2013届艺术班数学一轮复习学案(42)---直线2012.10

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2013届艺术班数学一轮复习学案(43)---直线与圆2012.10

课题：直线与圆一、学习目标掌握圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系,并灵活运用知识解决问题.二、学习任务知识点：1、（1）圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中为圆心，为半径．（2）圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是.2、直线与圆的位置关系有三种：、、.判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：(1)代数法：；⑵几何法: .3、计算直线被圆截得的弦长的常用方法：.4、求过点P(x0，y0)的圆x2＋y2＝r2的切线方程(1)若P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则以P为切点的圆的切线方程为：.(2)若P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2外，则过P的切线方程可设为：y－y0＝k(x－x0)，利用待定系数法求解．说明：k为切线斜率，同时应考虑斜率不存在的情况．5、圆与圆的位置关系的判定：设⊙C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，⊙C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)，则有：|C1C2|>r1＋r2⇔⊙C1与⊙C2；|C1C2|＝r1＋r2⇔⊙C1与⊙C2；|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2⇔⊙C1与⊙C2；|C1C2|＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔⊙C1与⊙C2；|C1C2|<|r1－r2|⇔⊙C1与⊙C2.必做题:1、方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是______________．2、若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是.3、直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A、B两点，则|AB|＝________.4、圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为.5、已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是__________．6、若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是 .7、圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有条.8、根据下列条件，求圆的方程：(1)经过点A (6,5)、B (0,1)两点，并且圆心在直线3x ＋10y ＋9＝0上；（2）以直线3x －4y ＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径；(3)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)；（3）求与x 轴相切，圆心在直线3x －y ＝0上，且被直线x －y ＝0截得的弦长为27的圆的方程；（4）过点P (4，－1)且与圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0切于点M (1,2).9、已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过M 点的圆的切线方程； (2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值；(3)若直线ax －y ＋4＝0与圆相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值．10、已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2 (r >0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程； (2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ 的最小值.11、已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求y －x 的最大值和最小值； (2)求x 2＋y 2的最大值和最小值；（3）求y x的最大值与最小值.12、已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0和直线x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ(O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．。

2013高考数学(理)一轮复习教案：第八篇_立体几何第4讲_直线、平面平行的判定及其性质

第4讲直线、平面平行的判定及其性质【2013年高考会这样考】1．考查空间直线与平面平行，面面平行的判定及其性质．2．以解答题的形式考查线面的平行关系．3．考查空间中平行关系的探索性问题．【复习指导】1．熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间问题转化为平面问题，解答过程中叙述的步骤要完整，避免因条件书写不全而失分．2．学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化，牢记解决问题的根源在“定理”．基础梳理1．平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况．2．直线和平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；(2)判定定理：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α；(3)其他判定方法：α∥β；a⊂α⇒a∥β.3．直线和平面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l.4．两个平面平行的判定(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理：a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β；(3)推论：a∩b＝M，a，b⊂α，a′∩b′＝M′，a′，b′⊂β，a∥a′，b∥b′⇒α∥β. 5．两个平面平行的性质定理(1)α∥β，a⊂α⇒a∥β；(2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.6．与垂直相关的平行的判定(1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b；(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.一个关系平行问题的转化关系：两个防范(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行．双基自测1．(人教A版教材习题改编)下面命题中正确的是()．①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行．A．①③B．②④C．②③④D．③④解析①②中两个平面可以相交，③是两个平面平行的定义，④是两个平面平行的判定定理．答案 D2．平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是()．A．平行B．相交C．异面D．平行或异面答案 D3．(2012·银川质检)在空间中，下列命题正确的是()．A．若a∥α，b∥a，则b∥αB．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥αC．若α∥β，b∥α，则b∥βD．若α∥β，a⊂α，则a∥β解析若a∥α，b∥a，则b∥α或b⊂α，故A错误；由面面平行的判定定理知，B错误；若α∥β，b∥α，则b∥β或b⊂β，故C错误．答案 D4．(2012·温州模拟)已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()．A．m∥n，m⊥α⇒n⊥αB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β解析选项A中，如图①，n∥m，m⊥α⇒n⊥α一定成立，A正确；选项B中，如图②，α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m与n互为异面直线，∴B不正确；选项C中，如图③，m⊥α，m⊥n⇒n⊂α，∴C不正确；选项D中，如图④，m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α与β相交，∴D不正确.答案 A5．(2012·衡阳质检)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．解析如图．连接AC、BD交于O点，连结OE，因为OE∥BD1，而OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE.答案平行考向一直线与平面平行的判定与性质【例1】►(2011·天津改编)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，O 为AC 的中点，M 为PD 的中点．求证：PB ∥平面ACM .[审题视点] 连接MO ，证明PB ∥MO 即可．证明连接BD ，MO .在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO .因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，所以PB ∥平面ACM .利用判定定理时关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．【训练1】如图，若P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PCE . 证明取PC 的中点M ，连接ME 、MF ，则FM ∥CD 且FM ＝12CD .又∵AE ∥CD 且AE ＝12CD ，∴FM 綉AE ，即四边形AFME 是平行四边形． ∴AF ∥ME ，又∵AF ⊄平面PCE ，EM ⊂平面PCE ， ∴AF ∥平面PCE .考向二平面与平面平行的判定与性质【例2】►如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点．求证：平面MNP∥平面A1C1B；[审题视点] 证明MN∥A1B，MP∥C1B.证明连接D1C，则MN为△DD1C的中位线，∴MN∥D1C.又∵D1C∥A1B，∴MN∥A1B.同理，MP∥C1B.而MN与MP相交，MN，MP在平面MNP内，A1B，C1B在平面A1C1B内．∴平面MNP∥平面A1C1B.证明面面平行的方法有：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．【训练2】如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.证明(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.考向三线面平行中的探索问题【例3】►如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．[审题视点] 取AB、BB1的中点分别为E、F，证明平面DEF∥平面AB1C1即可．解存在点E，且E为AB的中点．下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1.∵AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1.B1C1与AB1是相交直线，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在．【训练3】如图，在四棱锥P ABCD 中，底面是平行四边形，P A ⊥平面ABCD ，点M 、N 分别为BC 、P A 的中点．在线段PD 上是否存在一点E ，使NM ∥平面ACE ？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由．解在PD 上存在一点E ，使得NM ∥平面ACE .证明如下：如图，取PD 的中点E ，连接NE ，EC ，AE ，因为N ，E 分别为P A ，PD 的中点，所以NE 綉12AD .又在平行四边形ABCD 中，CM 綉12AD .所以NE 綉MC ，即四边形MCEN 是平行四边形．所以NM 綉EC .又EC ⊂平面ACE ，NM ⊄平面ACE ，所以MN ∥平面ACE ，即在PD 上存在一点E ，使得NM ∥平面ACE .规范解答13——怎样证明线线、线面、面面平行与垂直的综合性问题【问题研究】高考对平行、垂直关系的考查主要以线面平行、线面垂直为核心，以多面体为载体结合平面几何知识，考查判定定理、性质定理等内容，难度为中低档题目.【解决方案】利用定理证明线面关系时要注意结合几何体的结构特征，尤其注意对正棱柱、正棱锥等特殊几何体性质的灵活运用，进行空间线面关系的相互转化. 【示例】►(本题满分12分)(2011·山东)如图，在四棱台ABCDA 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝2AD ，AD＝A 1B 1，∠BAD ＝60°. (1)证明：AA 1⊥BD ； (2)证明：CC 1∥平面A 1BD .第(1)问转化为证明BD 垂直A 1A 所在平面；第(2)问在平面A 1BD 内寻找一条线与CC 1平行．[解答示范] 证明 (1)因为D 1D ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以D 1D ⊥BD .(1分)又因为AB ＝2AD ，∠BAD ＝60°，在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos 60°＝3AD 2，所以AD 2＋BD 2＝AB 2，因此AD ⊥BD .(4分) 又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A 1. 又AA 1⊂平面ADD 1A 1，故AA 1⊥BD .(6分)(2)如图，连结AC ，A 1C 1，设AC ∩BD ＝E ，连结EA 1，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以EC ＝12AC .(8分)由棱台定义及AB ＝2AD ＝2A 1B 1知A 1C 1∥EC 且A 1C 1＝EC ，所以四边形A 1ECC 1为平行四边形，(10分) 因此CC 1∥EA 1.又因为EA 1⊂平面A 1BD ， CC 1⊄平面A 1BD ，所以CC 1∥平面A 1BD .(12分)证明线面关系不能仅仅考虑线面关系的判定和性质，更要注意对几何体的几何特征的灵活应用．证明的依据是空间线面关系的判定定理和性质定理．另外根据几何体的数据，通过计算也可得到线线垂直的关系，所以要注意对几何体中的数据的正确利用．【试一试】 (2010·安徽)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB ＝2EF ＝2，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，∠BFC ＝90°，BF ＝FC ，H 为BC 的中点． (1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求四面体BDEF 的体积．[尝试解答] (1)证明设AC 与BD 交于点G ，则G 为AC 的中点．连EG ，GH ，由于H 为BC 的中点，故GH 綉12AB . 又EF 綉12AB ，∴EF 綉GH . ∴四边形EFHG 为平行四边形．∴EG ∥FH ，而EG ⊂平面EDB ，∴FH ∥平面EDB . (2)证明由四边形ABCD 为正方形，有AB ⊥BC . 又EF ∥AB ，∴EF ⊥BC .而EF ⊥FB ，∴EF ⊥平面BFC ，∴EF ⊥FH . ∴AB ⊥FH .又BF ＝FC ，H 为BC 的中点， ∴FH ⊥BC .∴FH ⊥平面ABCD . ∴FH ⊥AC .又FH ∥EG ，∴AC ⊥EG .又AC ⊥BD ，EG ∩BD ＝G ，∴AC ⊥平面EDB . (3)解 ∵EF ⊥FB ，∠BFC ＝90°，∴BF ⊥平面CDEF . ∴BF 为四面体BDEF 的高．又BC ＝AB ＝2，∴BF ＝FC ＝ 2.V B －DEF ＝13×12×1×2×2＝13.经典作业一、选择题1．下列命题中：(1)平行于同一直线的两个平面平行；(2)平行于同一平面的两个平面平行；(3)垂直于同一直线的两平面平行；(4)垂直于同一平面的两直线平行．其中正确的个数有( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] (2)(3)(4)正确．2．已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D 且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245 C ．14 D ．20[答案] B[解析] 根据题意可出现以下如图两种情况可求出BD 的长分别为245或24.3．已知两条直线m 、n ，两个平面α、β.给出下面四个命题：①m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥α；②α∥β，m α，n β⇒m ∥n ；③m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α；④α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β.其中正确命题的序号是( )A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③ [答案] C[解析] 两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故①正确；两平面平行，分别在这两平面内的两直线可能平行，也可能异面，故②错；m ∥n ，m ∥α时，n ∥α或n α，故③错；由α∥β，m ⊥α得m ⊥β，由m ⊥β，n ∥m 得n ⊥β，故④正确．4．如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外的一点，过BC 的平面与平面P AD 交于EF ，则四边形EFBC 是( )A ．空间四边形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都有可能[答案] C[解析] ∵BC 綊AD ，由线面平行性质定理知BC ∥EF ，又EF <AD ，∴四边形BCEF 为梯形．5．已知两条互不重合的直线m 、n ，两个互不重合的平面α、β，给出下列命题：①若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β；②若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β；③若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥β；④若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β.其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[分析]本题考查线面的位置关系．虽然是一道单选题，但更似一道多选题，对所述四个命题的判断有一个出错就不可能产生正确结果．[答案] B[解析]命题①是正确的；命题②不正确，很容易找到反例；命题③也不正确，可以构造出α∥β的情形；命题④也不正确，可以构造出α⊥β的情形．6．(2010·浙江理)设m，l是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m[答案] B[解析]两平行线中一条垂直于一个平面，另一条边垂直于这个平面，故选B.7．(2009·江西)如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误．．的为()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°[答案] C[解析]∵截面PQMN为正方形，∴PQ∥MN，PQ∥平面DAC.又∵平面ABC∩平面ADC＝AC，PQ⊂平面ABC，∴PQ∥AC，同理可证QM∥BD.故选项A、B、D正确，C错误．8．如图所示，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的重心，从K、H、G、B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为()A ．KB ．HC ．GD ．B ′ [答案] C[解析] 如图所示，若取K 点为P 点，连接FK ，则FK ∥CC ′. 故CC ′∥面KEF而其他侧棱AA ′、BB ′均与CC ′平行．故此时与面PEF 平行的有3条棱．若取H 点为P 点，可以得面HEF ∥面ABC ∥面A ′B ′C ′，则与面PEF 平行的棱有上下底面中的6条棱；若取G 点为P 点，AB ∥EF ，A ′B ′∥EF ，故只有棱AB ，A ′B ′与面PEF 平行；若取B ′点为P 点，AB ∥EF ，只有棱AB 与面PEF 平行．二、填空题9．在四面体ABCD 中，M 、N 分别是面△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．[答案] 平面ABC 与平面ABD[解析] 连BN 延长交CD 于点E ，连AM 并延长也与CD 交于E 点(因为E 为CD 中点)，又EM AM ＝ENBN ＝12，故MN ∥AB . 10．已知平面α∩β＝m ，直线n ∥α，n ∥β，则直线m 、n 的位置关系是________． [答案] m ∥n[解析] 在α内取点A ∉m ，则点A 与n 确定一平面θ，且θ∩α＝a .同理可作平面γ且γ∩β＝b .∵n ∥α，n ∥β， ∴n ∥a ，n ∥b . ∴a ∥b . ∵a β，b β， ∴a ∥β.∵a α，α∩β＝m ， ∴a ∥m ，∴n ∥m .11．下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是______(写出所有符合要求的图形序号)．[答案] ①③[解析] 如图①，∵MN ∥AD ，NP ∥AC ，∴平面MNP ∥平面ADBC ，∴AB ∥平面MNP .如图②，假设AB ∥平面MNP ，设BD ∩MP ＝Q ，则NQ 为平面ABD 与平面MNP 的交线，∴AB ∥NQ ，∵N 为AD 的中点，∴Q 为BD 的中点，但由M 、P 分别为棱的中点知，Q 为BD 的14分点，矛盾，∴AB ∥\ 平面MNP .如图③，∵BD 綊AC ，∴四边形ABDC 为平行四边形， ∴AB ∥CD ，又∵M 、P 为棱的中点，∴MP ∥CD ， ∴AB ∥MP ，从而可得AB ∥平面MNP .如图④，假设AB ∥平面MNP ，并设直线AC ∩平面MNP ＝D ，则有AB ∥MD ，∵M 为BC 中点，∴D 为AC 中点，这样平面MND ∥平面AB ，显然与题设条件不符，∴AB ∥\ 平面MNP .三、解答题12．(2010·天津和平模拟)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面为边长为2的正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E 、F 分别是棱CC 1、BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2.当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?[解析] 方法一：如图，取AE 的中点O ，连接OF ，过O 作OM ⊥AC 于点M .因为侧棱A 1A ⊥底面ABC ，所以侧面A 1ACC 1⊥底面ABC . 所以OM ⊥底面ABC . 又因为EC ＝2FB ＝2，所以OM ∥FB 綊12EC .所以四边形OMBF为矩形．故BM∥平面AEF，…此时点M为AC的中点．方法二：如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ、PB、BQ.因为EC＝2FB＝2，所以PE綊BF，所以PQ∥AE、PB∥EF.故平面PBQ∥平面AEF，所以BQ∥平面AEF，故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．13．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，AA1＝2，E为棱CC1的中点．求证：(1)B1D1⊥AE；(2)AC∥平面B1DE.D1，[证明](1)连接BD，则BD∥B∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵CE⊥平面ABCD，∴CE⊥BD.又AC∩CE＝C，∴BD⊥平面ACE.∵AE⊂平面ACE，∴BD⊥AE.∴B1D1⊥AE.(2)取BB1的中点F，连接AF、CF、EF.∵E、F是CC1、BB1的中点，∴CE綊B1F.∴四边形B1FCE是平行四边形．∴CF∥B1E.∵E、F是CC1、BB1的中点，∴EF綊BC.又BC綊AD，∴EF綊AD.∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥ED.∵AF∩CF＝F，B1E∩ED＝E，∴平面ACF∥平面B1DE.又AC⊂平面ACF，∴AC∥平面B1DE.14．(2010·陕西文)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD ，AP ＝AB ，BP ＝BC ＝2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点．(1)求证：EF ∥平面P AD ； (2)求三棱锥E －ABC 的体积V .[解析] 本题考查线面平行的判定，三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力，推理论证能力． (1)在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC .又BC ∥AD ，∴EF ∥AD ，又∵AD ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ， ∴EF ∥平面P AD .(2)连接AE ，AC ，EC ，过E 作EG ∥P A 交AB 于点G ，则EG ⊥平面ABCD ，且EG ＝12P A .在△P AB 中，AP ＝AB ，∠P AB ＝90°，BP ＝2， ∴AP ＝AB ＝2，EG ＝22， ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×2＝2，∴V E —ABC ＝13S △ABC ·EG ＝13×2×22＝13.15．(文)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱BB 1和DD 1中点．(1)求证：平面FB 1C 1∥平面ADE ；(2)试在棱DC 上求一点M ，使D 1M ⊥平面ADE ； [解析] (1)可证AD ∥平面FB 1C ，AE ∥平面FB 1C 1∵AD ∩AE ＝A ，AD ，AE 平面ADE ∴平面ADE ∥平面FB 1C 1. (2)M 应是DC 的中点，此时∵B1C1⊥平面DD1C1C，D1M 平面DD1C1C，∴B1C1⊥D1M由平面几何知识FC1⊥D1MFC1∩B1C1＝C1，FC1，B1C1 平面FB1C1∴D1M⊥平面FB1C1，又由(1)知平面ADE∥平面FB1C1∴D1M⊥平面ADE.(理)已知四边形ABCD是等腰梯形，AB＝3，DC＝1，∠BAD＝45°，DE⊥AB(如图1)．现将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB(如图2)，连接AC，AB，设M是AB的中点．(1)求证：BC⊥平面AEC；(2)判断直线EM是否平行于平面ACD，并说明理由．[解析](1)在图1中，过C作CF⊥EB于F，∵DE⊥EB，∴四边形CDEF是矩形，∵CD＝1，EF＝1.∴四边形ABCD是等腰梯形，AB＝3.∴AE＝BF＝1.∵∠BAD＝45°，∴DE＝CF＝1.连接CE，则CE＝CB＝ 2.∵EB＝2，∴∠BCE＝90°.则BC⊥CE.在图2中，∵AE⊥EB，AE⊥ED，EB∩ED＝E，∴AE⊥平面BCDE.∵BC 平面BCDE，∴AE⊥BC.∵AE∩CE＝E，∴BC⊥平面AEC.(2)用反证法．假设EM∥平面ACD.∵EB∥CD，CD 平面ACD，EB平面ACD，∴EB∥平面ACD.∵EB∩EM＝E，∴平面AEB∥平面ACD. 而A∈平面AEB，A∈平面ACD，与平面AEB∥平面ACD矛盾．∵假设不成立．∴EM与平面ACD不平行．。

高三数学一轮复习精品教案2：空间点、直线、平面之间的位置关系教学设计

第三节空间点、直线、平面之间的位置关系考纲传真1.理解空间直线，平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理． 2．能运用公理，定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言 a ∥ba ∥αα∥β相交关系图形语言符号语言 a ∩b ＝Aa ∩α＝Aα∩β＝l 独有关系图形语言符号语言a ，b 是异面直线a ⊂α3.异面直线所成的角(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．(2)范围：(0，π2』．4．平行公理平行于同一条直线的两条直线平行． 5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．1．(人教A 版教材习题改编)下列命题正确的个数为( )①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A ．0B ．1C ．2D ．3『解析』 ②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．『答案』 C2．已知a 、b 是异面直线，直线c ∥直线a ，那么c 与b ( ) A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线 D ．不可能是相交直线『解析』若c ∥b ，∵c ∥a ，∴a ∥b ，与a ，b 异面矛盾． ∴c ，b 不可能是平行直线．『答案』 C3．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6『解析』与AB 平行，CC 1相交的直线是CD 、C 1D 1；与CC 1平行、AB 相交的直线是BB 1，AA 1；与AB 、CC 1都相交的直线是BC ，故选C.『答案』 C4．(2013·宁波模拟)若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则( ) A ．α内的所有直线与l 异面 B ．α内不存在与l 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与l 平行 D ．α内的直线与l 都相交『解析』由题意知，直线l 与平面α相交，则直线l 与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B 是正确的．『答案』 B图7－3－15．(2012·四川高考)如图7－3－1，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．『解析』如图，取CN 的中点K ，连接MK ，则MK 为△CDN 的中位线，所以MK ∥DN .所以∠A 1MK 为异面直线A 1M 与DN 所成的角．连接A 1C 1，AM .设正方体棱长为4，则A 1K ＝（42）2＋32＝41，MK ＝12DN ＝1242＋22＝5，A 1M ＝42＋42＋22＝6，∴A 1M 2＋MK 2＝A 1K 2，∴∠A 1MK ＝90°. 『答案』 90°平面的基本性质图7－3－2如图7－3－2所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？『思路点拨』 (1)证明GH 綊BC 即可． (2)法一证明D 点在EF 、CH 确定的平面内．法二延长FE 、DC 分别与AB 交于M ，M ′，可证M 与M ′重合，从而FE 与DC 相交证得四点共面．『尝试解答』 (1)由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 是平行四边形． (2)法一由BE 綊12AF ，G 为F A 中点知BE 綊GF ， ∴四边形BEFG 为平行四边形， ∴EF ∥BG . 由(1)知BG ∥CH ， ∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．法二如图所示，延长FE ，DC 分别与AB 交于点M ，M ′， ∵BE 綊12AF ，∴B 为MA 中点， ∵BC 綊12AD ，∴B 为M ′A 中点，∴M 与M ′重合，即FE 与DC 交于点M (M ′)， ∴C 、D 、F 、E 四点共面．,1．解答本题的关键是平行四边形、中位线性质的应用．2．证明共面问题的依据是公理2及其推论，包括线共面，点共面两种情况，常用方法有：(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．图7－3－3已知：空间四边形ABCD (如图7－3－3所示)，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别是BC 、CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝13DC .求证：(1)E 、F 、G 、H 四点共面；(2)三直线FH 、EG 、AC 共点．『证明』 (1)连接EF 、GH ， ∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点， ∴EF ∥BD .又∵CG ＝13BC ，CH ＝13DC ，∴GH ∥BD ， ∴EF ∥GH ，∴E 、F 、G 、H 四点共面．(2)易知FH 与直线AC 不平行，但共面， ∴设FH ∩AC ＝M ，∴M ∈平面EFHG ，M ∈平面ABC . 又∵平面EFHG ∩平面ABC ＝EG ， ∴M ∈EG ，∴FH 、EG 、AC 共点.空间两条直线的位置关系图7－3－4(1)如图7－3－4，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列判断错误的是( )A ．MN 与CC 1垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与A 1B 1平行(2)在图中，G 、N 、M 、H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 、MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)图7－3－5『思路点拨』(1)连接B1C，则点M是B1C的中点，根据三角形的中位线，证明MN ∥B1D1.(2)先判断直线GH、MN是否共面，若不共面再利用异面直线的判定定理判定．『尝试解答』(1)连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD.又∵A1B1与B1D1相交，∴MN与A1B1不平行，故选D.(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以图②、④中GH与MN异面．『答案』(1)D(2)②④,1．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．2．对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直．3．画出图形进行判断，可化抽象为直观．图7－3－6如图7－3－6所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线MN 与AC 所成的角为60°.其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论序号都填上)．『解析』由图可知AM 与CC 1是异面直线，AM 与BN 是异面直线，BN 与MB 1为异面直线．因为D 1C ∥MN ，所以直线MN 与AC 所成的角就是D 1C 与AC 所成的角，且角为60°.『答案』 ③④异面直线所成的角图7－3－7(2012·上海高考改编题)如图7－3－7，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，P A ＝2.求：(1)三棱锥P —ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．『思路点拨』 (1)直接根据锥体的体积公式求解．(2)取PB 的中点，利用三角形的中位线平移BC 得到异面直线所成的角．(或其补角) 『尝试解答』 (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P ABC 的体积为 V ＝13S △ABC ·P A ＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.,1．求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移． 2．求异面直线所成的角的三步曲为：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成角，转化为解三角形问题，进而求解．3．异面直线所成的角范围是(0，π2』．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°『解析』分别取AB 、AA 1、A 1C 1的中点D 、E 、F ，则BA 1∥DE ，AC 1∥EF . 所以异面直线BA 1与AC 1所成的角为∠DEF (或其补角)，设AB ＝AC ＝AA 1＝2，则DE ＝EF ＝2，DF ＝6，由余弦定理得，∠DEF ＝120°. 『答案』 C两种方法异面直线的判定方法：(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．(2)反证法：证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面，从而可得两直线异面．三个作用1.公理1的作用：(1)检验平面；(2)判断直线在平面内；(3)由直线在平面内判断直线上的点在平面内；(4)由直线的直刻画平面的平．2．公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．3．公理3的作用：(1)判定两平面相交；(2)作两平面相交的交线；(3)证明多点共线．空间点、直线、平面的位置关系是立体几何的理论基础，高考常设置选择题或填空题，考查直线、平面位置关系的判断和异面直线所成的角的求法．在判断线、面位置关系时，有时可以借助常见的几何体做出判断.思想方法之十三借助正方体判定线面位置关系(2012·四川高考)下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行『解析』如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1D与D1A和平面ABCD所成的角都是45°，但A1D与D1A不平行，故A错；在平面ABB1A1内，直线A1B1上有无数个点到平面ABCD的距离相等，但平面ABB1A1与平面ABCD不平行，故B错；平面ADD1A1与平面DCC1D1和平面ABCD都垂直，但两个平面相交，故D错，从而C正确．『答案』C易错提示：(1)盲目和平面内平行线的判定定理类比，从而误选A.(2)不会利用正方体作出判断，考虑问题不全面，从而误选B或D.防范措施：(1)对公理、定理的条件与结论要真正搞清楚，以便做到准确应用，类比得到的结论不一定正确，要想应用，必须证明．(2)点、线、面之间的位置关系可借助长方体为模型，以长方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直．1．(2013·济南模拟)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1⊥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面『解析』如图长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB⊥AD，CD⊥AD但有AB∥CD，因此A不正确；又AB∥DC∥A1B1，但三线不共面，因此C不正确；又从A出发的三条棱不共面，所以D不正确；因此B正确，且由线线平行和垂直的定义易知B正确．『答案』B2．(2012·大纲全国卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．『解析』连接DF，则AE∥DF，∴∠D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角．设正方体棱长为a ，则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ， ∴cos ∠D 1FD ＝（52a ）2＋（52a ）2－a 22·52a ·52a ＝35. 『答案』 35。

2013届高考数学第一轮复习教案第14讲直线、圆的位置关系

2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第14讲直线、圆的位置关系一．课标要求：1．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；2．探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；3．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；4．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；5．在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。

二．命题走向本讲考察重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系（特别是弦长问题），此类问题难度属于中等，一般以选择题的形式出现，有时在解析几何中也会出现大题，多考察其几何图形的性质或方程知识。

预测2013年对本讲的考察是：（1）一个选择题或一个填空题，解答题多与其它知识联合考察；（2）热点问题是直线的位置关系、借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系，注重此种思想方法的考察也会是一个命题的方向；（3）本讲的内容考察了学生的理解能力、逻辑思维能力、运算能力。

三．要点精讲1．直线l1与直线l2的的平行与垂直（1）若l1，l2均存在斜率且不重合：①l1//l2⇔k1=k2；②l1⊥l2⇔k1k2=－1。

（2）若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l若A 1、A 2、B 1、B 2都不为零。

①l 1//l 2⇔212121C C B B A A ≠=； ②l 1⊥l 2⇔ A 1A 2+B 1B 2=0；③l 1与l 2相交⇔2121B B A A ≠； ④l 1与l 2重合⇔212121C C B B A A ==；注意：若A 2或B 2中含有字母，应注意讨论字母=0与≠0的情况。

两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数。

2．距离（1）两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-=特别地：x //AB 轴，则=AB ||21x x -、y //AB 轴，则=AB ||21y y -。

高考数学一轮复习备课手册：第42课两条直线的相交

第42课两条直线的相交一、考纲要求1．熟练掌握利用直线方程求两条直线的交点坐标。

2．理解两条直线的三种位置关系（平行、相交、重合）与相应的直线方程所组成的二元一次方程的解（无解、有唯一解、有无数个解）的对应关系。

3．了解简单的直线对称问题，会求已知直线关于点或直线的对称直线的方程。

二、知识梳理回顾要求1、会求两条直线的交点，理解两条直线的三种位置关系与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解（无解、有惟一解、有无数个解）的对应关系。

2、直线对称：（1）直线1l 0=++C By Ax 关于点),(b a P 的对称直线2l 与1l 平行；（2）直线关于直线的对称：①直线1l 与对称轴l 相交；②直线1l 与对称轴l 平行。

3、完成课本94页例2，并思考经过两条直线交点的直线方程有什么特点。

4、回顾初中数学关于图形的折的和旋转等知识，理解中心对称和轴对称的概念和性质。

要点解析1、两条直线相交是两条直线普遍的位置关系，用方程组求两条直线的交点坐标既是初中知识的连续，也是研究两条直线位置关系的深化；2、有了直线的方程，对直线之间的位置关系的研究就可以转化为对它们方程的研究。

从两条直线的平行、相交、重合问题转化为方程组是否有解、有唯一解、有无数个解的问题中，领会解析法的本质。

3、直线关于直线的对称问题一般转化为点关于直线的对称点问题进行处理。

在具体问题中，直线和点都具有特殊性，要充分利用它们的特殊性解决问题。

三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。

课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。

课上讲学生的解答进行实物投影，将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。

点评时要简洁，要点击要害。

2、诊断练习点评题 1. 已知直线052024=+-=-+n y x y mx 与互相垂直，且垂足为)2,1(，则p n m +-的值为。

2013届高三数学一轮复习教案(直线与圆2)

直线与圆讲义一、要点回顾：1、直线方程的五种形式2、直线平行垂直位置关系的判断3、两点、点到直线、两平行线间的距离公式、两直线交点坐标、交角问题4、圆的方程的两种形式5、点线圆位置关系的判断二、考点精选：题型一直线位置关系的判断1、 “m =21”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的( ) （A ）充分必要条件（B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件（D ）既不充分也不必要条件2、设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件题型二直线与圆方程的求法 1、圆心为(1,2)且与直线512 70x y --=相切的圆的方程为——-—— 2、将圆x 2+y 2-2x-4y+1=0平分的直线是（）（A ）x+y-1=0 （B ） x+y+3=0 （C ）x-y+1=0 （D ）x-y+3=03、已知圆C 与直线040x y x y -=--=及都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程为（）A ．22(1)(1)2x y ++-= B ．22(1)(1)2x y -++=C ．22(1)(1)2x y -+-=D ．22(1)(1)2x y +++=4、已知圆C 经过P （4，– 2），Q （– 1，3）两点，且在y 轴上截得的线段长为小于5．（1）求直线PQ 与圆C 的方程．（2）若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A 、B ，90AOB ∠=︒，求直线l 的方程． 5、已知△ABC 中，A （2，-1），B （4，3），C （3，-2），求：（1）BC 边上的高所在直线方程；（2）AB 边中垂线方程；（3）∠A 平分线所在直线方程。

6、（1）求经过点A （5，2），B （3，2），圆心在直线2x-y-3=0上圆方程；（2）设圆上的点A （2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为22，求圆方程。

2013艺术生高考数学复习学案(二)

【考点及要求】
12.. 理掌解握平平面面向向量量的的坐加标减表及示数；乘的坐标运算； 3. 理解向量平行的等价条件的坐标形式．【基础知识】
【课堂小结】向量是既有大小又有方向的量,应用概念解题,注意数形结合；能够从图形和代
数式两个角度理解向量的加减以及数乘运算。【课堂检测】 1．如图，△ABC中，D，E，F 分别是边 BC，AB，CA 的中点，在以 A、B、C、D、E、F 为端点的有向线段
2
A
F
E
B
D
C
2013 届高三艺术生数学一轮复习教学案
【基本4．训平练面】向量基本定理. 1．判断下列命题是否正确： ⑴两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同；（）
⑵若四边形 ABCD是平行四边形，则 AB = DC ；
（）
⑶若 a ∥ b ， b ∥ c ，则 a ∥ c ；
（）
⑷若 AB 与 CD 是共线向量，则 A、B、C、D 四点共线；（）
3
2013 届高三艺术生数学一轮复习教学案
试用 a，b 表示O→C.
例 4．某人在静水中游泳，速度为 4 3千米/时，他在水流速度为 4 千米/时
的河中游泳. （1）若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度
为多少？（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度
中所表示的向量中，
（1）与向量 FE 共线的有
．
（2）与向量 DF 的模相等的有
．
（3）与向量 ED 相等的有
．
2．已知正方形 ABCD边长为 1， AB + BC + AC 模等于（）
A．0
B．3
C．2 2 D． 2

2013届高考数学第一轮立体几何初步专项复习教案5.doc

§5 平行关系5．1 平行关系的判定(一)【课时目标】1．理解直线与平面平行的判定定理的含义．2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用．3．能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．1．直线与平面平行的定义：直线与平面无公共点．2．直线与平面平行的判定定理：__________一条直线与______________的一条直线平行，则该直线与此平面平行．用符号表示为________________________．一、选择题1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)①若a∥b，b α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b α，则a∥b．其中正确说法的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个2．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是() A．b∥α B．b与α相交C．b α D．b∥α或b与α相交3．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是()A．平行B．相交C．平行或相交D．AB α4．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是()A．平行B．相交C．在内D．不能确定5．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面() A．不存在B．只能作出一个C．能作出无数个D．以上都有可能6．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有()A．4条B．6条C．8条D．12条二、填空题7．经过直线外一点有________个平面与已知直线平行．8．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：(1)与直线AB平行的平面是______________；(2)与直线AA1平行的平面是______________；(3)与直线AD平行的平面是______________．9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是___________________________________________________________ ____．三、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．求证：EF∥平面BDD1B1．11．如图所示，P是▱ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．求证：EF∥平面PBC．能力提升12．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)13．正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ．求证PQ∥平面BCE．(用两种方法证明)直线与平面平行的判定方法(1)利用定义：证明直线a 与平面α没有公共点．这一点直接证明是很困难的，往往借助于反证法来证明．(2)利用直线和平面平行的判定定理：a ⊆α，a ∥b ，b α，则a ∥α．使用定理时，一定要说明“不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行”，若不注明和平面内的直线平行，证明过程就不完整．因此要证明a ∥平面α，则必须在平面α内找一条直线b ，使得a ∥b ，从而达到证明的目的．证明线线平行时常利用三角形中位线、平行线分线段成比例定理等．§5 平行关系5．1 平行关系的判定(一)答案知识梳理2．平面外此平面内 a ⊆α，b α，且a ∥b ⇒a ∥α 作业设计1．A [①a α也可能成立；②a ，b 还有可能相交或异面；③a α也可能成立；④a ，b 还有可能异面．]2．D 3．C 4．A 5．D 6．D[如图所示，与BD 平行的有4条，与BB 1平行的有4条，四边形GHFE 的对角线与面BB 1D 1D 平行，同等位置有4条，总共12条，故选D ．]7．无数8．(1)平面A 1C 1和平面DC 1 (2)平面BC 1和平面DC 1 (3)平面B 1C 和平面A 1C 19．平行解析设BD 的中点为F ，则EF ∥BD 1． 10．证明取D 1B 1的中点O ，连接OF ，OB ．∵OF 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，∴OF 綊BE ．∴四边形OFEB 是平行四边形， ∴EF ∥BO ．∵EF ⊆平面BDD 1B 1， BO 平面BDD 1B 1， ∴EF ∥平面BDD 1B 1．11．证明连接AF 延长交BC 于G ，连接PG ．在▱ABCD 中，易证△BFG ∽△DFA ． ∴GF FA ＝BF FD ＝PE EA ， ∴EF ∥PG ．而EF ⊆平面PBC ， PG 平面PBC ， ∴EF ∥平面PBC ． 12．①③13．证明方法一如图(1)所示，作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N ，连接MN ．∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ， ∴AE ＝BD ．又∵AP ＝DQ ，∴PE ＝QB ．又∵PM ∥AB ∥QN ，∴PM AB ＝PE AE ，QN DC ＝BQBD ． ∴PM 綊QN ．∴四边形PQNM 是平行四边形．∴PQ ∥MN ．又MN 平面BCE ，PQ ⊆平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE ．方法二如图(2)所示，连接AQ 并延长交BC(或其延长线)于K ，连接EK ．∵KB ∥AD ，∴DQ BQ ＝AQQK ． ∵AP ＝DQ ，AE ＝BD ， ∴BQ ＝PE ． ∴DQ BQ ＝AP PE ．∴AQ QK ＝APPE ．∴PQ ∥EK ．又PQ 面BCE ，EK 面BCE ， ∴PQ ∥面BCE ．5．1 平行关系的判定(二)【课时目标】 1．理解平面与平面平行的判定定理的含义．2．能运用平面与平面平行的判定定理，证明一些空间面面平行的简单问题．1．平面α与平面β平行是指两平面______公共点．若α∥β，直线a α，则a 与β的位置关系为________．2．定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．一、选择题 1．经过平面α外的两个点作该平面的平行平面，可以作出( ) A ．0个 B ．1个C ．0个或1个D ．1个或2个2．α和β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是( )A ．α内有无数条直线平行于βB ．α内不共线三点到β的距离相等C．l、m是平面α内的直线，且l∥α，m∥βD．l、m是异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β3．给出下列结论，正确的有()①平行于同一条直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．A．1个B．2个C．3个D．4个4．若不在同一直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A α，则()A．α∥平面ABCB．△ABC中至少有一边平行于αC．△ABC中至多有两边平行于αD．△ABC中只可能有一边与α相交5．两个平面平行的条件是()A．一个平面内一条直线平行于另一个平面B．一个平面内两条直线平行于另一个平面C．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面D．两个平面都平行于同一条直线6．正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G二、填空题7．已知直线a、b，平面α、β，且a∥b，a∥α，α∥β，则直线b 与平面β的位置关系为________．8．有下列几个命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β．其中正确的有________(填序号)．9．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1．三、解答题10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1．11．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．(1)求证平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ADC．能力提升12．三棱柱ABC－A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．求证：平面A1BD1∥平面AC1D．13．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD 的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?判定或证明面面平行的方法(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．5．1平行关系的判定(二) 答案知识梳理1．无a∥β作业设计1．C2．D3．B4．B5．C6．A7．b∥β或b β8．③解析①不正确，当两平面相交时，在一个平面两侧分别有无数点满足条件；②不正确，当平面β与γ相交时也可满足条件；③正确，满足平面平行的判定定理；④不正确，当两平面相交时，也可满足条件．9．M∈线段FH解析∵HN∥BD，HF∥DD1，HN ∩HF ＝H ，BD ∩DD 1＝D ， ∴平面NHF ∥平面B 1BDD 1，故线段FH 上任意点M 与N 连接，有MN ∥平面B 1BDD 1．10．证明如图所示，连接SB ，SD ， ∵F 、G 分别是DC 、SC 的中点，∴FG ∥SD ．又∵SD 平面BDD 1B 1， FG ⊆平面BDD 1B 1，∴直线FG ∥平面BDD 1B 1．同理可证EG ∥平面BDD 1B 1，又∵EG 平面EFG ， FG 平面EFG ， EG ∩FG ＝G ，∴平面EFG ∥平面BDD 1B 1．11．(1)证明 (1)连接BM ，BN ，BG 并延长分别交AC ，AD ，CD 于P ，F ，H ．∵M ，N ，G 分别为△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心，则有BM MP ＝BN NF ＝BGGH ＝2，且P ，H ，F 分别为AC ，CD ，AD 的中点．连接PF ，FH ，PH ，有MN ∥PF ．又PF 平面ACD ，MN ⊆平面ACD ， ∴MN ∥平面ACD ．同理MG ∥平面ACD ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MNG ∥平面ACD ．(2)解由(1)可知MG PH ＝BG BH ＝23，∴MG＝23PH．又PH＝12AD，∴MG＝13AD．同理NG＝13AC，MN＝13CD．∴△MNG∽△ACD，其相似比为1∶3．∴S△MNG∶S△ACD＝1∶9．12．证明连接A1C交AC1于点E，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是A1C的中点，连接ED，∵A1B∥平面AC1D，ED 平面AC1D，∴A1B与ED没有交点，又∵ED 平面A1BC，A1B 平面A1BC，∴ED∥A1B．∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点．又∵D1是B1C1的中点，∴BD1∥C1D，A1D1∥AD，∴BD1∥平面AC1D，A1D1∥平面AC1D．又A1D1∩BD1＝D1，∴平面A1BD1∥平面AC1D．13．解当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA．∵P、O为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO．∴D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO．5．2平行关系的性质(一)【课时目标】1．能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面平行的性质定理．2．能运用直线与平面平行的性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么_______________________________________________________ _．(1)符号语言描述：________________．(2)性质定理的作用：可以作为直线和直线平行的判定方法，也提供了一种作平行线的方法．一、选择题1．a，b是两条异面直线，P是空间一点，过P作平面与a，b都平行，这样的平面()A．只有一个B．至多有两个C．不一定有D．有无数个2．两条直线都和一个平面平行，则这两条直线的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．以上均可能3．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°4．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行和异面5．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线()A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有6．如图所示，平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，下列说法正确的是()A．l1平行于l3，且l2平行于l3B．l1平行于l3，且l2不平行于l3C．l1不平行于l3，且l2不平行于l3D．l1不平行于l3，但l2平行于l3二、填空题7．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α．以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________．(用序号表示)8．如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N 分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________．9．已知(如图)A、B、C、D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG 的形状是______________．三、解答题10．ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC 的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH．11．如图所示，三棱锥A—BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH．求证：CD∥平面EFGH．能力提升12．如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝________．13．如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N 分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l．(1)求证：BC∥l；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．直线与平面平行判定定理和直线与平面平行性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行，复杂的题目还可继续推下去．可有如下示意图：线线平行――→在平面内作或找一直线线面平行――→经过直线作或找平面与平面相交的交线线线平行．5．2 平行关系的性质(一) 答案知识梳理过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行 (1)⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ββ∩α＝b ⇒a ∥b作业设计1．C 2．D3．C [∵截面PQMN 为正方形， ∴PQ ∥MN ，PQ ∥面DAC ．又∵面ABC ∩面ADC ＝AC ，PQ 面ABC ， ∴PQ ∥AC ，同理可证QM ∥BD ．故有选项A 、B 、D 正确，C 错误．]4．A [∵E 、F 分别是AA 1、BB 1的中点， ∴EF ∥AB ．又AB ⊆平面EFGH ，EF 平面EFGH ， ∴AB ∥平面EFGH ．又AB 平面ABCD ，平面ABCD ∩平面EFGH ＝GH ， ∴AB ∥GH ．]5．B [设这n 条直线的交点为P ，则点P 不在直线a 上，那么直线a 和点P 确定一个平面β，则点P 既在平面α内又在平面β内，则平面α与平面β相交，设交线为直线b ，则直线b 过点P ．又直线a ∥平面α，则a ∥b ．很明显这样作出的直线b 有且只有一条，那么直线b 可能在这n 条直线中，也可能不在，即这n 条直线中与直线a 平行的直线至多有一条．]6．A [∵l 1∥l 2，l 2 γ，l 1⊆γ， ∴l 1∥γ．又l 1 β，β∩γ＝l 3， ∴l 1∥l 3∴l 1∥l 3∥l 2．]7．①②⇒③(或①③⇒②)解析设过m 的平面β与α交于l ． ∵m ∥α，∴m ∥l ，∵m ∥n ，∴n ∥l ， ∵n ⊆α，l α，∴n ∥α． 8．223 a解析 ∵MN ∥平面AC ，平面PMN ∩平面AC ＝PQ ，∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝2a3，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a 3． 9．平行四边形解析平面ADC ∩α＝EF ，且CD ∥α，得EF ∥CD ；同理可证GH ∥CD ，EG ∥AB ，FH ∥AB ． ∴GH ∥EF ，EG ∥FH ．∴四边形EFGH 是平行四边形．10．解如图所示，连接AC 交BD 于O ，连接MO ， ∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 中点，又M 是PC 的中点， ∴AP ∥OM ．根据直线和平面平行的判定定理，则有PA ∥平面BMD ． ∵平面PAHG ∩平面BMD ＝GH ，根据直线和平面平行的性质定理， ∴PA ∥GH ．11．证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形， ∴EF ∥GH ．又GH 平面BCD ，EF ⊆平面BCD ． ∴EF ∥平面BCD ．而平面ACD ∩平面BCD ＝CD ，EF 平面ACD ， ∴EF ∥CD ．而EF 平面EFGH ，CD ⊆平面EFGH ， ∴CD ∥平面EFGH ． 12．m ∶n解析 ∵AC ∥平面EFGH ， ∴EF ∥AC ，GH ∥AC ，∴EF ＝HG ＝m·BE BA ，同理EH ＝FG ＝n·AEAB ．∵EFGH 是菱形，∴m·BE BA ＝n·AEAB ， ∴AE ∶EB ＝m ∶n ．13．(1)证明因为BC ∥AD ，AD 平面PAD ， BC ⊆平面PAD ，所以BC ∥平面PAD ．又平面PAD ∩平面PBC ＝l ，BC 平面PBC ，所以BC ∥l ．(2)解 MN ∥平面PAD ．证明如下：如图所示，取DC 的中点Q ．连接MQ 、NQ ．因为N 为PC 中点，所以NQ ∥PD ．因为PD 平面PAD ，NQ ⊆平面PAD ，所以NQ ∥平面PAD ．同理MQ ∥平面PAD ．又NQ 平面MNQ ，MQ 平面MNQ ， NQ ∩MQ ＝Q ，所以平面MNQ ∥平面PAD ．所以MN ∥平面PAD ．5．2 平行关系的性质(二)【课时目标】 1．会用图形语言、文字语言、符号语言准确地描述平面与平面平行的性质定理．2．能运用平面与平面平行的性质定理，证明一些空间面面平行关系的简单命题．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，________________________．(1)符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b⇒a∥b．(2)性质定理的作用：利用性质定理可证线线平行，也可用来作空间中的平行线．(3)面面平行的其他性质：①两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面，即⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa α⇒______，可用来证明线面平行；②夹在两个平行平面间的平行线段相等；③平行于同一平面的两个平面平行．一、选择题1．下列说法正确的是()A．如果两个平面有三个公共点，那么它们重合B．过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行C．在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行D．如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行2．设平面α∥平面β，直线a α，点B∈β，则在β内过点B 的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在惟一一条与a平行的直线3．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于()A．2∶25 B．4∶25 C．2∶5 D．4∶54．α，β，γ为三个不重合的平面，a ，b ，c 为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是( )① ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b; ② ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ； ③ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β； ④ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β； ⑤ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒α∥a; ⑥⎭⎪⎬⎪⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α． A ．④⑥ B ．②③⑥C ．②③⑤⑥D ．②③5．设α∥β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A 、B 分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C( )A ．不共面B ．当且仅当A 、B 分别在两条直线上移动时才共面C ．当且仅当A 、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D ．不论A 、B 如何移动，都共面6．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于点B ，D ，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245C ．14D ．20二、填空题7．分别在两个平行平面的两个三角形，(1)若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有______关系；(2)若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有________关系．8．过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的三个顶点A 1、C 1、B 的平面与底面ABCD 所在平面的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是________．9．已知平面α∥β∥γ，两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 与D 、E 、F ．已知AB ＝6，DE DF ＝25，则AC ＝________．三、解答题10．如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线AB1，BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F．求证：EF∥平面ABCD．11．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．求证：N为AC的中点．能力提升12．如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．13．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．1．在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程：2．强调两个问题(1)一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线，这种说法是不对的，但可以认为这条直线与平面内的无数条直线平行．(2)两个平面平行，其中一个平面内的直线必定平行于另一平面，但这两个平面内的直线不一定相互平行，也有可能异面．5．2 平行关系的性质(二) 答案知识梳理那么它们的交线平行 (3)①a ∥β作业设计1．C [由两平面平行的定义知：一平面内的任何直线与另一平面均无交点，所以选C ．]2．D [直线a 与B 可确定一个平面γ，∵B ∈β∩γ，∴β与γ有一条公共直线b ．由线面平行的性质定理知b ∥a ，所以存在性成立．因为过点B 有且只有一条直线与已知直线a 平行，所以b 惟一．]3．B [面α∥面ABC ，面PAB 与它们的交线分别为A ′B ′，AB ，∴AB ∥A ′B ′，同理B ′C ′∥BC ，易得△ABC ∽△A ′B ′C ′，S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝(A ′B ′AB )2＝(PA ′PA )2＝425．]4．C [由公理4及平行平面的传递性知①④正确．举反例知②③⑤⑥不正确．②中a ，b 可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a 可以在α内；⑥中a 可以在α内．]5．D [如图所示，A ′、B ′分别是A 、B 两点在α、β上运动后的两点，此时AB 中点变成A ′B ′中点C ′，连接A ′B ，取A ′B 中点E ．连接CE 、C ′E 、AA ′、BB ′、CC ′．则CE ∥AA ′，∴CE ∥α．C ′E ∥BB ′，∴C ′E ∥β．又∵α∥β，∴C ′E ∥α．∵C ′E ∩CE ＝E ．∴平面CC ′E ∥平面α．∴CC ′∥α．所以不论A 、B 如何移动，所有的动点C 都在过C 点且与α、β平行的平面上．]6．B [当P 点在平面α和平面β之间时，由三角形相似可求得BD ＝24，当平面α和平面β在点P 同侧时可求得BD ＝245．]7．(1)相似 (2)全等8．平行解析由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的．9．15解析由题可知DE DF ＝AB AC ⇒AC ＝DF DE ·AB ＝52×6＝15．10．证明方法一过E 、F 分别作AB 、BC 的垂线，EM 、FN 分别交AB 、BC 于M 、N ，连接MN ．∵BB 1⊥平面ABCD ，∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，∴EM ∥BB 1，FN ∥BB 1，∴EM ∥FN ，∵AB 1＝BC 1，B 1E ＝C 1F ，∴AE ＝BF ，又∠B 1AB ＝∠C 1BC ＝45°，∴Rt △AME ≌Rt △BNF ，∴EM ＝FN ．∴四边形MNFE 是平行四边形，∴EF ∥MN ．又MN 平面ABCD ，EF 平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD ．方法二过E 作EG ∥AB 交BB 1于G ，连接GF ，∴B 1E B 1A ＝B 1G B 1B ，B 1E ＝C 1F ，B 1A ＝C 1B ，∴C 1F C 1B ＝B 1G B 1B ， ∴FG ∥B 1C 1∥BC ．又∵EG ∩FG ＝G ，AB ∩BC ＝B ，∴平面EFG ∥平面ABCD ．又EF 平面EFG ，∴EF ∥平面ABCD ．11．证明 ∵平面AB 1M ∥平面BC 1N ，平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ，平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ，∴C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1，∴四边形ANC 1M 为平行四边形，∴AN 綊C 1M ＝12A 1C 1＝12AC ，∴N 为AC 的中点．12．解当F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC ．证明如下：取PE 的中点M ，连接FM ，则FM ∥CE ， ①由EM ＝12PE ＝ED ，知E 是MD 的中点，设BD ∩AC ＝O ，则O 为BD 的中点，连接OE ，则BM ∥OE ， ② 由①②可知，平面BFM ∥平面AEC ，又BF 平面BFM ，∴BF ∥平面AEC ．13．解能．取AB ，C 1D 1的中点M ，N ，连接A 1M ，MC ，CN ，NA 1，∵A1N∥PC1且A1N＝PC1，PC1∥MC，PC1＝MC，∴四边形A1MCN是平行四边形，又∵A1N∥PC1，A1M∥BP，A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，∴平面A1MCN∥平面PBC1，因此，过点A1与截面PBC1平行的截面是平行四边形．连接MN，作A1H⊥MN于点H，∵A1M＝A1N＝5，MN＝22，∴A1H＝3．∴S△A1MN＝12×22×3＝6．故S▱A1MCN＝2S△A1MN＝26．。

2013届高考数学第一轮专项复习教案37

7.2两直线的位置关系●知识梳理 1.平行与垂直若直线l 1和l 2有斜截式方程l 1：y =k 1x +b 1，l 2：y =k 2x +b 2，则（1）直线l 1∥l 2的充要条件是k 1=k 2且b 1≠b 2. （2）直线l 1⊥l 2的充要条件是k 1·k 2=－1. 若l 1和l 2都没有斜率，则l 1与l 2平行或重合.若l 1和l 2中有一条没有斜率而另一条斜率为0，则l 1⊥l 2. 2.相交（1）两条直线l 1：y =k 1x +b 1和l 2：y =k 2x +b 2相交得到两类角：“到角”和“夹角”.①到角：直线l 1到l 2的角是指l 1按逆时针方向旋转到与l 2重合时所转的角.设l 1到l 2的角为θ1，l 2到l 1的角为θ2，则有θ1∈（0，π），θ2∈（0，π），且θ1+θ2=π.当k 1k 2≠－1时，有公式tan θ1=21121k k k k +-.当k 1k 2=－1时，l 1⊥l 2，θ1=θ2=2π.②夹角：l 1到l 2的角θ1和l 2到l 1的角θ2中不大于90°的角叫l 1和l 2的夹角.设为α，则有α∈（0，2π］，当α≠2π时，有公式tan α=|21121k k k k +-|.如果直线l 1和l 2中有一条斜率不存在，“到角”和“夹角”都可借助于图形，通过直线的倾斜角求出.（2）交点：直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0和l 2：A 2x +B 2y +C 2=0的公共点的坐标与方程组A 1x +B 1y +C 1=0 A 2x +B 2y +C 2=0相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解. 重合⇔方程组有无数解.3.点P （x 0，y 0）到直线l ：Ax +By +C =0的距离d =2200||BA C By Ax +++.两平行线l 1：Ax +By +C 1=0和l 2：Ax +By +C 2=0之间的距离d =2212||BA C C +-.●点击双基1.点（0，5）到直线y =2x 的距离为 A.25B.5C.23D.25解析：a =22)1(2|50|-+-=5.答案：B2.三直线ax +2y +8=0，4x +3y =10，2x －y =10相交于一点，则a 的值是A.－2B.－1C.0D.1 4x +3y =10，2x －y =10，得交点坐标为（4，－2），代入ax +2y +8=0，得a =－1.的解一一对解析：解方答案：B3.直线x +y －1=0到直线x sin α+y cos α－1=0（4π＜α＜2π)的角是 A.α－4πB.4π－α C.α－4π3 D.4π5－α解析：由tan θ=)1()tan (11tan -⋅-++-αα=ααtan 1tan 1+-=tan （4π－α）=tan （4π5－α），∵4π＜α＜2π，－4π＜4π－α＜0，4π3＜4π5－α＜π，∴θ=4π5－α.答案：D4.已知点P 是直线l 上的一点，将直线l 绕点P 逆时针方向旋转角α（0°<α<90°），所得直线方程是x －y －2=0，若将它继续旋转90°－α角，所得直线方程是2x +y －1=0，则直线l 的方程是____________.解析：∵直线l 经过直线x －y －2=0和2x +y －1=0的交点（1，－1），且又与直线2x +y －1=0垂直，∴l 的方程为y +1=21（x －1），即x －2y －3=0. 答案：x －2y －3=05.若直线l 1：ax +2y +6=0与直线l 2：x +（a －1）y +（a 2－1）=0平行且不重合，则a 的值是____________.解析：利用两直线平行的条件. 答案：－1 ●典例剖析【例1】等腰三角形一腰所在直线l 1的方程是x －2y －2=0，底边所在直线l 2的方程是x +y －1=0，点（－2，0）在另一腰上，求该腰所在直线l 3的方程.剖析：依到角公式求出l 3的斜率，再用点斜式可求l 3的方程. 解：设l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，l 1到l 2的角是θ1，l 2到l 3的角是θ2，则k 1=21，k 2=－1，tan θ1=21121k k k k +-=21)1(1211⨯-+--=－3.∵l 1、l 2、l 3所围成的三角形是等腰三角形，∴θ1=θ2，tan θ1=tan θ2=－3，即23231k k k k +-=－3，3311k k -+=－3，解得k 3=2. 又∵直线l 3经过点（－2，0），∴直线l 3的方程为y =2（x +2），即2x －y +4=0.评述：本题根据条件作出合理的假设θ1=θ2，而后利用直线到直线所成角的公式，最后利用点斜式，求出l 3的方程.思考讨论用夹角公式会产生什么问题，怎样去掉增解?【例2】已知两直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：（m －2）x ＋3my ＋2m ＝0，当m 为何值时，l 1与l 2（1）相交；（2）平行；（3）重合?剖析：依据两直线位置关系判断方法便可解决. 解：当m =0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，∴l 1∥l 2.当m =2时，l 1：x ＋4y ＋6＝0，l 2：3y ＋2＝0，∴l 1与l 2相交.当m ≠0且m ≠2时，由21-m ＝mm 32得m =－1或m =3，由21-m ＝m26得m ＝3.故（1）当m ≠－1，m ≠3且m ≠0时，l 1与l 2相交；（2）当m ＝－1或m ＝0时，l 1∥l 2；（3）当m ＝3时，l 1与l 2重合.评述：对这类问题要从有斜率、没斜率两方面进行考虑.深化拓展不讨论有斜率、没斜率能直接求解吗? 【例3】已知点P （2，－1），求：（1）过P 点与原点距离为2的直线l 的方程；（2）过P 点与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少? （3）是否存在过P 点与原点距离为6的直线?若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.剖析：已知直线过定点求方程，首先想到的是求斜率或设方程的斜截式，但不要忘记考察斜率不存在的直线是否满足题意.若满足，可先把它求出，然后再考虑斜率存在的一般情况.图形中量的最值问题往往可由几何原理作依据求得解决.解：（1）过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为（2，1），可见，过P （2，1）垂直于x 轴的直线满足条件.此时l 的斜率不存在，其方程为x =2.若斜率存在，设l 的方程为y +1=k （x －2），即kx －y －2k －1=0.由已知，得1|12|2+--k k =2，解之得k =43.此时l 的方程为3x －4y －10=0.综上，可得直线l 的方程为x =2或3x －4y －10=0.（2）作图可证过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线，由l ⊥OP ，得k l ·k OP =－1，所以k l =－OPk 1=2.由直线方程的点斜式得y +1=2（x －2），即2x －y －5=0，即直线2x －y －5=0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为5|5|-=5.（3）由（2）可知，过P 点不存在到原点距离超过5的直线，因此不存在过P 点且到原点距离为6的直线.评述：第（3）问是判断存在性问题，通常的解决方法是先假设判断对象存在，令其满足应符合的条件，若有解，则存在，并求得；若无解，则不存在，判断无解的过程就是结论的理由.如（3）解法二：由于斜率不存在且过P 点的直线到原点距离不是6，因此，设过P 点到原点距离为6的直线的斜率存在且方程为y +1=k （x －2），即kx －y－2k －1=0.原点O 到它的距离d =1|12|2+--k k =6，即32k 2－4k +35=0.因Δ=16－4×32×35<0，故方程无解.所以不存在这样的直线.●闯关训练夯实基础1.（2004年全国卷Ⅳ，3）过点（－1，3）且垂直于直线x －2y +3=0的直线方程为A.2x +y －1=0B.2x +y －5=0C.x +2y －5=0D.x －2y +7=0解析：由已知直线的斜率为21，知所求直线的斜率为－2. 由点斜式得所求直线方程为2x +y －1=0. 答案：A2.若直线y =|x |与y =kx +1有两个交点，则k 的取值范围是____________.解析：y =|x |是第一、二象限角的平分线，直线y =kx +1是过定点（0，1）的直线系方程.由图象易知－1<k <1. 答案：－1<k <13.△ABC 中，a 、b 、c 是内角A 、B 、C 的对边，且lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列，则下列两条直线l 1：（sin 2A ）x +（sin A ）y －a =0，l 2：（sin 2B ）x +（sin C ）y －c =0的位置关系是____________.解析：由已知2lgsin B =lgsin A +lgsin C ，得lg （sin B ）2=lg （sin A ·sin C ）.∴sin 2B =sin A ·sin C .设l 1：a 1x +b 1y +c 1=0，l 2：a 2x +b 2y +c 2=0．∵21a a =B A 22sin sin =CA A sin sin sin 2=CAsin sin ，21b b =CAsin sin ，21c c =c a --=C R A R sin 2sin 2--=CAsin sin ， ∴21a a =21b b =21c c ，l 1与l 2重合．答案：重合4.求过点P （5，－2），且与直线x －y +5=0相交成45°角的直线l 的方程.解：（1）若直线l 的斜率存在，设为k ，由题意，tan45°=|kk +-11|，得k =0，所求l 的直线方程为y =－2.（2）若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x =5，且与直线x －y +5=0相交成45°角.综合（1）（2），直线l 的方程为x =5或y =－2.5.已知△ABC 的两条高线所在直线的方程为2x －3y +1=0和x +y =0，顶点A （1，2），求：（1）BC 边所在直线的方程；（2）△ABC 的面积.解：（1）A 点不在两条高线上，从而AB 、AC 边所在直线方程为3x +2y －7=0，x －y +1=0.∴C （－2，－1）、B （7，－7）. ∴边BC 所在直线方程是2x +3y +7=0. （2）∵｜BC ｜＝117，点A 到边BC 的高为h ＝1315，从而△ABC的面积是21×313×1315＝245．培养能力6.光线从A （－3，4）点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点D （－1，6），求BC 所在直线的方程.解法一：如下图所示，依题意，B 点在原点O 左侧，设坐标为（a ，0），由入射角等于反射角得∠1=∠2，∠3=∠4，∴k AB =－k BC .又k AB =a ---304=－a +34（a ≠－3），∴k BC =a+34. ∴BC 的方程为y －0=a+34（x －a ），即4x －（3+a ）y －4a =0.令x =0，解得C 点坐标为（0，a a +-34），则k DC =01346--+--a a =－a a++31018.∵∠3=∠4，∴010⋅+-BC BC k k =DCDCk k ⋅+-010.∴a +34=aa ++31018.解得a =－57，代入BC 方程得5x －2y +7=0.解法二：点A 关于x 轴的对称点为A ′（－3，－4），点D 关于y 轴的对称点为D ′（1，6），由入射角等于反射角及对顶角相等可知A ′、D ′都在直线BC 上，∴BC 的方程为5x －2y +7=0.7.在平面直角坐标系中，在y 轴的正半轴（原点除外）上给定两点A （0，a ）、B （0，b ）（a ＞b ＞0）.试在x 轴的正半轴（原点除外）上求点C ，使∠ACB 取得最大值，并求出这个最大值.解：由题意作下图，设C （x ，0），其中x ＞0．又A （0，a ），B （0，b ）（a ＞b ＞0），则k AC ＝x a --00＝－xa，k BC ＝xb --00＝－xb .∴tan ∠ACB ＝ACBC ACBC k k k k ⋅+-1＝21xab x b x a +-=][xab ab x ab b a +-≤abb a 2-．此时x＝ab 时取等号.故所求点C （ab ，0），最大值为arctanabb a 2-．8.（理）已知过点A （1，1）且斜率为－m （m ＞0）的直线l 与x 轴、y 轴分别交于P 、Q ，过P 、Q 作直线2x +y =0的垂线，垂足为R 、S ，求四边形PRSQ 面积的最小值.解：设l 的方程为y －1=－m （x －1），则P （1+m1，0），Q （0，1+m ）.从而可得直线PR 和QS 的方程分别为x －2y －mm 1+=0和x －2y +2（m +1）=0.又PR ∥QS ，∴｜RS ｜=5|1122|mm +++=5123mm ++.又｜PR ｜=522m +，｜QS ｜=51+m ，四边形PRSQ 为梯形，S 四边形PRSQ =21［522m ++51+m ］·5123mm ++=51（m +m 1+49）2－801≥51（2+49）2－801=3.6. ∴四边形PRSQ 的面积的最小值为3.6.（文）在△ABC 中，已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y +1=0，∠A 的平分线所在直线的方程为y =0.若点B 的坐标为（1，2），求点C 的坐标.解：点A 为y =0与x －2y +1=0两直线的交点，∴点A 的坐标为（－1，0）.∴k AB =)1(102---=1. 又∵∠A 的平分线所在直线的方程是y =0，∴k AC =－1.∴直线AC 的方程是y =－x －1.而BC 与x －2y +1=0垂直，∴k BC =－2.∴直线BC 的方程是y －2=－2（x －1）. y =－x －1， y =－2x +4，解得C （5，－6）. 探究创新9.已知三条直线l 1：2x －y +a =0（a ＞0），直线l 2：－4x +2y +1=0和直线l 3：x +y －1=0，且l 1与l 2的距离是1075.（1）求a 的值；（2）求l 3到l 1的角θ；（3）能否找到一点P ，使得P 点同时满足下列三个条件：①P 是第一象限的点；②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的21；③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是2∶5？若能，求P 点坐标；若不能，请说明理由.解：（1）l 2即2x －y －21=0，∴l 1与l 2的距离d =22)1(2|)21(|-+--a =1057.由∴5|21|+a =1057.∴|a +21|=27.∵a ＞0，∴a =3.（2）由（1），l 1即2x －y +3=0，∴k 1=2.而l 3的斜率k 3=－1， ∴tan θ=31311k k k k ⋅+-=)1(21)1(2-+--=－3.∵0≤θ＜π，∴θ=π－arctan3.（3）设点P （x 0，y 0），若P 点满足条件②，则P 点在与l 1、l 2平行的直线l ′：2x －y +C =0上，且5|3|-C =215|21|+C ，即C =213或C =611， ∴2x 0－y 0+213=0或2x 0－y 0+611=0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式，有53200+-y x =522|1|00-+y x ，即|2x 0－y 0+3|=|x 0+y 0－1|， ∴x 0－2y 0+4=0或3x 0+2=0.由P 在第一象限，∴3x 0+2=0不可能.联立方程2x 0－y 0+213=0和x 0－2y 0+4=0， x 0=－3， y 0=21，2x 0－y 0+611=0，x 0－2y 0+4=0， x 0=91，y 0=1837.解应舍由解得∴P （91，1837）即为同时满足三个条件的点.●思悟小结1.要认清直线平行、垂直的充要条件，应特别注意对x 、y 的系数中一个为零的情况的讨论.2.在运用一条直线到另一条直线的角的公式时要注意无斜率的情况及两条直线垂直的情况.3.点到直线的距离公式是一个基本公式，它涉及绝对值、直线垂直、最小值等内容.●教师下载中心教学点睛1.两条直线的位置关系的有关内容是本章学习的重点，在整个解析几何的学习中占有重要地位.这部分内容是用代数方法研究几何图形的具体应用.2.在判断两直线的位置关系时，也可利用直线方程的一般式，由系数间的关系直接作出结论，设l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0.（1）l 1∥l 2⇐21A A =21B B ≠21C CA 1B 2=A 2B 1，A 1C 2≠A 2C 1. （2）l 1与l 2相交⇐21A A ≠21B B ⇔A 1B 2≠A 2B 1. （3）l 1与l 2重合⇐21A A =21B B =21C CA 1B 2=A 2B 1，⇔ ⇔A 1C 2=A 2C 1.（4）l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0. 拓展题例【例1】当0<a <2时，直线l 1：ax －2y =2a －4，直线l 2：2x +a 2y =2a 2+4与坐标轴围成一个四边形，求使该四边形面积最小时a 的值.解：直线l 1交y 轴于A （0，2－a ），直线l 2交x 轴于C （a 2+2，0），l 1与l 2交于点B （2，2）.则四边形AOCB 的面积为S =S △AOB +S △OCB =21·（2－a ）·2+21（a 2+2）·2=a 2－a +4=（a －21）2+415，当a =21时，S 最小.因此使四边形面积最小时a 的值为21. 【例2】已知n 条直线l 1：x －y +C 1=0，C 1=2，l 2：x －y +C 2=0，l 3：x －y +C 3=0，…，l n ：x －y +C n =0（其中C 1＜C 2＜C 3＜…＜C n ），这n 条平行直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为2、3、4、…、n .（1）求C n ；（2）求x －y +C n =0与x 轴、y 轴围成的图形的面积；（3）求x －y +C n －1=0与x －y +C n =0及x 轴、y 轴围成图形的面积. 解：（1）原点O 到l 1的距离为1，原点O 到l 2的距离为1+2，……原点O 到l n 的距离d n 为1+2+…+n =2)1(+n n . ∵C n =2d n ，∴C n =2)1(2+n n .（2）设直线l n ：x －y +C n =0交x 轴于M ，交y 轴于N ，则△OMN 面积S △OMN =21|OM |·|ON |=21C n 2=4)1(22+n n .（3）所围成的图形是等腰梯形，由（2）知S n =4)1(22+n n ，则有S n －1=4)1(22n n ⋅-.∴S n －S n －1=4)1(22+n n －4)1(22n n ⋅-=n 3.∴所求面积为n 3.。

2013届高三数学(理)一轮复习方案课件【人教A版】第39讲直线、平面平行的判定与性质备用例题

第39讲 │ 备用例题
而B1F⊄平面A1BE， → 于是B1F∥平面A1BE⇔ B n＝0⇔(t－1,1,0)· (2,1,2)＝0⇔2(t 1F · 1 －1)＋1＝0⇔t＝ ⇔F为C1D1的中点． 2 这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面 A1BE.
第39讲 │ 备用例题
[解答] 证法一：由“面面平行⇒线面平行”．如图，在平面AA1B1B内，作MK∥A1B1，交BB1于K点，连 B1M B1K B1M C1N B1K C1N 接KN，则易知 MA ＝ KB ，而 MA ＝ NB ，∴ KB ＝ NB ，则KN ∥B1C1.又∵A1B1∩B1C1＝B1，∴平面MKN∥平面A1B1C1D1. 而MN⊂平面MKN，∴MN∥平面A1B1C1D1.
第39讲 │ 备用例题
1 → → (2)依题意，得A1(0,0,1)，BA1＝(－1,0,1)，BE＝－1,1， . 2 →1 ＝0，设n＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则由n· BA －x＋z＝0， → ＝0，得 n· BE 1 －x＋y＋ z＝0. 2 1 所以x＝z，y＝ z，取z＝2，得n＝(2,1,2)． 2 设F是棱C1D1上的点，则F(t,1,1)(0≤t≤1)． → 又B1(1,0,1)，所以B 1F＝(t－1,1,0)．
第39讲 │ Biblioteka 用例题方法二： → ， AD → ， AA →1 为单位正设正方体的棱长为1，如图所示，以 AB 交基底建立空间直角坐标系．
第39讲 │ 备用例题
1 (1)依题意，得B(1,0,0)，E0,1，，A(0,0,0)，D(0,1,0)， 2 1 → → 所以BE＝－1,1，，AD＝(0,1,0)． 2 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为AD⊥平面ABB1A1，所 → 是平面ABB1A1的一个法向量．以AD 设直线BE和平面ABB1A1所成的角为θ， →· →| |BE AD 1 2 则sinθ＝＝＝， 3 3 → → |BE|· |AD| ×1 2 2 即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为 . 3

2013届高考数学第一轮复习教学案18

盐城市文峰中学高中数学美术生一轮复习教学案§18直线与平面的位置关系【考点及要求】：1.了解空间线面平行、垂直的有关概念，能正确判断空间线面的各种位置关系;2.理解空间线面平行、垂直的性质定理并能加以证明.【基础知识】：1.直线和平面的位置关系有，，，其中与统称直线在平面外.2.直线和平面平行的判定：（1）定义：；（2）判定定理：ba b a //,,且αα⊂⊄ ⇒ （3）其他判定方法：αβ//,a ⇒⊂α 3.直线和平面平行的性质定理：⇒=⋂⊂l a a βαβα,,// 4.直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法：②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，则该直线和此平面垂直.③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也这个平面.(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内直线②垂直于同一个平面的两条直线5.斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的所成的锐角，叫斜线和平面所成的角.【基本训练】：1.一条直线若同时平行两个相交平面,则直线与两个平面交线的关系是 .2.“直线m 垂直于平面平面α内的无数条直线”是“m ⊥α”的______________条件.3.在四面体ABC P -中,(1)若,PC PB PA ==则P 在ABC∆中的射影H 是ABC ∆的________心; (2)若,,AC PB BC PA ⊥⊥则P 在ABC ∆中的射影H 是ABC ∆的________心; (3)若PC PB PA ,,两两垂直, 则P 在ABC ∆中的射影H 是ABC ∆的_________心.4.已知长方体1111D C B A ABCD -中，棱12,51==AB AA ，那么直线11C B 和平面11BCD A 的距离是 .【典型例题讲练】例1.如图，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形.求证：//AB 平面EFGH .练习.如图,在棱长相等的正三棱柱ABC -111C B A 中,E D ,分别为1AA ,1B C 的中点, 求证:DE //平面ABC .例2.如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，AD ⊥面ABC ，AE ⊥BD 于E ，AF ⊥CD 于F ．求证：BD ⊥平面AEF.练习.一个三棱锥的四个面中最多有_______个直角三角形.【课堂小结】【课堂检测】【课后作业】B A CDE FGH。

2013年高考数学一轮复习精品教学案8.4 直线、圆的位置关系(学生版) 新人教版

2013年高考数学一轮复习精品教学案8.4 直线、圆的位置关系[考纲解读]1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程,判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．[考点预测]高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.平面解析几何是历年来高考重点内容之一,经常与逻辑、不等式、三角函数等知识结合起来考查，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，在解答题中考查，一般难度较大，与其他知识结合起来考查，在考查平面解析几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查解析几何与其他知识的结合，在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活.[要点梳理]1.直线与圆的位置关系:直线l ,圆的方程为222()()x a y b r -+-=,d 为圆心到直线l 的距离,那么(1)直线l 与圆相离d r ⇔>;(2)直线l 与圆相切d r ⇔=;(注意圆心到切线的距离等于圆的半径) (3)直线l 与圆相交d r ⇔<.牢记Rt ∆:22r d -等于弦长一半的平方. 2.圆的切线求法:(1)点P 在圆上:过圆222x y r +=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程是200x x y y r +=;(2)假设点P 在圆外,那么过点P 的圆的切线有两条.3.圆与圆的位置关系:设1O 的半径为1r ,2O 的半径为2r ,两圆的圆心距为d ,规律:通过两个圆心的距离与两个圆的半径(和或差)比较大小来判断.[例题精析]考点一直线与圆的位置关系例1.(2012年高考陕西卷文科6)圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，那么〔〕 A l 与C 相交 B l 与C 相切 C l 与C 相离 D. 以上三个选项均有可能[变式训练]1. (2012年高考广东卷文科8)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x+4y-5=0与圆x ²+y ²=4相交于A 、B 两点，那么弦AB 的长等于〔〕A. B. D.1考点二圆与圆的位置关系例2.(2012年高考山东卷文科9)圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为〔〕(A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离[变式训练]2.〔2011年高考全国卷文科11)设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点〔4，1〕，那么两圆心的距离12C C =〔〕(A)4 (B) (C)8 (D)[易错专区]问题：综合应用例. 5.方程〔x －4〕2+〔y －4〕2=4与直线y=mx 的交点为P 、Q ，原点为O ，那么｜OP ｜·｜OQ ｜的值为___________.[课时作业]1. 圆x2+y2－2x=0和圆x2+y2+4y=0的位置关系是〔〕A.相离B.外切C.内切D.相交2.(2012年高考重庆卷理科3)对任意的实数k ，直线y=kx+1与圆222=+y x 的位置关系一定是〔〕相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心3. 〔2012年高考江苏卷12〕在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，假设直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，那么k 的最大值是．4．〔2010年高考陕西卷文科9〕抛物线y2＝2px 〔p>0〕的准线与圆〔x －3〕2＋y2＝16相切，那么p 的值为( )〔A 〕12 〔B 〕1 〔C 〕2 〔D 〕45. 〔2011年高考湖北卷文科14)过点(－1,－2)的直线l 被圆222210x y x y +--+=那么直线l 的斜率为。

2013高考数学(理)一轮复习教案：第八篇_立体几何第3讲_空间点、直线、平面之间的位置关系

第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系【2013年高考会这样考】1 •本讲以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力. 2•有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题.3•能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.【复习指导】1 •掌握平面的基本性质，在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、线、面的位置关系及等角定理.2•异面直线的判定与证明是本部分的难点，定义的理解与运用是关键.基础梳理1. 平面的基本性质(1) 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在这个平面内.(2) 公理2:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.(3) 公理3:如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点,那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.推论1:经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面.2. 直线与直线的位置关系(1) 位置关系的分类共面直线平交\ .相交•异面直线：不同在任何一个平面内(2) 异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点 0作直线a '// a ，b '// b ，把a '与b '3. 直线与平面的位置关系有平行、相交」平面内三种情况.4. 平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.5•平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.a ，b 所成的角(或夹角).6•等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.^=助営< 傅- -----两种方法异面.直线.的判定方法.：..…(1) 判定定理:…平面外一点.…A与平面内一点…B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线一.…一…(2) 反证法:…证明两线不可.能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面. ..三个作用(1) 公理.丄的作用:…①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在.. 平面内.:…(2) 公理.2.的作用:…公.理…2及其推论给出了确定一个平面或判断…….“直线共面”的方法.：...(3) 公理.3.的作用：.①判.定两平面相交；②作两平面相交的交线L.®证明多点共线.•双基自测1. (人教A版教材习题改编)下列命题是真命题的是().A .空间中不同三点确定一个平面B.空间中两两相交的三条直线确定一个平面C .一条直线和一个点能确定一个平面D.梯形一定是平面图形解析空间中不共线的三点确定一个平面，A错；空间中两两相交不交于一点的三条直线确定一个平面，B错；经过直线和直线外一点确定一个平面，C错；故D正确.答案D2. 已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a,那么c与b( ).A .一定是异面直线B. 一定是相交直线C .不可能是平行直线D .不可能是相交直线解析由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b/t，则a/b，与已知a、b为异面直线相矛盾.答案C3. （2011浙江）下列命题中错误的是（）.A .如果平面a丄平面B,那么平面a内一定存在直线平行于平面BB.如果平面a不垂直于平面B,那么平面a内一定不存在直线垂直于平面BC .如果平面a丄平面Y平面肚平面Y aG l，那么I丄平面丫D .如果平面a丄平面B,那么平面a内所有直线都垂直于平面B解析对于D,若平面a!平面B,则平面a内的直线可能不垂直于平面B,甚至可能平行于平面B,其余选项均是正确的.答案D4. （2011武汉月考）如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线（）.A . 12 对B . 24 对C. 36对D . 48 对解析如图所示，与AB异面的直线有B1C1；CC1, A1D1, DD1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线答案B5. _____________________________________ 两个不重合的平面可以把空间分成E分. 答案3或4KAOKIANGTANJIUDAOXI!总考向探究导析考向一平面的基本性质【例1】？正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是（）.A .三角形B .四边形C.五边形 D .六边形解析号4二24（对）.02［审题视点］过正方体棱上的点P、Q、R的截面要和正方体的每个面有交线.如图所示，作RG/PQ 交C i D i 于G ,连接QP 并延长与CB 交于M ,连接MR 交BB i 于E ,连接PE 、RE 为截面的部分外形.同理连PQ 并延长交CD 于N ,连接NG 交DD i 于F ，连接QF ，FG.•••截面为六边形PQFGRE.答案 D-■- 画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定•作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快的确定交线的位置.【训练1】下列如图所示是正方体和正四面体，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是 ___________ .解析形PQRS 为梯形；③中可证四边形 PQRS 为平行四边形；②中如图所示取 A i A 与BC 的中点为M 、N 可证明PMQNRS 为平面图形，且PMQNRS 为正六边形.答案①②③考向二异面直线【例2】？如图所示,在④图中，可证Q 点所在棱与面PRS 平行，因此, P 、Q 、R 、S 四点不共面.可证①中四边A Q RA B正方体ABCDA i B i C i D i中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点•问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；⑵D i B和CC i是否是异面直线？说明理由.［审题视点］第⑴问，连结MN , AC,证MN //AC,即卩AM与CN共面；第(2)问可采用反证法.解1).(1)不是异面直线.理由如下：连接MN、A i C i、AC.••• M、N分别是A i B i、B i C i的中点，••• MN // A i C i.又I A i A綉C i C,••• A i ACC i为平行四边形，•A i C i // AC,：MN //AC，• A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线. ⑵是异面直线.证明如下：••• ABCDA i B i C i D i 是正方体，•B、C、C i、D i 不共面.假设D i B与CC i不是异面直线，则存在平面a使D i B?平面a CC i?平面a,•D i, B、C、C i € a 与ABCDA i B i C i D i 是正方体矛盾.•假设不成立，即D i B与CC i是异面直线.■m证明两直线为异面直线的方法(i)定义法(不易操作).(2)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.【训练2】在下图中，G 、H 、M 、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH 、MN 是异面直线的图形有 _________ (填上所有正确答案的序号)•解析如题干图⑴中，直线GH MN ;图(3)中，连接MG ，GM HN ，因此GH 与MN 共面；图(4)中，G 、M 、N 共面，但H?面GMN ，•GH 与MN 异面.所以图 ⑵、⑷中GH 与MN 异面.答案⑵⑷考向三异面直线所成的角【例3】?(2011宁波调研)正方体ABCDA i B i C i D i 中.(1)求AC 与A i D 所成角的大小；⑵若E 、F 分别为AB 、AD 的中点，求A i C i 与EF 所成角的大小.［审题视点］(1)平移A i D 到B i C ，找出AC 与A i D 所成的角，再计算.⑵可证A i C i 与EF 垂直. 解(i)如图所示，连接 AB i ，B i C ，由ABCDA i B i C i D i 是正方体，易知A i D // B i C ，从而B i C 与AC 所成的角就是AC 与A i D 所成的角.T AB i = AC = B i C ，•••/ B i CA = 60°即A i D 与AC 所成的角为60°图(2)中，G 、H 、N 三点共面，但M?面GHN ，因此直线GH 与MN 异面;⑴⑵ ⑶ (4)⑵如图所示，连接AC、BD,在正方体ABCDA i B i C i D i中，AC 丄BD, AC// A1C1,••• E、F分别为AB、AD的中点，••• EF // BD，二EF 丄AC.二EF _L A1C1.即A i C i与EF所成的角为90°求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移•计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.【训练3】A是厶BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点.(1) 求证：直线EF与BD是异面直线；(2) 若AC L BD，AC= BD，求EF 与BD 所成的角.(1)证明假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是厶BCD平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD 是异面直线.⑵解如图，取CD的中点G，连接EG、FG，则EG// BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角.1在Rt△ EGF中，由EG= FG = qAC，求得/ FEG = 45°即异面直线EF与BD所成的角为45°.考向四点共线、点共面、线共点的证明【例4】？正方体a C LIBA E BABCDA 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA i 的中点.求证:⑴E 、C 、D i 、F 四点共面；(2)CE 、D i F 、DA 三线共点.［审题视点］(1)由EF //CD i 可得；⑵先证CE 与D i F 相交于P ,再证P € AD.证明(1)如图，连接EF , CD i , A i B.••• E 、F 分别是AB 、AA i 的中点,••• EF // BA i .又 A i B / D i C ,A EF / CD i ,••• E 、C 、D i 、F 四点共面.(2)v EF // CD i , EF v CD i ,••• CE 与D i F 必相交，设交点为P ,贝U 由 P € CE , CE?平面 ABCD ,得P €平面ABCD.同理P €平面ADD i A i .又平面ABCD A 平面ADD i A i = DA ,••• P €直线 DA ，二 CE 、D i F 、DA 三线共点.要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用平面的基本性质3,即证点在两个平面的交线上.或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在此直线上.【训练4】如图所示，已知空间四边形 ABCD 中，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且CB = CG =彳，求证：三条直线EF 、GH 、AC 交于一点.证明：E 、H 分别为边AB 、AD 的中点,FG 2••• BD _3,且 FG // B D.•••四边形EFGH 为梯形，从而两腰EF 、GH 必相交于一点P.••• P € 直线 EF ，EF?平面 ABC ，A P € 平面 ABC.同理，P €平面ADC.••• P 在平面ABC 和平面ADC 的交线AC 上，故EF 、GH 、AC 三直线交于一点.KAOTIJHUANXIAMGTUPO — - —a3 考题专项突破阅卷报告10――点、直线、平面位置关系考虑不全致误【问题诊断】由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑，这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多，特别是当直线和平面的个数较多时，各种位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断.【防范措施】借助正方体、三棱锥、三棱柱模型来分析.【示例】？(2011四川)11, 12, 13是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是().A . l l 丄 12 , 12丄 I 3? l l / I 3B . 11 丄 I 2, I 2 // I 3? I 1 丄 13C . I 1 / I 2 / I 3? I 1, I 2, I 3共面D .11 ,b , b 共点？ I 1, I 2, b 共面错因受平面几何知识限制，未能全面考虑空间中的情况.实录甲同学：A 乙同学：C1 CF •I EH 綉2BD ，而CB = CG _2 C D _03 B F C丙同学：D.正解在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错.答案B【试一试】（2010江西）过正方体ABCDA i B i C i D i的顶点A作直线I，使I与棱AB, AD，AA i所成的角都相等，这样的直线I可以作（）.A . 1条B. 2条C . 3条D . 4条［尝试解答］如图，连结体对角线AC i，显然AC i与棱AB、AD，AA i所成的角都相等，所成角的正切值都为 2.联想正方体的其他体对角线，如连结BD i，则BD i与棱BC、BA、BB i所成的角都相等，••• BB i// AA i，BC// AD，•••体对角线BD i与棱AB、AD、AA i所成的角都相等，同理，体对角线A i C、DB i也与棱AB、AD、AA i所成的角都相等，过A点分别作BD i、A i C、DB i的平行线都满足题意，故这样的直线I 可以作4条.答案D。

2013届高三数学(文)一轮复习方案课件第43讲直线系和对称问题

[点评] 抓住角平分线的性质特点，利用对称性解题．
第43讲 │ 要点探究
变式题光线从点 A(－3,4)发出，经过 x 轴反射，再经过 y 轴反射，光线经过点 B(－2,6)，求射入 y 轴后的反射线的方程．
[解答] ∵A(－3,4)关于 x 轴的对称点 A1(－3，－4)在经过 x 轴反射的光线上，同样 A1(－3，－4)关于 y 轴的对称点 A2(3，－4)在射入 y 轴的反射线上， 6＋4 ∴kA2B＝＝－2. －2－3 故所求直线方程为 y－6＝－2(x＋2)，即 2x＋y－2＝0.
第43讲 │ 要点探究
变式题与曲线 f(x，y)＝0 关于点(1,2)对称的曲线是( A．f(x－1，y－2)＝0 B．f(x－2，y－4)＝0 C．f(1－x,2－y)＝0 D．f(2－x,4－y)＝0 )
变式题 D [解析] 在所求曲线上任取一点 P(x，y)，它关于点(1,2)的对称点 P1(2－x,4－y)在曲线 f(x，y)＝0 上，代入得 f(2－x,4－ y)＝0.故选 D.
第43讲 │ 直线系和对称问题
第43讲
直线系和对称问题
第43讲 │ 编读互动编读互动
直线系的实质是参数问题，是用一种运动变化的观点来看待直线的方程；对称问题的实质是对中点坐标公式的引申与灵活应用．这两个内容在解析几何中占有重要地位，其中对称问题也是高考命题的热点．对称问题的核心是点关于点的中心对称和点关于直线的轴对称，要充分利用转化的思想将问题转化为这两类对称中的一种加以处理．许多问题都隐含着对称性，要注意挖掘，充分利用对称变换来解决，如角平分线、线段中垂线、光线反射等．对称问题除了用中点坐标公式及斜率关系来求以外，还可以用求轨迹的思想——代入法来求解．

高考数学(理科)一轮复习直线与直线的位置关系学案含答案

高考数学（理科）一轮复习直线与直线的位置关系学案含答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案48 直线与直线的位置关系导学目标：1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．自主梳理．两直线的位置关系平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况．两直线平行对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔________________________.对于直线l1：A1x＋B1y＋c1＝0，l2：A2x＋B2y＋c2＝0，l1∥l2⇔________________________.两直线垂直对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1•k2＝____.对于直线l1：A1x＋B1y＋c1＝0，l2：A2x＋B2y＋c2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝____.2．两条直线的交点两条直线l1：A1x＋B1y＋c1＝0，l2：A2x＋B2y＋c2＝0，如果两直线相交，则交点的坐标一定是这两个方程组成的方程组的____；反之，如果这个方程组只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是l1和l2的________，因此，l1、l2是否有交点，就看l1、l2构成的方程组是否有________．3．有关距离两点间的距离平面上两点P1，P2间的距离|P1P2|＝__________________________________.点到直线的距离平面上一点P到一条直线l：Ax＋By＋c＝0的距离d＝________________________.两平行线间的距离已知l1、l2是平行线，求l1、l2间距离的方法：①求一条直线上一点到另一条直线的距离；②设l1：Ax＋By＋c1＝0，l2：Ax＋By＋c2＝0，则l1与l2之间的距离d＝________________.自我检测．若点P到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y－3<0表示的平面区域内，则实数a的值为A．7B．－7c．3D．－32．若直线l1：y＝k与直线l2关于点对称，则直线l2恒过定点A．B．c．D．3．已知直线l1：ax＋by＋c＝0，直线l2：mx＋ny＋p ＝0，则ambn＝－1是直线l1⊥l2的A．充分不必要条件B．必要不充分条件c．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知直线l1：x＋y＋1＝0与l2：2x－2y＋3＝0平行，则k的值是A．1或3B．1或5c．3或5D．1或25．已知2x＋y＋5＝0，则x2＋y2的最小值是________.探究点一两直线的平行与垂直例1 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：x＋y＋b ＝0.求满足以下条件的a、b的值：l1⊥l2且l1过点；l1∥l2，且原点到这两条直线的距离相等．变式迁移1 已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x ＋y＋a2－1＝0，试判断l1与l2是否平行；l1⊥l2时，求a的值．探究点二直线的交点坐标例2 已知直线l1：4x＋7y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x＋3my－4＝0.当m为何值时，三条直线不能构成三角形．变式迁移2 △ABc的两条高所在直线的方程分别为2x －3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A的坐标为，求Bc边所在直线的方程．探究点三距离问题例3 已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0.且l1与l2的距离是7510.求a的值；能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：①点P在第一象限；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的12；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是2∶5.若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．变式迁移3 已知直线l过点P且被两平行线l1：x＋y ＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．转化与化归思想的应用例已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A．求：点A关于直线l的对称点A′的坐标；直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；直线l关于点A对称的直线l′的方程．【答题模板】解设A′，再由已知∴A′－3313，413.[4分]在直线m上取一点，如m，则m关于直线l的对称点m′必在直线m′上．设对称点m′，则得m′613，3013.[6分]设直线m与直线l的交点为N，则由得N．又∵m′经过点N，∴由两点式得直线m′的方程为9x －46y＋102＝0.[8分]方法一在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如m，N，则m，N关于点A的对称点m′，N′均在直线l′上，易得m′，N′，[10分]再由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.[12分]方法二∵l∥l′，∴设l′的方程为2x－3y＋c＝0，∵点A到两直线l，l′的距离相等，∴由点到直线的距离公式得|－2＋6＋c|22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，解得c＝－9，[10分]∴l′的方程为2x－3y－9＝0.[12分]方法三设P为l′上任意一点，则P关于点A的对称点为P′，[10分]∵点P′在直线l上，∴2－3＋1＝0，即2x－3y－9＝0.[12分]【突破思维障碍】点关于直线对称是轴对称中最基本的，要抓住两点：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段中点在对称轴上．直线关于点的对称可转化为点关于点的对称，直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称．【易错点剖析】点关于线对称，不能转化为“垂直”及“线的中点在轴上”的问题．线关于线对称，不能转化为点关于线的对称问题；线关于点的对称，不能转化为点关于点的对称问题．．在两条直线的位置关系中，讨论最多的还是平行与垂直，它们是两条直线的特殊位置关系．解题时认真画出图形，有助于快速准确地解决问题．判断两直线平行与垂直时，不要忘记考虑斜率不存在的情形，利用一般式则可避免分类讨论．2．运用公式d＝|c1－c2|A2＋B2求两平行直线间的距离时，一定要把x、y项系数化为相等的系数．3．对称思想是高考热点，主要分为中心对称和轴对称两种，关键要把握对称问题的本质，必要情况下可与函数的对称轴建立联系．一、选择题．直线3x＋2y＋4＝0与2x－3y＋4＝0A．平行B．垂直c．重合D．关于直线y＝－x对称2．若直线x＋ay－a＝0与直线ax－y－1＝0互相垂直，则a的值是A．2B．－3或1c．2或0D．1或03．已知直线l的倾斜角为3π4，直线l1经过点A、B，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于A．－4B．－2c．0D．24．P点在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为2，则P点坐标为A．B．c．或D．或5．设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a、b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是A.24，12B.2，22c.2，12D.22，12二、填空题6．直线l1：x＋my＋6＝0和l2：3x－3y＋2＝0，若l1∥l2，则m的值为______．7．设直线l经过点，则当点与直线l的距离最大时，直线l的方程为______________．8．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是________．三、解答题9．k为何值时，直线l1：y＝kx＋3k－2与直线l2：x ＋4y－4＝0的交点在第一象限．10．已知点P1，P2和A，求过点A且与点P1，P2距离相等的直线方程．11．过点P作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程．自主梳理．k1＝k2且b1≠b2 A1A2＝B1B2≠c1c2 －1 02．解交点唯一解 3.x2－x12＋y2－y12|Ax0＋By0＋c|A2＋B2 ②|c1－c2|A2＋B2自我检测．D 2.B 3.A 4.c5.5课堂活动区例1 解题导引运用直线的斜截式y＝kx＋b时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况．运用直线的一般式Ax ＋By＋c＝0时，要特别注意A、B为0时的情况，求解两直线平行或垂直有关的问题并与求直线方程相联系，联立方程组求解，对斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法研究．解由已知可得l2的斜率必存在，且k2＝1－a.若k2＝0，则a＝1.由l1⊥l2，l1的斜率不存在，∴b ＝0.又l1过，∴－3a＋b＋4＝0，∴b＝3a－4＝－1，矛盾．∴此情况不存在，即k2≠0.若k2≠0，即k1＝ab，k2＝1－a.由l1⊥l2，得k1k2＝ab＝－1.由l1过，得－3a＋b＋4＝0，解之得a＝2，b＝2.∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴l1的斜率存在，∴k1＝k2，即ab＝1－a.又原点到两直线的距离相等，且l1∥l2，∴l1、l2在y轴上的截距互为相反数，即4b＝b.解之得a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2.∴a、b的值为2和－2或23和2.变式迁移1 解方法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不平行；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1与l2不平行；当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－a2x－3，l2：y＝11－ax－，l1∥l2⇔－a2＝11－a，－3≠－a＋1，解得a＝－1，综上可知，a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．方法二由A1B2－A2B1＝0，得a－1×2＝0.由A1c2－A2c1≠0，得a－1×6≠0，∴l1∥l2⇔aa－1－1×2＝0aa2－1－1×6≠0⇔a2－a－2＝0，aa2－1≠6.∴a＝－1，故当a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．方法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1与l2不垂直；当a≠1且a≠0时，l1：y＝－a2x－3，l2：y＝11－ax－，由－a2•11－a＝－1⇒a＝23.方法二由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2＝0⇒a＝23.例2 解题导引①转化思想的运用三条直线l1、l2、l3不能构成三角形⇐l1、l2、l3交于一点或至少有两条直线平行⇐三条直线交于一点⇐l2与l3的交点在l1上⇐l2与l3对应方程组的解适合l1的方程②分类讨论思想的运用本题依据直线的位置关系将不能构成三角形的情况分成两类，分类应注意按同一标准，不重不漏．解当三条直线共点或至少有两条直线平行时，不能围成三角形．①三条直线共点时，由mx＋y＝0，2x＋3my＝4，得x＝42－3m2y＝－4m2－3m2，即l2与l3的交点为42－3m2，－4m2－3m2，代入l1的方程得4×42－3m2＋7×－4m2－3m2－4＝0，解得m＝13，或m＝2.②当l1∥l2时，4＝7m，∴m＝47；当l1∥l3时，4×3m＝7×2，∴m＝76；当l2∥l3时，3m2＝2，即m＝±63.∴m取集合－63，13，63，47，76，2中的元素时，三条直线不能构成三角形．变式迁移2 解可以判断A不在所给的两条高所在的直线上，则可设AB，Ac边上的高所在直线的方程分别为2x －3y＋1＝0，x＋y＝0，则可求得AB，Ac边所在直线的方程分别为y－2＝－32，y－2＝x－1，即3x＋2y－7＝0，x－y＋1＝0.由3x＋2y－7＝0x＋y＝0，得B，由x－y＋1＝02x－3y＋1＝0，得c，所以Bc边所在直线的方程为2x＋3y＋7＝0.例3 解题导引在应用平行线间的距离公式求两条平行线间的距离时，应注意公式的适用条件，即在两条平行线的方程中x与y的系数化为分别对应相等的条件下，才能应用该公式．如本例中求两条直线2x－y＋a＝0与－4x＋2y＋1＝0间的距离时，需将前一条直线化为－4x＋2y－2a＝0，或将后一条直线化为2x－y－12＝0后，再应用平行线间的距离公式．解∵l1：4x－2y＋2a＝0，l2：4x－2y－1＝0，∴两条平行线l1与l2间的距离为d＝|2a＋1|25，由已知，可得|2a＋1|25＝7510.又a>0，可解得a＝3.设点P的坐标为，由条件①，可知x>0，y>0.由条件②和③，可得|2x－y＋3|5＝|4x－2y－1|455•|2x－y＋3|5＝2•|x＋y－1|2，化简得4|2x－y＋3|＝|4x－2y－1||2x－y＋3|＝|x＋y －1|，于是可得，4|x＋y－1|＝|4x－2y－1|，也就是4＝4x－2y－1，或4＝－4x＋2y＋1，解得y＝12，或8x＋2y－5＝0.当y＝12时，代入方程|2x－y＋3|＝|x＋y－1|，解得x＝－3<0或x＝－23<0，均舍去．由8x＋2y－5＝0|2x－y＋3|＝|x＋y－1|，化简得8x＋2y－5＝0x－2y＋4＝0，或8x＋2y－5＝03x ＝－2，解得x＝19y＝3718或x＝－23<0y＝316．即存在满足题设条件的点P，其坐标为19，3718.变式迁移3 解方法一若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l1，l2的交点分别是A，B，截得的线段长|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意．当直线l的斜率存在时，则设直线l的方程为y＝k＋1，分别与直线l1，l2的方程联立，由y＝kx－3＋1，x＋y＋1＝0，解得A3k－2k＋1，1－4kk＋1.由y＝kx－3＋1，x＋y＋6＝0，解得B3k－7k＋1，1－9kk＋1.由两点间的距离公式，得3k－2k＋1－3k－7k＋12＋1－4kk＋1－1－9kk＋12＝25，解得k＝0，即所求直线方程为y＝1.综上可知，直线l的方程为x＝3或y＝1.方法二因为两平行线间的距离d＝|6－1|2＝522，如图，直线l被两平行线截得的线段长为5，设直线l与两平行线的夹角为θ，则sinθ＝22，所以θ＝45°.因为两平行线的斜率是－1，故所求直线的斜率不存在或为0.又因为直线l过点P，所以直线l的方程为x＝3或y＝1.课后练习区．B 2.c 3.B 4.c 5.D6．－1 7.3x－2y＋5＝0 8.①⑤9．解由y＝kx＋3k－2x＋4y－4＝0，得x＝12－12k4k ＋1y＝7k－24k＋1.∵两直线的交点在第一象限，∴12－12k4k＋1>07k－24k＋1>0，∴27<k<1.即当27<k<1时，两直线的交点在第一象限．0．解设所求直线为l，由于l过点A且与点P1，P2距离相等，所以有两种情况，当P1，P2在l同侧时，有l∥P1P2，此时可求得l的方程为y－2＝5－3－4－2，即x＋3y－5＝0；当P1，P2在l异侧时，l必过P1P2的中点，此时l的方程为x＝－1.∴所求直线的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.1．解设点A在l1上，由题意知x＋xB2＝3，y＋yB2＝0，∴点B，解方程组2x－y－2＝0，6－x＋－y＋3＝0，得x＝113，y＝163，∴k＝163－0113－3＝8.∴所求的直线方程为y＝8，即8x－y－24＝0.。

高三数学一轮复习精品教案2：两直线的位置关系教学设计

第二节两条直线的位置关系考纲传真1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2． ②当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1． ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 3．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2． (2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2．(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2．1．(人教A 版教材习题改编)过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0『解析』 ∵所求直线与直线x －2y －2＝0平行， ∴所求直线的斜率为12，又直线过(1，0)点，则直线方程为x －2y －1＝0. 『答案』 A2．已知点(a ，2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A. 2 B ．2－2 C.2－1 D.2＋1『解析』由题意知|a －2＋3|2＝1，∴|a ＋1|＝2，又a ＞0，∴a ＝2－1. 『答案』 C3．(2013·深圳模拟)已知直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8平行，则实数m 的值为( )A ．－7B ．－1C ．－1或－7 D.133『解析』 l 1的斜率为－3＋m 4，纵截距为5－3m4，l 2的斜率为－25＋m ，纵截距为85＋m.又∵l 1∥l 2，由－3＋m 4＝－25＋m 得，m 2＋8m ＋7＝0，解得m ＝－1或－7.m ＝－1时，5－3m 4＝85＋m ＝2，l 1与l 2重合，故舍去；m ＝－7时，5－3m 4＝132≠85＋m ＝－4，符合题意，故选A.『答案』 A4．(2013·金华调研)若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________．『解析』 ∵直线x －2y ＋5＝0与2x ＋my －6＝0互相垂直， ∴12×(－2m )＝－1，∴m ＝1. 『答案』 15．若两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值为________．『解析』由题意得，63＝a －2≠c－1，∴a ＝－4，c ≠－2.则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0.∴21313＝|c 2＋1|13，解得c ＝2或－6. 『答案』 2或－6两条直线的平行与垂直(1)a ＝1是直线y ＝ax ＋1和直线y ＝(a －2)x －1垂直的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件(2)已知直线x ＋a 2y ＋6＝0与直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0平行，则a 的值为( ) A ．0或3或－1 B ．0或3 C ．3或－1 D ．0或－1『思路点拨』 (1)根据两直线垂直的充要条件，先求a 值，再判断；(2)根据两直线平行或重合的充要条件，求出a 值再检验．『尝试解答』 (1)由a (a －2)＝－1得a 2－2a ＋1＝0， ∴a ＝1，故a ＝1是直线y ＝ax ＋1和直线y ＝(a －2)x －1垂直的充要条件． (2)由3a －(a －2)a 2＝0得a (a 2－2a －3)＝0，∴a ＝－1或0或3.检验当a ＝0或－1时两直线平行，当a ＝3时两直线重合．『答案』 (1)C (2)D ,1．解答本题(2)时应注意，在利用两直线平行或重合的充要条件求出a 值后，应代入原直线方程检验出两直线平行时的a 值．2．设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则 (1)l 1∥l 2或l 1与l 2重合⇔A 1B 2－A 2B 1＝0. (2)l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.(3)若l 3∥l 1，则l 3可设为A 1x ＋B 1y ＋m ＝0(m ≠C 1)． (4)若l 3⊥l 1，则l 3可设为B 1x －A 1y ＋n ＝0.已知过点A (－2，m )和点B (m ，4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3，若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )A ．－10B ．－2C ．0D ．8 『解析』 ∵直线l 2的斜率为－2，又l 1∥l 2，则4－mm ＋2＝－2，得m ＝－8，因为l 2⊥l 3，则－1n ＝12得n ＝－2，∴m ＋n ＝－10. 『答案』 A两直线的交点与距离(1)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．(2)已知点P (2，－1)，①求过点P 且与原点距离为2的直线l 的方程；②求过点P 且与原点距离最大的直线l 的方程，并求最大距离．『思路点拨』 (1)可先求出l 1与l 2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解．(2)①分直线斜率存在和不存在两种情况求解．②结合图形分析l ⊥OP 时满足条件．『尝试解答』 (1)法一先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1、l 2的交点坐标为(－1，2)，再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ： y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.法二由于l ⊥l 3，故l 是直线系5x ＋3y ＋C ＝0中的一条，而l 过l 1、l 2的交点(－1，2)，故5×(－1)＋3×2＋C ＝0，由此求出C ＝－1，故l 的方程为5x ＋3y －1＝0.法三由于l 过l 1、l 2的交点，故l 是直线系3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0中的一条，将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0，其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝15，代入直线系方程即得l 的方程为5x ＋3y －1＝0.(2)①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝2满足条件．若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 由已知，得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.②作图可得过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由点斜式得y ＋1＝2(x －2)，2x －y －5＝0.∴直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.,运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )； (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )；(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，且l 1，l 2之间的距离为5，求直线l 1的方程．『解』 ∵l 1∥l 2，∴m 2＝8m ≠n－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.(1)当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0，把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0. ∴|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或n ＝18.所以，所求直线的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0.(2)当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，把l 2的方程写成4x －8y －2＝0. ∴|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或n ＝22. 所以，所求直线的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.对称问题已知点A 的坐标为(－4，4)，直线l 的方程为3x ＋y －2＝0，求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标； (2)直线l 关于点A 的对称直线l ′的方程．『思路点拨』 (1)充分利用对称的特征“垂直”、“平分”建立等量关系；(2)利用点的转移求解或点到直线的距离求解．『尝试解答』 (1)设点A ′的坐标为(x ，y )，由题意可知 ⎩⎪⎨⎪⎧y －4x ＋4＝13，3×x －42＋y ＋42－2＝0，解得x ＝2，y ＝6， ∴A ′点的坐标为(2，6)．(2)法一在直线l ′上任取一点P ′(x ，y )，其关于点A (－4，4)的对称点(－8－x ，8－y )必在直线l 上，∴即3(－8－x )＋(8－y )－2＝0，即3x ＋y ＋18＝0，所以所求直线的方程为3x ＋y ＋18＝0.法二由题意可知l ′∥l ，设l ′的方程为3x ＋y ＋c ＝0，由题意可知|－12＋4＋c |9＋1＝|－12＋4－2|9＋1，解得c ＝18或c ＝－2(舍)，所以所求直线的方程为3x ＋y ＋18＝0.,1．本题考查是点关于线对称及线关于点对称的问题．2．在对称问题中，点关于点的对称是中心对称中最基本的，处理这类问题主要抓住：已知点与对称点连成线段的中点为对称中心；点关于直线对称是轴对称中最基本的，处理这类问题要抓住两点：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( )A ．x －2y ＋3＝0B ．x －2y －3＝0C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋2y －1＝0『解析』设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0x －x 0＝－（y －y 0）得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0. 『答案』 A一条规律一般地，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋n ＝0.两点注意1.判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．2．(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．三种对称1.点P (x 0，y 0)关于A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0，2b －y 0)．2．设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ′－y0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x2＋b ，可求出x ′，y ′.3．直线关于直线的对称．可化归为点关于直线的对称．从近两年高考看，两条直线的位置关系是高考的热点，特别是两条直线平行和垂直的判定及点到直线的距离公式几乎每年都有涉及，其中有关直线和导数的交汇创新，是近年命题的热点．创新探究之十以点到直线距离为载体的新定义题(2012·浙江高考)定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝________．『解析』曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离为|0－（－4）|2－r ＝22－2＝2，对于y ＝x 2＋a ，y ′＝2x ＝1，故切点为(12，14＋a )，切点(12，14＋a )到直线l ：y ＝x 的距离为|12－14－a |2＝2，解得a ＝94或－74.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x 2＋a ，消去y ，得x 2－x ＋a ＝0.由Δ＝1－4a ＜0可得a ＞14，故a ＝94.『答案』 94创新点拨：(1)利用曲线C 到直线l 的距离的定义，考查点到直线的距离，并巧妙地与导数知识交汇．(2)考查对新定义、新概念的理解和运用，同时考查思维的创新，考查转化和化归能力．应对措施：(1)要全面准确地掌握各知识点的基础知识和基本方法，重视知识间的联系．(2)要充分理解新定义的具体含义，剥去新定义的外衣，将曲线到直线的距离转化为点到直线的距离，化陌生为熟悉．1．(2013·广州模拟)已知点A (0，2)，B (2，0)．若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1『解析』设点C (t ，t 2)，直线AB 的方程是x ＋y －2＝0，|AB |＝22，且S △ABC ＝2. 则△ABC 中AB 边上的高h 满足方程12×22h ＝2，即h ＝ 2.由点到直线的距离公式得2＝|t ＋t 2－2|2.∴t 2＋t －2＝2或者t 2＋t －2＝－2，这两个方程各自有两个不相等的实数根，故这样的点C 有4个．『答案』 A2．(2013·潍坊模拟)已知直线l 1：(t ＋2)x ＋(1－t )y ＝1与l 2：(t －1)x ＋(2t ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则t 的值为________．『解析』法一 (1)当l 1，l 2的斜率都存在时，由k 1·k 2＝－1得t ＝－1.(2)若l 1的斜率不存在，此时 t ＝1. l 1的方程为x ＝13，l 2的方程为y ＝－25，显然l 1⊥l 2，符合条件．若l 2的斜率不存在，此时 t ＝－32，易知l 1与l 2不垂直，综上可知t ＝－1或t ＝1.法二 l 1⊥l 2⇔(t ＋2)(t －1)＋(1－t )(2t ＋3)＝0，解之得t ＝1或t ＝－1. 『答案』－1或1。