建筑力学(5章)
合集下载
建筑力学(王志)第5章3
A
1
30°
B
W 2
30°
C
5.8
应力集中的概念
受轴向拉伸或压缩的杆件，其横截面上的应力是均匀的。 如果杆件的截面尺寸发生了变形，应力就不再均匀分布了。
d/2 r d/2
maxD n来自mr d5.8
应力集中的概念
位于切口处的应力急剧增加，离切口越远应力越趋于均 匀，这种现象称为应力集中。
max
5.6 材料在拉伸和压缩时的力学性能
结论： （1）弹性模量E是弹性阶段直线OA的斜率。 tanα=σ/ε=E
（2）材料服从虎克定律的最高应力值是比例极 限 σp （3）材料的两个强度指标： 屈服极限。强度极限。
5.6 材料在拉伸和压缩时的力学性能
两个塑性指标:
断后伸长率
0
l1 l0 100% l0
F
t1=12mm t2=20mm t1=12mm
F=100kN
F
F=100kN
5.10 拉（压）杆连接部分的强度计算
取一半 F/2 F/2
t1=12mm t2=20mm t1=12mm
F=100kN
取单一铆钉 F/2n F/n F/2n V1=F/2n 按剪切强度假设有 n个铆钉： F V1
F/n V1
200
5
10 (%)
15
20
5.6 材料在拉伸和压缩时的力学性能
对于没有明显屈服阶段的塑性材料，用名义屈服极限 σ 0.2来表示。
0.2
o
0.2%
5.6 材料在拉伸和压缩时的力学性能
（二）、铸铁拉伸试验
150
1）无明显的直线段； 2）无屈服阶段； 3）无颈缩现象；
建筑力学第五章 平面体系的几何组成分析(00001)[精]
![建筑力学第五章 平面体系的几何组成分析(00001)[精]](https://img.taocdn.com/s3/m/c22cc24a31b765ce05081475.png)
建筑力学电子教案
第五章 平面体系的几何组成分析
§5–2 刚片、自由度、联系的概念
1、刚片：在平面体系中将刚体称为刚片。 2、自由度：确定体系位置时所需要的独立参数（坐标）的数目。
⑴ 平面上的点有两个自由度
y
x
o
A
y x
独立变化的几何参
数为：x、y。
建筑力学电子教案
第五章 平面体系的几何组成分析
Ⅱ Ⅰ
建筑力学电子教案
第五章 平面体系的几何组成分析
瞬变体系：原为几何可变体系，但经过微小位移后转化为 几何不变体系。
瞬变体系特点：瞬变体系承受荷载后，构件将产生很大的
内力，故不能用作建筑结构。属于几何可
变体系范畴。
例如:
o.
上述情况为瞬变体系。
建筑力学电子教案
第五章 平面体系的几何组成分析
小结
建筑力学电子教案
第五章 平面体系的几何组成分析
例8: 对图示体系作几何组成分析
例6
解： 此体系的
支座连杆只有 三根，且不完 全平行也不交 于一点，故可 只分析体系本 身。
第五章 平面体系的几何组成分析
当拆到结点６时，二元体的两杆共线，故此体系为瞬变体系， 不能作为结构。
. 建筑力学电子教案
第五章 平面体系的几何组成分析
.
例7
O1
O2
解：
Ⅰ
ⅡⅡ
Ⅲ
ADCF和BECG这两部分都是几何不变的，作为刚片Ⅰ、Ⅱ， 地基为刚片Ⅲ。而联结三刚片的O1、 O2、C不共线，故为几何不 变体系，且无多余联系。
建筑力学电子教案
第五章 平面体系的几何组成分析
5、计算自由度的讨论:
任何平面体系的计算自由度，其计算结果将有以下三种情 况：
建筑力学课件：第5章重心和形心
1. 重心坐标的一般公式
z
右图认为是一个空间力系，则
C1
C Ci
P=∑ΔPi
ΔP1
P ΔPi
合力的作用线通过物体的重
心，由合力矩定理
x
o
z1 zC zi
y1 yyiC x1 xC
xi
y
My (P) My (Δ Pi )
P xC Δ Pi xi
xC
Δ Pi xi P
同理有
yC
Δ Pi yi P
20
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
200
角钢截面的尺寸如图所 示，试求其形心位置。
20
O 150
x
力学教程电子教案
重心和形心
15
例题 5-2
解：取Oxy坐标系如图所示，将角钢分割成两个
矩形，则其面积和形心为：
A1=（200-20）×20=3600 mm2
x1 = 10 mm y1 = 110 mm A2 = 150×20=3000 mm2 x2 = 75 mm
重心和形心
12
例题 5-1
y b(y)
解：建立如图所示坐标系，
则
xC= 0
dy
现求 yC 。
C
y
.O
x
b( y) 2 R2 y2
2R
d A b(y) d y 2 R2 y2 d y
则
Sx
y dA
A
R
2y 0
R2
y2
d
y
2 (R2 3
3
y2)2
|
R 0
2 3
R3
力学教程电子教案
重心和形心
zi与微元体的位置坐标相同。所有这些重力构成一个 汇交于地心的汇交力系。由于地球半径远大于地面上
建筑力学05(学习版)
9.3.3 绘制剪力图和弯矩图的步骤 5.2 内力方程 ﹒内力图
例1：简支梁受均布荷载q作用，作此梁的内力图。
解： （1）计算支座反力 RA=RB=ql/2（↑） （2） 列内力方程 列出剪力方程和弯矩方程分别为 Q(x)=RA-qx=ql/2-qx （0＜x＜l） M(x)=RAx-qx2/2=qlx/2-qx2/2 （0≤x≤l） （3） 画剪力图和弯矩图
1. 杆件的内力
（2） 杆端内力的表示
MAB FNAB A FSAB B FSBA MBA FNBA
5.1 杆件的内力﹒截面法
2. 截面法 截面法：将杆件假想地切开以显示内力，并由平衡条件 建立内力与外力或由外力确定内力的方法。 截断 隔离 平衡
① 所取隔离体（结构整体、局部）周围的所有约束必须 全部切断并代以约束力、内力。 ② 对未知外力可先假定其方向，由计算后所得结果的正 负判断所求力的实际方向，并要求在计算结果后的圆括号 内用箭头表示实际方向。 ③ 计算截面的内力时，截面两侧的隔离体可任取其一， 一般按其上外力最简原则选择。截面内力均按规定的正方 向画出。
?
M A B l M A B l l M A l M B l 2M M M A B l l C C M C l M M C
M
第五章
静定结构的内力计算
5.4 静定平面刚架
5.4 静定平面刚架
刚架：一般是由直杆（如梁、柱）组成的具有 刚性结点的结构。
q FP FP q q
5.4 静定平面刚架
1.刚架的特点 （1） 内力：弯矩、剪力、轴力 （2） 变形
5.1 杆件的内力﹒截面法
1. 杆件的内力
F1
m
F3
Fn
F2 F1
第五章 静定结构的内力分析
1 a) A 1 B
MB
2 2
MC
C
解：1.计算外力偶矩
M A 9549
m T 1592N· 637N· m
b) T c)
M B 9549
x
637N· m
x
2.求各段扭矩 AB段：T1= MA=1592N· m BC段：T2= MA- MB=1592-955=637N· m
30 955N m 300 20 M C 9549 637N m 300
压缩与弯曲的组合
弯曲与扭转的组合
在进行结构设计时，为保证结构安全正常工
作，要求各构件必须具有足够的强度和刚度。解
决构件的强度和刚度问题，首先需要确定危险截
面的内力,内力计算是结构设计的基础。
5—1 轴向拉压杆
沿杆件轴线作用一对相反的外力，杆件将发生沿轴线方向
的伸长或缩短，这种变形称为轴向拉伸或压缩。
建筑力学
第5章 静定结构的内力分析
杆件结构——由杆件组成的结构。
杆件——长度远大于其横截面的宽度和高度的构件。
几何特点：横截面是与杆件长度方向垂直的截面，而轴线 是各横截面形心的连线。细而长，即l>>h，l>>b。
杆件结构
杆又可分为直杆和曲杆。
受外力作用后，其几何形状和尺寸一般都要发生改 变，这种改变称为变形。作用在构件上的荷载是各种 各样的，因此，杆件的变形形式就呈现出多样性，并 且有时比较复杂，但分解来看，变形的基本形式却只 有四种：
3.求截面2-2的内力
Fy 0 : FAy F FQ 2 0， 5 1 得FQ 2 FAy F F F F 4 4 M 2 0 : 2Fl M 2 0，
MB
2 2
MC
C
解：1.计算外力偶矩
M A 9549
m T 1592N· 637N· m
b) T c)
M B 9549
x
637N· m
x
2.求各段扭矩 AB段：T1= MA=1592N· m BC段：T2= MA- MB=1592-955=637N· m
30 955N m 300 20 M C 9549 637N m 300
压缩与弯曲的组合
弯曲与扭转的组合
在进行结构设计时，为保证结构安全正常工
作，要求各构件必须具有足够的强度和刚度。解
决构件的强度和刚度问题，首先需要确定危险截
面的内力,内力计算是结构设计的基础。
5—1 轴向拉压杆
沿杆件轴线作用一对相反的外力，杆件将发生沿轴线方向
的伸长或缩短，这种变形称为轴向拉伸或压缩。
建筑力学
第5章 静定结构的内力分析
杆件结构——由杆件组成的结构。
杆件——长度远大于其横截面的宽度和高度的构件。
几何特点：横截面是与杆件长度方向垂直的截面，而轴线 是各横截面形心的连线。细而长，即l>>h，l>>b。
杆件结构
杆又可分为直杆和曲杆。
受外力作用后，其几何形状和尺寸一般都要发生改 变，这种改变称为变形。作用在构件上的荷载是各种 各样的，因此，杆件的变形形式就呈现出多样性，并 且有时比较复杂，但分解来看，变形的基本形式却只 有四种：
3.求截面2-2的内力
Fy 0 : FAy F FQ 2 0， 5 1 得FQ 2 FAy F F F F 4 4 M 2 0 : 2Fl M 2 0，
建筑力学 第五章(最终)
dA 2 y dz 2 R2 Z 2dz
于是求得
Sy
z dA
A
R
z
O
2
R2 z2 dz 2 R3 3
2R3
zc
Sy A
3 πR2
4R 3π
2
图5-6
5. 2. 3 组合图形的面积矩计算
当图形是由若干个简单图形（如矩形、圆形和三角形等）组合而成时， 这类图形称为组合图形。由于简单图形的面积及其形心位置均为已知，而且 由面积矩的定义可知，组合图形对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴 面积矩的代数和，即
5.1.2 物体重心的坐标公式
1. 重心坐标的一般公式
设有一物体，如图5-1所示。重心 c 坐 标为(xc，yc，zc)，物体的容重为 γ，总体积 为V。将物体分割成许多微小体积 ΔVi，每 个微小体积所受的重力 PGi Vi ， 其作 用点坐标(xi，yi，zi)。整个物体所受的重力
为 PG PGi 。
n
xc
A1x1c A2x2c An xnc A1 A2 An
Ai xic
i 1 n
Ai
i 1
n
yc
A1 y1c A2 y2c An ync A1 A2 An
Ai yic
i 1 n
Ai
i 1
(5-6)
【例5-1】试求图5-2 所示 Z 形平面图形的形心。
解：将Z 形图形视为由三个矩形图形组合而成，以 c1 、c2 、c3 分别表示 这些矩形的形心。取坐标系如图5-2 所示，各矩形的面积和形心坐标为
5. 2. 2 面积矩与形心的关系
由平面图形的形心坐标公式 (5-4) 和面积矩的定义可得
yc
A
《建筑力学》第五章轴向拉伸和压缩研究报告
断裂时 曲线最高点所对应的应力称为抗拉强度 b 。
材料压缩时的力学性质 材料压缩试验的试样通常采用圆截面(金属材料)或方截面(混凝土、石料等非金 属材料)的短柱体如图 5-19 所示．为避免压弯、试样的长度与直径 d 或截面边长 b 的 比值一般规定为 1—3 倍。
图 5-19
图 5-20
（1）低碳钢的压缩试验
○ 2 断面收缩率
设试样试验段的原面积为 A，断裂后断口的最小横截面的面积为 A1 ，则比值
A A1 100%
A
（5-8）
称为断面收缩率。低碳钢 Q235 的断面收缩串为 60% 。
2、其他塑性材料拉伸时的性质 如图 5-16 所示为几种塑性材料拉伸时的应力一应变因。它们的共同特点是断裂 时均具有较大的塑性变形，不同的是有些金属材料没有明显的屈服阶段。对于不存在 明显屈服阶段的塑性材料，工程规定其产生 0. 2％的塑性应变时所对应的应力作为屈
N2 3P 2P 0 N2 P （压力） N2 得负号，说明原先假设为拉力是不正确的，应为压力，同时又表明轴力是负的。
同理，取截面 3-3 如图 5-6（d），由平衡方程 x 0 得：
N3 P 3P 2P 0 N3 2P
如果研究截面 3-3 右边一段 [图 5-6（e）]，由平衡方程 x 0 得：
• 第一，假想用一横截面将物体截为两部分，研究其 中一部分，弃去另一部分。
• 第二，用作用于截面上的内力代替弃去部分对研究 部分的作用。
• 第三，建立研究部分的平衡条件，确定未知的内力 。
A
2、应力
现在假定在受力杆件中沿任意截面 m—m 把杆件截开，取出左边部分进行分析（图
5-2），围绕截面上任意一点 M 划取一块微面积 A，如果作用在这一微面积上的内力为 p ，那么 p 对 A的比值，称为这块微面积上的平均应力，即
材料压缩时的力学性质 材料压缩试验的试样通常采用圆截面(金属材料)或方截面(混凝土、石料等非金 属材料)的短柱体如图 5-19 所示．为避免压弯、试样的长度与直径 d 或截面边长 b 的 比值一般规定为 1—3 倍。
图 5-19
图 5-20
（1）低碳钢的压缩试验
○ 2 断面收缩率
设试样试验段的原面积为 A，断裂后断口的最小横截面的面积为 A1 ，则比值
A A1 100%
A
（5-8）
称为断面收缩率。低碳钢 Q235 的断面收缩串为 60% 。
2、其他塑性材料拉伸时的性质 如图 5-16 所示为几种塑性材料拉伸时的应力一应变因。它们的共同特点是断裂 时均具有较大的塑性变形，不同的是有些金属材料没有明显的屈服阶段。对于不存在 明显屈服阶段的塑性材料，工程规定其产生 0. 2％的塑性应变时所对应的应力作为屈
N2 3P 2P 0 N2 P （压力） N2 得负号，说明原先假设为拉力是不正确的，应为压力，同时又表明轴力是负的。
同理，取截面 3-3 如图 5-6（d），由平衡方程 x 0 得：
N3 P 3P 2P 0 N3 2P
如果研究截面 3-3 右边一段 [图 5-6（e）]，由平衡方程 x 0 得：
• 第一，假想用一横截面将物体截为两部分，研究其 中一部分，弃去另一部分。
• 第二，用作用于截面上的内力代替弃去部分对研究 部分的作用。
• 第三，建立研究部分的平衡条件，确定未知的内力 。
A
2、应力
现在假定在受力杆件中沿任意截面 m—m 把杆件截开，取出左边部分进行分析（图
5-2），围绕截面上任意一点 M 划取一块微面积 A，如果作用在这一微面积上的内力为 p ，那么 p 对 A的比值，称为这块微面积上的平均应力，即
第5章 截面的几何参数
i =1
i
∑ Ai z C
zC =
i =1 n
i =1 n
∑ Ai
i
n
7.55 × 10 4 = mm = 39.74mm 1200 + 700
∑ Ai
i =1
3.75 × 10 4 = mm = 19.74mm 1200 + 700
惯性矩、惯性积、 5.2 惯性矩、惯性积、极惯性矩
5.2.1惯性矩 5.2.1惯性矩 惯性矩是面积与它到轴的距离的平方之积。 惯性矩
zc
∑zW =
i
i
W
因此，一般物体的重心坐标的公式为： 因此，一般物体的重心坐标的公式为： 重心坐标的公式为
xc
∑ xW =
i
i
W
yc
∑ yW =
i
i
W
zc
∑zW =
i
i
W
W ＝ΣWi
匀质物体，用体积来计算重心坐标
W = γV
xc
∑ xV =
V
i i
yc
∑ yV =
V
i i
i i
zc
∑zV =
V
二、组合图形的静矩 根据平面图形静矩的定义，组合图形对 轴 根据平面图形静矩的定义，组合图形对z轴（或y轴 轴 ）的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即 的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，
S z = A1 y C1 + A2 y C 2 + ⋯⋯ + An y Cn = ∑ Ai y Ci i =1 n S y = A1 z C1 + A2 z C 2 + ⋯⋯ + An z Cn = ∑ Ai z Ci i =1
建筑力学第五章_静定结构位移计算
建筑力学第五章_静定结构位移计算静定结构位移计算是建筑力学中的重要内容，通过位移计算可以得到结构在荷载作用下的变形情况，从而评估结构的稳定性和安全性。
本文将介绍静定结构位移计算的基本原理和具体步骤。
首先，我们需要明确什么是静定结构。
静定结构指的是结构所有部件之间的变形由完全互相嵌入融合而不产生相对变动，这样的结构称为静定结构。
而非静定结构则是指结构所有部件之间的变形不会由于完全互相嵌入而互相制约的结构。
静定结构位移计算的基本原理是根据平衡条件和变形约束条件进行计算。
具体步骤如下：1.建立结构模型：根据实际情况，建立结构的几何形状和支撑条件的数学模型。
可以采用杆件模型、面单元模型等方法进行简化。
2.确定荷载：根据设计要求和实际情况确定结构所受的荷载，包括重力荷载、风荷载、地震荷载等。
3.建立方程：根据平衡条件，建立结构的受力平衡方程。
在平衡方程中，包括结构的受力平衡方程和变形约束条件等。
4.求解方程：根据建立的方程进行求解。
可以通过解析方法、数值方法或者计算机模拟等方式进行求解。
5.分析结果：得到结构在荷载作用下的位移情况。
根据计算结果进行分析，评估结构的稳定性和安全性。
如果结果超出了允许的范围，则需要对结构进行调整或优化重新计算。
静定结构位移计算过程中需要注意的是，要考虑结构的边界条件和材料的性质等因素。
边界条件包括支座的约束条件和结构的支承情况等，材料的性质包括刚度、强度等。
静定结构位移计算是建筑力学中的重要内容，对于结构的安全性和稳定性评估非常关键。
通过位移计算，可以得到结构的变形情况，为结构设计和优化提供重要的参考依据。
但需要注意的是，位移计算只能适用于静定结构，对于非静定结构需要采用其他方法进行分析和计算。
总之，静定结构位移计算是建筑力学中的重要内容，通过建立结构模型、确定荷载、建立方程、求解方程和分析结果等步骤，可以得到结构在荷载作用下的位移情况。
这对于评估结构的稳定性和安全性非常有帮助。
建筑力学_高职05
FN2 150 103 N 1.1 MPa 2 -6 2 ABC 370 10 m
∴ 最大正应力smax＝1.1MPa（压），发生在柱子下 段各横截面上，这种应力较大的点称为危险点。
5.4 拉压杆的变形 杆件在轴向拉伸或压缩时，所产生的主要变 形是沿轴线方向的伸长或缩短，称为纵向变形； 伴随着纵向变形，垂直于杆轴方向的横向尺寸也 会缩小或增大，称为横向变形。
第五章 轴向拉伸及压缩
主要内容：杆件在轴向拉压时的内力、应力和 变形； 材料在拉压时的力学性能；轴向拉 压杆的强度计算； 连接件的强度计算。
5.1 工程实例与计算简图
轴向拉伸或压缩杆件的工程实例
(a) 桁架中的杆件
(b) 斜拉桥中的拉索
(c) 闸门启闭机中的螺杆
承受轴向拉伸或压缩的杆件称为拉 ( 压 ) 杆。实 际拉压杆的几何形状和外力作用方式各不相同，若 将它们加以简化，则都可抽象成以下的计算简图。 其受力特点是外力或外力合力的作用线与杆件的轴 线重合；变形特征是沿轴线方向的伸长或缩短，同 时横向尺寸也发生变化。
当杆的变形为弹性变形时，横向线应变´与纵 向线应变 的绝对值之比是一个常数。此比值称为 泊松比或横向变形系数，用ν 表示，即： ν 是一个量纲为1的量，其数值随材料而异，可 以通过试验测定。 弹性模量E 和泊松比ν 都是材料固有的弹性常数， 由于 ´ 与 正负号总是相反，可得横向线应变与纵 向线应变或正应力的关系表达式： s E
2）屈服阶段（BC段） 此阶段内应力-应变曲线上下波动，应力基本保持 不变而应变急剧增加 ，材料暂时失去了抵抗变形的能 力，这种现象称为屈服或 流动。在屈服阶段中，对 应于应力-应变曲线首次下 降后的最低点应力值称为 屈服下限。通常，屈服下 限值较稳定，一般将其作 为材料的屈服极限，用 s s 表示。如：Q235钢的屈服 极限ss =235MPa。
∴ 最大正应力smax＝1.1MPa（压），发生在柱子下 段各横截面上，这种应力较大的点称为危险点。
5.4 拉压杆的变形 杆件在轴向拉伸或压缩时，所产生的主要变 形是沿轴线方向的伸长或缩短，称为纵向变形； 伴随着纵向变形，垂直于杆轴方向的横向尺寸也 会缩小或增大，称为横向变形。
第五章 轴向拉伸及压缩
主要内容：杆件在轴向拉压时的内力、应力和 变形； 材料在拉压时的力学性能；轴向拉 压杆的强度计算； 连接件的强度计算。
5.1 工程实例与计算简图
轴向拉伸或压缩杆件的工程实例
(a) 桁架中的杆件
(b) 斜拉桥中的拉索
(c) 闸门启闭机中的螺杆
承受轴向拉伸或压缩的杆件称为拉 ( 压 ) 杆。实 际拉压杆的几何形状和外力作用方式各不相同，若 将它们加以简化，则都可抽象成以下的计算简图。 其受力特点是外力或外力合力的作用线与杆件的轴 线重合；变形特征是沿轴线方向的伸长或缩短，同 时横向尺寸也发生变化。
当杆的变形为弹性变形时，横向线应变´与纵 向线应变 的绝对值之比是一个常数。此比值称为 泊松比或横向变形系数，用ν 表示，即： ν 是一个量纲为1的量，其数值随材料而异，可 以通过试验测定。 弹性模量E 和泊松比ν 都是材料固有的弹性常数， 由于 ´ 与 正负号总是相反，可得横向线应变与纵 向线应变或正应力的关系表达式： s E
2）屈服阶段（BC段） 此阶段内应力-应变曲线上下波动，应力基本保持 不变而应变急剧增加 ，材料暂时失去了抵抗变形的能 力，这种现象称为屈服或 流动。在屈服阶段中，对 应于应力-应变曲线首次下 降后的最低点应力值称为 屈服下限。通常，屈服下 限值较稳定，一般将其作 为材料的屈服极限，用 s s 表示。如：Q235钢的屈服 极限ss =235MPa。
建筑力学 第五章答案
624435-2e 解：先后取4、5、3、6、2结点为研究对象，受力如图所示。
4结点：⎩⎨⎧=-=→⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯--=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯--→⎩⎨⎧=⨯--=⨯--→⎪⎩⎪⎨⎧==∑∑kN kN 316.30232202323210cos 0sin 10045432243452243434543N N N N N N N N X Y αα 5结点：⎩⎨⎧-===→⎩⎨⎧=--=-→⎪⎩⎪⎨⎧==∑∑kN kN130100455456535654NN N N N N Y X3结点：3432353432363432363635343236320cos cos cos 0sin sin sin 00222 1.580 4.74X N N N N N N Y N N N N N N N N N αααααα⎧=--=⎧⎪→→⎨⎨+-+==⎩⎪⎩--=⎧⎪⎪=⎧⎪→⎨⎨+-+==-⎩⎪⎪⎪⎩∑∑kN kN 6结点：656367676263620cos 0 4.501sin 0 1.500X N N N N N N N Y αα⎧=+-==⎧⎧⎪→→⎨⎨⎨---==-=⎩⎩⎪⎩∑∑kN kN2结点：23212723212726232127232127260cos cos cos 0sin sin sin 0002240X N N N N N N N Y N N N N N N N ααβααβ⎧=--=⎧⎪→→⎨⎨-++==⎩⎪⎩⎧-=⎪⎪⎪⎪⎨⎪++=⎪⎪⎪⎩∑∑2127 6.321.803N N =-⎧→⎨=⎩kN kN(a)方法二：内力分量法，先后研究4、5、3、6、2结点（1）4结点：43434345434543450101 3.1603Y Y Y NN X N X NX⎧=--==-=-⎧⎧⎧⎪→→→⎨⎨⎨⎨--==-==⎩⎩⎩⎪⎩∑∑kNkN由比例：434322/3X Y==，知：434545453.1633N X N X=-=-=-=，。
第5章 结构的位移计算
该截面的挠度和转角的代数和。
当每一项荷载所引起的挠度为同一方向（如均沿 y 轴方向 ), 其转角是在同一平面内 ( 如均在 xy 平面内 ) 时,则叠加就是
代数和。
17
使用荷载叠加原理时的注意事项：
1、能画出梁的挠曲线的大致形状。 2、由梁的挠曲线的大致形状判定挠度、转角的正负号 3、记住一些常用、简单情况梁的变形结果。
1 W1 F1D1 2
W2 F2 D 2
39
3. 变形体的虚功原理： 对于杆件结构(非刚体)，在发生变形的过程中，不但各杆件 发生位移，内部材料同时也产生应变，虚功原理可以表述 如下：设结构（包括变形体）在某力系处于平衡，对于结 构上产生的任何微小的虚位移，外力所作的虚功总和等于 该结构各微段上内力所作的变形虚功总和。简单地说，外 力虚功等于变形虚功（或称内力虚功） W外=W内 或写成 W=Wi 上式称为虚功方程，式中W——外力虚功 Wi——内力虚功 (对于刚体而言,Wi=0)
28
梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
提高梁刚度的措施
1）选择合理的截面形状
29
调整跨长和改变结构 设法缩短梁的跨长，将能显著地减小其挠度和转角。这 是提高梁的刚度的一个很又效的措施。
(a) q
桥式起重机的钢梁通常采
用两端外伸的结构（图
6 -6 a），就是为了缩短 跨长而减小梁的最大挠度 值。
(b) q A
f
CM
C
l
q
5 ql Ml 384 16EI
2 z
()
z
q Bq
θ θ
A
3
Aq
θ AM
Ml
A
q Aq
m
A
C f cq
建筑力学第五章梁弯曲时位移课件
24 EI
ql3 48 EI
q B1
q / 2l3
24 EI
ql3 48 EI
建筑力学
在集度为q/2的反对称均布荷 载作用下，由于挠曲线也是与跨
C
中截面反对称的，故有
wC 2 0 注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该 截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，因此可将左半跨 梁 AC 和右半跨梁 CB分别视为受集度为 q/2 的均布荷载作 用而跨长为 l/2 的简支梁。于是利用附录表中的公式有
S* z,max
73
mm
100
mm
50
mm
100
11
mm
73
7
mm
100
11
2
mm
104 000 mm 3
建筑力学
当然， Sz*,max的值也可按下式得出：
S
* z,m
ax
73
mm
11
mm
100
11 2
mm
100
11
mm
7
mm
100
2
11
mm
104000 mm3
每根20a号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得为 Iz =1780 cm4
ql3 384 EI
7ql3 384 EI
建筑力学
§5-4 梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施
一. 梁的刚度校核
对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时，
为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应该满
足刚度条件：
wm a x l
Байду номын сангаас
w l
qmax [q ]
式中，l为跨长，
ql3 48 EI
q B1
q / 2l3
24 EI
ql3 48 EI
建筑力学
在集度为q/2的反对称均布荷 载作用下，由于挠曲线也是与跨
C
中截面反对称的，故有
wC 2 0 注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该 截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，因此可将左半跨 梁 AC 和右半跨梁 CB分别视为受集度为 q/2 的均布荷载作 用而跨长为 l/2 的简支梁。于是利用附录表中的公式有
S* z,max
73
mm
100
mm
50
mm
100
11
mm
73
7
mm
100
11
2
mm
104 000 mm 3
建筑力学
当然， Sz*,max的值也可按下式得出：
S
* z,m
ax
73
mm
11
mm
100
11 2
mm
100
11
mm
7
mm
100
2
11
mm
104000 mm3
每根20a号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得为 Iz =1780 cm4
ql3 384 EI
7ql3 384 EI
建筑力学
§5-4 梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施
一. 梁的刚度校核
对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时，
为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应该满
足刚度条件：
wm a x l
Байду номын сангаас
w l
qmax [q ]
式中，l为跨长，
建筑力学(王志)第5章3
应变能
在线弹性范围内，杆件由于 弹性变形而积聚在杆内的能 量称为弹性应变能，简称为 应变能。这个能量将随着外 力的逐渐撤除而逐渐释放， 在释放应变能的过程中，杆 件可对其他物体作功。
5.9
应变能的概念
忽略能量的损耗，根据能量守恒原理，外力对杆件所作 的功W在数值上等于积蓄在杆件的应变能U。
W＝ U
断面收缩率
5% 为塑性材料
5% 为脆性材料
低碳钢的 20 — 30% 60%
A0 A1 100% A0
为塑性材料
卸载定律及冷作硬化
e P
d
e
b
b
f
即材料在卸载过程中 应力和应变是线形关系， 这就是卸载定律。 材料的比例极限增高， 延伸率降低，称之为冷作硬 化或加工硬化。
5.6 材料在拉伸和压缩时的力学性能
理论分析
材料力学包含 的两个方面
实验研究
测定材料的力学 性能；解决某些 不能全靠理论分 析的问题
力学性能(机械性质)：材料在外力作用下表现 出的变形、破坏等方面的特性
国家标准《金属拉伸试验方法》（GB228-2002）
试 件 和 实 验 条 件
常 温 、 静 载
①按照破坏可能性
1、假设
② 反映受力基本特征 ③ 简化计算
2、计算名义应力 3、确定许用应力
F F
直接试验结果
单剪
双剪
5.10 拉（压）杆连接部分的强度计算
分析连接件可能的破坏形式及原因：
实际上剪切面或挤压面上的应力分布复杂，为了方便计算：
1.假设剪切面上的切应力是均匀分布的（称为名义切应力）
2、挤压强度
F c [c] d
建筑力学课件：第5章重心和形心
力学教程电子教案
重心和形心
1
第5章 重心和形心
§5-1 重心和形心的坐标公式
§5-2 确定重心和形心位置的 具体方法
力学教程电子教案
重心和形心
2
地球表面或表面附近的物体都会受到地心引力。
任一物体事实上都可看成由无数个微元体组成，这些
微元体的体积小至可看成是质点。任一微元体所受重
力（即地球的吸引力）ΔPi ，其作用点的坐标xi、yi、
x A
的读数为1500 N。试算出机床
重心的坐标。
力学教程电子教案
重心和形心
20
作业 5-4
边长为a的均质等厚正方形板 ABCD，被截去等 腰三角形AEB。试求点E的极限位置 ymax以保证剩余 部分AEBCD的重心仍在该部分范围内。yDa来自CaE A
ymax
B
x
力学教程电子教案
重心和形心
21
作业 5-4
1. 重心坐标的一般公式
z
右图认为是一个空间力系，则
C1
C Ci
P=∑ΔPi
ΔP1
P ΔPi
合力的作用线通过物体的重
心，由合力矩定理
x
o
z1 zC zi
y1 yyiC x1 xC
xi
y
My (P) My (Δ Pi )
P xC Δ Pi xi
xC
Δ Pi xi P
同理有
yC
Δ Pi yi P
xi
y
力学教程电子教案
重心和形心
4
重心位置的确定在实际中有许多的应用。例如，
电机、汽车、船舶、飞机以及许多旋转机械的设计、
制造、试验和使用时，都常需要计算或测定其重心
重心和形心
1
第5章 重心和形心
§5-1 重心和形心的坐标公式
§5-2 确定重心和形心位置的 具体方法
力学教程电子教案
重心和形心
2
地球表面或表面附近的物体都会受到地心引力。
任一物体事实上都可看成由无数个微元体组成，这些
微元体的体积小至可看成是质点。任一微元体所受重
力（即地球的吸引力）ΔPi ，其作用点的坐标xi、yi、
x A
的读数为1500 N。试算出机床
重心的坐标。
力学教程电子教案
重心和形心
20
作业 5-4
边长为a的均质等厚正方形板 ABCD，被截去等 腰三角形AEB。试求点E的极限位置 ymax以保证剩余 部分AEBCD的重心仍在该部分范围内。yDa来自CaE A
ymax
B
x
力学教程电子教案
重心和形心
21
作业 5-4
1. 重心坐标的一般公式
z
右图认为是一个空间力系，则
C1
C Ci
P=∑ΔPi
ΔP1
P ΔPi
合力的作用线通过物体的重
心，由合力矩定理
x
o
z1 zC zi
y1 yyiC x1 xC
xi
y
My (P) My (Δ Pi )
P xC Δ Pi xi
xC
Δ Pi xi P
同理有
yC
Δ Pi yi P
xi
y
力学教程电子教案
重心和形心
4
重心位置的确定在实际中有许多的应用。例如，
电机、汽车、船舶、飞机以及许多旋转机械的设计、
制造、试验和使用时，都常需要计算或测定其重心
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
PA M eA 9549 n 120 9549 Nm 300 3819.6N m 3.82kN m
M eB 0.95kN m
M eC 1.27kN m
M eD 1.59kN m
第5章 扭转杆的强度计算
（2）计算扭矩 1 1 2 2
截面1-1：
Mx 0
T2 WP2 14 106 MPa 71.3MPa π 1003 16
比较上述结果，该轴最大切应力位于BC段内任一截面的 边缘各点处，即该轴最大切应力为τmax=71.3MPa。
第5章 扭转杆的强度计算
圆轴扭转的强度计算
一、圆轴的扭转破坏试验与极限应力 圆轴的扭转试件可分别用Q235钢、铸铁等材料做成， 扭转破坏试验是在扭转试验机上进行。试件在两端外力偶
T1 M eB 0
T1 M eB 0.95kN m
截面2-2：
Mx 0
T1
T2 M eB M eA 0
T2 M eA M eB 2.87kN m
T2
第5章 扭转杆的强度计算
3
截面3-3：
Mx 0
T3 M eD 0
3
T3 M eD 1.59kN m
式中：[σC]为材料的许用挤压应力，可查有关设计手册。
注意：若两个相互挤压构件的材料不同，应对挤压强度 小的构件进行计算。
第5章 扭转杆的强度计算
挤压强度条件在工程中同样可以解决三类问题。 但工程中构件产生单纯挤压变形的情况较少，挤压强
度的计算问题往往是和剪切强度计算同时进行。
第5章 扭转杆的强度计算
第5章 扭转杆的强度计算
当挤压面为平面时，挤压计算面积与挤压面面积相等。
当挤压面为半圆柱面时，挤压计算面积为挤压面在圆柱 体的直径平面上的投影面面积。
FP FP
计算挤压面
FP
FP
第5章 扭转杆的强度计算
为了保证构件不发生挤压破坏，要求挤压应力不超过材 料的许用挤压应力，所以挤压强度条件为
Fc c [ c ] Ac
四、扭矩图 表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
T
x
第5章 扭转杆的强度计算
例5-1 传动轴如图示，主动轮A输入功率PA=120kW，从 动轮B、C、D输出功率分别为PB=30kW，PC=40kW， PD=50kW，轴的转速n=300r/min。试作出该轴的扭矩图。 解 （1） 计算外力偶矩
Me作用下，发生扭转变形，直至破坏。
第5章 扭转杆的强度计算
塑性材料（如Q235）试件受扭时，当最大切应力达到 一定数值时，也会发生类似拉伸时的屈服现象，这时的切应 力值称为屈服应力，用τS表示。试件屈服时，也会在试件表 这主要由于Q235钢抗剪强度低于抗拉强度，所以试 面出现纵向和横向的滑移线。屈服阶段后也有强化阶段，直 件因抗剪不足而首先沿横截面发生剪断破坏。 到横截面上的最大切应力达到材料的剪切强度极限τb，试件 就沿横截面被剪断，断口较光滑。
F
第5章 扭转杆的强度计算
F
剪切面
通常把相对错动的截面称为剪切面。 剪切面平行于力的作用线，位于方向相反的两横向外力作 用线之间. 工程中产生剪切变形的构件通常是一些起作用的部件， 称为联接件。
第5章 扭转杆的强度计算
剪切面上的内力 FQ 与截面相切，称为剪力。剪力
仍可用截面法求得。 与剪力相对应的应力为切应力。
2
I p A dA
d T GI p dx
d T dx GI p
代入物理关系式
d G dx
T Ip
第5章 扭转杆的强度计算
横截面上距圆心为 处任一点切应力计算公式。
讨论：
T Ip
1）仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截 面直杆。
第5章 扭转杆的强度计算
圆轴上任一点的切应变，其大小为
G1G d tan dx dx
d dx
此式表明距圆心为 任一点处的与到圆心的距离
成正比。
d —— 扭转角沿长度方向变化率。 dx
第5章 扭转杆的强度计算
2. 物理关系
胡克定律：
G
dx dx
代入上式得： G G d G d
d G dx
第5章 扭转杆的强度计算
3. 静力学关系
T A dA d A G dA dx
2
dA
O
G
令
d A 2dA dx
第5章 扭转杆的强度计算
在切应力τ和τ’作用下，单元体 的两个侧面将发生相对错动，使原来 的长方六面微体变成平行六面微体， 单元体的直角发生微小的改变，这个 直角的改变量γ称为切应变。
´
´
当切应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp)，切应
力与切应变成正比关系，称为剪切胡克定律。
G
建 筑 力 学
第5章扭转杆的强度计算
第5章 扭转杆的强度计算
剪切与挤压的实用计算 剪切的工程实例
铆钉连接
销轴连接
第5章 扭转杆的强度计算
焊接连接
螺栓连接
榫连接
第5章 扭转杆的强度计算
一、剪切与挤压的概念 受力特点：构件受到一对大小相等，方向相反，作用线相 互平行且相距很近的横向外力作用。 变形特点:介于作用力之间的某些截面沿着力的方向产 生相对错动。 这种变形称为剪切变形。 F
1. 几何变形方面 等直圆杆扭转实验观察：
（1）各圆周线均绕轴线作相对转动，且各圆周线的形状、大小及 它们相互之间的距离都没有变化。 （2）各纵向线都倾斜了相同的角度，原来的矩形格变成了平行四 边形，但各边的长度没有改变（在小变形情况下），只是夹角发生 了改变。
第5章 扭转杆的强度计算
Me Me
对圆轴内部的变形可作如下假设：扭转变形前原为平面的横 截面，变形后仍保持平面，且其形状、大小都不改变，只是绕轴 线相对转过一个角度，两相邻横截面之间的距离也保持不变，这 一假设称为圆轴扭转的平面假设。 根据圆轴扭转的平面假设和切应力互等定理、剪切胡克定律可 知：实心圆轴横截面上各点处，只产生垂直于半径的切应力 ， 沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。
A
D 4
32
d
W
D 3
16
O
D
第5章 扭转杆的强度计算
对于空心圆截面
IP dA
2 A
D 4 d 4
32
D 4 1 4
32
式中： d / D
W
I D2
D3 1 4
16
d
d
O D
千万不要出错！
第5章 扭转杆的强度计算
圆轴扭转的内力
扭转的工程实例
第5章 扭转杆的强度计算
框架结构边梁和雨篷梁
第5章 扭转杆的强度计算
一、扭转的概念 受力特点：杆件受到作用面垂直于杆轴线的力偶的作用。
变形特点：相邻横截面绕杆轴产生相对旋转变形。
A
BO Me
A
O B Me
扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。
第5章 扭转杆的强度计算
横截面上边缘点的切应力最大，其值为
max
IP 令 WP R
TR IP
max
数，单位为mm3或m3。
T W
式中WP只与截面的几何尺寸和形状有关，称为抗扭截面系
第5章 扭转杆的强度计算
二、极惯性矩I P和抗扭截面系数WP
IP dA
2 A
对于实心圆截面
IP 2 dA
塑性材料的扭转失效是屈服破坏，故τ0=τS；
脆性材料的扭转失效是拉断破坏，则τ0=τb。
二、圆轴的扭转强度条件 许用切应力
截面法求扭矩
M
x
0
T Me 0 T Me
Me
M
e
扭矩的符号规定：
反之为负。
x Me T
T 的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
第5章 扭转杆的强度计算
使卷曲右手的四指其转向与扭矩T 的转向相同，若 大拇指的指向离开横截面，则扭矩为正；反之为负。
n
T
Me
第5章 扭转杆的强度计算
二、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
P M e 9549 (N m) n
其中： P — 功率，千瓦（kW）
n — 转速，转/分（r/min）
P M e 7024 (N m) n
其中：P — 功率，马力
第5章 扭转杆的强度计算
三、扭矩
扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作T。
比例常数G称为材料的切变模量，它反映材料抵抗剪切变 形的能力。单位GPa，其数值可由试验测得。
第5章 扭转杆的强度计算
二、 圆轴扭转时横截面上的应力 与轴向拉压杆相似,圆轴扭转时横截面上应力分布公式 推导方法为： 物理关系 观察变形 应力分布规律 静力学关 系
应力和变形公 式
第5章 扭转杆的强度计算
第5章 扭转杆的强度计算
(2) 计算最大切应力 由扭矩图可知，AB段的扭矩较BC段的扭矩大，但因BC段 轴径较小，所以需分别计算各段轴横截面上的最大切应力。 AB段： T1 22 106 max MP a 64.8MP a π WP1 1203 16 BC段：
max
剪切强度条件在工程中也能解决三类问题， • 强度校核
• 设计截面
• 计算许用荷载
第5章 扭转杆的强度计算
三、挤压的实用计算 在挤压的实用计算中，假定挤压应力均匀地分布在挤压 面的计算面积上。若用FC表示挤压面上的挤压力，AC表示 挤压面的计算面积，则挤压应力的实用计算算面积，它与挤压面面积是 有一定区别的。
M eB 0.95kN m
M eC 1.27kN m
M eD 1.59kN m
第5章 扭转杆的强度计算
（2）计算扭矩 1 1 2 2
截面1-1：
Mx 0
T2 WP2 14 106 MPa 71.3MPa π 1003 16
比较上述结果，该轴最大切应力位于BC段内任一截面的 边缘各点处，即该轴最大切应力为τmax=71.3MPa。
第5章 扭转杆的强度计算
圆轴扭转的强度计算
一、圆轴的扭转破坏试验与极限应力 圆轴的扭转试件可分别用Q235钢、铸铁等材料做成， 扭转破坏试验是在扭转试验机上进行。试件在两端外力偶
T1 M eB 0
T1 M eB 0.95kN m
截面2-2：
Mx 0
T1
T2 M eB M eA 0
T2 M eA M eB 2.87kN m
T2
第5章 扭转杆的强度计算
3
截面3-3：
Mx 0
T3 M eD 0
3
T3 M eD 1.59kN m
式中：[σC]为材料的许用挤压应力，可查有关设计手册。
注意：若两个相互挤压构件的材料不同，应对挤压强度 小的构件进行计算。
第5章 扭转杆的强度计算
挤压强度条件在工程中同样可以解决三类问题。 但工程中构件产生单纯挤压变形的情况较少，挤压强
度的计算问题往往是和剪切强度计算同时进行。
第5章 扭转杆的强度计算
第5章 扭转杆的强度计算
当挤压面为平面时，挤压计算面积与挤压面面积相等。
当挤压面为半圆柱面时，挤压计算面积为挤压面在圆柱 体的直径平面上的投影面面积。
FP FP
计算挤压面
FP
FP
第5章 扭转杆的强度计算
为了保证构件不发生挤压破坏，要求挤压应力不超过材 料的许用挤压应力，所以挤压强度条件为
Fc c [ c ] Ac
四、扭矩图 表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
T
x
第5章 扭转杆的强度计算
例5-1 传动轴如图示，主动轮A输入功率PA=120kW，从 动轮B、C、D输出功率分别为PB=30kW，PC=40kW， PD=50kW，轴的转速n=300r/min。试作出该轴的扭矩图。 解 （1） 计算外力偶矩
Me作用下，发生扭转变形，直至破坏。
第5章 扭转杆的强度计算
塑性材料（如Q235）试件受扭时，当最大切应力达到 一定数值时，也会发生类似拉伸时的屈服现象，这时的切应 力值称为屈服应力，用τS表示。试件屈服时，也会在试件表 这主要由于Q235钢抗剪强度低于抗拉强度，所以试 面出现纵向和横向的滑移线。屈服阶段后也有强化阶段，直 件因抗剪不足而首先沿横截面发生剪断破坏。 到横截面上的最大切应力达到材料的剪切强度极限τb，试件 就沿横截面被剪断，断口较光滑。
F
第5章 扭转杆的强度计算
F
剪切面
通常把相对错动的截面称为剪切面。 剪切面平行于力的作用线，位于方向相反的两横向外力作 用线之间. 工程中产生剪切变形的构件通常是一些起作用的部件， 称为联接件。
第5章 扭转杆的强度计算
剪切面上的内力 FQ 与截面相切，称为剪力。剪力
仍可用截面法求得。 与剪力相对应的应力为切应力。
2
I p A dA
d T GI p dx
d T dx GI p
代入物理关系式
d G dx
T Ip
第5章 扭转杆的强度计算
横截面上距圆心为 处任一点切应力计算公式。
讨论：
T Ip
1）仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截 面直杆。
第5章 扭转杆的强度计算
圆轴上任一点的切应变，其大小为
G1G d tan dx dx
d dx
此式表明距圆心为 任一点处的与到圆心的距离
成正比。
d —— 扭转角沿长度方向变化率。 dx
第5章 扭转杆的强度计算
2. 物理关系
胡克定律：
G
dx dx
代入上式得： G G d G d
d G dx
第5章 扭转杆的强度计算
3. 静力学关系
T A dA d A G dA dx
2
dA
O
G
令
d A 2dA dx
第5章 扭转杆的强度计算
在切应力τ和τ’作用下，单元体 的两个侧面将发生相对错动，使原来 的长方六面微体变成平行六面微体， 单元体的直角发生微小的改变，这个 直角的改变量γ称为切应变。
´
´
当切应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp)，切应
力与切应变成正比关系，称为剪切胡克定律。
G
建 筑 力 学
第5章扭转杆的强度计算
第5章 扭转杆的强度计算
剪切与挤压的实用计算 剪切的工程实例
铆钉连接
销轴连接
第5章 扭转杆的强度计算
焊接连接
螺栓连接
榫连接
第5章 扭转杆的强度计算
一、剪切与挤压的概念 受力特点：构件受到一对大小相等，方向相反，作用线相 互平行且相距很近的横向外力作用。 变形特点:介于作用力之间的某些截面沿着力的方向产 生相对错动。 这种变形称为剪切变形。 F
1. 几何变形方面 等直圆杆扭转实验观察：
（1）各圆周线均绕轴线作相对转动，且各圆周线的形状、大小及 它们相互之间的距离都没有变化。 （2）各纵向线都倾斜了相同的角度，原来的矩形格变成了平行四 边形，但各边的长度没有改变（在小变形情况下），只是夹角发生 了改变。
第5章 扭转杆的强度计算
Me Me
对圆轴内部的变形可作如下假设：扭转变形前原为平面的横 截面，变形后仍保持平面，且其形状、大小都不改变，只是绕轴 线相对转过一个角度，两相邻横截面之间的距离也保持不变，这 一假设称为圆轴扭转的平面假设。 根据圆轴扭转的平面假设和切应力互等定理、剪切胡克定律可 知：实心圆轴横截面上各点处，只产生垂直于半径的切应力 ， 沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。
A
D 4
32
d
W
D 3
16
O
D
第5章 扭转杆的强度计算
对于空心圆截面
IP dA
2 A
D 4 d 4
32
D 4 1 4
32
式中： d / D
W
I D2
D3 1 4
16
d
d
O D
千万不要出错！
第5章 扭转杆的强度计算
圆轴扭转的内力
扭转的工程实例
第5章 扭转杆的强度计算
框架结构边梁和雨篷梁
第5章 扭转杆的强度计算
一、扭转的概念 受力特点：杆件受到作用面垂直于杆轴线的力偶的作用。
变形特点：相邻横截面绕杆轴产生相对旋转变形。
A
BO Me
A
O B Me
扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。
第5章 扭转杆的强度计算
横截面上边缘点的切应力最大，其值为
max
IP 令 WP R
TR IP
max
数，单位为mm3或m3。
T W
式中WP只与截面的几何尺寸和形状有关，称为抗扭截面系
第5章 扭转杆的强度计算
二、极惯性矩I P和抗扭截面系数WP
IP dA
2 A
对于实心圆截面
IP 2 dA
塑性材料的扭转失效是屈服破坏，故τ0=τS；
脆性材料的扭转失效是拉断破坏，则τ0=τb。
二、圆轴的扭转强度条件 许用切应力
截面法求扭矩
M
x
0
T Me 0 T Me
Me
M
e
扭矩的符号规定：
反之为负。
x Me T
T 的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
第5章 扭转杆的强度计算
使卷曲右手的四指其转向与扭矩T 的转向相同，若 大拇指的指向离开横截面，则扭矩为正；反之为负。
n
T
Me
第5章 扭转杆的强度计算
二、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
P M e 9549 (N m) n
其中： P — 功率，千瓦（kW）
n — 转速，转/分（r/min）
P M e 7024 (N m) n
其中：P — 功率，马力
第5章 扭转杆的强度计算
三、扭矩
扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作T。
比例常数G称为材料的切变模量，它反映材料抵抗剪切变 形的能力。单位GPa，其数值可由试验测得。
第5章 扭转杆的强度计算
二、 圆轴扭转时横截面上的应力 与轴向拉压杆相似,圆轴扭转时横截面上应力分布公式 推导方法为： 物理关系 观察变形 应力分布规律 静力学关 系
应力和变形公 式
第5章 扭转杆的强度计算
第5章 扭转杆的强度计算
(2) 计算最大切应力 由扭矩图可知，AB段的扭矩较BC段的扭矩大，但因BC段 轴径较小，所以需分别计算各段轴横截面上的最大切应力。 AB段： T1 22 106 max MP a 64.8MP a π WP1 1203 16 BC段：
max
剪切强度条件在工程中也能解决三类问题， • 强度校核
• 设计截面
• 计算许用荷载
第5章 扭转杆的强度计算
三、挤压的实用计算 在挤压的实用计算中，假定挤压应力均匀地分布在挤压 面的计算面积上。若用FC表示挤压面上的挤压力，AC表示 挤压面的计算面积，则挤压应力的实用计算算面积，它与挤压面面积是 有一定区别的。