三角比-02教案(两角和差倍半角)

三角比第2讲——两角和与差的三角函数【知识网络】1．熟记两角和与差的正弦、余弦、正切公式；2．灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形等；3．要学会辩证地看待和角与差角，根据需要，可以进行适当的变换： 如(),()ααββααββ=+-=-+，2()(),ααβαβ=++- 2()(ααββα=+--等变角技巧． 【第Ⅰ部分 思想方法展示与解析】（《优等生数学教程》题摘）1.已知函数f(x)＝－3sin 2x+sinxcosx ，设α∈(0,π)，f(α2)＝14－32，求sin α的值.解：f(x)＝－3sin 2x+sinxcosx ＝ 3 cos2x-12 + 12sin2x ＝32cos2x+ 12－32＝sin(2x+π3)－32f(α2)＝sin(α+π3)－32＝14－32 ⇒ sin(α+π3)＝14由α∈(0,π)和sin(α+π3＝14知α+π3∈(5π6,π) ⇒ cos(α+π3)＝－154⇒ sin α＝sin[(α+π3)－π3]＝1+358简评：注意角范围对三角比值的影响.2.已知0<β<π4 ，π4 <α<3π4，cos(π4 －α)＝35，sin(3π4 +β)＝513，求sin(α+β)的值.解：sin(α+β)＝－cos[π2+(α+β)]＝－cos[(3π4 +β)－(π4－α)]⎩⎨⎧0<β<π4 π4 <α<3π4 ⇒ ⎩⎨⎧3π4<3π4+β<π－π2<π4 －α<0 ，⎩⎨⎧cos(π4 －α)＝35 sin(3π4+β)＝513 ⇒ ⎩⎨⎧sin(π4－α)＝－45cos(3π4 +β)＝－1213 sin(α+β)＝－cos[(3π4 +β)－(π4 －α)]＝ 56653.求(1+3tan100)sin500的值解：原式＝cos100+3sin100cos100 sin500＝2sin(100+300)cos100 sin500＝2cos500cos100 sin500＝sin1000cos100＝1简评：切化弦是关键.4.已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，求证：tanA+tanB+tanC ＝tanAtanBtanC证：左式＝tan(A+B)(1－tanAtanB)+tanC ＝－tanC(1－tanAtanB)+tanC ＝tanAtanBtanC ＝右式 简评：巧用两角和正切公式是关键.5.已知tan α、tan β是方程3x 2+5x+1＝0的两个根，求⑴tan 2α+tan 2β; ⑵cot(α+β)解：由已知有⎩⎨⎧tan α+tan β＝－53tan αtan β＝13⇒ ⑴tan 2α+tan 2β＝199⑵cot(α+β)＝－256.已知tanx=3tany (0<y<x<π2)，求u ＝x －y 的最大值解：由tan(x －y)＝tanx －tany 1+tanxtany ＝2tany 1+3tan 2y ＝ 2 1tany ≤ 2 23＝33 ⇒ u ≤π6简评：由三角比的值的大小来确定角的大小.另解：亦可切化弦后由u 角的正弦来完成，其过程中用到了角的积化和差知识。

7.化简1+sin α+1－sin α－2+2cos α ，α∈(0,π2) 解：原式＝sin 2α2+2sin α2cos α2+cos 2α2 +1－sin α－2·2cos 2α2＝|sin α2+cos α2|+|sin α2－cos α2|－2|cos α2|由α∈(0,π2)知cos α2>sin α2>0 ⇒ 原式＝cos α2+sin α2+cos α2－sin α2－2cos α2＝0 简评：平方关系和半角余弦的恰当运用是化简的关键. 8.求值 cos200cos400cos600cos800解：原式＝cos200cos400·12·cos800＝12 cos200 cos400 cos800＝12·23sin200cos200cos400cos8023sin200＝ 116简评：构造正弦二倍角使用条件是顺利求值的关键. 9.已知α、β为锐角，sin α＝210，sin β＝1010，求α+2β的值 解：因α、β为锐角，由⎩⎨⎧sin α＝210sin β＝1010⇒⎩⎨⎧cos α＝7210cos β＝31010⇒α、β∈(0,π6)⇒α+2β∈(0,π2)由cos(α+2β)＝cos αcos2β－sin αsin2β＝cos α(1－2sin 2β)－2sin αsin βcosβ ＝22 ⇒α+2β＝π4简评：确定角，要借助角的三角比，选择那个角的三角比很重要；在(0,π)上，一般选择余弦，因余弦值与角的对应是单值对应，而正弦则是双值对应. 10.求证：cos 8α－sin 8α＝cos2α(1－12sin 22α)证：左式＝(cos 4α+sin 4α)(cos 4α－sin 4α)＝[(cos 2α+sin 2α)2－2sin 2αcos 2α](cos 2α+sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝(1－12sin 22α)cos2α＝右式简评：三角恒等式的证明，本质上就是定向化简，因此，恰当、灵活地运用三角比的各种关系式及特殊值将有利于恒等变形的顺利进行，如“1”的运用、半角倍角的构造、变角变名等.11.化简：1－2sin 2(π4+α2)+cos(3π2－α) 1－cos α解：因1－2sin 2(π4+α2)＝cos2(π4+α2)＝－sin α，cos(3π2－α)＝－sin α，1－cos α＝2|sinα2| ∴原式＝－2sin α2|sin α2|＝－4sinα2cosα22|sin α2|＝±22cos α2 简评：注意角α终边位置对1－cos α＝2|sin α2|结果的影响，必要时要分象限讨论. 12.求证：1+sin α－cos α 1+sin α+cos α＝tan α2证：因1－cos α＝2sin 2α2，1+cos α＝2cos 2α2故左式＝2sinα2cos α2+2sin2α22sin α2cos α2+2cos 2α2＝tan α2＝右式简评：灵活运用二倍角余弦是关键.13.设tan α＝1，3sin β＝sin(2α+β)，求tan(2α+2β)解：由tan α＝1 ⇒α＝kπ+π4 (k ∈Z ) ⇒2α+β＝2kπ+π2+β，2α+2β＝2kπ+π2+2β故3sin β＝sin(2α+β) ⇒ 3sin β＝sin(2kπ+π2+β) ⇒ 3sin β＝cosβ ⇒tan β＝13∴tan(2α+2β)＝tan(2kπ+π2β)＝－cot2β＝－ 1－tan 2β2tan β＝－43简评：三角比中，特值对特角，熟记一些常用特值特角对应是必要的.同时，还要注意终边相同角的表示与运用. 14.化简：12+1212+12cos2α －1－sin α (1800<α<2700) 解：因1800<α<2700 ⇒ 900<α2<1350 ⇒ sin α2>cos α2>0故12+12cos2α ＝cos 2α＝|cos α|＝－cos α ⇒ 12－12cos α ＝|sin α2|＝sin α2又1－sin α ＝|sin α2－cos α2|＝sin α2－cos α2故原式＝sinα2－sin α2+cos α2＝cos α2简评：二倍角正、余弦公式的准确理解与变形形式的灵活掌握至关重要，同时角范围对三角比大小的比较同样重要.15.求证：cos 2αcot α2－tan α2＝14sin2α证：因左式中分母＝cos α2sin α2－sinα2cos α2＝2cos αsin α故左式＝ cos 2α 2cos αsin α＝12sin αcos α＝14α＝右式简评：切化弦是三角变形中常用的方法. 另证：左式＝cos 2αtan α21－tan 2α2 ＝12cos 2α· 2tanα21－tan2α2＝12cos 2α· tan α＝12cos α· sin α＝14sin2α＝右式【第Ⅱ部分 巩固强化】〖方法回顾〗 ［例1］(1)已知α∈(2π,π)，sin α=53,则tan(4πα+)＝__________析：∵α∈(π2,π),∴cos α＝－45,tan α＝－ 3 4,∴tan(α+π4)＝tan α+11－tan α＝ 17(2) sin163°sin223°+sin253°sin313°＝_________析:原式＝－sin170sin430+cos170cos430＝cos600＝ 12(3)︒︒-︒70sin 20sin 10cos 2的值是________析：原式＝2cos100－sin(300－100)cos200＝2cos100－1 2cos100+ 32sin100cos20＝3cos100+3sin1002cos200＝3sin700cos200＝ 3(4) 已知cos α－cos β=21，sin α－sin β=31，则cos （α－β）=_______.析：由⎩⎪⎨⎪⎧cos α－cos β＝ 1 2sin α－sin β＝ 1 3 ⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos αcos β＝ 1 41－2sin αsin β＝ 1 9⇒ cos(α－β)＝ 5972(5) 已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B +＝_____．析：由tanAtanB ＝tanA+tanB+1 ⇒ tanA+tanB 1－tanAtanB ＝－1 ⇒ tan(A+B)＝3π4 ⇒ cos(A+B)=－22［例2］设cos(α－2β)=－91，sin(2α－β)=32，且2π＜α＜π，0＜β＜2π，求cos （α+β）.解：∵2π＜α＜π，0＜β＜2π，∴4π＜α－2β＜π，－4π＜2α－β＜2π.故由cos （α－2β）=－91，得sin （α－2β）=954.由sin （2α－β）=32，得cos （2α－β）=35.∴cos2βα+=cos ［（α－2β）－（2α－β）］=cos ()cos()sin ()sin()2222βαβααβαβ--+--=129339-⨯+⨯27=∴cos （α+β）=2cos 22βα+－1=2227⎛⎫⨯⎪ ⎪⎝⎭-1=－729239. ［例3．解：原式2sin 8012sin 50(cos1010)++=2sin 802sin 50cos(6010)+-=sin 5050)22cos 5+=2cos(5045)2cos 5-==[例4] 已知△ABC 中的三内角A 、B 、C 成等差数列，且BCAcos 2cos 1cos 1-=+，求2c os C A -的值． 思路分析：本题中角间关系较为隐蔽，注意到260C A B +=︒=，而22CA C A A -++=，22C A C A C --+=．取2C A -作为基本量，就找到了解决本题的突破口．解：由已知，B ＝60°，A ＋C ＝120°，则设,2α=-C A,6022α+︒=-++=C A C A A .6022α-︒=--+=C A CA C11cos cos A C∴+()()11cos 60cos 60αα=+︒+︒-2222=+222cos cos 133cos sin cos 444ααααα==--22cos 243cos cos 2-=-=-Bαα依题设有,cos cos:023224 2=-α+α整理得()().cos cos 032222=+α-α,cos 0322≠+α .cos 022=-α∴.C A cos222=-故〖巩固强化A 〗１．下列四个命题中的假命题的序号是__________①存在这样的α、β，使得cos （α+β）=cos αcos β+sin αsin β②不存在无穷多个α、β，使得cos （α+β）=cos αcos β+sin αsin β ③对于任意的α、β，cos （α+β）=cos αcos β－sin αsin β④不存在这样的α、β，使得cos （α+β）≠cos αcos β－sin αsin β析：假命题是②.若存在无穷多个α、β，使得cos （α+β）=cos αcos β+sin αsin β，则由公式cos （α+β）=cos αcos β－sin αsin β知有cos αcos β+sin αsin β＝cos αcos β－sin αsin β ⇒ sin αsin β＝0 ⇒α＝k π或β＝k π (k ∈Z )，故②假２．(1+tan200)(1+tan210)(1+tan240)(1+tan250)＝___________________析：(1+tan200) (1+tan250)＝1+tan200+tan250+tan200tan250＝(tan200+tan250)+1+tan200tan250＝1－tan200tan250+1+tan200tan250＝2 同理(1+tan210)(1+tan240)＝2，所以原式＝4 ３．已知α∈（0，2π），β∈（2π，π），3s i n 5α=，4cos()5αβ+=-，则sinβ ____.析：sin β＝sin[(α+β)－α]＝sin(α+β)cos α－cos(α+β)sin α>0由12<sin α＝ 3 5 <22，－32<cos(α+β)＝－ 4 5<－22 ⇒ cos α＝ 4 5 ，sin(α+β)＝ 3 5⇒ sin β＝sin[(α+β)－α]＝sin(α+β)cos α－cos(α+β)sin α＝ 3 5 4 5－(－ 4 5) 3 5 ＝22254. 在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2⋅= 则∠析：由tanA+tanC ＝(1－tanAtanC)tan(A+C) ⇒（1－tan 2B)tan(π－B)+tanB ＝3 3 ⇒ 由B 为三角形内角⇒ B ＝π35．若)2,0(,,πγβα∈，sin sin sin αγβ+= cos +cos cos αγβ=，则β－α的值为 .析：由α、β∈(0,π2) ⇒β－α∈(－π2,π2) , sin β－sin α＝sin γ>0 ⇒ β－α∈(0,π2)由sin α+sin γ＝sin β,cos α+cos γ＝cos β, ⇒ (sin α-sin β)2+(cos α－cos β)2＝1⇒ 2-2cos(β－α)=1 ⇒ cos(β－α)=12 ⇒ β－α=π36．已知8cos(2)5cos 0αββ++=，求tan()tan αβα+⋅的值． 解：∵2()αβαβα+=++，()βαβα=+-，∴8cos[()]5cos[()]0a αβααβ++++-=， 得13cos()cos 3sin()sin αβααβα+=+， 若cos()cos 0αβα+≠，则13tan()tan 3αβα+⋅=，若cos()cos 0αβα+=，tan()tan αβα+⋅无意义7．化简sin 7cos15sin 8.sin 7sin 15sin 8︒+︒︒︒-︒︒()()()sin 158cos15sin 8: cos 158sin 15sin 8sin 15cos 8 tan 15cos15cos 8 tan 6045tan 60tan 45 1tan 60tan 45 ︒-︒+︒︒=︒-︒-︒︒︒︒==︒︒︒=︒-︒︒-︒=+︒︒解原式 2==-8．已知11cos(2),sin(2)147αβαβ-=--=，042ππβα<<<<．:αβ+求的值．解：11cos(2)2144παβαβπ-=-<-< 且，sin(2)14αβ∴-=sin(2)2742ππαβαβ-=-<-<，1cos(2)7αβ∴-=cos()cos[(2)(2)]αβαβαβ∴+=---cos(2)cos(2)sin(2)sin(2)αβαβαβαβ=--+--11111471472=-⨯+=3παβ∴+=〖巩固强化B 〗1．写出满足cos αcos β=23+sin αsin β的一组α、β的值是________（写出一组即可）析：由cos(α+β)＝32 ⇒ α+β＝π6+2k π (k ∈Z ) ⇒ 如α=13π12，β=3π42．在△ABC 中，cos A ＝53且cos B ＝135，则cos C 等于_______析：cosC ＝cos[π－(A+B)]＝－cos(A+B)＝33653．若3sin x －3cos x ＝23sin （x ＋φ），φ∈（－π，π），则φ等于________ 析：化一得23sin(x －π6)＝23sin(x+φ) ⇒ φ＝－π64．已知tan （4π+α）=2，则ααα2coscos sin 21+的值为 ．析：由tan(π4+α)＝2 ⇒ tan α＝13，12sin αcos α+cos 2α＝sin 2α+cos 2α2sin αcos α+cos 2α＝tan 2α+12tan α+1＝235．已知cosα=71，cos （α+β）=－1411，α、β∈（0，2π），则β= ．析：由cos[(α+β)－α]＝cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α ⇒ cos β＝12 ⇒ β＝π36．已知锐角三角形ABC 中，.51)sin(,53)sin(=-=+B A B A 求tan tan A B的值．解：,51)sin(,53)sin(=-=+B A B A.2tan tan 51sin cos ,52cos sin .51sin cos cos sin ,53sin cos cos sin =⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+∴B A B A B A B A B A B A B A7． ()41,cos ,tan , cos .53αβααββ=-=-已知、为锐角求的值解：43,cos , sin .55ααα=∴= 是锐角.,22π<β-α<π-∴βα为锐角、又()可求出,31tan -=-βα ()(),1010sin ,10103cos -=-=-βαβα()cos cos βααβ∴=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-430510510⎛=⋅+- ⎪⎝⎭.=８．设函数()cos 2cos ()f x x x x x R =+∈的最大值为M ，最小正周期为T ． （1） 求M ，T（2）若有10个互不相等的正数i x 满足()i f x =M ，且10i x π≤（i=1,2,…10） 求12x x +…10x +的值。