高一数学竞赛培训题(四)

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函数的图象和性质

1．作出下列函数的图象（1）22-+=x x y ；（2）22

-+=x x y

2．设函数2)()(,1)()(,)(12010-=-==x f x f x f x f x x f ，求函数)(2x f y =的图象与x 轴所围成的封闭部分的面积．

3．k 为何实数时，方程k x x =+-322有四个互不相等的实数根．

4．设{}*,7|N p p a a A ∈== ，在A 上定义函数f 如下：设A a ∈，则)(a f 表示a 的数字之和，例如6)42(,7)7(==f f ．设函数f 的值域是集合M ，求证：{}2,|*≥∈=n N n n M

5．设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=-+-1)1(2001)1(1)1(2001)1(33y y x x ，求y x +的值．

6．设函数)(x f 对任意实数x 满足：0)0(),7()7(),2()2(=+=-+=-f x f x f x f x f ．求证：0)(=x f 的根在区间]30,30[-上至少有13个，且)(x f 是以10为周期的周期函数．

7． 已知⎪⎩

⎪⎨⎧≤<-≤≤+=121),1(2210,21)(x x x x x f ，定义*,)))((()(N n x f f f x f n n ∈= 个（１）求)15

2(2001f （２）设{}]1,0[,)(|15∈==x x x f x B ，求证：B 中至少含有9个元素．

8．函数)(x f 的定义域关于原点对称，但不包括数0，对定义域中的任何实数x ，在定义域中存在21,x x ，使得)()(,2121x f x f x x x ≠-=，且满足以下三个条件：（１）21,x x 是定义域中的数， )()(21x f x f ≠或a x x 2021<-<，则)()(1

)()()(122121x f x f x f x f x x f -+=-；（２）1)(=a f （a 是一个正

常数）；（３）当a x 20<<时，0)(>x f ．求证：（１）)(x f 是奇函数；（２）)(x f 是周期函数，并求出其周期；（３）)(x f 在)4,0(a 内为减函数．