1.4条件概率与乘法公式
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且P( A A2 A3 ) = P(( A A2 ) A3 ) = P( A A )P( A A A ) 1 1 1 2 3 1 2
= P( A )P( A A )P( A A A ). 1 2 1 3 1 2
可进一步推广如下: 可进一步推广如下
概率论与数理统计
2 , 推广 : 设 A , A2 ,⋯, An 为n 个事件 n ≥ 2, 1
某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中 的废品， 某厂的产品中有 的废品 件合格品中 件一等品， 有75件一等品，试求在该厂的产品中任取一件是一 件一等品 等品的概率 任取的一件是合格品” 设A = “任取的一件是合格品”， 任取的一件是合格品 B = "任取的一件是一等品 任取的一件是一等品" 任取的一件是一等品 因为 所以
概率论与数理统计
由条件概率
P( AB) P( A | B) = P(B) (P(B) > 0)
乘法定理(乘法公式) 可推得乘法定理(乘法公式)
P( AB) = P( A | B)P(B)
对称地有
P( AB) = P(B | A)P( A) = P( A| B)P(B) (P( A) > 0, P(B) > 0)
=⋅⋅⋅ = P( An | A A2 ⋅⋅⋅ An−1)P( An−1 | A A2 ⋅⋅⋅ An−2 ) 1 1 ⋅⋅⋅ P( A2 | A )P( A ) 1 1
条件概率是定义的， 条件概率的值通常是根 条件概率是定义的 ， 但 条件概率的值通常是 根 据实际问题中的具体意义确定的
概率论与数理统计
将一枚硬币连抛两次，则样本空间是 将一枚硬币连抛两次， P(B) > 0, 记 是两个事件， 设 A, B是两个事件，且
S = {HH,HT,TH,TT} ∆ P( AB) P( A | B) = P(B) 记 A = {一次正面一次反面 } = {HT,TH}, 则 称为在事件 B 发生的条件下事件1A发生的条件概率 P( A) = 2 若 P( A) > 0,如果我们已经知道试验结果中“至少出 则称 如果我们已经知道试验结果中“ ∆ P( AB) P(B | 现了一次正面”,问此时 现了一次正面”A) = P( A) 两个概率含义不 P( A) = 条件概率 同，值也不相同 为 A发生的条件下 B发生的 记 B = {至少出现一次正面 } = {HH,HT,TH}
人抓到有字阄” , 解 设 A 表示“第i 人抓到有字阄”的事件 i = 1,2,3,4,5. i 表示“ 2 则有 P( A ) = , 1 A1 5 A1 A 2 P(A2 ) = P( A1 A2 ∪ A1 A2 ) S = P( A A2 ) + P( A A2 ) 1 1
= P( A )P( A2 A ) + P( A )P( A2 A ) 1 1 1 1 2 1 3 2 2 = × + × = , 5 4 5 4 5 概率论与数理统计
第一个袋中有黑、 第一个袋中有黑、白球各 2 只, 第二个袋中有黑、 第二个袋中有黑、 先从第一个袋中任取一球放入第二个袋中, 白球各 3 只. 先从第一个袋中任取一球放入第二个袋中,再 从第二个袋中任取一球.求第一、二次均取到白球的概率. 从第二个袋中任取一球.求第一、二次均取到白球的概率. 记 则
AB
A S
概率论与数理统计
某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 例 某种动物由出生算起活 岁以上的概率为 0.8, 活到 岁以上的概率为 活到25岁以上的概率为 岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个 20岁的这种动物 问它能活到 岁以上的概率是 岁的这种动物, 岁的这种动物 问它能活到25岁以上的概率是 多少? 多少 表示“ 的事件， 解 设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件 岁以上”的事件, P( AB) P(B A) = . 则有 P( A) 因为 P( A) = 0.8, P(B) = 0.4, P( AB) = P(B), P( AB) 0.4 1 所以 P(B A) = = = . 0.8 2 P( A)
后抽比先抽的确实吃亏吗？ 后抽比先抽的确实吃亏吗？
概率论与数理统计
我们用A 表示“ 个人抽到入场券 个人抽到入场券” ＝ 我们用 i表示“第i个人抽到入场券” i＝1,2,3,4,5. 表示“ 个人未抽到入场券 第 个人抽到了入 个人未抽到入场券” 则 A 表示“第i个人未抽到入场券” 2个人抽到了入 i 显然，P(A1)=1/5，P( A)＝4/5 ，伴随着第 ， 场券，伴随着第1 1 ＝ 场券 个人肯定没抽到. 个人肯定没抽到 也就是说， 也就是说， 第1个人抽到入场券的概率是 个人抽到入场券的概率是1/5. 个人抽到入场券的概率是
P( A) = 1 − P( A) = 96%,
P(B A) = 75%
且B ⊂ A
P( B) = P( AB)= P( A)P(B A) 96 75 = ⋅ = 0.72. 100 100
概率论与数理统计
小结
P( AB) 1.条件概率 P(B A) = 条件概率 P( A)
P( AB) = P(B A)P( A)
P( A∪ B) = P( A) + P(B) − P( AB) P( AB) = P( A | B)P(B)
是概率论的两条基本定理， 是概率论的两条基本定理，是概率论深入发展的起点 一般地, 一般地,若 P( A1A2 ⋅⋅⋅ An−1) > 0, 则
P( A A2 ⋅⋅⋅ An) = P( An | A A2 ⋅⋅⋅ An−1)P( A A2 ⋅⋅⋅ An−1) 1 1 1
入场 券 5张同样的卡片 只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没 张同样的卡片,只有一张上写有 入场券” 其余的什么也没 张同样的卡片 只有一张上写有“ 将它们放在一起,洗匀 洗匀,让 个人依次抽取 个人依次抽取. 写. 将它们放在一起 洗匀 让5个人依次抽取 “先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大 ” 先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. 先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大
由于 B已发生,故“样本空间”变为 已发生, 样本空间” 从而 试验的所有可能结果
S′ = {HH,HT,TH}= B ∩ S
2/ 4 = P( AB) P( A | B) = P( A 3/ 4 P(B) 概率论与数理统计
P( ⋅ | B)
设 P(B) > 0, 有
对于任一事件 A有
P( A | B) ≥ 0 对于必然事件 S 有 P(S | B) = 1 两两不相容事件列， 设是 {Ak}两两不相容事件列，则有
P( ∪ Ak | B) = ∑ P( Ak | B)
k =1 k =1 ∞ ∞
P( A ∪ A2 B) = P( A B) + P( A2 B) − P( A A2 B); 1 1 1
P( A B) = 1− P( A B).
概率论与数理统计
一盒子装有5只产品，其中3只一等品， 例 一盒子装有5只产品，其中3只一等品，2只二 等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。 等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。 设事件A 设事件A为“第一次取到一等品”，事件B为“第二次取到 第一次取到一等品” 事件B 一 等品”，求条件概率P(B|A)。 等品” 求条件概率P(B|A)。
= P( A3 | A1A2)P( A2 | A1)P( A1)
= (1− 0.9)(1− 0.7)(1− 0.5) = 0.015
概率论与数理统计
猎手在距猎物10米处开枪，击中概率为 ． 猎手在距猎物 米处开枪，击中概率为0.6．若击 米处开枪 不中，待开第二枪时猎物已逃至30米远处 米远处， 不中，待开第二枪时猎物已逃至 米远处，此时击中 概率为0.25，若再击不中，则猎物已逃至 米远处， 米远处， 概率为 ，若再击不中，则猎物已逃至50米远处 此时只有0.1的击中概率 的击中概率． 此时只有 的击中概率．求猎手三枪内击中猎物的概率 以Ai =“第i枪击中猎物”，i = 1，2，3， 枪击中猎物” 第 枪击中猎物 ， ， ， 则所求概率 P( A1 ∪ A2 ∪ A3 )
= 1 − P( A ∪ A ∪ A ) = 1 − P( A A2 A3 ) 1 1 2 3
= 1 − P( A )P( A2 | A )P( A3 | A A2 ) 1 1 1
= 1 − (1 − 0.6)(1 − 0.25)(1 − 0.1)= 0.73
概率论与数理统计
抓阄是否与次序有关? 抓阄是否与次序有关 一场精彩的足球赛将要举行, 个球迷好不容易才搞 一场精彩的足球赛将要举行 5个球迷好不容易才搞 到一张入场券.大家都想去 只好用抽签的方法来解决. 大家都想去,只好用抽签的方法来解决 到一张入场券 大家都想去 只好用抽签的方法来解决
概率论与数理统计
于是
A = AA 2 1 2
P( A2 ) = P( A2 A ) 1
A1
由乘法公式
A1
= P( A )P( A2 | A ) 1 1
=(4/5)(1/4)= 1/5
A 2
S
A2 ⊂ A 1
概率论与数理统计
五个阄, 其中两个阄内写着“ 例 五个阄 其中两个阄内写着“有”字， 五人依次抓取,问各人 三个阄内不写字 ，五人依次抓取 问各人 抓到“ 字阄的概率是否相同? 抓到“有”字阄的概率是否相同
概率论与数理统计
ห้องสมุดไป่ตู้
推广 : 设 A , A2 , A3为事件 且 P( A A2 ) > 0, 则有 1 , 1 1
P( A A2 A3 ) = P( A )P( A2 A )P( A3 A A2 ). 1 1 1 1
事实上
由于 ( A ) ≥ P( A A ) > 0, 右侧的条件概率均有意义, P 1 右侧的条件概率均有意义 1 2
且 P( A A2 ⋯An−1 ) > 0, 则有 1
P( A A2 ⋯An ) = P( A )P( A2 A )P( A3 A A2 )× ... 1 1 1 1 × P( An−1 A A2 ⋯An−2 )P( An A A2 ⋯An−1 ). 1 1
概率论与数理统计
在概率论发展初期，古典概型中的加法公式 在概率论发展初期， 及乘法公式
,2) Ai = {第 i 次取到白球 } , (i = 1
P( A ) = 1 , P( A2 | A ) = 4 1 1 2 7
由乘法公式求得
P( A A2) = P( A2 | A )P( A ) 1 1 1 = 1⋅ 4 = 2 2 7 7
概率论与数理统计
某球队要经过三轮比赛才能出线. 该球队第一轮 球队要经过三轮比赛才能出线. 比赛被淘汰的概率为0.5,第二轮比赛被淘汰的概率为 比赛被淘汰的概率为 ,第二轮比赛被淘汰的概率为0.7, , 第三轮比赛被淘汰的概率为0.9 . 求球队出线的概率. 求球队出线的概率. 第三轮比赛被淘汰的概率为 记 Ai = {球队第 i 轮被淘汰 } , (i =1,2,3) 则 P{球队出线 } = P( A1A2A3)
乘法定理
概率论与数理统计
2. 条件概率 P( AB) 与积事件概率 P( AB) 的区别 .
P( AB) 表示在样本空间 S 中 AB 发生的 , 概率,而P(B A)表示在缩小的样本空间SA 中, B 发生的概率. 用古典概率公式, 则 AB中基本事件数 P(B A) = , SA 中基本事件数 AB 中基本事件数 P( AB) = , S 中基本事件数 一般来说, P(B A) 比 P( AB) 大.
= P( A )P( A A )P( A A A ). 1 2 1 3 1 2
可进一步推广如下: 可进一步推广如下
概率论与数理统计
2 , 推广 : 设 A , A2 ,⋯, An 为n 个事件 n ≥ 2, 1
某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中 的废品， 某厂的产品中有 的废品 件合格品中 件一等品， 有75件一等品，试求在该厂的产品中任取一件是一 件一等品 等品的概率 任取的一件是合格品” 设A = “任取的一件是合格品”， 任取的一件是合格品 B = "任取的一件是一等品 任取的一件是一等品" 任取的一件是一等品 因为 所以
概率论与数理统计
由条件概率
P( AB) P( A | B) = P(B) (P(B) > 0)
乘法定理(乘法公式) 可推得乘法定理(乘法公式)
P( AB) = P( A | B)P(B)
对称地有
P( AB) = P(B | A)P( A) = P( A| B)P(B) (P( A) > 0, P(B) > 0)
=⋅⋅⋅ = P( An | A A2 ⋅⋅⋅ An−1)P( An−1 | A A2 ⋅⋅⋅ An−2 ) 1 1 ⋅⋅⋅ P( A2 | A )P( A ) 1 1
条件概率是定义的， 条件概率的值通常是根 条件概率是定义的 ， 但 条件概率的值通常是 根 据实际问题中的具体意义确定的
概率论与数理统计
将一枚硬币连抛两次，则样本空间是 将一枚硬币连抛两次， P(B) > 0, 记 是两个事件， 设 A, B是两个事件，且
S = {HH,HT,TH,TT} ∆ P( AB) P( A | B) = P(B) 记 A = {一次正面一次反面 } = {HT,TH}, 则 称为在事件 B 发生的条件下事件1A发生的条件概率 P( A) = 2 若 P( A) > 0,如果我们已经知道试验结果中“至少出 则称 如果我们已经知道试验结果中“ ∆ P( AB) P(B | 现了一次正面”,问此时 现了一次正面”A) = P( A) 两个概率含义不 P( A) = 条件概率 同，值也不相同 为 A发生的条件下 B发生的 记 B = {至少出现一次正面 } = {HH,HT,TH}
人抓到有字阄” , 解 设 A 表示“第i 人抓到有字阄”的事件 i = 1,2,3,4,5. i 表示“ 2 则有 P( A ) = , 1 A1 5 A1 A 2 P(A2 ) = P( A1 A2 ∪ A1 A2 ) S = P( A A2 ) + P( A A2 ) 1 1
= P( A )P( A2 A ) + P( A )P( A2 A ) 1 1 1 1 2 1 3 2 2 = × + × = , 5 4 5 4 5 概率论与数理统计
第一个袋中有黑、 第一个袋中有黑、白球各 2 只, 第二个袋中有黑、 第二个袋中有黑、 先从第一个袋中任取一球放入第二个袋中, 白球各 3 只. 先从第一个袋中任取一球放入第二个袋中,再 从第二个袋中任取一球.求第一、二次均取到白球的概率. 从第二个袋中任取一球.求第一、二次均取到白球的概率. 记 则
AB
A S
概率论与数理统计
某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 例 某种动物由出生算起活 岁以上的概率为 0.8, 活到 岁以上的概率为 活到25岁以上的概率为 岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个 20岁的这种动物 问它能活到 岁以上的概率是 岁的这种动物, 岁的这种动物 问它能活到25岁以上的概率是 多少? 多少 表示“ 的事件， 解 设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件 岁以上”的事件, P( AB) P(B A) = . 则有 P( A) 因为 P( A) = 0.8, P(B) = 0.4, P( AB) = P(B), P( AB) 0.4 1 所以 P(B A) = = = . 0.8 2 P( A)
后抽比先抽的确实吃亏吗？ 后抽比先抽的确实吃亏吗？
概率论与数理统计
我们用A 表示“ 个人抽到入场券 个人抽到入场券” ＝ 我们用 i表示“第i个人抽到入场券” i＝1,2,3,4,5. 表示“ 个人未抽到入场券 第 个人抽到了入 个人未抽到入场券” 则 A 表示“第i个人未抽到入场券” 2个人抽到了入 i 显然，P(A1)=1/5，P( A)＝4/5 ，伴随着第 ， 场券，伴随着第1 1 ＝ 场券 个人肯定没抽到. 个人肯定没抽到 也就是说， 也就是说， 第1个人抽到入场券的概率是 个人抽到入场券的概率是1/5. 个人抽到入场券的概率是
P( A) = 1 − P( A) = 96%,
P(B A) = 75%
且B ⊂ A
P( B) = P( AB)= P( A)P(B A) 96 75 = ⋅ = 0.72. 100 100
概率论与数理统计
小结
P( AB) 1.条件概率 P(B A) = 条件概率 P( A)
P( AB) = P(B A)P( A)
P( A∪ B) = P( A) + P(B) − P( AB) P( AB) = P( A | B)P(B)
是概率论的两条基本定理， 是概率论的两条基本定理，是概率论深入发展的起点 一般地, 一般地,若 P( A1A2 ⋅⋅⋅ An−1) > 0, 则
P( A A2 ⋅⋅⋅ An) = P( An | A A2 ⋅⋅⋅ An−1)P( A A2 ⋅⋅⋅ An−1) 1 1 1
入场 券 5张同样的卡片 只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没 张同样的卡片,只有一张上写有 入场券” 其余的什么也没 张同样的卡片 只有一张上写有“ 将它们放在一起,洗匀 洗匀,让 个人依次抽取 个人依次抽取. 写. 将它们放在一起 洗匀 让5个人依次抽取 “先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大 ” 先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. 先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大
由于 B已发生,故“样本空间”变为 已发生, 样本空间” 从而 试验的所有可能结果
S′ = {HH,HT,TH}= B ∩ S
2/ 4 = P( AB) P( A | B) = P( A 3/ 4 P(B) 概率论与数理统计
P( ⋅ | B)
设 P(B) > 0, 有
对于任一事件 A有
P( A | B) ≥ 0 对于必然事件 S 有 P(S | B) = 1 两两不相容事件列， 设是 {Ak}两两不相容事件列，则有
P( ∪ Ak | B) = ∑ P( Ak | B)
k =1 k =1 ∞ ∞
P( A ∪ A2 B) = P( A B) + P( A2 B) − P( A A2 B); 1 1 1
P( A B) = 1− P( A B).
概率论与数理统计
一盒子装有5只产品，其中3只一等品， 例 一盒子装有5只产品，其中3只一等品，2只二 等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。 等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。 设事件A 设事件A为“第一次取到一等品”，事件B为“第二次取到 第一次取到一等品” 事件B 一 等品”，求条件概率P(B|A)。 等品” 求条件概率P(B|A)。
= P( A3 | A1A2)P( A2 | A1)P( A1)
= (1− 0.9)(1− 0.7)(1− 0.5) = 0.015
概率论与数理统计
猎手在距猎物10米处开枪，击中概率为 ． 猎手在距猎物 米处开枪，击中概率为0.6．若击 米处开枪 不中，待开第二枪时猎物已逃至30米远处 米远处， 不中，待开第二枪时猎物已逃至 米远处，此时击中 概率为0.25，若再击不中，则猎物已逃至 米远处， 米远处， 概率为 ，若再击不中，则猎物已逃至50米远处 此时只有0.1的击中概率 的击中概率． 此时只有 的击中概率．求猎手三枪内击中猎物的概率 以Ai =“第i枪击中猎物”，i = 1，2，3， 枪击中猎物” 第 枪击中猎物 ， ， ， 则所求概率 P( A1 ∪ A2 ∪ A3 )
= 1 − P( A ∪ A ∪ A ) = 1 − P( A A2 A3 ) 1 1 2 3
= 1 − P( A )P( A2 | A )P( A3 | A A2 ) 1 1 1
= 1 − (1 − 0.6)(1 − 0.25)(1 − 0.1)= 0.73
概率论与数理统计
抓阄是否与次序有关? 抓阄是否与次序有关 一场精彩的足球赛将要举行, 个球迷好不容易才搞 一场精彩的足球赛将要举行 5个球迷好不容易才搞 到一张入场券.大家都想去 只好用抽签的方法来解决. 大家都想去,只好用抽签的方法来解决 到一张入场券 大家都想去 只好用抽签的方法来解决
概率论与数理统计
于是
A = AA 2 1 2
P( A2 ) = P( A2 A ) 1
A1
由乘法公式
A1
= P( A )P( A2 | A ) 1 1
=(4/5)(1/4)= 1/5
A 2
S
A2 ⊂ A 1
概率论与数理统计
五个阄, 其中两个阄内写着“ 例 五个阄 其中两个阄内写着“有”字， 五人依次抓取,问各人 三个阄内不写字 ，五人依次抓取 问各人 抓到“ 字阄的概率是否相同? 抓到“有”字阄的概率是否相同
概率论与数理统计
ห้องสมุดไป่ตู้
推广 : 设 A , A2 , A3为事件 且 P( A A2 ) > 0, 则有 1 , 1 1
P( A A2 A3 ) = P( A )P( A2 A )P( A3 A A2 ). 1 1 1 1
事实上
由于 ( A ) ≥ P( A A ) > 0, 右侧的条件概率均有意义, P 1 右侧的条件概率均有意义 1 2
且 P( A A2 ⋯An−1 ) > 0, 则有 1
P( A A2 ⋯An ) = P( A )P( A2 A )P( A3 A A2 )× ... 1 1 1 1 × P( An−1 A A2 ⋯An−2 )P( An A A2 ⋯An−1 ). 1 1
概率论与数理统计
在概率论发展初期，古典概型中的加法公式 在概率论发展初期， 及乘法公式
,2) Ai = {第 i 次取到白球 } , (i = 1
P( A ) = 1 , P( A2 | A ) = 4 1 1 2 7
由乘法公式求得
P( A A2) = P( A2 | A )P( A ) 1 1 1 = 1⋅ 4 = 2 2 7 7
概率论与数理统计
某球队要经过三轮比赛才能出线. 该球队第一轮 球队要经过三轮比赛才能出线. 比赛被淘汰的概率为0.5,第二轮比赛被淘汰的概率为 比赛被淘汰的概率为 ,第二轮比赛被淘汰的概率为0.7, , 第三轮比赛被淘汰的概率为0.9 . 求球队出线的概率. 求球队出线的概率. 第三轮比赛被淘汰的概率为 记 Ai = {球队第 i 轮被淘汰 } , (i =1,2,3) 则 P{球队出线 } = P( A1A2A3)
乘法定理
概率论与数理统计
2. 条件概率 P( AB) 与积事件概率 P( AB) 的区别 .
P( AB) 表示在样本空间 S 中 AB 发生的 , 概率,而P(B A)表示在缩小的样本空间SA 中, B 发生的概率. 用古典概率公式, 则 AB中基本事件数 P(B A) = , SA 中基本事件数 AB 中基本事件数 P( AB) = , S 中基本事件数 一般来说, P(B A) 比 P( AB) 大.