初等几何研究综合测试题(十三)

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初等几何研究试题答案(5)

+ = + + +
∴SQ⊥PR 3、凸四边形 ABCD 的每条对角线皆平分它的面积，求证:ABCD 是平行四边形。
★撼海一舟★作品,
A
百度用户名 fashengzhong
B
F O E D C
证明：设 AC 和 BD 相交于点 O，作 AE⊥BD 于 E，CF⊥BD 于 F，连接 AF，CE ∵对角线 BD 平分四边形 ABCD 的面积 ∴S△ABD＝S△CBD ∴AE=CF 又∵AE⊥BD，CF⊥BD ∴AE∥CF ∴四边形 AECF 为平行四边形 ∴AO=CO 同理可得 BO=DO ∴四边形 ABCD 是平行四边形
百度用户名 fashengzhong
13. 在△ABC 中，AB=AC, O 为外心，D 为 AB 的中点，E 是△ACD 的重心。证明：OE⊥CD
A
D O G
E
F
M
B
H
C
证明：∵E 是 ACD 的重心。∴ ∵G 是△ABC 的重心。∴
AE 2 AM 3
DG 1 1 。∴DG= DC GC 2 3 1 DG 2 ∵M 是 DC 的中点。∴DM= CD。∴ 。 2 DM 3 DG AE ∴ 。∴EG∥AD. DM AM
10. P 是正方形 ABCD 边 CD 上的一点，过 D 作 AP 的垂线分别交 AP、BC 于 Q、R，O 是正方形的中心，求证：ＯＰ⊥ＯＲ。

精品《初等几何研究》练习题

A 12
设⊿ABC 的内角和为 x，用ω表示直角，则∠1+∠3+∠5=x，∠2+∠4+∠6=x；
5
34 6
B
D
C
∵∠3+∠4=2ω，且∠1+∠2+∠5+∠6=x，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2x，
即 x +2ω= 2x，因此 x =2ω，得证。
三、轨迹问题： 1、若三角形底边固定，其顶点在过底边一端的定直线上移动，则该三角形外心的轨迹是底边的垂直平分线。
定理的推论.
14、证明直线和圆的连续性时，主要依据了
原理.
15、罗氏平行公理是：
.
16、在罗氏几何中，共面的两条直线有
种关系，它们分别是
17、几何证明的通用方法一般有法、法、法、法、
法、法等.
18、等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线段中，最长线段与另两条线段之和具有
的关系.
19、尺规可作图的充要条件是
C 中任一点，若 a 通过线段 AB 上一点，则
。
31．命题“过圆内一点的直线必与该圆相交于两点”是由
公理保证的。
32．欧氏几何公理系统共有组公理，它们分别是
。
33．写出一条与罗氏平行公理等价的命题：

初等几何研究复习题

习题1.设梯形两底之和等于一腰，则此腰两邻角的平分线必通过另一腰的中点。已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC,AB=AD+BC,E 是DC 中点

求证：∠DAB 与∠ABC 的平分线必经过E 点。证明（同一法）：

设∠DAB 与∠ABC 的角平分线交于E ′点，只需证E ′点与E 点重合。 ∵AD ∥BC

∴∠DAB+∠ABC=180° ∵∠1=∠2, ∠3=∠4, ∴∠2+∠3=90° ∴∠A E ′B=90°

作Rt △ABE ′的斜边AB 上的中线 FE ′，则 FE ′=2

1AB=AF=BF

∴∠2=∠A E ′F, ∠3=∠B E ′F ∴∠1=∠2=∠A E ′F , ∴E ′F ∥AD ∥BC

连结EF,则EF 为梯形 ABCD 的中位线, E F ∥AD ∥BC ∴E ′F 与EF 共线

∵FE ′=2

1AB=2

1(AD+BC), FE =2

1(AD+BC)

∴E ′F = E F

∴E ′与E 重合，证毕.

习题2.A 是等腰三角形ABC 的顶点，将其腰AB 延长至D ，使BD=AB 。知CD=10厘米，求AB 边上中线的长。

解：过B 作BF ∥AC 交CD 于F ，则BF 是△DAC 的中位线。 ∴BF 2

1AC

∴∠FBC=∠ACB

又∠ACB=∠ABC ，AB=AC ∴∠FBC=∠ABC ，BF=2

1AB=BE

1∴△EBC ≌△FBC （SAS ） ∴CE=CF=21

CD=2

1×10=5cm

即△ABC 中边上的中线CE 的长为5厘米。

习题3.证明：等腰三角形底边延长线上任一点到两腰距离之差为常量。

初联难度几何题100道

第一题：

已知：外接于⊙，，，，、相交于点，点为弧的中点，连接、。

求证：为等腰三角形

第二题：

如图，为正方形边上一点，连接、，延长交的平行线于点，连接。

求证：

第三题：

已知：中，，，。求证：

第四题：

已知：中，为边的中点，，。求证：

第五题：

如图，四边形的两条对角线、交于点，，，，，。求。

第六题：

已知，，，。求证：

第七题：

如图，切⊙于，为圆的直径，为⊙的割线，、与直线相交于、。

求证：四边形为平行四边形

第八题：

已知：在中，，，，。求证：

第九题：

已知：正方形中，，求证：为正三角形。

第十题：

已知：正方形中，、为、的中点，连接、，相交于点，连接。

求证：

第十一题：

如图，与都是等腰直角三角形，，，交于，求证：

第十二题：

已知：中，，的角平分线与的角平分线相交于点，且。

求证：

第十三题：

已知：在中，，，平分。求证：

第十四题：

已知：中，，是的中点，过作于，连接，取中点，连接。

求证：

第十五题：

已知：中，，，为上一点，，连接。求证：

第十六题：

已知：与均为正方形，、、、分别为、、、的中点。

求证：为正方形

第十七题：

如图，在三边上，向外做三角形、、，使，

，。

求证：与垂直且相等。

第十八题：

如图，已知是⊙的直径，是中点，、交⊙于点、，、是⊙的切线，、相交于点，连接。

求证：

第十九题：

如图，三角形内接于⊙，两条高、交于点，连接、。若，，，求三角形面积。

第二十题：

如图，，，，，求。

第二十一题：

已知：在中，，为上一点，是的中点，。求证：

第二十二题：

已知正方形，是上的一点，以为直径的圆⊙交、于、，射线、交于点。

求证：点在⊙上。

第二十三题：

初等几何研究试题答案(1)(李长明版)

初等几何研究试题答案（I）

一、线段与角的相等

1. ⊙O1、⊙O2相交于A、B,⊙O1的弦BC交⊙O2于E,⊙O2的弦BD交⊙O1于F,

求证: （1）若∠DBA=∠CBA,则DF=CE;

(2) 若DF=CE,则∠DBA=∠CBA.

证明:(1)连接AC、AE、AF、AD

在⊙O1中,由∠CBA=∠DBA得AC=AF

在⊙O2中,由∠CBA=∠DBA得AE=AD

由A、C、B、E四点共圆得∠1=∠2

由A、D、B、E四点共圆得∠3=∠4

所以△ACE≌△AFD

∴DF=CE

(2)由（1）得∠1=∠2,∠3=∠4

∵DF=CE

∴△ACE≌△AFD

∴AD=AE

在⊙O 2中,由AD=AE 可得∠DBA=∠CBA

2. 在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90O ,D 是AC 上的一点,AE ⊥BD 的延长线于E,又AE=1

BD, 求证:BD 平分∠

ABC.

证明:延长AE,BC 交于点F

AED BCA 90 ADE BDC CBD CAF

ACF BCA 90 AC BC ACF BCD AF BD

AE BD AE AF

ABEE BE BE ABF BD ABC

∠=∠=︒∠=∠∴∠=∠∠=∠=︒=∴∆≅∆∴==∴=⊥∴∠∠又又又平分即平分

3. 已知在凸五边形ABCDE 中,∠BAE=3α,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=180º－2α,

求证:∠BAC=∠CAD=∠DAE.

证明:连接BD,得ΔCBD是等腰三角形

且底角是∠CDB=[180º－(180º－2α)]÷2=α.

初中数学千题解——几何综合100道(学生版)

几何综合100题

一、不定项选择

1．如图3.1所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝30°，点D 为AB 的中点，点E 在BC 上，CE ＝3BE ，AE 与CD 交于点F ．下列四个结论中正确的结论序号为__________．

图3.1

（1）∠AFC ＝60°; （2）

AF CD ＝13

; （3）AF FE ＝43; （4）ADF BEFD S S ＝25．

2．如图3.2所示，在平行四边形ABCD 中，BE 平分∠ABC ，CF ⊥AD ，BE 与CF 交点H ，已知∠FEB ＝45°，FD ＝8，CH ＝9．下列四个结论中正确的结论序号为__________．

图3.2

（1）BC ＝CE ＝CF ；

（2）AB ＝16；（3）tan ∠AHF ＝6

；

（4）S △BEC ＝135017

．

3．如图3.3所示，已知点E为正方形ABCD的边CD上一动点（不与点C、D重合），将△BCE沿BE边翻折得到△BFE，连接AF并延长交BE的延长线于点P，连接PD、PC．下列四个结论中正确的结论序号为__________．

图3.3

（1）PB PD

；

（2）PA PB

PC PD

＝

；

（3）AF

；

（4）若DE＝2CE，AB＝

PA＋PB＋PC＋PD＝18＋

．

4．如图3.4所示，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点E在线段CD上，直线AF、DG交于点H，AF、DC交于点N，BD、AF交于点M．当点E在线段CD上运动时（不与点C、D重合），下列四个结论中正确的结论序号为__________．

初三数学几何综合题专题复习练习.docx

初三数学几何综合题专题复习练习

—、几何综合题特点：

解证几何综合问题：就是从逻辑推理和定量计算的角度来探求新的、未知的结论.通俗地讲就是创造条件实现由已知向未知的转化.综合题是知识、方法、能力综合型试题，具有知识容量大、解题方法活、能力要求高、突现数学思想方法的运用以及要求学生具有一定的创新意识和创新能力等特点.

纯几何综合题包括:

1.利用圆的知识可以隐含三角形，形成与直角三角形结合的问题，其中包括求线段长、求角度、求阴影部分的面积以及图形面积问题（不能排除直线形问题）

2.图形变换问题：这是一个独立形成综合题问题的知识点.几何综合题以几何图形的位置, 元素之间的关系为核心.以直线或者圆为支撑点，包括多个知识点，多种解题思想方法，多步骤等特点，多为探讨几何本质：研究平面几何图形在运动变化过程中的不变性质和不变量，或者变化规律的问题.

二、中考对几何综合题的考查方面：

连续运动变化过程中，不变结论或者变化规律的探究，特定状态的定量计算;点的轨迹特征.

三、常见几何综合题的入手点：

1.题目的背景都是几何变换，而且不止是一种变换

2.考察学生根据文字描述准确作图的能力

3.采用“问题探究一问题解决”的模式展开问题，立意新颖，构思巧妙,设问起点低,坡度大，难点分散，各小题之间承接性强，层层深入，第一问到第二问按特殊到一般的思想融入，入手自然，深入不难

4.多以常见的全等结构为基础加以变化、引申呈现出题目，多有一定的新颖性和探究性，往往需要转化或还原成一些基本图形，所得图形都是学生做过多次、教师重点讲解过的基本图形。探究性体现出“去模式化”的命题思路，转化和还原的基本图形和基本结构则是“模式化'的

初中数学几何综合-含答案

一．选择题（共13小题）

1．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M 不与B、C重合），过点C作CN垂直DM交AB于点N，连结OM、ON、MN．下列四个结论：其中正确结论是（）

①S四边形ABCD＝4S四边形ONBM；

②BM2+CM2＝2ON2；

③△CON≌△DOM；

④若AB＝2，则S△OMN的最小值是1．

A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④

2．如图，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，BD分别交AE、AF于M、N，连MF、EF，下列结论：①MN2＝BN2+DM2；②DE+BF＝EF；③AM＝MF且AM⊥MF；④若E为CD 中点，则＝．其中正确的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD相交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝3，P为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠NPM时，PM﹣PN值为（）

A．1B．C．2D．

4．如图，在正方形ABCD内一点E连接BE、CE，过C作CF⊥CE与BE延长线交于点F，连接DF、DE．CE＝CF＝1，DE＝，下列结论中：①△CBE≌△CDF；②BF⊥DF；

③点D到CF的距离为2；④S四边形DECF＝+1．其中正确结论的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

5．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M．则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB．其中正确结论的有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

初三数学几何综合练习题(20200702182437)

初三数学几何综合练习题

1.在AABC中，ZC=90°, AC=BC,占D在射线BC上(不与点B、C战合)，连接AD,将AD绕点D顺时针旋转90。得

至l]DE,连接BE

(1)如图1,点D在BC边上.

①依题意补全图1:

②作DF丄BC交AB于点F,若AC=8, DF=3,求BE的长：

(2)如图2,点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB、BD、BE之间的数最关系

(直接写出结论).

2.已知：RtAAEC'和RtZkABC 重合，ZA'CB=ZACB=90。，ZBA'C'=ZBAC=30。，现将RtZk ABC'绕点B 按逆时针方向旋转角a (60・WaW90。)，设旋转过程中射线CTC和线段AA，相交于点D,连接BD・

(1)当0=60。时，AE过点C,如图1所示，判断BD和A'A之间的位盘关系，不必证明：

(2)当《=90。时，在图2中依题意补全图形，并猜想(1)中的结论是否仍然成立，不必证明：

(3)如图3,对旋转角承60*

3.如图1,已知线段BC=2,点8关于直线AC的对称点是点D,点E为射线C&上一点，且ED=BD,连接DE, BE.

(1)依题总补全图九并证明：ABDE为等边三角形：

(2)若Z4C8=45°，点C关于直线BD的对称点为点F,连接FD、FB^^CDE绕点D顺时针旋转a度(0。VaV360。)得到△ C DE，点E的对应点为F,点C的对应点为点U・

①如图2,肖Q=30。时，连接BCl证明：EF=BC ；

②如图3,点M为DC中点，点P为线段C E ±的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM长度的取值范围?

初等几何研究试题答案(7)

1 2
(∠AO2B+∠BO3C)
∠CDA=
1 2
(∠CO1D+∠DO1A)
∵四边形 O1O2O3O4 顺次 ABCD
∴四边形 ABCD 对角互补
3.设 P、M 分别在正方形 ABCD 的边 DC、BC 上，PM 与⊙A（半径为 AB）相切，线段 PA、 MA 分别交对角线 BD 于 Q、N. 求证：五边形 PQNMC 内接于圆。
∠B’MC=∠1+∠2=∠3+∠4
由对称性知 BC∥B’C’,过 A‘作 BC 的平行线，则有
∠3+∠4=∠5+∠6=∠BA’C’
再由对称性知∠BA’C’=∠B’AC
∴∠B’MC=∠B’AC
∴M 在△CAB’的外接圆上
同理，M 在△ABC’的外接圆上
故△BCA’, △CAB’, △ABC’与△A’B’C’的外接圆共点。
O1
A
O2
D
B
O4
C
O3
证明：设
O1，O2，O3，O4
顺次外切于
ABCD.则∠ABC=
1 2
(∠AO2B+∠BO3C)
∠CDA=
1 2
(∠CO1D+∠DO1A)
再注意到四边形 O1O2O3O4 顺次 ABCD，即知四边形 ABCD 对角互补
∵O1，O2，O3，O4 顺次外切于 ABCD

初三数学几何综合大题

1.如图1，在△ACB中，∠ACB=90°，CA=CB，点D，E分别在边CA，CB上，

CD=CE，连接DE，AE，BD，过点C作CF⊥AE, 垂足为H，直线CF交直线BD

于F.

（1）求证：DF=BF；

（2）将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转，其他条件不变，如图2，（1）的结

论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；

（3）若CD=2，CB=4，将△CDE绕点C逆时针旋转一周，当A，E，D三点共线时，直接写出CF的长。

2.如图1，在△ABE和△ACD中，AE=AB，AD=AC,且∠BAE=∠CAD，则可证明得到△AEC≌△ABD.

【初步探究】（1）如图2，△ABC为等边三角形，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ，连接QB.请写出AP与BQ的数量关系并说明理由；

【深入探究】（2）如图3，在（1）的条件下，连接PB并延长PB交直线CQ于点D.当点P运动到PD⊥CQ时，若AC=√(2)，求PB的长；

【拓展探究】（3）如图4，在△ABC中，∠ACB=45°，以AB为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角△ABD，连接CD，若AC=1，BC=3，则CD长为____.

3.已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，∠DAE=∠BAC.

【初步感知】（1）特殊情形：如图1，若点D，E分别在边AB，AC上，则DB____EC.(填>、<、=)

（2）发现证明：如图2，将图1中△ADE绕点A旋转，当点D在△ABC外部，点E在△ABC 内部时，求证：DB=EC.

初等几何研究课后题答案

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初等几何研究期末试题及答案

初等几何研究期末试题及答案第一题：

已知四边形ABCD中，AB = 6cm，BC = 8cm，∠ABC = 90°，角ADC的度数为60°。求四边形ABCD的面积。

解析：

由题意可知，四边形ABCD为一个平行四边形，且∠ABC = 90°，∠ADC = 60°。

首先，我们可以使用正弦定理求得∠BAC的度数。根据正弦定理可以得到：

sin∠BAC/AB = sin∠ABC/AC

sin∠BAC/6 = sin90°/AC

sin∠BAC/6 = 1/AC

AC = 6/sin∠BAC

接下来，我们可以使用余弦定理求得AC的长度。根据余弦定理可以得到：

AC² = AB² + BC² - 2AB·BC·cos∠ABC

AC² = 6² + 8² - 2·6·8·cos90°

AC² = 100

AC = √100

AC = 10

再次，我们可以使用正弦定理求得AD的长度。根据正弦定理可以得到：

sin∠ADC/AC = sin∠CAD/AD

sin60°/10 = sin∠CAD/AD

√3/10 = sin∠CAD/AD

AD = 10sin∠CAD/√3

最后，我们可以计算四边形ABCD的面积。四边形ABCD可以分成两个三角形，即△ABC和△ACD。面积公式为：

四边形ABCD的面积 = △ABC的面积 + △ACD的面积

= (1/2)·AB·AC + (1/2)·AC·AD

= (1/2)·6·10 + (1/2)·10·10sin∠CAD/√3

= 30 + 50sin∠CAD/√3

综上所述，四边形ABCD的面积为30 + 50sin∠CAD/√3。

初等几何研究作业参考答案

《初等几何研究》作业参考答案

一．填空题

1．①射线（或半直线），②。

2. ①两，②度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理。

3．①前4组公理（或绝对几何），②平行公理。 4．①平移，②旋转，③轴对称. 5．

1=⋅⋅ZB

YA CY XC BX 。 6．①交轨法，②三角奠基法，③代数法，④变换法。 7．①反身性、②对称性、③传递性、④可加性. 8．外角. 9．答案不惟一.

10．①演绎，②综合，③直接，④反证，⑤同一； 11．

1=⋅⋅ZB

YA CY XC BX .（答－1也对） 12． ①过两点可作一条直线（或其部分），②已知圆心和半径可作一圆(或其部分). 13．①不共线的三点A 、B 、C 及(AB)、(BC)、(CA)构成的点的集合。 14．连续. 15．答案不惟一. 16．①不过，②圆.

17．1=⋅⋅ZB AZ

YA CY XC BX （或－1）.

18．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论. 19．①相容，②独立，③完备.

20．合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等

21．对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至少有两条过A 与a 不相交的直线. 22．①代数，②解析，③三角，④面积，⑤复数，⑥向量. 23．相等。

24．所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出．二．问答题

1．对于公理系统∑，若有一组具体事物M ，其性质是已知的，在规定∑中每一个基本概念指M 中某一具体事物后，可验证∑中每个公理在M 中都成立，则称M 为公理系统∑的一个模型；

初等几何期中复习题及解答

期中复习题

一、填空

1. 若a ∥b ，b c ⊥，则（a c ⊥）。

2. 四边形四个外角之和是（360）。

3. 叙述梅涅劳斯定理（按教材56P 注解，指梅涅劳斯定理的逆定理）

用有向线段的数量叙述：设P 、Q 、R 分别是ABC ∆三边AB 、BC 、CA 或延长线上的点（这里不约束延长线上点的个数），若

1AP BQ CR

PB QC RA

⋅⋅=- （等式右侧是1-）则P 、Q 、R 三点共线。

用线段的长度叙述（中学版）：设P 、Q 、R 分别是ABC ∆三边AB 、BC 、CA 或延长线上的点，且奇数个点在延长线上（这里约束延长线上的点为1个或3个），若

1AP BQ CR

PB QC RA

⋅⋅= （等式右侧是1+）则P 、Q 、R 三点共线。

4. 三角形外接圆周上任一点在三边（所在直线）上的射影（共线），这直线称为（西孟孙线）。

5. 叙述三角形外角平分线性质定理：（如果三角形的外角平分线分对边成两条线段，则这两条线段和相邻的两边对应成比例）。

6. 三角形中，（三边中点，三垂足，垂心与三顶点连线段的中点）这九点共圆，称为三角形的九点圆。

7. 三角形的九点圆半径是三角形外接圆半径的（一半）。 8. 群的定义：G 为集合，“”是定义在G 上的二元运算，如果满足下列（指全部）条件：

（1）G 对运算是封闭的；

（2）G 对运算满足结合律，即()()a b c a b c =；

（3）G 中存在唯一一个单位元e ，对G 中任一元a ，满足关系e a a e a ==；注由此可以推出G 非空。

（4）对G 中每个元素a ，在G 中都存在逆元1a -，使得11a a a a e --==。则称G 在“”之下构成一个群(,)G ，简称群G 。

初等几何研究模拟卷4答案

华东师大网络学院考卷

《初等几何研究》模拟考卷4答案

课程名称：__初等几何研究_______ 学生姓名：___________________ 学号：___________________ 专业：___________________

…………………………………………………………………………………………

一、（10分）叙述非欧几何的Poincare上半平面模型,并说明在Poincare上半平面模型中欧

氏几何的平行公理不成立。

答:见讲义第一章第三节Poincare上半平面模型的介绍.

ABCD AB CD AD BC ABCD

+=+

二、（10分）凸四边形中已知则四边形一定有内切圆.

C E C

图1 图2 图3 ()

AD AB BC

CD D BC E AB DE AD BE AB CD AD BC

DC CE DE

CDE DC CE DE

CD D BC

证间接证法穷举法

假设结论不成立作一圆与、、相切。

第一种情形，此圆与相交，如图，过作圆之切线与的延长线交于，

由切线性质知＋＝＋，而已知条件为＋＝＋

则＋＝

这和三角形的两边之和＋大于第三边矛盾.

第二种情形，此圆与相离，如图3，过作圆之切线与的交于E

AB CD AD BC DE EC CD

CDE DE EC CD

，由切线

性质及已知条件＋＝＋，得＋＝

这和三角形的两边之和＋大于第三边矛盾. 证毕.

,,,ABC AB AC BD CE B C BD CE

>∠∠> 三、（10分）如图所示，在中，分别是的平分线，

求证：

.,,.,,,,: //BD CE O AB AC C B OCB OBC OB OC OD OE BD CE OD OE OE OF OD OB OH OC HF OCD OHF