hmw几何概型1

合集下载

几何概型1

2
8
3.在区间(0,1)内任取一个数，能使方程 a 1 x 2ax 0有两个相异的实根的概率为（） D 2 1 1 2 2 ( A) ( B) (C ) ( D)1 2 4 2 2
2
思考题
1 15 2 在集合P m 关于x的方程x m x m 0至多有一个实根中， 2 4 任取一个元素x，使得式子lg x有意义的概率是（）

A
归纳几何概型的特点: (1)无限性：试验中所有可能出现的结果 (基本事件)有无限多个； (2)等可能性：每个结果（基本事件）发生具有等可能性。
概率类型
基本事件个数每个基本事件发生的可能性
概率公式
古典概型几何概型
有限个无限个
相同相同
m P( A) n
A P( A)

A
3 ( A) 8
3 ( B) 4
(C )0
( D)1
归纳小结布置作业
本节核心内容是几何概型特点及概率求法，易错点是容易找错、求错几何度量。要求在做解答题时要有规范的步骤和必要的文字说明，在平时的学习中养成良好的学习习惯！
①书面作业：课本习题3－3 A 4；B 1,
②课外思考：在等腰直角 ABC 中，过直角顶点C在 ACB 内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求 AM AC 的概率.
利用古典概型的概率公式求概率的步骤：
m P( A) n
①判定是否为古典概型；②设事件A并计算基本事件总数 n和事件A包含的基本事件个数m；③套用公式 m P（A）= 计算结果. n
情景二：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色。金色靶心叫 “黄心”。奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm.运动员在70m外射箭。假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么运动员射中黄心的概率为多少？

几何概型课件

.
（2）求解与体积有关的几何概型问题，关键是准确计算
出所求事件构成的区域体积，确定出所有基本事件构成的
区域体积，利用公式计算即可.
题型四与角度有关的几何概型的求法
例4. 如图，在平面直角坐标系中，射线OT为
60°角的终边，在任意角集合中任取一个角，
则该角终边落在∠xOT内的概率是（）
A. 1
构成事件A 的区域角度
P（A）＝试验的全部结果所构成的区域角度 . 生活中的几何概型度量区域的构造方法（1）审题：通过阅读题目，获取相关信息.（2）建模：利用相关信息的特征，建立概率模型.（3）解模：求解建立的数学模型. （4）结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论.
题型五用随机模拟法估计几何概型
几何概型
一几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型（geometric models of probability），简称为几何概型.
二几何概型的概率计算公式
在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：
构成事件A的区域长度(面积或体积)
各面的距离均大于1，则满足题意的点的区域为位于该正方体中心
的一个棱长为1的小正方体.由几何概型的概率公式，可得蜜蜂
13
1
“安全飞行”的概率为P＝ 33 ＝ 27 .
与体积有关的几何概型问题的解决思路
（1）如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，
则其概率的计算公式为
P（A）＝
构成事件A 的体积试验的全部结果构成的体积
P（A）＝试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
三均匀随机数的产生

几何概型课件

答案：23
(2)解：设上一辆车于时刻 T1 到达，而下一辆车于时刻 T2 到达，则线段 T1T2 的长度为 15，设 T 是线段 T1T2 上的点，且 T1T＝5，T2T＝10，如图所示．
记“等车时间超过 10 min”为事件 A，则当乘客到达车站的时刻 t 落在线段 T1T 上(不含端点)时，事件 A 发生．
类型 1 与长度有关的几何概型 [典例❶] (1)在区间[－1，2]上随机取一个数 x，则 |x|≤1 的概率为________． (2)某汽车站每隔 15 min 有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过 10 min 的概率．
(1)解析：因为区间[－1，2]的长度为 3，由|x|≤1 得 x∈[－1，1]，而区间[－1，1]的长度为 2，x 取每个值为随机的，所以在[－1，2]上取一个数 x，|x|≤1 的概率 P ＝23.
类型 4 用随机模拟法近似计算不规则图形的面积 [典例 4] 利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线 y＝2x 与 x 轴、x＝±1 围成的部分)的面积．
解：(1)利用计算机产生两组[0，1] 上的均匀随机数，a1＝RAND， b1＝RAND.
(2)进行平移和伸缩变换，a＝a1[N1，N)，即为点落在阴影部分的概率的近似值．
(3)统计试验总次数 N 和落在阴影内的次数 N1[满足条件 b<2a 的点(a，b)]．
(4)计算频率NN1，即为点落在阴影部分的概率的近似值．
(5)用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为 P ＝S4.所以NN1≈S4.
所以 S＝4NN1即为阴影部分面积的近似值．
归纳升华利用随机模拟法估计图形面积的步骤
A.π2
B.π4

一几何概型-32页文档资料

定义1.5 当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子区域是等可能的,则事件 A 的概率可定义为
P(A) m(A)
m()
(其中 m()是样本空间,m 的 (A)度是量构成事 A 件的子区域的 )这度样量借助于几量何来上合的理度规定的概率几称何为概 . 率
说明率的性质
(1) 对任一事件A ,有 0p(A)1;
(2 )P ( ) 1 ,P ( ) 0 ; (3) 对于两两互斥个的事可 A件 1,列 A2, 多, P(A1A2)P(A1)P(A2)
会面问题
例1 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t ( t<T ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵连.求甲、乙两人能会面的概率. 解设x,y分别为,乙甲两人到达的时
概率的古典定义具有可计算性的优点,但它也有明显的局限性.要求样本点有限,如果样本空间中的样本点有无限个, 概率的古典定义就不适用了.
把有限个样本点推广到无限个样本点的场合,人们引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另一方法 ——几何方法.
一、几何概率
定义1.4
若对于一随机 ,每试个验样本点出现能是的 ,等样可本空间所含的样本点个穷数多为,个且无具有非零的,有限的几何,即度0量 m(),则称这一随机验是一几何概 . 型的
解以x表示针投到平面上, 时a 针的中点M到最近的一条平行直线的距离,
M
x
表示针与该平行直夹线角.的
那么针落在置平可面 (x,由上 )完的全位 .确定

高中数学-几何概型知识点

（1）几何概型：几何概型知识点一般地，一个几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部的一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为P(A)=_________（一般地，线段的测度为该线段的长度；平面多边形的测度为该图形的面积；立体图像的测度为其体积）（2）几何概型的基本特点：① ____________ ② _______________例题精选例1. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求<AM AC 的概率？【分析】点M 随机的落在线段AB 上，故线段AB 为区域D ，当点M 位于如图的AC '内时<AM AC ，故线段 AC '即为区域d解: 在AB 上截取'=AC AC ，于是P AM AC P AM AC AC AB AC AB <=<===''()22)(【变式训练】如图，在等腰直角三角形ABC 中，在∠ACB 内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求<AM AC 的概率？解：在∠ACB 内的射线是均匀分布的，所以射线CM 作在任何位置都是等可能的，在AB 上截取'=AC AC ，则ACC '67.5∠=︒ ，故满足条件的概率为=67.5900.75例2. 如图，分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（）Ａ．-π24 Ｂ．-π44Ｃ．-π22Ｄ．-π42【解析】设正方形的边长为2，则1片阴影部分的面积为⎝⎭⎪--⋅⨯=-⎛⎫ππ42111211222，所以阴影部分的面积⎝⎭⎪=-=-⎛⎫ππS A 24124，=-πP A 22)(，故选C.课堂练习与作业1．已知直线y ＝x ＋b ，b ∈[－2，3]，则该直线在y 轴上的截距大于1的概率是( ). A ．B ．C ．D ．2．在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π2π ，－上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21之间的概率为( ). A ．31B ．π2C ．21D ．323．若在圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2＋y 2＝1内的概率为( ).A ．21B ．31C ．41D ．1614．如图，在边长为 3 的正方形内有区域 A （阴影部分所示），张明同学用随机模拟的方法求区域 A 的面积．若每次在正方形内随机产生 10000 个点，并记录落在区域 A 内的点的个数．经过多次试验，计算出落在区域 A 内点的个数的平均值为 6600 个，则区域 A 的面积约为 ( ) A. 5B. 6C. 7D. 85. 如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为(1,0)，且点 C 与点 D 在函数 f (x )={x +1,x ≥0−12x +1,x <0 的图象上．若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ( )A. 16 B. 14C. 38D. 126. 如图，在半径为 2R ，弧长为 4π3R 的扇形 OAB 中，以 OA 为直径作一个半圆．若在扇形 OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 ( )51525354A. 38B. 58C. 34D. 787.某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 ( )A. 13B. 12C. 23D. 348．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中随机取点，则点落在四棱锥O －ABCD (O 为正方体体对角线的交点)内的概率是( ).A ．61B ．31C ．21D ．329.在棱长为 2 的正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 内随机取一点 P ，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 ( )A. π12B. 1−π12C. π6D. 1−π610. 在区间 [−2,1] 上随机取一个实数 x ，则 x 使不等式 ∣x −1∣≤1 成立的概率为．11．已知函数f (x )＝log 2x ， x ∈，在区间上任取一点x 0，使f (x 0)≥0的概率为．参考答案1．解析：区域Ω为[-2，3]，子区域A 为(1，3]，而两个区间的长度分别为5，2．选B2．解析：在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π2π－，上随机取一个数x ，即x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π2π－，时，要使的值介于0到之间，需使－≤x ≤－或≤x ≤，两区间长度之和为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为＝．故选A.3．解析：所求概率为＝．故选D4.B 【解析】设区域 A 的面积约为 S ，根据题意有 660010000=S3×3，所以，S =5 94，所以区域 A 的面积约为 6．⎥⎦⎤⎢⎣⎡221 ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡221 ，cos x 212π3π3π2π3πcos x 21π3π31224π1π⨯⨯ 1615. B 【解析】易知点 C 的坐标为 (1,2)，点 D 的坐标为 (−2,2)，所以矩形 ABCD 的面积为 6，阴影部分的面积为 32，故所求概率为 14．6.B 【解析】阴影部分的面积为 S 1=12×4π 3×2R −12R 2=5π6R 2，扇形 OAB 的面积为S 2=4π3R 2，所以在扇形 OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率 P =S S==58．7. B 【解析】解法一：7：30的班车小明显然是坐不到的．当小明在7：50之后8：00之前到达，或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过 10 分钟，故所求概率为10 1040=12．解法二：当小明到达车站的时刻超过8：00，但又不到8：20时，等车时间将超过 10 分钟，7：50~8：30的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过 10 分钟，故等车时间不超过 10 分钟的概率为 1−2040=12．8．解析：所求概率即为四棱锥O －ABCD 与正方体的体积之比．选A9.B 【解析】点 P 到点 O 的距离大于 1 的点位于以 O 为球心，以 1 为半径的半球的外部．记点 P 到点 O 的距离大于 1 为事件 A ，则 P (A )=2 − ××12=1−π12．10.【解析】因为 ∣x −1∣≤1⇔−1≤x −1≤1⇔0≤x ≤2，所以在区间 [−2,1] 上使不等式 ∣x −1∣≤1 成立的 x 的范围为 x [0,1]，故所求概率 P =1−01−(−2)=13．11．解析：因为f (x )≥0，即log 2 x 0≥0，得x 0≥1，故使f (x )≥0的x 0的区域为[1，2]．答案：．32。

几何概型

几何概型
【变式训练】
假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率？
0←
S
→10
解：以两班车出发间隔 ( 0，10 ) 区间作为样本空间 S，乘客随机地到达，即在这个长度是 10
的区间里任何一个点都是等可能地发生，因此是几何概率问题. 要使得等车的时间不超过 3 分钟，即到达的时刻应该是图中 A 包含的样本点，pas的的长长度度=130=0.3.
几何概型
【典型例题】
(意大利馅饼问题)山姆的意大利馅饼屋中设有一个投镖靶该靶为正方形板．边长为18厘米，挂于前门附近的墙上，顾客花两角伍分的硬币便可投一镖并可有机会赢得一种意大利馅饼中的一个，投镖靶中画有三个同心圆，圆心在靶的中心，当投镖击中半径为1厘米的最内层圆域时．可得到一个大馅饼；当击中半径为1厘米到2厘米之间的环域时，可得到一个中馅饼；如果击中半径为2厘米到3厘米之间的环域时，可得到一个小馅饼，如果击中靶上的其他部分，则得不到谄饼，我们假设每一个顾客都能投镖中靶，并假设每个圆的周边线没有宽度，即每个投镖不会击中线上，试求一顾客将嬴得：（a）一张大馅饼，（b）一张中馅饼，（c）一张小馅饼，（d）没得到馅饼的概率
几何概型
【典型例题】
解析：我们实验的样本空间可由一个边长为18的正方形表示.右图表明R和子区域r1、r2、r3和r,它们分别表示得大馅饼、中馅饼、小馅饼或没得到馅饼的事件.
a p r 1R r 1 的的面面积积 = 1 8 1 2 2= 3 2 4= 0 .0 1 ；
知识点——
几何概型
几何概型几何概型
【定义】
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型.

几何概型计算公式

几何概型计算公式一、几何概型的定义。

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。

1. 一维（长度型）几何概型。

- 设试验的全部结果所构成的区域长度为L(Ω)，构成事件A的区域长度为L(A)，那么事件A发生的概率P(A)=(L(A))/(L(Ω))。

- 例如：在区间[a,b]上随机取一个数x，若A={xc≤slant x≤slant d}，其中a≤slant c≤slant d≤slant b，则L(Ω)=b - a，L(A)=d - c，P(A)=(d - c)/(b - a)。

2. 二维（面积型）几何概型。

- 设试验的全部结果所构成的区域面积为S(Ω)，构成事件A的区域面积为S(A)，那么事件A发生的概率P(A)=(S(A))/(S(Ω))。

- 例如：在边长为1的正方形内随机取一点M，若A=“点M到正方形某一边的距离小于(1)/(4)”，则S(Ω)=1×1 = 1，S(A)=1×(1)/(2)= (1)/(2)（这里是通过计算符合条件的区域面积得到的），P(A)=(S(A))/(S(Ω))=(1)/(2)。

3. 三维（体积型）几何概型。

- 设试验的全部结果所构成的区域体积为V(Ω)，构成事件A的区域体积为V(A)，那么事件A发生的概率P(A)=(V(A))/(V(Ω))。

- 例如：在棱长为1的正方体容器内随机取一点N，若A=“点N到正方体某一个面的距离小于(1)/(3)”，则V(Ω)=1×1×1 = 1，V(A)=1×1×(1)/(3)=(1)/(3)，P(A)=(V(A))/(V(Ω))=(1)/(3)。

几何概型

思考：思考辨析（2）中若将“任取一个数”改为“任取一个整数”，结果如何？
注：1.几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的，前者概率的计算与基本事件的区域长度(面积或体积)的大小有关，而与形状和位置无关.
思考：若将诊断自测2中“小于1”改为“小于等于1”结果如何？
事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关，满足以上条件的试验称为几何概型．
概率公式： P( A) A
性质：（1）无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限种； (2)等可能性：每个结果的发生具有相同的可能性。
注：2.几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.
题型一与长度（角度）有关的几何概型
思维升华：求与长度（角度）有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度（角度），然后求解。
P( A)

A

A的长度（角度）的长度（角度）
题型二与面积有关的几何概型
关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.
P( A)
A

A的体积的体积
课堂小结
1、几何概型的概念及特点 2、几何概型的公式
P( A) A
3、类型：长度型、角度型、面积型、体积型
思维升华：求解与面积有关的几何概型时，
关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根
据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，
找到全部试验结果构成的平面图形，以便求
解，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.P( A) A

几何概型

由几何概型的概率的公式，得
P( A ) 0.1 0.1 1
2.如下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率.
3.一张方桌的图案如图所示。将一颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，求下列事件的概率：（1）豆子落在红色区域；（2）豆子落在黄色区域；（3）豆子落在绿色区域；（4）豆子落在红色或绿色区域；（5）豆子落在黄色或绿色区域。
P( A)

12

12 2

7
12
8
即父亲在离开家前能得到
报纸的概率是 7 。
8
0
6.5 7.5 x(送报人到达的时间)
四.课堂小结
1.几何概型的特点.
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限个 (2)每个基本事件出现的可能性相等.
2.几何概型的概率公式.
P( A)

构成事件A 的区域长度（面积或体积）全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
几何概型
一.创设情景，引入新课
引例
取一根长度为60cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于20cm的概率是多少？
能否用古典概型的公式来求解?
二.讲解新课
（一）几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的
长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何
概率模型,简称为几何概型. 几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
在,陆羽就是一个陪衬.“亭飞,你以前练过の吧？好大の力气.”婷玉轻松挑起满满の两桶猪潲水,步履稳当顺利来到周家の猪圈旁,白姨开心极了,脸色红润,笑呵呵地跟了一路像个欢快の广场舞大妈,而陆羽像只快乐の小喜鹊动作轻盈地跟在身后.“练过些许.”面对外人,婷玉一向话不多.“你看看你,瘦叽叽の,多向亭飞学着点儿.”白姨睨了身边只会跳得快の“小喜鹊”一眼.有对比就有伤害,只怪自己掩藏太深の陆羽刹时哑口无言,忙连声应是才被放过.来到猪圈,白姨自己一勺一勺地舀起潲水倒进猪槽,居然被陆羽看见里边有许多小红薯.“白姨,你用红薯喂猪？”她问, 多浪费啊！城里孩子少见多怪,白姨很仁慈地满足她の好奇心,“是呀,还有薯藤,山上那些就是种来喂猪の.把藤呀叶呀一起剁碎混着煮熟,它们最爱吃这个,瞧,吃得多快活.”一群猪吃得吧叽吧叽嘴,乐得白姨笑呵呵.陆羽：“...”挠挠脸,多嘴,她就不该问辣么多.一旁の婷玉噗哧地笑了... 第108部分三月の雨细细の,四月の风柔柔の.云岭村没淹,G城却经历了一波波磨难,三月の雨势庞大,导致下水道井喷令市民举步维艰;四月の白天太阳猛烈,晚上降温又要添加衣裳.大街上有人穿短袖,也有人穿着长袖衫.人人都说这是一个冬夏混乱の季节,完全不懂什么**天般の温暖.同事们在陆羽上传の图画底下留下羡慕妒忌恨の评论,纷纷说要随她一起回归大自然.话是这么说,实际上没几个舍得放下现有の一切资源,因为他们不像她孤身寡人一个.活在世上の人不只是为了自己活,还要为家庭,为儿女们の未来创下坚实の基础.责任重大,再苦也得憋着.而生活中の憋屈在云岭村是不存在の,至少表面是.有句话说得没错,人以群分,在村外の人们眼里,住在云岭村の人一个个都是吃饱闲の.“朱叔,朱婶,你们在钓鱼吗？”陆羽在松溪桥边站定,好奇地往桥下看了看.水质清澄透彻,一眼能看到河底の沙石,小鱼小虾畅快地游来游去,貌似没发现有大鱼.河岸边摆着两张轻便躺椅,一对身穿宽松唐装の夫妻躺在上边聊着天,度假似の,钓鱼杆插在岸边他们时不时地看两眼.“是呀,昨天看见几条好肥の,趁今天没什么游客进村过来清静一下.”朱姨笑笑说,看了桥上の姑娘一眼,“你要出去？怎么不骑车？我家有单车借你吧.”说罢就要起身回去取.“不不不,”

人教教材ppt《几何概型》实用PPT1

几何概型的概率计算公式
P(
A)
构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
7
想一想：
几何概型的特征
（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）每个基本事件出现的可能性相等
古典概型与几何概型的区别
• 相同：两者基本事件发生的可能性都是相等的； • 不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型
•
3.中国作家结识雨果已经近一百年。当伟大的雨果以其壮丽风采开辟着一个理想的正义世界的时候，当他以浪漫主义的狂飙之势席卷风云变幻的欧罗巴的时候，中国还是一只沉睡的雄狮，尚未向世界打开广泛的视听。
•
4.意义的追求是每一章散文诗必须坚持的，是她的生命线。没有任何意义的散文诗，决非好作品。意义和审美是一体化的存在，只有在审美的前提下，在足以强化审美而不是削弱审美的前提下，才能实现意义的追求。
几何概型
1
复习回顾
古典概型的两个基本特点: （1）每个基本事件出现的可能性相等; （2）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.
古典概型的概率计算公式：
P(A)= A包含的基本事件的个数
基本事件的总数那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢?
试试看
问题１：下图是卧室和书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，甲壳虫分别在卧室和书房中自由地飞来飞去，并随意停留在某块方砖上，问在哪个房间里，甲壳虫停留在黑砖上的概率大？
•
7.当人们不能改变客观的社会环境时，要避免应激性疾病的发生就应该不断降低心理压力。降低心理压力的方法是多种多样的，正确认识事物，获得积极的情感体验是一个重要的方法。

《几何概型》课件人教版1

古典概型
几何概型
相同区别
基本事件发生的等可能性
基本事件个数的有限性
基本事件发生的等可能性
基本事件个数的无限性
求解方法
列举法
几何测度法
《几何概型》课件人教版1
《几何概型》课件人教版1
思考：在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率。
《几何概型》课件人教版1
A事件的区域长度10
总长度60
1 答：等待的时间不多于10分钟的概率为 6
《几何概型》课件人教版1
《几何概型》课件人教版1
例1：（2）取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.
2a
解: 记“豆子落在圆内”为事件A,
P(A)
圆的面积 πa2 正方形面积 4a2
P(A)试验A全对部应结区果域构的的成面面区积积 1域 100
2 500ml水样中有一只草履虫，从中随机取出2ml水样放
在显微镜下观察，发现草履虫的概率
P(A)试验A全对部应结区果域构的的成体体区积积 2域 150
3 某人在7：00-8：00任一时刻随机到达单位，此人
(3) 在1000mL的水中有一个草履虫，现从中任取出 2mL水样放到显微镜下观察，发现草履虫的概率.
0.002
《几何概型》课件人教版1
《几何概型》课件人教版1
练习
1.公共汽车在0～5分钟内随机地到达车站，求汽车在1～3分钟之间到达的概率。
分析：将0～5分钟这段时间看作是一段长度为5 个单位长度的线段，则1～3分钟是这一线段中的2个单位长度。
1
《几何概型》课件人教版1

几何概型 - 简单 - 讲义

几何概型知识讲解一、几何概型定义：事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型．二、几何概型具备以下两个特征：1.无限性：即每次试验的结果（基本事件）有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；2.等可能性：即每次试验的各种结果（基本事件）发生的概率都相等．三、几何概型的计算公式及步骤1.几何概型中，事件A 的概率定义为()A P A μμΩ=，其中μΩ表示区域Ω的几何度量， A μ表示区域A 的几何度量．2.几何概型的计算步骤1）把样本空间和所求概率的事件用关系式表示出来，可分两类①样本空间具有明显的几何意义，样本点所在的几何区域题目中已给出；②样本空间所求事件所对应的几何区域没直接给出，课根据题设引入适当变量，把题设的条件转换成变量所满足的代数条件；2）在坐标系中把相应的几何图形画出来；3）把样本空间和所求事件的概率所在的几何图形度量，然后代入公式()A P A μμΩ=，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，A μ表示区域A 的几何度量．四、几何概率中概率0和1的理解理解：如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它的概率为0，但它不是不可能事件，即概率为0的事件不一定是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它的概率为1，但它不是必然事件，即概率为1的事件不一定为必然事件．典型例题一．选择题（共5小题）1．（2018•西宁一模）如图，M是半径R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过R的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：本题利用几何概型求解．测度是弧长．根据题意可得，满足条件：“弦MN的长度超过R”对应的弧，其构成的区域是半圆，则弦MN的长度超过R的概率是P=．故选：D．2．（2018•新华区校级模拟）欧阳修《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”．卖油翁的技艺让人叹为观止．设铜钱是直径为4cm的圆，它中间有边长为1cm的正方形孔．若随机向铜钱上滴一滴油，则油滴（不计油滴的大小）正好落入孔中的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：由题意可得直径为4cm的圆的面积为π×22=4π，而边长为1cm的正方形面积为1×1=1，故所求概率P=，故选：A．3．（2018•安宁区校级模拟）在区间[﹣，]上随机取一个数x，则事件“0≤sinx ≤1”发生的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：在区间[﹣，]上，由0≤sinx≤1得0≤x≤，=，故选：C．4．（2018•乐山三模）2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会徽是我国古代数学家赵爽画的“弦图”，体现了数学研究中的继承和发展，如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若θ=．现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由已知，可得小正方形的边长为，故小正方形的面积，大正方形的面积S=4，故飞镖落在小正方形内得概率P=．故选：A．5．（2018•凌源市模拟）已知x，y∈[0，2]，则事件“x+y≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意x，y∈[0，2]，在平面直角坐标系中做出对应的区域，及事件“x+y≤1”对应的区域，如下图所示：所以事件“x+y≤1”发生的概率为；故选：B．二．填空题（共5小题）6．（2018•江苏二模）某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到站，在出发前在车站停靠3分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则乘客候车时间不超过10分钟的概率为．【解答】解：根据题意知这是一个几何概型，公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，∴基本事件总数包含的时间长度是15，又乘客到达车站的时刻是任意的，且出发前在车站停靠3分钟，∴满足一个乘客候车时间大于10分钟的事件包含的时间长度是15﹣13=2，满足一个乘客候车时间不超过10分钟的事件包含的时间长度是13，由几何概型公式得所求的概率为P=．故答案为：．7．（2018•江苏二模）在长为12cm的线段AB上任取一点C，以线段AC、BC为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32cm2的概率为．【解答】解：设AC=x，则CB=12﹣x，则矩形的面积S=x（12﹣x），由x（12﹣x）＞32得x2﹣12x+32＜0，解得4＜x＜8，根据几何概型的概率公式可得所求的概率P==，故答案为：．8．（2018春•启东市校级期中）人民路华石路口一红绿灯东西方向的红灯时间为37s，黄灯时间为3s，绿灯时间为60s．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到绿灯的概率为．【解答】解：∵民路华石路口一红绿灯东西方向的红灯时间为37s，黄灯时间为3s，绿灯时间为60s．∴从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到绿灯的概率为：p==．故答案为：．9．（2017•如皋市二模）在△ABC的边AB上随机取一点P，记△CAP和△CBP的面积分别为S1和S2，则S1＞2S2的概率是．【解答】解：由题意，设AB边上的高为h，则S1=，S2=，∵S1＞2S2，∴AP＞2BP，∴S1＞2S2的概率是．故答案为：．10．（2017•扬州模拟）在区间（0，5）内任取一个实数m，则满足3＜m＜4的概率为．【解答】解：区间（0，5）的区间长度为5．满足3＜m＜4的区间长度为1．由测度比为长度比可得满足3＜m＜4的概率P=．故答案为：．三．解答题（共2小题）11．某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．（Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元）．求X=60时的概率．【解答】解：设指针落在A，B，C区域分别记为事件A，B，C．则P（A）=，P（B）=，P（C）=．（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域．∴P=P（A）+P（B）=，即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率．（Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次．P（X=60）==12．节日前夕，小明的妈妈给小明买了两只可以装电池的发光玩具狗．这两只玩具狗在装满电池后，都会在打开电开关后的4秒内任一时刻等可能发光，然后每只发光玩具狗以4秒为间隔闪亮．那么，当这两只发光玩具狗同时打开电开关后，求它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率．【解答】解：设这两只玩具狗第一次闪亮的时刻分别为x，y由已知：由第一次闪亮时刻相差不超过两秒可得|x﹣y|≤2…（6分）现记“这两只玩具狗第一次闪亮的时刻不超过2秒”为事件A．则…（11分）答：这两只玩具狗第一次闪亮的时刻不超过2秒的概率为．…（12分）。

知识讲解_几何概型_基础

几何概型【学习目标】1.了解几何概型的概念及基本特点；2.熟练掌握几何概型中概率的计算公式；3.会进行简单的几何概率计算；4.能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想.【要点梳理】要点一、几何概型1.几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型.2.几何概型的基本特点：(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；(2)每个基本事件出现的可能性相等.3.几何概型的概率：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d 内＂为事件A ，则事件A 发生的概率()d P A D 的测度的测度. 说明：(1)D 的测度不为0；(2)其中＂测度＂的意义依D 确定，当D 分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积.(3)区域为＂开区域＂；(4)区域D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关.要点诠释：几种常见的几何概型(1)设线段l 是线段L 的一部分，向线段L 上任投一点，若落在线段l 上的点数与线段l 的长度成正比，而与线段l 在线段L 上的相对位置无关，则点落在线段l 上的概率为：P=l 的长度/L 的长度(2)设平面区域g 是平面区域G 的一部分，向区域G 上任投一点，若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成正比，而与区域g 在区域G 上的相对位置无关，则点落在区域g 上概率为：P=g 的面积/G 的面积(3)设空间区域上v 是空间区域V 的一部分，向区域V 上任投一点，若落在区域v 上的点数与区域v 的体积成正比，而与区域v 在区域V 上的相对位置无关，则点落在区域v 上的概率为：P=v 的体积/V 的体积要点二、均匀随机数的产生1.随机数的概念随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的.它可以帮助我们模拟随机试验，特别是一些成本高、时间长的试验，用随机模拟的方法可以起到降低成本，缩短时间的作用.2.随机数的产生方法(1)实例法.包括掷骰子、掷硬币、抽签、转盘等.(2)计算器模拟法.现在大部分计算器的RAND 函数都能产生0～1之间的均匀随机数.(3)计算机软件法.几乎所有的高级编程语言都有随机函数，借用随机函数可以产生一定范围的随机数. 要点诠释：1.在区间[a ，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数.2.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值.3.用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想是：构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决.4.利用计算机和线性变换Y=X*(b-a)＋a ，可以产生任意区间[a ，b]上的均匀随机数.【典型例题】类型一：与长度有关的几何概型问题例1．取1根长为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长都不小于1 m 的概率有多大？【思路点拨】从每一个位置剪断绳子,都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点,基本事件有有限多个,而且每一个基本事件的发生都是等可能的,因此事件的发生的概率只与剪断位置所处的绳子的长度有关,符合几何概型的条件。

第三节-几何概型

典例1 (1)(2016课标全国Ⅰ,4,5分)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,
小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随
机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 3
3
2
3
4
考点突破
栏目索引
(2)如图,四边形ABCD为矩形,AB= 3,BC=1,以A为圆心,1为半径作四分
为600×
1
r2 (3r)2
=400.
6
考点三与体积有关的几何概型
考点突破
栏目索引
典例5 一个多面体的直观图和三视图如图所示,点M是AB的中点,一只蝴蝶在几何体ADF-BCE内自由飞翔,则它飞入几何体F-AMCD内的概率
为 (D)
A. 3 B. 2 C. 1 D. 1
4
3
3
2
答案 D
解析
因为VF-AMCD=
16.32 .
教材研读栏目索引
答案 16.32 解析由随机模拟的思想方法,可得黄豆落在椭圆内的概率为300 96 =
300
0.68. 由几何概型的概率计算公式, 可得 S椭圆 =0.68,
S矩形
而S矩形=6×4=24,则S椭圆=0.68×24=16.32.
考点突破
栏目索引
考点突破
考点一与长度、角度有关的几何概型
40 2
(2)因为在∠DAB内任作射线AP,则等可能基本事件为“∠DAB内作射线AP”,所以它的所有等可能事件所在的区域H是∠DAB,当射线AP与线段BC有公共点时,射线AP落在∠CAB内,区域H为∠CAB,所以射线AP 与线段BC有公共点的概率为 CAB = 30 =1 .

几何概型公式

几何概型公式一、几何概型公式及其原理几何概型是数学中的一个分支，它研究的是使用几何工具来解决问题的方法和技巧。

几何概型的主要信仰是，形与数的关系是密不可分的。

这意味着可以使用几何工具求解代数方程式以及在几何问题上得到代数解。

下面将介绍一些常见的几何概型公式及其原理。

1. 向量内积公式向量内积公式是指两个向量点乘的结果：a·b = |a| × |b| × cosθ其中a和b为两个向量，|a|和|b|分别表示其长度，θ为它们之间夹角。

这个公式的原理是，向量a·b的模长等于向量a在向量b方向上的投影与向量b的长度之积。

因此a·b可以被理解为a在b方向上的投影的长度，也即|a|×cosθ，再与|b|相乘得到a·b。

这个公式的应用场景非常广泛，例如在力学中可以用它来计算力的作用力矩；在电学中也可以用它来计算交流电源中的功率等。

2. 球体体积公式球体体积公式是指球体的体积V：V = 4/3 × πr³其中r为球体的半径，π为圆周率，其取值为3.14左右。

这个公式的原理是，球体的体积是由无数个微小的体积元积分求得的，每个微小的体积元的大小为dV = 4πr²dr，因此球体的体积可以被视为r和r+dr之间无限小的包围球面的体积之和。

将上式对r进行积分，就可以得到球体的总体积。

球体的体积公式在物理学、数学、工程学等领域都有广泛的应用。

例如在机械工程中，它可以用来计算一个混凝土球体的体积，以便设计适当的模具和加工设备。

3. 平面二次曲线公式平面二次曲线公式是指一个二次曲线在坐标系中的标准方程：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0其中A、B、C、D、E和F都是实数，且满足AC - B²/4 > 0。

这个公式的原理是，一个平面上的二次曲线可以被视为一个正二次形式F(x,y) = Ax² + Bxy + Cy²的零点集。

hmw几何概型1

几何概型1

几何概型 课件

几何概型 课件

一几何概型-32页文档资料

高中数学-几何概型知识点

几何概型

几何概型计算公式

几何概型

几何概型

人教教材ppt《几何概型》实用PPT1

《几何概型》课件人教版1

几何概型 - 简单 - 讲义

知识讲解_几何概型_基础

第三节-几何概型

几何概型公式

几何概型课件

几何概型课件