构造几何模型巧解排列组合
完整版例析立体几何中的排列组合问题
例析立体几何中的排列组合问题过月圆春晖中学在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。
立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势，体现了《考试大纲》要求的在知识交汇处命题的指导思想，应引起考生的重视。
立体几何中的计数问题也是高考的热点题型，解决这类问题的基本方法是以点带面法，下面列举立体几何中排列、组合问题的几个例子。
1 点1．1 共面的点11997年全国高考（文））（例A3A在同四面体的一个顶点为个点，使它们和点，从其它顶点与棱的中点中取）一平面上，不同的取法有（A30 B33 C36 D39种种．种．．．种4666A所解析：四面体有个中点，每个面上的个顶点，个点共面。
点条棱有34AA个面内，共有在点组合有个，点在的每个面中含个组合；点的A6333点与这条棱对棱的中点共面。
条棱的个点，这条棱上，每条棱上有在A共面的四点组合共有个。
所以与点B答案：97文科试题中难度最大的选点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属3点与它对棱上的中点共面的情况计择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的算在内。
1．2 不共面的点21997年全国高考（理））（例104个不共面的点，不同的取法共有个点，在其中取四面体的顶点和各棱中点共）（A150 B147 C144 D141种．种．种．种．410 4点共面的情况有三类：第一个点中任取个点有解析：从种取法，其中4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上类，取出的346种；第三类，由中位线构成的平行四边的个点及对棱的中点，这点共面有43种。
形，它的个顶点共面，有以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有种。
D答案：。
点评：此题难度很大，是当时高考中得分最低的选择题，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。
2 直线例3（2005年全国高考卷Ⅰ（理））过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A．18对B．24对C．30对D．36对分析：选项数目不大，若不宜用公式直接求解，可考虑用树图法。
排列组合常见模型及解题技巧
排列组合常见模型及解题技巧排列组合常见模型及解题技巧___________________________________排列组合是数学中的一个重要概念，其主要用于解决有关物品数量、顺序、种类等问题，十分重要。
尤其在中考、高考中，排列组合模型非常常见。
因此，想要在考试中取得好成绩，需要对排列组合的相关知识有所了解。
### 一、常见的排列组合模型1. 元素排列模型：当有n个元素时，可以有n!种不同的排列方式。
2. 重复的排列模型：当有n个元素中有m个重复的元素时，可以有$\frac{n!}{m!}$种不同的排列方式。
3. 选择排列模型：当从n个元素中选出m个元素进行排列时，可以有$\frac{n!}{(n-m)!}$种不同的排列方式。
4. 组合模型：当从n个元素中选出m个元素进行组合时，可以有$\frac{n!}{m!(n-m)!}$种不同的组合方式。
5. 组合中出现重复的情况：当从n个元素中选出m个元素进行组合时，若有k个重复的元素，可以有$\frac{n!}{(m-k)!(n-m)!}$种不同的组合方式。
### 二、解题技巧1. 明确问题：排列组合问题一般都是要求出物品的总数量或者某一种情况出现的总次数。
因此，在解决这样的问题之前，要明确问题是要计算出总数量还是总次数。
2. 对物品进行分类：在解决排列组合问题时，要明确物品的数量、重复的情况以及可以选择的情况，将物品分成不同的分类。
3. 认真计算：根据不同的情况，选择对应的模型来计算出总数量或者总次数。
在计算之前一定要仔细地去理解问题，以免出错。
4. 熟悉常用公式：在处理排列组合问题时，要能够准确地使用对应的公式来计算出正确的答案。
因此，对于常用的公式一定要牢记于心，并能够准确地使用。
### 三、总结通过本文，我们可以了解到排列组合常见的几个模型以及如何正确地使用它们来解决问题。
排列组合问题是数学考试中常见的问题之一，因此在备考考试时一定要加强对这方面的学习。
构造模型解决排列组组
例8.把圆分成10个不相等的扇形,并且用红、黄、蓝三种颜色给扇形染色,但不允许相邻的扇形有相同的颜色,问共有多少种染色法?
解析:前9个扇形依次染色并不难,但第10个扇形既与第九个相邻也与第1个相邻,这两个扇形颜色可能相同也可能不相同,所以直接用记数原理有困难,但建立递推关系并不难．
设将圆分成n个不相等的扇形时,满足题设的染法有 种．依次记n个扇形为s ,…s .显然a1=3.当n=2时，先对s1染色，有3种方法；s1染色后再对s2染色，有2种方法，故a2=6.当n≥3时，我们依次对s ,s2,…s 染色．对s1染色，有3种方法，对s1染色后再对s2染色有2种方法，同样的对s3,s4…,sn分别有2种方法，由乘法原理共有3·2n-1种染色方法．但这样做sn与s1有可能同色．即在3·2n-1种染色方法中包含了sn与s1同色的染色方法．对于sn与s1同色的情形，拆去sn与s1的边界使sn与s1合并，便得到将圆分为n-1个扇形时同色不相邻的染色方法，这样的情况有an-1种．故an=3·2n-1-an-1(n≥3)．所以
构造模型解排列组合题
一.构造组合模型巧证组合等式
教科书在研究组合数的两个性质① ，② 时，给出了组合数定义的解释证明，即构造一个组合问题的模型，把等式两边看成同一个组合问题的两种计算方法，由组合个数相等证出要证明的组合等式。这种构造法证明构思精巧，把枯燥的公式还原为有趣的实例，能极大地激发学习兴趣。本文试给几例以说明。
二.构造闸板模型解组合题
例5.方程 的非负整数解的组数是多少？
分析：设 则 原题即转换为 有多少正整数解。可由抽象到具体建立如下模型：将12个小球排成一列，在它们两之间形成的缝隙中任意插入3块木板，则把这12个球分成4组，而这4组的数目即为 即原方程的非负整数解是： （组）.
排列组合常见21种解题方法
排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类1办法中有m种不同的方法，…，在第n类办法中有n m种不同的方法，那么2完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步1有m种不同的方法，…，做第n步有n m种不同的方法，那么完成这件事共2有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合问题的解答技巧和记忆方法
排列组合问题的解题策略关键词：排列组合,解题策略①分堆问题；②解决排列、组合问题的一些常用方法：错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法(留空法). 一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。
评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。
二、不相临问题——选空插入法例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 .评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。
三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。
例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。
例4．(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法.例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。
解排列组合问题的常用技巧
解排列组合问题的常用技巧排列组合是高中数学的重点和难点之一，也是进一步学习概率的基础，事实上，许多概率问题也归结为排列组合问题，这一类问题不仅内容抽象，解法灵活，而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，这些错误甚至不容易检查出来，所以解题时要注意不断积累经验，总结解题规律，掌握若干技巧。
解答排列组合的问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题。
其次，要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答，同时，还要注意讲究一些基本策略和方法和技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解，下面介绍几种常用的解题技巧。
一、特殊元素“优先安排法”对于带有特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，在考虑其他元素。
例⒈ 用0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） Ａ．２４个 Ｂ．３０个 Ｃ．４０个 Ｄ．６０个分析：由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为０不能排在首位，故０就是其中的特殊元素，应优先安排．按０排在末尾和０不排在末尾分为两类：①０排在末尾时，有24A 个，②0不排在末尾时，则有131312A A A 个，由分类计数原理，共有偶数3013131224=+A A A A 个，选B ．例. 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）A. 300种B. 240种C. 144种D. 96种（05年福建卷）解析：因为甲、乙不去巴黎，故从其余4人选1人去巴黎有C 41种方法，再从剩余5人中选3人去其余3市，有A 53种方法，所以共有方案C A 4153240=（种），故选（B ）。
二、总体淘汰法对于含有否定字眼的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时，应注意既不能多减也不能少减。
例⒉ 100件产品中有3件是次品，从中任取三件，其中不全是正品的选法有多少种？分析：从100件产品中选3件产品的选法有3100C 种，选好后发现3件产品都是正品的选法不符合题意，因此把这种排法除去，故有142603973100=-C C 种。
巧解排列组合及21种模型
巧解排列组合的21种模型排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握.实践证明，掌握题型和识别模式，并熟练运用，是解决排列组合的有效途径.下面就系统地介绍巧解排列组合的21种模型.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C . （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. （2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种 答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100I A =ð共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从I A ð中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种. （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+-.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种. 11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
巧解排列组合的21种模型
巧解排列组合的21种模型排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握.实践证明，掌握题型和识别模式，并熟练运用，是解决排列组合的有效途径.下面就系统地介绍巧解排列组合的21种模型.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C . （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. （2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种 答案：B .7.名额分配问题隔板法:例个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100I A =共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从I A 中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种. （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+-.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种. 11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
高中数学-排列组合21种模型
高中数学-排列组合21种模型1.排列的定义:从n 个不同元素中,任取m 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.)1()2)(1(+---=m n n n n A m n )!(!m n n -=2.组合的定义:从n 个不同元素中,任取m 个元素,并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.!)1()2)(1(m m n n n n A A C m m m nm n +---== )!(!!m n m n -=1、特殊元素和特殊位置优先策略：位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。
若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。
（转化思想，转特殊选排为任意，便能用排列数，减少分步次数）例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =2.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.（同样是转化思想）例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A、60种B、48种C、36种D、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合及有效解法
排列组合原理我们在高中数学中已经学了排列组合的基础知识了，因此大家对“排列组合”这概念应该不会是陌生的。
宇宙中的万事万物严格地说就是元素、分子、细胞等基本单元排列组合的结果，如所有分子都是由原子排列组合而成的，复杂的化学反应也是由简单的化学反应排列组合而成的；所有生物都是由不同的细胞排列组合而成的，可见排列组合知识是多么的重要！为此下面就简单介绍一下高中代数中所讲到的排列组合的一些基础知识元素通常人们把被取的对象（不管它是什么）叫做元素。
如若我们研究对象为数字（如1、2、3、4、5等）那么，这些数字也叫做元素；若我们研究的对象为地名（如: 北京、上海、广州、南京等），那么这些地名也一样可叫做元素；若我们研究的对象为字母（如：a、b、c、d等），那么这些字母也可叫做元素；若我们研究的对象为分子（如：Cl 2、Br2、H2、HCl等），那么这些分子也一样可叫做元素；若我们研究的对象为一个人（如：张三、李四、王五等），那么这些人也可叫做元素……排列那么，一般地说，从n个不同元素中，任取m（mWn）个元素，按照一定的顺序排成一列，这就叫做从几个不同元素中取m个元素的一个排列。
例如：已知a、b、c、d这四个元素，写出每次取出3个元素的所有排列。
对于初学者可以先画下图来算出：看上图V所指的字母及第二排字母三个排成一列即可得到下列排列（这就是a、b、c、d这四个元素中每次取3个元素所得的所有排列）：abv bac-cab thibal M1 (al(ku1cba dba\dhc)h hth cba i lea（l（d>有共24个排列，这个数值24是可以根据乘法原理算出来的。
数学中的乘法原理为：做一件事，完成它需要分成几个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……，做第n步有m。
种不同的方法，那么完成这件事共有N = m2Xm i Xm3X……Xm n种不同的方法。
据此从a、b、c、d这四个元素中每次取出三个排成三位数的方法共有N=4X3X2 = 24种。
组合数学中的排列组合问题的模型建立
组合数学中的排列组合问题的模型建立组合数学是数学中一个重要的分支，主要研究离散对象的组合、计数以及排列组合的问题。
在实际应用中，排列组合问题经常出现，如组队、选课、抽奖等场景。
为了解决这些问题，我们需要建立模型，以便得到准确的答案。
一、排列问题的模型建立排列是指从给定的元素集合中选择若干元素，按照一定顺序排列的方式。
排列问题中最经典的例子就是“从n个不同元素中取出m个，按顺序排列，有多少种排法？”这个问题的模型可以用P(n,m)来表示，其中P表示排列的意思。
模型建立的关键是确定问题中的要素，即n和m的取值范围。
在实际问题中，要根据具体情况来确定。
例如，在一场比赛中，有10个选手参加，要确定前3名的排名，那么n=10，m=3。
根据排列问题的模型，可以得出P(10,3) = 10!/(10-3)! = 10*9*8 = 720。
二、组合问题的模型建立组合是指从给定的元素集合中选择若干元素，不考虑顺序的方式。
组合问题中的经典例子是“从n个不同元素中取出m个，不考虑顺序，有多少种选择方式？”这个问题的模型可以用C(n,m)来表示，其中C表示组合的意思。
与排列问题不同，组合问题的关键在于不考虑顺序，即相同的元素组合方式被视为同一种情况。
以选取彩票号码为例，假设每注彩票由6个数字组成，范围是1到49。
那么问题就是“从49个数字中选取6个数字，不考虑顺序，有多少种选择方式？”根据组合问题的模型，可以得出C(49,6) = 49!/(6!(49-6)!) = 13,983,816。
三、模型建立的应用举例排列组合问题在实际生活中有广泛的应用。
举几个例子来说明模型建立的应用过程。
例1：选课排考假设某学校有5门选修课，学生需要选择其中3门进行学习，并进行考试。
如果已知每门课的选课人数不超过40人，那么有多少种不同的选课排考情况？根据问题描述，可以得出排列问题的模型 P(5, 3) = 5!/(5-3)! = 60。
则学生有60种不同的选课排考情况。
立体几何中的排列组合问题解法举隅
立体几何中的排列组合问题解法举隅立体几何中的排列组合问题解法举隅立体几何中的排列组合问题在近年的高考数学试题中出现的频次较高，且常考常新. 因为解决这类问题不仅要具备排列组合的有关知识，而且还要具备较强的空间想象能力. 因而是一类既富思考情趣，又融众多知识和技巧于一体且综合性强、灵活性高、难度颇大的挑战性问题. 解决这类问题的关键是明确形成几何图形的元素，并与排列组合形成对应关系，转化为排列组合问题，同时还要注意避免重复和遗漏. 下面结合具体例子谈谈这类问题的求解方法，供参考. 一、分步求解例1 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线有（）A. 12对B. 24对C. 36对D. 48对解由于六棱锥的6条侧棱交于一点, 底面六边形的6条边共面, 因而只能将侧1棱与底边相搭配. 第一步, 从6条侧棱中任取一条有C6种; 第二步, 从底面61条边中与这条侧棱不相交的4条边中任取一条有C4种, 由乘法原理知有11C6C4=24对, 故选B.二．分类求解例2 四边形的一个顶点为A, 从其它顶点与各棱的中点中取3点, 使它们和点A在同一平面上, 不同取法有( )A. 30种B. 33种C. 36种D. 39种3解符合条件的取法可分为两类: ①4个点(含A)在同一个侧面上,有3C5 30种；②4个点（含A）在侧棱与对棱中点的截面上，有3种. 由加法原理知不同取法共有33种，故选B.例3 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法种数是＿＿＿＿＿＿.1解分三类：5①如果用5种颜色有A5种染色方法.D图1B②如果用4种颜色，只能是底面四边形相对顶点同色. 如图1，如果A、C同色，只要考虑染S、A、B、D四顶点，有A54种染法，而B、D同色仍有A54种染法，用四色共有2A54种染法.3③如果用3种颜色，A、C同色，B、D同色，只要考虑S、A、B三个顶点，有A5种染法.53由加法原理知共有A5＋2A54＋A5＝420种染法.三、剔除求解例4 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（）A. 150种B.147种C.144种D.141种4解从10个点中任取4点，有C10种取法，再剔除掉共面的取法.44① 共面的四点在四面体的某一个面内，有C6种取法，4个面共有4C6种；② 每条棱上的三个点与其对棱的中点四点共面，有6种；③由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个顶点共面，有3种.44故不共面的取法共有C10－4C6－6－3＝141种，故选D.例5 已知正方体ABCD-A1B1C1D1. （1）以正方体顶点为顶点的四面体有多少个？（2）从8个顶点中取出3个顶点，使至少有两个顶点在同一棱上，其取法种数为多少？（3）过8个顶点中任两点的直线与直线A1B异面的有多少条？C1 D1AB 图221解（1）从所有四点的组合中去掉共面的组合，6个表面四点共面，6个对角面四点共面. 所以共有四面体C84-12＝58个.D（2）如图2，A1BD这样的三点不能满足题意，可以认为这个三点组合与顶点A对应，正方体有8个顶点，每个顶点对应一个不合题意的三点组合. 所以满足题3意的三点取法共有C8－8＝48种.2（3）在8个顶点取2个的组合中，去掉侧面ABB1A1中的两点组合有C4个，再去掉过A1不在面ABB1A1内的四条直线与过B的4条直线，还要去掉与之平行的D1C.2所以共有C82 C4 4 4 1＝13条.四、构造模型求解例6 与空间不共面的四点距离相等的平面有多少个？解由题设条件，空间不共面的四点可构成四面体，考虑四面体的四个顶点在所求平面两侧的分布，易知当所求平面位于三棱锥的顶点与底面之间时有4个；当所求平面位于三棱锥相对棱之间时有3个. 故所求平面有7个. 例7 在正方体八个顶点的所有连线中，有多少对异面直线？解构造四面体求解，因为四面体的6条棱可构成3对异面直线，从而只要求出正方体的八个顶点可构成几个四面体即可，而这恰好是本文例5（1），故可得到(C84 12) 3 174对异面直线. 五、联想有关命题求解例8 以长方体的八个顶点中的任意3个为顶点的所有三角形中，锐角三角形的个数为（）A.0B.6C.8D.24解联想课本习题：“将正方体截去一角，求证：截面是锐角三角形. ”易知从长方体的一个顶点出发的三条棱的另3个端点可构成锐角三角形，长方体有8个顶点，从而可构成8个锐角三角形，故选C.六、综合有关知识求解例9 以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有（）E11A.200个B.190个C.185个D.180个E图3C34解正五棱柱共有10个顶点，若每四个顶点构成一个四面体，共可构成C10＝210个四面体，其中四点在同一平面内的有三类：4① 每一底面的5点中选4点的组合方法有2C5个.② 5条侧棱中的任意两条棱上的四点有C52个.③一个底面的一边与另一个底面相应的一条对角线平行（例如AB∥E1C1），这样1共面的四点共有2C5个.4421故四面体的个数为C10＝180个，故选D. 2C5 C5 2C5例10 用正五棱柱的10个顶点中的5个顶点作四棱锥的5个顶点，共可得多少个四棱锥？解结合图3，以不同类型的四棱锥的底面分类可得：1① 以棱柱的底面为四棱锥底面的共有2C54C5个. 11②以棱柱的侧面为四棱锥底面的共有C5个. C611③以棱柱的对角面为四棱锥底面的共有C5个. C611④以图3中ABC1E1（为等腰梯形）为四棱锥底面的共有2C5个. C***-*****故可构成的四棱锥共有2C54C5＋C5＋C5＋2C5＝170个. C6C6C6例11 以四棱柱的顶点为顶点的三棱锥有多少个？解本题要讨论底面的形状，所求的答案与底面的形状有关.①若底面不是梯形，也不是平行四边形，则有C84－6－2＝62个.② 若底面是梯形，则有C84－6－4＝60个. ③ 若底面是平行四边形，则有C84－6－6＝58个. 综上所述，所求三棱锥的个数为62或60或58.。
构建模型巧解组合题 学法指导 不分版本
构建模型巧解组合题徐建晔排列、组合知识内容丰富，应用广泛，是学习概率统计知识的基础。
它的题型多变，解题思路灵活，解法多样，不易掌握。
若能构建模型，则能得到巧妙、新颖的解法，举例如下。
例1 8个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中。
（1）每个盒子至少有1个小球的不同放法有多少种？（2）若可以有空盒子，则不同的放法有多少种？解析：（1）将8个小球排成一排，中间有7个间隔，在这7个间隔中选出3个放上“隔板”。
如○|○○|○○○|○○，隔板将8个小球分成4部分。
每一种隔板的插法，就对应着小球的一种放法，所以不同的放法有37C 种。
（2）因为可以有空盒，所以隔板之间允许无球，插入法无法应用。
但仿效（1）可建数学模型。
将三个隔板与8个小球排成一排，有11个可放隔板的位置。
如○○||○○|○○○○，隔板将一排球分成4部分，这相当于4个盒子分别放入2个、0个、2个、4个小球。
每一种隔板的方法，就对应着小球的一种放法，排列的位置有11个，先从11个位置中选出3个位置放隔板有311C 种排法，放好隔板的同时，球的位置也就确定，所以球的放法有311C 种。
例2 空间两个平面，其中一个平面内有5个点，另一个平面内有4个点，在任意2点连成的直线中，异面直线最多有（ ）A. 360对B. 120对C. 240对D. 220对解析：同学们解题时也许会感到无处下手，若先求出有多少直线，再分类讨论有多少异面直线，则问题就显得太复杂。
若联想到一个三棱锥中有3对异面直线，此题就可转化为可确定多少个三棱锥的问题。
由题意知，最多可确定的三棱锥的个数为：120C C C C C C 153********4=++。
故构成最多的异面直线的对数为：3601203)C C C C C C (3153425243514=⨯=++。
故选A 。
例3 正方体有8个顶点，过每2个顶点引一条直线，这些直线是异面直线的对数是（ ）。
A. 28C 21B. 48C 3C. 48C 4D. )12C (348- 解析：同理，由例2可知先构造三棱锥，再求解。
14种策略7大模型绝杀排列组合
14种策略7大模型“绝杀”排列组合排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握模型和解题方法，识别并化归到模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径。
第一部分——组合的常见技巧策略一：合理分类与准确分步策略分类相加:每类方法都能独立地完成这件事 ；分步相乘:只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。
【例1】有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是法语译员，另外两名是英、法语均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译法语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？【解析】：按只会英语的有4名、3名、2名分类4431422456525524C C C C C C C C ++【例2】见后面【例19】【特别提醒】 在解排列组合问题时，一定要以两个原理为核心。
按元素的性质分类，按事情发生的过程分步。
综合题通常是整体分类再局部分步。
【类题演练】1、360的正约数（包括1和360）共有 个。
（答案24）2、工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放. 那么不同的实验方案共有____种 （答案15）；3、公司招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有______种 （答案36）；4、f 是集合{}4,5,6M =到集合{}1,0,1N =-的映射。
（答案①7；②9） ①若(4)(5)f f +(6)f =，则映射共有 个 ； ②若()3xf x +为奇数，则映射共有 个。
5、（2010湖南卷理科7)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（ ） （答案B ）（A ）10 （B ） 11 （C ）12 （D ）156、（2010浙江卷17）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复。
关于排列组合问题的模型构建
关于排列组合问题的模型构建在排列组合中有一类分装组合问题，经常以各种形式出现在各类考试中，在2002年的全国联赛中一试和加试均有体现，而这些问题都可以通过构造同一个模型来加以解决，在此本来谈谈. 【问题的提出】将n 个相同小球分装到m 个不同盒中，有多少种方法？ 【数学模型的构建】（模型一：要求每盒非空）将n 个相同小球分别装入m 个不同盒中，要求每盒非空，问有多少种不同装法？ 分析：将n 个小球排成一排，在其两两之间的n-1个空档中任取m-1个划上竖线，这样就将n 个小球分成了m-1组，如下图所示：将每组小球顺序装入m个盒子中，则划竖线的方法数就等于题中所求的方法数，即有m 1n 1C--（模型二：要求每盒至少有t 个）将n 个小球分别装入m 个不同盒中，要求每盒至少t 个，有多少种方法？ 分析：先给每盒分t-1个，则转化为：将剩下()n-m t-1 个球，分给m 个盒，要求每盒非空，得()m 1n-m t-1-1-C种分法。
（模型三：要求每盒分别有,,, 12m n n n 个）将n 个相同小球分别装入编号分别为1，2，…，m 的m 个盒子中，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，求不同的放法种数。
分析与解：首先这m 盒子中依次放入0，1，…，m-1个球，那么转化为：将剩余的()n-0+1+2+m-1…+个球，分给m 个盒子，要求每盒非空，于是共有()m 1m m-1n-12--C种方法。
（模型四：要求每盒可空）将n 个相同小球分别装入m 个不同盒中，每个盒可空，有多少种不同分法？ 分析与解：首先设想在每个盒子中放入(-1)个小球，共用去(-m ）个小球，那么转化为：将剩余的n-(-m ）个小球，分给m 个盒子，要求每盒非空，于是得()-1n--m -1m C 。
（其它可转化这种模型的几个问题）. 一、映射个数问题对于一定条件下的映射个数问题，我们同样可以构造上述模型来加以解决.1、集合{}{}5021100321,,,,,,,,b b b B a a a a A ==，若从A 到B 的映射f使得B 中每个元素都有原象，且)()()(10021a f a f a f ≤≤≤ ，则这样的映射共有多少个？（2002全国联赛，第5题）〖解析〗由于有“)()()(10021a f a f a f ≤≤≤ ”，因而本题等价于将100个相同小球放入50个不同的盒子中，每盒至少一个的问题.从而满足题目的映射的个数为9949C .2、集合{}{}8,7,6,5,4,3,2,1==B A ，从A 到B 的映射f中，求满足)5()2()1(f f f ≤≤≤ 的映射个数.〖解析〗本题等价于“将5个相同小球放入3个不同的盒子中，每盒可空的方法数”故有2172=C 个映射.二、不定方程整数解的问题对于一定条件下的不定方程解的个数问题，我们同样也可以构造上述模型来加以解决 1、试求不定方程)2(,321>≥=++++m n n x x x x m 非负整数解的组数.〖解析〗由于0≥i x ，所以令1-=i i y x ，则1≥i y ，则原不定方程解的组数与方程m n y y y m +=+++ 21的解组数相同.设想有n m +个1，将它们排成一排，每两个之间有一空隙，共有1-+n m 个，用划竖线的方法，则这些竖线将这n m +个1分成m 段，每段内1的个数即为一组m y y y ,,,21 ，它是方程m n y y y m +=+++ 21的一组正整数解，由于划竖线的方法数为11-+-n m m C，故方程解的组数为11-+-n m m C . 2、试讨论()n m a a a +++ 21展开式的项数. 〖解析〗由于()n m a a a+++ 21展开式的通项为m m x a x a x a m x x x n 2211!!!!21，其中123(0)m i x x x x n x ++++=≥ ，所以展开式的项数与不定方程n x x x x m =++++ 321非负整数解的组数相等，从而问题转化为讨论不定方程n x x x x m =++++ 321非负整数解的组数，同上可得()n m a a a+++ 21的展开式的项数为11-+-n m m C .3、（2002年全国联赛，加试第三题）在世界杯足球赛前，F 国教练为了考察721,,,A A A 这七名队员，准备让他们在三场训练赛中（每场90分钟）都上场.假设在比赛的任何时刻，这些队员有且只有一个在场上，且4321,,,A A A A 每人上场的总时间（以分钟为单位）均能被7整除, 765,,A A A 每人上场的总时间（以分钟为单位）均能被13整除.如果每场换人次数不限，那么按每名队员上场的总时间计算，共有多少种不同的情况？ 〖解析〗：设第i名队员上场的时间为)7,,2,1( =i x i 问题即求不定方程⊗=++++ 2707321x x x x 在条件 )75(13),41(7≤≤≤≤i x i x i i 下的正整数解的组数.若（),,,721x x x 是满足条件的一组正整数解，则应有),(,13,77541*==∈==∑∑N m n n x m x i ii i 于是m n ,即是不定方程)3,4(,270137≥≥=+n m n m 的一组正整数解.由不定方程的理论可求得,270137=+n m 满足条件的三组正整数解 ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==177,1020,333n m n m n m 1）在3,33==n m 时显然13765===x x x 仅有一种可能；设)4,3,2,1(7==i y x i i 于是，由不定方程334321=+++y y y y 有4960323=C组正整数解可知⊗式有4960组正整数解.2）10,20==n m 时，同样可求得原方程的正整数解组数为3488492193=∙C C， 3）17,7==n m 时则有240016263=∙C C 组，从而原方程的正整数解的组数为4960+34884+2400=42244.4、从1—20中，选取4个互补相邻的数，问有多少种方法？〖解析〗：设这四个数分别1234,,,,a a a a 因为这四个数互不相等，因此存在大小关系，不妨设1234,<<<a a a a 那么由题意的到：1111221212133232324434343544412132x 10110x 20220x 20220x 20220x 20020200x x x x x 122=-≥≥-≥⎧⎧⎧⎪⎪⎪=--≥-≥--≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪=--≥-≥--≥⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪=--≥-≥--≥⎪⎪⎪=-≥≤-≥⎪⎪⎪⎩⎩⎩-+--+--+12345令那么：++++=（）（）（）a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 434i 220x i ---≥（）+（）=130（=1，2，3，4，5）a a a从而转化：求不定方程1235i 13(x 0)++++=≥ x x x x 非负整数解的组数，即514135117-=+-CC。
用构造法巧解数学排列、组合题例谈
用构造法巧解数学排列、组合题例谈
方雅萍
【期刊名称】《教学月刊：中学版（教学管理）》
【年(卷),期】2007(000)009
【摘要】构造法即构造性解题方法，它是根据数学问题的条件或结论的特征，以问题中的数学关系为“框架”，以问题中的数学元素为“元件”，构造出新的数学对象或数学模型，从而使问题转化并得到解决的方法。
构造法本质上属于转化思想的范畴，但它常常表现出简捷、明快、精巧、新颖等特点，使数学解题突破常规，不但具有很强的创造性，而且更能让人领悟到数学的无穷乐趣和魅力，体会到数学美的无处不在。
它是非常典型的数学建模，因而具有独特的探讨价值。
下面谈谈用构造法解排列、组合题的问题。
【总页数】2页(P48-49)
【作者】方雅萍
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.用构造法巧解数学排列、组合题例谈 [J], 方雅萍
2.用填空法巧解一类排列组合题 [J], 孙昉;王强芳
3.巧解排列组合题 [J], 郑惠敏
4.用构造法妙解一道排列组合题 [J], 王井平
5.善构造巧解题——例谈构造法在数学解题中的应用 [J], 李红春
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用构造法妙解一道排列组合题
用构造法妙解一道排列组合题
王井平
【期刊名称】《数学教学研究》
【年(卷),期】2007(000)009
【摘要】在排列组合复习中，笔者的一位学生提出能否帮他解决一道难题．于是笔者就把这道排列组合题作为全班同学的选做思考题，以便培养学生的数学探究能力．
【总页数】2页(P30-31)
【作者】王井平
【作者单位】浙江省宁波市鄞州区鄞江中学,315100
【正文语种】中文
【中图分类】O1
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1.构造法妙解直线与圆的问题 [J], 孙翠玲
2.构造基本模型妙解最值问题--对一道中考题的探究与思考 [J], 杨蕴菊
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4.题小乾坤大九法妙解它——对一道调研试题多种解法的探究与评析 [J], 李益民
5.巧用堆垛术法妙解一道古题 [J], 李玉程
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