1 1.1 归纳推理 学案

§1归纳与类比1.1归纳推理1.了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理.(重点)2.了解归纳推理在数学发展中的作用.(难点)[基础·初探]教材整理归纳推理阅读教材P3～P5，完成下列问题.1.归纳推理的定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理.2.归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理.利用归纳推理得出的结论不一定是正确的.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理.()(2)由个别到一般的推理称为归纳推理.()(3)由归纳推理所得到的结论一定是正确的.()【答案】(1)√(2)√(3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，……，则a10＋b10＝()【导学号：94210000】A.28B.76C.123D.199(2)已知f(x)＝x1－x，设f1(x)＝f(x)，f n(x)＝f n－1(f n－1(x))(n>1，且n∈N＋)，则f3(x)的表达式为_________________________________________，猜想f n(x)(n∈N＋)的表达式为________.【精彩点拨】(1)记a n＋b n＝f(n)，观察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之间的关系，再归纳得出结论.(2)写出前n项发现规律，归纳猜想结果.【自主解答】(1)记a n＋b n＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N＋，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.(2)f1(x)＝f(x)＝x1－x，f2(x)＝f1(f1(x))＝x1－x1－x1－x＝x1－2x，f3(x)＝f2(f2(x))＝x1－2x1－2·x1－2x＝x1－4x，由f1(x)，f2(x)，f3(x)的表达式，归纳f n(x)＝x1－2n－1x.【答案】(1)C(2)f3(x)＝x1－4xf n(x)＝x1－2n－1x已知等式或不等式进行归纳推理的方法：(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；(4)运用归纳推理得出一般结论.[再练一题]1.经计算发现下列不等式：2＋18<210，4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，……根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：________.【答案】当a＋b＝20时，有a＋b<210，a，b∈R＋(1)在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝－1a n＋1，则a2 017等于()A.2B.－1 2C.－2D.1(2)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图1-1-1：图1-1-1由于图中1，3，6，10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形数的特点，归纳第n个三角形数的石子个数.【精彩点拨】(1)写出数列的前n项，再利用数列的周期性解答.(2)可根据图中点的分布规律归纳出三角形数的形成规律，如1＝1，3＝1＋2，6＝1＋2＋3；也可以直接分析三角形数与n的对应关系，进而归纳出第n个三角形数.【自主解答】(1)a1＝1，a2＝－12，a3＝－2，a4＝1，…，数列{a n}是周期为3的数列，2 017＝672×3＋1，∴a2 017＝a1＝1.【答案】 D(2)法一：由1＝1，3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4，可归纳出第n个三角形数为1＋2＋3＋…＋n＝n（n＋1）2.法二观察项数与对应项的关系特点如下：.归纳：第n个三角形数的石子数应为n（n＋1）2.数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和.(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式.[再练一题]2.已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1(n＝1，2，3，…)(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想通项公式a n.【导学号：94210001】【解】(1)当n＝1时，知a1＝1，＝2a n＋1，由a n＋1得a2＝3，a3＝7，a4＝15，a5＝31.(2)由a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，).可归纳猜想出a n＝2n－1(n∈N＋[探究共研型]乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层(第一层)分别按图1-1-2所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，试求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值.图1-1-2【提示】观察图形可知，f(1)＝1，f(2)＝4，f(3)＝10，f(4)＝20.探究2上述问题中，试用n表示出f(n)的表达式.【提示】由题意可得：下一堆的个数是上一堆个数加下一堆第一层的个数，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2)＋6；f(4)＝f(3)＋10；…；f(n)＝f(n－1)＋n（n＋1）2.将以上(n－1)个式子相加可得f(n)＝f(1)＋3＋6＋10＋…＋n（n＋1）2＝12[(12＋22＋…＋n2)＋(1＋2＋3＋…＋n)]＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n（n＋1）（2n＋1）＋n（n＋1）2＝n（n＋1）（n＋2）6.有两种花色的正六边形地面砖，按如图1-1-3的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()图1-1-3A.26B.31C.32D.36【精彩点拨】解答本题可先通过观察、分析找到规律，再利用归纳得到结论.【自主解答】法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.【答案】 B归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理.解答该类问题的一般策略是：[再练一题]3.根据图1-1-4中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________.图1-1-4【解析】分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想，图形①到④中线段的条数分别为1，5，13，29，因为1＝22－3，5＝23－3，13＝24－3，29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.【答案】509[构建·体系]1.(2016·厦门高二检测)用火柴棒摆“金鱼”，如图1-1-5所示：图1-1-5按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A.6n －2B.8n －2C.6n ＋2D.8n ＋2【解析】 a 1＝8，a 2＝14，a 3＝20，猜想a n ＝6n ＋2.【答案】 C2.(2015·广东高考)若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( )A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5【解析】 n ＝2时，可以；n ＝3时，为正三角形，可以；n ＝4时，为正四面体，可以；n ＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能.【答案】 B3.(2016·福建安溪模拟)已知12＝16×1×2×3，12＋22＝16×2×3×5，12＋22＋32＝16×3×4×7，12＋22＋34＋42＝16×4×5×9，则12＋22＋…＋n 2＝________.(其中n ∈N *).【解析】 根据题意归纳出12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)，下面给出证明：(k ＋1)3－k 3＝3k 2＋3k ＋1，则23－13＝3×12＋3×1＋1，33－23＝3×22＋3×2＋1，……，(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1，累加得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋…＋n )＋n ，整理得12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)，故填16n (n ＋1)(2n＋1).【答案】16n(n＋1)(2n＋1)4.观察下列等式：1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第五个等式应为________.【导学号：94210002】【解析】由于1＝12，2＋3＋4＝9＝32，3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81.【答案】5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝815.有以下三个不等式：(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2，(62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2，(202＋102)(1022＋72)≥(20×102＋10×7)2.请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论，并证明你的结论.【解】结论为：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.证明：(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－(a2c2＋b2d2＋2abcd)＝a2d2＋b2c2－2abcd＝(ad－bc)2≥0.所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.数列5，9，17，33，x ，…中的x 等于( )A.47B.65C.63D.128【解析】 5＝22＋1，9＝23＋1，17＝24＋1，33＝25＋1，归纳可得：x ＝26＋1＝65.【答案】 B2.观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2 401，…，则72 016的末两位数字为( )【导学号：94210003】A.01B.43C.07D.49【解析】 ∵75＝16 807，76＝117 649，由运算规律知末两位数字以4为周期重复出现，故72 016＝74×504，故其末两位数字为01.【答案】 A3.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ≥2)，且a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n ＝( )A.2（n ＋1）2 B.2n （n ＋1） C.22n －1 D.22n －1 【解析】 可以通过S n ＝n 2·a n (n ≥2)分别代入n ＝2，3，4，求得a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110，猜想a n ＝2n （n ＋1）. 【答案】 B4.我们把1，4，9，16，25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图1-1-6).图1-1-6则第n个正方形数是()A.n(n－1)B.n(n＋1)C.n2D.(n＋1)2【解析】观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.【答案】 C5.如图1-1-7所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n}的前4项，则这个数列的一个通项公式为()图1-1-7A.a n＝3n－1B.a n＝3nC.a n＝3n－2nD.a n＝3n－1＋2n－3【解析】∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，猜想a n＝3n－1.【答案】 A二、填空题6.设f(x)＝2xx＋2，x1＝1，x n＝f(x n－1)(n≥2)，则x2，x3，x4分别为________，猜想x n＝________.【解析】x2＝f(x1)＝21＋2＝23，x3＝f(x2)＝12＝24，x4＝f(x3)＝2×1212＋2＝25，∴x n＝2n＋1.【答案】23，24，252n＋17.根据给出的数塔，猜测123 456×9＋7等于________.1×9＋2＝11，12×9＋3＝111，123×9＋4＝1 111，1 234×9＋5＝11 111，12 345×9＋6＝111 111.【解析】由前5个等式知，右边各位数字均为1，位数比前一个等式依次多1位，所以123 456×9＋7＝1 111 111.【答案】 1 111 1118.如图1-1-8所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N＋)个点，每个图形总的点数记为a n，则a6＝______________，a n＝______________.图1-1-8【解析】依据图形特点可知当n＝6时，三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.由n＝2，3，4，5，6时各图形的特点归纳得a n＝3n－3(n≥2，n∈N＋).【答案】153n－3(n≥2，n∈N＋)三、解答题9.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且S n－1＋1S n＋2＝0(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想S n的表达式.【解】当n＝1时，S1＝a1＝1；当n＝2时，1S2＝－2－S1＝－3，∴S 2＝－13；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53，∴S 3＝－35；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57.猜想：S n ＝－2n －32n －1(n ∈N ＋).10.已知f (x )＝13x ＋3，分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.【解】 由f (x )＝13x ＋3，得f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝33，f (－1)＋f (2)＝13－1＋3＋132＋3＝33，f (－2)＋f (3)＝13－2＋3＋133＋3＝33.归纳猜想一般性结论为f (－x )＋f (x ＋1)＝33. 证明如下：f (－x )＋f (x ＋1)＝13－x ＋3＋13x ＋1＋3＝3x 1＋3·3x ＋13x ＋1＋3＝3·3x3＋3x ＋1＋13x ＋1＋3＝3·3x ＋13＋3x ＋1＝3·3x ＋13（1＋3·3x ）＝33.[能力提升]1.(2016·西安期末检测)平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( )A.n ＋1B.2nC.n2＋n＋22 D.n2＋n＋1【解析】1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋n（n＋1）2＝n2＋n＋22个区域，选C.【答案】 C2.(2016·南昌调研)已知整数对的序列为(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，…，则第57个数对是()【导学号：94210004】A.(2，10)B.(10，2)C.(3，5)D.(5，3)【解析】由题意，发现所给数对有如下规律：(1，1)的和为2，共1个；(1，2)，(2，1)的和为3，共2个；(1，3)，(2，2)，(3，1)的和为4，共3个；(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)的和为5，共4个；(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)的和为6，共5个.由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n－1个数对.易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2，10).【答案】 A3.如图1-1-9①，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向三角形外作正三角形，并擦去中间一段，得图1-1-9②，如此继续下去，得图1-1-9③，……，试用n表示出第n个图形的边数a n＝________.①②③图1-1-9【解析】 观察图形可知，a 1＝3，a 2＝12，a 3＝48，…，故{a n }是首项为3，公比为4的等比数列，故a n ＝3×4n －1.【答案】 3×4n －14.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.【解】 (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－ sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.。