理科复习题+答案

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高中理科数学复习试题选编31：双曲线(教师版)

理科数学复习试题选编31：双曲线一、选择题1 ．（六校联盟高三回头联考理科数学试题）已知F 1和F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线左支的一点，1PF ⊥2PF ，1PF =C ，则该双曲线的离心率为（）A 1B ．12C 1D ．12【答案】C2 ．（绍兴市高三教学质量调测数学（理）试题（word 版））已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O ，A 两点.若△AOF 的面积为b ，则双曲线的离心率等于（）A ．3B ．5C ．D ．【答案】D3 ．（高考模拟冲刺（提优）测试二数学（理）试题）直线过点(2,1)P 与曲线1422=-y x 恰有一个公共点，则满足条件的直线的条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 解：因为点(2,1)P 在渐近线上，故旋转直线一周只有2条符合条件.4 ．（杭州高中高三第六次月考数学（理）试题）设双曲线C ：22221x y a b -=(a >0，b >0)的右焦点为F ，左，右顶点分别为A 1，A 2.过F 且与双曲线C 的一条渐近线平行的直线l 与另一条渐近线相交于P ，若P 恰好在以A 1A 2为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为（）AB ．2C D ．3【答案】A5 ．（高考模拟冲刺（提优）测试一数学（理）试题）已知1F ，2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的左、右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段21F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A ．)2,1(B ．)3,2(C ．)2,3(D ．),2(∞+【答案】D6 ．（嘉兴市高三上学期基础测试数学（理）试题）已知焦点在y 轴上的双曲线的渐近线过椭圆221416x x +=和椭圆2231164x y +=的交点，则双曲线的离心率是（）A ．233B ．2C ．5D ．52【答案】B7 ．（杭州市第一次高考科目教学质量检测理科数学试题）设双曲线22143x y -=的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交双曲线左支于,A B 两点，则22BF AF +的最小值为（）A ．192B ．11C ．12D ．16【答案】B 解：由题意，得：21221121248824AF AF a BF AF AF BF AB BF BF a ⎧-==⎪⇒+=++=+⎨-==⎪⎩ 显然，AB 最短即通径，2min23b AB a=⋅=，故()22min11BF AF +=8 ．（温岭中学高三高考提优冲刺考试（三）数学（理）试题）已知21F F 、分别是双曲线:C 12222=-by a x 的左、右焦点，若2F 关于渐近线的对称点恰落在以1F 为圆心，||1OF 为半径的圆上，则C 的离心率为：（）A ．3B ．3C ．2D ．2【答案】D解析：方法一：设),(y x P 为2F 关于渐近线x aby l =:的对称点，则有： ⎪⎩⎪⎨⎧+⋅=-=-2)2c x a b y b a c x y （，解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2222222)(b a abc y b a b a c x ，由⋅1=0可得：0222=++y cx x ，将上式代入化简可得：0))((2)(2222222=+-++b a b a b a ，即223a b =，即224a c =，即2==ace ，故选 D ．方法二：如图：设2F 关于其渐近线的对称点为P ，连接PO ﹑1PF ，由于点P 恰落在以1F 为圆心，||1OF 为半径的圆上，故有11PF PO OF c ===，易得02160PF =∠F ，01230PF =∠F 故12PF PF ⊥，又2OH PF ⊥，故0260OHF ∠=，即3600==tan a b ，即2==ace .故选 D ．9 ．（嘉兴市高三第二次模拟考试理科数学试卷）设m 是平面α内的一条定直线，P 是平面α外的一个定点，动直线n 经过点P 且与m 成︒30角，则直线n 与平面α的交点Q 的轨迹是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】C ：动直线n 的轨迹是以点P 为顶点、以平行于m 的直线为轴的两个圆锥面，而点Q 的轨迹就是这两个圆锥面与平面α的交线.10．（【解析】镇海中学高三5月模拟数学（理）试题）已知双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，离心率为2，12,F F 分别是它的左、右焦点，A 是它的右顶点，过1F 作一条斜率为(0)k k ≠的直线与双曲线交于两个点,M N ，则MAN ∠为（）A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．锐角、直角、钝角都有可能【答案】答案：B 解析：由离心率为2，可得2c a =，223b a =，则双曲线方程为22233xy a -=.设1122(,),(,)M x y N x y ，因直线MN 的斜率不为零，则可设其方程为2x my a =-，与双曲线方程联立得222(31)1290m y amy a --+=，从而有2310m -≠，1221231amy y m +=-，且11．（温岭中学高三高考提优冲刺考试（五）数学（理）试题）已知F 1、F 2是双曲线C ：)0(12222>>=-b a by a x的两个焦点，过曲线C 的左焦点F 1(-c ，0)和虚轴端点B(0，b )作直线l 交曲线C 左支于A 点，右支与D 点，连接AO 、DF 2，AO∥DF 2 ，则双曲线的离心率为（） A ．3B ．6C ．36+D ．25+【答案】C 提示联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=1)(2222b y ax c x c b y 削去x 得02322=+-b y c by 221221,2b y y b c y y =⋅=+(*)，由题意的2212y y =代入(*)中，得到⎪⎩⎪⎨⎧==2222223by b c y ，削去y 得4489c b =，可以解得2692+=e .12．（考试院高三上学期测试数学（理）试题）如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的左、右焦A ，B 两点.若 | AB | ： | BF 2 | ： | AF 2 |=3：4 ： 5，（）．13．15 C ．2D ．3【答案】A13．（“六市六校”联盟高三下学期第一次联考数学（理）试题）设F 1，F 2 是双曲线)0,(1x 2222>=-b a by a 的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足212F F PF =，且54cos 21=∠F PF ，则双曲线的渐近线方程为（）A ．043=±y xB ．053=±y xC ．034=±y xD ．045=±y x 【答案】C14．（海宁市高三2月期初测试数学（理）试题）已知点P 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 左支上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右两个焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2与两条渐近线相交于M ，N 两点(如图)，点N 恰好xy OA B F 1F 2平分线段PF 2，则双曲线的离心率是（）5B ．2C ．3D ．215．（普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是（）A ．2B ．3C ．23D ．26 【答案】D16．（宁波市高三第一学期期末考试理科数学试卷）设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|：|F 1F 2|：|PF 2|=4：3：2，则曲线C 的离心率等于（）A ．2332或B ．23或2 C ．12或2 D ．1322或【答案】D17．（嘉兴市第一中学高三一模数学（理）试题）已知双曲线c ： )0(12222>>=-b a b y a x ，以右焦点F为圆心，|OF |为半径的圆交双曲线两渐近线于点M 、N (异于原点O)，若|MN|=a 32，则双曲线C的离心率是（）A 2B ．3C ．2D ．13+【答案】COxyA BF 1F 2xyOM NP 1F 2F18．（黄岩中学高三5月适应性考试数学(理)试卷）已知A ，B ，P 是双曲线12222=-by a x (0>a ，0>b )上不同的三点，且A ，B 连线经过坐标原点O ，若直线PA ，PB 的斜率乘积3=⋅PB PA k k ，则双曲线的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．5【答案】C19．（温州中学高三第三次模拟考试数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，12A A 、是实轴顶点，F 是右焦点，()0,B b 是虚轴端点，若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点(1,2)i p i =，使得12(1,2)i P A A i ∆=构成以12A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是（）A ．)+∞B ．1,)2+∞C ．1(1,)2D ．1)2【答案】D ．20．（湖州市高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word 版) ）已知A B P ，，是双曲线()2222100y x a b a b -=>>，上不同的三点，且A B ，连线经过坐标原点O ，若直线PA PB ，的斜率乘积3PA PB k k ⋅=，则双曲线的离心率为（）AB C ．2D【答案】C21．（温州市高三第三次适应性测试数学(理)试题（word 版））已知是双曲线14222=-y ax 的左焦点，双曲线右支上一动点P ，且x PD ⊥轴，D 为垂足，若线段PD FP -的最小值为52，则双曲线的离心率为（）A ．53B ．52C ．25D ．5【答案】A22．（杭州市高三第二次教学质检检测数学（理）试题）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b ，A ，B 是双曲线的两个顶点.P 是双曲线上的一点，且与点B 在双曲线的同一支上.P 关于y 轴的对称点是Q 若直线AP ，BQ 的斜率分别是k 1，k 2，且k 1·k 2=45，则双曲线的离心率是（）A ．355 B ．94C ．32D ．95【答案】C23．（温州市十校联合体高三上学期期末联考理科数学试卷）已知抛物线()022>=p px y 与双曲线()0,012222>>=-b a by a x 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且x AF ⊥轴，则双曲线的离心率为（）A ．12+B ．13+C ．215+ D ．2122+【答案】A24．（名校新高考研究联盟高三第一次联考数学（理）试题）已知P 为双曲线C ：221916x y -=上的点，点M满足1OM =，且0OM PM ⋅=，则当PM 取得最小值时的点P 到双曲线C 的渐近线的距离为（）A ．95B ．125C ．4D ．5【答案】B 二、填空题25．（永康市高考适应性考试数学理试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A ，B 两点，且与其中一条渐近线垂直，若FB AF 4=，则该双曲线的离心率为____;【答案】210526．（乐清市普通高中高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）设O 为坐标原点，B A ,是双曲线1322=-y x 的渐近线上异于O 的两点，且2||||==OB OA ，则→→⋅OB OA =_______.【答案】2±，-4 27．（金丽衢十二校高三第二次联合考试理科数学试卷）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”.已知1F 、2F 是一对“黄金搭档”的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当6021=∠PF F 时，这一对“黄金搭档”中双曲线的离心率是_______【答案】328．（温州市高三第二次模拟考试数学（理）试题）己知F 1，F 2分别是双曲线1222=-b y x 的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若 |AF 2|=2且∠F 1AF 2=450.廷长AF 2交双曲线右支于点B ，则ΔF 1AB 及的面积等于___【答案】429．（建人高复高三第五次月考数学（理）试题）已知A 、B 分别是双曲线22:4C x y -=的左、右顶点，则P 是双曲线上在第一象限内的任一点，则PBA PAB ∠-∠=__________.【答案】略30．（五校联盟高三下学期第一次联考数学（理）试题）设双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，左右顶点分别为12,A A ，过F 且与双曲线C 的一条渐近线平行的直线l 与另一条渐近线相交于P ，若P 恰好在以12A A 为直径的圆上，则双曲线的离心率为______________.【答案】231．（宁波市高三第一学期期末考试理科数学试卷）如果双曲我的两个焦点分别为12(0,3)(0,3)F F 和，其中一条渐近线的方程是22y x =，则双曲线的实轴长为______. 【答案】2332．（诸暨中学高三上学期期中考试数学（理）试题）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A ，x 轴上有一点(2,0)Q a ，若双曲线上存在点P ，使AP PQ ⊥，则双曲线的离心率的取值范围是____________【答案】33．（温州市高三第一次适应性测试理科数学试题）已知双曲线22221x ya b-=的一条渐近线方程为2y x=，则其离心率为____【答案】34．（五校联盟高三下学期第二次联考数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的渐近线与圆22420x y x+-+=有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是___________.【答案】。

2018-2019学年度高等教育理科《复变函数与积分变换》大学试题含填空选择答案

复变函数与积分变换复习题1一、单项选择题（每小题2分，共24分）.1. 复数ii+-=3z 位于复平面第( ) 象限. A ．一 B ．二 C ．三 D ．四解：()()()10313333z ii i i i i i --=-+--=+-=，故选择C 2. 下列等式成立的是( ). A ．i ne5l i5=； B ．)arg()(r i i g A =；C ．1e L =n ；D ．)z z Re(z z =。

解：A z i z nz arg ln l +=，故A 不对; B ，πk z z g A 2)arg()(r +=，B 不对 CiArgz z n +=ln z L ，故C 不对; D ，z z 是个实数，故选择D3. arg6z 满足( ). A.在复平面上连续 B.在原点处连续C.在负实轴连续D.在除原点及负实轴上连续解：argz 在除原点及负实轴上连续，故arg6z 也是这样。

选D 4. 方程54z 1z =-++表示的图形是（）. A.圆 B. 直线段 C.椭圆 D.双曲线解：该方程表示的是复平面上的动点z 到两个定点i z 011+-=和i z 042+=的距离的和，而1z 和2z 的距离就是5，所以该动点在1z 和2z 所连线的直线段上。

选B 5. ()i sin 是( ).A. 0B. 一个纯虚数C. 一个实数D. 无法计算解:由欧拉公式可以推导出ie e x ixix 2sin --=，故i sin 是纯虚数或者用θθish i =)sin(也可以判别选B6. 若lnz )(=z f (0,0>>y x )，则 =')(z f ( ).A ．2z 3 B. 0 C. ze33 D. 1-z选D,求导公式，本题是平凡的 7. 计算积分⎰=Ldz zz I4cos ，其中)10(:<<=r r z L ，方向正向，I ＝（）.A ．－π2B ．i π2C ．i π2-D ．0 解：由于奇点0在L 内部，故可以使用高阶求导公式()()()()dz z z z f i n z f Cn n ⎰+-=1002!π（n 为正整数）奇点内点是D z 0,D 为L 所围成的封闭区域。

高考理科数学复习第2部分高考22题逐题特训专题1 12+4分项练3 立体几何

(三)立体几何1.已知a，b为异面直线，下列结论不正确的是()A.必存在平面α，使得a∥α，b∥αB.必存在平面α，使得a，b与α所成角相等C.必存在平面α，使得a⊂α，b⊥αD.必存在平面α，使得a，b与α的距离相等答案 C解析由a，b为异面直线知，在A中，在空间中任取一点O(不在a，b上)，过点O分别作a，b的平行线，则由过点O的a，b的平行线确定一个平面α，使得a∥α，b∥α，故A正确；在B中，平移b至b′与a相交，因而确定一个平面β，在β上作a，b′夹角的平分线，明显可以作出两条.过角平分线且与平面β垂直的平面α使得a，b′与该平面所成角相等，角平分线有两条，所以有两个平面都可以.故B正确；在C中，当a，b不垂直时，不存在平面α，使得a⊂α，b⊥α，故C错误；在D中，过异面直线a，b的公垂线的中点作与公垂线垂直的平面α，则平面α使得a，b与α的距离相等，故D正确.2.(2019·东北三省四市模拟)已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出α∥β的是()A.m∥n，m⊂α，n⊂βB.m∥n，m⊥α，n⊥βC.m⊥n，m∥α，n∥βD.m⊥n，m⊥α，n⊥β答案 B解析当m∥n时，若m⊥α，可得n⊥α，又n⊥β，可知α∥β.3.(2019·北京市大兴区模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为()A.13B.2 3C.3D.2 2答案 B解析由三视图得几何体原图是图中的三棱锥A－BCD，所以CD＝3，BD＝22＋12＝5，AB＝22＋12＝5，AC＝(22)2＋12＝3，BC＝22＋22＝22，AD＝(22)2＋22＝2 3.所以AD是最长的棱.4.(2019·马鞍山质检)已知某几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为()A.20B.22C.24D.19＋2 2 答案 B解析通过三视图可知，该几何体是正方体去掉两个“角”.所以表面积S ＝12×(1＋2)×2×2＋12×(1＋2)×2×2＋4＋3＋12×2×322×2＝22.5.(2019·成都模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.16π－163B.16π－323C.8π－163D.8π－323答案 D解析由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖去一个倒立的四棱锥. ∴该几何体的体积V ＝12×π×22×4－13×42×2＝8π－323.6.(2019·玉溪调研)三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，且AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝4，AA 1＝6，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A.68π B.32π C.17π D.164π 答案 A解析如图所示，设矩形AA 1C 1C 的中心为O ，由题意知，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝4，则△ABC 为等腰直角三角形，所以AC ＝42，所以△ABC 的外接圆的圆心为AC 的中点，所以外接球的球心是矩形ACC 1A 1的中心，即点O 为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的外接球的球心，所以外接球半径R ＝OC ＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋⎝⎛⎭⎫AA 122＝(22)2＋32＝17，所以外接球表面积S ＝4πR 2＝68π.7.(2019·桂林模拟)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝1，AB ⊥AC ，点E 为棱AA 1的中点，则点C 1到平面B 1EC 的距离等于( ) A.12 B.22 C.63 D.1 答案 C解析连接C 1E ，设点C 1到平面B 1EC 的距离为d ，根据三棱锥等体积法得到三棱锥1111C B CE E B CC V V －－＝，即13·1B CE S △·d ＝13·11B CC S △·h ，因为AB ＝AC ＝1，再由AB ⊥AC ，得到BC ＝2， △B 1CC 1面积为S ＝12×1×2＝22，点A 1到B 1C 1的距离即三棱锥E －B 1CC 1的高h ＝12B 1C 1＝22；在△B 1EC 中，B 1E ＝CE ＝52，B 1C ＝3，则三角形边B 1C 上的高为CE 2－⎝⎛⎭⎫B 1C 22＝22，△B 1EC 的面积为12×3×22＝64，根据等体积公式代入得到1111C B CE E B CC V V －－＝，即13·1B CE S △·d ＝13·11B CC S △·h ，解得d ＝63. 8.(2019·南昌适应性测试)在三棱锥S －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，SA ＝SC ＝2，二面角S －AC －B 的余弦值是－33，若S ，A ，B ，C 都在同一球面上，则该球的表面积是( ) A.4π B.6π C.8π D.9π 答案 B解析取AC 的中点D ，连接SD ，BD .因为SA ＝SC ，AB ＝BC ，所以SD ⊥AC ，BD ⊥AC ，可得∠SDB 即为二面角S －AC －B 的平面角，故cos ∠SDB ＝－33. 在Rt △SDC 中，SD ＝SC 2－CD 2＝4－1＝3，同理可得BD ＝1，由余弦定理得 cos ∠SDB ＝3＋1－SB 22×3×1＝－33，解得SB ＝ 6.在△SCB 中，SC 2＋CB 2＝4＋2＝(6)2＝SB 2，所以△SCB 为直角三角形，同理可得△SAB 为直角三角形，取SB 中点E ，则SE ＝EB ＝62，在Rt △SCB 与Rt △SAB 中， EA ＝SB 2＝62，EC ＝SB 2＝62，所以点E 为该球的球心，半径为62，所以球的表面积为S ＝4×π×⎝⎛⎭⎫622＝6π. 9.(2019·湖南六校联考)如图，平面四边形ABCD 中，E ，F 是AD ，BD 中点，AB ＝AD ＝CD ＝2，BD ＝22，∠BDC ＝90°，将△ABD 沿对角线BD 折起至△A ′BD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则四面体A ′－BCD 中，下列结论不正确的是( )A.EF ∥平面A ′BCB.异面直线CD 与A ′B 所成的角为90°C.异面直线EF 与A ′C 所成的角为60°D.直线A ′C 与平面BCD 所成的角为30° 答案 C解析 A 项，因为E ，F 分别为A ′D 和BD 中点，所以EF ∥A ′B ，即EF ∥平面A ′BC ，A 正确；B 项，因为平面A ′BD ⊥平面BCD ，交线为BD ，且CD ⊥BD ，所以CD ⊥平面A ′BD ，即CD ⊥A ′B ，故B 正确；C 项，取CD 边中点M ，连接EM ，FM ，则EM ∥A ′C ，所以∠FEM 为直线A ′C 与异面直线EF 所成角，又EF ＝1，EM ＝2，FM ＝3，即∠FEM ＝90°，故C 错误；D 项，因为平面A ′BD ⊥平面BCD ，连接A ′F ，则A ′F ⊥BD ，所以A ′F ⊥平面CBD ，连接FC ，所以∠A ′CF 为直线A ′C 与平面BCD 所成角，又CD ⊥A ′D ，所以A ′C ＝22，又A ′F ＝A ′D 2－DF 2＝2， sin ∠A ′CF ＝A ′F A ′C ＝222＝12，∴∠A ′CF ＝30°，D 正确.10.(2019·马鞍山质检)如图，半径为R 的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的38，则这两个圆锥高之差的绝对值为( )A.R 2B.2R 3C.4R3 D.R 答案 D解析如题图，设球的球心为O ，球的半径为R ，体积为V ，上面圆锥的高为h ，体积为V 1，下面圆锥的高为H ，体积为V 2；圆锥的底面的圆心为O 1，半径为r .由球和圆锥的对称性可知，h ＋H ＝2R ，OO 1＝H －R ，由题意可知：V 1＋V 2＝38V ⇒13πr 2h ＋13πr 2H＝38×43πR 3⇒r 2(h ＋H )＝32R 3，而h ＋H ＝2R ，∴r ＝32R ， ∵OO 1垂直于圆锥的底面， ∴OO 1垂直于底面的半径，由勾股定理可知：R 2＝r 2＋OO 21， ∴R 2＝r 2＋(H －R )2⇒H ＝32R ，可知h ＝12R ，这两个圆锥高之差的绝对值为R .11.已知三棱锥P －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 满足AB ＝22，∠ACB ＝90°，P A 为球O 的直径，且P A ＝4，则点P 到底面ABC 的距离为( ) A. 2 B.2 2 C. 3 D.2 3 答案 B解析取AB 的中点O 1，连接OO 1，如图，在△ABC 中，AB ＝22，∠ACB ＝90°，所以△ABC 所在小圆O 1是以AB 为直径的圆，所以O 1A ＝2，且OO 1⊥AO 1，又球O 的直径P A ＝4，所以OA ＝2，所以OO 1＝OA 2－O 1A 2＝2，且OO 1⊥底面ABC ，所以点P 到平面ABC 的距离为2OO 1＝2 2.12.(2019·上饶模拟)在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内有两个球O 1，O 2相外切，球O 1与面ABB 1A 1、面ABCD 、面ADD 1A 1相切，球O 2与面BCC 1B 1、面CC 1D 1D 、面B 1C 1D 1A 1相切，则两球表面积之和的最大值与最小值的差为( )A.(2－3)πB.(2－3)π2C.(3－3)πD.(3－3)π2答案 A解析设球O 1，O 2的半径分别为r 1，r 2，由题意得3r 1＋r 1＋3r 2＋r 2＝3，所以r 1＋r 2＝3－32，令a ＝3－32.表面积和为S ，所以S ＝4πr 21＋4πr 22，所以S 4π＝r 21＋r 22＝r 21＋(a －r 1)2＝2⎝⎛⎭⎫r 1－a 22＋a 22，又r 1最大时，球O 1与正方体六个面相切，且()r 1max ＝12，()r 1min ＝3－32－12＝2－32，所以r 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－32，12.又2－32<a 2<12，所以当r 1＝a 2时，⎝⎛⎭⎫S 4πmin ＝a 22，当r 1＝12或2－32时，⎝⎛⎭⎫S 4πmax ＝a 2－a ＋12，所以⎝⎛⎭⎫S 4πmax －⎝⎛⎭⎫S 4πmin ＝a 22－a ＋12＝(a －1)22＝2－34.所以两球表面积之和的最大值与最小值的差为(2－3)π.13.直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为正三角形，AB ＝2，D 是AB 的中点，异面直线AC 1与CD 所成角的余弦值是34，则三棱柱ABC －A 1B 1C 1的表面积等于________. 答案 14 3解析设D 1是A 1B 1的中点，如图所示，由于CD ∥C 1D 1，故∠AC 1D 1是异面直线AC 1与CD 所成角.设三棱柱的高为h ，则C 1A ＝4＋h 2，AD 1＝1＋h 2，C 1D 1＝22－1＝3，由于异面直线AC 1与CD 所成角的余弦值是34，在△AC 1D 1中，由余弦定理得AD 21＝AC 21＋C 1D 21－2AC 1·C 1D 1·34，解得h ＝2 3. 故三棱柱的表面积为12×2×3×2＋3×2×2 3 ＝23＋123＝14 3.14.(2019·湘赣十四校联考)如图，正三棱锥P －ABC 的高PO ＝8，底面边长为4，M ，N 分别在BC 和PO 上，且PN ＝2CM ，当三棱锥N －AMC 体积最大时，三棱锥N －AMC 的内切球的半径r 为________.答案 13－3解析设CM ＝x ，V N －AMC ＝13S △AMC ·NO ＝13×12AC ·CM ·sin 60°·(PO －PN ) ＝13×12×4·x ×32(8－2x )＝233(4x －x 2)，当x ＝2时，V N －AMC 取得最大值833，此时M 为BC 中点，AM 经过点O ，且NO ＝4，AO ＝433，所以可求NM ＝2393，NA ＝NC ＝833，因此易求S △NAM ＝43，S △NCM ＝2393， S △NAC ＝4393，S △CAM ＝23，又∵13(S △NAM ＋S △NCM ＋S △NAC ＋S △CAM )·r ＝V N －AMC ，∴r ＝13－3.15.已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，M ，N 分别为B 1C 1，BB 1的中点.现有下列四个结论：p 1：AC 1∥MN ；p 2：A 1C ⊥C 1N ；p3：B1C⊥平面AMN；p4：异面直线AB与MN所成角的余弦值为2 4.其中正确的结论是________.答案p2，p4解析正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，M，N分别为B1C1，BB1的中点.对于p1：如图①所示，MN∥BC1，BC1∩AC1＝C1，∴AC1与MN不平行，是异面直线，p1错误；对于p2：如图②所示，连接AC1，交A1C于点O，连接ON，易知A1C⊥AC1，ON⊥平面ACC1A1，∴ON⊥A1C，又ON∩AC1＝O，ON，AC1⊂平面ONC1，∴A1C⊥平面ONC1，又C1N⊂平面ONC1，∴A1C⊥C1N，p2正确；对于p3：如图③所示，取BC的中点O，连接AO，BC1，过点O作OP∥BC1，交CC1于点P，连接AP，则AO⊥平面BCC1B1，又B1C⊂平面BCC1B1，∴AO⊥B1C，又BC 1∥OP ，BC 1⊥B 1C ，∴B 1C ⊥OP ，又AO ∩OP ＝O ，AO ，OP ⊂平面AOP ， ∴B 1C ⊥平面AOP ，又平面AMN 与平面AOP 有公共点A ， ∴B 1C 与平面AMN 不垂直，p 3错误；对于p 4：如图④所示，连接BC 1，AC 1，则MN ∥BC 1， ∴∠ABC 1是异面直线AB 与MN 所成的角，设AB ＝1，则AC 1＝BC 1＝2，∴cos ∠ABC 1＝(2)2＋12－(2)22×2×1＝24，p 4正确. 综上，其中正确的结论是p 2，p 4.。

高考理科数学一轮复习专题训练：数列(含详细答案解析)

B ． 3 2．在正项等比数列{a }中，已知 a 4 = 2 ， a = ，则 a 5 的值为（ 8= 2 ， a = ，可得 8 q 4 = 8 = ，又因为 q > 0 ，所以 q = 1 2 2127B ．35063C ．28051D ． 3502第 7 单元数列（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 1=12，S 5=90，则等差数列{a n }公差 d =（）A ．2【答案】C2 C ．3D ．4【解析】∵a =12，S =90，∴ 5 ⨯12 + 1 5 5 ⨯ 4 2d = 90 ，解得 d=3，故选 C ．n 8 1 ）1 1 A ． B ． - C ． -1 D ．14 4【答案】D【解析】由题意，正项等比数列{a }中，且 a n 48 1 a 1 a 16 41，则 a = a ⋅ q = 2 ⨯ = 1 ，故选 D ．5 43．在等差数列{a n}中， a 5+ a = 40 ，则 a + a + a = （） 13 8 9 10A ．72B ．60C ．48D ．36【答案】B【解析】根据等差数列的性质可知： a 5 + a 13 = 40 ⇒ 2a 9 = 40 ⇒ a 9 = 20 ，a + a + a = 2a + a = 3a = 60 ，故本题选 B ．8 9109994．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”．其大意：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7 天，共走了 700 里，则这匹马第 7 天所走的路程等于（）A ．700里里里【答案】A127里【解析】设马每天所走的路程是 a 1, a 2 ,.....a 7 ，是公比为1的等比数列，a 1 - ( )7 ⎪a = a q 6= 7005．已知等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值，且 a=10(a +a )2= 5(a + a ) = 5(a + a ) > 0 ， S =2 = 11a < 0 ， (a + 2d - 1)2 = (a + d - 1)(a + 4d - 1) ⎩ d = 2这些项的和为 700， S = 7 ⎛ 1 ⎫ 1 ⎝ 2 ⎭1 - 12 = 700 ⇒ a =1 64 ⨯ 700 127 ，7 1 127 ，故答案为 A ．a 5< -1 ，则满足 S 6n> 0 的最大正整数 n 的值为（）A ．6B ．7C ．10D ．12【答案】C【解析】设等差数列{a n } 的公差为 d ，因为等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值，所以 d < 0 ，a又 a 5 < -1 ，所以 a 5 > 0 ， a 6 < 0 ，且 a 5 + a 6 > 0 ，6 所以 S1 101 10 5 6 11 所以满足 S n > 0 的最大正整数 n 的值为 10．11(a + a )1 1166．已知等差数列{a n}的公差不为零， Sn为其前 n 项和， S 3 = 9 ，且 a 2 - 1 ， a 3 - 1， a 5 - 1构成等比数列，则 S 5 = （）A ．15B ． -15C ．30D ．25【答案】D【解析】设等差数列{a n}的公差为 d (d ≠ 0)，⎧⎪3a + 3d = 9⎧a = 1 由题意 ⎨ 1 ，解得 ⎨ 1 ⎪⎩ 1 1 1．∴ S = 5 ⨯1 +5 5 ⨯ 4 ⨯ 22 = 25 ．故选 D ．7．在等差数列{a n } 中， a 3 ， a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根，则数列{a n } 的前 11 项和等于（A ．66B ．132C ． -66D ． -132【答案】D）S = 11⨯ (a + a ) 2 2 2 = 15 ，解得 n = 5 ，( )nC ． a = 3n -1D ． a =3n【解析】因为 a 3 ， a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根，所以 a 3 + a 9 = -24 ，又 a 3 + a 9 = -24 = 2a 6 ，所以 a 6 = -12 ，11⨯ 2a1 11 = 6 = -132 ，故选 D ． 118．我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为 2n -1 ，若去除所有为 1 的项，依次构成数列 2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前 15 项和为（）A ．110B ．114C ．124D ．125【答案】B【解析】由题意， n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第 n +1行，令 x = 1 ，可得二项展开式的二项式系数的和 2n ，其中第 1 行为 2 0 ，第 2 行为 21 ，第 3 行为 22 ，L L 以此类推，即每一行的数字之和构成首项为 1，公比为 2 的对边数列，则杨辉三角形中前 n 行的数字之和为 S = n 1- 2n1- 2 = 2n - 1，若除去所有为 1 的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3, 4,L ，可以看成构成一个首项为 1，公差为 2 的等差数列，则T =n n (n + 1)2 ，令 n (n + 1)所以前 15 项的和表示前 7 行的数列之和，减去所有的 1，即 27 - 1 - 13 = 114 ，即前 15 项的数字之和为 114，故选 B ．9．已知数列{a }的前 n 项和为 S nn，满足 2S n =3a n -1 ，则通项公式 a n 等于（）A ． a = 2n- 1n【答案】CB ． a= 2nn n：， + ， + + ， + + + ，，那么数列 {b }= ⎧⎨ 1 ⎩ a an n +1 ⎭n + 1 ⎭C ． 4 ⨯ ⎝ 2 n + 1 ⎭D ．⎝ 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n n2 a an (n + 1) ⎝ n n + 1 ⎭ = = = 4 ⨯ - ⎪ ， ∴ S = 4 ⨯ 1 - + - + - + ⋅⋅⋅ + - = 4 ⨯ 1 - ⎪ 2 2 3 3 4 n n + 1 ⎭ ⎝ ⎝⎪ ， 1 1 ⎫【解析】当 n = 1 时， 2S 1 = 3a 1 -1 ，∴ a 1 = 1 ，当 n ≥ 2 且 n ∈ N * 时， 2S n -1 = 3a n -1 - 1 ，则 2S n - 2Sn -1 = 2a n = 3a n - 1 - 3a n -1 + 1 = 3a n - 3a n -1 ，即 a n = 3an -1，∴ 数列 {a }是以1 为首项， 3 为公比的等比数列∴ a nn= 3n -1 ，本题正确选项 C ． 10．已知数列满足，且，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用排除法，因为，当当当当时，时，时，时，，排除 A ；，B 符合题意；，排除 C ；，排除 D ，故选 B ．11．已知数列为（）1 12 1 23 1 2 34 2 3 3 4 4 45 5 5 5⋯ n ⎫ ⎬ 前项和A ．1 - 1 ⎛ n + 1B ． 4 ⨯ 1 - 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ - 1 ⎫⎪1 1-2 n + 1【答案】B【解析】由题意可知： a =nn (n + 1)= = ， n + 1 n + 1 2∴ b = 1n n n +11 4 ⎛ 1 1 ⎫ n n + 1 ⋅2 2⎛ 1 1 1 1 1 ⎛ n本题正确选项 B ．1 ⎫n + 1 ⎭12．已知数列{a }满足递推关系： a ， a = ，则 a 2017= （12016B ． 12018D ． 1=a 2 -= 1 ． ⎩ a∴ 1=1}满足 a 2 q ，可设三数为， a ， aq ，可得 ⎪⎨ a⎪ q 求出 ⎨ ，公比 q 的值为 1．=3an n +1 = a 1 n a + 12 n）A ．12017C ．12019【答案】C【解析】∵ ana + 1 n1， a = ，∴ 1 1 1 a a n +1 n⎧ 1 ⎫∴数列 ⎨ ⎬ 是等差数列，首项为 2，公差为 1．n ⎭a2017= 2 + 2016 = 2018 ，则 a2018 ．故选 C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．13．已知等比数列{a n 1 = 12 ，且 a 2a 4 = 4(a3 - 1) ，则 a 5 = _______．【答案】8【解析】∵ a 2a 4 = 4(a 3 - 1) ，∴ a 3 = 4(a 3 -1) ，则 a 3 = 2 ，∴ a = 5 a 2 3 = a122 1 2= 8 ，故答案为 8．14．若三数成等比数列，其积为 8，首末两数之和为 4，则公比 q 的值为_______．【答案】1【解析】三数成等比数列，设公比为⎧a = 2⎩ q = 1⎧ a3 = 8 a q + aq =4 ⎩，15．在数列 {an}中，a 1= 1 ， an 3 + a n(n ∈ N *)猜想数列的通项公式为________．=3a4 3 + a 53 + a 6 3a 3a 32 数列的通项公式为 a = 3n + 2 n + 2+ = (m + n) + ⎪ = 10 + + ⎪ ≥ 10 + 2 ⋅ ⎪⎪ = 2 ， n m ⎭ 8 ⎝ n m ⎭【答案】3n + 2【解析】由 an 3 + a n， a = 1 ，可得 a = 1 2 3a 1 3 + a 13 3 3= ， a = = ， a == ，……，∴ 猜想 3 4 2 33，本题正确结果．n16．已知正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ，若存在两项 a m ， a n ，使得 8 a m a n = a 1 ，则9 1+ 的最小值 mn为__________．【答案】2【解析】Q 正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ，∴ 2a 1q 4 +a 1q 3 =a 1q 2 ，整理得 2q 2 +q - 1 = 0 ，又 q > 0 ，解得 q = 12，Q 存在两项 a ， a 使得 8 a ⋅ a = a ，∴ 64a 2 q m +n -2 = a 2 ，整理得 m + n = 8 ，m nmn111∴则 9 1 1 ⎛ 9 1 ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ m n 8 ⎝ m n ⎭ 8 ⎝9 1 m 9n+ 的最小值为 2，当且仅当 = 取等号，但此时 m ， n ∉ N * ．m n n m又 m + n = 8 ，所以只有当 m = 6 ， n = 2 时，取得最小值是 2．故答案为 2．三、解答题：本大题共6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10 分）已知等差数列{a n（1）求 {a}的通项公式；n}的公差不为 0， a 1= 3 ，且 a , a , a 成等比数列．2 4 7（2）求 a 2 + a 4 + a 6 + L + a 2n ．【答案】（1） a n = n + 2 ；（2） n 2 + 3n ．【解析】（1）Q a 2 , a 4 , a 7成等比数列，∴a42= a a ，2 7即 (a 1 + 3d )2 = (a 1 + d )(a 1 + 6d ) ，化简得 (a 1 - 3d )d = 0 ，∵公差 d ≠ 0 ，∴ a 1 = 3d ，6=n (a +a ) （2）若b= 4 { ⎪ 12 由题意得 ⎨，则 ⎨ ， ⎩ 7 ⎪(a + 6d )2 = (a + d )(a + 21d )⎩ 1化简得 ⎨⎧a + 2d = 7（2）证明： b = 42n (2n + 4) n (n + 2) 2 ⎝ n n + 2 ⎭ - + - + - + L +⎪1 + - - = - ⎪ < ． ⎪Q a = 3 ，∴ d = 1，∴ a = a + (n - 1)d = n + 2 ．1 n1（2）由（1）知 a 2n = 2n + 2 ，故{a 2n } 是首项为 4、公差为 2 的等差数列，所以 a + a + a + L + a2 4 6 n (4 + 2n + 2)2 2n = = n 2 + 3n ． 2 218．（12 分）已知公差不为零的等差数列{a n } 满足 S 5 = 35 ，且 a 2 ， a 7 ， a 22 成等比数列．（1）求数列{a n } 的通项公式；n nn(a - 1)(a + 3) ，且数列 b n }的前 n 项和为 T n ，求证： T < 3n 4．【答案】（1） a n = 2n + 1；（2）见详解．【解析】（1）设等差数列{a n } 的公差为 d ( d ≠ 0 )，⎧ 5 ⨯ 4⎧S = 355a + d = 35 5a 2 = a a2 221 11 ⎩2a 1 = 3d ⎧a = 3 ，解得 ⎨ 1⎩d = 2，所以 a = 3 + 2 (n -1) = 2n +1． nn nn(a -1)(a + 3) =4 11⎛1 1 ⎫ = = - ⎪ ，所以 T = n 1 ⎛ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⎫- + - 2 ⎝ 1 3 2 4 3 5 n - 1 n + 1 n n + 2 ⎭= 1 ⎛ 1 1 1 ⎫ 3 1 ⎛ 1 1 ⎫ 3 + 2 ⎝ 2 n + 1 n + 2 ⎭ 4 2 ⎝ n + 1 n + 2 ⎭ 419．（12 分）已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn且 S = 2a - 1 (n ∈ N * ) ．n n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前 n 项和 T n．【答案】（1） a = 2n- 1 ；（2） T = n ⋅ 2n - 2n + 1 ．nn【解析】（1）因为 S = 2a - 1 ，当 n ≥ 2 时， S = 2a - 1 ，7= 2a + 1 ， n ∈ N * ．+1)，数列 ⎨ 15 ≤ T n < ；即 a ∴ 数列 {a }的通项公式为 a = 2n - 1 n ∈ N * ．(2n + 1)(2n + 3) 2⎝ 2n + 1 2n + 3⎪⎭ ， - ⎪ + - ⎪ +⋅⋅⋅+⎪⎥ 2 ⎢⎣⎝ 3 5 ⎭ ⎝ 5 7 ⎭ ⎝ 2n + 2n + 3 ⎭⎦ 6 4n + 6整理可得 a n = 2a n -1 ，Q a = S = 2a - 1 ，解得 a = 1 ，1 111所以数列 {a n}为首项为1 ，公比为 2 的等比数列，∴a = 2n -1 ．n（2）由题意可得：T = 1⨯ 20 + 2 ⨯ 21 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n ，n所以 2T = 1⨯ 21 + 2 ⨯ 22 + ⋅⋅⋅ + (n - 1)2n -1 + n ⋅ 2n ，n两式相减可得 -T = 1 + 21 + 22 + ⋅⋅⋅+ 2n -1 - n ⋅ 2n = n∴ T = n ⋅ 2n - 2n + 1 ．n1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n = 2n - 1 - n ⋅ 2n ，20．（12 分）已知数列{a n}满足 a 1= 1 ， an +1n（1）求证数列{a n +1}是等比数列，并求数列{a n } 的通项公式；（2）设 b = log (a n 2 2n +1 ⎧ 1 ⎫ 1 1b b ⎬ 的前 n 项和 T n ，求证：6 ⎩ n n +1 ⎭．【答案】（1）证明见解析， a = 2n - 1(n ∈ N * )（2）见解析． n【解析】（1）由 an +1 = 2a n + 1 ，得 a n +1 + 1 = 2 (a + 1)，n+ 1n +1 a + 1n= 2 ，且 a + 1 = 2 ，1∴ 数列 {a +1}是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，n∴ a + 1 = 2 ⨯ 2n -1 = 2n ，n( )nn（2）由（1）得： b = logn2(a2n +1+ 1) = log (22n +1- 1 + 1)= 2n + 1 ，2∴1b bn n +11 1 ⎛ 1 1 ⎫ = = -∴T = n1 ⎡⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫⎤ 1 1 - = - (n ∈ N * )，8又 0 < 1即 1n （2）设数列满足 b = a sin a π2的前项和．⎪⎩n,2 3 L 2 3 L 2 (a + 4) = S + S 2a = d + 4 d = 2 ⎪ ⎩= asin n π + ⎪ = a cos (n π ) ， 2 ⎭ ⎝n +1，2n -1，⎪⎩n, 2 3 L 2 3 L a ⋅ a1 1 1 1 1 1 1≤ ，∴- ≤- < 0 ，∴ ≤ - < ，4n + 6 10 10 4n + 6 15 6 4n + 6 61≤ T < ．15 621．（12 分）已知等差数列的前项和为，且是与的等差中项．（1）求的通项公式；n ，求n n【答案】（1）⎧⎪- (n + 2), ；（2） T = ⎨n n = 2k - 1(k = 1，，， ) n = 2k (k = 1，，， ) ．⎧a = 7⎧a + 2d = 7 ⎧a = 3 【解析】（1）由条件，得 ⎨ 3 ，即 ⎨ 1 ， ⎨ 1⎪715⎩1⎩，所以{a n }的通项公式是（2）由（1）知， b = a sinnn．(2n + 1)π 2n n⎛ π ⎫（1）当 n = 2k -1 （k =1，2，3，…）即 n 为奇数时， b = -a ， b nnn +1= aT = -a + a - a + L + a n 1 2 3 n -1 - a = -a + (-2) n - 1= -n - 2 ；n 1（2）当 n = 2k （k =1，2，3，…）：即 n 为偶数时， b = a ， bnnn -1= -aT = -a + a - a +⋯- a n 1 2 3 n -1+ a = 2 ⋅ n n 2= n ，⎧⎪- (n + 2), 综上所述， T = ⎨n22．（12 分）设正项数列n = 2k - 1(k = 1，，， ) n = 2k (k = 1，，， ) ．的前 n 项和为，已知．（1）求证：数列是等差数列，并求其通项公式；（2）设数列的前 n 项和为，且 b = 4n nn +1，若对任意都成立，求实数的取值范围．9（2）由（1）可得 b = 1 n (n + 1) n n + 1∴ T = 1 - ⎪ + - ⎪ + L + - ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫1 n = 1 -= ， ⎪ 2 ⎭ ⎝ 2 3 ⎭⎝ n n + 1 ⎭n + 1 n + 1⎝，即 nλ < n + (-1)n ⋅ 2 对任意⎢⎣ ⎥⎦n 恒成立，令 f (n ) = (n + 2)(n + 1)Q f (n + 1)- f (n ) = n (n + 1)- 2②当为奇数时， λ < (n - 2)(n + 1)又 (n - 2)(n + 1)= n - - 1 ，易知：f (n ) = n - 在【答案】（1）见证明，【解析】（1）证明：∵；（2），且．，当当即时，时，有，解得．，即．，于是，即．∵ ，∴为常数，∴数列是为首项，为公差的等差数列，∴．1 1= - ，nnn + 1都成立⎡ n (n + 1)+ (-1)n ⋅ 2 (n + 1)⎤⇔ λ <⎢⎥ nmin(n ∈ N *)，①当为偶数时， λ < (n + 2)(n + 1) = n + 2+ 3 ，n nn (n + 1) > 0 ，在上为增函数，；n 恒成立，2 2 n n n为增函数，，102⨯ 4 ⨯ 3 = 0 ⎧a = -3 ⎪S 4 = 4a 1 + ⎪⎩a = a + 4d = 516 4⎩q3 (a + a + a ) = 120 ∴由①②可知：，综上所述的取值范围为．第 7 单元数列（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记 S 为等差数列{a } 的前 n 项和．已知 S = 0 ， a = 5 ，则（）n n45A ． a n = 2n - 5B ． a n = 3n - 10C ． S = 2n 2 - 8nD ． S = 1n nn 2 - 2n【答案】A2．已知等比数列{a }中， a n 3 ⋅ a = 20 ， a = 4 ，则 a 的值是（）13 6 10A ．16B ．14C ．6D ．5【答案】D【解析】由等比数列性质可知 a ⋅ a = a 2 = 20 ，3138由 a 6 = 4 ，得 q 4= a 2 8 = a 2620 5= ，∴ a = a q 4 = 5 ，本题正确选项 D ．10 63．等比数列{a } 中， a + a + a = 30 ， a + a + a = 120 ，则 a + a + a = （）n123456789A ．240B ．±240C ．480D ．±480【答案】C【解析】设等比数列{a } 中的公比为 q ，由 a + a + a = 30 ， a + a + a = 120 ，n 1 2 3 4 5 6⎧ 得 ⎨a + a + a = 301 2 31 2 3，解得 q 3 = 4 ，∴ a + a + a = q 3 (a + a + a ) = 480．7 8 9 4 5 6112 ， N = 4．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9 填入3 ⨯ 3 的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于 15．一般地，将连续的正整数1,2,3,L , n 2 填入 n ⨯ n 个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方．记 n 阶幻方的对角线上的数字之和为 N n ，如图三阶幻方的 N 3 = 15 ，那么 N 9 的值为（）A ．369B ．321C ．45D ．41【答案】A【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，根据等差数列的性质可知对角线的两个数相加正好等于1 + n 2，根据等差数列的求和公式 S = n (1+ n 2 ) 9 9 ⨯ (1+ 92 ) 2 = 369 ，故选 A ．5．已知 1， a 1 ， a 2 ，9 四个实数成等差数列，1， b 1 ， b 2 ， b 3 ，9 五个数成等比数列，则b 2 (a 2 - a 1 ) = （ A ．8 B ．-8 C ．±8 D ．98【答案】A）【解析】由 1， a 1 ， a 2 ，9 成等差数列，得公差 d = a 2 - a 1 = 9 - 1 84 - 1 = 3 ，由 1， b ， b ， b ，9 成等比数列，得 b 2 = 1⨯ 9 ，∴ b = ±3 ，12322当 b = -3 时，1， b ， -3 成等比数列，此时 b 2 = 1⨯ (-3) 无解，2 11所以 b = 3 ，∴ b (a - a 2 2 2 1 ) = 3 ⨯ 8= 8 ．故选 A ．36．已知数列{a n }是公比不为 1 的等比数列， S n为其前 n 项和，满足 a = 2 ，且16a ， 9a ， 2a2 1 4 7成等差数列，则 S = （）3A ． 5B ．6C ．7D ．9【答案】C【解析】数列{a n } 是公比 q 不为 l 的等比数列，满足 a 2 = 2 ，即 a 1q = 2 ，122 ⨯ 2 + 3)⨯ 2 ； 2 ⨯ 2 + 4 )⨯3 ；22- 5 =，且 A n =7n + 45a7= （10B ．172C ． 143A ． 93【解析】因为 7 = 7 = a + a a 2a A = 13 = 7 ⨯13 + 45 = 17 1 13 2 且16a ， 9a ， 2a 成等差数列，得18a = 16a + 2a ，即 9a q 3 = 8a + a q 6 ，1 47417111解得 q = 2，a = 1 ，则 S = 1 3 1 - 23 1 - 2= 7 ．故选 C ．7．将石子摆成如图的梯形形状，称数列 5，9，14，20，L ，为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第 2016 项与 5 的差，即 a 2016- 5 = （）A ． 2018⨯ 2014B ． 2018⨯ 201C ．1011⨯ 2015D ．1010⨯ 2012【答案】C【解析】由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n =1 时， a = 2 + 3 = 11(n =2 时， a = 2 + 3 + 4 = 2…，由此我们可以推断：1 (a = 2 + 3 + L + (n + 2 ) = 1n⎡⎣2 + (n + 2)⎤⎦ ⨯ (n + 1)，∴ a 1⨯ ⎡⎣2 + (2016 + 2)⎤⎦ ⨯ (2016 + 1)- 5 = 1011⨯ 2015 ．故选 C ．20168．已知两个等差数列{a }和 {b }的前 n 项和分别为 A 和 BnnnnB n + 3 b n 7）17D ．15【答案】B771131313(a + a )1 131 13= 2 b 2b b + b 13(b + b ) B 13 + 3 2，故答案选 B ．9．已知数列{ }的前 n 项和为，，（），则（）A．32B．64C．128D．25613，∴ S B ．C ． 1a - 1 a - 1，n⎧B ． 2019 ) =+ = + = + =2 ，1 1 + 1 + a 2a 2【答案】B【解析】由，得，又，∴- 1 n +1 S - 1n= 2 ，即数列{则∴10．数列1}是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，，则．．故选 B ．满足：，若数列是等比数列，则的值是（）A ．1 【答案】B2 D ．【解析】数列为等比数列 ⇒ a- 1λa - 2上式恒成立，可知 ⎨λ =q⎩-2 = -q⇒ λ = 2 ，本题正确选项 B ．11．已知函数 f (x ) =2( 1 + x 2x ∈ R )，若等比数列满足 a a1 2019= 1 ，则A ．2019【答案】A （）2 C ．2D ． 1 2【解析】∴ f (a )+ f (a12019，1 + a2 1 + a 2 1 + a 2 1 + a 21 2019 1 1 1为等比数列，则，14b b3B ． 16 C ． 115D ． 2b b= = - ⎭ 数列的前项和 T = - + - ⎪ ⎪ ， 2 ⎝ 3 5 5 72n + 1 2n + 3 ⎭ 2 ⎝ 3 2n + 3 ⎭可得 λ ≤ 12，即12．已知是公比不为 1 的等比数列，数列．满足：，，成等比数列，c =1n2n 2n +2，若数列的前项和对任意的恒成立，则的最大值为（）A ．115【答案】C【解析】由，，成等比数列得 a 2 =a a ，2 2nb n又是公比不为 1 的等比数列，设公比为 q ，则 a 2 q2b n-2 = a 2 q 2n ，整理得 b = n + 1，c =111n n2n 2n +21 1 ⎛ 1 1 ⎫ (2n + 1)(2n + 3)2 ⎝ 2n + 1 2n +3 ⎪ ，1 ⎛ 1 1 1 11 1 ⎫ 1 ⎛ 1 1 ⎫+ ⋅⋅⋅ +- = - n数列是单调递增数列，则当 n =1 时取到最小值为1151 ，即的最大值为，故选 C ．1515，第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．13．已知{a n } 是等差数列， a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 ，则 S 9 = _________．【答案】36【解析】{a n } 是等差数列， a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 ， a 2 + a 8 = a 4 + a 6 = 2a 5 ，得出 a 5 = 4 ，又由 S = 9 ⋅ (a 1 + a 9 )9 = 9a = 36 ．514．在数列 {a }中， a n 1= 1,an +1- a = 2n + 1 ，则数列的通项 a = ________．n n15x【答案】 n 2【解析】当 n ≥ 2 时，a = (a - a ) + (ann n -1n -1- a n -2) + (an -2- a n -3) + L + (a - a ) + (a - a ) + a ，3 2 2 1 1⇒ a = (2n - 1) + (2n - 3) + (2 n - 5) + L + 5 + 3 + 1 = n当 n = 1 ， a 也适用，所以 a = n 2 ．1nn (2n - 1 + 1) 2= n 2 ，15．设数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，且 ∀n ∈ N *, a n +1a = ________．n【答案】 n - 6(n ∈ N * ) （答案不唯一）> a , S ≥ S ．请写出一个满足条件的数列{a } 的通项公式n n 6 n【解析】 ∀n ∈ N * , a n +1> a ，则数列{a } 是递增的， ∀n ∈ N * , S ≥ S ，即 S 最小，n n n 6 6只要前 6 项均为负数，或前 5 项为负数，第 6 项为 0，即可，所以，满足条件的数列{a n } 的一个通项公式 a n = n - 6(n ∈ N * ) （答案不唯一）．16．已知函数 f ( x ) = x 2 cosπx2，数列 {a }中， a = f (n )+ f (n + 1)(n ∈ N * ) ，则数列{a }的n n n前 40 项之和 S 40 = __________．【答案】1680【解析】函数 f (x ) = x 2 cos π 2且数列 {a }中， a = f (n )+ f (n +1)，n n可得 a = f (1)+ f (2) = 0 - 4 = -4 ； a = f (2)+ f (3) = -4 + 0 = -4 ；12a = f (3)+ f (4) = 0 +16 = 16 ； a = f (4)+ f (5) = 16 ；3 4a = f (5)+ f (6) = 0 - 36 = -36 ； a = f (6)+ f (7) = -36 ；…，5 6可得数列 {a n 即有数列 {a n}为 -4 ， -4 ， 16 ，16 ， -36 ， -36 ， 64 ， 64 ， -100 ， -100 ，…， }的前 40 项之和：S = (-4 - 4 +16 +16)+ (-36 - 36 + 64 + 64)+ (-100 -100 +144 +144)+ 40⋅⋅⋅+ (-1444 -1444 +1600 +1600) = 24 + 56 + 88 +⋅⋅⋅+ 31216= ⨯10 ⨯ (24 + 312 ) = 1680 ，（ a b a 1 - 22n 2 + n (n ∈ N * )．2 2 222212本题正确结果1680 ．三、解答题：本大题共6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．10 分）已知数列{a n}是等比数列，数列 {b }是等差数列，且满足： n 1= b = 1 ， + b = 4a ， - 3b = -5 ．1 2 3 2 3 2（1）求数列{a n }和 {b }的通项公式；n（2）设 c n = a n + b n ，求数列 {c n}的前 n 项和 S n ．【答案】（1） a = 2n -1 , n ∈ N * ， b = 2n - 1,n ∈ N * ；（2） S = 2n + n 2 - 1 ．nn n【解析】（1）设 {an}的公比为 q ， {b }的公差为 d ，由题意 q > 0 ，n⎧(1+ d ) + (1+ 2d ) = 4q ⎧-4q + 3d = -2由已知，有 ⎨ ，即 ⎨⎩q 2 - 3(1+ d ) = -5 ⎩ q 2 - 3d = -2⇒ q 2 - 4q + 4 = 0 ⇒ d = q = 2 ，所以 {a n }的通项公式为 an= 2n -1 , n ∈ N * ， {b }的通项公式为 b = 2n - 1,n ∈ N * ．n n（2） c = a + b = 2n -1 + 2n - 1 ，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到nnn1 - 2nn (1+ 2n - 1)S =+= 2n + n 2 - 1 ．n18．（12 分）己知数列{a }的前 n 项和为 S n（1）求 {a}的通项公式；nn且 S = n 1 12 2（2）设 b n =1a an n +1，求数列 {b n}的前 100 项和．【答案】（1） a n = n ；（2） T100 =100 101．【解析】（1）当 n ≥ 2 时， S =n两式相减得 a n = S n - S n -1 = n ， n 2 + n ， S = (n - 1)2 + (n - 1)= n 2 + n- n ，17当 n =1时， a = S = + = 1，满足 a = n ，\ a = n ． 2 2骣 1 骣 1 骣1 1 1 1 1001 - + - +L + - +2 = - ， n +1 =2 n∈ N * )． ⎧⎬（2）若数列{b }满足： ba + 1 3n4 4 == 3 +n⎩ a n +1⎭a + 1 = 3n ，所以 a =1 - 1 ． 3n ( )⇒ S = 2n - 144（2）令 b = 2n + 1，求数列 {b }的前 n 项和 T 及 T 的最小值．a + 2 nn1 11 1 n n（2）由（1）可知 b n =1 1 1= - ，n (n + 1) n n + 1所以数列 {b n}的前 100 项和 T100= b +b +?1 2b100= 琪琪琪琪 - = 1 - = ．桫 2桫 3 ? 99 100100 101 101 10119．（12 分）已知数列{a }满足： a n 1 3a -2a n - 3 ( 3a + 4 n（1）证明数列 ⎨ 1 ⎫ 为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；⎩ a n + 1⎭nn =3n (n ∈ N * )，求 {b }的前 n 项和 S ． nn n【答案】（1）证明见解析， a = n1 2n - 1 9- 1；（2） S = ⨯ 3n +2 + ．n【解析】（1）因为 an +1+ 1 = -2a - 3 a + 1 1 3a + 4 1 n + 1 = n ，所以， 3a + 4 3a + 4 a + 1 a a + 1 n n n +1 n +1 n⎧ 1 ⎫所以 ⎨ ⎬ 是首项为 3，公差为 3 的等差数列，所以n1 n（2）由（1）可知： a =n 1 3n- 1，所以由 b = n 3n a + 1 nn ∈ N * ⇒ b = n ⋅ 3n +1 ， nS = 1 ⨯ 32 + 2 ⨯ 33 + L + (n - 1) ⨯ 3n + n ⨯ 3n +1 ①；n3S = 1 ⨯ 33 + 2 ⨯ 34 + L + (n - 1) ⨯ 3n +1 + n ⨯ 3n +2 ②，n①-②得 -2S = 32 + 33 + L + 3n +1 - n ⨯ 3n +2 = n 32 (3n - 1)3 - 1 - n ⨯ 3n +2n9⨯ 3n +2+ ．20．（12 分）已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn，且 S n = 2a n - 2n -1 ．（1）求数列{a n}的通项公式；n nn185 ⨯ 2n -1 （2）Q b = 2n + 1 1 1 1 ⎛ 3 5 7 2n + 1 ⎫ ，则 T n = ⎪ ， a + 2 52n -1 5 ⎝ 20 21 22 2n -1 ⎭ T = ⎪ 两式作差得 1 - T = ⨯ ⎢3 + ⎛ 1 ⎫ 1 ⎡ ⎛ 2 2 2 ⎫ 2n + 1⎤ 2n + 5 + +⋅⋅⋅+ - = 1 -2n ⎥⎦ ⎝ 2 ⎭ n 5 ⎣21 22 2n -1 ⎭ 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⎧( ⎧ n - 1)2n + , n 是奇数 3 - 3n ⎪b n = 2 2 , n 是奇数2 ， b = ⎨ ；（2） T = ⎨ ．3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数 n -2 ⎪b = 2 2 , n 是偶数n n【答案】（1）a = 5 ⨯ 2n -1- 2 (n ∈ N *)；（2） T = 2 - 2n +5 3，最小值． 5【解析】（1）当 n =1 时， a 1 = S 1 = 2a 1 - 2 - 1 ，解得 a 1 = 3 ，当 n ≥ 2 时， a n = S n - S n -1 = 2a n - 2a n -1 - 2 ，解得 a n = 2 a n -1 + 2 ．则 a + 2 = 2 (an n -1+ 2)，故 {a n + 2}是首项为 a 1 + 2 = 5 ，公比为 2 的等比数列，∴ a = 5 ⨯ 2n -1 - 2 (n ∈ N * )． n = ⨯ (2n + 1)⨯ + + + ⋅⋅⋅ +nn1 1 ⎛2 n 5 ⎝3 5 7 2n - 1 2n + 1 ⎫+ + + ⋅⋅⋅ + +21 22 23 2n -1 2n ⎭⎪ ⎪⎝，所以 T = 2 - n 2n + 5 5 ⨯ 2n -1，2n + 5 2n + 7 2n + 5 -2n - 3令 c = ，有 c - c =- = < 0 ，对 n ∈ N * 恒成立， n n +1 n则数列{c n }是递减数列，故{T n } 为递增数列，则 (T n )min 3= T = ． 121．（12 分）已知正项数列且．的前项和为，且，，数列满足，（1）求数列（2）令【答案】（1），的通项公式；，求数列的前项和．n +1 ⎪⎪ n n⎩ n ⎪⎩ 2【解析】（1）当时，，即，，19⎧⎪S + S = a 2 由 ⎨ ，可得= a 2 (n ≥ 2) ，⎪⎩ n由 ⎨ 两式相除，得 n +1 = 2 (n ≥ 2 )，⎧b b = 2n b⎪⎩b n -1b n = 2n -1 (n ≥ 2)综上：b = ⎨ n ⎪b = 2 n -22 , n 是偶数 ⎩ ⎧ 3n ⎪⎪ 2 , 的前项和为 B ，∴ B = ⎨ ， -3n + 1 ⎪ , n 是奇数 ⎧(n - 1)2n + , n 是奇数 ⎪⎪ 2综上： T = ⎨ ．3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数n +1 n n +1 S + S n -1 n即，又是公差为，首项为的等差数列，，由题意得：，n n +1 b n -1是奇数时，是公比是，首项的等比数列，∴ b = 2nn +1 2 ，同理是偶数时是公比是，首项的等比数列，∴ b = 2nn -2 2 ，n ⎧ n +1⎪b = 2 2 , n 是奇数n．（2）令，即，⎧⎪ A = 1⋅ 20 + 2 ⋅ 21 + 3 ⋅ 22 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n -1的前项和为，则 ⎨ n⎪⎩2 A n = 1⋅ 21 + 2 ⋅ 22 + 3 ⋅ 23 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n，两式相减得 - A = 20 + 21 + 22 + 2n -1 - n ⋅ 2n = n，1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n ，令n n⎪⎩ 2n 是偶数3 - 3nn⎪⎩ 220ln 22 ln 32 ln n 2 (n - 1)(2n + 1) (当 x ≥ a 时， f '( x ) = 1 - = ，此时要考虑 a 与 1 的大小．（2）由（1）可知当 a = 1 ， x > 1 时， x -1 - ln x > 0 ，即 ln x > 1 - x ，所以 ln x = n - 1 - = n - 1 - - ⎪ < n - 1 - + + L + ⎝ 2 n 2 ⎭ ⎝ 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 n(n + 1) ⎭ 1 ⎫ n - 1 = (n - 1) - n + 1 ⎭ 2(n + 1) ⎛ 122．（12 分）已知函数 f ( x ) =| x - a | - ln x(a > 0) ．（1）讨论 f ( x ) 的单调性；（2）比较 + +⋯+ 与的大小 n ∈ N * 且 n > 2) ，并证明你的结论．22 32 n 2 2(n + 1)【答案】（1）见解析；（2）见解析．⎧ x - ln x - a, 【解析】（1）函数 f ( x ) 可化为 f ( x ) = ⎨⎩a - x - ln x,x ≥ a0 < x < a ，当 0 < x < a 时， f '( x ) = -1 - 1 x< 0 ，从而 f ( x ) 在 (0, a) 上总是递减的，1 x - 1x x①若 a ≥ 1 ，则 f '( x ) ≥ 0 ，故 f ( x ) 在 [a, +∞ ) 上递增；②若 0 < a < 1 ，则当 a ≤ x < 1 时， f '( x ) < 0 ；当 x > 1 时， f '( x ) > 0 ，故 f ( x ) 在 [a,1) 上递减，在 (1, +∞) 上递增，而 f ( x ) 在 x = a 处连续，所以当 a ≥ 1 时， f ( x ) 在 (0, a) 上递减，在[a, +∞ ) 上递增；当 0 < a < 1 时， f ( x ) 在 (0,1) 上递减，在[1, +∞ ) 上递增．1< 1 - ．x x所以 ln 22 ln 32 ln n 2 1 1 1+ + L + < 1 - + 1 - + L 1 -22 32 n 2 22 32 n 2⎛ 1 1 + ⎝ 22 32 + L + 1 ⎫ 1 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ ⎪2n 2 - 2 - n + 1 (n - 1)(2n + 1) = = ．2(n + 1) 2(n + 1)21。

世纪金榜高三理科数学一轮复习全套试题含答案：课时提能演练(七十一) 11.8

课时提能演练(七十一)(45分钟 100分)一、选择题（每小题6分，共36分）1.甲、乙两市都位于长江下游，根据天气预报的记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%.则甲市为雨天的条件下，乙市也为雨天的概率为( )（A）0.6 （B）0.7 （C）0.8 （D）0.662.国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )（A）5960（B）35（C）12（D）1603.在4次独立重复试验中，记事件A在1次试验中发生的概率为p(0＜p ＜1),随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则p的取值范围是( )（A）［0.4,1) （B）(0,0.4］（C）(0,0.6］（D）［0.6,1)4.（2011·湖北高考）如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( )（A）0.960 （B）0.864 （C）0.720 （D）0.5765.（2012·泉州模拟）设两个独立事件A和B都不发生的概率为19，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是( )（A）29（B）118（C）13（D）236.（易错题）甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3∶1的比分获胜的概率为 ( )（A）827（B）6481（C）49（D）89二、填空题（每小题6分，共18分）7.在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是_______.8.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个加工为一等品的概率为_______.9.（预测题）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是_______(写出所有正确结论的编号).①P(B)＝25；②P(B|A1)＝511；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关.三、解答题（每小题15分，共30分）10.（2011·四川高考）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14,12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12,14；两人租车时间都不会超过四小时.（1）分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；（2）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率.11.（2012·厦门模拟）某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响.已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积. （1）求学生小张选修甲的概率；（2）记“函数f(x)=x 2+ξx 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率. 【探究创新】（16分）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是2334和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响.(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击.问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？答案解析1.【解析】选A.甲市为雨天记为A ，乙市为雨天记为B ，则P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12， ∴()()()P A B 0.12P B |A 0.6P A0.2＝＝＝.2.【解题指南】先求出三人都不去北京旅游的概率，再根据对立事件求出至少有1人去北京旅游的概率.【解析】选B.因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14，15.因此，他们不去北京旅游的概率分别为23，34，45，所以，至少有1人去北京旅游的概率为P ＝234313455⨯⨯－＝.3.【解析】选A.设事件A 发生的概率为p ，则1322244C p (1p )C p (1p )≤－－，化简得2(1-p)≤3p,解得p ≥0.4.4.【解题指南】系统正常工作应保证K 正常工作且A 1、A 2中至少有一个正常工作.【解析】选B.由相互独立事件的概率公式得P=0.9×(1-0.2×0.2)=0.9×0.96=0.864.5.【解题指南】根据相互独立事件的概率公式构造含有P(A)P(B)的方程组求解.【解析】选D.由题意，P(A )·P(B )＝19，P(A )·P(B)＝P(A)·P(B ).设P(A)＝x ，P(B)＝y ，则1(1x )(1y )9(1x )y x (1y ).⎧⎪⎨⎪⎩－－＝，－＝－即211x y x y 1x 2x 199x y ⎧⎪∴⎨⎪⎩－－＋＝，－＋＝，＝，∴x －1＝13－，或x －1＝13(舍去)，∴x ＝23.6.【解析】选A.前三局中甲获胜2局，第四局甲胜，则P ＝2232228C ()(1)33327⨯⨯－＝.7.【解题指南】至少有1人去此地的对立事件是两个人都不去此地，求出两个人都不去此地的概率，再根据对立事件的概率得到结果.【解析】由题意知，本题是一个相互独立事件同时发生的概率问题，两个人都不去此地的概率是（1-14）×（1-15）=35，∴至少有一个人去此地的概率是1-35=25.答案：258.【解析】设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；事件B：乙实习生加工的零件为一等品，则P(A)＝23，P(B)＝34，所以这两个零件中恰有一个加工为一等品的概率为：()()()()()()P A B P A B P A P B P A P B∙∙＋＝＋＝23×(1－34)＋(1－23)×34＝512.答案：512【方法技巧】已知两个事件A、B相互独立，它们的概率分别为P(A)、P(B)，则有A B（）()()A B A B P()()A B A B(P9.【解题指南】根据事件互斥、事件相互独立的概念，条件概率及把事件B的概率转化为P(B)=P(A1∩B)+P(A2∩B)+P(A3∩B)可辨析此题.【解析】显然A1,A2,A3是两两互斥的事件，有P(B|A1)=511，P(B|A2)=411，P(B|A3)=411，而P(B)=P(A1∩B)+P(A2∩B)+P(A3∩B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=552434910111011101122⨯+⨯+⨯=,且P(A1∩B)=522,P(A1)P(B)=599102244⨯=,由P(A1∩B)≠P(A1)P(B),可以判定②④正确，而①③⑤错误.答案：②④10.【解题指南】（1）直接利用互斥事件的概率求解；（2）相互独立事件同时发生的概率问题，直接利用公式求解.【解析】（1）分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A、B，则P（A）=1111424--=，P（B）=1111244--=.即甲、乙在三小时以上且不超过四个小时还车的概率分别为14,14.（2）记甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元为事件C,则P(C)=1111111111113()()()4244222442444⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.11.【解析】（1）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z，依题意得()()()()()()x 1y 1z 0.08x y 1z 0.1211x 1y 1z 0.88--=⎧⎪-=⎨⎪----=⎩，解得x 0.4y 0.6.z 0.5=⎧⎪=⎨⎪=⎩所以学生小张选修甲的概率为0.4.（2）若函数f(x)=x 2+ξx 为R 上的偶函数，则ξ=0, 当ξ=0时，表示小张选修三门课程或三门课程都没选.∴P(A)＝P(ξ=0)=xyz+(1-x)(1-y)(1-z)=0.4×0.5×0.6+(1-0.4)×(1-0.5)×(1-0.6)=0.24, ∴事件A 的概率为0.24. 【探究创新】【解析】(1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A 1.由题意，射击4次，相当于做4次独立重复试验. 故P(A 1)＝1－P(1A )＝42651)381－(＝，所以甲连续射击4次至少有一次未击中目标的概率为6581.(2)记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B 2，则()224224228P A C ()(1)3327-⨯⨯＝－＝，()3343243327P B C ()(1).4464-⨯⨯＝－＝由于甲、乙射击相互独立，故 P(A 2B 2)＝P(A 2)·P(B 2)＝827127648⨯＝.所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为18.(3)记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A 3，“乙第i 次射击未击中”为事件D i (i ＝1,2,3,4,5)，则 A 3＝D 5D 4·3D ·(21DD )，且P(D i )＝14.由于各事件相互独立，故 P(A 3)＝P(D 5)·P(D 4)·P(3D )·P(21DD )＝1131145(1)444441 024⨯⨯⨯⨯－＝.所以乙恰好射击5次后被中止射击的概率为451 024.。

高二数学上学期期末复习题2(理科)答案

高二数学上学期期末复习题二（理科）（2013.12）1．命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是（）A.不存在0x ∈R, 02x >0B.存在0x ∈R, 02x ≥0C.对任意的x ∈R, 2x≤0 D.对任意的x ∈R, 2x>0 【答案】D2．如图，若图中直线l 1, l 2, l 3的斜率分别为k 1, k 2, k 3，则A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2 C.k 3<k 2<k 1 D.k 1<k 3<k 2 【答案】B3．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，则C 的渐近线方程为（）（A ）14y x =± （B ）13y x =± （C ）12y x =± （D ）y x =±【答案】C ；4．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 等于( )A ．1B ．2C ．－12D ．2或－12解析：当2m 2＋m －3≠0时，在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3＝1，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12.答案：D5．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，则椭圆C 的方程为 ( )．A.x 23＋y 2＝1 B ．x 2＋y 23＝1 C.x 23＋y 22＝1 D.x 22＋y23＝1 解析因为c a ＝63，且c ＝2，所以a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 23＋y2 ＝1. 答案 A6．如图，在正方体1111D C B A ABCD -，若11AA z AB y AD x BD ++=，则x y z ++的值为（）A ．3 B ．1 C ．－1 D ．－3【答案】B7．设a R ∈，则“1a =”是“直线1:210l ax y +-=与直线2:(1)40l x a y +++=平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A8．给出下列互不相同的直线l 、m 、n 和平面α、β、γ的三个命题： ①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β. ②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m .③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0解析：①中α与β也可能相交，∴①错；在②中l 与m 也可能异面，∴②错，③正确．答案：C9．设m ，n 为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是( ) A ．若m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β，则α∥β B ．若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α C ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nD ．若m ，n 为两条异面直线，且m ∥α，n ∥α，m ∥β，n ∥β，则α∥β答案：D10．长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( ) A.1010 B.3010 C.21510 D.31010答案：B11．已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K ，点A在抛物线上且||||AK AF =，则△AFK 的面积为（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）32 【答案】D【解析】双曲线的右焦点为(4,0)，抛物线的焦点为(,0)2p ，所以42p=，即8p =。

计算机基础(理科)期末考试试题(含答案)

计算机基础（理科）期末考试试题计算机基础（理科）复习大纲Ch1 计算机基础知识约占45分（1、2、3、4、11各占2分，5占4分，6占20分7、8可根据第二章出题的情况自佐、9、10各占5分）一、单项选择题（每题1分，共计35分）1、计算机目前已经发展到_____ 阶段。

A、晶体管计算机B、集成电路计算机C、超大规模集成电路计算机D、人工智能计算机2、第一台计算机采用的硬件逻辑器件是______。

Ａ、半导体器件Ｂ、光电管Ｃ、电子管Ｄ、集成电路3、最早计算机的用途是用于_____。

A、科学计算B、系统仿真C、自动控制D、辅助设计4、以下选项，不属于．．．描述计算机的特点的选项是_____。

A、高速运算能力B、计算精确度高、具有可靠的判断能力C、具有记忆和逻辑判断能力D、体积小5、被大家称为PC机的微型计算机，PC的含义是指。

Ａ、小型计算机Ｂ、计算机型号Ｃ、兼容机Ｄ、个人计算机6、以下选项，不属于常用办公自动化软件的是哪一项_____。

A、文字处理软件B、表格处理软件C、演示软件D、Photoshop7、下列字符中ASCII码值最小的是_____。

A、 AB、MC、 kD、a8、对补码的叙述，_____不正确．．．。

A、负数的补码是该数的反码最右加1B、负数的补码是该数的原码最右加1C、正数的补码就是该数的原码D、正数的补码就是该数的反码9、汉字系统中的汉字字库里存放的是汉字的_____。

A、机内码B、国标码C、字形码D、输入码10、微型计算机中普遍使用的字符编码是。

A、BCD码B、机内码C、输入码D、ASCII码11、在计算机内部用机内码而不用国标码表示汉字的原因是_____。

A、有些汉字的国标码不唯一，而机内码唯一B、在有些情况下，国标码有可能造成误解C、机内码比国标码容易表示D、国标码是国家标准，而机内码是国际标准12、对于R进制数，在每一位上的数字可以有（）种。

A、RB、R-1C、R/2D、R+113、微机中1K字节表示的二进制位数是___________。

2022年高考数学理科第一轮复习资料：2-3

第二章第三讲时间：60分钟满分：100分一、选择题(8×5＝40分)1．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是 ( )A ．y ＝512－xB ．y ＝(13)1－xC ．y ＝(12x )－1 D ．y ＝1－2x 答案：B解析：y ＝512－x 中，12－x≠0，故y ≠1，值域为(0,1)∪(1，＋∞)，y ＝(13)1－x 的值域为(0，＋∞)，故选B.总结评述：对于不复杂的函数，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域．2．函数f (x )＝11－x (1－x )的最大值为 ( ) A.45 B.54 C.34 D.43答案：D解析：1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝(x －12)＋34≥34.因此，有0＜11－x (1－x )≤43.所以f (x )的最大值为43. 总结评述：二次函数或转化为形如F (x )＝af 2(x )＋bf (x )＋c 类的函数的值域问题，均可用配方法，而后面的函数要注意f (x )的范围．3．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12C ．2D ．4 答案：B解析：a ＞1时，f (x )在[0,1]上为增函数，最小值f (0)，最大值f (1)；0＜a ＜1时，f (x )在[0,1]上为减函数，最小值f (1)、最大值f (0)，据题设有：f (0)＋f (1)＝a ，即1＋a ＋log a 2＝a ，∴a ＝12. 4．(2009·湖北部分重点中学第二次联考)函数y ＝x x 2＋x ＋1(x >0)的值域是 ( ) A ．(0，＋∞) B ．(0，13) C ．(0，13] D ．[13，＋∞) 答案：C解析：由y ＝x x 2＋x ＋1(x >0)得0<y ＝x x 2＋x ＋1＝1x ＋1x ＋1≤12x ·1x＋1＝13，因此该函数的值域是(0，13]，故选C. 5．函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是 ( ) A ．(－∞，0)∪(12，2]B ．(－∞，2]C ．(－∞，12)∪[2，＋∞) D ．(0，＋∞)答案：A解析：∵x ∈(－∞，1)∪[2,5)，则x －1∈(－∞，0)∪[1,4)，∴2x －1∈(－∞，0)∪(12，2]，故应选A.6．(2009·重庆市高三联合诊断性考试(第一次))已知函数y ＝x 2－3x ＋3(x >0)的值域是[1,7]，则x 的取值范围是 ( )A ．(0,4]B ．[1,4]C ．[1,2]D ．(0,1]∪[2,4]答案：D解析：依题意得y ＝(x －32)2＋34(x >0)的值域是[1,7]，由x 2－3x ＋3＝1解得x ＝1或x ＝2；由x 2－3x ＋3＝7得x ＝－1(舍)或x ＝4.结合该函数的图象分析可知，x 的取值范围是(0,1]∪[2,4]，选D.7．函数f (x )＝2－4x －x 2(0≤x ≤4)的值域是 ( )A ．[－2,2]B ．[1,2]C ．[0,2]D ．{－2，2}答案：C 解析：用三角换元法，可令x －2＝2sin θ，θ∈[－π2，π2]． ∵y ＝2－4x －x 2＝2－4－(x －2)2∴y ＝2－2cos θ∈[0,2]，故选C.8．(2009·宁夏、海南，12)用min{a ，b ，c }表示a 、b 、c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为 ( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案：C解析：f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图象如图．令x ＋2＝10－x ，得x ＝4.当x ＝4时，f (x )取最大值，f (4)＝6.二、填空题(4×5＝20分)9．(2009·湖北八校第一次联考)函数y ＝13－e x的值域为________．答案：(－∞，0)∪(13，＋∞) 解析：由e x ＝3y －1y >0⇒y <0或y >13. 10．函数y ＝log 3(9－x 2)的定义域为A ，值域为B ，则A ∩B ＝________.答案：{x |－3<x ≤2}解析：由9－x 2>0得－3<x <3，∴A ＝{x |－3<x <3}．∵0<9－x 2≤9，∴log 3(9－x 2)≤2.∴B ＝(－∞，2]故A ∩B ＝{x |－3<x ≤2}．11．设x 、y ≥0,2x ＋y ＝6，则Z ＝4x 3＋3xy ＋y 2－6x －3y 的最大值是__________，最小值是__________．答案：18 272分析：转化为一元函数最值，转化时注意挖掘出变元的取值范围(隐含条件)．解答：由y ＝6－2x ≥0及x ≥0得0≤x ≤3，将y ＝6－2x 代入Z 中得Z ＝2x 2－6x ＋18(0≤x ≤3)，从而解得：Z max ＝18，Z min ＝272. 12．(2011·原创题)在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当a ≥b 时，a b ＝a ；当a ＜b 时，a b ＝b 2.则函数f (x )＝(1x )·x －(2x )(x ∈[－2,2])的最大值等于________(“·”和“－”仍为通常的乘法和减法)．答案：6解析：当x ∈[－2,1]时，f (x )＝1·x －2＝x －2，f (x )max ＝－1；当x ∈(1,2]时，f (x )＝x 2·x －2＝x 3－2，f (x )max ＝6，故填6.三、解答题(4×10＝40分)13．求下列函数的值域：(1)y ＝x 2x ＋1；(2)y ＝x 2－x x 2－x ＋1； (3)y ＝x －1－2x ；(4)y ＝log 3x ＋log x 3－1.分析：解析：(1)解法一：(反函数法)因为函数y ＝x 2x ＋1的反函数为y ＝11－2x，后者其定义域为{x |x ≠12，x ∈R }，故函数的值域为{y |y ≠12，x ∈R }．解法二：(分离常数法)y ＝x 2x ＋1＝x ＋12－122(x ＋12)＝12－122x ＋1. ∵12(2x ＋1)≠0，∴函数的值域为{y |y ≠12，y ∈R }． (2)解法一：(配方法)∵y ＝1－1x 2－x ＋1，而x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34， ∴0<1x 2－x ＋1≤43，∴－13≤y <1. 解法二：(判别式法)由y ＝x 2－x x 2－x ＋1，得(y －1)x 2＋(1－y )x ＋y ＝0， ∵y ＝1时，x ∈∅，∴y ≠1，又∵x ∈R ，∴必须△＝(1－y )2－4y (y －1)≥0.∴－13≤y ≤1. ∵y ≠1，∴函数的值域为[－13，1)． (3)解法一：(单调性法)定义域为{x |x ≤12}，函数y ＝x ，y ＝－1－2x ，均在(－∞，12]上递增，则y ＝x －1－2x 在(－∞，12]上递增，故y ≤12－1－2×12＝12. 解法二：(换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0，且x ＝1－t 22.∴y ＝－12(t ＋1)2＋1≤12(t ≥0)， ∴y ∈(－∞，12]．(4)当x >1时，log 3x >0，故有y ≥2log 3x ·1log 3x－1＝1. 当且仅当log 3x ＝1log 3x，即log 3x ＝1，即x ＝3时等号成立．当0<x <1时，log 3x <0，－log 3x >0∴y ＝log 3x ＋1log 3x －1＝－(－log 3x －1log 3x )－1≤－2(－log 3x )·(－1log 3x)－1＝－3. 当且仅当log 3x ＝1log 3x ，即x ＝13时等号成立，综上可知，函数的值域为{y |y ≤－3或y ≥1}．14．(1)若函数y ＝lg(x 2－ax ＋9)的定义域为R ，求a 的范围及函数值域；(2)若函数y ＝lg(x 2－ax ＋9)的值域为R ，求a 的取值范围及定义域．解析：(1)函数的定义域为R .即x 2－ax ＋9>0恒成立，则△＝a 2－36<0恒成立，所以－6<a <6. 此时，x 2－ax ＋9＝(x －a 2)2＋9－a 24≥9－a 24， ∴a 的范围是(－6,6)，值域为[lg(9－a 24)，＋∞)． (2)函数的值域为R ，即真数x 2－ax ＋9必能取遍所有正数，二次函数g (x )＝x 2－ax ＋9的图象不可能全在x 轴上方，△＝a 2－36≥0，所以a ≥6或a ≤－6.由x 2－ax ＋9>0得x >a ＋a 2－362或x <a －a 2－362. 所以此函数的定义域为 (－∞，a －a 2－362)∪(a ＋a 2－362，＋∞)． 15．在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x )．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x (x ＞0)台的收入函数为R (x )＝3000x －20x 2(单位：元)，其成本函数为C (x )＝500x ＋4000(单位：元)，利润是收入与成本之差．(1)求利润函数P (x )及边际利润函数MP (x )；(2)利润函数P (x )与边际利润函数MP (x )是否具有相同的最大值？解析：(1)P (x )＝R (x )－C (x )＝(3000x －20x 2)－(500x ＋4000)＝－20x 2＋2500x －4000(x ∈[1,100]且x ∈N )．MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝－20(x ＋1)2＋2500(x ＋1)－4000－(－20x 2＋2500x －4000)＝2480－40x (x ∈[1,100]且x ∈N )．(2)P (x )＝－20(x －1252)2＋74125，当x ＝62或63时，P (x )max ＝74120(元)．因为MP (x )＝2480－40x 是减函数，所以当x ＝1时，MP (x )max ＝2440(元)．因此，利润函数P (x )与边际利润函数MP (x )不具有相同的最大值．16．(2009·江苏南通中学模拟)设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|.(1)求函数f (x )的值域；(2)若关于x 的不等式f (x )≥a 2－3a －7在[0,5]上恒成立，试求a 的取值范围．解析：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －5，x <－123x －3，－12≤x ≤4x ＋5，x >4，作出其图象(如下图)，所以，函数f (x )的值域是[－92，＋∞)． (2)由图象可知，函数f (x )在[0,5]上的最小值为f (0)＝－3，由题意可知，f (0)≥a 2－3a －7，因此－1≤a ≤4.。

近五年高考函数的极值和最值真题版(理科复习)

题型全归纳18——函数的极值和最值一极值问题1求函数的极值1（2017新课标Ⅱ）若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，则21()(1)x f x x ax e -=+-的极小值为A ．1-B ．32e --C ．35e - D ．1 ．A 【解析】∵21()[(2)1]x f x x a x a e-'=+++-，∵(2)0f '-=，∴1a =-，所以21()(1)x f x x x e-=--，21()(2)x f x x x e -'=+-，令()0f x '=，解得2x =-或1x =，所以当(,2)x ∈-∞-，()0f x '>，()f x 单调递增；当(2,1)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 的极小值为11(1)(111)1f e -=--=-，选A ．2 极值点的个数问题。

1 (2015山东理21（1）) 设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，其中a ∈R . 讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由.解析由题意知，函数()f x 的定义域为()1,-+∞，()()21212111ax ax a f x a x x x +-+'=+-=++．令()221g x ax ax a =+-+，()1,x ∈-+∞．当0a =时，()1g x =，此时()0f x '>，函数()f x 在()1,-+∞上单调递增，无极值点；当0a >时，()()28198a a a a a ∆=--=-．① 当809a <„时，0∆„，()0g x …，()0f x '…， ② 函数()f x 在()1,-+∞上单调递增，无极值点； ③ 当89a >时，0∆>，设方程2210ax ax a +-+=的两根为1x ，2x ()12x x <．因为1212x x +=-，所以114x <-，214x >-．由()110g -=>，可得1114x -<<-．所以当()11,x x ∈-时，()0g x >，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当()12,x x x ∈时，()0g x <，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()2,x x ∈+∞时()0g x >，()0f x '>，函数()f x 单调递增．因此函数有两个极值点．当0a <时，0∆>．由()110g -=>，可得11x <-．当()21,x x ∈-时，()0g x >，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当()2,x x ∈+∞时，()0g x <，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以函数有一个极值点．综上所述，当0a <时，函数有()f x 一个极值点；当809a剟时，函数()f x 无极值点；当89a >时，函数()f x 有两个极值点． 3 极值点的存在问题1（2014新课标Ⅱ）设函数()x f x mπ=．若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是A ．()(),66,-∞-⋃+∞B ．()(),44,-∞-⋃+∞C ．()(),22,-∞-⋃+∞D ．()(),11,-∞-⋃+∞C 【解析】由正弦型函数的图象可知：()f x 的极值点0x 满足0()f x =，则22x k m πππ=+()k Z ∈，从而得01()()2x k m k Z =+∈．所以不等式()22200[]x f x m +<，即为2221()32k m m ++<，变形得21[1()]32m k -+>，其中k Z ∈．由题意，存在整数k 使得不等式21[1()]32m k -+>成立．当1k ≠-且0k ≠时，必有21()12k +>，此时不等式显然不能成立，故1k =-或0k =，此时，不等式即为2334m >，解得2m <-或2m >．2 设函数，其中为常数．若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；思路：()()2'2221b x x bf x x x x -+=-+=，定义域为()0,+∞，若函数的有极值点，则()'0f x =有正根且无重根，进而转化为二次方程根分布问题，通过韦达定理刻画根的符号，进而确定b 的范围解：（1）()()2'2221b x x bf x x x x -+=-+=，令()'0f x =即2220x x b -+=()f x Q 有极值点∴2220x x b -+=有正的实数根，设方程的根为12,x x ① 有两个极值点，即12,0x x >,1212480110202b x x b bx x ⎧⎪∆=->⎪∴+=⇒<<⎨⎪⎪=>⎩② 有一个极值点，即12=002bx x b ≤⇒≤∴综上所述：1,2b ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭ （2）思路：利用第（1）问的结论根据极值点的个数进行分类讨论方程2220x x b -+=的两根为：1x ==±① 当102b <<时，1211x x ==()f x ∴的单调区间为：∴()f x 的极大值点为1x =-1x =+x b x x f ln )1()(2+-=b ()f x b ()f x ()f x② 当0b ≤时，1210,1x x =<=+()f x ∴的单调区间为：∴()f x 的极小值点为1x =+综上所述：当102b <<时，()f x 的极大值点为1x =-1x =+当0b ≤时，()f x 的极小值点为1x =+3 (2019.2.21)已知函数()(1)ln 1f x x x x =---.证明：（1）()f x 存在唯一的极值点；（1）()f x 的定义域为（0，+∞）.11()ln 1ln x f x x x x x-'=+-=-. 因为ln y x =单调递增，1y x=单调递减，所以()f x '单调递增，又(1)10f '=-<，1ln 41(2)ln 2022f -'=-=>，故存在唯一0(1,2)x ∈，使得()00f x '=.又当0x x <时，()0f x'<，()f x 单调递减；当0x x >时，()0f x '>，()f x 单调递增. 因此，()f x 存在唯一的极值点.4 已知函数f （x ）=x （lnx ﹣ax ），（a ∈R ）．（2）若函数f （x ）既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围． ②当a ＞0时，令h'（x ）=0，可得，列表：xh'（x ）+0 ﹣h（x）↗极大值↘若，即，，即f'（x）≤0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，函数f（x）在（0，+∞）上不存在极值，与题意不符，若，即时，由于，且=，故存在，使得h（x）=0，即f'（x）=0，且当x∈（0，x1）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，x1）上单调递减；当时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，x1）上单调递增，函数f （x）在x=x1处取极小值．由于，且=（事实上，令，=，故μ（a）在（0，1）上单调递增，所以μ（a）＜μ（1）=﹣1＜0）．故存在，使得h（x）=0，即f'（x）=0，且当时，f'（x）＞0，函数f（x）在上单调递增；当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（x2，+∞）上单调递减，函数f（x）在x=x2处取极大值．综上所述，当时，函数f（x）在（0，+∞）上既有极大值又有极小值．5 已知函数f（x）=e x﹣m﹣xlnx﹣（m﹣1）x，m∈R，f′（x）为函数f（x）的导函数．（1）若m=1，求证：对任意x∈（0，+∞），f′（x）≥0；（2）若f（x）有两个极值点，求实数m的取值范围．【解答】（2）f（x）有两个极值点，即f′（x）=e x﹣m﹣lnx﹣m有两个变号零点．①当m≤1时，f′（x）=e x﹣m﹣lnx﹣m≥e x﹣1﹣lnx﹣1，由（1）知f′（x）≥0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数，无极值点；（6分）②当m ＞1时，令g （x ）=f′（x ），则，∵g′（1）=e 1﹣m ﹣1＜0＞0，且g′（x ）在（0，+∞）上单增，∴∃x 0∈（1，m ），使g′（x 0）=0．当x ∈（0，x 0）时，g′（x ）＜0；当x ∈（x 0，+∞）时，g′（x ）＞0．所以，g （x ）在（0，x 0）上单调递减，在（x 0，+∞）上单调递增．则g （x ）在x=x 0处取得极小值，也即最小值g （x 0）=．（8分）由g′（x 0）=0得m=x 0+lnx 0，则g （x 0）=（9分）令h （x ）=（1＜x ＜m ）则，h （x ）在（1，m ）上单调递减，所以h （x ）＜h （1）=0．即g （x 0）＜0，（10分）又x→0时，g （x ）→+∞，x→+∞时，g （x ）→+∞，故g （x ）在（0，+∞）上有两个变号零点，从而f （x ）有两个极值点．所以，m ＞1满足题意．（11分）综上所述，f （x ）有两个极值点时，m 的取值范围是（1，+∞）．（12分）（其他解法酌情给分）【点评】题主要考查导数的综合应用，利用函数单调性极值和导数之间的关系是解决本题的关键．，对于参数要进行分类讨论，综合性较强，难度较大．4 极值和零点。

高二数学上学期期末复习题6(理科)答案

高二数学上学期期末复习题六（理科）（2013.12）1．已知命题2:10q x x ∀∈+>R ，，则q ⌝为（）A 210x x ∀∈+≤R ， B 210x x ∃∈+<R ，C 210x x ∃∈+≤R ，D 210x x ∃∈+>R ，2．过点(12)P -，与直线210x y +-=垂直的直线的方程为（）A ．240x y -+=B ．052=+-y xC ．032=-+y xD ． 032=++y x 3. 双曲线222y x -=的渐近线方程是( )A y x =±B y =C y =D 2y x =± 4.直线013=+-y x 与0126=+-y x 的位置关系是( ) A 相交 B 平行 C 重合 D 垂直 5．若椭圆1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x （022>>b a ）的焦点相同，且12a a >，则下面结论正确的是（） ① 1C 和2C 一定没有公共点 ②22212221b b a a -=-③ 1122a b a b > ④ 1212a a b b -<-A ．②③④ B. ①③④ C ．①②④ D. ①②③6．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA = a ，CB =b ，1CC =c ，则1A B = （）（A ）+-a b c （B ）-+a b c （C ）-++a b c （D ）-+-a b c7. “2a =”是“直线20ax y +=与1x y +=平行”的 ( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件8．已知直线l 和不重合的两个平面α，β，且l α⊂，有下面四个命题：①若l ∥β，则α∥β； ②若α∥β，则l ∥β； ③若l ⊥β，则α⊥β； ④若α⊥β，则l ⊥β。

【金版学案】高考数学理科二轮复习习题：专题专题综合检测卷(一)含答案

专题综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)本部分学生用书单独成册一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·湖南卷)设A ，B 是两个集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的(C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵ A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，∴ “A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的充要条件．2．若f (x )＝1log 12（2x ＋1），则f (x )的定义域为(A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 B.⎝⎛⎭⎪⎫12，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞)解析：由题意，得log 12(2x ＋1)>0，即0<2x ＋1<1，解得－12<x <0.3．已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3，则(C )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b解析：∵－log 30.3＝log 3103>1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∵y ＝5x 为增函数，∴5log 23.4>5log 43.6，即5log 23.4>⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3>5log 43.6，∴a >c >b .4．(2014·新课标Ⅱ卷)函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则(C )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：若x ＝x 0是函数f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0；若f ′(x 0)＝0，则x ＝x 0不一定是极值点，例如f (x )＝x 3，当x ＝0时，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点，故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件．选C.5．函数y ＝cos 6x2x －2－x的图象大致为(D )解析：函数f(x)＝cos 6x2x－2－x，f(－x)＝cos 6x2－x－2x＝－f(x)，f(x)为奇函数，当x→0且x＞0时f(x)→＋∞；当x→0，且x＜0时f(x)→－∞；当x→＋∞，2x－2－x→＋∞，f(x)→0；当x→－∞，2x－2－x→－∞，f(x)→0.故选D.6．设四边形ABCD的两条对角线为AC、BD，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若四边形ABCD为菱形，则对角线AC⊥BD；反之若AC⊥BD，则四边形不一定是平行四边形，故“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．故选A.7．(2014·新课标Ⅱ卷)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝(D)A．0 B．1 C．2 D．3解析：因为y＝a－1x＋1，所以切线的斜率为a－1＝2，解得a＝3.故选D.8. 下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是(A)A．f(x)＝1x2B．f(x)＝x2＋1C．f(x)＝x3D．f(x)＝2－x解析：根据函数奇偶性的判断可得选项A、B为偶函数，C为奇函数，D为非奇非偶函数，所以排除C，D选项，由二次函数的图象可得选项B在(－∞，0)是单调递减的，根据排除法选A.因为函数y＝x 2在(－∞，0)是单调递减的且y ＝1x在(0，＋∞)是单调递减的，所以根据复合函数单调性的判断同增异减可得选项A 在(－∞，0)是单调递增的．9．(2014·辽宁卷)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，2x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为(A ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34 解析：先画出当x ≥0时，函数f (x )的图象，又f (x )为偶函数，故将y 轴右侧的函数图象关于y 轴对称，得y 轴左侧的图象，如下图所示，直线y ＝12与函数f (x )的四个交点横坐标从左到右依次为－34，－13，13，34，由图象可知，13≤x －1≤34或－34≤x －1≤－13，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74.故选A.10．已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝log 2x ＋x ，h (x )＝log 2x －2的零点依次为a ，b ，c ，则(A )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |<1，g (x )是二次函数，若f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则g (x )的值域是(C )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：由f (x )≥0，可得x ≥0或x ≤－1.当x ≤－1时，f (x )≥1；当x ≥0时，f (x )≥0.又g (x )为二次函数，其值域为(－∞，a ]或[b ，＋∞)，而f (g (x ))的值域为[0，＋∞)，可知g (x )≥0.12．已知函数f (x )＝33x －1ax 2＋ax －3的定义域是R ，则实数a 的取值范围是(B )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a >13 B ．{a |－12<a ≤0} C ．{a |－12<a <0} D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a ≤13 解析：由a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝a 2－4a ×（－3）<0，可得－12<a ≤0.故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．设f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋a ，x ≤0，x ＋1x ，x ＞0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围是(－∞，2]．解析：由题意，当x ＞0时，f (x )的极小值为f (1)＝2；当x ≤0时，f (x )极小值为f (0)＝a ，f (0)是f (x )的最小值，则a ≤2.14．(2014·江西卷)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是(e ，e)．解析：因为y ′＝ln x ＋1，设切点(a ，b )，则k ＝ln a ＋1＝2，a ＝e ，又b ＝a ln a ＝e ，所以P (e ，e)．15．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ＞0，－2x －1，x ≤0，D 是由x 轴和曲线y ＝f (x )及该曲线在点(1，0)处的切线所围成的封闭区域，则z ＝x －2y 在D 上的最大值为2．解析：∵f ′(x )＝1x ，∴k ＝f ′(1)＝1，∴切线l ：y ＝x －1.因而切线l 、曲线f (x )、x 轴围成三角形区域，其中最优解是(0，－1)，代入得z max ＝2.16．(2015·山东卷)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为1．解析：由题意，原命题等价于tan x ≤m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上恒成立，即y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的最小值为1.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)设集合A ＝{x |x 2＜4}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1＜4x ＋3. (1)求集合A ∩B ；(2)若不等式2x 2＋ax ＋b ＜0的解集为B ，求a ，b 的值．解析：(1)A ＝{x |x 2＜4}＝{x |－2＜x ＜2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1＜4x ＋3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －1x ＋3＜0＝{x |－3＜x ＜1}， ∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}． (2)因为2x 2＋ax ＋b ＜0的解集为 B ＝{x |－3＜x ＜1}．所以－3和1为2x 2＋ax ＋b ＝0的两根．故⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝－3＋1，b 2＝－3×1.所以a ＝4，b ＝－6.18．(12分)已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0，1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )·x ＋ax ，且g (x )在区间[0，2]上为减函数，求实数a 的取值范围．解析：(1)∵f (x )的图象与h (x )关于A (0，1)对称，设f (x )图象上任意一点坐标为B (x ，y )，其关于A (0，1)对称点B ′(x ′，y ′)．则⎩⎨⎧x ′＋x2＝0，y ＋y ′2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－x ，y ′＝2－y ，∵B ′(x ′，y ′)在h (x )上，∴y ′＝x ′＋1x ′＋2.∴2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x .(2)g (x )＝x 2＋ax ＋1， ∵g (x )在[0，2]上为减函数， ∴－a2≥2，即a ≤－4，∴a 的取值范围为(－∞，－4]．19．(12分)已知函数f (x )＝x －2x ＋a (2－ln x )(a ＞0)，讨论f (x )的单调性．解析：f (x )的定义域是(0，＋∞)， f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8. ①当Δ＝a 2－8＜0，即0＜a ＜22时，对一切x ＞0都有f ′(x )＞0，此时f (x )在(0，＋∞)上是增函数．②当Δ＝a 2－8＝0，即a ＝22时，仅对x ＝2有f ′(x )＝0，对其余的x ＞0都有f ′(x )＞0，此时f (x )在(0，＋∞)上也是增函数．③当Δ＝a 2－8＞0，即a ＞22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0＜x 1＜x 2.此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82与⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增，在(a －a 2－82，a ＋a 2－82)上单调递减．20．(12分)如图所示，长方体物体E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向做匀速移动，速度为v (v >0)，雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R)，E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v －c |×S 成正比，比例系数为110；②其他面的淋雨量之和，其值为12.记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d ＝100，面积S ＝32时，(1)写出y 的表达式；(2)设0<v ≤10，0<c ≤5，试根据c 的不同取值范围确定移动速度v ，使淋雨量y 最少．解析：(1)由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为320|v －c |＋12，故y ＝100v ⎝ ⎛⎭⎪⎫320|v －c |＋12＝5v (3|v －c |＋10)．(2)由(1)知，当0<v ≤c 时，y ＝5v (3c －3v ＋10)＝5（3c ＋10）v －15；当c <v ≤10时，y ＝5v (3v －3c ＋10)＝5（10－3c ）v＋15. 故y ＝⎩⎨⎧5（3c ＋10）v－15，0<v ≤c ，5（10－3c ）v ＋15，c <v ≤10.①当0<c ≤103时，y 是关于v 的减函数，故当v ＝10时，y min ＝20－3c2.②当103<c ≤5时，在(0，c ]上，y 是关于v 的减函数；在(c ，10]上，y 是关于v 的增函数，故当v ＝c 时，y min ＝50c.21．(12分)设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝e x1＋ax 2－2ax （1＋ax 2）2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 当x 变化时，f ′(x )与f (x )变化情况见下表：∴x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点． (2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知1＋ax 2－2ax ≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1.∴a 的取值范围为{a |0<a ≤1}．22．(12分)(2015·江苏卷)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R)．(1)试讨论f (x )的单调性；(2)若b ＝c －a (实数c 是与a 无关的常数)，当函数f (x )有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪(1，32)∪(32，＋∞)，求c 的值．解析：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2a 3. 当a ＝0时，因为f ′(x )＝3x 2≥0，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a >0时，x ∈(－∞，－2a 3)∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0，x ∈(－2a 3，0)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－∞，－2a 3)，(0，＋∞)上单调递增，在(－2a 3，0)上单调递减；当a <0时，x ∈(－∞，0)∪(－2a 3，＋∞)时，f ′(x )>0，x ∈(0，－2a 3)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－∞，0)，(－2a 3，＋∞)上单调递增，在(0，－2a 3)上单调递减．(2)由(1)知，函数f (x )的两个极值为f (0)＝b ，f (－2a 3)＝427a 3＋b ，则函数f (x )有三个零点等价于f (0)·f (－2a 3)＝b (427a 3＋b )<0，从而 ⎩⎨⎧a >0，－427a 3<b <0或⎩⎨⎧a <0，0<b <－427a 3.又b ＝c －a ，所以当a >0时，427a 3－a ＋c >0或当a <0时，427a 3－a ＋c <0.设g (a )＝427a 3－a ＋c ，因为函数f (x )有三个零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪(1，32)∪(32，＋∞)，则在(－∞，－3)上g (a )<0，且在(1，32)∪(32，＋∞)上g (a )>0均恒成立，从而g (－3)＝c －1≤0，且g (32)＝c －1≥0，因此c ＝1.此时，f (x )＝x 3＋ax 2＋1－a ＝(x ＋1)[x 2＋(a －1)x ＋1－a ]，因为函数有三个零点，则x 2＋(a －1)x ＋1－a ＝0有两个异于－1的不等实根，所以Δ＝(a －1)2－4(1－a )＝a 2＋2a －3>0，且(－1)2－(a －1)＋1－a ≠0，解得a ∈(－∞，－3)∪(1，32)∪(32，＋∞)．综上c ＝1.。

2020届高考理科数学二轮复习训练：专题1_第2讲函数与导数

专题复习检测A 卷1．(2019年天津)已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a D ．c ＜a ＜b【答案】A【解析】a ＝log 52＜1，b ＝log 0.50.2＝log 1215＝log 25＞log 24＝1，c ＝0.50.2＜1，所以b 最大．因为a ＝log 52＝1log 25，c ＝0.50.2＝⎝⎛⎭⎫1215 ＝512＝152.而log 25＞log 24＝2＞52，所以1log 25＜152，即a ＜c .故选A ．2．(2019年甘肃白银模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2＋a ，x ≤1，log 12(x ＋1)，x >1有最大值，则a 的取值范围为( )A ．(－5，＋∞)B ．[－5，＋∞)C ．(－∞，－5)D ．(－∞，－5]【答案】B【解析】易知f (x )在(－∞，1]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，要使f (x )有最大值，则f (1)＝4＋a ≥log 12(1＋1)＝－1，解得a ≥－5.3．(2018年新课标Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln(1－x )B ．y ＝ln(2－x )C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )【答案】B【解析】y ＝ln x 的图象与y ＝ln(－x )的图象关于y 轴即x ＝0对称，要使新的图象与y ＝ln x 关于直线x ＝1对称，则y ＝ln(－x )的图象需向右平移2个单位，即y ＝ln(2－x )．4．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则( ) A ．a <－1 B ．a >－1 C ．a >－1eD ．a <－1e【答案】A【解析】∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a .∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，∴方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解．∵x >0时，－e x <－1，∴a ＝－e x <－1.5．(2019年云南玉溪模拟)函数f (x )＝x 2ln x 的最小值为( )A ．－1eB ．1eC ．－12eD ．12e【答案】C【解析】由f (x )＝x 2ln x ，得定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝2x ln x ＋x 2·1x＝x (2ln x ＋1)．令f ′(x )＝0，得x ＝e －12.当0<x <e －12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >e －12时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以当x ＝e －12时，f (x )取得最小值，即f (x )min ＝f (e －12)＝－12e.故选C ．6．(2019年贵州遵义模拟)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.【答案】6【解析】由f (x ＋4)＝f (x －2)，可得f (x ＋6)＝f (x )，则f (x )是周期为6的周期函数，所以f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)．又f (x )是偶函数，所以f (919)＝f (1)＝f (－1)＝6－(－1)＝6.7．(2019年广东模拟)已知曲线f (x )＝a e x ＋b (a ，b ∈R )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则a －b ＝________.【答案】3【解析】由f (x )＝a e x ＋b ，得f ′(x )＝a e x .因为曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝a ＋b ＝1，f ′(0)＝a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1.所以a －b ＝3.8．定义在R 内的可导函数f (x )，已知y ＝2f′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的减区间是______．【答案】(2，＋∞)【解析】令f ′(x )<0，则y ＝2f′(x )<1，由图知，当x >2时，2f′(x )＜1，故y ＝f (x )的减区间是(2，＋∞)．9．已知函数f (x )＝x e x －ax 2－x .(1)若f (x )在(－∞，－1]内单调递增，在[－1,0]上单调递减，求f (x )的极小值； (2)若x ≥0时，恒有f (x )≥0，求实数a 的取值范围．【解析】(1)∵f (x )在(－∞，－1]内单调递增，在[－1,0]上单调递减，∴f ′(－1)＝0. ∵f ′(x )＝(x ＋1)e x －2ax －1，∴2a －1＝0，a ＝12.∴f ′(x )＝(x ＋1)e x －x －1＝(x ＋1)(e x －1)．∴f (x )在(－∞，－1)内单调递增，在(－1,0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，f (x )的极小值为f (0)＝0.(2)f (x )＝x (e x －ax －1)，令g (x )＝e x －ax －1，则g ′(x )＝e x －a ，若a ≤1，则x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，而g (0)＝0，∴当x ≥0时，g (x )≥0.从而f (x )≥0. 若a >1，则x ∈(0，ln a )时，g ′(x )<0，g (x )为减函数， g (0)＝0，当x ∈(0，ln a )时，g (x )<0，从而f (x )<0. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，1]．10．(2019年江苏节选)设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )，a ，b ，c ∈R ，f ′(x )为f (x )的导函数．(1)若a ＝b ＝c ，f (4)＝8，求a 的值；(2)若a ≠b ，b ＝c ，且f (x )和f ′(x )的零点均在集合{－3,1,3}中，求f (x )的极小值．【解析】(1)若a ＝b ＝c ，则f (x )＝(x －a )3. 由f (4)＝8，得(4－a )3＝8，解得a ＝2. (2)若a ≠b ，b ＝c ，f (x )＝(x －a )(x －b )2. 令f (x )＝0，得x ＝a 或x ＝b .f ′(x )＝(x －b )2＋2(x －a )(x －b )＝(x －b )(3x －b －2a )．令f ′(x )＝0，得x ＝b 或x ＝2a ＋b3. f (x )和f ′(x )的零点均在集合A ＝{－3,1,3}中，若a ＝－3，b ＝1，则2a ＋b 3＝－53∉A ，舍去．若a ＝1，b ＝－3，则2a ＋b 3＝－13∉A ，舍去．若a ＝－3，b ＝3，则2a ＋b3＝－1∉A ，舍去．若a ＝3，b ＝1，则2a ＋b 3＝73∉A ，舍去．若a ＝1，b ＝3，则2a ＋b 3＝53∉A ，舍去．若a ＝3，b ＝－3，则2a ＋b3＝1∈A .∴f (x )＝(x －3)(x ＋3)2，f ′(x )＝3(x ＋3)(x －1)．易知x ＝1时，f (x )取得极小值－32. B 卷11．(2019年甘肃兰州模拟)定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ′(x )＋1x 2>0，f (2)＝52，则关于x 的不等式f (ln x )>1ln x＋2的解集为( )A ．(1，e 2)B ．(0，e 2)C ．(e ，e 2)D ．(e 2，＋∞)【答案】D【解析】设g (x )＝f (x )－1x (x >0)，则g ′(x )＝f ′(x )＋1x 2>0，所以函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (ln x )>1ln x ＋2，可得f (ln x )－1ln x >2，又g (2)＝f (2)－12＝2，所以待解不等式等价于解g (ln x )>g (2)．所以ln x >2，解得x >e 2.故选D ．12．(2018年江西师大附中月考)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪2x －a2x 在[0,1]上单调递增，则a 的取值范围为________．【答案】[－1,1]【解析】令2x ＝t ，t ∈[1,2]，则y ＝⎪⎪⎪⎪t －at 在[1,2]上单调递增．当a ＝0时，y ＝|t |＝t 在[1,2]上单调递增显然成立；当a >0时，y ＝⎪⎪⎪⎪t －at ，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[a ，＋∞)，此时a ≤1，即0<a ≤1时成立；当a <0时，y ＝⎪⎪⎪⎪t －a t ＝t －at ，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[－a ，＋∞)，此时－a ≤1，即－1≤a <0时成立．综上，a 的取值范围是[－1,1]．13．(2018年新课标Ⅰ)已知函数f (x )＝1x －x ＋a ln x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，求证：f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<a －2.【解析】(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x 2－1＋ax ＝－x 2－ax ＋1x 2.①若a ≤2，则f ′(x )≤0，当且仅当a ＝2，x ＝1时f ′(x )＝0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②若a >2，令f ′(x )＝0得，x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42，易得0<a －a 2－42<a ＋a 2－42.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42时，f ′(x )>0.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增． (2)证明：由(1)知，f (x )存在两个极值点当且仅当a >2.由于f (x )的两个极值点x 1，x 2满足x 2－ax ＋1＝0，所以x 1x 2＝1，不妨设x 1<x 2，则x 2>1. 由于f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝－1x 1x 2－1＋a ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝－2＋a ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝－2＋a ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝－2＋a －2ln x 21x 2－x 2，所以f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<a －2等价于1x 2－x 2＋2ln x 2<0.设函数g (x )＝1x －x ＋2ln x ，由(1)知，g (x )在(0，＋∞)上单调递减，又g (1)＝0，则当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0.所以1x 2－x 2＋2ln x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<a －2.。

高二理科期末复习试题二答案

高二理科期末复习试题二答案1-5 DADCA, 6-10 BAACD11. 4/3 12：0.1 14.c a b << 15. 72 16. （1）当1111,2n a S a ===-时 ∴a 1＝1当1222232,222n a a S a a =+==⨯-∴=时当123333,23n a a a S a =++==⨯-时 ∴374a =由此猜想*121()2n n n a n N --=∈⑵证明：①111n a ==当时结论成立②假设(1,*)n k k k N =∈≥且时结论成立即1212k k k a --= 当1n k =+时11112(1)22k k k k k k k a S S k a k a a a ++++=-=+--+=+-，122k k a a +=+∴kk k k a a 2122211-=+=++∴当1n k =+时结论成立于是对于一切的自然数*∈N n 1212n n n a --=成立17.⑴设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A ，从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品，一共有38C 种不同的选法选出的3种商品中，没有家电的选法有36C 种所以，选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为1491)(3836=-=C C A P⑵设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ，其所有可能的取值为0，m ，m 3，m 6。

（单元：元）0ξ=表示顾客在三次抽奖都没有获奖，所以278)311()0(3=-==ξP同理，9431)311()(213=⨯-⨯==C m P ξ92)31()311()3(2123=⨯-⨯==C m P ξ271)31()6(333=⨯==C m P ξ顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是m m m m E 342716923942780)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξ 由10034≤m ，解得75≤m 所以故m 最高定为75元，才能使促销方案对商场有利18.解：2'212()22()2.11122a ax x aa f x x a ax ax --⋅=+-=++ （Ⅰ）由已知得：'1()0,2f =且220,2a a-≠220,0. 2.a a a a ∴--=>∴=（Ⅱ）当02a <≤时，22212(2)(1)02222a a a a a a a a----+-==≤, 212,22a a-∴≥故当12x ≥时，220.2a x a --≥ 又'20,()0,1ax f x ax >∴≥+故()f x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数. （Ⅲ）当()1,2a ∈时，由(2)知，()f x 在[]1,2上的最小值为11(1)ln()1,22f a a =++-故问题等价于：对任意的()1,2a ∈，不等式211ln()1(1)022a a m a ++-+->恒成立.……8分记211()ln()1(1),(12)22g a a a m a a =++-+-<<，则[]'1()122(12),11a g a ma ma m a a=-+=--++ 当0m ≤时，'2120,()0,()m a m g a g a -+<∴<∴在区间()1,2上递减，此时，()(1)0,g a g <= 0m ∴≤时不可能使()0g a >恒成立，故必有0,m >'21()(1).12ma g a a a m ⎡⎤∴=--⎢⎥+⎣⎦若111,2m ->可知()g a 在区间1(1,m i n 2,1)2m ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭上递减，在此区间上，有()(1)0,g a g <=与()0g a >恒成立矛盾，故111,2m-≤此时'()0,g a >()g a 在(1, 2) 上递增，且恒有()(1)0,g a g >=满足题设要求，0,1112m m >⎧⎪∴⎨-≤⎪⎩即14m ≥，即实数m 的取值范围为1[,)4+∞.19.（Ⅰ）由已知数据得：2230(10866) 1.158 3.84116141614χ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以，没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关. （Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2.282144(0),13C C P X ===116821448(1),91C C C P X ===2621415(2),91C C P X ===所以X 的分布列为：X 的数学期望为：012.1391917EX =⨯+⨯+⨯=20解：122122()11m m n n m m m n n n f x C x C x C x C x C x C x =+++++++++112222()()m n m n C C x C C x =+++++．由题意19m n +=，m n *∈N ，．2x ∴项的系数为222(1)(1)1919172224m nm m n n C C m --⨯⎛⎫+=+=-+ ⎪⎝⎭．∵m n *∈N ，，根据二次函数知识，当9m =或10时，上式有最小值，也就是当9m =，10n =或10m =，9n =时，2x 项的系数取得最小值，最小值为81．21. （1）/121()2x f x x x-=-= ()0f x '<得0<x<12,()0f x '>得x>12∴)(x f 在1(0,)2上递减，在1(,)2+∞上递增. （2）∵函数)(x f 在1=x 处取得极值，∴1=a ， ∴b xx x bx x f ≥-+⇔-≥ln 112)(，令xxx x g ln 11)(-+=，可得)(x g 在(]2,0e 上递减，在[)+∞,2e 上递增， ∴22min 11)()(e e g x g -==，即211b e ≤-．（3）证明：)1ln()1ln()1ln()1ln(+>+⇔++>-y e x e y x eyx yx ，令)1ln()(+=x e x g x，则只要证明)(x g 在),1(+∞-e 上单调递增，又∵)1(ln 11)1ln()(2+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+='x x x e x g x ，显然函数11)1ln()(+-+=x x x h 在),1(+∞-e 上单调递增． ∴011)(>->ex h ，即0)(>'x g ， ∴)(x g 在),1(+∞-e 上单调递增，即)1ln()1ln(+>+y e x e yx ， ∴当1->>e y x 时，有)1ln()1ln(++>-y x e yx ．。

高二理科期末复习试题含答案

高二理科期末复习试题二一选择题1.复数z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( ) A. 2+i B.2-i C. 5+i D.5-i2. 函数xxx f +=1cos )(在)1,0(处的切线方程是（） A ．01=-+y x B ．012=-+y x C ．012=+-y x D ．01=+-y x 3.用数学归纳法证明不等式()1111n 1>2322n n N *-++++∈，第二步由k 到k+1时不等式左边需增加（）A.12k B.111212k k -++ C.1111121222k k k --++++ D.1111121222k k k --+++++ 4.若x x f x f x f ln 4)1(')2(2)(-+-=，则)1(f 等于（）A.2-B.4-C.2D. 05．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程0.6854.6y x =+表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为( ) A ．68 B ． 68．2 C ．69 D ．756.函数)1(1)(xx n x f -=的图象是( )7.如果n a a )13(32-的展开式中各项系数之和为128，则展开式中2a 的系数是（）A ．-2835 B.2835 C.21 D.-21 8．下列四个判断： ①2,10x R x x ∃∈-+≤；②已知随机变量X 服从正态分布N （3，2σ），P （X ≤6）=0．72，则P （X ≤0）=0．28;③已知21()nx x+的展开式的各项系数和为32，则展开式中x 项的系数为20；④11e dx x>⎰⎰其中正确的个数有：( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．已知f （x ）=41x 2+sin ⎪⎭⎫⎝⎛+x 2π，f '（x ）为f （x ）的导函数，则f '（x ）的图像是( )10 . 把正整数按一定的规则( )排成了如图所示的三角形数表．设*(,)ij a i j N ∈ 是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行，从左往右数第j 个数，若2013ij a =，则i 与j 的和为( )A ．105B ．103C ．82D ．81 二填空题 11．由曲线f=x 2－1和直线y=0所围成的封闭图形的面积为。

经典理科数学复习题756

经典理科数学复习题单选题（共5道）1、在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2、函数的部分图象为ABCD3、的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是（）ABCD4、的值的范围是（）ABCD[0，1]5、若全集,集合,则下图中阴影部分表示的集合是（）ABCD多选题（共5道）6、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）7、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）8、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）9、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）10、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）简答题（共5道）11、已知函数（）.（1）求函数的最大值，并指出取得最大值时相应的的值；（2）设，若是偶函数,求的值.12、（1）求的最小正周期与单调递减区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，若，△ABC的面积为，求a的值.13、已知｛an｝是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n N+，bn是an和an+1的等比中项.（I）设cn=b2n+1-b2n,n N+,求证：数列｛cn｝是等差数列；（II）设14、已知为二次函数，不等式的解集为，且对任意，恒有，．数列满足，（1）求函数的解析式；（2）设，求数列的通项公式；（3）若（2）中数列的前项和为，求数列的前n项和．15、设集合A为函数y＝ln(－x2－2x＋8)的定义域，集合B为函数y＝x＋的值域，集合C为不等式(ax－)(x＋4)≤0的解集，（1）求A∩B；（2）若，求a的取值范围。

历年理科数学复习题2727.docx

历年理科数学复习题单选题（共5道）1、已知函数,若，则的最小值为（）A6B8C9D122、已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）ABCD3、设a,b为实数，若复数，则ABCD4、已知函数,若，则的最小值为（）A6B8C9D125、已知函数,若，则的最小值为（）A6B8C9D12多选题（共5道）6、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）7、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）8、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）9、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）10、已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是()ABCD填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）简答题（共5道）11、、、（1）若的值；（2）若12、已知曲线C的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（是参数）。

（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程化为普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，试求实数m值。

13、已知椭圆：（）的离心率，左顶点与右焦点的距离14、、、（1）若的值；（2）若15、、、（1）若的值；（2）若书面表达（共5道）16、车身总重量大于40公斤等指标）上了牌照，算是给予它们临时合法的出行身份，但是牌照有效期到今年2月底止，这也就是说，从今年3月1日起，该市城区4万多辆超标电动车已被禁行，违者将受到严厉的处罚。

2024届全国高考(统考版)理科数学复习历年好题专项(函数的图像)练习(附答案)

2024届全国高考（统考版）理科数学复习历年好题专项（函数的图像）练习命题范围：简单函数图像及其应用．[基础强化]一、选择题1．[2022ꞏ全国甲卷(理)，5]函数y ＝(3x －3－x )cos x 在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2 的图像大致为( )2．为了得到函数y ＝log 2x －1 的图像，可将函数y ＝log 2x 图像上所有点的( ) A ．纵坐标缩短为原来的12 ，横坐标不变，再向右平移1个单位 B ．纵坐标缩短为原来的12 ，横坐标不变，再向左平移1个单位 C ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位 D ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位3．[2023ꞏ安徽省滁州市高三质检]函数f (x )的部分图像如图所示，则f (x )的解析式可能是( )A ．f (x )＝x 2sin |x |e x B ．f (x )＝x 2cos |x |e x C ．f (x )＝x 2|sin x |e x D ．f (x )＝x 2|cos x |e x4．[2023ꞏ河南省郑州市高三质量预测]函数f (x )＝3x －3－xx 2＋|x |－2的部分图像大致是( )5．[2023ꞏ江西省九江市二模]已知函数y ＝f (x )的部分图像如图所示，则y ＝f (x )的解析式可能是( )A ．f (x )＝sin xe x ＋e－x B ．f (x )＝sin x e x －e －xC ．f (x )＝cos xe x－e－x D ．f (x )＝cos x e －x－e x 6．对于函数f (x )＝x ＋2x ＋1的图像及性质的下列表述，正确的是( ) A ．图像上点的纵坐标不可能为1 B ．图像关于点(1，1)成中心对称 C ．图像与x 轴无交点D ．图像与垂直于x 轴的直线可能有两个交点7．已知图①中的图像对应的函数为y ＝f (x )，则图②中的图像对应的函数为( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝f (－|x |)C ．y ＝|f (x )|D ．y ＝－f (|x |)8．[2023ꞏ全国甲卷(理)]函数y ＝f (x )的图象由函数y ＝cos (2x ＋π6 )的图象向左平移π6 个单位长度得到，则y ＝f (x )的图象与直线y ＝12 x －12 的交点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 9．函数y ＝11－x的图像与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图像的所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8 二、填空题10．若函数y ＝f (x )的图像经过点(2，3)，则函数y ＝f (－x )＋1的图像必定经过的点的坐标为________．11．函数f (x )是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图像如图所示，那么不等式f （x ）cos x <0的解集为________.12．已知函数y ＝|x 2－1|x －1 的图像与函数y ＝kx －2的图像恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．[能力提升]13．如图，点P 在边长为1的正方形边上运动，M 是CD 的中点，当点P 沿A －B －C －M 运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 的函数y ＝f (x )的图像的形状大致是( )14．[2023ꞏ安徽省江南十校一模]函数f (x )＝|x ＋1|＋ax 的图像不可能是( )15．[2023ꞏ江西省南昌市高三二模]已知函数f (x )＝13 x 3＋ax 2＋bx ＋c (a <0，b <0)，则函数f (x )的图像可能是( )16．[2023ꞏ郑州市质检] 已知函数f (x )＝e x －2，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，h (x )＝kx －2k ＋1(k ∈R )，给出下列四个命题，其中真命题有________．(写出所有真命题的序号)①存在实数k ，使得方程|f (x )|＝h (x )恰有一个根； ②存在实数k ，使得方程|f (x )|＝h (x )恰有三个根；③任意实数a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 1)－g (x 2)； ④任意实数a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 2)－g (x 1).参考答案1．A 设函数f (x )＝(3x －3－x )cos x ，则对任意x ∈[－π2 ，π2 ]，都有f (－x )＝(3－x －3x )cos (－x )＝－(3x －3－x )cos x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，因此排除B ，D 选项．又f (1)＝(3－3－1)cos 1＝83 cos 1＞0，所以排除C 选项．故选A.2．A 把函数y ＝log 2x 的图像上所有点的纵坐标缩短为原来的12 ，横坐标不变，得到函数y ＝12 log 2x 的图像，再向右平移1个单位，得到函数y ＝12 log 2(x －1)的图像，即函数y ＝log 2(x －1)12＝log 2x －1 的图像．3．A 对于B 选项，f (π2 )＝0，与题图不符；对于C 选项，当π<x <3π2 时，|sin x |>0，则f (x )＝x 2|sin x |e x >0，与题图不符；对于D 选项，f (π2 )＝0，与题图不符．排除BCD 选项．4．C f (－x )＝3－x －3x（－x ）2＋|－x |－2 ＝3－x －3x x 2＋|x |－2＝－3x －3－xx 2＋|x |－2＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，排除A 选项；令x 2＋|x |－2＝0，得x ＝1或x ＝－1，所以f (x )在x ＝1和x ＝－1处没有意义，函数图像存在虚线，当取1.000 001时，f (x )分母为正，分子为正所以函数值为正数，排除B 选项；当x ＝－12 时，f (x )分母为负，分子为负，所以f (x )为正数，排除D 选项；对比图像和函数值知只有C 选项符合题意．5．D 函数f (x )在x ＝0处无定义，排除选项A ，函数f (x )的图像关于原点对称，故f (x )为奇函数，排除选项B ，当0<x <1时，cos x >0，e x >e －x ，故cos x e x －e－x >0，排除选项C.6．A 函数f (x )＝x ＋2x ＋1 ＝1＋1x ＋1 ，∵1x ＋1 ≠0，∴f (x )≠1.故A 正确；显然f (x )的图像关于(－1，1)成中心对称，故B 不正确；∵当x ＝－2时，f (x )＝0，故图像与x 轴有交点，C 不正确；由函数的概念知D 不正确．7．B 图②是由图①y 轴左侧图像保留，左右关于y 轴对称得，故图②对应的答案解析式为y ＝f (－|x |).8．C 把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 的图象向左平移π6 个单位长度后得到函数f (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝－sin 2x 的图象．作出函数f (x )的部分图象和直线y ＝12 x －12 如图所示．观察图象知，共有3个交点．故选C.9．D 由题意知y ＝11－x ＝－1x －1 的图像是双曲线，且关于点(1，0)成中心对称，又y＝2sin πx 的周期为T ＝2ππ ＝2，且也关于点(1，0)成中心对称，因此两图像的交点也一定关于点(1，0)成中心对称，再结合图像(如图所示)可知两图像在[－2，4]上有8个交点，因此8个交点的横坐标之和x 1＋x 2＋…＋x 8＝4×2＝8.故选D. 10．(－2，4)答案解析：由题意得f (2)＝3，又y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图像关于y 轴对称，∴y ＝f (－x )过点(－2，3)，∴y ＝f (－x )＋1的图像过点(－2，4).11.⎝⎛⎭⎫－π2，－1 ∪⎝⎛⎭⎫1，π2 答案解析：当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 时，y ＝cos x >0. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，4 时，y ＝cos x <0. 结合y ＝f (x )，x ∈[0，4]上的图像知，当1<x <π2 时，f （x ）cos x <0. 又函数y ＝f （x ）cos x 为偶函数，∴在[－4，0]上，f （x ）cos x <0的解集为⎝⎛⎭⎫－π2，－1 ，所以f （x ）cos x <0的解集为⎝⎛⎭⎫－π2，－1 ∪⎝⎛⎭⎫1，π2 . 12．(0，1)∪(1，4)答案解析：根据绝对值的意义，y ＝|x 2－1|x －1 ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1（x >1或x <－1），－x －1（－1≤x <1）.在直角坐标系中作出该函数的图像，如图中实线所示，根据图像可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点．13．A y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，0≤x <1，34－x4，1≤x <2，54－12x ，2≤x ≤52，画出分段函数的大致图像，如图所示．故选A.14．D 当a ＝0时，f (x )＝|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥－1－x －1，x <－1 ，图像为A ；当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥－1－1，x <－1 ，图像为C ；当a ＝－1时，f (x )＝|x ＋1|－x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥－1－2x －1，x <－1 ，图像为B. 当x ≥－1时f (x )＝x ＋1＋ax ＝(1＋a )x ＋1为常数函数，则1＋a ＝0，解得a ＝－1，显然与B 的图像矛盾，故D 错误．15．B 由题f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b (a <0，b <0)，Δ＝4a 2－4b >0，导函数有两个变号零点即原函数有两个极值点x 1，x 2，且x 1＋x 2＝－2a >0，x 1ꞏx 2＝b <0，只有B 图符合． 16．①②④答案解析：画出|f (x )|＝|e x －2|的函数图像，如图：h (x )＝kx －2k ＋1经过定点(2，1)，从图中可以看出存在实数k ，使得方程|f (x )|＝h (x )恰有一个根；①正确；存在实数k ，使得方程|f (x )|＝h (x )恰有三个根，②正确；要想对任意实数a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 1)－g (x 2)，只需函数f (x )＝e x －2，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )始终有两个交点，当a ＝1时，g (x )＝x 2＋x ＝(x ＋12 )2－14 ，开口向上，且最小值为－14 ，此时图像如图所示：由于指数函数的增长速度高于二次函数，显然此时两函数只有一个交点，故③错误；要想对任意实数a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 2)－g (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)＝－[g (x 1)－g (x 2)]，只需f (x )＝e x －2与－g (x )＝－x 2－ax ，无论a 取何值，都有两个交点，其中－g (x )＝－x 2－ax ＝－(x ＋a 2 )2＋a 24 开口向下，且有最大值为a 24 ≥0，且恒过(0，0)，画出两函数图像如下，其中－g (x )＝－x 2－ax ＝－(x ＋a 2 )2＋a 24 为一组抛物线，用虚线表示：无论a 取何值，都有两个交点，④正确．。

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