五 拉格朗日插值和孙子定理

x≡2×9×11×1+3×7×11×2+7×7×9×7=3747
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1、(07年武汉二模)已知函数f（x）=x2+2x+alnx当
t≥1时, 不等式f(2t－1) ≥2f(t)－3恒成立, 求实数a的
取值范围. 证明:当t≥1时，f(2t－1)≥2f(t)－3 恒成立. t≥1恒成立. 即a[lnt2-ln（2t-1）] ≤2（t-1）2 即
（2t-1）2+2（2t-1）+aln（2t-1）≥2t2+4t+2alnt-3当
(2)由于7,9,11互素,故同样可用孙子定理. 解 9×11c1 =99c1≡1(mod7) 得 c1 ≡ 1(mod7), 再解 7×11c2 =77c2≡1(mod9) 得 c2 ≡ 2(mod9), 最
后解 7×9c3 =63c3≡1(mod11) 得 c3 ≡ 7(mod11),
于是,选取c1=1， c2=2， c3=7 得
所以k=233，x ≡233≡23（mod105）.
此求同余方程组的方法即孙子定理. 孙子定理 设a，b，c为两两互素的正整数， x≡e（moda）， e，f，g为任意整数，则同余方程组
x≡f（modb），仅有一解：
x≡g（modc） x≡ebcc1+facc2+gabc3（modabc），其中c1， c2，c3分别满足同余式：bcc1≡1（moda） acc2 ≡1（modb）,abc3 ≡1（moda）的整数.
1、解：由拉格朗日差值公式知
2、解：（1）由于4,5,9互素,故可用孙子定理. 解 5×9c1 =45c1≡1(mod4) 得c1 ≡ 1(mod4), 再解 4×9c2 =36c2≡1(mod5) 得c2 ≡1(mod5) , 最后解 4×5c3 =20c3≡1(mod9) 得c3 ≡ 5(mod9), 于是选取 c1=1， c2=1， c3=5 得 x ≡2×5×9×1+3×4×9×1+4×4×5×5=598 ≡58（mod180）
x1 x2 使
f ''( ) 1 故只要证明 f ''( ) 1
4 a 4 4 > 2 + - 2 >1 3 2 3 ξ ξ ξ ξ
只要证
f'' ξ = 2 +
令 令
g ( )
2

3
2
4

2
，则
g '( )
8

3

6

4

2(4 3)
4
故当a≤4时︱f’（x1）- f’（x2） ︳> ︱x1- x2 ︳
当 x [0, 1 ],[ f '( x)]max f '(0) 1
故得证
y n+1 - xn+1 1 < y n - xn 2
2
2
课堂练习
1、求整数n，它被3，5，7除的余数分 别是1，2，3,则该整数最小为（ 52 ）.
2、解同余方程组
x 8(mod15) x 5(mod 8) x 13(mod 25)
知识回顾
学过的函数： 一次函数 f（x）=ax+b+c 二次函数 f（x）=ax2+bx+c f（1）= a+b+c
方程组：
f（-1）= a-b+c
f（2）= 4a+2b+c
导入新课
今有物不知数，三 三数之剩二，五五数之 剩三，七七数之剩二， 问物几何？
你能算出来吗？
今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有 九十四足，问鸡兔各几何？ 这四句话的意思是：有若干 只鸡兔同在一个笼子里，从 上面数，有35个头；从下面 数，有94只脚.求笼中各有几只鸡和兔 . 你知道有多少只鸡吗？
6、每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5
人一排多3人，问至少有多少人 ？ 解：由于9,7,5互素,故同样可用孙子定理. 解1 7×5c1 =35c1≡1(mod9) 得 c1 ≡ 8(mod9), 解2 9×5c2 =45c2≡1(mod7) 得 c2 ≡ 5(mod7), 解3 9×7c3 =63c3≡1(mod5) 得 c3 ≡ 2(mod5), 于是,选取c1=2， c2=3， c3=11 得 x≡6×7×5×8+2×9×5×5+3×9×7×2 ≡303(mod305) 是同余方程的解.所以至少303人.
y n+1 - xn+1 f(y n ) - f(xn ) = y n - xn y n - xn
y n+1 - xn+1 = f'(ξ) y n - xn
由拉格朗日中值定理知: 总存在 使得 由于 ( xn , yn ) [0, 1 ] 又
2
( xn , yn )
1 2
f '( x) 3x 2 2 x
设a，b，c两两不同那么满足f(a)=e，f(b)=f ， f（c）=g的一个多项式可用 f(x)=e·p(x)+f ·q(x)+ g ·r(x)
a b a c b a b c
(Ⅰ )
c a c b
其中 p(x) x b x c ,q(x) x a x c ,r(x) x a x b （Ⅱ）
上面的公式（Ⅰ）和（Ⅱ）叫做拉格朗日公式.
用类似方法解决孙子算经的物不知其数问题.
1）求整数p,使p≡1（mod3）, p ≡0（mod5）,
p≡0（mod7）.
求整数q,使q≡0（mod3）, q ≡1（mod5）,
q≡0（mod7）.
求整数r,使r≡0（mod3）, r ≡0（mod5）,
r≡1（mod7）.
课堂小结
一、一次同余式组：
x≡e（moda） x≡f（modb）
x≡g（modc）
二、拉格朗日插值公式：
f(x)=e·p(x)+f ·q(x)+ g ·r(x)
x b x c x a x c x a x b p(x) ,q(x) ,r(x) a b a c b a b c c a c b
则x为( 21531056 ).
3、有一个数，除以3余2，除以4余1，问这 个数除以12余（ A.5 B. 7 A ）. D.9
C.8
4、一个数被3除余1，被4除余2，被5除余 4，这个数最小是（ C ）. A.274 B. 40 C.34 D.36
5、若4人一组多1人，5人一组正好分完，6 人一组少3人，最少有几人？ 解析：若4人一组多1人，6人一组少3人, 则加3人为4和6的公约数=12K，12K-3 能被5整除,根据5和2的倍数特征规 律:12×4-3=45，所以至少有45人.
2）作整数k=2×p+3×q+2×r，这个k使同余 式都成了.此时x≡k（mod3×5×7）现在的焦
点就是如何求p、q、r.
于p≡0（mod5），p ≡1（mod7）
由
故
5︱p，7︱p，于是p=5×7×c，c为整数
再由p≡1（mod3）即5×7×c ≡1（mod3）
若c=2，则p=70.同理求得q=21，r=15.
2.研读算法，体会算法思想，能解决具体问题.
情感态度与价值观
1.通过算法案例的学习，了解中国古代数学家对世 界数学发展的伟大贡献，增强民自豪感和自信心. 2.在学习的同时，学会做有爱国心，品格高尚的人， 树立远大理想和目标.
教学重难点
重点
1.理解拉格朗日插值公式的建立过程. 2.孙子定理的推导过程. 3.用孙子定理解一次同余方程.
3、(06年高考陕西)已知函数 f ( x) x3 x 2 1 x 1 2 4 且存在x0∈(0, ) ,使f(x0)=x0. 证明：
3 3 g '( ) 0 gmin g ( ) 1 4 4
yn 1 xn 1 1 yn xn 2
证明： 因为
我们知道其上的三个值如（x1，f（x1））， （x2，f
（x2））， （x2，f（x2）），就能得到要求的多项
事.一种更一般的拉格朗日插值法.
1）求多项式p（x）,使p（x1）=1,p(x2)=0,p(x3)=0 2）
求多项式q（x）,使q（x1）=0,q(x2)=1,q(x3)=0 3）求
多项式r（x）,使r（x1）=0,r(x2)=0,r(x3)=1 若选取
你能够解决以上的问题，求出
数值吗？要解决以上的问题穷举法
显然是不ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ能的，这就涉及到我们
今天要学习的知识，拉格朗日插值
法、孙子定理.
教学目标
知识与能力
1.理解一次同余式组的概念. 2.理解拉格朗日插值公式的建立过程及推导孙 子定理的过程.
3.掌握用孙子定理法求一次同余式组的解.
过程与方法
1.先阅读案例，探究解决问题的算法.
p（x）=c（x-x2）（x-x3），其中c为常数.
显然p(x2)=0,p(x3)=0 再代入p（x1）=1,可
求得c为 (x1 - x2)（ x1 – x3）的倒数. 求得 x x1 x x3 x x2 x x3 q(x) p(x) 同理得 x x x x x2 x1 x2 x3 1 2 1 3 x x1 x x2 r(x) x3 x1 x3 x2
当t=1时，不等式恒成立,此时a∈R.
当t>1时，由于t2-（2t-1）=（t-1）2>0，
所以
故
lnt2>ln（2t-1）
a t 2 - (2t - 1) 2 lnt 2 - ln(2t - 1)
当t≥1时恒成立.
h(x)=lnx,由拉格朗日定理知, ξ (2t -1,t 2 ) 使得 故
lnt 2 - ln(2t - 1) 1 = h'( ξ ) = t 2 - (2t - 1) ξ
成立
lnt 2 - ln(2t -1) 1 = > 2t -1 > 1 2 t - (2t -1) ξ
所以
a 1即a 2 即实数取值范围（-∞,2] 2
2、（06年四川卷）已知函数
f(x) = x 2 +
7、3除余2，被7除余1，被11除余2，求同余方程 的解. 解：由于3,7,11互素,故同样可用孙子定理. 解1 7×11c1 =77c1≡1(mod3) 得 c1 ≡ 2(mod2), 解2 3×11c2 =33c2≡1(mod7) 得 c2 ≡ 3(mod7), 3×7c3 =21c3≡1(mod11) 得 c3 ≡ 10(mod11), 于是,选取c1=2， c2=3， c3=11 得 x≡2×7×11×2+1×3×11×3+2×3×7×10=727 ≡24(mod231) 是同余方程的解. 解3
教材习题答案 课堂练习
习题（第30页）
x 1 x 1 x 1 x x(x-1) f(x) 2 3 6 (-1-0)(-1-1) 0 1 0 1 1 1 1 0 x x 1 3 x 1 x 1 3 x 1 x x 2 2 x 3
三、孙子定理：
设a，b，c为两两互素的正整数，e，f，g为 任意整数，则同余方程组
x≡e（moda）
x≡f（modb），仅有一解： x≡g（modc） x≡ebcc1+facc2+gabc3（modabc），其中c1， c2，c3分别满足同余式：bcc1≡1（moda）
acc2 ≡1（modb）,abc3 ≡1（moda）的整数.
难点
建立拉格朗日插值公式和推导孙子定理.
孙子算经翻译：一个数除以3余2，除以5余3， 除以7余2，问这个数是几?
m=3x+2 x≡2（mod3）
相当于解方程组 m=5y+3 即
m=7z+2
x≡3（mod5）
x≡2（mod3）
同余方程组
为了能更方便的求解方程组我们将学
习拉格朗日插值法.
我们知道，在二次函数f（x）=ax2+bx+c中只要
2 + alnx (x > 0) x
f（x）的导数是f’（x），任意两个不等正数x1，x2证：
若a≤4，︳ f’（x1）- f’（x2） ︳> ︱x1- x2 ︳ ， 证明：要证︱f’（x1）- f’（x2） ︳> ︱x1- x2 ︳ 只要证
f'(x2 ) - f'(x1 ) >1 x2 - x1
由拉格朗日定理，总存在