济宁学院 数学物理方法期终A 期末试卷及参考答案

卷号：（A ） （ 20 年 6 月 5 日） 机密
济宁学院 学年第二学期
20 级 物理学 专业 数学物理方法 期末考试试卷
1、 设函数)(z f 和)(z g 分别以0z 为m 阶和n 阶极点，则0z 为)()(z g z f 的________________阶极点，为)()(z g z f +的 阶极点。

2、 均匀弦的微小横振动的波动方程可写为________________________________，它属于数学上的________型偏微分方程。

3、 在比值判别法中，收敛圆半径的表达式为 ，在根值判别法中，收敛圆半径的表达式则为 。

4、 d ’Alembert
公式的形式为___________________________，主要描述
___________________条件下波动方程的解。

5、 定解问题的适定性包括三个方面的内容，它要求定解问题存在_________、___________、___________。

6、 函数1
()1
n
f z z =
-的极点为________________，它的留数为_______________。

7、 在齐次边界条件下，三维Possion 方程)(3r f u ρ
=∆解的积分表达式为________________________（与Green 函数的积分关系）。

8、 若()f x 的傅里叶变换为()F ω，则()f x α的傅里叶变换为_______________。

二、用Laplace 变换法求方程
t e y y y -=-'+''32满足初始条件y(0)=0,y ’(0)=1 的解。

（15
分）
三、 在圆域a <ρ上求解4-=∆u ，边界条件是0==ρa u 。

（15分）
年级 专业 学号 姓名
装 订 线
四、求解定解问题
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=-===><<=-====0
,2/100
,000002t t t l x x x x xx tt u x u u u t l x u a u （20分）
四、 在00=x 的邻域上用级数解法求解常微分方程0''2=+y y ω。

（ω为常数） （20分）
济宁学院 学年第二学期
20 级物理学专业《数学物理方法》期末考试试卷参考答案及
评分标准
题号 一 二 三 四 五 总分 题分 30 15 15 20 20 核分人
得分 复查人
阅卷人
9、 m+n 阶极点；max （m,n ）阶极点。

10、 ),(2t r f u a u tt =∆-，
；双曲型。

11、 1lim
+∞
→=k k
k a a R ；k k
k a R 1lim ∞→=。

12、 ⎰+-+-++=at
x at
x d a at x at x t x u ξξφϕϕ)(21)]()([21),(；一维无边界。

13、 解的存在性，解的唯一性，解的稳定性。

14、 单极点01z =，留数为
1
n
15、
⎰⎰⎰=T
dV r f r r G r u )(),()(00
16、
二、（15分）
年级 专业 学号 姓名
装 订 线
对方程程两边取拉氏变换，并注意到初始条件，得
()()()11
3212+=
-+-p p f p f p p f p （5分）
解上式这个代数方程，得
()()()()3112
+-++=p p p p p f （3分）
()31
8111831141+⋅--⋅++⋅-=p p p p f （3分）
()t
t t e e e t y 381
8341---⋅+⋅-=∴ （4分） 五、
（15分）
解：由题意可得定解问题
⎩⎨
⎧<=-=∆=)
(0
|4
a u u a ρρ
（1分）
先找满足以上Poisson 方程的一个特解2
2
2
)(ρ-=+-=y x v ， （1分）
令w v u +=，代入原定解问题，可得：
⎪⎩⎪⎨⎧<==∆=)
(|02
a a w w a
ρρ
（2分）
以上Laplace 方程的解为
∑∑∝
=-∝
=+++++=1
1
00)
sin cos ()
sin cos (ln ),(m m m m m m m m m D m C m B m A D C w ϕϕρϕϕρρϕρ （5分）
由有限性条件（w 0时，=ρ有限），则可得： 0,0,00===m m D C D
)sin cos (),(0
∑∝
=+=∴m m m m m B m A w ϕϕρϕρ
（2分）
代入边界条件，得：
∑∝
==+1
2)sin cos (m m m m
a m B m A a
ϕϕ
比较系数可得：0),0(0,2
0=≠==m m B m A a A
2),(a w =∴ϕρ
（2分） 因此 2
2
),(ρϕρ-=a u
（2分）
四、 （20分）
解：令)()(),(t T x X t x u =，并代入原定解问题得
⎪⎩
⎪⎨⎧===-0)()(0)()0(0
''
''2''t T l X t T X T X a XT 移项 λ-==X X
T a T ''2'' （5分）
⎪⎩
⎪⎨⎧===+0)(0)0(0''
''l X X X X λ和02''=+T a T λ x
C x C x X C x C x X e C e C x X x
x
λλλλλλ
λ
sin cos )(0)(0)(0212
121+=+==+=---时，方程的解为：＞在时，方程的解为：在时，方程的解为：＜在
由边界条件0)(0)0('
'
==l X X ，得：
x l
n C x X l
n n l l C l C l C l X C C X x
C x C x X C
Xx x X ππλπλλλλλλλλλλλλλλλcos
)(0
sin 00sin cos )(0
00
)0(sin cos )(0(00
)(012
2
2121'22'21'==→=∴=≠=+-==≠==+===≡（否则方程无解），，时，＞时，时，＜
（5分）。