九年级数学锐角三角函数(学生讲义)

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初三数学锐角三角函数知识精讲

初三数学锐角三角函数知识精讲锐角三角函数1. 锐角三角函数的定义直角三角形中有两条直角边和一条斜边，从这三条边中适当取两条边可以得到不同的比，这些比值的大小显然只与直角三角形中锐角的大小有关，这样便定义了直角三角形中锐角的三角函数，常用的有正弦函数sin A a c =余弦函数cos A bc =正切函数tan A ab =余切函数cot A ba=BCAcab2. 互余角的三角函数间的关系sin cos()cos sin()tan cot()cot tan()αααααααα=︒-=︒-=︒-=︒-909090903. 同余角三角函数间的关系（1）倒数关系tan cot αα⋅=1（2）商的关系tan sin cos cot cos sin αααααα==，（3）平方关系sin cos 221αα+=4. 三角函数值角度三角函数0°30°45°60°90°sin α 0 12 22 32 1 cos α1 32 22 120 tan α 0 33 13 不存在 cot α不存在3133 0（2）锐角三角函数值的变化情况 <1>锐角三角函数值都是正数且当090︒<<︒α时，01101<<>>+>sin cos sin cos αααα，，，tan α>0，cot α>0。

<2>当角度在090︒︒~间变化时正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）我们利用以上锐角三角函数的定义及性质，可以解决一些求值、化简以及等式证明等问题。

例（1999某某）已知∆ABC 的两边长a c ==35，，且第三边长b 为关于x 的一元二次方程x x m 240-+=的两个正整数根之一，求sinA 的值。

九年级数学-锐角三角函数—知识讲解

锐角三角函数—知识讲解审稿：【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即s inA aAc∠==的对边斜边；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即c o sA bAc∠==的邻边斜边；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即ta nA aAA b∠==∠的对边的邻边.同理s inB bBc∠==的对边斜边；c o sB aBc∠==的邻边斜边；ta nB bBB a∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF ”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0．Cab要点二、特殊角的三角函数值要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，求∠A ，∠B 的正弦、余弦、正切值．【答案与解析】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°． ∵ AB ＝13，BC ＝5． ∴12A C ===． ∴ 5sin 13B C A A B ==，12c o s 13A C A A B ==，5ta n 12B C A A C ==； 12s in 13A CB A B==，5c o s 13B C B A B==，12ta n 5A CB B C==．【总结升华】先运用勾股定理求出另一条直角边，再运用锐角三角函数的定义求值．举一反三：【高清课程名称：锐角三角函数高清ID 号： 395948 关联的位置名称（播放点名称）：例1（1）-（2）】【变式】在R t ΔA B C 中，∠C =90°，若a =3，b =4，则c = ，s in A = ， c o s A = ，s in B = ， c o s B = ．【答案】c = 5 ，s in A = 35， c o s A =45，s in B =45， c o s B =35．类型二、特殊角的三角函数值的计算2．求下列各式的值：(1)sin30°-2cos60°+tan45°； (2)ta n 30s in 30ta n 45ta n 60°°°°；(3)11(1|1sin 30|2-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭°．【答案与解析】Ca b(1)原式11121222=-⨯+=；(2)原式116==；(3)原式115 11212222=--+=-+=．【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．举一反三：【高清课程名称：锐角三角函数高清ID号：395948关联的位置名称（播放点名称）：例1（3）-（4）】【变式】在R tΔA B C中，∠C=90°，若∠A=45°，则∠B=，s in A=，c o s A=，s in B=，c o s B=．【答案】∠B=45°，s in A=2，c o s A=2，s in B=2，c o s B=2．类型三、锐角三角函数之间的关系3．(1)求锐角； (2)已知求锐角．【答案与解析】(1)先将已知方程变形后再求解．∴锐角=30°．(2)先将已知方程因式分解变形．∴锐角=45°．【总结升华】要求等式中的锐角，只需求得这个角的三角函数值，运用换元的方法，把角的三角函数看作未知数，解方程求得它的解(值)，然后再求这个锐角．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4．如图所示，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ，若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【答案与解析】连结AC ，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACP ＝90°，又∵ ∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ，∴ △PCD ∽△PAB ，∴P C C D P AA B=．又∵ CD ＝6，AB ＝10， ∴ 在Rt △PAC 中，63c o s 105P C C D A P C P AA B∠====．【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC ，由AB 是⊙O 的直径得∠ACB ＝90°，c o s P C A P C P A∠=，PC 、PA 均为未知，而已知CD ＝6，AB ＝10，可考虑利用△PCD ∽△PAB 得P C C D P AA B=．5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时s a d A B C A B==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【答案与解析】(1)1； (2)0＜sadA ＜2；(3)如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD ＝AB ＝5a ，由3s in 5B C A A B==得BC ＝3a ，∴ 4A C a ==，∴ CD ＝5a-4a ＝a ，B D ==，∴ s a d A 5B D A D==．【总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA ＝1；(2)在图①中设想AB ＝AC的长固定，并固定AB 让AC 绕点A 旋转，当∠A 接近0°时，BC 接近0，则sadA 接近0但永远不会等于0，故sadA ＞0，当∠A 接近180°时，BC 接近2AB ，则sadA 接近2但小于2，故sadA ＜2；(3)将∠A 放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．。

初中数学函数模块3-5--锐角三角函数讲义(含答案解析)

锐角三角函数题型一：正切的概念在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，A ∠，B Ð，C ∠所对应的边分别是a ，b ，c ，则正弦值等于对边与邻边的比值．即tan aA b=，根据直角三角形三边关系易证，0tan A <，()090︒<∠<︒A ①角的正切值例1.1如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，若1EB =，2EC =，则tan DCE ∠为（）A .12B .2C D 【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴90B ∠=︒，//AB CD ∴DCE BEC ∠=∠，∵1EB =，2EC =，∴BC ==，∴tan tan ∠=∠==BCDCE BEC BE；故答案选D ．变式1.11.如图，在直角BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使12DC BD =，连接AC ，若tanB=53，则tan CAD ∠的值（）A.3B.5C.13D.15【答案】D 【解析】【分析】延长AD ，过点C 作CE AD ⊥，垂足为E ，由5tan 3B =，即53AD AB =，设5AD x =，则3AB x =，然后可证明CDE BDA ∆∆∽，然后相似三角形的对应边成比例可得：12CE DE CD AB AD BD ===，进而可得32CE x =，52DE x =，从而可求1tan 5EC CAD AE ∠==．【详解】解：如图，延长AD ，过点C 作CE AD ⊥，垂足为E ，5tan 3B =，即53AD AB =，∴设5AD x =，则3AB x =，CDE BDA ∠=∠Q ，CED BAD ∠=∠，CDE BDA ∴∆∆∽，∴12CE DE CD AB AD BD ===，32CE x ∴=，52DE x =，152AE x ∴=，1tan 5EC CAD AE ∴∠==．故选：D ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将CAD ∠放在直角三角形中．②网格图中求正切值例1.2如图，ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则tan A 的值为________．【详解】解：如图，由格点知：AB ==，AC ∵12=⋅⋅ ABC S BC AE 1432=⨯⨯6=，12=⋅⋅ ABC S AB CD 12=⨯=，6=，∴CD =．∴AD ==．∴tan 2==CDA AD．故答案为：2.变式1.22.如图，小正方形的边长均为1，A 、B 、C 分别是小正方形的三个顶点，则sin BAC ∠的值为（）A.12B.2C.1D.【答案】B 【解析】【分析】连接BC ，先根据勾股定理求得AB 、BC 、AC 的长，然后再利用勾股定理逆定理证得ABC ∆是直角三角形，最后根据正弦的定义解答即可【详解】解：如图：连接BC ，每个小正方形的边长均为1，AB ∴==BC ==AC ==，222AB BC AC += ，ABC ∆∴是直角三角形，sin2BC BAC AC ∴∠===．故答案为B ．【点睛】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及正弦的定义，根据题意证得ABC ∆是直角三角形是解答本题的关键．③利用图形的变换求正切值例1.3如图，矩形ABCD 中，5AB =，3BC =，E 为边AB 上一点，且3BE =，DAE△沿DE 翻折得到DFE △，连接BF ，tan ∠EFB 的值为________．【详解】解：过点F 作FO AO ⊥于点O ，作FH AB ⊥于点H ，过B 作BG FE ⊥于点G ，∵折叠∴90DAE DFE ∠=∠=︒∴180︒∠=-∠ADF AEF ∵180∠=︒-∠FEB AEF ∴ADF FEB∠=∠∵90∠=∠=︒EGB DOF ，3DF AD ==，3BE =∴DF BE=∴() ≌DOF EGB AAS ∴=GB OF532AE AB BE =-=-=∵13112222=⋅==⋅=⋅= FEB S BE FH FH FE GB AE GB GB ∴32GB FH =∵四边形OAHF 中，四个内角均为90︒，∴四边形OAHF 是矩形，∴=FH AO ∵=GB FO ∴32=FO AO3=∴22(3)9+-=FO AO ∴2413=AO 或0AO =（舍去）∴241531313==-=OD EG ∴3243621313==⨯=FO GB Rt FGB V 中，363613tan 1511213GB GFB GF ∠===-∴36tan 11∠=EFB 故答案为：3611．变式1.33.如图，在菱形纸片ABCD 中，3AB =，60A ∠=︒，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F ，G 分别在边AB ，AD 上，则tan EFG ∠的值为________．【答案】3【解析】【分析】连接AE 交GF 于O ，连接BE ，BD ，则△BCD 为等边三角形，设AF=x=EF ，则BF=3-x ，依据勾股定理可得Rt △BEF 中，BF 2+BE 2=EF 2，解方程（3-x ）2+2=x 2，即可得到EF=218，再根据Rt △EOF 中，=即可得出tan ∠EFG=EO FO =．【详解】解：如图，连接AE 交GF 于O ，连接BE ，BD ，则△BCD 为等边三角形，∵E 是CD 的中点，∴BE ⊥CD ，∴∠EBF=∠BEC=90°，Rt △BCE 中，CE=cos60°×3=1.5，∴Rt △ABE 中，由折叠可得，AE ⊥GF ，EO=12，设AF=x=EF ，则BF=3-x ，∵Rt △BEF 中，BF 2+BE 2=EF 2，∴（3-x ）2+）2=x 2，解得x=218，即EF=218，∴Rt △EOF 中，=，∴tan ∠EFG=EO FO =【点睛】本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，对应边和对应角相等．解题时，常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．题型二：正弦的概念在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，A ∠，B Ð，C ∠所对应的边分别是a ，b ，c ，则正弦值等于对边与斜边的比值．即sin aA c=，根据直角三角形三边关系易证，0sin 1A <<，()090︒<∠<︒A ①角的正弦值例2.1在ABC 中，90C ∠=︒，2BC =，2sin 3A =，则边AC 的长是（）A B .3C .43D 【详解】解答：在Rt ABC △中，∵22sin 3===BC A AB AB ，∴3AB =，∴根据勾股定理，得AC =故选A ．变式2.14.在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，1BC =，4AB =，则sin B 的值是（）A.5B.14C.13D.4【答案】D 【解析】【分析】首先根据勾股定理求得AC 的长，然后利用正弦函数的定义即可求解．【详解】∵∠C=90°，BC=1，AB=4，∴AC ===∴4AC sinB AB ==，故选：D ．【点睛】本题考查了三角函数的定义，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，转化成直角三角形的边长的比．②网格图中求正弦值例2.2如图，ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为（）A .12B C .10D 【详解】解：如图所示，取格点D ，连接DC ，由网格可得出DC =，AC =，AD =，∵222+=∴222DC AD AC =+，则：90CDA ∠=︒，故sin5===DCA AC ．故选：B ．变式2.25.正方形网格中，∠AOB 如图放置，则sin ∠AOB 的值为（）A.2B.2C.3D.1【答案】B【解析】【分析】如图，连接AD ，CD ，根据勾股定理可以得到OD=AD ，则OC 是等腰三角形底边上的中线，根据三线合一定理，可以得到△ODC 是直角三角形．根据三角函数的定义就可以求解．【详解】解：如图，连接AD ，CD ，设正方形网格的边长是1，则根据勾股定理可以得到：，，∠OCD=90°．则=∴sin ∠AOB=2CD OD ==，故选：B ．【点睛】本题考查锐角三角函数的概念，注意到图中的等腰三角形是解决本题的关键．③利用图形的变换求正弦值例2.3如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，D 是AC 上一点，连接BD ，将ABC 沿BD翻折，点C 落在边AB 的点C '处，连接CC '．若15AB =，4sin 5A =，则CC '长________．【详解】如图，设BD 与CC '的交点为点O ，∵在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，15AB =，4sin 5A =，∴45BC AB =，即4155BC =，解得12BC =，∴9==AC ，由翻折的性质得：12'==BC BC ，C D CD '=，90'∠=∠=︒BC D ACB ，∴15123''=-=-=AC AB BC ，设AD x =，则9C D CD AC AD x '==-=-，在Rt AC D ' 中，222AC C D AD ''+=，即2223(9)x x +-=，解得5x =，∴5AD =，4CD =，在Rt BCD 中，BD ==又∵BC BC '=，C D CD '=，∴BD 是CC '的垂直平分线，∴BD CC '⊥，2'=CC OC ，∴Rt 1122=⋅=⋅ BCD S BC CD BD OC ，即1112422⨯⨯=⨯，解得5OC =，∴25'==CC OC ，故答案为：5．变式2.36.如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 对折，点C 落在E 处，BE 与AD 相交于点F ．（1）求证：BFD △是等腰三角形；（2）若4BC =，2CD =，求AFB ∠的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）45【解析】【分析】（1）根据矩形性质和平行线的性质得∠ADB =∠CBD ，结合折叠性质得出∠ADB =∠DBF ，再根据等腰三角形的判定即可证得结论；（2）设BF=DF =x ，则AF=4﹣x ，利用勾股定理求解x 值，再根据正弦定义求解即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠ADB =∠CBD ，由折叠性质得：∠DBF =∠CBD ，∴∠ADB =∠DBF ，∴BF=DF ，∴△BFD 是等腰三角形；（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC =4，AB=CD =2，∠A =90°，设BF=DF =x ，则AF=4﹣x ，在Rt △ABF 中，由勾股定理得：22+（4﹣x ）2=x 2解得：x =52，∴sin ∠AFB =24552AB BF ==，即AFB ∠的正弦值为45．【点睛】本题考查矩形性质、折叠性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正弦定义、解一元一次方程，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．题型三：余弦的概念在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，A ∠，B Ð，C ∠所对应的边分别是a ，b ，c ，则正弦值等于邻边与斜边的比值．即cos b A c=，根据直角三角形三边关系易证，0cos 1A <<，()090︒<∠<︒A 角的余弦值例3.1如图，在Rt ABC 中，90C ∠︒＝，13AB =，5AC =，则cos A 的值是________．【详解】解：在Rt ABC 中，5cos 13AC A AB ==，故答案为：513．变式3.17.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，则cos A ＝_____．【答案】45【解析】【分析】根据勾股定理求出边BC 的长，利用余弦定理cos A=A A ∠∠的临边的斜边即可解得．【详解】Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，所以所以cos A =AC AB =810=45.【点睛】本题考查勾股定理以及余弦定理．②网格图中求余弦值例3.2如图，已知ABC 的三个顶点均在正方形网格的格点上，则cos A 的值为________．【详解】解：如图所示：连接BD ，可得：90CDB ∠=︒，BD =，AD =AB ，故cos5AD A AB ===．．变式3.28.如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则∠BAC 的余弦值是____．【答案】5【解析】【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC 的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：∵AB 2＝32+42＝25、AC 2＝22+42＝20、BC 2＝12+22＝5，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90°，则cos ∠BAC 5AC AB ==，．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，勾股定理及其逆定理，熟知在一个三角形中，如果两条边长的平方之和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形是解答此题的关键．③利用图形的变换求余弦值例3.3如图，在菱形纸片ABCD 中，2AB =，60A ∠=︒，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F ，G 分别在边AB ，AD 上，则cos EFG ∠的值为________．【详解】过点A 作AP CD ⊥，交CD 延长线于P ，连接AE ，交FG 于O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴2AD AB ==，∵将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，∴∠=∠AFG EFG ，FG AE ⊥，∵//CD AB ，AP CD ⊥，∴AP AB ⊥，∴90∠+∠=︒PAE EAF ，∵90∠+∠=︒EAF AFG ，∴∠=∠PAE AFG ，∴∠=∠EFG APE ，∵//CD AB ，60DAB ∠=︒，∴60PDA ∠=︒，∴sin 6022=⋅︒=⨯=AP AD ，1cos60212=⋅︒=⨯=PD AD ，∵E 为CD 中点，∴112DE AD ==，∴2=+=PE DE PD ，∴==AE ，∴cos cos7∠=∠===AP EFG PAE AE ．故答案为7变式3.39.如图，在菱形ABCD 中，4AB =，B Ð是锐角，AE BC ⊥于点E ，M 是AB 的中点，连接MD ，ME ．若90EMD ∠=︒，则cos B 的值为___________．【答案】12【解析】【分析】延长DM 交CB 的延长线于点H ．首先证明△ADM ≌△BHM ，得出AD=HB=4，MD=MH ，由线段垂直平分线的性质得出EH=ED ，设BE=x ，利用勾股定理构建方程求出x ，即BE ，结合AB 得出cosB 的值.【详解】解：延长DM 交CB 的延长线于点H ．如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=AD=4，AD ∥CH ，∴∠ADM=∠H ，∵M 是AB 的中点，∴AM=BM ，在△ADM 和△BHM 中，AMD BMH ADM H AM BM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADM ≌△BHM （AAS ），∴AD=HB=4，MD=MH ，∵∠EMD=90°，∴EM ⊥DH ，∴EH=ED ，设BE=x ，∵AE ⊥BC ，∴AE ⊥AD ，∴∠AEB=∠EAD=90°，∵AE 2=AB 2-BE 2=DE 2-AD 2，∴42-x 2=（4+x ）2-42，解得：x=2-，或x=2--（舍），∴BE=2，∴cosB=2142BE AB-==.故答案为：12-.【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．题型四：同角三角函数关系（拓展）1.若90A B ∠+∠=︒，则sin cos A B =，sin cos B A =，tan tan 1A B ⋅=2.平方关系：22sin cos 1A B +=3.比值关系：sin tan cos =AA A例4若α是锐角，tan tan501⋅︒=α，则α的值为（）A .20︒B .30°C .40︒D .50︒【详解】解：∵tan tan501⋅︒=α∴5090+︒=︒α∴40α=︒．故选C ．变式410.比较大小：sin81︒________tan 47︒；cos30︒________tan 60︒．（填“>，<或=”）【答案】①.<②.<【解析】【分析】①把sin81︒、tan 47︒分别与1进行比较，即可得到答案；②分别求出cos30︒、tan 60︒的值，然后进行比较即可．【详解】解：∵sin811︒<，tan 47tan 451︒>︒=，∴sin81tan 47︒<︒；∵cos302=°，tan 60︒=又∵2<，∴0cos30tan 6︒<︒；故答案为：<；<；【点睛】本题考查了三角函数的比较大小，解题的关键是正确的掌握三角函数的值，然后进行比较．题型五：特殊角的三角函数值①特殊角的三角函数值的混合运算例5.1计算：sin 30cos 601sin 60cos 45tan 60sin452︒︒+︒-︒︒+︒．【详解】原式1122=+，===，=；变式5.111.计算：（1）28sin 60tan 454cos30︒+︒-︒；（2）222tan 60cos 30sin 45tan 45︒+︒-︒︒．【答案】（1）7-；（2）134．【解析】【分析】（1）根据特殊锐角三角函数值代入计算即可；（2）根据特殊锐角三角函数值代入计算即可．【详解】解：（1）原式281422⎛⎫=⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭3814=⨯+-7=-；（2）原式222122⎛⎫⎛⎫=+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31342=+-134=．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是解决问题的关键．②由特殊角的三角函数值判断三角形的形状例5.2在ABC 中2(2cos |1tan |0-+-=A B ，则ABC 一定是（）A .直角三角形B .等腰三角形C .等边三角形D .等腰直角三角形【详解】解：由2(2cos |1tan |0-+-=A B ，得2cos A =，1tan 0B -=．解得45A ∠=︒，45B ∠=︒，则ABC 一定是等腰直角三角形，故选：D ．变式5.212.在ABC 中，若tanA=1，cosB=2，则下列判断最确切的是（）A.ABC 是等腰三角形B.ABC 是等腰直角三角形C.ABC 是直角三角形D.ABC 是一般锐角三角形【答案】B【解析】【分析】先根据正切值、余弦值求出A ∠、B Ð的度数，再根据三角形的内角和定理可得C ∠的度数，然后根据等腰直角三角形的定义即可得．【详解】A ∠、B Ð是ABC 的内角，且tan 1A =，cos 2B =，45A ∴∠=︒，45B ∠=︒，18090C A B ∴∠=︒-∠-∠=︒，ABC ∴ 是等腰直角三角形，故选：B ．【点睛】本题考查了特殊角的正切值与余弦值、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的定义，熟记特殊角的正切值与余弦值是解题关键．③根据特殊角三角函数值求角的度数例5.3在ABC 1cos 02+-=C ，且B Ð，C ∠都是锐角，则A ∠的度数是（）A .15︒B .60︒C .75︒D .30°1cos 02+-=C ，∴sin 02-=B ；1cos 02-=C ．即sin 2B =；1cos 2C =．∴45B ∠=︒，60C ∠=°．∴180180456075∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒A B C ．故选：C ．变式5.313.已知tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅，22tan tan 21tan ααα=-α和β都表示角度），比如求tan105︒，可利用公式得()tan105tan 60452︒=︒+︒==-，又如求tan120︒，可利用公式得()()22tan120tan 2601︒=⨯︒==-，请你结合材料，若()tan 1203λ︒+=-（λ为锐角），则λ的度数是__________．【答案】30°【解析】【分析】设tan λx =，先根据公式可得到一个关于x 的分式方程，解方程可求出x 的值，再根据特殊角的正切函数值即可得出答案．【详解】设tan λx=由题意得：()tan120tan tan 1201tan120tan λλλ︒+︒+=-︒⋅()tan120tan ,tan 1203λx λ︒==︒+=-3=-解得3x =经检验，3x =是分式方程的根即tan 3λ=λQ 为锐角30λ∴=︒故答案为：30°．【点睛】本题考查了分式方程的解法、特殊角的正切函数值，熟记特殊角的正切函数值是解题关键．④三角函数值的大小例5.4如图所示的网格是正方形网格，则AOB ∠________COD ∠．（填“>”，“=”或“<”）【详解】解：根据题意可知tan 2AOB ∠=，tan 2∠=COD ，∴AOB COD ∠=∠，故答案为=．变式5.4.114.如果α是锐角，则下列成立的是（）A.sin αcos α1+= B.sin αcos α1+> C.sin αcos α1+< D.sin αcos α1+≤【答案】B【解析】【分析】根据正弦函数是对边比斜边，余弦函数是邻边比斜边，三角形的两边之和大于第三边，可得答案.【详解】解：∵a 、b 是直角边，c 是斜边，∴sin α+cos α=a c +bc =a b c +，∵a+b>c ，∴a b c+>1，∴sin αcos α1+>.故选B.【点睛】本题考查了同角三角函数关系，利用正弦函数是对边比斜边，余弦函数是邻边比斜边是解题关键.变式5.4.215.如图，将ABC 绕点B 顺时针旋转()90αα︒<得到A BC ''△．请比较大小：sin ABA '∠______tan CBC '∠．【答案】＜【解析】【分析】由旋转可得：ABA CBC α''∠=∠=＜90,︒如图，构建直角三角形,ABA '且,ABA CBC ''∠=∠再利用锐角三角函数的定义可得：sin ,tan tan ,AA AA ABA CBC ABA AB A B'''''∠=∠=∠='由A B '＜,AB 从而可得答案．【详解】解：由旋转可得：ABA CBC α''∠=∠=＜90,︒如图，构建直角三角形,ABA '且,ABA CBC ''∠=∠由三角函数定义可得：sin ,tan tan ,AA AA ABA CBC ABA AB A B'''''∠=∠=∠='A B ' ＜,AB AA AB '∴＜,AA A B''sin ABA '∴∠＜tan .CBC '∠故答案为：＜．【点睛】本题考查旋转的性质，锐角三角函数的定义，掌握以上知识是解题的关键．题型五：解直角三角形①解直角三角形1.解直角三角形的概念：在直角三角形中除直角外一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2.理论依据：①三边关系：勾股定理222+=a b c ②两锐角互余：90A B ∠+∠=︒③边角之间的关系：tan a A b =，sin a A c=，cos a A c =3.常见类型：①已知两条边，先利用边角关系求出两个角，再利用勾股定理求出另一条边②已知一边一角，先求出另一角，再利用边角关系求出其余的边长例5.1已知2sin 3α=，其中α为锐角，求cos α、tan α、cot α的値．【详解】∵2sin 3α=∴设α的对边2k =，直角三角形的斜边3=k ，由勾股定理求出α的邻边=，∴cos α33k ==，tan 5α===，cot 22k α==．变式5.116.（1）在△ABC 中，∠B ＝45°，cosA 12=．求∠C 的度数．（2）在直角三角形ABC 中，已知sinA 45=，求tanA 的值．【答案】（1）75°；（2）43．【解析】【分析】（1）由条件根据∠A 的余弦值求得∠A 的值，再根据三角形的内角和定理求∠C 即可；（2）根据角A 的正弦设BC=4x ，AB=5x ，得AC 的长，根据三角函数的定义可得结论．【详解】解：（1）∵在△ABC 中，cosA 12=，∴∠A ＝60°∵∠B ＝45°，∴∠C ＝180°﹣∠B ﹣∠A ＝75°；（2）∵sinA 45BC AB ==，∴设BC ＝4x ，AB ＝5x ，∴AC ＝3x ，∴tanA 4433BC x AC x ===．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的知识以及三角形的内角和定理，属基础题．②构造直角三角形例5.2在ABC 中，8AB =，6BC =，B Ð为锐角且1cos 2B =．（1）求ABC 的面积；（2）求tan C ．【详解】（1）如图，过点A 作AH BC ⊥于H ．∵1cos 2B =，∴60B ∠=︒，∴1cos 842=⋅=⨯=BH AB B ，sin 82=⋅=⨯=AH AB B ，∴11622=⋅⋅=⨯⨯= ABC S BC AH （2）在Rt ACH 中，∵90AHC ∠=︒，AH =742=-=-=CH BC BH ，∴tan 2===AH C CH．变式5.217.如图，在△ABC ，∠A＝30°.(1)求BD 和AD 的长；(2)求tan C 的值．【答案】(1)BD ＝3，AD ＝(2)tan C ＝2.【解析】【详解】（1）∵BD ⊥AC ，∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°．在Rt △ADB 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∴BD ＝AB·sin30°＝3，∴ꞏcos30AD AB =︒=．（2）CD AC AD =-==在Rt △BDC 中，tan2BD C CD ∠===．视频题型六：解直角三角形的实际应用①方位角问题从标准方向的北端起，顺时针方向到直线的水平角，称为该直线的方位角，方位角的取值范围是0360︒-︒．例6.1如图，在A 处测得点P 在北偏东60︒方向上，在B 处测得点P 在北偏东30°方向上，若AP =千米，则点AB 两点的距离为（）千米．A .4B .C .2D .6【详解】解：由题意可知，30︒∠= PAC ，60PBC ∠=︒，∵AP =，∴1sin 302PC AP =︒=⨯=cos 609AC AP =︒==，∴3tan 60PC BC ===︒，∴936AB AC BC =-=-=，故选：D ．变式6.118.如图，在一条笔直的海岸线上有A ，B 两个观测站，A 在B 的正东方向．有一艘小船从A 处沿北偏西60︒方向出发，以每小时20海里速度行驶半小时到达P 处，从B 处测得小船在它的北偏东45︒的方向上．（1）求AB 的距离；（2）小船沿射线AP 的方向继续航行一段时间后，到达点C 处，此时，从B 测得小船在北偏西15︒的方向．求点C 与点B 之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）【答案】（1）(5AB =+海里；（2）52+海里．【解析】【分析】（1）过点P 作PD AB ⊥于点D ,利用余弦定义解出AP 、AD 的长，再由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解得PD 的长，最后根据等腰直角三角形两直角边相等的性质解题即可；（2）过点B 作BF AC ⊥于点F ，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，解得BF 的长，在Rt BCF 中，由勾股定理解得BC 的长即可．【详解】解：（1）如图，过点P 作PD AB ⊥于点D ，在Rt PAD V 中，90ADP ∠=︒，906030PAD ∠=︒-︒=︒，∵cos AD PAD AP∠=，200.510AP ⨯==∴cos 102PA A D D AP =⋅=⨯=∠152PD AP ==在Rt PBD 中，90BDP ∠=︒，904545PBD ∠=︒-︒=︒，∴5BD PD ==．∴(5AB =+海里（2）如图，过点B 作BF AC ⊥于点F ，在Rt ABF 中，90AFB ∠=︒，30BAF ∠=︒，∴(11522BF AB ==+在ABC 中，18045C BAC ABC ∠=︒-∠-∠=︒．在Rt BCF 中，90BFC ∠=︒，45C ∠=︒，∴52C B ==海里．∴点C 与点B 之间的距离为52海里．【点睛】本题考查解直角三角形的应用之方向角的问题，其中涉及含30°角的直角三角形的性质、余弦、三角形内角和、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，正确作出辅助线，构造直角三角形、掌握相关知识是解题关键．②仰角俯角问题仰角：视线在水平线上方的角．俯角：视线在水平线下方的角．例6.2如图，护林员在离树8m 的A 处测得树顶B 的仰角为45︒，已知护林员的眼睛离地面的距离AC 为1.6m ，则树的高度BD 为（）A .8mB .9.6mC . 1.6)mD . 1.6)m +【详解】解：过点C 作CE BD ⊥于E ，∵45BCE ∠=︒，∴CEB △是等腰直角三角形，∴8==CE BE ，四边形ACED 是矩形，∴ 1.6==AC DE ，∴8 1.69.6=+=BD 米，故选B ．变式6.219.如图，某飞机在空中A 处探测到地平面目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角为α，飞行高度AC a =，则飞机到目标B 的距离AB 为（）A.sin a α⋅B.sin a αC.cos a α⋅ D.cos a α【答案】B 【解析】【分析】由题意得∠ABC=α，然后根据解直角三角形，即可求出AB 的长度．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠ABC=α，AC a =，∵sin ACABα=，∴sin a AB α=．故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，解题的关键是掌握正弦的定义进行解题．③坡度与坡比问题坡面的铅直高度h 与水平宽度l 的比叫做坡度，也称之为坡比，用字母i 表示坡比．即=hi l．坡度一般写成:a b 的形式，如1:5i =等．把坡面与水平面的夹角记作α，α叫做坡角，有tan ==hi lα．例6.3我市里运河有一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1:1，文化墙PM 在天桥底部正前方8米处（PB 的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为．有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由． 1.414=，1.732=）【详解】解：该文化墙PM 不需要拆除，理由：设新坡面坡角为α，新坡面的坡度为，∴3tan α==，∴30α=︒．作CD AB ⊥于点D ，则6CD =米，∵新坡面的坡度为，∴6tanCD CAD AD AD ∠===解得，AD =BC 的坡度为1:1，6CD =米，∴6BD =米，∴6)=-=-AB AD BD 米，又∵8PB =米，∴86)14146 1.732 3.6=-=--=-≈-⨯≈PA PB AB 米3>米，∴该文化墙PM 不需要拆除．变式6.320.如图，在市区A 道路上建造一座立交桥，要求桥面的高度h 为4.8米，引桥的坡角为14°，则引桥的水平距离l 为____米（结果精确到0.1m ，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）．【答案】19.2【解析】【分析】根据题意利用正切列式进行求解即可．【详解】解：由题意可得：tan14°=4.80.24h l l=≈，解得：l ＝19.2，故答案为：19.2．【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握利用三角函数进行求解问题是解题的关键．④利用三角函数测量高度例6.4如图所示，某建筑物楼顶有信号塔EF ，卓玛同学为了探究信号塔EF 的高度，从建筑物一层A 点沿直线AD 出发，到达C 点时刚好能看到信号塔的最高点F ，测得仰角60ACF ∠=︒，AC 长7米．接着卓玛再从C 点出发，继续沿AD 方向走了8米后到达B 点，此时刚好能看到信号塔的最低点E ，测得仰角30B ∠=︒．（不计卓玛同学的身高）求信号塔EF 的高度（结果保留根号）．【详解】解：在Rt △ACF 中，∵60ACF ∠=︒，7AC =米，∴tan 60=⋅︒=AF AC ∵8BC =米，∴15AB =米，在Rt ABE △中，∵30B ∠=︒，∴tan30153=⋅︒=⨯=AE AB 米，∴=-=-=EF AF AE ，答：信号塔EF 的高度为变式6.421.如图，AB 和CD 是同一地面上的两座相距36米的楼房，在楼AB 的楼顶A 点测得楼CD 的楼顶C 的仰角为45°，楼底D 的俯角为30°,求楼CD 的高．【答案】楼CD 的高是（【解析】【分析】在题中两个直角三角形中，知道已知角和其邻边，只需根据正切值求出对边后相加即可．【详解】延长过点A 的水平线交CD 于点E则有AE ⊥CD ，四边形ABDE 是矩形，AE=BD=36∵∠CAE=45°∴△AEC 是等腰直角三角形∴CE=AE=36在Rt △AED 中，tan ∠EAD=EDAE∴∴答：楼CD 的高是（）米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键．实战练22.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，那么下列各式中，正确的是()A.sin B ＝23B.cos B ＝23C.tan B ＝23D.tan B ＝32【答案】C 【解析】【详解】∵∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，∴，∴sinB=13AC AB ==，cosB=13BC AB ==，tanB=23AC BC =，故选C.23.如果把∠C 为直角的Rt ABC 各边的长都扩大到原来的2倍，那么锐角A 的各三角比的值（）A.都扩大到原来的2倍B.都缩小到原来的一半C.都没有变化D.有些有变化【答案】C 【解析】【分析】根据正弦、余弦、正切的定义即可得．【详解】在Rt ABC 中，90C ∠=︒，sin ,cos ,tan a b aA A A c c b ∴===，222sin ,cos ,tan 222a a b b a aA A A c c c c b b∴======，则当Rt ABC 各边的长都扩大到原来的2倍，锐角A 的各三角比的值都没有变化，故选：C ．【点睛】本题考查了正弦、余弦、正切的定义，熟记定义是解题关键．24.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，则sinB 的值是（）A.512B.125C.513D.1213【答案】D 【解析】【分析】直接利用勾股定理得出AB 的长，再利用锐角三角函数得出答案．【详解】解：如图所示：∵∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，∴13AB ==，∴12sin 13AC B AB ==．故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理的应用和锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，解题的关键是理解三角函数的定义．25.若锐角A 、B 满足条件4590A B <<< 时，下列式子中正确的是（）A.sin sin A B > B.cot cot B A> C.tan tan A B> D.cos cos A B>【答案】D 【解析】【分析】根据锐角三角函数的增减性进行判断即可.【详解】∵4590A B <<< ，∴sin sin A B ＜，cot cot B A ＜，tan tan A B ＜，cos cos A B >.故只有D 选项正确.故选D.【点睛】本题考查锐角三角函数的增减性，锐角的余弦值和余切值是随着角度的增大而减小，锐角的正弦值和正切值随着角度的增大而增大.26.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，对角线AC ABCD 的周长为（）A. B.20C. D.16【答案】D 【解析】【分析】连接BD 交AC 于点O ，由菱形的性质得出AB =BC =CD =AD ，AC ⊥BD ，OA =OC =12AC ，∠ABD =∠CBD =12∠ABC =60°，求出∠BAO =30°，由直角三角形的性质得OB =3OA =2，AB =2OB =4，即可得出答案．【详解】解：连接BD 交AC 于点O ，如图：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD ，AC ⊥BD ，OA =OC =12AC ，∠ABD =∠CBD =12∠ABC =60°，∴∠BAO =30°，∴OB =OA tan 30⋅︒=3⨯，AB =2OB =4，∴菱形ABCD 的周长=4AB =16；故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．27.如图，在△ABC 中，sinB=13，tanC=2，AB=3，则AC 的长为（）A.B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】过A 点作AH ⊥BC 于H 点，先由sin ∠B 及AB=3算出AH 的长，再由tan ∠C 算出CH 的长，最后在Rt △ACH 中由勾股定理即可算出AC 的长．【详解】解：过A 点作AH ⊥BC 于H 点，如下图所示：由1sin =3∠=AH B AB ，且=3AB 可知，=1AH ，由tan =2∠=AHC CH ，且=1AH 可知，12CH =，∴在Rt ACH ∆中，由勾股定理有：2===AC ．故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解．28.如图，点A ，B ，C 在正方形网格的格点上，则sin BAC ∠等于（）A.3B.5C.10D.5【答案】D 【解析】【分析】连接格点CD ，根据勾股定理求出三角形的边长，再利用勾股定理的逆定理判断出直角三角形，最后由三角函数的意义求解即可．【详解】解：如图，连接格点CD ，∵AD 2=22+22=8，CD 2=12+12=2，AC 2=12+32=10，∴AD 2+CD 2=AC 2，∴∠ADC =90°，由勾股定理得，AC ，CD ，∴sin ∠BAC =CDAC 5 ，故选：D ．【点睛】本题考查了三角函数的意义，勾股定理等知识，根据网格构造直角三角形和利用勾股定理求边长是解决问题的关键．29.如图，△ABC 与△DEF 都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），那么△ABC 与△DEF 的周长比为（）A. B.1：2 C.1：3 D.1：4【答案】A 【解析】【分析】设正方形网格的边长为1，根据勾股定理求出△EFD 、△ABC 的边长，运用三边对应成比例，则两个三角形相似这一判定定理证明△BAC ∽△EDF ，即可解决问题．【详解】解：如图，设正方形网格的边长为1，由勾股定理得：DE 2＝22+22，EF 2＝22+42，∴DE ＝，EF ＝同理可求：AC ，BC ，∵DF ＝2，AB ＝2，∴BC AB AC EF DE DF ===，∴△BAC ∽△EDF ，∴C △ABC ：C △DEF ＝1，故选A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理和相似三角形的判定及其性质定理的应用问题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．30.如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =．若BAC α∠=，AB m =，则底边BC =()A.sin m α⋅B.2sin m α⋅C.2sin2m α⋅ D.sin2m α⋅【答案】C 【解析】【分析】首先如图过点A 作AD ⊥BC 交BC 于D 点，据此接着利用等腰三角形性质可以得出∠BAD=12∠BAC=12α，BC=2BD ，然后在Rt △ABD 中，根据sin ∠=BDBAD AB求出BD ，最后利用BC=2BD 求出答案即可.【详解】如图，过点A 作AD ⊥BC 交BC 于D 点，则△ABD 是直角三角形，∵△ABC 为等腰三角形，AD ⊥BC ，∴∠BAD=12∠BAC=12α，BC=2BD ，在Rt △ABD 中，sin sin2BD BDBAD AB mα===∠，∴sin2BD m α=⋅，∴22sin 2BC BD m α==⋅⋅，故选：C .【点睛】本题主要考查了解直角三角形的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.31.如图，在高楼前D 点测得楼顶A 的仰角为30°，向高楼前进60m 到达C 点，又测得楼顶A 的仰角为45°，则该高楼的高度大约为()A.82mB.160mC.52mD.30m【答案】A【解析】【分析】【详解】解：Rt△ABC中，∠ACB=45°，∴BC=AB，Rt△ABD中，∠ADB=30°，∴BD=AB÷tan AB，∴DC=BD-BC=）AB=60米，≈82米，即楼的高度约为82.0米，∴AB故选A.32.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1，坝高BC＝3m，则AB的长度为（）A.6mB.mC.9mD.【答案】A【解析】【分析】根据坡比的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．【详解】解：∵迎水坡AB的坡比为1，∴BC AC =3AC =解得，AC ＝，由勾股定理得，AB ==6（m ），故选：A ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．33.在△ABC 中，∠C 90°，sinA 1213，BC 12，那么AC ______．【答案】5【解析】【分析】先根据正切的定义得到sinA=BC AB =1213，则可得到AB=13，然后根据勾股定理计算AC 的长．【详解】在△ABC 中，∠C=90°，∵sinA=BC AB =1213，BC=12，∴AB=13，∴．故答案为5．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理.解此题的关键在于熟练掌握其知识点.34.cos45°-12tan60°=________；【答案】12-【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算．【详解】解：原式11222=-=-．故答案是：12-．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是记住特殊角的三角函数值．35.在ABC 中，2cos (1cot )0A B +-=，则ABC ∆的形状是__________．【答案】钝角三角形【解析】【分析】根据非负数的性质得到cos =02-A ，1cot =0-B ，从而求出∠A 与∠B 的度数，即可判断△ABC 的形状．【详解】∵2cos (1cot )0A B -+-=∴cos =02-A ，1cot =0-B即cos =2A ，cot =1B ∴=30A ∠︒，=45∠︒B ∴=1803045=105∠︒-︒-︒︒C ∴ABC ∆是钝角三角形故答案为：钝角三角形【点睛】本题考查了非负数的性质，三角形的分类与特殊角度的三角函数值，熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键．36.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，b ＝20，c ＝，则∠B 的度数为_______.【答案】45°【解析】。

初三锐角三角函数一对一讲义(重庆书之香)

锐角三角函数知识点概述锐角三角函数（正弦、余弦、正切、余切）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦（sinc ），记作sin A ，即sin A aA c∠==的对边斜边。

把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦（cosine ），记作cos A ，即bcos cA A ∠==的邻边斜边；把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切（tangent ），记作tan A ，即atan bA A A ∠=∠的对边＝的邻边。

特殊角的三角函数值解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形。

1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c（以下字母同），则解直角三角形的主要依据是：（1）边角之间的关系：sinA＝cosB＝ac，cosA＝sinB＝bc，tanA＝cotB＝ab，cotA＝tanB＝ba。

（2）两锐角之间的关系：A＋B＝90°。

（3）三条边之间的关系：。

2、解直角三角形的基本类型和方法：3、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)（2）平方关系1cos sin 22=+A A（3）倒数关系tanA •tan(90°—A)=1典型例题剖析化简求值例1、︒-︒︒-︒45cot 230cot 45tan 30sin 的值等于（）（A ）－1－23 （B ）－21（C ）12323- （D ）1＋23 同步练习一(1)、240cot 40tan 22-︒+︒＝。

（2）、cos2（50°＋α）＋cos2（40°－α）－tan（30°－α）tan（60°＋α）＝。

九年级下册锐角三角函数专题讲义

1九年级下册锐角三角函数专题讲义一．知识框架二．锐角三角函数 1.Rt △ABC 中:(1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作sinA ＝ ∠A 的对边斜边(2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作cosA ＝ ∠A 的邻边斜边(3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作tanA ＝ ∠A 的对边∠A 的邻边2.特殊角的三角函数:A sinA cosA tanA 30°12 32 33 45°22 22 160° 321232基础训练：例1.把Rt △ABC 各边的长度都扩大2倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A 、A ′的正弦值的关系为（）A ． sinA ＝sinA ′B ． sinA ＝2sinA ′C ． 2sinA ＝sinA ′D ．不能确定例2.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝5，AC ＝4，则sinB 的值是（）A ． 35B ． 45C ． 34D ． 43练习1.在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，2sin 3A =，则边AC 的长是（）AB ．3C ．43D练习2.如图，△ABC 中，AB=25，BC=7，CA=24．求sinA 的值25247C BA练习3.等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，求sinA 、sinB练习4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若b=3a ，则tanA=练习5.在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA＝4，c ＝2，则a ＝练习6.如果a ∠是等腰直角三角形的一个锐角，则cos α的值是（）Ａ．12Ｂ．2Ｃ．13练习7.如图，P 是∠α的边OA 上一点，且P 点坐标为（2，3），则sin α= ，cos α= ，tan α=练习8.在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，若56AC =，65AB =，则tan ∠ACD 的值为（）Ａ．5Ｂ．5 Ｃ．30Ｄ．6例3.计算：sin30°·sin60°+sin45°练习9.计算tan 602sin 452cos30+-o o o 的结果是（）A ．2B ．2C ．1D ．2313-练习10.计算：()0132sin 452007tan 30--⋅+-oo能力拓展例1.如图，小明利用一个含60°角的直角三角板测量一栋楼的高度，已知他与楼之间的水平距离BD为10m ，眼高AB 为1.6m （即小明的眼睛距地面的距离），那么这栋楼的高是（）A ．（81035+）m B ．21.6m C ． 103m D ．10385⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭m例2.如图，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，若∠DPB=α，那么CDAB等于（） A ．sin α B ．COS α C ．tan α D ．1tan ααy x P(2,3)O AE DCBAαPDA4例3.如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为CA 上一点，∠DBC=30°，DA=3，AB=19，试求cosA 与tanA的值例4.如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ∠BAC 等于（）A ． 23B ．55C ． 105D ．13中考链接：（2008昆明，9,3分）如图，在Rt △ABC 中，∠A = 900，AC = 6cm ，AB = 8cm ，把AB 边翻折，使AB边落在BC 边上，点A 落在点E 处，折痕为BD ，则sin ∠DBE 的值为（）A ．13B ．310C ．37373D ．1010（2011昆明，9,3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=15，AB 的垂直平分线ED 交BC 的延长线与D 点，垂足为E ，则sin ∠CAD =（）A 、错误!未找到引用源。

初三锐角三角函数复习讲义

锐角三角函数：知识点一：锐角三角函数的定义：一、锐角三角函数定义：如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则∠A 的正弦可表示为：sinA ∠A 的余弦可表示为：cosA∠A 的正切可表示为：tanA ，它们称为∠A 的锐角三角函数①斜边)(sin =A ＝______，②斜边)(cos =A ＝______，③的邻边A A ∠=)(tan ＝______，【特别提醒：1、sinA 、cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与有关，与直角三角形的无关。

2、取值范围 <sinA< ， <cosA< ，tanA> 例1. 锐角三角函数求值：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．典型例题：类型一：利用直角三角形求值1．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC 求：AB 及OC 的长．类型二. 利用角度转化求值：1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．2．如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（） A ．12B 3C ．35D ．455.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（）A ．23 B ．32 C ．34 D ．436. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．45A D ECB F7. 如图6，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan 5DBA ∠=，则AD 的长为( ) A 2．2 C ．1 D ．2D CB A Oyx第8题图类型三. 化斜三角形为直角三角形1. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）3. ABC中，∠A=60°，AB=6 cm，AC=4 cm，则△ABC的面积是（）A.23 cm2B.43 cm2C.63 cm2D.12 cm2类型四：利用网格构造直角三角形1.如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．2552．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.3．如图，A、B、C三点在正方形网络线的交点处，若将ABC∆绕着点A逆时针旋转得到''BAC∆，则'tan B的值为（）A.41B.31C.21D.14．正方形网格中，AOB∠如图放置，则tan AOB∠的值是（）A．55 B.2 55 C.12 D. 2CABO知识点二：特殊角的三角函数值当时，正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值．1.计算：︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 22.计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°3．计算：30tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+ 4．计算： tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒例2．求适合下列条件的锐角α ． (1)21cos =α (2)33tan =α (3)222sin =α (4)33)16cos(6=- α（5）已知α 为锐角，且3)30tan(0=+α，求αtan 的值（6）在ABC ∆中，0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠的度数.例3. 三角函数的增减性 1．已知∠A 为锐角，且sin A <21，那么∠A 的取值范围是 A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 2. 已知A 为锐角，且030sin cos <A ，则（）A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°类型五：三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD 的值．5.（本小题5分）如图，△ABC 中，∠A=30°，3tan B =，43AC =．求AB 的长.DCBAACB知识点三：解直角三角形：1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边与角之间的关系：==B A cos sin ______；==B A sin cos _______；==BA tan 1tan _____；==B Atan tan 1______． ④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ．CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________．例1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ； (2)已知：32sin =A ，6=c ，求a 、b ；（3）．已知：△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．类型六：解直角三角形的实际应用仰角与俯角1．如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（） A ． 200米 B ． 200米 C ． 220米 D ． 100（）米 2．在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图13所示，某学生在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点C ，测得C 在A 北偏西31︒的方向上，沿河岸向北前行20米到达B 处，测得C 在B 北偏西45︒的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈53，sin31°≈21）图13ABCD 45° 30°3 .如图，小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB 为1.7米，求这棵树的高度.A BCD E4．一数学兴趣小组为测量河对岸树AB 的高，在河岸边选择一点C ，从C 处测得树梢A 的仰角为45°，沿BC 方向后退10米到点D ，再次测得点A 的仰角为30°．求树高．(结果精确到0.1米．参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈)5．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．（1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，3≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）坡度与坡角1.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是13BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是（） A ．100m B ．3．150m D ．3m2.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB 的高度.如图，老师测得升旗台前斜坡FC 的坡比为i =1:10，学生小明站在离升旗台水平距离为35m （即CE =35m ）处的C 点，测得旗杆顶端B 的仰角为α，已知tan α37AF =1m ，小明身高CD =1.6m ，请帮小明计算出旗杆AB 的高度.3.如图，有两条公路OM ，ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点80米处有一所学校A ，当重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心、50米长为半径的圆形区域内部会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大，若已知重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为18千米/时. (1)求对学校A 的噪声影响最大时,卡车P 与学校A 的距离;(2)求卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪影响的时间.30°ONP4.如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC =4米，AB =6米，中间平台宽度DE =1米，EN 、DM 、CB 为三根垂直于AB 的支柱，垂足分别为N 、M 、B ，∠EAB =31°，DF ⊥BC 于F ，∠CDF =45°．求DM 和BC 的水平距离BM 的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）αABCEF i FC =1:1045°31°CFD E5.如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB 的长为5米，点D 、B 、C 在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。

初三数学《锐角三角函数》优秀教学课件

3 应用
锐角三角函数广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。
三角函数的定义及分类
定义பைடு நூலகம்
正弦、余弦、正切、正割和余割是根据三角形的边长关系定义的函数。
分类
三角函数可分为基本三角函数和带角的三角函数，每个函数都有不同的性质和应用。
图像
不同函数在坐标系上的图像展示了它们的周期性、对称性和变化规律。
角度制与弧度制的转换
1 角度制
2 弧度制
常用角度单位，用度数表示。
另一种角度单位，用弧长与半径的比值表示。
3 转换方法
角度制与弧度制之间可通过一定的换算公式进行转换。
正弦函数的图像及基本性质
图像
正弦函数在坐标系中呈现出一条连续变化的波浪线。
性质
正弦函数的定义域是全体实数，值域是[-1, 1]，具有周期性和对称性。
正切函数的图像及基本性质
1
图像
正切函数在坐标系中形成一系列连续交叉的直线。
2
性质
正切函数的定义域是所有切点的横坐标全体，值域是所有实数。
3
特性
无定义点、无界性和奇偶性是正切函数的特别性质。
正割函数、余割函数的图像及基本性质
1 正割函数
正割函数形成一组连续的曲线，与余弦函数图像对称。
2 余割函数
余割函数形成一组连续的曲线，与正弦函数图像对称。
3 性质
正割和余割函数分别是余弦和正弦函数的倒数。
三角函数的周期性质
周期
三角函数的图像在一定范围内呈现出重复的模式，这个范围称为函数的周期。
周期公式
不同三角函数的周期可通过一定的公式进行计算。
变化规律
周期性质决定了三角函数的重复模式和增减变化规律。

九年级(上)培优讲义：第1讲锐角三角函数

第1讲：锐角三角函数一、建构新知1. 请同学们回忆一下，我们已经学过哪些类型的函数？对于函数这种重要的数学模型是如何定义的？函数与自变量之间存在着怎样的一种关系？2. 如图，已知△ABC ∽△ADE ，根据相似三角形对应边成比例的性质，我们可得AD AE DEAB AC BC==,你还可以得出类似也相等的比例式吗？请写出来，并请说明理由.3. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ,b , c . 则(1)sinA = cosA = tanA =(2)sinB = cosB = tanB =(3)从上题的六个式子中，请你试着找出同一个角的不同三角函数值之间及互余两角的三角函数值之间具有怎样的数量关系.4.阅读教材后回答：（1）在锐角三角函数中，自变量是什么？函数是什么？（2）本节课本中指出锐角三角函数的值都是正实数，且0＜sinα＜1，0＜cosα＜1，你能说明原因吗？那么tanα的取值范围是什么？5.特殊三角函数值巧记的方法.(1) 识图记忆法AED CBBAC45︒45︒60︒30︒223122(2) 列表记忆法(3) 规律记忆法观察上述表格中的函数值，根据数值的变化特征，可以总结出下列记忆规律： ①有界性：锐角三角函数值都是正数，即当090α︒︒＜＜时，有01α＜sin ＜，01α＜cos ＜ ②增减性：锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小，即当090A B ︒︒＜＜＜时，sin sin A B ＜，tan tan A B ＜，cos cos A B ＞。

特殊地，当045A ︒︒＜＜时，sin cos A A ＜，当4590A ︒︒＜＜，则sin cos A A ＞二、经典例题例1. 如图，∠α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x 轴上，•另一边经过点P （2，），求角α的三个三角函数值．例2.已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c . 且a 、b 、c 满足等式(2b )2=4(c +a )(c －a ), 且有5a －3c =0,求sinB 的值.PCBA例3. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，•根据勾股定理有公式a 2+b 2=c 2，根据三角函数的概念有sinA =a c ，cosA =bc， • （1）求证：sin 2A +cos 2A =1，sin cos AA=tanA（2）请利用（1）中的结论求解下列题目. ①Rt △ABC 中，∠C =90°，sinA =35，求cosA ，tanA 的值；②Rt △ABC 中，∠C =90°，tanA =12，求sinA ，cosA 的值；③∠A 是锐角，已知cosA =1517，求sin （90°－A ）的值．例4. 已知：⊙O 的直径AB 为3，线段AC ＝4，直线AC 和PM 分别与⊙O 相切于点A 、M ，(1)求证：点P 是线段AC 的中点；(2)求sin ∠PMC 的值.例5.如图，已知直线AB 与x 轴，y 轴分别相交于A 、B 两点，它的解析式为y =3 x +3,角α的一边为OA ，另一边为OP ⊥AB 于P ，求cosα的值.CBA三、基础演练1. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，32sin =B ，那么AB 的长是 . 2. 在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值与余弦值都（） A . 缩小2倍 B . 扩大2倍C . 不变D . 不能确定3. 如果α是锐角，且54sin =α，那么cos （90°－α）=（） A . 54 B . 43 C . 53 D . 514. 如图，∠ABC =∠BCD =90°，AC =15，54sin =A ，BD =20，求sinD 、cosD 、tanD 的值.5. 等腰三角形的两边长分别为6cm 、8cm ，求它的底角的正切值.6. 在△ABC 中，若()01cos 23tan 2=-+-B A ，则△ABC 是（）A . 直角三角形B . 顶角为锐角的等腰三角形C . 等边三角形D . 含有60°的任意三角形 7. 若关于y 的方程()041cos 22=+-y y α有两个相等的实根，求锐角α的度数.8. 如图，在△ABC 中，已知∠A =30°，tanB =31，BC =10，求AB 的长.DCBAAB BAO9. 菱形的边长为4，它的一个内角为120°，则两条对角线长分别为 .10. 若斜坡AB 高为3m ，长为15m ，则斜坡AB 的坡比为度. 11. 若α是锐角，且tan α=1.2，则（）A . α＞45°B . α＜45°C . 30°＜α＜45°D . 45°＜α＜60°12. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠BAC =30°.延长CA 至D ，使AD =AB . 根据此图，求出tan 15°=（）A . 32+B . 32-C . 33-D .13-13. 已知三角形三边长分别为3、4、5，求各角的度数. （精确到0.1度）14. 如图已知，在⊙O 中，长为4cm ，OA =3cm .求：（1）∠AOB 度数；（精确到1度）（2）AB 的长度；（精确到0.1）（3）△AOB 的面积. （精确到0.01）四、直击中考1. （2013广东）如图5，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ， CA 是∠BCD 的平分线，且AB ⊥AC ，AB =4，AD =6，则tanB =（） A . 32 B . 22 C .411D . 4552. （2013湖南）在△ABC 中，若0)21(cos 21sin 2=-+-B A ，则∠C 的度数是（） A .300 B .450 C .600D .9003. （2013重庆）计算6tan 45°－2cos 60°的结果是（） A ．43 B ．4 C ．53 D ．54. (2013浙江)在△ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =3，则sinA 的值是（）A ．43 B .34 C .53 D .545.（2013广东）如图，若∠A =60°，AC =20m ，则BC 大约是( ) A ．34.64m B ．34.6m C ．28.3m D ．17.3m6. （2013江苏）如图，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则tan ∠AOB 的值是（）A ．23 B ．32C ．21313D ．313137.（2013甘肃）△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果222c b a =+，那么下列结论正确的是（）A ．c sinA =aB ．b cosB =cC ．a tanA =bD ．c tanB =b 8.（2013江苏）在Rt △ABC 中，∠C =90°，若sinA ＝513则cosA 的值是（） A .512 B . 813 C . 23 D . 12139. (2013湖北)如图，在半径为1的⊙O 中，∠AOB ＝45°，则sinC 的值为( ) A ．22 B ．222- C ．222+ D ．2410.（2013陕西）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且BD 平分AC ，若BD =8，AC =6，∠BOC ＝120°，则四边形ABCD 的面积为 .11. （2013山东）如图，AB 是⊙O 的直径，⌒AD =⌒DE ，AB =5，BD =4，则sin ∠ECB =_______.12. （2013浙江）在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =2BC ，现给出下列结论：①sinA =23；②cosB =21；③tanA =33；④tanB =3，其中正确的结论是__________（只需填上正确结论的序号） 13.（2013贵州）.在Rt △ABC 中间，∠C =90°，tanA =43,BC =8,则△ABC 的面积_________。

初三锐角三角函数复习讲义

锐角三角函数：知识点一：锐角三角函数的定义：一、锐角三角函数定义：如图所示，在Rt△ABC 中，∠C=90则∠A 的正弦可表示为：sinA0, ∠A 、∠B、∠C 的对边分别为a、b、c，∠A 的余弦可表示为：cosA∠A 的正切可表示为：tanA，它们称为∠ A 的锐角三角函数①( )sin A ＝______，斜边②( )cos A ＝______，斜边③( )tan A ＝______，A的邻边【特别提醒：1、sinA、cosA、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与有关，与直角三角形的无关。

2、取值范围<sinA< ，<cosA< ，tanA>例1. 锐角三角函数求值：在Rt△ABC 中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______，sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．典型例题：类型一：利用直角三角形求值1．已知：如图，Rt△TNM 中，∠TMN ＝90°，MR⊥TN 于R 点，TN＝4，MN＝3．求：sin∠TMR、cos∠TMR 、tan∠TMR．2．已知：如图，⊙O 的半径OA＝16cm，OC⊥AB 于C 点，sin AOC 求：AB 及OC 的长．3 4类型二.利用角度转化求值：1．已知：如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°．D 是AC 边上一点，DE⊥AB 于E 点．DE∶AE＝1∶2．求：sin B、cosB、tanB．2．如图，直径为10 的⊙ A 经过点C (0，5) 和点O (0，0) ，与x 轴的正半轴交于点D，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则c os∠OBC 的值为（）A．y 12B．32C．35D．45CAxO DB第8题图35.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的半径为2，AC 2 ，则sin B 的值是（）A．23B．32C．34D．436. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片A BCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知AB 8 ，BC 10 ，AB=8,则t an∠EFC 的值为()A DEＡ．34 Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．45BFC7. 如图6，在等腰直角三角形ABC 中， C 90 ，AC 6 ，D为A C 上一点，若tan1DBA ，则A D 的长为( )5A． 2 B ．2 C．1 D ．2 2类型三. 化斜三角形为直角三角形8.如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2 3，求AB 的长．2．如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2 ，求△ABC 的周长．（结果保留根号）3. ABC 中，∠A=60°，AB=6 cm，AC=4 cm，则△ABC 的面积是（）2 B.43 cm2A.2 3 cm2 D.12 cm2C.6 3 cm类型四：利用网格构造直角三角形1.如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（）12 A．B．55C．10102 55D． ACO BA B2．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.3．如图，A、B、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC 绕着点 A 逆时针旋转得到AC'B'，则tan B' 的值为（）A. 14B.13C.12D. 14．正方形网格中，∠AOB 如图放置，则tan∠AOB 的值是（）A ．55B.2 5512C.D. 2知识点二：特殊角的三角函数值锐角30°45°60°sincostan当时，正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值．29.计算：tan 60 sin 45 2 cos30 －1+(2 π－1)0－10.计算：333tan30 －°tan45 °3．计算：122 cos60 sin 4532tan 30 4．计算：t an 45 sin 301 cos60例2．求适合下列条件的锐角．(1)1cos (2)23tan (3)32sin 2 (4) 6 cos( 16 ) 3 32（）已知为锐角，且tan( 30 ) 3，求tan 的值1 22（）在ABC 中，cos A (sin B ) 0 ，A， B 都是锐角，求 C 的度数2 2例3.三角函数的增减性1．已知∠A 为锐角，且sin A < 12，那么∠A 的取值范围是A. 0 <°A < 30 °B. 30 <°A ＜60°C. 60 <°A < 90 °D. 30 <°A < 90 °4. 已知 A 为锐角，且0cos A sin 30 ，则（）A. 0 <°A < 60 °B. 30 <°A < 60 °C. 60 <°A < 90 °D. 30 <°A < 90 °类型五：三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E，BE＝16cm，sin A 1213求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC BC 3 ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD；(2)sin∠BAD、cos∠BAD 和tan∠BAD．11. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD＝90°，∠CAD 、tan∠CAD．1tan B ，求：sin∠CAD、cos3312. 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，sin B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6 ，求tan ∠BAD5的值．AB D C5（.本小题 5 分）如图，△ABC 中，∠A=30°，AC 4 3．求AB 的长.tan3B ，2CAB知识点三：解直角三角形：1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)：在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，①三边之间的等量关系：________________________________ ．②两锐角之间的关系：__________________________________ ．③边与角之间的关系：sin A cos B______；cos A sin B _______；1 1tan A _____；tan Btan B tan A______．④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，CD⊥AB 于D．2＝_________；AC2＝_________； CD2＝_________；AC·BC＝_________． BC例1．在Rt△ABC 中，∠C＝90°．(1)已知：a 2 3 ，b 2 ，求∠A、∠B，c；(2)已知：2sin A ，c 6 ，求a、b；3（3）．已知：△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．求AB 及BC 的长．类型六：解直角三角形的实际应用仰角与俯角1．如图，从热气球C 处测得地面A、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD为100 米，点 A 、D、B 在同一直线上，则A B 两点的距离是（）A ．200 米B．200 米C．220 米D．100（）米2．在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图13 所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点 C ，测得 C 在A北偏西31 的方向上，沿河岸向北前行20 米到达B 处，测得C 在B北偏西45 的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31 °≈35，sin31 °≈12）图133.如图，小聪用一块有一个锐角为30 的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3 3 米，小聪身高AB 为1.7 米，求这棵树的高度.CADB E4．一数学兴趣小组为测量河对岸树AB 的高，在河岸边选择一点C，从C 处测得树梢A的仰角为45°，沿BC 方向后退10 米到点D，再次测得点 A 的仰角为30°．求树高．(结果精确到0.1 米．参考数据： 2 1.414， 3 1.732)A45°30°BCD5．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的在 A 处，离益阳大道的距离（AC）为30 米．这时，一辆测点设知识检测车速．如图，观为8 秒，∠BAC=75°．小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从 B 处行驶到 C 处所用的时间（1）求B、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60 千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到 1 米，参考数据：sin75 °≈0.96，59cos75°≈0.258，8 tan75°≈ 3.73，23 ≈ 1.73，260 千米/小时≈16.7米/秒）坡度与坡角13.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1： 3 ，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB 的长度是（）A．100m B．100 3 m C．150m D．50 3 m14.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB 的高度.如图，老师测得升旗台前斜坡FC 的坡比为i=1:10，学生小明站在离升旗台水平距离为35m（即CE=35m）处的 C 点，测得旗杆顶端 B 的仰角为α，已知tanα= CD =1.6m，请帮小明计算出旗杆AB 的高度. 37，升旗台高AF =1m，小明身高BA i FC = 1:10αD FC E15.如图，有两条公路OM，ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点80 米处有一所学校A，当重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心、50 米长为半径的圆形区域内部会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校 A 的距离越近噪声影响越大，若已知重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为18 千米/时.(1)求对学校 A 的噪声影响最大时,卡车P 与学校 A 的距离;(2)求卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校 A 带来噪影响的时间.NP30°O M80米 A16.如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC=4 米，AB=6 米，中间平台宽度DE =1 米，EN、DM 、CB 为三根垂直于AB 的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB=31°，DF⊥BC 于F，∠CDF =45°．求DM 和BC 的水平距离BM 的长度．（结果精确到0.1 米，参考数据：sin31 °≈0.，52cos31°≈0.8，6tan31°≈0.）60CE D 45° F31°A N MB5.如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45o降为30o，已知原滑滑板AB 的长为 5 米，点D、B、C 在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（2）若滑滑板的正前方能有 3 米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有 6 米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。

九年级数学锐角三角函数人教版知识精讲

初三数学锐角三角函数人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：锐角三角函数［学习目标］1. 正确记忆理解四个锐角三角函数（1）正弦：在直角三角形中，一个锐角所对的直角边与斜边的比，叫这个锐角的正弦。

即：如图1BcaA Cb图1sin sin AA ac BB bc =∠= =∠=的对边斜边的对边斜边（2）余弦：在直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比，叫这个锐角的余弦。

即：如图1cos cos AA bc BB ac =∠= =∠=的邻边斜边的邻边斜边（3）正切：在直角三角形中，一个锐角所对的直角边与相邻直角边的比，叫这个锐角的正切。

即：如图1tan tan AAAab BBBba =∠∠= =∠∠=的对边的邻边的对边的邻边（4）余切：在直角三角形中，一个锐角相邻的直角边与所对的直角边的比，叫这个锐角的余切。

即：如图1cot cot AAAba BBBab =∠∠= =∠∠=的邻边的对边的邻边的对边3. 互余两角正、余弦间的关系；正、余切间的关系。

（1）任意锐角的正弦值，等于它余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它余角的正弦值。

即：()()sin cos cos sin A A A A =︒-=︒-9090，（2）任意锐角的正切值等于它余角的余切值；任意锐角的余切值等于它余角的正切值。

即：()()tan cot cot tan A A A A =︒-=︒-9090，4. 同角的正、余弦间的关系；正、余切间的关系；四个锐角三角函数间的关系。

（1）sin cos 221A A +=当0°＜A ＜45°，cos sin A A >；当45°＜A ＜90°，cos sin A A <。

（2）1cot tan =A A ·当0°＜A ＜90°时，正切值随角度的增加（减少）而增加（减少）。

当0°＜A ＜90°时，余切值随角度的增加（减少）而减少（增加）。

九年级人教版数学第二学期第28章锐角三角函数整章知识详解

九年级数学第28章锐角三角函数
【例】求下列各式的值.
(1) cos260°+sin260°
(2) csoins4455

-tan45

【解析】（1）cos²60°+sin²60°
cos²60°表示（cos60°）²，即cos60°的平方.
=（ 12）²+（
3 2
）²
=1；
（2）cos 45 tan 45
九年级数学第28章锐角三角函数
2.（黄冈中考）在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝
则tanB＝（ B ）
A. 4
B. 3
C. 3
D. 4
3
4
5
5
3.（丹东中考）如图，小颖利用有一
个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度， 30 已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为 °A
B 1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那
九年级数学第28章锐角三角函数
【例】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA= 3 ，
求cosA，tanB的值.
5
B
【解析】 sinA BC ,
AB
6
AB BC 6 5 10，
sinA 3
又 AC AB2 BC2 102 62 8，
A
C
cosA AC 4 , tanB AC 4 .
100
D.不能确定
3.如图 A
B
1
3
，则 sinA=___2___ .
30°
C
7
九年级数学第28章锐角三角函数
1.（温州中考）如图，在△ABC中，∠C=90°, AB=13，

人教版初中数学九年级下册 28.1 锐角三角函数(第1课时)课件【经典初中数学课件】

C
18
21
78°
83°
β
24
G
E
F
H
α
x
118°
【例题】
例2．已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD的各边的长．
当堂检测，反馈提高
1．△ABC与△DEF相似，且相似比是，则△DEF 与△ABC与的相似比是（）． A． B． C． D． 2．下列所给的条件中，能确定相似的有（）（1）两个半径不相等的圆；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．已知四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似，四边形ABCD的最长边和最短边的长分别是10cm和4cm，如果四边形A1B1C1D1的最短边的长是6cm，那么四边形A1B1C1D1中最长的边长是多少？
小结： 1、谈谈你的收获。 2．你有哪些困惑。 3．学会了哪些解决问题的方法。
27.1 图形的相似
图形的相似
图形的相似
图形的相似
图形的相似
图形的相似
观察下面两张照片，你发现有什么相同与不同？
想一想:我们刚才所见到的图形有什么相同和不同的地方?
相同点：形状相同．不同点：大小不一定相同．
A
C
B
┌
【解析】在Rt△ABC中,
【尝试应用】
1.判断对错:
A
10m
6m
B
C
(1)如图 sin A= （） ②sin B= . （） ③sin A=0.6m. （） ④sin B=0.8. （）

华师版九年级数学 24.3 锐角三角函数(学习、上课课件)

3xx＋x＝
31＋1＝
3－1 2.
感悟新知
知1－练
例 4 如图24.3-3，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°， DB平分∠ADC. 若AD＝1，CD＝3， 6 则sin ∠ABD＝____6_____.
感悟新知
知1－练
解题秘方：紧扣“角相等则其三角函数值也相等” 这一特征，用“等角转换法”将所要求的角的三角函数值转化为直角三角形中与该角相等的角的三角函数值.
4. sin x，cos x和tan x都是以x为自变量的函数，一旦x的度数确定，它们的值就唯一确定，即锐角三角函数值随角度的变化而变化 .
感悟新知
知1－练
例 1 在Rt△ABC中，∠C＝90 °，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c. 已知a＝6，b＝8，求出∠A的三角函数值. 解题秘方：紧扣“锐角三角函弦：sin A＝∠A斜的边对边＝ac.
知1－讲
锐角∠A的余弦：cos A＝∠A斜的边邻边＝bc.
锐角∠A的正切：tan A＝∠∠AA的的对邻边边＝ab. 锐角∠A的正弦、余弦、正切统称为锐角∠A的三角函数.
感悟新知
2. 锐角三角函数的表示法
知1－讲
(1)在sin A，cos A，tan A中，三角函数的符号一定要小
感悟新知
知1－练
解：在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，a＝6，b＝8，∴ c＝a2＋b2＝62＋82＝10 . ∴ sin A＝ac＝35，cos A＝bc＝45，tan A＝ab＝34.
感悟新知
知1－练
1-1. [中考·常州] 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90 °，点D 在边AB上，连结CD. 若BD＝CD，ABDD＝13，则tan B＝ 2 ___2_____.

九年级数学下册讲义锐角三角函数

a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c2．
【例 2】在 Rt△ABC 中， C 90 ， AB 13 ， AC 12 ，则 cosB ________， tanB ________．
【名师点睛】本题考查锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比
边的长度无关，即只要锐角 A 确定，其三角函数值也随之确定.
【例 6】在 Rt△ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的 3 倍，则锐角 A 的余弦值
A．扩大为原来的 3 倍
C．缩小为原来的 1 3
B．没有变化 D．不能确定
1．已知锐角 α 满足 sin25°＝cosα，则 α＝
A．25°
B．55°
11．如图，在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，
BC＝9a，AC＝12a，AB＝15a，tanB=________,cosB=______,sinB=_______
12．若 3 2sin +(tanβ－1)2=0，则锐角 α=_______，β=_______.
13．化简：（1）│tan60°－2│=_______;（2） sin30 12 =______．
2．特殊角的三角函数值
（1）sin 30°＝____________，cos 30°＝____________，tan 30°＝____________. （2）sin 60°＝____________，cos 60°＝____________，tan 60°＝____________. （3）sin 45°＝____________，cos 45°＝____________，tan 45°＝____________.
熟记锐角三角函数的概念，可以简记为“正弦等于对比斜，余弦等于邻比斜，正切等于对比邻”.

人教版九年级数学下册锐角三角函数讲义

锐角三角函数知识点一、锐角三角函数的基本概念如下左图，在直角△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，则AB 的长度是__________定理：在直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半想一想：如果其它条件不变，把30°换成37°或者是其它角度，它所对的边与斜边之比是一个定值吗？如上右图，△AB 1C 1、△AB 2C 2、△AB 3C 3、△ABC 是________三角形因此331122123A B C B C B C BC AB AB AB AB ====∠的对边斜边，即对于任意一个确定的锐角，它所对的边与斜边之比是一个定值于是我们把一个锐角A 所对的边与斜边之比叫做∠A 的正弦，记为sin A 。

A sin A =∠的对边斜边除了正弦，锐角A 还有余弦、正切、余切，这四大天王统称为锐角三角函数∠A的正弦sinA ∠A的余弦cosA ∠A的正切tanA ∠A的余切cotA对边斜边邻边斜边对边邻边邻边对边例1、在Rt△ABC中，各边的长度都缩小为原来的12，那么锐角C的三角函数（）A、都扩大为原来的2倍B、都缩小为原来的12C、不变D、都缩小为原来的14例2、在Rt△ABC中，如果边长都扩大为原来的3倍，则锐角∠A的正弦值和余弦值（）A、都没有变化B、都扩大为原来的3倍C、都缩小为原来的13D、不能确定例3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°（1）若AC=3，AB=5，直接写出∠A、∠B的三角函数值（2）若AB=2AC，直接写出∠A、∠B的三角函数值1、如图，AD⊥CD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，则sinB=（）B、12 13C、3 5D、4 52、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，则cosB的值是（）A、55B、255C、12D、23、在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=2AC，则sinA的值是（）A、3B、12C、32D、334、在以O为坐标原点的直角坐标系平面内有一点A（2，4），如果AO与x轴正半轴的夹角为α，那么cosα=______5、某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮的北偏东30°方向，且相距20海里。

九年级数学锐角三角函数(学生讲义)

钝角三角函数取解曲角三角形之阳早格格创做【考目央供】钝角三角函数的定义、本量及应用，特殊角三角函数值的供法，使用钝角三角函数办理取曲角三角形有闭的本量问题.题型有采用题、挖空题、解问题，多以中、矮档题出现；2.命题的热面为根据题中给出的疑息建坐图形，建坐数教模型，而后用解曲角三角形的知识办理问题.【知识搜集】【考面梳理】考面一、钝角三角函数的观念如图所示，正在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对于的边BC 记为a，喊干∠A的对于边，也喊干∠B的邻边，∠B所对于的边AC记为b，喊干∠B 的对于边，也是∠A的邻边，曲角C所对于的边AB记为c，喊干斜边．钝角A的对于边取斜边的比喊干∠A的正弦，记做sinA，即sinA aAc∠==的对边斜边；钝角A的邻边取斜边的比喊干∠A的余弦，记做cosA，即cosA bAc∠==的邻边斜边；钝角A的对于边取邻边的比喊干∠A的正切，记做tanA，即tanA aAA b∠==∠的对边的邻边.共理sinB bBc∠==的对边斜边；cosB aBc∠==的邻边斜边；tanB bBB a∠==∠的对边的邻边．ab重心诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是正在曲角三角形中定义的，反映了曲角三角形边取角的闭系，是二条线段的比值．角的度数决定时，其比值稳定，角的度数变更时，比值也随之变更．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完备的数教标记，是一个完全，不克不迭写成，，，不克不迭明白成sin取∠A，cos取∠A，tan取∠A的乘积．书籍写时习惯上简略∠A的角的暗号“∠”，但是对于三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不克不迭写成“tanAEF”；其余，、、常写成、、．(3)所有一个钝角皆有相映的钝角三角函数值，不果那个角不正在某个三角形中而不存留．(4)由钝角三角函数的定义知：当角度正在0°＜∠A＜90°之间变更时，，，tanA＞0．考面二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可供出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：重心诠释：(1)通过该表不妨便当天了解0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用便是：如果了解了一个钝角的三角函数值，便不妨供出那个钝角的度数，比圆：若，则钝角．(2)小心钻研表中数值的程序会创制：sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1，而cos0︒、、、、cos90︒的值的程序正佳差异，、、的值依次删大，其变更程序不妨归纳为：当角度正在0°＜∠A＜90°之间变更时，①正弦、正切值随钝角度数的删大(或者减小)而删大(或者减小)②余弦值随钝角度数的删大(或者减小)而减小(或者删大)．考面三、钝角三角函数之间的闭系如图所示，正在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余闭系：，；(2)仄圆闭系：；(3)倒数闭系：或者；(4)商数闭系：．重心诠释：钝角三角函数之间的闭系式可由钝角三角函数的意思推导得出，常应用正在三角函数的估计中，估计时巧用那些闭系式可使运算烦琐．考面四、解曲角三角形正在曲角三角形中，由已知元素(曲角除中)供已知元素的历程，喊干解曲角三角形.正在曲角三角形中，除曲角中，一公有5个元素，即三条边战二个钝角.设正在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对于的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的闭系：a2+b2=c2(勾股定理).②钝角之间的闭系：∠A+∠B=90°.③边角之间的闭系：，，，，，.④，h为斜边上的下.重心诠释：(1)曲角三角形中有一个元素为定值(曲角为90°)，是已知的值.(2)那里道的曲角三角形的边角闭系指的是等式，不包罗其余闭系(如不等闭系).(3)对于那些式子的明白战影象要分离图形，不妨越收领会、曲瞅天明白.考面五、解曲角三角形的罕睹典型及解法已知条件解法步调Rt△ABC 二边二曲角边(a，b)由供∠A，∠B=90°－∠A，斜边，背去角边(如c，a)由供∠A，∠B=90°－∠A，一边一角背去角边战一钝角钝角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，钝角、对于边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、钝角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，重心诠释：1．正在逢到解曲角三角形的本量问题时，最佳是先绘出一个曲角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是已知的，而后按先决定钝角、再决定它的对于边战邻边的程序举止估计.2．若题中无特殊证明，“解曲角三角形”即央供出所有的已知元素，已知条件中起码有一个条件为边.考面六、解曲角三角形的应用解曲角三角形的知识应用很广大，闭键是把本量问题转移为数教模型，擅于将某些本量问题中的数量闭系化归为曲角三角形中的边角闭系是办理本量应用问题的闭键.解那类问题的普遍历程是：(1)弄浑题中名词汇、术语的意思，如俯角、俯角、坡度、坡角、目标角等观念，而后根据题意绘出几许图形，建坐数教模型.(2)将已知条件转移为几许图形中的边、角或者它们之间的闭系，把本量问题转移为解曲角三角形的问题.(3)根据曲角三角形(或者通过做垂线构制曲角三角形)元素(边、角)之间的闭系解有闭的曲角三角形.(4)得出数教问题的问案并考验问案是可切合本量意思，得出本量问题的解.拓展：正在用曲角三角形知识办理本量问题时，时常会用到以下观念：(1)坡角：坡里取火仄里的夹角喊干坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡里的铅曲下度h战火仄距离的比喊干坡度，用字母表示，则，如图，坡度常常写成=∶的形式.(2)俯角、俯角：视线取火仄线所成的角中，视线中火仄线上圆的喊干俯角，正在火仄线下圆的喊干俯角，如图.(3)圆背角：从某面的指北目标线按逆时针转到目标目标的火仄角喊干圆背角，如图①中，目标目标PA，PB，PC的圆背角分别为是40°，135°，245°.(4)目标角：指北或者指北目标线取目标目标线所成的小于90°的火仄角，喊干目标角，如图②中的目标目标线OA，OB，OC，OD的目标角分别表示北偏偏东30°，北偏偏东45°，北偏偏西80°，北偏偏西60°.特天如：东北目标指的是北偏偏东45°，东北目标指的是北偏偏东45°，西北目标指的是北偏偏西45°，西北目标指的是北偏偏西45°.重心诠释：1．解曲角三角形本量是用三角知识，通过数值估计，去供出图形中的某些边的少或者角的大小，最佳绘出它的示企图.2．非间接解曲角三角形的问题，要瞅察图形特性，妥当引辅帮线，使其转移为曲角三角形或者矩形去解.比圆：3．解曲角三角形的应用题时，最先弄浑题意(闭键弄浑其中名词汇术语的意思)，而后精确绘出示企图，从而根据条件采用符合的要领供解.【典型例题】典型一、钝角三角函数的观念取本量1．(1)如图所示，正在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的少为( )．A．10·tan50°B．10·cos50°C．10·sin50°D．10 sin50°(2)如图所示，正在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，供cosA+tanB的值．(3)如图所示的半圆中，AD是曲径，且AD＝3，AC＝2，则sinB 的值等于________．【思路面拨】(1)正在曲角三角形中，根据钝角三角函数的定义，不妨用某个钝角的三角函数值战一条边表示其余边．(2)曲角三角形中，某个内角的三角函数值即为该三角形中二边之比．了解某个钝角的三角函数值便了解了该角的大小，不妨用比率系数k表示各边．(3)央供sinB的值，不妨将∠B转移到一个曲角三角形中．【归纳降华】已知一个角的某个三角函数值，供共角或者余角的其余三角函数值时，时常使用的要领是：利用定义，根据三角函数值，用比率系数表示三角形的边少；(2)题供cosA时，还不妨间接利用共角三角函数之间的闭系式sin2 A+cos2 A＝1，读者可自己测验考查完毕．闻一知十：【变式】Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对于边，那么c 等于( )(A) a cos A bsin B + (B)a sin A bsin B + (C) a b sin A sin B + (D)a b cos A sin B +典型二、特殊角的三角函数值2．解问下列各题：(1)化简供值：tan 60tan 45sin 45sin 30sin 60cos30cos 45--++°°°°°°°；(2)正在△ABC 中，∠C ＝90°，化简12sin cos A A -．．【归纳降华】由第(2)题可得到以后时常使用的一个闭系式：1±2sin αcos α=(sin α±cos α)2．比圆，若设sin α+cos α＝t ，则21sin cos (1)2t αα=-．闻一知十：【变式】若3sin 22α=，cos sin βα=，(2α，β为钝角)，供2tan()3β的值.3．(1)如图所示，正在△ABC 中，∠ACB ＝105°，∠A ＝30°，AC ＝8，供AB 战BC 的少；(2)正在△ABC 中，∠ABC ＝135°，∠A ＝30°，AC ＝8，怎么样供AB 战BC 的少?(3)正在△ABC 中，AC ＝17，AB ＝26，钝角A 谦脚12sin 13A =，怎么样供BC 的少及△ABC 的里积？若AC ＝3，其余条件稳定呢?【思路面拨】第(1)题的条件是“二角一夹边”．由已知条件战三角形内角战定理，可知∠B ＝45°；过面C 做CD ⊥AB 于D ，则Rt △ACD 是可解三角形，可供出CD 的少，从而Rt △CDB 可解，由此得解；第(2)题的条件是“二角一对于边”；第(3)题的条件是“二边一夹角”，均可用类似的要领办理．典型三、解曲角三角形及应用4．如图所示，D 是AB 上一面，且CD ⊥AC 于C ，:2:3ACD CDB S S =△△，4cos 5DCB ∠=，AC+CD ＝18，供tanA 的值战AB 的少．博题归纳及应用一、知识性博题博题1：钝角三角函数的定义【博题解读】钝角三角函数定义的考查多以采用题、挖空题为主．例1 如图28－123所示，正在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列论断精确的是 ( )A ．sin A ＝32 B ．tan A ＝12 C ．cos B ＝32 D ．tan B ＝3例2 正在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝35,则tan A等于 ( )A．35 B．45 C．34 D．43博题2 特殊角的三角函数值【博题解读】要死记特殊角的三角函数值．例4 估计|－3|＋2cos 45°－(3－1)0．例5 估计－12⎛⎫- ⎪⎝⎭＋9＋(－1)2007－cos 60°．例6 估计|－2|＋(cos 60°－tan 30°)0＋8．例7 估计312-⎛⎫⎪⎝⎭－(π－3.14)0－|1－tan 60°|－132-.博题3 钝角三角函数取相闭知识的概括使用【博题解读】钝角三角函数常取其余知识概括起去使用，考查概括使用知识办理问题的本领.例8 如图28－124所示，正在△ABC中，AD是BC边上的下，E为AC边的中面，BC＝14，AD＝12，sin B＝4 5．(1)供线段DC的少；(2)供tan∠EDC的值.例9 如图28－125所示，正在△ABC中，AD是BC 边上的下，tan B＝cos∠DAC.(1)供证AC＝BD；(2)若sin C＝1213，BC＝12，供AD的少．例10 如图28－126所示，正在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，BC＝30＋303，供AB的少．博题4 用钝角三角函数办理本量问题【博题解读】加强数教取本量死计的通联，普及数教的应蓄意识，培植应用数教的本领是现正在数教革新的目标，盘绕原章真量，纵瞅近几年各天的中考查题，取解曲角三角形有闭的应用问题逐步成为命题的热面，其主要典型有轮船定位问题、堤坝工程问题、兴办丈量问题、下度丈量问题等，办理百般应用问题时要注意掌控百般图形的特性及解法．例13 如图28－131所示，尔市某中教数教课中活动小组的共教利用所教知识去丈量沱江流经尔市某段的河宽．小凡是共教正在面A处瞅测到对于岸C面，测得∠CAD＝45°，又正在距A处60米近的B处测得∠CBA＝30°，请您根据那些数据算出河宽是几?(截止死存小数面后二位)例14 如图28－132所示，某边防巡逻队正在一个海滨浴场岸边的A面处创制海中的B面有人供救，便坐时派三名救死员前去营救．1号救死员从A面间接跳进海中；2号救死员沿岸边(岸边不妨瞅成是曲线)背前跑到C 面再跳进海中；3号救死员沿岸边背前跑300米到离B面迩去的D面，再跳进海中，救死员正在岸上跑的速度皆是6米／秒，正在火中游泳的速度皆是2米/秒．若∠BAD＝45°，∠BCD＝60°，三名救死员共时从A面出收，请证明谁先到达营救天面B．(参照数据2≈1.4，3≈1.7)例15 如图28－133所示，某货船以24海里/时的速度将一批要害物资从A处运往正东目标的M处，正在面A处测得某岛C正在它的北偏偏东60°目标上，该货船航止30分钟后到达B处，此时再测得该岛正在它的北偏偏东30°目标上；已知正在C岛周围9海里的天区内有暗礁，若货船继承背正东目标航止，该货船有无触礁伤害?试证明缘由．例16 如图28－134所示，某幢大楼顶部有一齐广告牌CD，甲、乙二人分别正在相距8米的A，B二处测得D面战C面的俯角分别为45°战60°，且A，B，F三面正在一条曲线上，若BE＝15米，供那块广告牌的下度．(3≈1.73，截止死存整数)例17 如图28－135所示，某火库大坝的横断里是梯形，坝顶宽AD＝2.5m，坝下4 m，背火坡的坡度是1：1，迎火坡的坡度是1：1.5，供坝底宽BC.例18 如图28－136所示，山顶建有一座铁塔，塔下CD＝30m，某人正在面A处测得塔底C的俯角为20°，塔顶D的俯角为23°，供此人距CD的火仄距离AB．(参照数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364，sin 23°≈0.391，cos 23°≈0.921，tan 23°≈0.424)二、程序要领博题博题5 公式法【博题解读】原章的公式很多，流利掌握公式是办理问题的闭键．例19 当0°＜α＜90°时，供21sincosαα-的值．三、思维要领博题博题6 类比思维【博题解读】供圆程中已知数的历程喊干解圆程，供曲角三角形中已知元素的历程喊干解曲角三角形，果此对于解曲角三角形的观念的明白可类比解圆程的观念．咱们不妨像解圆程(组)一般供曲角三角形中的已知元素．例20 正在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对于边分别为a，b，c，已知a＝52，b＝152，解那个曲角三角形．．博题7 数形分离思维【博题解读】由“数”思“形”，由“形”念“数”，二者巧妙分离，起到互通、互译的效率，是办理几许问题时常使用的要领之一．例21 如图28－137所示，已知∠α的末边OP⊥AB，曲线AB的圆程为y＝－33x＋33，则cosα等于 ( )A．12 B．22C．32 D．33博题8 分类计划思维【博题解读】当截止不克不迭决定，且有多种情况时，对于每一种大概的情况皆要举止计划．例22 一条物品走背的下速公路上有二个加油站A，B，正在A 的北偏偏东45°目标上另有一个加油站C，C到下速公路的最短距离是30 km，B，C间的距离是60 km．要通过C建一条笔挺的公路取下速公路相接，使二路接叉心P到B，C的距离相等，供接叉心P取加油站A的距离．(截止可死存根号)博题9 转移思维例24 如图28－140所示，A，B二皆会相距100km．现计划正在那二座皆会中间兴办一条下速公路(即线段AB)，经丈量，森林呵护核心P正在A皆会的北偏偏东30°战B皆会的北偏偏西45°的目标上．已知森林呵护区的范畴正在以P面为圆心，50 km为半径的圆形天区内．请问计划兴办的那条下速公路会不会脱越呵护区．为什么?(参照数据：3≈1.732，2≈1.414)例25 小鹃教完解曲角三角形知识后，给共桌小素出了一道题：“如图28－141所示，把一弛少圆形卡片ABCD搁正在每格宽度为12 mm的横格纸中，恰佳四个顶面皆正在横格线上．已知α＝36°，供少圆形卡片的周少．”请您帮小素解问那道题．(截止死存整数；参照数据：sin 36°≈0．6，cos 36°≈0．8，tan 36°≈0.7)例26 如图28－142所示，某住户楼I下20米，窗户往北．该楼内一楼住户的窗台离大天距离CM为2米，窗户CD下1．8米．现计划正在I楼的正北圆距1楼30米处新建一住户楼Ⅱ．当正午时刻太阳光芒取大天成30°角时，要使Ⅱ楼的影子不效率I楼所有住户的采光，新建Ⅱ楼最下只可盖几米?。

人教版数学九年级下册锐角三角函数—知识讲解

人教版数学九年级下册锐角三角函数—知识讲解【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成Ca b，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0．要点二、特殊角的三角函数值要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B．C．D．【思路点拨】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．【答案】D．【解析】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．举一反三：【高清课程名称：锐角三角函数高清ID号：395948关联的位置名称（播放点名称）：例1（1）-（2）】【变式】在RtΔABC中，∠C=90°，若a=3，b=4，则c=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】c= 5 ，sinA=35，cosA=45，sinB=45，cosB=35．类型二、特殊角的三角函数值的计算2．求下列各式的值：(1)（2015•茂名校级一模）6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°；(2)（2015•乐陵市模拟）sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°；(3)（2015•宝山区一模）+tan60°﹣．【答案与解析】解：（1）原式==122．(2)原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+Ca bc=63-；(3)原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2=322+．【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．举一反三：【高清课程名称：锐角三角函数高清ID号：395948关联的位置名称（播放点名称）：例1（3）-（4）】【变式】在RtΔABC中，∠C=90°，若∠A=45°，则∠B=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】∠B=45°，sinA=22，cosA=22，sinB=22，cosB=22．类型三、锐角三角函数之间的关系3．（2015•河北模拟）已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0（1）试判断△ABC的形状．（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．【答案与解析】解：（1）∵|1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△ABC是锐角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．【总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4．如图所示，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ，若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【答案与解析】连结AC ，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACP ＝90°，又∵ ∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ，∴ △PCD ∽△PAB ，∴PC CDPA AB=．又∵ CD ＝6，AB ＝10， ∴ 在Rt △PAC 中，63cos 105PC CD APC PA AB ∠====．【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC ，由AB 是⊙O 的直径得∠ACB ＝90°，cos PC APC PA ∠=，PC 、PA 均为未知，而已知CD ＝6，AB ＝10，可考虑利用△PCD ∽△PAB 得PC CDPA AB=．5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【答案与解析】(1)1； (2)0＜sadA ＜2；(3)如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD ＝AB ＝5a ，由3sin 5BC A AB ==得BC ＝3a ， ∴ 22(5)(3)4AC a a a =-=，∴ CD ＝5a-4a ＝a ，22(3)10BD a a a =+=，∴ sadA 5BD AD ==．【总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA ＝1；(2)在图①中设想AB ＝AC的长固定，并固定AB 让AC 绕点A 旋转，当∠A 接近0°时，BC 接近0，则sadA 接近0但永远不会等于0，故sadA ＞0，当∠A 接近180°时，BC 接近2AB ，则sadA 接近2但小于2，故sadA ＜2；(3)将∠A 放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．。

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