福建专用2018年高考数学总复习课时规范练32基本不等式及其应用文新人教A版20180315485

课时规范练32基本不等式及其应用
基础巩固组
1.设0<a<b,则下列不等式正确的是()
푎+푏푎+푏
A.a<b< 푎푏<
B.a< 푎푏<<b
22
푎+푏푎+푏
C.a< 푎푏<b<
D. 푎푏<a< <b
22
13
2.(2017山东枣庄一模,文5)若正数x,y满足=1,则3x+4y的最小值是()
푦+
푥
A.24
B.28
C.25
D.26
11
3.已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+ ,n=a+ ,则m+n的最小值是()
푎푏
A.3
B.4
C.5
D.6
푥2+2푥+2
4.函数y= (x>-1)的图象的最低点的坐标是()
푥+1
A.(1,2)
B.(1,-2)
C.(1,1)
D.(0,2)
5.(2017山东日照一模,文6)已知圆x2+y2+4x-2y-1=0上存在两点关于直线ax-
14
2by+2=0(a>0,b>0)对称,则的最小值为()
푎+
푏
A.8
B.9
C.16
D.18
6.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20 元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是()
A.80元
B.120元
C.160元
D.240元
21
7.若两个正实数x,y满足푥+=1,并且x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是()
푦
A.(-∞,-2)∪[4,+∞)
B.(-∞,-4]∪[2,+∞)
C.(-2,4)
D.(-4,2)
11
8.设x,y∈R,a>1,b>1,若a x=b y=3,a+b=2 3,则的最大值为()
푥+
푦
31
A.2
B.
C.1
D. 〚导学号24190921
22
〛
푥푦
9.(2017山东,文12)若直线=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.
푎+
푏
10.(2017江苏徐州模拟)已知正数a,b满足2a2+b2=3,则a 푏2+1的最大值为.
11.(2017山西临汾二模,文14)近来鸡蛋价格起伏较大,假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为
a元/千克、b元/千克,家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同:家庭主妇甲每周买3千克鸡蛋,家
1
庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋,试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为实
惠).(在横线上填甲或乙即可)
11
12.设a,b均为正实数,求证: ++ab≥2.
2
푎2푏2
〚导学号24190922〛
综合提升组
푎
13.已知不等式|y+4|-|y|≤2x+ 对任意实数x,y都成立,则实数a的最小值为()
2푥
A.1
B.2
C.3
D.4
푥+푦
14.已知x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则的最小值是.
푥푦
15.如果a,b满足ab=a+b+3,那么ab的取值范围是.
16.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)(单元:万
1
元),当年产量不足80千件时,C(x)= x2+10x(单位:万元).当年产量不少于80千件
3
10000
时,C(x)=51x+ -1 450(单位:万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产푥
的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
〚导学号24190923〛
创新应用组
11
17.若正实数x,y满足x+y+푥+=5,则x+y的最大值是()
푦
A.2
B.3
C.4
D.5
2
18.(2017山东德州一模,文9)圆:x2+y2+2ax+a2-9=0和圆:x2+y2-4by-1+4b2=0有三条公切线,
41
若a∈R,b∈R,且ab≠0,则+的最小值为()
푎2푏2
A.1
B.3
C.4
D.5 〚导学号24190924 〛
答案：
푎+푏
1.B∵0<a<b,∴a<<b,故A,C错误; -a=)>0,即>a,D错误,故选B.
푎푏푎(푏―푎푎푏
2
13
2.C∵正数x,y满足=1,
푦+
푥
133푥12푦푥4푦
∴3x+4y=(3x+4y)(푥)=13+≥13+3×2 =25,当且仅当x=2y=5时等号成立.
푦+푦+푦·
푥푥
∴3x+4y的最小值是25.故选C.
11
3.B由题意知ab=1,则m=b+=2b,n=a+=2a,
푎푏
∴m+n=2(a+b)≥4 푎푏=4,当且仅当a=b=1时,等号成立.
(푥+1)2+1
11
4.D∵x>-1,∴x+1>0.∴y==(x+1)+≥2,当且仅当x+1=,即x=0时等号成立,
푥+1푥+1푥+1
即当x=0时,该函数取得最小值2.所以该函数图象最低点的坐标为(0,2).
5.B由圆的对称性可得,直线ax-2by+2=0必过圆心(-2,1),所以a+b=1.
1414푏4푎푏4푎2
푏=(푏)
所以푎+푎+(a+b)=5+푎+≥5+4=9,当且仅当푎=,即2a=b=时等号成立,故选B.
푏푏3
6.C设底面矩形的长和宽分别为a m,b m,则ab=4 m2.容器的总造价为
20ab+2(a+b)×10=80+20(a+b)≥80+40 푎푏=160(元)(当且仅当a=b=2时等号成立).故选C.
214푦푥
7.D x+2y=(x+2y)(푦)=2++2≥8,
푥+푥+
푦
4푦푥
当且仅当
푥=,即x=2y=4时等号成立.
푦
由x+2y>m2+2m恒成立,
可知m2+2m<8,即m2+2m-8<0,
解得-4<m<2.
1111lg푎+lg푏lg(푎푏)
8.C由a x=b y=3, .
푥+푦=log푎3+log푏3=lg3=
lg3
2
푎+푏
因为a>1,b>1,所以ab≤(2)=3,
11lg3
所以lg(ab)≤lg 3,从而=1,当且仅当a=b=3时等号成立.
푥+푦≤
lg3
3
푥
푦
9.8 ∵直线
=1过点(1,2),
푎
+
푏
1
2
∴
=1.
푎
+
푏
1
2
푏
4푎
푏 4푎
∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b )·(
=4+
≥4+2
=8.
푏
) ( 푏 )
푎
· 푎 + 푎
+
푏
当且仅当 b=2a 时等号成立. 2 2 1 2
10. 2 a 푏
2 + 1 =
(2a 2+b 2+1)=
×(3+1)=
,
2
× 2푎 푏
2
×
2 + 1 ≤
2
2
4
当且仅当 2a= 푏2 + 1,且 2a 2+b 2=3,即 a 2=1,b 2=1时,等号成立. 故 a 푏2 + 1的最大值为 2.
3푎 + 3푏
푎 + 푏
20
2푎푏
11.乙 甲购买产品的平均单价为
6
=
,乙购买产品的平均单价为
=
.
2
10
10
푎 + 푏
푎
+
푏
(푎 -푏)2 푎 + 푏
2푎푏
∵
≥0,且两次购买的单价不同,
2
― 푎 + 푏 =
2(푎 + 푏)
∴a ≠b ,
푎 + 푏
2푎푏
∴
2
― >0,
푎 + 푏
∴乙的购买方式的平均单价较小.故答案为乙.
12.证明 因为 a ,b 均为正实数,
1
1
1 1
2
所以
≥2 푎2·푏2
= ,
푎2
+
푏2 푎푏
1
1 当且仅当푎
2 = ,即 a=b 时等号成立,
푏2
2 2
又因为 +ab ≥2
푎푏
·푎푏=2 2,
푎푏
2
当且仅当 =ab 时等号成立,
푎푏 1
1
2
所以+ab≥+ab≥2 2,
푎2+
푏2
푎푏
11
푎2=,
当且仅当{即a=b=时等号成立.
푏2
42
2
푎푏=푎푏,
13.D令f(y)=|y+4|-|y|,
则f(y)≤|y+4-y|=4,即f(y)max=4.
푎
∵不等式|y+4|-|y|≤2x+对任意实数x,y都成立,
2푥
푎
∴2x+≥f(y)max=4,
2푥
4
∴a ≥-(2x )2+4×2x =-(2x -2)2+4恒成立;
令 g (x )=-(2x )2+4×2x ,
则 a ≥g (x )max =4,∴实数 a 的最小值为 4. 14.2 3+4 x>0,y>0,lg 2x +lg 8y =lg 2,可得 x+3y=1.
푥 + 푦
푥푦
= (푥 + 푦)(푥 + 3푦) 푥푦
=
푥
2
+ 3푦2 +
4푥푦
푥푦
=
푥 푦 +
3푦
푥 3푦
+4≥2 +4=2 +4.
푦
·
3
푥
푥
3 -
3
3 - 1 当且仅当 x= 3y ,x+3y=1,即 y=
,x=
时等号成立.
6 2
푥 + 푦
的最小值是 2 3+4.
푥푦
15.(-∞,1)∪(9,+∞) ∵ab=a+b+3,
∴a+b=ab-3,∴(a+b )2=(ab-3)2.∵(a+b )2≥4ab , ∴(ab-3)2≥4ab ,
即(ab )2-10ab+9≥0,故 ab ≤1或 ab ≥9.
16.解 (1)因为每件商品售价为 0.05万元,则 x 千件商品销售额为 0.05×1 000x 万元,依题意 1
1
得,当 0<x<80
时,L (x )=(0.05×1 000x )- x 2-10x-250=- x 2+40x-250;
3
3
10 000
10 000
푥
(푥 +
푥
)
当 x ≥80时,L (x )=(0.05×1 000x )-51x- +1 450-250=1 200-
,
则 L (x )=
1
- 푥2 + 40푥 -250,0 < 푥 < 80, 3
{
10 000
1 200 - (
푥 +
푥
),푥 ≥ 80.
1 (2)当 0<x<80时,L (x )=- (x-60)2+950, 3
此时,当 x=60时,L (x )取得最大值 L (60)=950.
10 000
10 000
当 x ≥80时,L (x )=1 200-(
푥 +
푥
)≤1 200-2
푥·
푥
=1 200-200=1 000,
10 000 当且仅当 x=
时,即 x=100时,L (x )取得最大值 1 000.
푥
因为 950<1 000,
所以当年产量为 100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.最大利润为 1 000 万元.
(푥+푦)2
17.C∵x>0,y>0,xy≤,
4
14푥+푦4114
∴,即푥+푦≥,
푥푦≥(푥+푦)2,
푥푦≥
푥+푦푥+푦
5。