aln x. 因为a≠0，故当a＞0时，由f′(x)＞0，得x＞1，由f′(x)＜0得， 0＜x＜1；当a＜0时，由f′(x)＞0，得0＜x＜1，由f′(x)＜0得，x＞1. 综上，当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；当a＜0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)当a＝1时，f(x)＝－x＋2＋xln x，f′(x)＝ln x. 由(2)可得，当x在区间内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x1(1，e)ef′(x) －0 ＋f(x)2－单调递减极小值1单调递增2又2－＜2，所以函数f(x)的值域为[1,2]．据此可得，若则对每一个t[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)都有公共点；并且对每一个t(－∞，m)(M，＋∞)，直线y＝t与曲线y＝f(x)都没有公共点．综上，当a＝1时，存在最小的实数m＝1，最大的实数M＝2，使得对每一个t[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)都有公共点． 11．(1)解　f′(x)＝ln x＋1. 当x时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．则当0＜t＜t＋2＜时，t无解；当0＜t＜＜t＋2，即0＜t＜时， [f(x)]min＝f＝－；当≤t＜t＋2，即t≥时， f(x)在[t，t＋2]上单调递增．所以[f(x)]min＝f(t)＝tln t.所以[f(x)]min＝ (2)解　2f(x)≥g(x)，即2xln x≥－x2＋ax－3，则a≤2ln x＋x＋.设h(x)＝2ln x＋x＋(x＞0)， h′(x)＝. 当x(0,1)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增．所以[h(x)]min＝h(1)＝4.因为对一切x(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤[h(x)] min＝4.故实数a的取值范围是(－∞，4]． (3)证明　问题等价于证明xln x＞－，x(0，＋∞)．由(1)可知f(x)＝xln x，x(0，＋∞)的最小值为－，当且仅当x＝时取得．设m(x)＝－，x(0，＋∞)，则m′(x)＝，易得[m(x)]max＝m(1)＝－. 从而对一切x(0，＋∞)，都有ln x＞－成立．。

高考数学(课标版理科)二轮专题复习课件：专题二函数2.2

(2)先证明f(x )+| 2 a-b|+a ≥0 . 令g (x )= 4 ax 2-2 bx+b+| 2 a-b| , 当b ≤2 a时,g (x )= 4 ax 2-2 bx+ 2 a ≥4 ax 2-4 ax+ 2 a= 2 a(2x 2-2 x+ 1), 当b> 2 a时,g (x )= 4 ax 2+ 2 b (1-x )-2 a ≥4 ax 2+ 4 a(1-x )-2 a= 2 a(2x 2-2 x+ 1),
热点考题诠释高考方向解读
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热点考题诠释高考方向解读
从近几年的浙江高考试卷来看,对二次函数及其综合问题的考查
仍是重点,常作为各类试题的压轴题,难度较大.常见的命题形式有
:(1)对三个“二次”的综合考查,二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体,三者之间的互相转化是考查的重点,深刻理解它们之间的相互关系是解题的关键;(2)结合函数与方程的关系、根的存在性定理或函数的图象,对函数以及复合函数是否存在零点(方程是否存在实根)进行判断;利用零点(方程实根)的存在求相关
命题热点一命题热点二命题热点三
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Ak.< 0 B.k< 1 C.0 <k< 1 D.k> 1 (2已) 知函数f(x )=x 2+ax+b (a,b ∈R )在区间(0,1)上有两个零点,则3 a+b 的取值范围是 .
答案: (1)D (2)(-5,0)
命题热点一命题热点二命题热点三
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命题热点一命题热点二命题热点三
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迁移训练1 已知a> 0,b ∈R ,函数f(x )= 4 ax 2-2 bxa+b ,x ∈[0,1].

2019年高考数学(理科)大二轮复习练习：专题二函数与导数专题能力训练8

专题能力训练8利用导数解不等式及参数的取值范围一、能力突破训练1.设f(x)=x ln x-ax2+(2a-1)x,a∈R.(1)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.2.(2018全国Ⅲ,理21)已知函数f(x)=(2+x+ax2)·ln(1+x)-2x.(1)若a=0,证明:当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0;(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.3.已知函数f(x)=ax+x ln x的图象在x=e(e为自然对数的底数)处的切线的斜率为3.(1)求实数a的值;(2)若f(x)≤kx2对任意x>0成立,求实数k的取值范围;(3)当n>m>1(m,n∈N*)时,证明:.4.设函数f(x)=ax2-a-ln x,其中a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)确定a的所有可能取值,使得f(x)> -e1-x在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).5.设函数f(x)=a ln x,g(x)=x2.(1)记g'(x)为g(x)的导函数,若不等式f(x)+2g'(x)≤(a+3)x-g(x)在x∈[1,e]内有解,求实数a的取值范围;(2)若a=1,对任意的x1>x2>0,不等式m[g(x1)-g(x2)]>x1f(x1)-x2f(x2)恒成立.求m(m∈Z,m≤1)的值.6.已知函数f(x)=-2(x+a)ln x+x2-2ax-2a2+a,其中a>0.(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;(2)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.二、思维提升训练7.已知函数f(x)= x3+x2+ax+1(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a<0时,试讨论是否存在x0∈,使得f(x0)=f.专题能力训练8利用导数解不等式及参数的取值范围一、能力突破训练1.解(1)由f'(x)=ln x-2ax+2a,可得g(x)=ln x-2ax+2a,x∈(0,+∞).则g'(x)=-2a=,当a≤0时,x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增;当a>0时,x时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增,x时,函数g(x)单调递减.所以当a≤0时,g(x)的单调增区间为(0,+∞);当a>0时,g(x)单调增区间为,单调减区间为(2)由(1)知,f'(1)=0.①当a≤0时,f'(x)单调递增,所以当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.②当0<a<时,>1,由(1)知f'(x)在区间内单调递增,可得当x∈(0,1)时,f'(x)<0,x时,f'(x)>0.所以f(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间内单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.③当a=时,=1,f'(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减,所以当x∈(0,+∞)时,f'(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意.④当a>时,0<<1,当x时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)在x=1处取极大值,合题意.综上可知,实数a的取值范围为a>2.解(1)当a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f'(x)=ln(1+x)-,设函数g(x)=f'(x)=ln(1+x)-,则g'(x)=,当-1<x<0时,g'(x)<0;当x>0时,g'(x)>0.故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f'(x)≥0,且仅当x=0时,f'(x)=0.所以f(x)在(-1,+∞)内单调递增.又f(0)=0,故当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.(2)①若a≥0,由(1)知,当x>0时,f(x)≥(2+x)·ln(1+x)-2x>0=f(0),这与x=0是f(x)的极大值点矛盾.②若a<0,设函数h(x)= =ln(1+x)-由于当|x|<min时,2+x+ax2>0,故h(x)与f(x)符号相同.又h(0)=f(0)=0,故x=0是f(x)的极大值点当且仅当x=0是h(x)的极大值点.h'(x)=若6a+1>0,则当0<x<-,且|x|<min时,h'(x)>0,故x=0不是h(x)的极大值点.若6a+1<0,则a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1<0,故当x∈(x1,0),且|x|<min时,h'(x)<0,所以x=0不是h(x)的极大值点.若6a+1=0,则h'(x)=则当x∈(-1,0)时,h'(x)>0;当x∈(0,1)时,h'(x)<0.所以x=0是h(x)的极大值点,从而x=0是f(x)的极大值点.综上,a=-3.解(1)∵f(x)=ax+x ln x,∴f'(x)=a+ln x+1.又f(x)的图象在点x=e处的切线的斜率为3,∴f'(e)=3,即a+ln e+1=3,∴a=1.(2)由(1)知,f(x)=x+x ln x,若f(x)≤kx2对任意x>0成立,则k对任意x>0成立.令g(x)=,则问题转化为求g(x)的最大值,g'(x)==-令g'(x)=0,解得x=1.当0<x<1时,g'(x)>0,∴g(x)在区间(0,1)内是增函数;当x>1时,g'(x)<0,∴g(x)在区间(1,+∞)内是减函数.故g(x)在x=1处取得最大值g(1)=1,∴k≥1即为所求.(3)证明:令h(x)=,则h'(x)=由(2)知,x≥1+ln x(x>0),∴h'(x)≥0,∴h(x)是区间(1,+∞)内的增函数.∵n>m>1,∴h(n)>h(m),即,∴mn ln n-n ln n>mn ln m-m ln m,即mn ln n+m ln m>mn ln m+n ln n,∴ln n mn+ln m m>ln m mn+ln n n.整理,得ln(mn n)m>ln(nm m)n.∴(mn n)m>(nm m)n,4.解(1)f'(x)=2ax-(x>0).当a≤0时,f'(x)<0,f(x)在区间(0,+∞)内单调递减.当a>0时,由f'(x)=0,有x=此时,当x时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x时,f'(x)>0,f(x)单调递增.(2)令g(x)=,s(x)=e x-1-x.则s'(x)=e x-1-1.而当x>1时,s'(x)>0,所以s(x)在区间(1,+∞)内单调递增.又由s(1)=0,有s(x)>0,从而当x>1时,g(x)>0.当a≤0,x>1时,f(x)=a(x2-1)-ln x<0.故当f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立时,必有a>0.当0<a<时,>1.由(1)有f<f(1)=0,而g>0,所以此时f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内不恒成立.当a时,令h(x)=f(x)-g(x)(x≥1).当x>1时,h'(x)=2ax--e1-x>x->0.因此,h(x)在区间(1,+∞)单调递增.又因为h(1)=0,所以当x>1时,h(x)=f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x)恒成立.综上,a5.解(1)不等式f(x)+2g'(x)≤(a+3)x-g(x),即a ln x+2x≤(a+3)x-x2,化简,得a(x-ln x)x2-x.由x∈[1,e]知x-ln x>0,因而a设y=,则y'=∵当x∈(1,e)时,x-1>0,x+1-ln x>0,∴y'>0在x∈[1,e]时成立.由不等式有解,可得a≥y min=-,即实数a的取值范围是(2)当a=1时,f(x)=ln x.由m[g(x1)-g(x2)]>x1f(x1)-x2f(x2)恒成立,得mg(x1)-x1f(x1) >mg(x2)-x2f(x2)恒成立, 设t(x)=x2-x ln x (x>0).由题意知x1>x2>0,则当x∈(0,+∞)时函数t(x)单调递增,∴t'(x)=mx-ln x-1≥0恒成立,即m恒成立.因此,记h(x)=,得h'(x)=∵函数在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,∴函数h(x)在x=1处取得极大值,并且这个极大值就是函数h(x)的最大值.由此可得h(x)max=h(1)=1,故m≥1,结合已知条件m∈Z,m≤1,可得m=1.6.(1)解由已知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),g(x)=f'(x)=2(x-a)-2ln x-2,所以g'(x)=2-当0<a<时,g(x)在区间内单调递增, 在区间内单调递减;当a时,g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.(2)证明由f'(x)=2(x-a)-2ln x-2=0,解得a=令φ(x)=-2ln x+x2-2x-2则φ(1)=1>0,φ(e)=--2<0.故存在x0∈(1,e),使得φ(x0)=0.令a0=,u(x)=x-1-ln x(x≥1).由u'(x)=1-0知,函数u(x)在区间(1,+∞)内单调递增.所以0==a0<<1.即a0∈(0,1).当a=a0时,有f'(x0)=0,f(x0)=φ(x0)=0.由(1)知,f'(x)在区间(1,+∞)内单调递增,故当x∈(1,x0)时,f'(x)<0,从而f(x)>f(x0)=0;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,从而f(x)>f(x0)=0.所以,当x∈(1,+∞)时,f(x)≥0.综上所述,存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.二、思维提升训练7.解(1)f'(x)=x2+2x+a,方程x2+2x+a=0的判别式为Δ=4-4a,①当a≥1时,Δ≤0,则f'(x)≥0,此时f(x)在R上是增函数;②当a<1时,方程x2+2x+a=0两根分别为x1=-1-,x2=-1+,解不等式x2+2x+a>0,解得x<-1-或x>-1+,解不等式x2+2x+a<0,解得-1-<x<-1+,此时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1-)和(-1+,+∞),单调递减区间为(-1-,-1+).综上所述,当a≥1时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);当a<1时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1-)和(-1+,+∞),单调递减区间为(-1-,-1+).(2)f(x0)-f+ax0+1--a-1=+a=+a+x0+(4+14x0+7+12a).若存在x0,使得f(x0)=f,则4+14x0+7+12a=0在内有解.由a<0,得Δ=142-16(7+12a)=4(21-48a)>0,故方程4+14x0+7+12a=0的两根为x1'=,x'2=由x0>0,得x0=x'2=,依题意,0<<1,即7<<11,所以49<21-48a<121,即-<a<-, 又由得a=-,故要使满足题意的x0存在,则a≠-综上,当a时,存在唯一的x0满足f(x0)=f,当a时,不存在x0满足f(x0)=f。

高考数学二轮复习专题2 函数与导数教案文

高考数学二轮复习专题2 函数与导数教案文专题二函数与导数【重点知识回顾】1．函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的主线，选择、填空、解答三种题型每年都有，函数题的身影频现，而且常考常新．以基本函数为背景的综合题和应用题是近几年的高考命题的新趋势．函数的图象也是高考命题的热点之一．近几年来考查导数的综合题基本已经定位到压轴题的位置了．2．对于函数部分考查的重点为：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性对称性和函数的图象；指数函数、对数函数的概念、图象和性质；应用函数知识解决一些实际问题；导数的基本公式，复合函数的求导法则；可导函数的单调性与其导数的关系，求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【典型例题】 1．函数的性质与图象函数的性质是高考考查的重点内容．根据函数单调性和奇偶性的定义，能判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，掌握求函数最大值和最小值的常用方法．函数的图象是函数性质的直观载体，能够利用函数的图象归纳函数的性质．对于抽象函数一类，也要尽量画出函数的大致图象，利用数形结合讨论函数的性质．例1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是（）答案：BA B C D解析：在选项B 中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短．点评：函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视．例2．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234_________.x x x x +++=答案：-8解析：因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-，所以, 由)(x f 为奇函数，所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =，由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数，所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，不妨设1234x x x x <<<，由对称性知1212x x +=-，344x x +=．所以12341248x x x x +++=-+=-．点评：本题综合考查了函数的奇偶性,单调性，对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题．2．函数与解方程、不等式的综合问题函数与方程、不等式、数列是密切相关的几个部分，通过建立函数模型来解决有关他们的综合问题是高考的考查方向之一，解决该类问题要善于运用转化的思想方法，将问题进行不断转化，构建模型来解决问题．例2．x 为何值时，不等式()23log log 2-<x x m m 成立．解析：当1>m 时，212132023023022<<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<>≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<>->x x x x x x x x ．当10<<m 时，21322132023023022><<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><>≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<>->x x x x x x x x x x 或或．故1>m 时，21<<x ．10<<m 时，2132><<x x 或为所求．点评：该题考查了对数不等式的解法，其基本的解题思路为将对数不等式转化为普通不等式，需要注意转化之后x 的范围发生了变化，因此最后要检验，或者转化时将限制条件联立．3．函数的实际应用函数的实际运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，考生应具备用初等数学思想方法研究函数的能力，运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键．例3．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x （单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=建筑总面积购地总费用）解析：设楼房每平方米的平均综合费为y 元，依题意得：*21601000010800(56048)56048(10,)2000y x x x x N x x⨯=++=++≥∈．则21080048y x '=-，令0y '=，即210800480x -=，解得15x =．当15x >时，0y '>；当015x <<时，0y '<，因此，当15x =时，y 取得最小值，min 2000y =元．答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．点评：这是一题应用题，利用函数与导数的知识来解决问题．利用导数，求函数的单调性、求函数值域或最值是一种常用的方法．4．导数与单调性、极（最）值问题．导数作为工具来研究三次函数、指数函数、对数函数的单调性，极值、最值时，具有其独特的优越性，要理解导数的几何意义，熟练导数的运算公式，善于借助导数解决有关的问题．例4．已知函数321()33f x ax bx x =+++，其中0a ≠．（1）当b a ,满足什么条件时，)(x f 取得极值?（2）已知0>a ，且)(x f 在区间(0,1]上单调递增，试用a 表示出b 的取值范围．解析：（1）由已知得2'()21f x ax bx =++，令0)('=x f ，得2210ax bx ++=，)(x f 要取得极值，方程2210ax bx ++=必须有解，所以△2440b a =->，即2b a >，此时方程2210ax bx ++=的根为：122b b x a a ---==，222b b x a a--+==，所以12'()()()f x a x x x x =-- 当0>a 时，所以)(x f 在x 1， x 2处分别取得极大值和极小值．当0<a 时，所以)(x f 在x 1， x 2处分别取得极大值和极小值．综上，当b a ,满足2b a >时，)(x f 取得极值．（2）要使)(x f 在区间(0,1]上单调递增，需使2'()210f x ax bx =++≥在(0,1]上恒成立．即1,(0,1]22ax b x x ≥--∈恒成立，所以max 1()22ax b x≥--，设1()22ax g x x =--，2221()1'()222a x a a g x x x -=-+=，令'()0g x =得x =或x =舍去)，当1>a 时，101a <<，当x ∈时'()0g x >，1()22ax g x x =--单调增函数；当x ∈时'()0g x<，1()22ax g x x =--单调减函数，所以当x =()g x取得最大，最大值为g = 所以b ≥ 当01a <≤1≥，此时'()0g x ≥在区间(0,1]恒成立，所以1()22ax g x x=--在区间(0,1]上单调递增，当1x =时()g x 最大，最大值为1(1)2a g +=-，所以12a b +≥-．综上，当1>a 时， b ≥01a <≤时， 12a b +≥-．点评：本题为三次函数，利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值，函数在区间上为单调函数，则导函数在该区间上的符号确定，从而转为不等式恒成立，再转为函数研究最值．运用函数与方程的思想，化归思想和分类讨论的思想解答问题．【模拟演练】1．函数22log 2xy x-=+的图象（） A ．关于原点对称 B ．关于主线y x =-对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线y x =对称 2．定义在R 上的偶函数()f x 的部分图象如右图所示，则在()2,0-上，下列函数中与()f x 的单调性不同的是（）A ．21y x =+ B ． ||1y x =+C ． 321,01,0x x y x x +≥⎧=⎨+<⎩D ．,,0x x e x oy e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩3．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( )A ．(25)(11)(80)f f f -<---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为．5．已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是．6．已知函数321(),3f x x ax bx =++且'(1)0f -= （I ）试用含a 的代数式表示b ；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）令1a =-，设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点1122(,()),(,())M x f x N x f x ，证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点．7．已知函数32()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-．（I ）求函数()f x 的解析式；（II ）设函数1()()3g x f x mx =+，若()g x 的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值．【参考答案】 1．答案：A解析：由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称，选A ． 2．答案：C解析：根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在()2,0-上单调递减，注意到要与()f x 的单调性不同，故所求的函数在()2,0-上应单调递增．而函数21y x =+在(],1-∞上递减；函数1y x =+在(],0-∞时单调递减；函数321,01,0x x y x x +>⎧=⎨+<⎩在（,0]-∞上单调递减，理由如下y ＇=3x 2>0(x<0)，故函数单调递增，显然符合题意；而函数,0,0x x e x y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，有y ＇=-x e -<0(x<0)，故其在（,0]-∞上单调递减，不符合题意，综上选C ． 3．答案：D解析：因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-，所以(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，则)1()25(-=-f f ，)0()80(f f =，)3()11(f f =，又因为)(x f 在R 上是奇函数， (0)0f =，得0)0()80(==f f ，)1()1()25(f f f -=-=-，而由(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数，所以0)0()1(=>f f ，所以0)1(<-f ，即(25)(80)(11)f f f -<<，故选D ． 4．答案：1解析：由已知得2(1)log 21f -==，(0)0f =，(1)(0)(1)1f f f =--=-，(2)(1)(0)1f f f =-=-，(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=，(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=，(5)(4)(3)1f f f =-=，(6)(5)(4)0f f f =-=，所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现．，所以f （2009）= f （5）=1． 5．答案：21y x =-解析：由2()2(2)88f x f x x x =--+-得：2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =∴/()2f x x =， ∴切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=． 6．解析：（I ）依题意，得2'()2f x x ax b =++，由'(1)120f a b -=-+=得21b a =-．（Ⅱ）由（I ）得321()(21)3f x x ax a x =++-，故2'()221(1)(21)f x x ax a x x a =++-=++-，令'()0f x =，则1x =-或12x a =-， ①当1a >时，121a -<-，当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：由此得，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --． ②由1a =时，121a -=-，此时，'()0f x ≥恒成立，且仅在1x =-处'()0f x =，故函数()f x 的单调区间为R ；③当1a <时，121a ->-，同理可得函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --．综上：当1a >时，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --；当1a =时，函数()f x 的单调增区间为R ；当1a <时，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --（Ⅲ）当1a =-时，得321()33f x x x x x=--，由2'()230f x x x =--=，得121,3x x =-=．由（Ⅱ）得()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-，所以函数()f x 在121,3x x =-=处取得极值，故5(1,),(3,9)3M N --，所以直线MN 的方程为813y x =--，由32133813y x x x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得32330x x x --+= 解得1231, 1.3x x x =-==，1233121135119,,33x x x y y y =-=⎧⎧=⎧⎪⎪∴⎨⎨⎨=-==-⎩⎪⎪⎩⎩，所以线段MN 与曲线()f x 有异于,M N 的公共点11(1,)3-． 7．解析：（I ）由已知,切点为(2,0),故有(2)0f =,即430b c ++=……① 又2()34f x x bx c '=++，由已知(2)1285f b c '=++=得870b c ++=……② 联立①②，解得1,1b c =-=．所以函数的解析式为32()22f x x x x =-+-．（II ）因为321()223g x x x x mx =-+-+．令21()34103g x x x m '=-++=．当函数有极值时，则0∆≥，方程2134103x x m -++=有实数解，由4(1)0m ∆=-≥，得1m ≤． ①当1m =时，()0g x '=有实数23x =，在23x =左右两侧均有()0g x '>，故函数()g x 无极值； ②当1m <时，()0g x '=有两个实数根1211(2(2x x =-=+(),()g x g x '情况如下表：所以在(,1)∈-∞m 时，函数()g x 有极值；当1(23=-x 时，()g x 有极大值；当1(23=x 时，()g x 有极小值．.精品资料。

高考数学(理科)二轮复习【专题2】函数、基本初等函数的图象与性质(含答案)

第1讲函数、基本初等函数的图象与性质考情解读(1)高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下．(2)函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一识图，二用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．1．函数的三要素定义域、值域及对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期T＝|a|.3．函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质． (2)幂函数y ＝x α的图象和性质，分幂指数α>0，α<0两种情况.热点一函数的性质及应用例1 (1)(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．(2)设奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝________. 思维启迪 (1)利用数形结合，通过函数的性质解不等式；(2)利用f (x )的性质和x ∈[0，12]时的解析式探求f (3)和f (－32)的值．答案 (1)(－1,3) (2)－14解析 (1)∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减，则f (x )的大致图象如图所示，由f (x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x <3. (2)根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )可得f (－t ) ＝f (1＋t )，即f (t ＋1)＝－f (t )，进而得到 f (t ＋2)＝－f (t ＋1)＝－[－f (t )]＝f (t )，得函数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－14.所以f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝0＋⎝⎛⎭⎫－14＝－14. 思维升华函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．(1)(2013·重庆改编)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))＝________.(2)已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为________________________________________________________________________．答案 (1)3 (2)⎝⎛⎭⎫－2，23 解析 (1)lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎫1lg 2＝－lg(lg 2)，由f (lg(log 210))＝5，得a [lg(lg 2)]3＋b sin(lg(lg 2))＝4－5＝－1，则f (lg(lg 2))＝a (lg(lg 2))3＋b sin(lg(lg 2))＋4＝－1＋4＝3. (2)易知f (x )为增函数．又f (x )为奇函数，由f (mx －2)＋f (x )<0知， f (mx －2)<f (－x )．∴mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0，令g (m )＝mx ＋x －2，由m ∈[－2,2]知g (m )<0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)＝－x －2<0，g (2)＝3x －2<0，∴－2<x <23.热点二函数的图象例2 (1)下列四个图象可能是函数y ＝10ln|x ＋1|x ＋1图象的是________．(2)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．思维启迪 (1)可以利用函数的性质或特殊点，利用排除法确定图象．(2)考虑函数f (x )的单调性．答案 (1)③ (2)b >a >c解析 (1)函数的定义域为{x |x ≠－1}，其图象可由y ＝10ln|x |x 的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，y ＝10ln|x |x 为奇函数，图象关于原点对称，所以，y ＝10ln|x ＋1|x ＋1的图象关于点(－1,0)成中心对称．所以①④不可能是；又x >0时，y ＝10ln|x ＋1|x ＋1>0，所以②不可能是，图象③可能是．(2)由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象本身关于直线x ＝1对称，所以a ＝f (－12)＝f (52)，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .思维升华 (1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝f (|x |)、y ＝|f (x )|及y ＝af (x )＋b 的相互关系．(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．(1)(2013·课标全国Ⅰ改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a的取值范围是________．(2)形如y ＝b|x |－a (a >0，b >0)的函数，因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把它称为“囧函数”．若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg |x |图象的交点个数为n ，则n ＝________. 答案 (1)[－2,0] (2)4解析 (1)函数y ＝|f (x )|的图象如图．①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立．②当a >0时，只需在x >0时，ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度．显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立．即a ≥x －2成立，所以a ≥－2.综上所述：－2≤a ≤0. (2)由题意知，当a ＝1，b ＝1时， y ＝1|x |－1＝⎩⎨⎧1x －1(x ≥0且x ≠1)，－1x ＋1(x <0且x ≠－1)，在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y ＝lg|x |的图象如图所示，易知它们有4个交点．热点三基本初等函数的图象及性质例3 (1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是________．(2)已知α，β∈[－π2，π2]且αsin α－βsin β>0，则下面结论正确的是________．①α>β；②α＋β>0；③α<β；④α2>β2.思维启迪 (1)可利用函数图象或分类讨论确定a 的范围；(2)构造函数f (x )＝x sin x ，利用f (x )的单调性．答案 (1)(－1,0)∪(1，＋∞) (2)④解析 (1)方法一由题意作出y ＝f (x )的图象如图．显然当a >1或－1<a <0时，满足f (a )>f (－a )．方法二对a 分类讨论：当a >0时，log 2a >log 12a ，即log 2a >0，∴a >1.当a <0时，log 12(－a )>log 2(－a )，即log 2(－a )<0，∴－1<a <0.(2)设f (x )＝x sin x ，x ∈[－π2，π2]，∴y ′＝x cos x ＋sin x ＝cos x (x ＋tan x )，当x ∈[－π2，0]时，y ′<0，∴f (x )为减函数，当x ∈[0，π2]时，y ′>0，∴f (x )为增函数，且函数f (x )为偶函数，又αsin α－βsin β>0， ∴αsin α>βsin β，∴|α|>|β|，∴α2>β2.思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数和三角函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算．(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．(1)设15<(15)b <(15)a <1，那么a a ，b a ，a b 的大小关系式是________．(2)已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________．答案 (1)a b <a a a a ，故a b <a a g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.1．判断函数单调性的常用方法(1)能画出图象的一般用数形结合法去观察．(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题．(3)对于解析式较复杂的一般用导数法． (4)对于抽象函数一般用定义法． 2．函数奇偶性的应用函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )． 3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．提醒：函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (a －x )的图象对称轴为x ＝0，并非直线x ＝a . (2)若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．(3)若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则该函数图象关于点(a ，b )成中心对称．4．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中． 5．指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围．比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，若底数不同，可运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时，注意与0比较或与1比较． 6．解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用．真题感悟1．(2014·安徽)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 答案516解析 ∵f (x )是以4为周期的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫294＝f ⎝⎛⎭⎫8－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34， f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫8－76＝f ⎝⎛⎭⎫－76.∵当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫34＝34×⎝⎛⎭⎫1－34＝316.∵当1<x ≤2时，f (x )＝sin πx ，∴f ⎝⎛⎭⎫76＝sin 7π6＝－12. 又∵f (x )是奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－34＝－f ⎝⎛⎭⎫34＝－316， f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫76＝12. ∴f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎫416＝12－316＝516.2．(2014·福建改编)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则所给函数图象正确的是________．答案 ②解析由题意得y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.图象①中，y ＝3－x ＝(13)x ，显然图象错误；图象②中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；图象③中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；图象④中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符，故图象②正确．押题精练1．已知函数f (x )＝e |ln x |－⎪⎪⎪⎪x －1x ，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为________．答案 ①解析据已知关系式可得f (x )＝⎩⎨⎧e－ln x＋⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x (0<x ≤1)，eln x－⎝⎛⎫x －1x ＝1x(x >1)，作出其图象然后将其向左平移1个单位即得函数y ＝f (x ＋1)的图象．2．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是________．答案 (4，＋∞)解析 ∵f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，∴log 12m ＝－log 12n ，∴mn ＝1，∴0<m <1，n >1，∴m ＋3n ＝m ＋3m 在m ∈(0,1)上单调递减，当m ＝1时，m ＋3n ＝4，∴m ＋3n >4.3．已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )的最小值为________．答案－1解析由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|f (x )|，|f (x )|≥g (x )，－g (x )，|f (x )|<g (x )，故h (x )的最小值为－1.4．已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8. 则所有正确命题的序号为________．答案 ①②④解析令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0，①正确；根据①可得f (x ＋4)＝f (x )，可得函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，②正确；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8，④正确．故正确命题的序号为①②④.(推荐时间：40分钟)1．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________. 答案－9解析令g (x )＝f (x )－1＝x 3cos x ，∵g (－x )＝(－x )3cos(－x )＝－x 3cos x ＝－g (x )， ∴g (x )为定义在R 上的奇函数．又∵f (a )＝11， ∴g (a )＝f (a )－1＝10，g (－a )＝－g (a )＝－10. 又g (－a )＝f (－a )－1，∴f (－a )＝g (－a )＋1＝－9.2．(2014·浙江改编)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是________．答案 ④解析幂函数f (x )＝x a 的图象不过(0,1)点，图象①不正确；②由对数函数f (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故②错；图象③中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故③错．图象④是正确的．3．(2014·朝阳模拟)已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100的值为________．答案－lg 2解析当x <0时，－x >0，则f (－x )＝lg(－x )．又函数f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )，所以当x <0时，f (x )＝－lg(－x )．所以f ⎝⎛⎭⎫1100＝lg 1100＝－2，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100＝f (－2)＝－lg 2. 4．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．答案－1解析因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x ＋a e x )＝x (e x ＋a e －x )，化简得x (e －x ＋e x )(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.5．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则f (x －2)>0的解集为________．答案 {x |x <0或x >4}解析由于函数f (x )是偶函数，因此有f (|x |)＝f (x )，不等式f (x －2)>0，即f (|x －2|)>0，f (|x －2|)＝2|x －2|－4>0， |x －2|>2，即x －2<－2或x －2>2，由此解得x <0或x >4.∴f (x －2)>0的解集为{x |x <0或x >4}．6．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．答案 (－1,0)解析在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1,0)．7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，cos πx ，x <0的图象上关于y 轴对称的点共有________对．答案 3解析因为y ＝cos πx 是偶函数，图象关于y 轴对称．所以，本题可转化成求函数y ＝log 3x 与y ＝cos πx 图象的交点个数的问题．作函数图象如图，可知它们有三个交点，即函数f (x )图象上关于y 轴对称的点有3对．8．(2013·天津)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤12，2解析由题意知a >0，又log 12a ＝log 2a －1＝－log 2a . ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 12a )． ∵f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)， ∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在[0，＋∞)上递增．∴|log 2a |≤1，－1≤log 2a ≤1，∴a ∈⎣⎡⎦⎤12，2.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13e x (x ≥2)，f (x ＋1)(x <2)，则f (ln 3)＝________. 答案 e解析 f (ln 3)＝f (ln 3＋1)＝13eln 3＋1＝e ，故填e. 10．已知函数f (x )＝x |x －a |，若对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 {a |a ≤2}解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －a )，x ≥a ，－x (x －a )，x <a ，由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0知，函数y ＝f (x )在[2，＋∞)单调递增，当a ≤0时，满足题意，当a >0时，只需a ≤2，即0<a ≤2，综上所述，实数a 的取值范围为a ≤2.11．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案－10解析因为f (x )的周期为2，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12，即f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12.又因为f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝⎛⎭⎫12＝b 2＋212＋1＝b ＋43，所以－12a ＋1＝b ＋43. 整理，得a ＝－23(b ＋1)．① 又因为f (－1)＝f (1)，所以－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .② 将②代入①，得a ＝2，b ＝－4.所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.12．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对于任意的x 1，x 2∈R ，且0≤x 1＜x 2≤2，都有f (x 1)＜f (x 2)；③函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称．则判断f (4.5)，f (6.5)，f (7)的大小关系为________．答案 f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)解析由已知得f (x )是以4为周期且关于直线x ＝2对称的函数．所以f (4.5)＝f (4＋12)＝f (12)， f (7)＝f (4＋3)＝f (3)，f (6.5)＝f (4＋52)＝f (52)．又f (x )在[0,2]上为增函数．所以作出其在[0,4]上的图象知f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)．13．设函数f (x )＝1＋(－1)x 2(x ∈Z )，给出以下三个结论： ①f (x )为偶函数；②f (x )为周期函数；③f (x ＋1)＋f (x )＝1，其中正确结论的序号是________．答案 ①②③解析对于x ∈Z ，f (x )的图象为离散的点，关于y 轴对称，①正确；f (x )为周期函数，T ＝2，②正确；f (x ＋1)＋f (x )＝1＋(－1)x ＋12＋1＋(－1)x 2 ＝1＋(－1)x ＋1＋(－1)x 2＝1，③正确． 14．能够把圆O ：x 2＋y 2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数是圆O 的“和谐函数”的是________．①f (x )＝e x ＋e －x ；②f (x )＝ln 5－x 5＋x； ③f (x )＝tan x 2；④f (x )＝4x 3＋x . 答案 ②③④解析由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数．①中，f (0)＝e 0＋e －0＝2，所以f (x )＝e x ＋e －x 的图象不过原点，故f (x )＝e x ＋e －x 不是“和谐函数”；②中f (0)＝ln 5－05＋0＝ln 1＝0，且f (－x )＝ln 5＋x 5－x ＝－ln 5－x 5＋x＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，所以f (x )＝ln 5－x 5＋x为“和谐函数”；③中，f (0)＝tan 0＝0，且f (－x )＝tan －x 2＝－tan x 2＝－f (x )，f (x )为奇函数，故f (x )＝tan x 2为“和谐函数”；④中，f (0)＝0，且f (x )为奇函数，故f (x )＝4x 3＋x 为“和谐函数”，所以，②③④中的函数都是“和谐函数”．。

高考数学(理科)二轮复习【专题2】三角变换与解三角形(含答案)

第2讲三角变换与解三角形考情解读 (1)高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用，常和同角三角函数的关系或诱导公式结合．(2)利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等，经常和三角恒等变换结合进行综合考查．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简． (2)等式的两边同时变形为同一个式子． (3)将式子变形后再证明．4．正弦定理 a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 5．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ， a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .6．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .7．解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解.热点一三角变换例1 (1)已知sin(α＋π3)＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos(α＋2π3)等于( )A ．－45B ．－35C.45D.35(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2思维启迪 (1)利用和角公式化简已知式子，和cos(α＋23π)进行比较．(2)先对已知式子进行变形，得三角函数值的式子，再利用范围探求角的关系．答案 (1)C (2)B解析 (1)∵sin(α＋π3)＋sin α＝－435，－π2<α<0，∴32sin α＋32cos α＝－435， ∴32sin α＋12cos α＝－45， ∴cos(α＋2π3)＝cos αcos 2π3－sin αsin 2π3＝－12cos α－32sin α＝45.(2)由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)．∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，∴由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．设函数f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期和最大值；(2)若θ是第二象限角，且f (θ2)＝0，求cos 2θ1＋cos 2θ－sin 2θ的值．解 (1)f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x ＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x 2＝12－32sin 2x .所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，最大值为1＋32.(2)因为f (θ2)＝0，所以12－32sin θ＝0，即sin θ＝33，又θ是第二象限角，所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－63. 所以cos 2θ1＋cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ2cos 2θ－2sin θcos θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)2cos θ(cos θ－sin θ)＝cos θ＋sin θ2cos θ＝－63＋332×(－63)＝6－326＝2－24.热点二解三角形例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a ＝2sin A ，cos B cos C ＋2a c ＋bc ＝0.(1)求边c 的大小；(2)求△ABC 面积的最大值．思维启迪 (1)将cos B cos C ＋2a c ＋bc＝0中的边化成角，然后利用和差公式求cos C ，进而求c .(2)只需求ab 的最大值，可利用cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab和基本不等式求解．解 (1)∵cos B cos C ＋2a c ＋bc ＝0，∴c cos B ＋2a cos C ＋b cos C ＝0，∴sin C cos B ＋sin B cos C ＋2sin A cos C ＝0， ∴sin A ＋2sin A cos C ＝0， ∵sin A ≠0，∴cos C ＝－12，∵C ∈(0，π)∴C ＝2π3，∴c ＝a sin A·sin C ＝ 3.(2)∵cos C ＝－12＝a 2＋b 2－32ab ，∴a 2＋b 2＋ab ＝3，∴3ab ≤3，即ab ≤1. ∴S △ABC ＝12ab sin C ≤34.∴△ABC 面积最大值为34.思维升华三角形问题的求解一般是从两个角度，即从“角”或从“边”进行转化突破，实现“边”或“角”的统一，问题便可突破．几种常见变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，其中R 为△ABC 外接圆的半径； (3)sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C .(1)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba 等于( )A. 2 B ．2 2 C. 3 D ．2 3(2)(2014·江西)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932C.332 D ．3 3 答案 (1)A (2)C解析 (1)因为a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，由正弦定理得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ＝2sin A ，即sin B sin A ＝2，b a ＝sin B sin A＝ 2. (2)∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得ab ＝6.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.热点三正、余弦定理的实际应用例3 (2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？思维启迪 (1)直接求sin B ，利用正弦定理求AB .(2)利用余弦定理和函数思想，将甲乙距离表示为乙出发后时间t 的函数．解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，由于0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537min 时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．思维升华求解三角形的实际问题，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、俯角等；其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用；再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确；最后作答．如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A 地侦察发现，在南偏东60°方向的B 地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C 地行驶，企图抓捕正在C 地捕鱼的中国渔民．此时，C 地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C 地救援我国渔民，能不能及时赶到？(2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)解过点A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于点D .因为∠CAD ＝45°，AC ＝10海里，所以△ACD 是等腰直角三角形．所以AD ＝CD ＝22AC ＝22×10＝52(海里)．在Rt △ABD 中，因为∠DAB ＝60°，所以BD ＝AD ×tan 60°＝52×3＝56(海里)．所以BC ＝BD －CD ＝(56－52)(海里)．因为中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度航行，所以中国海监船到达C 点所用的时间t 1＝AC 30＝1030＝13(小时)，某国军舰到达C 点所用的时间t 2＝BC 13＝5×(6－2)13≈5×(2.45－1.41)13＝0.4(小时)．因为13<0.4，所以中国海监船能及时赶到．1．求解恒等变换问题的基本思路一角二名三结构，即用化归转化思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1)首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心．(2)其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”． (3)再次观察代数式的结构特点． 2．解三角形的两个关键点(1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，注意定理的灵活变形，如a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R (其中2R 为三角形外接圆的直径)，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等，灵活根据条件求解三角形中的边与角．(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A ＋B )＝sin C ，sin A ＋B 2＝cos C2等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等．3．利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的关键是如何将实际问题转化为数学问题，抽象出三角形模型．真题感悟1．(2013·浙江)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－43 答案 C解析 ∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52.用降幂公式化简得：4sin 2α＝－3cos 2α，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.2．(2014·江苏)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．答案 6－24解析由sin A ＋2sin B ＝2sin C ，结合正弦定理得a ＋2b ＝2c .由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－(a ＋2b )242ab ＝34a 2＋12b 2－2ab 22ab≥2⎝⎛⎭⎫34a 2⎝⎛⎭⎫12b 2－2ab 22ab ＝6－24，故6－24≤cos C <1，且3a 2＝2b 2时取“＝”．故cos C 的最小值为6－24.押题精练1．在△ABC 中，已知tan A ＋B2＝sin C ，给出以下四个结论： ①tan Atan B＝1；②1<sin A ＋sin B ≤2；③sin 2A ＋cos 2B ＝1；④cos 2A ＋cos 2B ＝sin 2C . 其中一定正确的是( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④ 答案 D解析依题意，tan A ＋B2＝sinA ＋B 2cos A ＋B 2＝2sin A ＋B 2cos A ＋B22cos2A ＋B 2＝sin (A ＋B )1＋cos (A ＋B )＝sin C 1＋cos (A ＋B )＝sin C . ∵sin C ≠0，∴1＋cos(A ＋B )＝1，cos(A ＋B )＝0.∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π2，即△ABC 是以角C 为直角的直角三角形．对于①，由tan Atan B＝1，得tan A ＝tan B ，即A ＝B ，不一定成立，故①不正确；对于②，∵A ＋B ＝π2，∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π4)，∴1<sin A ＋sin B ≤2，故②正确；对于③，∵A ＋B ＝π2，∴sin 2A ＋cos 2B ＝sin 2A ＋sin 2A ＝2sin 2A ，其值不确定，故③不正确；对于④，∵A ＋B ＝π2，∴cos 2A ＋cos 2B ＝cos 2A ＋sin 2A ＝1＝sin 2C ，故④正确．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，q ＝(2a,1)，p ＝(2b －c ，cos C )，且q ∥p . (1)求sin A 的值；(2)求三角函数式－2cos 2C1＋tan C＋1的取值范围．解 (1)∵q ＝(2a,1)，p ＝(2b －c ，cos C )且q ∥p ，∴2b －c ＝2a cos C ，由正弦定理得2sin A cos C ＝2sin B －sin C ，又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴12sin C ＝cos A sin C . ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12，又∵0<A <π，∴A ＝π3，∴sin A ＝32.(2)原式＝－2cos 2C 1＋tan C＋1＝1－2(cos 2C －sin 2C )1＋sin C cos C＝1－2cos 2C ＋2sin C cos C ＝sin 2C －cos 2C ＝2sin(2C －π4)，∵0<C <23π，∴－π4<2C －π4<1312π，∴－22<sin(2C －π4)≤1，∴－1<2sin(2C －π4)≤2，即三角函数式－2cos 2C1＋tan C＋1的取值范围为(－1，2]．(推荐时间：60分钟)一、选择题1．(2014·浙江)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位答案 C解析因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin(3x ＋π4)＝2sin[3(x ＋π12)]，又y ＝2cos 3x ＝2sin(3x ＋π2)＝2sin[3(x ＋π6)]，所以应由y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位得到．2．已知α∈(π2，π)，sin(α＋π4)＝35，则cos α等于( )A ．－210 B.7210C ．－210或7210D ．－7210答案 A解析 ∵α∈(π2，π)，∴α＋π4∈(34π，54π)，∵sin(α＋π4)＝35，∴cos(α＋π4)＝－45，∴cos α＝cos(α＋π4－π4)＝cos(α＋π4)cos π4＋sin(α＋π4)sin π4＝－45×22＋35×22＝－210.3．在△ABC 中，若sin C sin A ＝3，b 2－a 2＝52ac ，则cos B 的值为( )A.13B.12C.15D.14 答案 D解析由正弦定理：c a ＝sin C sin A＝3，由余弦定理：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝c 2－52ac2ac ＝12×c a －54＝32－54＝14.4．(2013·陕西)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 B解析由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形． 5．已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为( ) A.6365 B.3365C.1365D.6365或3365答案 A解析依题意得sin β＝45，cos β＝35.注意到sin(α＋β)＝513<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝6365. 6．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c2，BC →·BA →＝12，则tan B 等于( )A.32B.3－1 C ．2 D ．2－ 3答案 D解析由题意得，BC →·BA →＝|BC →|·|BA →|cos B＝ac cos B ＝12，即cos B ＝12ac，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12ac⇒a 2＋c 2－b 2＝1，所以tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2＝2－3，故选D. 二、填空题7．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 答案－255解析由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，可得sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α) ＝22sin α＝－255. 8．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin C ，则b ＝________.答案 4解析由sin A cos C ＝3cos A sin C 得：a 2R ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3·b 2＋c 2－a 22bc ·c 2R ， ∴a 2＋b 2－c 2＝3(b 2＋c 2－a 2)，a 2－c 2＝b 22，解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧a 2－c 2＝2b a 2－c 2＝b 22，∴b ＝4. 9．已知0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45，则cos(α＋π4)＝________. 答案 82－315解析因为0<α<π2<β<π，所以π4<β－π4<3π4，π2<α＋β<3π2. 所以sin(β－π4)>0，cos(α＋β)<0. 因为cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45，所以sin(β－π4)＝223，cos(α＋β)＝－35. 所以cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)] ＝cos(α＋β)cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4) ＝－35×13＋45×223＝82－315. 10．如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC ，小李在山脚B 处看索道AC ，发现张角∠ABC ＝120°；从B 处攀登400米到达D 处，回头看索道AC ，发现张角∠ADC ＝150°；从D 处再攀登800米方到达C 处，则索道AC 的长为________米．答案 40013解析如题图，在△ABD 中，BD ＝400米，∠ABD ＝120°.因为∠ADC ＝150°，所以∠ADB ＝30°.所以∠DAB ＝180°－120°－30°＝30°.由正弦定理，可得BD sin ∠DAB ＝AD sin ∠ABD. 所以400sin 30°＝AD sin 120°，得AD ＝4003(米)．在△ADC 中，DC ＝800米，∠ADC ＝150°，由余弦定理，可得AC 2＝AD 2＋CD 2－2×AD ×CD ×cos ∠ADC＝(4003)2＋8002－2×4003×800×cos 150°＝4002×13，解得AC ＝40013(米)．故索道AC 的长为40013米．三、解答题11．(2014·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值．解 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac. 因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13. 由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223. 故sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝⎛⎭⎫－13×22＝4－26. 12．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1(ω>0)的最小正周期是π. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1 ＝23sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋1＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin(2ωx －π6)．最小正周期是2π2ω＝π，所以，ω＝1，从而f (x )＝2sin(2x －π6)．令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z . 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z . 所以函数f (x )的单调递增区间为[－π6＋k π，π3＋k π](k ∈Z )．(2)当x ∈[π8，3π8]时，2x －π6∈[π12，7π12]， f (x )＝2sin(2x －π6)∈[6－22，2]，所以f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值分别为2，6－22. 13．已知角A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，若向量m ＝(1－cos(A ＋B )，cos A －B 2)，n ＝(58，cos A －B 2)，且m ·n ＝98. (1)求tan A tan B 的值；(2)求ab sin C a 2＋b 2－c 2的最大值．解 (1)m ·n ＝58－58cos(A ＋B )＋cos 2A －B 2＝98－18cos A cos B ＋98sin A sin B ＝98， ∴cos A cos B ＝9sin A sin B 得tan A tan B ＝19. (2)tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝98(tan A ＋tan B )≥98·2tan A tan B ＝34. (∵tan A tan B ＝19>0， ∴A ，B 均是锐角，即其正切值均为正)ab sin C a 2＋b 2－c 2＝sin C 2cos C ＝12tan C ＝－12tan(A ＋B )≤－38，所求最大值为－38.。

2021届高考数学(理)二轮考点专训卷(2)函数

1、下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．()x x f =，()2x x g = B ．()2x lg x f =，()x 2lg x f =C ．()2x 1x x 1f -=-，()x x 1g =+ D ．()x x 1x 1f =+⋅-，()2x x 1g =-2、设(0,),[0,]22ππαβ∈∈,那么23βα-的取值范围是( ) A. 5(0,)6π B. 5(,)66ππ-C.()0,πD. (,)6ππ-3、函数243,[0,3]y x x x =-+∈的值域为( ) A ．[]0,3B ．[]1,0-C ．[]1,3-D ．[]0,24、已知函数[]222,3,2y x x x =-+∈-,则该函数的值域为()A.[]1,17B.[]3,11C.[]2,17D.[]2,4 5、已知函数()132f x x +=+，则()f x 的解析式是( ) A ．32x +B ．31x +C ．31x -D ．34x +6、已知函数210()1f x x =+,则函数()f x 的解析式为( ) A.5()1f x x =+B.5()1(0)f x x x =+≥C.5()1()f x x x =+≥1D.()1()f x x x =+≥17、若函数()()=a 0,1x f x a a >≠为增函数,那么()11log 1ag x x =+的图象是( ) A.B.C.D.8、已知25(1)()21(1)x xf xx x+>⎧=⎨+≤⎩则[(1)]f f=( )A.3B.13C.8D.189、已知映射:f A B→,其中A B R==,对应为2:22f x y x x→=-+若对实数k B∈,在集合A中没有元素对应,则k的取值范围是( )A.[,1]-∞-B.(,1)-∞+C.()1,+∞D.[)1,+∞10、已知函数()y f x=在定义域(1,1)-上是减函数，且(21)(1)f a f a-<-，则实数的取值范围是( )A.2(,)3+∞ B.2(,1)3C. (0,2)D. (0,)+∞11、若(31)4,1()log,1aa x a xf xx x-+<⎧=⎨≥⎩,是R上的减函数,则实数a的取值范围是( )A.(0,1)B.10,3⎛⎫⎪⎝⎭C.11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭12、已知定义在R上的函数()f x满足:①关于()1,0对称;②()()2,f x f x =--③在[]1,1-上表达式为()21,f x x =-则函数()f x 与函数()2,1,x x g x x x ⎧≤=⎨->⎩的图象在区间[]3,3-上的交点个数为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 13、函数(01)x y a a a =>≠且与函数()y f x =的图像关于直线y x =对称,则函数()y f x =与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图像可能是图中的( )A. B.C. D.14、已知函数[]2()4,,5f x x x x m =-+∈的值域是[]5,4-，则实数m 的取值范围是( )A ．(,1)-∞-B ．[]1,2-C ．(]1,2-D ．[]2,515、如图,是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽( )。

新高考数学二轮专题复习高频考点强化训练2(附解析)

强化训练2 复数、平面向量一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．[2022·北京卷]若复数z 满足i·z ＝3－4i ，则|z |＝( )A ．1B ．5C ．7D ．252．[2022·山东潍坊三模]已知复数z 满足(i －1)z ＝1＋i ，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为( )A.－1 B ．1 C ．0 D ．23．[2022·山东淄博一模]若复数z ＝2＋i a ＋i的实部与虚部相等，则实数a 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．34．[2022·河北保定二模]已知向量AB → ＝(2，－1)，BC → ＝(1，－3)，则|AC → |＝( )A ．3B ．4C ．5D ．65．[2022·山东临沂三模]向量a ＝(1，1)，b ＝(－1，0)，则a 与b 的夹角为( ) A ．π6 B ．π4C ．3π4D ．2π36．[2022·福建福州三模]已知向量a ，b 为单位向量，且a ⊥b ，则b ·(4a －3b )＝( )A ．－3B ．3C ．－5D ．57．如图，在▱ABCD 中，M 为BC 的中点，AC → ＝mAM → ＋nBD → ，则m ＋n ＝( )A ．1B ．43C ．53D ．2 8．[2022·湖南师大附中一模]在△ABC 中，已知∠A ＝90°，AB ＝2，AC ＝4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB → ·PC → 的最大值为( )A ．165B ．365C ．465D ．565二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)9．[2022·山东日照二模]已知向量m ＝(2，0)，n ＝(1，1)，则( )A ．m ∥nB ．(m －n )⊥nC ．m ⊥nD ．|m |＝2 |n |10．[2022·广东广州三模]若z ＋|z |＝8－4i ，其中i 为虚数单位，则下列关于复数z 的说法正确的是( )A ．|z |＝5B ．z 的虚部为－4iC ．z̅＝－3＋4iD ．z 在复平面内对应的点位于第四象限11．[2022·山东淄博三模]已知复数z 1，z 2，满足|z 1|·|z 2|≠0，下列说法正确的是( )A ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21 ＝z 22B ．|z 1＋z 2|≤|z 1|＋|z 2|C ．若z 1z 2∈R ，则z 1z 2∈R D ．|z 1z 2|＝|z 1||z 2|12．[2022·山东聊城三模]在平面四边形ABCD 中，|AB → |＝|BC → |＝|CD → |＝DA → ·DC → ＝1，BA → ·BC → ＝12，则( ) A.|AC → |＝1B ．|CA → ＋CD → |＝|CA → －CD → |C ．AD → ＝2BC →D ．BD → ·CD → ＝2＋32三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2022·辽宁鞍山二模]已知i 为虚数单位，则3＋i 1－i＝________(写成最简形式). 14．[2022·河北张家口一模]已知向量a ＝(－1，－2)，b ＝(－x ，3)，若a ∥b ，则x ＝________．15．[2022·广东茂名二模]已知向量a ＝(t ，2t )，b ＝(－t ，1)，若(a －b )⊥(a ＋b )，则t ＝________．16．[2022·山东师范大学附中模拟]边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM → ·PN→ 的取值范围是________．强化训练2 复数、平面向量1．解析：方法一由i·z ＝3－4i ，得z ＝3－4i i ＝（3－4i ）·（－i ）i·（－i ）＝－3i ＋4i2－i2＝－4－3i ，所以|z|＝（－4）2＋（－3）2 ＝5.故选B. 方法二由i·z ＝3－4i ，得z ＝3－4i i ，所以|z|＝|3－4i i |＝|3－4i||i| ＝32＋（－4）202＋12＝5.故选B. 答案：B2．解析：∵（i －1）z ＝1＋i ， ∴z ＝1＋i －1＋i ＝（1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）（－1－i ）＝－2i 2 ＝－i ， ∴z ＝i ，即z 的虚部为1.答案：B 3．解析：z ＝2＋i a ＋i ＝（2＋i ）（a －i ）（a ＋i ）（a －i ）＝2a ＋1＋（a －2）i a2＋1，因为复数z ＝2＋i a ＋i的实部与虚部相等，所以2a ＋1＝a －2，解得a ＝－3，故实数a 的值为－3.答案：A4．解析：由题意可得AC→ ＝AB → ＋BC → ＝（3，－4），所以|AC → |＝32＋（－4）2 ＝5.答案：C5．解析：由题意得：cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b| ＝－12＝－22 ，则a 与b 的夹角为3π4 . 答案：C6．解析：由题意可得，|a|＝1，|b|＝1，a·b ＝0，则b·（4a －3b ）＝4a·b －3b2＝－3b2＝－3.答案：A7．解析：AM → ＝AB → ＋12 BC → ＝AB → ＋12AD → ，而BD → ＝AD → －AB → ，故AC → ＝m （AB → ＋12 AD → ）＋n （AD → －AB → ）＝（m －n ）AB → ＋（m 2＋n ）AD → ，而AC → ＝AB → ＋AD → 且AB → ，AD → 不共线，故⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1m 2＋n ＝1 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝43n ＝13⇒m ＋n ＝53 . 答案：C8．解析：设AD 为斜边BC 上的高，则圆A 的半径r ＝AP ＝2×44＋16＝455 ，设E 为斜边BC 的中点，〈PA → ，AE → 〉＝θ，因为|PA → |＝455，|AE → |＝ 5 ，则PB → ·PC → ＝（PA → ＋AB → ）·（PA→ ＋AC → ）＝PA → 2＋PA → ·（AB→ ＋AC → ）＝165 ＋PA → ·2AE →＝165 ＋2×455 ×5 cos θ＝165 ＋8cos θ，所以PB → ·PC → 的最大值为165 ＋8＝565 .答案：D9．解析：由m ＝（2，0），n ＝（1，1），m －n ＝（1，－1），对于A ，若m ∥n ，由2×1≠0×1，故A 错误；对于B ，若（m －n ）⊥n ，则1×1＋（－1）×1＝0，符合题意，故B 正确；对于C ，若m ⊥n ，由m·n ＝2×1＋0×1＝2≠0，故C 错误；对于D ，|m|＝2，|n|＝12＋12 ＝ 2 ，故D 正确．答案：BD10．解析：设z ＝a ＋bi ，则|z|＝a2＋b2 ，z ＋|z|＝a ＋bi ＋a2＋b2 ＝8－4i ，则⎩⎨⎧a ＋a2＋b2＝8b ＝－4，即得⎩⎨⎧a ＝3b ＝－4 ，即z ＝3－4i ， |z|＝9＋16 ＝5，A 正确；z 的虚部为－4，B 错误；z ̅＝3＋4i ，C 错误；z 在复平面内对应的点为（3，－4），位于第四象限，D 正确．答案：AD11．解析：对选项A ，设z1＝1＋i ，z2＝ 2 i ，则|z1|＝|z2|＝ 2 ，z 21 ＝（1＋i ）2＝2i ，z 2 ＝（ 2 i ）2＝－2，不满足z 21 ＝z 2 ，故A 错误．对选项B ，设z1，z2在复平面内表示的向量分别为z1，z2，且z1，z2≠0，当z1，z2方向相同时，|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|，当z1，z2方向不相同时，|z1＋z2|<|z1|＋|z2|，综上|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，故B 正确．对选项C ，设z1＝1＋i ，z2＝1－i ，z1z2＝（1＋i ）（1－i ）＝2∈R ，z1z2 ＝1＋i 1－i ＝（1＋i ）2（1－i ）（1＋i ）＝i ∉R ，故C 错误．对选项D ，设z1＝a ＋bi ，z2＝c ＋di ，a ，b ，c ，d≠0，z1z2＝（a ＋bi ）（c ＋di ）＝（ac －bd ）＋（ad ＋bc ）i ，则|z1z2|＝（ac －bd ）2＋（ad ＋bc ）2 ＝（ac ）2＋（bd ）2＋（ad ）2＋（bc ）2 ，|z1||z2|＝a2＋b2 ·c2＋d2 ＝（ac ）2＋（bd ）2＋（ad ）2＋（bc ）2 ＝|z1z2|，故D 正确．答案：BD12．解析：因为|AB → |＝|BC → |＝|CD → |＝1，BA → ·BC → ＝|BA → ||BC → |cos B ＝12，可得B ＝π3 ，所以△ABC 为等边三角形，则|AC→ |＝1 ，故A 正确；因为|CD → |＝1，所以CD → 2＝1，又DA → ·DC → ＝1，所以CD → 2＝DA → ·DC→ ，得DC → 2－DA → ·DC → ＝DC → ·（DC → －DA → ）＝DC → ·AC→ ＝0，所以AC ⊥CD ，则|CA→ ＋CD → |＝|CA → －CD → |，故B 正确；根据以上分析作图如下：由于BC 与AD 不平行，故C 错误；建立如上图所示的平面直角坐标系，则B （－12 ，0），C （12 ，0），D （1＋32 ，12 ），BD → ＝（2＋32 ，12 ），CD → ＝（32 ，12），所以BD → ·CD → ＝2＋32，故D 正确．答案：ABD13．解析：3＋i 1－i ＝（3＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝3＋3i ＋i ＋i22 ＝1＋2i. 答案：1＋2i14．解析：因为a ∥b ，所以2x ＝－3，解得x ＝－32. 答案：－3215．解析：因为（a －b ）⊥（a ＋b ），所以（a －b ）·（a ＋b ）＝0，所以a2－b2＝0，则|a|＝|b|，所以t2＋4t2＝t2＋1，所以t ＝±12 .答案：±1216．解析：如图所示：设正方形ABCD 的内切圆为圆O ，当弦MN 的长度最大时，MN 为圆O 的一条直径，PM → ·PN → ＝（PO → ＋OM → ）·（PO → －OM → ）＝|PO → |2－|OM → |2＝|PO → |2－14，当P 为正方形ABCD 的某边的中点时，|OP → |min ＝12 ，当P 与正方形ABCD 的顶点重合时，|OP → |max ＝22，即12 ≤|OP → |≤22 ，因此，PM → ·PN → ＝|PO → |2－14 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 . 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14。

高考数学二轮复习专题补偿练2基本初等函数、函数与方程理

补偿练二基本初等函数、函数与方程(建议用时：40分钟)一、选择题 1．函数f (x )＝3x21－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13 解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，3x ＋1>0，解得－13<x <1.答案 B2．若奇函数f (x )在(0，＋∞)上的解析式是f (x )＝x (1－x )，则在(－∞，0)上，f (x )的解析式是( )．A ．f (x )＝－x (1－x )B ．f (x )＝x (1＋x )C ．f (x )＝－x (1＋x )D ．f (x )＝x (1－x )解析当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴f (－x )＝－x (1＋x )，又f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝x (1＋x )．答案 B3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f的值为 ( )．A.1516 B ．－2716 C.89 D ．18 解析 f (2)＝4，1f＝14， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫1f ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1516. 答案 A4．已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( )．A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >a >b解析 a ＝log 23.6＝log 43.62＝log 412.96，又∵y ＝log 4x 在(0，＋∞)是增函数，而3.2<3.6<12.96∴a >c >b . 答案 B5．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 2f (2)的值为( )．A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析设幂函数f (x )＝x α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，所以f (x )＝x .∴log 2f (2)＝log 22＝12.答案 A 6．函数f (x )＝e1－x2的部分图象大致是( )．解析因函数f (x )为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除A ，B ，又因为e 1－x2>0，所以排除D. 答案 C7．函数f (x )＝lg x －1x的零点所在的区间是( )．A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(0,1)解析因为f (2)＝lg 2－12<0，f (3)＝lg 3－13>0，且f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数的零点在区间(2,3)上．答案 B8．已知函数f (x )＝x －ln |x |x2，则函数y ＝f (x )的大致图象为 ( )．解析因为函数f (x )为非奇非偶函数，所以排除B 、C.又f (－1)＝－1<0，排除D. 答案 A 二、填空题9．若函数f (x )为奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋x ，则f (－2)的值______．解析由题意知f (－2)＝－f (2)＝－(22＋2)＝－6. 答案－610．定义a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a <b ，b ，a ≥b ，已知a ＝30.3，b ＝0.33，c ＝log 30.3，则(a *b )*c ＝______(用a ，b ，c 作答)．解析 log 30.3<0<0.33<1＝30<30.3，即有c 0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元．答案 5 812．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，x 2－x ，x >0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m的取值范围是________．解析由g (x )＝f (x )－m ＝0得f (x )＝m ，作出函数y ＝f (x )的图象，当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14≥－14，所以要使函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，则－14<m <0，即m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－14，013．已知函数f (x )在实数集R 上具有下列性质：①直线x ＝1是函数f (x )的一条对称轴；②f (x ＋2)＝－f (x )；③当1≤x 1<x 2≤3时，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)<0，则f (2 011)，f (2 012)，f (2 013)从大到小的顺序为____________．解析由f (x ＋2)＝－f (x )得f (x ＋4)＝f (x )，所以周期是4.所以f (2 011)＝f (3)，f (2 012)＝f (0)，f (2 013)＝f (1)，又直线x ＝1是函数f (x )的一条对称轴．所以f (2 012)＝f (0)＝f (2)．由(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)<0可知当1≤x 1<x 2≤3时，函数单调递减；所以f (1)>f (2)>f (3)，故f (2 013)>f (2 012)>f (2 011)．答案 f (2 013)>f (2 012)>f (2 011)14．已知定义在R 上的函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0成中心对称，对任意实数x 都有f (x )＝－1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，且f (－1)＝1，f (0)＝－2，则f (0)＋f (1)＋…＋f (2016)＝________.解析由函数关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称可知，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－x ＝0，所以f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝0，又f (x )＝－1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－1f －＝－1，所以f (1)＝1，因为f (x )＝－1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，所以f (x )＝－1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－1－1f x ＋＝f (x ＋3)，即f (x )是以3为周期的函数，故f(3)＝f(0)＝－2，f(2)＝f(－1)＝1，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋(2 016)＝f(0)＋[f(1)＋f(2)＋f(3)]×672＝f(0)＝－2.答案－215．设函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－2)＝－f(x)，对一切x∈R都成立，又当x∈[－1,1]时，f(x)＝x3，则下列四个命题：①函数y＝f(x)是以4为周期的周期函数；②当x∈[1,3]，f(x)＝(2－x)3；③函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称；④函数y ＝f(x)的图象关于(2,0)对称，其中正确命题的序号是________．解析∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∵f(x－2)＝－f(x)对一切x∈R都成立，∴f(x－4)＝f(x)，∴函数y＝f(x)是以4为周期的周期函数，故①正确；当x∈[1,3]，x－2∈[－1,1]，f(x－2)＝(x－2)3＝－f(x)，∴f(x)＝(2－x)3，故②正确；∵f(x－2)＝－f(x)，∴f(1＋x)＝f(1－x)，∴函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称，故③正确；∵当x∈[1,3]时，f(x)＝(2－x)3，∴f(2)＝0，∵f(x－2)＝－f(x)，∴f(－x－2)＝－f(－x)＝f(x)＝－f(x－2)，∴f(x＋2)＝－f(x－2)，∴函数y＝f(x)的图象关于(2,0)对称，故④正确．答案①②③④。

2024年高考数学二轮复习模块二函数与导数(测试)

模块二函数与导数（测试）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．曲线2e x y x x =+-在1x =处的切线方程为（）A ．e 0x y -=B ．e 2e 0x y +-=C ．()e 110x y --+=D ．()e 110x y +--=2．由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主、自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是（）参考数据：lg1.090.0374»，lg20.3010»，lg30.4771».A ．2023年B ．2024年C ．2025年D ．2026年3．已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（）A ．()23sin 44x xx x x f x -+=+B ．()23cos 2x x x f x x +=+C ．()3cos 44x xx x x f x -+=+D ．()223sin 2x x x f x x +=+4．已知函数()2e x f x ax =-，若对任意12121,,2,2x x x x æöÎ¹ç÷èø，不等式()()121212f x f x x x x x -<+-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．e ,12æù-¥-çúèûB ．2e ,14æù-¥-çúèûC ．e 1,2éö-+¥÷êëøD ．2e 1,4éö-+¥÷êëø5．已知20991ln ,,e 89a b c -===，则（）A ．a b c>>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a>>6．定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,¥+上单调递增，且()20f -=，则不等式()20xf x +³的解集是（）A ．[)4,-+¥B ．()(),40,-¥-+¥U C ．()2,-+¥D ．(](],42,0¥--È-7．设定义在R 上的函数()f x 满足()()23e -¢+=x f x f x x ，且()00f =，则下列结论正确的是（）A ．()f x 在R 上单调递减B ．()f x 在R 上单调递增C ．()f x 在R 上有最大值D ．()f x 在R 上有最小值8．已知正数,a b 满足2e 12ln 182a b a b +£++，则e a b +=（）A ．94B ．32C ．1D ．34二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年高考数学二轮复习解题思维提升专题02函数与导数小题部分训练手册

专题02 函数与导数小题部分【训练目标】1、理解函数的概念，会求函数的定义域，值域和解析式，特殊是定义域的求法；2、驾驭函数单调性，奇偶性，周期性的推断方法及相互之间的关系，会解决它们之间的综合问题；3、驾驭指数和对数的运算性质，对数的换底公式；4、驾驭指数函数和对数函数的图像与性质；5、驾驭函数的零点存在定理，函数与方程的关系；6、娴熟数形结合的数学思想在解决函数问题的运用；7、娴熟驾驭导数的计算，导数的几何意义求切线问题；8、理解并驾驭导数与函数单调性之间的关系，会利用导数分析函数的单调性，会依据单调性确定参数的取值范围；9、会利用导数求函数的极值和最值，驾驭构造函数的方法解决问题。

【温馨小提示】本章内容既是高考的重点，又是难点，再备考过程中应当大量解出各种题型，总结其解题方法，积累一些常用的小结论，会给解题带来极大的便利。

【名校试题荟萃】1、（福建省“永安一中、德化一中、漳平一中”2025届高三上学期12月三校联考）已知函数，若()1f x =-，则x = ．【答案】12【解析】问题等价于；，无解。

2、（福建省“永安一中、德化一中、漳平一中”2025届高三上学期12月三校联考）已知函数1()1x f x x +=-的图像在点2,(2)f 处的切线与直线10ax y 平行，则实数a.A 2 .B 12 .C 12- D ．2- 【答案】A【解析】由于，依据导数的几何意义及两直线平行的条件可知。

3、（福建省上杭县第一中学2025届高三上学期期中考试）函数的图象可能是( )【答案】D【解析】先由推断函数的奇偶性可知函数为奇函数，图像关于原点对称，解除A,B ；当，解除C ，故选D 。

4、（福建省上杭县第一中学2025届高三上学期期中考试）已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且，若()f x 在[]1,0-上是减函数，记，， ()0.52c f =，则（）A ． a b c >>B ． a c b >>C ． b a c >>D ． b a c >> 【答案】B5、（福建省上杭县第一中学2025届高三上学期期中考试）已知定义域为),0(+∞，为的导函数，且满意，则不等式的解集是( )A ． )2,0(B ． ),2(+∞C ． )3,2(D ． ),3(+∞ 【答案】D 【解析】构造函数，求导结合可知函数()g x 在定义域),0(+∞为减函数，不等式可化为，等价于，解得结果为),3(+∞。

新教材2025届高考数学二轮专项分层特训卷二命题点加强练命题点30基本初等函数小题突破

命题点30 基本初等函数一、单项选择题1.[2024·北京卷]下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．f(x)＝－ln xB ．f(x)＝12xC ．f(x)＝－1xD ．f(x)＝3|x －1|2．[2024·河北张家口一模]下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是( )A ．f(x)＝2x －12x ＋1B ．f(x)＝－x 2＋xC ．f(x)＝|sin x|D ．f(x)＝x 13＋x －133.[2024·新课标Ⅱ卷]若f(x)＝(x ＋a)ln 2x －12x ＋1为偶函数，则a ＝( )A ．－1B ．0C ．12D ．14.[2024·天津卷]函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为( )A ．f(x)＝5（e x－e －x）x 2＋2B ．f(x)＝5sin x x 2＋1C ．f(x)＝5（e x＋e －x）x 2＋2D ．f(x)＝5cos xx 2＋15．[2024·辽宁丹东模拟]设函数f(x)满意f(x ＋1)＋f(x)＝0，当0≤x<1时，f(x)＝21－x，则f(log 0.58)＝( )A ．－2B ．－12C ．12D ．26．[2024·新高考Ⅱ卷]已知a ＝log 52，b ＝log 83，c ＝12，则下列推断正确的是( )A ．c<b<aB ．b<a<cC ．a<c<bD ．a<b<c7．[2024·新高考Ⅱ卷]已知函数f(x)的定义域为R ，f (x ＋2)为偶函数，f (2x ＋1)为奇函数，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0B ．f (－1)＝0C ．f (2)＝0D ．f (4)＝0 8．[2024·新高考Ⅱ卷]已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x ＋y )＋f (x －y )＝f (x )f (y )，f (1)＝1，则∑k ＝122f (k )＝( )A ．－3B ．－2C ．0D ．1二、多项选择题9．[2024·河北沧州模拟]已知向量AB →＝(ax ，－1)，BC →＝(x －ax ，1－x)，则函数f(x)＝AB →·AC →的大致图象可能为( )10．[2024·重庆九龙坡模拟]若a ，b ，c 都是正数，且2a＝3b＝6c，则( ) A ．1a ＋1b ＝2c B ．1a ＋1b ＝1cC ．a ＋b>4cD ．ab>4c 2 11.[2024·新课标Ⅰ卷]噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级L p ＝20×lg pp 0，其中常数p 0(p 0>0)是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1≥p 2B ．p 2>10p 3C ．p 3＝100p 0D ．p 1≤100p 212．[2024·广东韶关二模]已知10a ＝2，102b＝5，则下列结论正确的是( )A ．a ＋2b ＝1B ．ab<18C ．ab>lg 22D ．a>b题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案三、填空题13.[2024·北京卷]已知函数f(x)＝4x＋log 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________．14．[2024·全国甲卷]若f(x)＝(x －1)2＋ax ＋sin (x ＋π2)为偶函数，则a ＝________．15．[2024·新高考Ⅱ卷]写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)：________． ①f(x 1x 2)＝f(x 1)f(x 2)；②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0；③f′(x)是奇函数．16．[2024·河北张家口模拟]函数f(x)＝2x 2－4x ＋4＋x 2－2x 的最小值为________．命题点30 基本初等函数(小题突破)1．解析：对于A ，因为y ＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝－x 在(－∞，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－ln x 在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；对于B ，因为y ＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y ＝1x在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝12x 在(0，＋∞)上单调递减，故B 错误；对于C ，因为y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－1x 在(0，＋∞)上单调递增，故C 正确；对于D ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝＝＝3，f(1)＝3|1－1|＝30＝1，f(2)＝3|2－1|＝3，明显f(x)＝3|x －1|在(0，＋∞)上不单调，D 错误．故选C . 答案：C2．解析：因为－f(－x)＝－2－x －12－x ＋1＝2x －12x ＋1＝f(x)，所以函数f(x)＝2x －12x ＋1为奇函数；因为f(x)＝2x－12x ＋1＝1－22x ＋1，又2x>0，0<22x ＋1<2，所以－1<1－22x ＋1<1，故A 正确；因为f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，故f(x)＝－x 2＋x 是非奇非偶函数，故B 错误；函数f(x)＝|sin x|满意f(－x)＝f(x) 为偶函数，故C 错误；因为f(1)＝113＋1－13＝2>1，故D 错误．故选A .答案：A3．解析：方法一设g(x)＝ln 2x －12x ＋1，易知g(x)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，且g(－x)＝ln －2x －1－2x ＋1＝ln 2x ＋12x －1＝－ln 2x －12x ＋1＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f(x)＝(x ＋a)ln 2x －12x ＋1为偶函数，则y ＝x ＋a 也应为奇函数，所以a ＝0，故选B .方法二因为f(x)＝(x ＋a)ln 2x －12x ＋1为偶函数，f(－1)＝(a －1)ln 3，f(1)＝(a ＋1)ln13＝－(a ＋1)ln 3，所以(a －1)ln 3＝－(a ＋1)ln 3，解得a ＝0，故选B .答案：B 4．解析：方法一由题图可知函数f(x)的图象关于y 轴对称，所以函数f(x)是偶函数．对于A ，f(x)＝5（e x －e －x ）x 2＋2，定义域为R ，f (－x )＝5（e －x －e x）x 2＋2＝－f (x )，所以函数f (x )＝5（e x －e －x）x 2＋2是奇函数，所以解除A ；对于B ，f (x )＝5sin x x 2＋1，定义域为R ，f (－x )＝5sin （－x ）x 2＋1＝－5sin x x 2＋1＝－f (x )，所以函数f (x )＝5sin xx 2＋1是奇函数，所以解除B ；对于C ，f (x )＝5（e x ＋e －x ）x 2＋2，定义域为R ，f (－x )＝5（e －x ＋e x）x 2＋2＝f (x )，所以函数f (x )＝5（e x ＋e －x）x 2＋2是偶函数，又x 2＋2＞0，e x ＋e －x＞0，所以f (x )＞0恒成立，不符合题意，所以解除C ；分析知，选项D 符合题意，故选D.方法二由题图可知函数f (x )的图象关于y 轴对称，所以函数f (x )是偶函数．因为y＝x 2＋2是偶函数，y ＝e x －e －x是奇函数，所以f (x )＝5（e x －e －x）x 2＋2是奇函数，故解除A ；因为y ＝x 2＋1是偶函数，y ＝sin x 是奇函数，所以f (x )＝5sin x x 2＋1是奇函数，故解除B ；因为x2＋2＞0，e x ＋e －x＞0，所以f (x )＝5（e x ＋e －x）x 2＋2＞0恒成立，不符合题意，故解除C.分析知，选项D 符合题意，故选D.答案：D5．解析：因为f (x ＋1)＋f (x )＝0，所以f (x ＋1)＝－f (x )，所以f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝－f (x ＋1)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为2.因为log 0.58＝－log 28＝－log 223＝－3，所以f (log 0.58)＝f (－3)＝f (－3＋2＋2)＝f (1)＝－f (0)＝－21－0＝－2.故选A. 答案：A6．解析：a ＝log 52<log 55＝12＝log 822<log 83＝b ，即a <c <b .故选C.答案：C7．解析：因为函数f (x ＋2)为偶函数，则f (2＋x )＝f (2－x )，可得f (x ＋3)＝f (1－x )，因为函数f (2x ＋1)为奇函数，则f (1－2x )＝－f (2x ＋1)，所以f (1－x )＝－f (x ＋1)，所以f (x ＋3)＝－f (x ＋1)＝f (x －1)，即f (x )＝f (x ＋4)，故函数f (x )是以4为周期的周期函数，因为函数F (x )＝f (2x ＋1)为奇函数，则F (0)＝f (1)＝0，故f (－1)＝－f (1)＝0，其它三个选项未知．故选B. 答案：B8．解析：令y ＝1，得f (x ＋1)＋f (x －1)＝f (x )f (1)＝f (x )，即f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1).故f (x ＋2)＝f (x ＋1)－f (x ) ①，f (x ＋3)＝f (x ＋2)－f (x ＋1) ②.①＋②，得f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x )的周期为6.令x ＝1，y ＝0，得f (1)＋f (1)＝f (1)f (0)，所以f (0)＝2，所以f (2)＝f (1)－f (0)＝1－2＝－1，f (3)＝f (2)－f (1)＝－1－1＝－2，f (4)＝f (3)－f (2)＝－2－(－1)＝－1，f (5)＝f (4)－f (3)＝－1－(－2)＝1，f (6)＝f (5)－f (4)＝1－(－1)＝2.所以 k ＝122f (k )＝3[f (1)＋f (2)＋…＋f (6)]＋f (19)＋f (20)＋f (21)＋f (22)＝3×0＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1＋(－1)＋(－2)＋(－1)＝－3.故选A.答案：A9．解析：因为AC →＝AB →＋BC →＝(x ，－x )，所以f (x )＝AB →·AC →＝ax 2＋x . 当a ＝0时，f (x )＝x ，A 正确；当a >0时，f (x )的零点为0和－1a ，且－1a <0，B 正确，C 错误；当a <0时，f (x )的零点为0和－1a，且－1a>0，D 正确．故选ABD. 答案：ABD10．解析：设2a ＝3b ＝6c＝t ，则a ＝log 2t ＝1log t 2，1a ＝log t 2，b ＝log 3t ＝1log t 3，1b＝log t 3，c ＝log 6t ＝1log t 6，1c ＝log t 6，所以1a ＋1b ＝1c ，(a ＋b )(1a ＋1b)＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·a b ＝4，因为a ≠b ，所以b a ≠ab，则等号不成立，所以(a ＋b )(1a ＋1b )>4，则a ＋b >41a ＋1b＝4c ，因为(a ＋b )＝ab (1a ＋1b )>4c ，所以ab >4c 1a ＋1b＝4c 2，故选BCD.答案：BCD11．解析：因为L p ＝20×lg p p 0随着p 的增大而增大，且Lp 1∈[60，90]，Lp 2∈[50，60]，所以Lp 1≥Lp 2，所以p 1≥p 2，故A 正确；由L p ＝20×lg p p 0，得p ＝，因为Lp 3＝40，所以p 3＝p 0104020＝100p 0，故C 正确；假设p 2>10p 3，则p 010Lp 220>10p 010Lp 320，所以10－>10，所以Lp 2－Lp 3>20，不行能成立，故B 不正确；因为100p 2p 1＝100p 010Lp 220p 010Lp 120＝10－＋2≥1，所以p 1≤100p 2，故D 正确．综上，选ACD.答案：ACD12．解析：由题可知a ＝lg2，b ＝12lg5＝lg 5，又5>2，所以a 0，b ＝lg 5>lg2，所以ab >lg 22，C 正确．故选ABC. 答案：ABC13．解析：函数f (x )＝4x＋log 2x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝412＋log 212＝2－1＝1.答案：114．解析：方法一因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即(－x －1)2－ax ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π2＝(x －1)2＋ax ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，得a ＝2.方法二因为f (x )为偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－12－π2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－12＋π2a ，得a ＝2.答案：215．解析：取f (x )＝x 4，则f (x 1x 2)＝(x 1x 2)4＝x 41 x 42 ＝f (x 1)f (x 2)，满意①， f ′(x )＝4x 3，x >0时有f ′(x )>0，满意②，f ′(x )＝4x 3的定义域为R ，又f ′(－x )＝－4x 3＝－f ′(x )，故f ′(x )是奇函数，满意③.答案：f(x)＝x4(答案不唯一，f(x)＝x2n(n∈N*)均满意)16．解析：函数f(x)的定义域为(－∞，0]∪[2，＋∞).由复合函数的单调性可知，f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增．而f(0)＝4，f(2)＝1.所以函数f(x)的最小值为1.答案：1。

2025版新教材高考数学复习特训卷单元过关检测二函数与基本初等函数

单元过关检测二函数与基本初等函数一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列函数中，是奇函数且在区间(0，＋∞)上为减函数的是( ) A ．y ＝x －1B ．y ＝x 3C ．y ＝3－xD ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x2．[2024·黑龙江哈师大附中期末]已知a ＝，b ＝，c ＝，则( )A ．b <a <cB ．a 1，则f (f (0))＝( ) A ．3 B ．－3 C ．－2 D ．24．不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫13x >13成立是不等式x 2<1成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．[2024·福建宁德模拟]函数f (x )＝x －log 2(4x＋1)的部分图象大致为( )6．若a 、b 、c 都是正数，且4a＝6b＝9c，那么( ) A ．ac ＋bc ＝2ab B ．ab ＋bc ＝ac C ．2c ＝2a ＋1b D ．1c ＝2b －1a7．菜农采摘蔬菜，采摘下来的蔬菜会渐渐失去簇新度．已知某种蔬菜失去的簇新度h与其采摘后时间t (小时)满意的函数关系式为h ＝m ·a t.若采摘后20小时，这种蔬菜失去的簇新度为20%，采摘后30小时，这种蔬菜失去的簇新度为40%.那么采摘下来的这种蔬菜在多长时间后失去50%簇新度(参考数据lg 2≈0.3，结果取整数)( )A ．23小时B ．33小时C ．50小时D ．56小时8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x －6|，x ≥03x ＋6，x <0，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满意f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是( )A ．[4，6]B ．(4，6)C ．[－1，3]D ．(－1，3)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．下列函数中，与函数y ＝x ＋2不是同一个函数的是( ) A ．y ＝(x ＋2)2B ．y ＝3x 3＋2C ．y ＝x 2x＋2 D ．y ＝x 2＋210．[2024·河北秦皇岛模拟]已知函数f (x )＝lg (x 2＋100－x )，g (x )＝21＋2x ，F (x )＝f (x )＋g (x )，则( )A ．f (x )的图象关于(0，1)对称B ．g (x )的图象没有对称中心C ．对随意的x ∈[－a ，a ](a >0)，F (x )的最大值与最小值之和为4D ．若F （x －3）＋x －3x －1<1，则实数x 的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)11．符号[x ]表示不超过x 的最大整数，若定义函数f (x )＝x －[x ]，x ∈R ，则下列说法正确的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 B ．函数f (x )在定义域上不具有单调性 C ．函数f (x )的值域为[0，1] D ．方程f (x )＝12 022存在多数个实数根 12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，x ≤0－|log 3x |，x >0，若g (x )＝f (f (x ))＋1，则下说法正确的是( )A ．当a >0时，g (x )有4个零点B ．当a >0时，g (x )有5个零点C ．当a <0时，g (x )有1个零点D ．当a <0时，g (x )有2个零点 [答题区] 题号 1 2 3 4 5 6 答案题号 7 8 9 10 11 12 答案三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．已知f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝ln (ax )，若f (e)＝1，则a ＝________． 14．若函数y ＝a x(a >0，a ≠1)在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则实数a 的值为________．15．[2024·新高考Ⅱ卷]写出一个同时具有下列性质①②③的函数f (x )：________． ①f (x 1x 2)＝f (x 1)f (x 2)；②当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0；③f ′(x )是奇函数．16．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤23＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)，当a ＝2时，f (4)＝________；若该函数的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知函数f (x )＝a 2x－a x＋2a (a >0且a ≠1)的图象经过点A (1，6). (1)求f (x )的解析式； (2)求f (x )的最小值．18．(12分)计算：(1)(4＋23)12－4×8－23－27×－32＋3a ·a －1÷3a －1·3a 2；(2)log 23·log 34＋(lg 5)2＋lg 5·lg 20＋12lg 16－19．(12分)已知函数f (x )＝ln x －m .(1)若函数g (x )＝f (x )＋e x 在区间(1e ，1)内存在零点，求实数m 的取值范围；(2)若关于x 的方程f (e x＋1)＝x2有实数根，求实数m 的取值范围．20．(12分)今年某城市一家图书生产企业安排出版一套数学新教辅书，通过市场分析，全年需投入固定成本30万元，印刷x (0<x ≤100)(万本)，需另投入成本C (x )万元，且C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧30x －x 22，0<x ≤5，61x ＋100x －3752，5<x ≤100，由市场调研知，每本书售价为60元，且全年内印刷的书当年能全部销售完．(1)求出今年的利润L (x )(万元)关于年产量x (万本)的函数关系式； (2)今年年产量为多少本时，企业所获利润最大？求出最大利润．21．(12分)[2024·河南郑州模拟]已知f(x)＝log2(1－a·2x＋4x)，其中a为常数．(1)当f(1)－f(0)＝2时，求a的值；(2)当x∈[1，＋∞)时，关于x的不等式f(x)≥x－1恒成立，试求a的取值范围．22．(12分)已知定义在R上的函数f(x)＝2x4x＋a是偶函数．(1)求a的值；(2)推断函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性并证明；(3)解不等式：f(－x2＋4x－7)<f(x2－x＋1).单元过关检测二函数与基本初等函数1．答案：A解析：对于A ：由幂函数的性质可知y ＝x －1是奇函数且在（0，＋∞）上为减函数，故A 正确；对于B ：由幂函数的性质可知y ＝x 3是奇函数且在（0，＋∞）上为增函数，故B 错误；对于C ：易知y ＝3－x 是非奇非偶函数，故C 错误；对于D ：易知y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是非奇非偶函数，故D 错误．2．答案：A解析：因为a ＝243＝1613，b ＝425＝1615，c ＝2513，且幂函数y ＝x 13在R 上单调递增，因为25>16，所以2513>1613，即a <c ，指数函数y ＝16x在R 上单调递增，因为13>15，所以1615<1613，所以b <a ，综上，b <a <c .故选A.3．答案：A解析：f （f （0））＝f （3）＝log 28＝3.故选A. 4．答案：B解析：解不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫13x >13，得x <1，解不等式x 2<1，得－1<x <1，又（－1，1）⊆（－∞，1），所以不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫13x >13成立是不等式x 2<1成立的必要不充分条件．故选B.5．答案：A解析：f （0）＝0－log 2（40＋1）＝－1<0，解除C 选项.4x＋1>0，f （x ）的定义域为R ，f （－x ）＝－x －log 2（4－x＋1）＝－x －log 24x＋14x ＝－x －[log 2（4x ＋1）－log 24x ]＝－x ＋2x －log 2（4x ＋1）＝x －log 2（4x＋1）＝f （x ），所以f （x ）是偶函数，解除D 选项．f （1）＝1－log 2（41＋1）＝1－log 25<1－log 24＝－1＝f （0），所以B 选项错误，故A 选项正确．故选A.6．答案：D解析：由于a ，b ，c 都是正数，故可设4a＝6b＝9c＝M ，∴a ＝log 4M ，b ＝log 6M ，c ＝log 9M ，则1a ＝log M 4，1b ＝log M 6，1c ＝log M 9.∵log M 4＋log M 9＝2log M 6，∴1a ＋1c ＝2b ，即1c ＝2b －1a .故选D.∵1a＋1c ＝2b，即bc ＋ab ＝2ac ，故A 、B 错误．7．答案：B解析：由题意，采摘后20小时，这种蔬菜失去的簇新度为20%，采摘后30小时，这种蔬菜失去的簇新度为40%，可得⎩⎪⎨⎪⎧h （20）＝ma 20＝0.2h （30）＝ma 30＝0.4，解得a ＝2110，m ＝0.05，所以h （t ）＝0.05×⎝ ⎛⎭⎪⎫2110t，令h （t ）＝0.05×⎝ ⎛⎭⎪⎫2110t＝0.5，可得2t10＝10，两边同时去对数，故t ＝10·lg 10lg 2＝100.3≈33小时．8．答案：B解析：因为f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x －6|，x ≥03x ＋6，x <0，即f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6，x <06－2x ，0≤x ≤32x －6，x >3，设f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝t ，x 1<x 2<x 3，作出函数f （x ）的图象如图所示：由图象可知，点（x 2，f （x 2））、（x 3，f （x 3））关于直线x ＝3对称，则x 2＋x 3＝6，由图可知，x 1∈（－2，0），因此，x 1＋x 2＋x 3＝x 1＋6∈（4，6）. 9．答案：ACD解析：y ＝x ＋2的定义域为R .对于A ，y ＝（x ＋2）2的定义域为[－2，＋∞），与y ＝x ＋2的定义域不同，不是同一函数；对于B ，y ＝3x 3＋2＝x ＋2定义域为R ，与y ＝x ＋2定义域相同，对应关系相同，是同一函数；对于C ，y ＝x 2x＋2的定义域为{x |x ≠0}，与y ＝x＋2定义域不同，不是同一函数；对于D ，y ＝x 2＋2＝|x |＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥0－x ＋2，x <0，与y ＝x ＋2的对应关系不同，不是同一函数．故选ACD.10．答案：ACD解析：由题意知f （x ）的定义域为R ，因为f （x ）＋f （－x ）＝lg 100＝2，所以f （x ）的图象关于（0，1）对称，故A 正确；因为g （x ）的定义域为R ，且g （x ）＋g （－x ）＝2，所以g （x ）的图象关于（0，1）对称，故B 不正确；因为F （x ）＝f （x ）＋g （x ），所以F （x ）的图象关于（0，2）对称，所以对随意的x ∈[－a ，a ]（a >0），F （x ）最大值与最小值之和为4，故C 正确；由F （x －3）＋x －3x －1<1，得F （x －3）＋x －3x －1－1＝F （x －3）－2x －1<0，又F （x ）在R 上单调递减，且F （0）＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3>0x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －3<0x －1<0，解得x >3或x <1，故D正确．故选ACD.11．答案：BD 解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12－[－12]＝－12－（－1）＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12－[12]＝12－0＝12，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，故A 错误；∵函数f （x ）的定义域为R ，又∵f （x ＋1）＝（x ＋1）－[x ＋1]＝x －[x ]＝f （x ），∴函数f （x ）＝x －[x ]是周期为1的函数，当0≤x <1时，f （x ）＝x －[x ]＝x －0＝x ，则作出其图象如图所示，故函数f （x ）在定义域上不具有单调性，故B 正确；由图得其值域为[0，1），故C 错误；令y ＝12 022，依据其为周期为1的函数，可得到两函数有多数个交点，故方程f （x ）＝12 022存在多数个实数根，故D 正确．故选BD.12．答案：AC解析：当a >0时，令f （x ）＝t ，由f （t ）＋1＝0，解得t ＝13或t ＝3或t ＝－2a .作出函数f （x ）的图象，如图1所示，易得f （x ）＝t 有4个不同的实数解，即当a >0时，g （x ）有4个零点．故A 正确，B 错误；当a <0时，令f （x ）＝t ，所以f （t ）＋1＝0，解得t ＝13或t ＝3或t ＝－2a（舍）.作出函数f （x ）的图象，如图2所示，易得f （x ）＝t 有1个实数解，即当a <0时，g （x ）有1个零点．故C 正确，D 错误．故选AC.13．答案：－1e2解析：由f （x ）是奇函数，则f （－e ）＝－f （e ）＝－1，∴f （－e ）＝ln a （－e ）＝－1.则a ＝－1e 2.14．答案：2解析：由题意，函数y ＝a x（a >0，a ≠1）在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为3， ①当a >1时，函数y ＝a x 单调递增，故y max ＝a 1＝a ，y min ＝a 0＝1，故a ＋1＝3，∴a ＝2； ②当1>a >0时，函数y ＝a x 单调递减，故y max ＝a 0＝1，y min ＝a 1＝a ，故a ＋1＝3，∴a ＝2（舍去），综上：a ＝2.15．答案：f （x ）＝x 4（答案不唯一，f （x ）＝x 2n（n ∈N *）均满意）解析：取f （x ）＝x 4，则f （x 1x 2）＝（x 1x 2）4＝x 41 x 42 ＝f （x 1）f （x 2），满意①，f ′（x ）＝4x 3，x >0时有f ′（x ）>0，满意②， f ′（x ）＝4x 3的定义域为R ，又f ′（－x ）＝－4x 3＝－f ′（x ），故f ′（x ）是奇函数，满意③. 16．答案：5 （1，2]解析：当a ＝2时，f （4）＝3＋log 24＝3＋2＝5；若函数的值域是[4，＋∞），故当x ≤2时，满意f （x ）＝6－x ≥4，当x >2时，由f （x ）＝3＋log a x ≥4，所以log a x ≥1，若0<a <1，当x >2时，log a x <0不成立；若a >1，函数y ＝log a x 为增函数，所以log a 2≥1⇔log a 2≥log a a ⇒1<a ≤2，所以实数a 的取值范围是1<a ≤2.17．解析：（1）将A （1，6）代入f （x ）得：a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3（舍），故f （x ）＝22x－2x＋4.（2）易知f （x ）＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －122＋154≥154，当x ＝－1时取等号，故f （x ）的最小值为154.19．解析：（1）因为函数f （x ）＝ln x －m 与y ＝e x 在（1e ，1）都是增函数，所以函数g （x ）＝f （x ）＋e x ＝ln x ＋e x －m 在（1e，1）也是增函数，因为函数g （x ）在区间（1e，1）内存在零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧ln 1e ＋1－m <0，ln 1＋e －m >0，解得0<m <e.所以实数m 的取值范围为（0，e ）.（2）关于x 的方程f （e x＋1）＝x2有实数根等价于关于x 的方程2m ＝2ln （e x＋1）－x有实数根，所以存在实数x 使2m ＝ln （e x＋1）2－ln e x＝ln （e x ＋1）2e x＝ln （e x＋1ex ＋2）成立．因为e x＋1ex ≥2e x ·1e x ＝2（当且仅当e x＝1ex ，x ＝0时取等号），所以ln （e x＋1ex ＋2）≥ln （2＋2e x·1ex ）＝2ln 2，所以实数m 的取值范围是[ln 2，＋∞）.20．解析：（1）当0<x ≤5时，L （x ）＝60x －（30x －x 22）－30＝x 22＋30x －30；当5<x ≤100时，L （x ）＝60x －61x －100x ＋3752－30＝3152－（x ＋100x），综上所述，L （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋30x －30，0<x ≤5，3152－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，5<x ≤100.（2）当0<x ≤5时，L （x ）max ＝L （5）＝2652；当5<x ≤100时，L （x ）＝3152－（x ＋100x），L （x ）在（5，10）上单调递增，在（10，＋∞）上单调递减；此时L （x ）max ＝L （10）＝2752，所以当x ＝10，即今年年产量为10万本时，该企业所获利润最大，且最大利润为2752万元．21．解析：（1）f （1）－f （0）＝2得log 2（1－2a ＋4）－log 2（1－a ＋1）＝log 24⇒log 2（5－2a ）＝log 24（2－a ）⇒5－2a ＝8－4a ⇒a ＝32.11（2）log 2（1－a ·2x ＋4x ）≥x －1＝log 22x －1⇒1－a ·2x ＋4x ≥2x －1⇒a ≤2x ＋12x －12，令t ＝2x ，∵x ∈[1，＋∞），∴t ∈[2，＋∞），设h （t ）＝t ＋1t －12，则a ≤h （t ）min ，∵h （t ）在[2，＋∞）上为增函数⇒t ＝2时，h （t ）＝t ＋1t －12有最小值为2，∴a ≤2. 22．解析：（1）依题意，函数f （x ）＝12x ＋a ·2－x ，因f （x ）是R 上的偶函数，即∀x ∈R ，f （－x ）＝f （x ），因此，∀x ∈R ，2x ＋a ·2－x ＝2－x ＋a ·2x ⇔（2x －2－x ）a ＝2x －2－x，而当x ≠0时，2x －2－x ≠0，于是得a ＝1，所以a 的值是1.（3）依题意，f （－x 2＋4x －7）<f （x 2－x ＋1）⇔f （x 2－4x ＋7）<f （x 2－x ＋1），而x 2－4x ＋7＝（x －2）2＋3>0，x 2－x ＋1＝（x －12）2＋34>0，由（2）知，x 2－4x ＋7>x 2－x ＋1，解得x <2，所以原不等式的解集是（－∞，2）.。

2022年二轮复习高考数学函数的图像专题卷

2022年二轮复习高考数学函数的图像专题卷一、单选题(共28题；共56分)1．（2分）函数y＝xcos x＋sin x的图象大致为()．A．B．C．D．2．（2分）函数f(x)=ln(√x2+1−x)e|x|的图象大致为（）A．B．C．D．3．（2分）函数f(x)=2ln|x|2x+2−x的大致图象为（）A．B．C．D．4．（2分）函数f(x)=3x−13x+1cosx(−6≤x≤6)的图象大致为（）A．B．C．D．5．（2分）函数f(x)=ln(2x+2−x)x的图象大致为（）A．B．C．D．6．（2分）函数f(x)=(x−1x)cos3x的部分图象可能为（）A．B．C．D．7．（2分）函数f(x)=(x2−2x)e x的图象大致是（）A．B．C．D．8．（2分）函数f(x)=x(2x−1)2(2x+1)的图象大致为（）A．B．C．D．9．（2分）函数y=sin(cos(x))的部分图象大致为（）A．B．C．D．10．（2分）已知函数f(x)=|x|2x+12x，则函数y=f(x)的大致图象为（）A．B．C．D．11．（2分）函数f(x)=(e x+e−x)sinx的图象可能是（）A．B．C．D．12．（2分）已知a>0，函数f(x)=sinax，g(x)=a|x|，则图象为上图的函数可能是（）A．f(x)+g(x)B．f(x)−g(x)C．f(x)⋅g(x)D．f(x)g(x)+213．（2分）函数f(x)=x2−|x+a|+a2，(a>1)的图象可能是（）A．B．C．D．14．（2分）在同一直角坐标系中，函数y=a x，y=−log a(x+12)，（a>0，且a≠1）的图像可能是（）A．B．C．D．15．（2分）函数f（x）=ax+1x2+1的大致图象不可能是（）A．B．C．D．16．（2分）函数f(x)=(x−a)2x−b(a<b)的图像可能是（）A．B．C．D．17．（2分）函数f(x)=−log a(x−b)及g(x)=bx+a，则y=f(x)及y=g(x)的图象可能为（）A．B．C．D．18．（2分）已知函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上是奇函数，且是增函数，则函数g（x）=log a（x ﹣k）的大致图象是（）A．B．C．D．19．（2分）函数f(x)=e ax3+bx2+c(a，b，c∈R)的大致图象如图所示，则a，b，c大小顺序为（）A．b<a<c B．b<c<a C．a<b<c D．a<c<b20．（2分）若函数f(x)=(e mx−n)2的大致图象如图所示，则（）A．m>0，0<n<1B．m>0，n>1C．m<0，0<n<1D．m<0，n>121．（2分）已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图像如图所示，则下列判断正确的个数是（）（1）a+c>b+d，（2）ac>bd，（3）3a>2b，（4）9a2+c2>4b2A．1个B．2个C．3个D．4个22．（2分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（√2，﹣√2），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．23．（2分）如图，在正方形ABCD中，AB=2点M从点A出发，沿A→B→C→D→A向，以每2个单位的速度在正方形ABCD的边上运动；点N从点B出发，沿B→C→D→A方向，以每秒1个单位的速度在正方形ABCD的边上运动.点M与点N同时出发，运动时间为t(单位：秒)，△AMN的面积为f(t)(规定A，M，N共线时其面积为零，则点M第一次到达点A时，y=f(t)的图象为（）A．B．C．D．24．（2分）如图，圆C：x2+（y﹣1）2=1与y轴的上交点为A，动点P从A点出发沿圆C按逆时针方向运动，设旋转的角度∠ACP=x（0≤x≤2π），向量OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在a⃗=（0，1）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．25．（2分）在边长为1的正方体中，E，F，G，H分别为A1B1，C1D1，AB，CD的中点，点P从G出发，沿折线GBCH匀速运动，点Q从H出发，沿折线HDAG匀速运动，且点P与点Q运动的速度相等，记E，F，P，Q四点为顶点的三棱锥的体积为V，点P运动的路程为x，在0≤x≤2时，V与x的图象应为（）A．B．C．D．26．（2分）如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量OP→在a→=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．27．（2分）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧FĜ的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．28．（2分）如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别为O，O1，O2．动点P从A点出发沿着圆弧按A→O→B→C→A→D→B的路线运动（其中A，O1，O，O2，B五点共线），记点P运动的路程为x，设y=|O1P|2，y与x的函数关系为y=f（x），则y=f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】由于函数y=xcosx+sinx为奇函数，故它的图象关于原点对称，所以排除B，由当x=π2时，y=1>0，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=−π<0.由此可排除A和C，故正确的选项为D.故答案为：D.【分析】利用奇函数的定义证出函数为奇函数，再利用奇函数的图象关于原点对称的性质结合特殊值法及函数值与0的大小关系，再利用排除法得出函数y＝xcos x＋sin x的大致图象。

函数的旋转、两函数的对称问题与不动点问题(学生版)-2024年新高考数学二轮复习专题

函数的旋转、两函数的对称问题与不动点问题【方法技巧与总结】1.不动点与稳定点【一阶不动点】对于函数y =f (x )，定义域为I ，如果存在x 0∈I ，使得f (x 0)=x 0，则称x 0是函数f (x )的一阶不动点，简称不动点．①不动点是方程x =f (x )的解②不动点是y =x 与y =f (x )图像交点的横坐标【二阶周期点】对于函数y =f (x )，定义域为I ，如果存在x 0∈I ，使得f (f (x 0))=x 0且f (x 0)≠x 0，则称x 0为函数f (x )的二阶周期点①二阶周期点是方程组y =f (x )x =f (y )x ≠y的解②二阶周期点是y =f (x )图像上关于y =x 对称(不在y =x 上)的两点的横坐标【二阶不动点】对于函数y =f (x )，定义域为I ，如果存在x 0∈I ，使得f (f (x 0))=x 0则称x 0为函数f (x )的二阶不动点，简称稳定点①稳定点是不动点和二阶周期点的并集②稳定点是y =f (x )图像上关于y =x 对称的两点的横坐标以及y =f (x )与y =x 的交点的横坐标2.两函数的对称问题转化为函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)问题，常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解【典型例题】1(2024·山东青岛·高三统考开学考试)将函数y =13-x 2-2(x ∈[-3,3])的图象绕点(-3,0)逆时针旋转α(0≤α≤θ)，得到曲线C ，对于每一个旋转角α，曲线C 都是一个函数的图象，则θ最大时的正切值为()A.32B.23C.1D.32(2024·山东潍坊·高三统考阶段练习)已知函数f x =ln x +1 x ≥0 ，将函数f x 的图象绕原点逆时针旋转αα∈0,θ 角后得到曲线C ，若曲线C 仍是某个函数的图象，则θ的最大值为()A.π6B.π4C.π3D.π23(2024·江西·校联考模拟预测)已知函数f (x )=ax -e x 与函数g (x )=x ln x +1的图像上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围为()A.(e -1,+∞)B.e -12,+∞C.e -12,+∞ D.(-∞,e -1)4(2024·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考期末)已知函数f x =ax -x ln x 与函数g x =e x -1的图像上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围为()A.-∞,1-eB.-∞,1-e 2C.-∞,1-eD.-∞,1-e 25(2024·全国·高三专题练习)对于连续函数f x ，若f x0=x0，则称x0为f x 的不动点．设f x =xa x+2 ，若f x 有唯一不动点，且f x0=11012，x n=f x n-1n=1,2,⋯，则x2023=．6(2024·北京海淀·清华附中校考模拟预测)对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f x0=x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称x0为该函数的一个不动点，现新定义：若x0满足f x0= -x0，则称x0为f x0的次不动点，有下面四个结论①定义在R上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点②定义在R上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点③当1≤a≤32时，函数f(x)=log24x-a⋅2x+1在[0,1]上仅有一个不动点和一个次不动点．④不存在正整数m，使得函数f(x)=e x-12x-m在区间[0,1]上存在不动点，其中，正确结论的序号为．7(2024·广东揭阳·高三校考阶段练习)拓扑空间中满足一定条件的图象连续的函数f(x)，如果存在点x0，使得f x0=x0，那么我们称函数f(x)为“不动点”函数，而称x0为该函数的不动点．类比给出新定义：若不动点x0满足f x0=x0，则称x0为f(x)的双重不动点．则下列函数中，①f(x)=x3-x sin x；②f(x)=e x-1x；③f(x)=e x+e-x2-1具有双重不动点的函数为．(将你认为正确的函数的代号填在横线上)【过关测试】一、单选题1.(2024·安徽池州·高三统考期末)设D是含数1的有限实数集，f(x)是定义在D上的函数，若f(x)的图象绕原点逆时针旋转π3后与原图象重合，则在以下各项中f(1)的取值只可能是A.3B.1C.33D.02.(2024·贵州贵阳·高一贵阳一中校考阶段练习)设D是含数3的有限实数集，f x 是定义在D上的函数，若f x 的图象绕原点逆时针旋转45°后与原图象重合，则在以下各项中，f3 的可能取值只能是()A.3B.3C.-3D.03.(2024·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试)2021年第十届中国花卉博览会举办在即，其中，以“蝶恋花”为造型的世纪馆引人瞩目(如图①)，而美妙的蝴蝶轮廓不仅带来生活中的赏心悦目，也展示了极致的数学美学世界.数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：如图②，平面上有两定点O ､A ，两动点B ､Q ，且|OA |=|OB |=1,OA 绕点O 逆时针旋转到OB所形成的角记为θ，设函数f θ =4⋅sign θ ⋅cos θ-sin5θ-π≤θ≤π ，其中sign x =1x >00x =0,-1x <0令ρ=f θ ，作OQ =ρOB ，随着θ的变化，就得到了点Q 的轨迹，其形似“蝴蝶”，则以下4幅图中，点Q 的轨迹(考虑蝴蝶的朝向)最有可能为()A.B.C.D.4.(2024·陕西榆林·高三校考阶段练习)已知函数f x =x 2-m 与函数g (x )=ln 1x-x ,x ∈12,2的图像上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是()A.0,2-ln2B.0,-14+ln2 C.-14+ln2,2-ln2 D.-14+ln2,ln2 5.(2024·贵州六盘水·高三校考期末)已知函数f (x )=-x 3+ax ∈1e ,e(e 是自然对数的底数)与g (x )=3ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是()A.0,1e 3+2B.0,e 3-4C.1,e 3-3D.e 3-4,+∞ ,6.(2024·贵州贵阳·高三贵阳一中阶段练习)若函数y =x 3-x 2-1-a ，((x ∈1e ,e，e 为自然对数的底数)与y =x 2-3ln x 的图象上存在两组关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是A.0,1e3+2B.0,e 3-4C.1e3+2,e 3-4D.1e 3+2,+∞7.(2024·湖北·校联考二模)已知函数f (x )=a -x 2(1e≤x ≤e ,e 为自然对数的底数)与g (x )=2ln x 的图象上存在两组关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是()A.1,e 2-2B.1,1e2+2C.1e2+2,e 2-2D.1e 2+2,e 2-28.(2024·全国·高三专题练习)函数y =f x 定义在R 上，已知y =f (x )的图象绕原点旋转90°后不变，则关于方程f x =x 的根，下列说法正确的是()A.没有实根B.有且仅有一个实根C.有两个实根D.有两个以上的实根9.(2024·河南·高三校联考阶段练习)已知函数f x =x 2+m 与函数g x =-ln 1x-3x x ∈12,2 的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是()A.54+ln2,2B.2-ln2,54+ln2 C.54+ln2,2+ln2D.2-ln2,210.(2024·青海海南·高三校联考期末)已知函数f x =ln -x 与函数g x =e x -e -1 x -a 的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围为()A.0,eB.1,+∞C.e ,+∞D.1e ,+∞11.(2024·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=e x -12(x <0)与g (x )=ln (x +a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是()A.-∞,1eB.0,eC.-1e,eD.-e ,1e12.(2024·湖北·高三校联考阶段练习)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f (x )，存在一个实数x 0，使得f x 0 =x 0，那么我们称该函数为“不动点”函数，x 0为函数的不动点.设函数f (x )=e x -1+e 1-x +x 2-x +a ，a ∈R .若f (x )在区间(0,3)上存在不动点，则a 的取值范围是()A.-e 2-e -2-3,-1B.-e 2-e -2,-1C.-e 2-e -2-7,-e -e -1D.-e 2-e -2-5,-e -e -113.(2024·山东菏泽·统考一模)定义在实数集R 上的函数y =f x ，如果∃x 0∈R ，使得f x 0 =x 0，则称x 0为函数f x 的不动点.给定函数f x =cos x ，g x =sin x ，已知函数f x ，f g x ，g f x 在0,1 上均存在唯一不动点，分别记为x 1,x 2,x 3，则()A.x 3>x 1>x 2B.x 2>x 3>x 1C.x 2>x 1>x 3D.x 3>x 2>x 114.(2024·河南开封·统考一模)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f x ，存在点x 0，使得f x 0 =x 0，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数f x =x ae x -ln x 为“不动点”函数，则实数a 的取值范围是()A.-∞,0B.-∞,1eC.-∞,1D.-∞,e15.(2024·全国·高三专题练习)对于函数f x ，若f x =x ，则称x 为f x 的“不动点”，若f f x =x ，则称x 为f x 的“稳定点”，记A =x f x =x ，B =x f f x =x ，则下列说法错误的是()A.对于函数f x =x ，有A =B 成立B.若f x 是二次函数，且A 是空集，则B 为空集C.对于函数f x =12 x，有A =B 成立D.对于函数f x =bx，存在b ∈0,+∞ ，使得A =B 成立16.(2024·全国·高三专题练习)对于函数f x ，若f x 0 =x 0，则称x 0为函数f x 的“不动点”；若f f x 0 =x 0，则称x 0为函数f x 的“稳定点”．如果函数f x =x 2+a a ∈R 的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数a 的取值范围是()A.-∞，14B.-34，+∞ C.-34，14D.-34，1417.(2024·全国·高三专题练习)若存在一个实数t ，使得F t =t 成立，则称t 为函数F x 的一个不动点.设函数g x =e x +1-e x -a (a ∈R ,e 为自然对数的底数)，定义在R 上的连续函数f x 满足f -x +f x=x 2，且当x ≤0时，f 'x <x .若存在x 0∈x f x +12≥f 1-x +x ，且x 0为函数g x 的一个不动点，则实数a 的取值范围为()A.-∞,e2B.e 2,+∞ C.e2,eD.e2,+∞二、多选题18.(2024·安徽六安·高三六安一中校考期末)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f (x )，存在一个点x 0，使得f x 0 =x 0，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称x 0为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是()A.函数f (x )=sin x 有3个不动点B.函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)至多有两个不动点C.若函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)没有不动点，则方程f(f(x))=x无实根D.设函数f(x)=e x+x-a(a∈R，e为自然对数的底数)，若曲线y=sin x上存在点(x0,y0)使f(f(y0))=y0成立，则a的取值范围是1,e19.(2024·全国·高三专题练习)将函数h x =e x x≥0的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θθ∈0,π，得到曲线C，若曲线C仍然是一个函数的图像，则θ的可能取值为()A.π4B.π2C.3π4D.π20.(2024·新疆克孜勒苏·高三统考期末)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数f x ，存在一个点x0，使得f x0=x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是()A.f x =x2-x-3B.f x =2x+xC.f x =x12+2D.f x =log2x-121.(2024·广东珠海·高三校考期末)布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家布鲁伊·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f x ，存在一个定点x0，使得f x0=x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称x0为该函数的不动点，则下列说法中正确的有()A.函数f x =ln x+1是“不动点”函数 B.函数f x =x2-x-3的不动点为-1和3C.函数f x =e x+x的导函数是“不动点”函数D.函数f x =e x+x的导函数不是“不动点”函数22.(2024·全国·高三专题练习)(多选)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数f x ，存在一个点x0，使得f x0=x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是()A.f x =2x+xB.f x =x2-x-3C.f x =1x2+1 D.f x =log2x-1三、填空题23.(2024·全国·高三专题练习)设函数y=12x-1+12x-2+1．(1)该函数的最小值为；(2)将该函数的图象绕原点顺时针方向旋转角θ0≤θ≤π2得到曲线C．若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图象，则θ的取值范围是．24.(2024·浙江温州·统考一模)将函数y=12x-1+12x-2+1的图像绕原点顺时针方向旋转角θ0≤θ≤π2得到曲线C.若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图像，则θ的取值范围是.25.(2024·四川攀枝花·高一统考期末)已知函数f(x)=e x-2(x<0)与g(x)=ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是．26.(2024·全国·高三专题练习)曲线y=ln x绕坐标原点逆时针旋转90°后得到的曲线的方程为．27.(2024·宁夏银川·高三校考阶段练习)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学(一个数学分支)里一个非常重要的定理，简单的讲就是对于满足一定条件的图象为连续不断的函数f x ，存在一个点x0，使得f x0= x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的有(填写序号)①f x =x+1②f x =1x-x,x>0③f x =x2-x+3④f x =log12x。

2020—2021年新高考总复习数学(理)二轮复习精选《函数及表示1》试题及答案解析.docx

高三数学复习精选练习（理数，含解析）函数及表示（1）1、定义一：对于一个函数()()f x x D ∈，若存在两条距离为d 的直线1m kx y +=和2m kx y +=，使得在D x ∈时，21)(m kx x f m kx +≤≤+ 恒成立，则称函数)(x f 在D 内有一个宽度为d 的通道．定义二：若一个函数)(x f ，对于任意给定的正数ε，都存在一个实数0x ，使得函数)(x f 在),[0∞+x 内有一个宽度为ε的通道，则称)(x f 在正无穷处有永恒通道．下列函数①()ln f x x =，②sin ()x f x x =，③2()1f x x =-，④()x f x e -=，其中在正无穷处有永恒通道的函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据题意，结合函数图像，可知只有①没有，剩下三个都可以，所以选C ．考点：新定义．2、对于函数)(x f y =，部分y 与x 的对应关系如下表：数列}{n x 满足12x =，且对任意*n ∈N ，点),(1+n n x x 都在函数()y f x =的图象上，则1232015x x x x ++++L 的值为（）A ．10741B ．10736C ．10731D ．10726【答案】A【解析】由表知，点),(1+n n x x 都在函数()y f x =的图象上，于是有)(1n n x f x =+，因此3)2()(12===f x f x ，5)3()(23===f x f x ，8)5()(34===f x f x ，3)8()(45===f x f x ．．．,故数列}{n x 的周期为3，于是107413166712=+⨯+=S ，故选A ；考点：函数的值3、设m 是一个非负整数，m 的个位数记作()G m ，如(2015)5G =，(16)6G =，(0)0G =，称这样的函数为尾数函数．给出下列有关尾数函数的结论：①()()()G a b G a G b -=-；②,,a b c ∀∈N ，若10a b c -=，都有()()G a G b =；③()(()()())G a b c G G a G b G c ⋅⋅=⋅⋅；④2015(3)9G =．则正确的结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①取21,19a b ==，则()(2)2,()()198G a b G G a G b -==-=-=-，二者不相等，故错.②,,a b c ∀∈N ，若10a b c -=，则,a b 的个位数字相同，所以()()G a G b =；正确.③设10(),10(),10()a x G a b y G b c z G c =+=+=+，显然abc 的个位数字就是()()()G a G b G c 的个位数字，所以()(()()())G a b c G G a G b G c ⋅⋅=⋅⋅；正确. ④44381,(3)n =∴的个位数字都为 1. 2015201232012333327=⨯=⨯，所以个位数字为7，即2015(3)7G =，故错．考点：1、新定义；2、整数的性质.4、已知集合{}(,)()M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“Ω集合”，给出下列4个集合： ①{}||(,)x M x y y e == ②{}(,)|cos |M x y y x == ③1(,)x M x y y x +⎧⎫==⎨⎬⎩⎭ ④{}(,)ln(2)M x y y x ==+其中所有“Ω集合”的序号是（）A ．①③B ．①④C ．②④D ．②③④【答案】C ．【解析】根据题意分析可知，问题等价于在函数图象上存在两点A ，B ，使得OA OB ⊥，分别作出四个函数图象，如下图所示，从而可知：对于①，取(0,1)A ，不存在相应的点22(,)x y ，对于②，可知其满足“Ω集合”的定义，对于③：双曲线的渐近线互相垂直，从而可知其不满足“Ω集合”的定义，对于④，可知其满足“Ω集合”集合的定义，∴②④正确．．考点：函数新定义问题．5、已知函数f （x ＋1）=x ＋1，则函数f （x ）的解析式为（）A ．f （x ）=x 2B ．f （x ） =x 2＋1（x ≥1）C ．f （x ）=x 2－2x ＋2 （x ≥1）D ．f （x ）=x 2－2x （x ≥1）【答案】C 【解析】令t x 1=+，则22t 1, f t t 2t 11t 2t 2≥=-++=-+（）, 故函数f （x ）的解析式为：2f x x 2x 2x 1=-+≥（），（）.考点：求函数解析式.6、下面的图象可表示函数y=f(x)的是（）【答案】D【解析】根据函数的定义，一个自变量x 有且只有一个y 与其对应，所以A,B,C 不符合函数定义，所以答案为D.考点：1.函数的定义；2.排除法.7、下列函数中,不满足f （2x ）=2f （x ）的是（）A.f （x ）=|x|B.f （x ）=x-|x|C.f （x ）=x+1D.f （x ）=-x【答案】C【解析】A.f （2x ）=|2x|=2|x|=2f （x ）,故A 选项满足f （2x ）=2f （x ）；B.f （2x ）=2x-|2x|=2（x-|x|）=2f （x ）,所以B 选项满足f （2x ）=2f （x ）；C.f （2x ）=2x+1,而2f （x ）=2（x+1）=2x+2,所以C 选项不满足f （2x ）=2f （x ）；D.f （2x ）=-2x=2f （x ）考点：复合函数的变换8、()1-=x x f |的图象是（）．【答案】B【解析】方法一：特殊值排除法,()10f =排除A,C ；()12f -=排除D ，故答案为B.方法二：所求函数可由函数y x =的图像向右平移一个单位得到,画出图像显然选择B.考点：1.特殊值排除法；2.函数图像变换.9、下列函数中,与函数32y x =-相同的是()（A ）2y x x =-（B ）32y x =-（C ）22y x x -=（D ）2y x x =--【答案】D10、已知函数)(x f y =的图象如下图所示，则函数|)(|x f y =的图象为（）【答案】B【解析】函数|)(|x f y =的图象可以由函数)(x f y =的图象删除y 轴左侧图象，保留y 轴右侧图象并对称到y 轴左侧，故答案选B ．考点：图象的变换11、如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间变化的可能图象是（）O t hh t O h t O O t hA ．B ．C ．D.【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是圆锥，顶点朝下，底面圆的上面，随之时间的推移，注水量的增加高度在增加，所以函数是增函数，刚开始时截面面积较小，高度变化较快，随着注水量的增加，高度变化量减慢，综上可知B 正确考点：三视图及瞬时变化率12、如图，点P 在边长为的正方形ABCD 的边界上运动，设M 是CD 边的中点，当点P 沿着M C B A ,,,匀速率运动时，点P 经过的路程x 为自变量，三角形APM 的面积为y ，则函数()y f x =图像的形状大致是（）M D CP【答案】A【解析】试题分析：当点P 在AB 边上即10≤<x 时，面积x y 21=；当点P 在BC 边上运动即21<<x 时，面积x x x S S S y CMP ABP ABCM 4143)2(2121)1(12121)121(-=-⨯⨯--⨯⨯-⨯+=--=∆∆；当点P 在CM边上即5.22≤≤x 时，面积x x y 21451)5.2(21-=⨯-⨯=，因此答案选A.13、如果对任意一个三角形，只要它的三边,,a b c 都在函数()f x 的定义域内，就有(),(),()f a f b f c 也是某个三角形的三边长，则称()f x 为①是“和美型函数”.现有下列函数：①()f x =；②()sin ,(0,)g x x x π=∈；③()2x x ϕ=；④()ln ,[2,)h x x x =∈+∞.其中是“和美型函数”的函数序号为. （写出所有正确的序号）【答案】①④【解析】①不妨设0a b c a b c <≤≤+>，，+>只需证明a b c ++>成立，而此式显然成立，故①是和美型函数”；②取55,,sin sin sin 266a b c a b c πππ===⇒=+，故②不是“和美型函数”③取2,2,3222c a b a b c ===⇒=+，故③不是“和美型函数”④设2a b c ≤≤≤，此时只需证lna lnb lnc +＞，即证lnab lnc ＞，即证ab c ＞，由题知a b c +＞，而111110ab a b ab a b a b ab a b c lna lnb lnc -+=--+-=---≥⇒≥+∴+（）（）（）＞，＞成立，即()ln ,[2,)h x x x =∈+∞是“和美型函数”考点：函数的性质及其应用14、若对于定义在R 上的函数()f x ,其图象是连续不断的，且存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—伴随函数”．有下列关于 “λ—伴随函数”的结论： ①()0f x =是常数函数中唯一个“λ—伴随函数”；②()f x x =不是“λ—伴随函数”；③2()f x x =是一个“λ—伴随函数”； ④“21—伴随函数”至少有一个零点．其中不正确．．．的序号是_________（填上所有不正确．．．的结论序号）．【答案】①③【解析】①()0f x c =≠时，取1λ=-，则()()0f x f x λλ++=对任意x R ∈恒成立，()f x c =是一个“λ—伴随函数”，①错；②()f x x =时，()()0f x f x x x λλλλ++=++=不能恒成立，②正确；③2()f x x =时，222()()()(1)210f x f x x x x x λλλλλλ++=++=+++=不能恒成立，③错误；④若()f x 是“21—伴随函数”，则11()()022f x f x ++=恒成立，令14x =-，则有111()()0424f f +-=，那么1()4f 和1()4f -如果不为0，则它们的符号相反，一正一负，于是()f x 在11(,)44-上至少有一个零点，④正确．故填①③．考点：新定义．15、若函数()f x 满足：12()()3f x f x x +=，则1()()f x f x +的值域为．【答案】2x-1x【解析】函数f （x ）满足：2f(x)+f(1x )=3x ，1x 替换表达式中的x ，得到：2f(1x)+f(x)=3x，两个方程消去f（1x），可得f（x）=2x-1x．故答案为：2x-1x．16、已知(1)22f x x x-=-+，则()f x=．【答案】21(1)x x+≥-【解析】1)1(22)1(2+-=+-=-xxxxf，且11-≥-x；所以1,1)(2-≥+=xxxf．考点：函数的解析式．17、如图，已知底角为450角的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为22cm，当一条垂直于底边BC（垂足为F）的直线把梯形ABCD分成两部分，令|BF|？？x)0(>x，求左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出图象。