2019届高三数学人教版一轮训练：第十篇第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 Word版含解析

第十篇计数原理、概率、随机变量及其分布(必修3、选修23)
第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理
【选题明细表】
基础巩固(时间:30分钟)
1.已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个点,则这13个点可以确定不同的平面个数为( C )
(A)40 (B)16 (C)13 (D)10
解析:分两类情况讨论:
第1类,直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面;第2类,直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面.根据分类加法计数原理知,共可以确定8+5=13个不同的平面.故选C.
2.如图所示,从甲地到乙地有3条公路可走,从乙地到丙地有2条公路可走,从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地经乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为( A )
(A)6,8 (B)6,6 (C)5,2 (D)6,2
解析:从甲地经乙地到丙地,分两步:
第1步,从甲地到乙地,有3条公路;
第2步,从乙地到丙地,有2条公路.
根据分步乘法计数原理,有3×2=6种走法.
从甲地到丙地,分两类:
第1类,从甲地经乙地到丙地,有6种走法;
第2类,从甲地不经过乙地到丙地,有2条水路,即有2种走法.
根据分类加法计数原理,有6+2=8种走法.故选A.
3.高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践,但去何工厂可自由选择,甲工厂必须有班级要去,则不同的分配方案有( C )
(A)16种(B)18种(C)37种(D)48种
解析:三个班去四个工厂不同的分配方案共43种,甲工厂没有班级去的分配方案共33种,因此满足条件的不同的分配方案共有43-33=37种.故选C.
4.如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”,在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( B )
(A)60 (B)48 (C)36 (D)24
解析:长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6=36个,6个对角面构成的“平行线面组”有6×2=12(个).故共有36+12=48(个).故选B.
5.如图所示,在A,B间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路,则电路不通.今发现A,B之间电路不通,则焊接点脱落的不同情况有( C )
(A)9种(B)11种(C)13种(D)15种
解析:按照焊接点脱落的个数进行分类:
第1类,脱落1个,有1,4,共2种;
第2类,脱落2个,有(1,4),(2,3),(1,2),(1,3),(4,2),(4,3),共
6种;
第3类,脱落3个,有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4),共4种;
第4类,脱落4个,有(1,2,3,4),共1种.
根据分类加法计数原理,共有2+6+4+1=13种焊接点脱落的情况.故
选C.
6.(2016·青岛模拟)如图所示的五个区域中,中心区域是一幅图画,现在要求在其余四个区域中涂色,现有四种颜色可供选择,要求每一个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为( C )
(A)64 (B)72 (C)84 (D)96
解析:分成两类:A和C同色时有4×3×3=36种;A和C不同色时有4×3×2×2=48种,则一共有36+48=84种.故选C.
7.三边长均为正整数,且最大边长为11的三角形的个数是.
解析:另两边长用x,y表示,且不妨设1≤x≤y≤11,要构成三角形,必须x+y≥12.当y取11时,x可取1,2,3,...,11,有11个三角形;当y取10时,x可取2,3, (10)
有9个三角形;…;当y取6时,x只能取6,只有1个三角形.所以所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36.
答案:36
8.已知集合M={1,2,3,4},集合A,B为集合M的非空子集,若对∀x∈A,y∈B,x<y 恒成立,则称(A,B)为集合M的一个“子集对”,则集合M的“子集对”共有个.
解析:A={1}时,B有23-1种情况;
A={2}时,B有22-1种情况;
A={3}时,B有1种情况;
A={1,2}时,B有22-1种情况;
A={1,3},{2,3},{1,2,3}时,B均有1种情况,
故满足题意的“子集对”共有7+3+1+3+3=17个.
答案:17
能力提升(时间:15分钟)
9.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”),则“六合数”中首位为2的“六合数”共有( B )
(A)18个(B)15个(C)12个(D)9个
解析:依题意,这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4,0,0组成3个数分别为400,040,004;由3,1,0组成6个数分别为310,301,130,103,013,031;由2,2,0组成3个数分别为220,202,022;由2,1,1组成3个数分别为211,121,112.共计:3+6+3+3=15个.故
选B.
10.(2017·玉林市模拟)将1,2,3,…,9这9个数字填在如图的9个空格中,要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大.当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法为( A )
(A)6种(B)12种(C)18种(D)24种
解析:因为每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,1,2,9只有一种填法,5只能填在右上角或左下角,5填后与之相邻的空格可填6, 7,8任一个,余下
两个数字按从小到大只有一种方法.共有2×3=6种结果.故选A.
11.一个旅游景区的游览线路如图所示,某人从P点处进,Q点处出,沿图中线路游览A,B,C三个景点及沿途风景,则不重复(除交汇点O外)的不同游览线路有( D )
(A)6种(B)8种(C)12种(D)48种
解析:从P点处进入结点O以后,游览每一个景点所走环形路线都有2个入口(或2个出口),游览三个景区的顺序有3×2×1=6(种),每个景区游览方向有2种. 因而所求的不同游览线路有3×16=48种.故选D.
12.(2017·铜川模拟)从0,1,2,3,4这5个数字中任取3个组成三位数,其中奇数的个数是.
解析:从1,3中取一个排个位,故排个位有2种方法;排百位不能是0,可以从另外3个数中取一个,有3种方法;排十位有3种方法.故所求奇数的个数为3×3×2=18.
答案:18
13.在某运动会的百米决赛上,8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方式共有种.
解析:分两步安排这8名运动员.
第一步:安排甲、乙、丙三人,共有1,3,5,7四条跑道可安排.所以安排方式有4×3×2=24种.
第二步:安排另外5人,可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排,所以安排方
式有5×4×3×2×1=120种.
所以安排这8人的方式有24×120=2 880种.
答案:2 880
14.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2,…,9的9个小正方形(如图),使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同,且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有
种.
解析:把区域分为三部分,第一部分1,5,9,有3种涂法.第二部分4,
7,8,当5,7同色时,4,8各有2种涂法,共4种涂法;当5,7异色时,7有2种涂法,4,8均只有1种涂法,故第二部分共4+2=6种涂法.第三部分与第二部分一样,共6种涂法.由分步乘法计数原理,可得共有3×6×6=108种涂法.
答案:108。