初等几何研究综合测试题(十三)

《初等几何研究》综合测试题（十三）适用专业：数学教育专业考试时间：120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1.已知一个三角形的周长为15cm，且其中两边都等于第三边的2倍，那么这个三角形的最短边为___________。

A.1cm；
B.2cm；
C.3cm；
D.4cm。

2.n边形对角线条数是__________。

A.；
B.；
C.；
D.。

3. 在Rt AB C中，CD是斜边AB上的高，CD=6，且AD:BD=3:2，则斜边AB上的中线长等于________________。

A.；
B.；
C.；
D..
4.一个三角形的周长为偶数，其中两边分别为2和5，则第三边应是
_________。

A.5；
B.6；
C.3；
D.4.
5.一正方形同时外切和内接于两个同心圆，当小圆的半径为r时，大圆的半径应为________。

A. ；
B.1.5r；
C. ；
D.2r。

6.下列命题中能用来判断一条线段是半径的命题是__________。

A.过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
B.过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；
C.圆的切线垂直于过切点的半径；
D.过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

7.不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是_________。

A.MA=MB ,NA=NB ；
B.MA=MB,MN⊥AB；
C.MA=NA，BM=BN；
D.MA=MB,MN平分AB。

8.如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，
现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在_________。

A.在AC、BC两边高线的交点处；
B.在AC、BC两边中线的交点处；
C.在AC、BC两边垂直平分线的交点处；
D.在∠A、∠B两内角平分线的交点处。

二、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分）
1.棱形既是中心对称图形又是轴对称图形。

（）
2.将一个图形经过平移后再旋转得到另一个图形，则这个图形的位置不变。

（）
3.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

（）
4.相似图形一定构成位似图形。

（）
5.用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心可选在任意位置。

（）
三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
1.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= _____
2.点P（5，-6）可以由点Q（-5，6）通过二次平移得到，即先向____平移_____个单位，再向__平移_____个单位。

3.锐角⊿ABC内接于圆O，∠ABC=60°，∠BAC=36°，作OE⊥AB，交劣弧于点E，连结EC，则∠OEC=__________.
4.梯形的面积是24，中位线长是3cm，
高是 _______cm。

四、作图题（本题8分）
如图，已知：线段a，b，角，求作：,使AC=a，BD=b，对角线AC、BD的夹角∠AOB=。

五、证明题（本题3小题，每小题9分，共27分）1．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，
E，DE与AC相交于点P.
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长;
B
E
D
O1
O2
A
P
C
2.如图,在梯形ABCD中,已知AD//BC,BA,CD的延长线相交于
E,EF//DB交CB的延长线于F,在BC的延长线上取CG=BF.
求证:EG//AC.
六、探究题（本题15分）
国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，有四个村庄，A, B, C, D正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如下图的实线部分。

请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线（参考数据：）
附：参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1C；2D；3A；4A；5A；6B；7C；8C.
二、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分）
1 √；2× ；3√；4×；5. √
三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
1. 180° 。

2. 左 ,10 ；上 12 ；
3. 12 ；
4. 8 。

四、作图题（8分）
如图，已知：线段a，b，角，求作：,使AC=a，BD=b，对角线AC、BD的夹角∠AOB=。

作法：先作△AOB，使
再延长AO到C，BO到D，使AO=CO，BO=DO，
连结AB、BC、CD、DA，
则四边形ABCD就是所求作的平行四边形。

五、证明题（27分）
1．（1）证明：连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D，B
E
D
O1
O2
A
P
C
又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E。

∴AD∥EC （4分）
（2）设BP=x，PE=y，∵PA=6，PC=2，∴xy=12，①∵AD∥EC，∴②，
由①②可得，或（舍去）∴DE=9+x+y=16，
∵AD是⊙O2的切线，∴AD2=DBDE=9×16，∴AD=12。

（9分）
2.如图,在梯形ABCD中,已知AD//BC,BA,CD的延长线相交于E,EF//DB交CB的延长线于F,在BC的延长线上取CG=BF.
求证:EG//AC.
分析:一般说,若能找到公用底边在
一线段上,而它们的顶点在另一线段
上的两个三角形,就有可能把证明两
直线平行的问题转化为证明两个三
角形等积的问题.
证明过程略
提示：如图添加辅助线，具体过程略
六、探究题（15分）
国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，有四个村庄，A, B, C, D正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如下图的实线部分。

请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线（参考数据：）
（1）（2）（3）（4）
解：不妨设正方形的边长为1（也可设为a），则图（1）、（2）的总路线长分别是
AD+AB+BC=3, AB+BC+CD=3;
图(3)中总线路长为
图（4）中，延长EF交BC于点H，则F H⊥BC, BH=HC.
由∠FBH=30°,BH=及勾股定理得
此时，总线路长为.
显然3>2.828>2.732.
∴图（4）的连结线路最短，即图（4）的架设方案最省电线。