根系关系
根系关系
c b 那么x1+x2= , x1x2= a a
韦达（1540－1603）
由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间 有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。
韦达定理
(一元二次方程的根与系数的关系)
(a≠0)的两个根是x1 , x2 , 如果方程ax2+bx+c=0(
c b 那么x1+x2= , x1x2= a a
1 k 2 k1 0, k 2 4
∴ k=0
检验△
变式练习：
（ 1 ）已知方程 x 2 +kx+k=0 有两个实数根， 且两根的平方和为3，求k的值。
（ 2 ）若方程 2x 2 -mx-4=0 的两个实数根为 1 1 2 ，若存在， x1,x2，是否存在m使得 x1 x2 求出m的值。若不存在 说明理由。
（2）2x2 -3x =4
（3）2x2 - 6x =0 x1+x2=3
x1+x2=0
x1x2=0
x1x2= 4 3
（4）3x2
2、不解方程，检验方程的解是否正确 (1)x2+4x-3=0的解为x1=1，x2=-3
3 (2)4x2+7x+3=0的解为x1=-1,x2= 4
2 x 58 22 0
x1 x2 的值为整数的实数 2 （2）求使 k的整数值。 x2 x1
课后思考
2、已知方程 x2-2(k-1)x+k2-2=0 k 为何值时，方程有两个负数根？
( x1 x2 ) ( x1 x2 )2 4x1x2
2
整体思想
( x1 1)(x2 1) x1 x2 x1 x2 1
初中数学专题复习33.一元二次方程的根系关系
一元二次方程的根系关系一、 利用根系关系解决三角形问题 二、 韦达定理与直接应用三、 利用根系关系求代数式的值 四、 根的分布一、 利用根系关系解决三角形问题1.【易】已知a 、b 是方程2350x x -+=的两个正根，c 是方程29x =的正根，试判断以a 、b 、c 为边的三角形是否存在？并说明理由 【答案】不存在，理由：∵3a b c +==，与a b c +>矛盾2.【易】（眉山市2011年初中学业水平暨高中阶段教育学校招生考试）已知三角形的两边长是方2560x x -+=的两个根．则该三角形的周长L 的取值范围是（ ） A ．15L << B ．26L << C ．59L << D ．610L << 【答案】D3.【中】已知三角形的两边长分别是方程2320x x -+=的两根，第三边的长是方程22530x x -+=的根，求这个三角形的周长．【答案】924.【中】已知ABC ∆的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程22(23)320x k x k k -++++=的两个实数根，第三边BC 的长是5 ⑴k 为何值时，ABC △是以BC 为斜边的直角三角形； ⑵k 为何值时，ABC △是等腰三角形，并求ABC ∆的周长 【答案】⑴2k =⑵4k =时，周长为16；3k =时，周长为14二、 韦达定理与直接应用5. 【易】已知3x =-是关于x 的一元二次方程()21230k x kx -++=的一个根，则k 与另一根分别为（） A.2，1- B.1-，2 C.2-，1 D.1，2- 【答案】A6. 【易】已知方程()()23410x m x m ++++=的两根互为相反数，则m 的值是（）A.4B.4-C.1D.1- 【答案】B7. 【易】若方程20x x k ++=有两负根，则k 的取值范围是（）A.0k >B.0k <C.14k <D.104k <≤【答案】D8. 【易】若方程20x px q ++=的两根中，只有一个是0，那么（）A.0p q ==B.00p q ≠=，C.00p q =≠，D.不能确定 【答案】B9. 【易】方程22104p x px --+=的大根与小根之差等于（）A.1±B.221p -C.1【答案】C10.【易】1的一元二次方程是（） A.210x x ++= B.210x x +-= C.210x x -+= D.210x x --= 【答案】B11.【易】已知关于x 的一元二次方程220ax ax c ++=的一根12x =，则方程的另一根2_________x = 【答案】4-12.【易】（北大附中2010-2011学年度初二第二学期期末考试）已知方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为（ ） A ．7- B ．3- C ．7 D ．3 【答案】D13.【易】（上海中考）若1x ，2x 是一元二次方程2620x x --=的两个实数根，则12x x +的值是（ ） A ．6- B ．2- C ．6 D ．2 【答案】C14.【易】（2011年来宾市初中毕业升学统一考试试题）已知一元二次方程220x mx +-=的两个实数根分别是1x 、2x ，则12_________x x ⋅= 【答案】2-15.【易】（实验中学部2013月考）若3是关于方程250x x c -+=的一个根，则这个方程的另一个根是（ ） A ．2- B ．2 C ．5- D ．5 【答案】B16.【易】已知12,x x 为方程20x px q ++=的两根，且126x x +=，221220x x +=，求,p q 的值．【答案】6p =-，8q =．17.【易】已知关于x 的方程2130x x k -+=的两根α、β满足条件31αβ-=，求k 的值． 【解析】由一元二次方程根与系数的关系，得13αβ+=，与31αβ-=联列方程组，解得10α=，3β=．所以30k αβ==．【答案】3018.【易】设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=，则k 的值是___________．【解析】由根与系数的关系得()1221x x k +=+，2122x x k ⋅=+．且有()()224142840k k k ∆=+-+=->，即12k >． 所以()()12118x x ++=． 从而2230k k +-=， 解之得3k =-或1k =．又12k >，所以1k =． 【答案】1k =19. 【易】已知关于x 的方程22(23)30x k x k +-+-=有两个实数根1x ，2x ，且121211x x x x +=+，求k 值．【解析】∵方程22(23)30x k x k +-+-=有两个实数根1x ，2x ，∴2212212(23)4(3)21120(23)3k k k x x k x x k ⎧∆=---=-⎪+=--⎨⎪⋅=-⎩≥，由（1）得：74k ≤．∵121211x x x x +=+，∴121212x x x x x x ++=，120x x +=或121x x =当120x x +=时，320k -=，32k =，∵3724k =<，所以32k =符合题意．当121x x =时，231k -=，2k =±，∵74k ≤，∴2k =舍去．∴k 的值为32或2-．此题是已知方程两根满足的条件，求参数的取值．【答案】32或2-20. 【易】已知关于y 的方程220y ay a -+-=，分别写出下列情形中a 所满足的条件：⑴方程有两个正实数根；⑵方程两根异号．【解析】2(2)40a ∆=-+>，所以不论a 取何值，方程都有两个不等的实数根． ⑴由根与系数的关系可得020a a >⎧⎨->⎩，解得2a >；⑵两根异号积小于零，即20a -<，2a <．【答案】⑴2a >；⑵2a <21. 【易】已知关于x 的方程22290x mx m ++-=只有一个正根，求m 的取值范围．【解析】原方程可化为：2()9x m +=，解得13x m =--，23x m =-，显然12x x <， 根据题意可得：1200x x ⎧⎨>⎩≤，即3030m m --⎧⎨->⎩≤，解得33m -<≤．【答案】33m -<≤22. 【易】已知关于x 的方程22290x mx m ++-=至少有一个正根，求m 的取值范围．【解析】原方程可化为：2()9x m +=，解得13x m =--，23x m =-，显然12x x <，根据题意只需20x >，即30m -+>，即3m <．【答案】3m <23. 【易】已知关于x 的方程211300x x a -++=的两根都大于5，求a 的取值范围．【解析】设1x ，2x 是方程的两根，1212121212(5)(5)5()250301112141200x x x x x x x x a x x a --=-++>⎧⎪=+⎪⎨+=⎪⎪∆=--⎩≥，解得104a <≤． 【答案】104a <≤24. 【易】已知关于x 的方程24280x x m --+=的一个根大于1，另一个根小于1，求m的取值范围．【解析】设1x ，2x 是方程的两根，且11x >，21x <，即110x ->，210x -<，1212121212(1)(1)()10284164(28)0x x x x x x x x m x x m --=-++<⎧⎪=-+⎪⎨+=⎪⎪∆=+->⎩，解得52m >． 【答案】52m >25. 【易】关于x 的二次方程22(1)40(0)mx m x m ---=≠的两根一个比1大，另一个比1小，则m 的取值范围是______________．【解析】设方程有两个根为12,x x ，由韦达定理得12122(1)4,,m x x x x m m-+=⋅=- 又由已知，有121212(1)(1)0,()10x x x x x x --<-++<即故有2(1)410m m m ---+< ∴20mm+>，∴0m >或2m <- 【答案】0m >或2m <-26. 【易】实数k 为何值时，关于x 的一元二次方程2(23)(24)0x k x k --+-=．⑴有两个正根？⑵两根异号，且正根的绝对值较大？ ⑶一根大于3，一根小于3？【解析】[]2(23)(24)0(1)(24)0x k x k x x k --+-=⇒---=，故1x =或24x k =-⑴若两根均为正，则240k ->，故2k >；⑵若两根异号，且正根的绝对值较大，则0421k <-<，故322k <<； ⑶由13<可知，72432k k ->⇒>． 【答案】⑴2k >；⑵322k <<；⑶72k >27. 【易】已知二次方程2(23)100kx k x k +-+-=的两根都是负数，则k 的取值范围是____________．【解析】此方程丙实根为12,x x ，由已知得12120000k x x x x ≠⎧⎪∆⎪⎨+<⎪⎪>⎩≥ 即： 30(23)4(10)023100k k k k k k k k≠⎧⎪---⎪⎪-⎨-<⎪⎪->⎪⎩≥ 得：∴0928302010k k k k k k ≠⎧⎪⎪-⎪⎨⎪><⎪⎪<>⎩≥或或 即9028k -<≤或10k >．【答案】9028k -<≤或10k >28. 【易】关于x 的方程22410x kx +-=的一个根是2-，则方程的另一根是________；k =________．【答案】72，3-．29. 【易】已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值。
根系关系及应用题
根系关系及应用题知识互联网题型切片编写思路本讲主要分为两个版块，模块一主要讲解了一元二次方程的补充知识点，韦达定理，在这一板块重点进行了由定理直接进行的代数式的变形，对于这个补充版块，有的班级理解能力强些，老师们可能会有一些富余时间，故给老师们预备了对韦达定理的进一步探索。
模块二练习了各个类型的应用题，希望同学们能从不同的方面深入理解一元二次方程，并再次练习了解方程应用题的一般步骤：审、设、列、解、答，希望老师注意强调应用题的答千万不要忘记。
一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）若21,x x 是关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根，则方程的两个根21,x x 和系数c b a ,,有如下关系：acx x a b x x =⋅-=+2121,.【引例】 先阅读，再填空解题：⑴方程x 2－x －12＝0 的根是：x 1＝3-，x 2＝4，则x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝12-；⑵方程2x 2－7x ＋3＝0的根是：x 1＝12，x 2＝3，则x 1＋x 2＝72，x 1·x 2＝32；⑶方程x 2－3x ＋1＝0的根是：x 1＝ ， x 2＝ ． 则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ； ⑷根据以上⑴⑵⑶你能否猜出：如果关于x 的一元二次方程mx 2＋nx ＋p ＝0（m ≠0且m 、n 、p 为常数）的两根为x 1、x 2，那么x 1＋x 2、x 1·x 2与系数m 、n 、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．⑸在⑶的条件下，求下列各式的值：①221221x x x x +；②221211x x + （十一学校期末） 【解析】；3，1；⑷1212n px x x x m m+=-=，； ⑸①()2212211212==31=3x x x x x x x x ++⨯②()()2221212122222212*********====71x x x x x x x x x x x x +-+-+ 思路导航例题精讲题型一：根与系数关系【例1】 不解方程，求下列方程两根的积与和．⑴25100x x --= ⑵22710x x ++= ⑶23125x x -=+ ⑷()137x x x -=+【解析】 ⑴1212510x x x x +==-， ⑵12127122x x x x +=-=，⑶1212223x x x x +==-， ⑷121247x x x x +==-，【例2】 已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．⑴求实数m 的取值范围；⑵当22120x x -=时，求m 的值． (毕节中考) 【解析】 ⑴由题意有22(21)40m m ∆=--≥，解得14m ≤．即实数m 的取值范围是14m ≤．⑵由22120x x -=得1212()()0x x x x +-=． 若120x x +=，即(21)0m --=，解得12m =．∵12＞14，12m ∴=不合题意，舍去． 若120x x -=，即12x x =∴ 0∆=，由⑴知14m =．故当22120x x -=时，14m =．【例3】 已知一元二次方程2(1)230m x mx m +++-=有两个不相等的实数根，并且这两个根又不互为相反数. ⑴ 求m 的取值范围；⑵ 当m 在取值范围内取最小偶数时，方程的两根为12,x x ，求2123(14)x x -的值.（北京八中期中试题）【解析】 ⑴根据题意，可得 ()()210441300m m m m m +≠⎧⎪∆=-+->⎨⎪≠⎩∴32m >-且0m ≠且1m ≠-．⑵依题意有2m =，原方程可化为23410x x +-=．典题精练方法一：∴121221143133410x x x x x x ⎧+=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪+-=⎪⎩∴()2121212123(14)(14)(14)11641x x x x x x x x -=--=+-+=方法二：12222133410x x x x ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩，()22221212123(14)3391x x x x x x -=⋅==【探究对象】根系关系的进一步应用【探究方式】在做含参一元二次方程根系关系的问题时，先考虑二次项系数不为0→再判断∆→然后根据题意看是否有两根的特殊关系（如例3，已知中强调两根不互为相反数，则根据根系关系能够得出0m ≠）．在这里主要探讨一下根的正负性问题：利用根与系数的关系，我们可以不直接求方程2++=0ax bx c 的根，而知其根的正、负性． 在2=40b ac ∆-≥的条件下，我们有如下结论：①当<0c a时，方程的两根必一正一负．若0ba -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若<0ba-，则此方程的正根小于负根的绝对值．②当>0c a时，方程的两根同正或同负．若>0b a -，则此方程的两根均为正根；若<0ba -，则此方程的两根均为负根．【探究1】已知关于x 的一元二次方程x 2－2ax +a 2－9=0 （1）a 为何值时，方程有两个正根？ （2）a 为何值时，方程有一正根、一负根？分析：此题根据上面的总结很容易得出：（1）a >3；（2）－3< a <3【探究2】已知关于x 的一元二次方程（m +2）x 2+2mx +232m -=0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）若 362m <<，试判断方程两个实数根的符号，并证明你的结论． 分析：（1）∵方程有两个不相等的实数根【探究3】已知方程22430x x k -+-=，k 为实数且k ≠0，证明：此方程有两个实数根，其中一根大于1，另一根小于1．分析：先判断∆=4+4k 2>0，所以方程有两不等实根，设为α、β，且αβ≠ 由根系关系得 4αβ+=，23k αβ=-，拓展逆用上述结论： ()()111αβαβαβ--=--+ 223410k k =--+=-<∴1α-与1β-中必有一个大于0，另一个小于0 即方程有两个实数根，其中一根大于1，另一根小于1．列一元二次方程解应用题的时候，要注意检验得到的根是否符合题意．【引例】 ⑴某汽车销售公司2009年盈利1500万元， 2011年盈利2160万元，且从2009年到2011年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）． （西城期末） A ．()2150012160x += B ．2150015002160x x += C ．215002160x = D ．()()215001150012160x x +++=例题精讲思路导航题型二：一元二次方程的应用题⑵某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 ． (台州中考)【解析】 ⑴A ；⑵100)1(1202=-x ．【例4】 某商品进价为40元的衬衫按50元售出时.每月能卖500件.这种衬衫每涨价1元，其销售量减少10件.如果商场计划每月赚8000元利润.售价应定为多少? 【解析】 设涨价x 元，则售价为()50x +元，每月卖出()50010x -件．根据题意列出方程()()5001050408000x x -+-= 解得：121030x x ==，答：当售价定在60元或者80元时，每月赚8000元．【例5】 如图①，要设计一幅宽20cm ，长30cm 的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2:3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？图①图②分析：由横、竖彩条的宽度比为2:3，可设每个横彩条的宽为2x ，则每个竖彩条的宽为3x ．为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形ABCD ． 结合以上分析完成填空：⑴ 如图②，用含x 的代数式表示：AB =____________________________cm ；AD =____________________________cm ； 矩形ABCD 的面积为_____________cm 2；⑵ 列出方程并完成本题解答．（三帆中学期末试题）【解析】 ⑴ 220630424260600.x x x x ---+，，⑵ 根据题意，得2124260600132030x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭⨯⨯.整理，得2665500x x -+=.解方程，得125106x x ==，（不合题意，舍去）.则552332x x ==，．答：每个横、竖彩条的宽度分别为53cm ，52cm.【例6】 如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面．请观察下列图形并解答有关问典题精练题：⑴在第n个图中，每一横行共有块瓷砖，每一竖列共有块瓷砖；（均用含n 的代数式表示）⑵设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与⑴中的行列的函数关系式；（不要求写自变量n的取值范围）⑶按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；⑷若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题⑶中，共需花多少元钱购买瓷砖？⑸是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明理由．...n=3n=2n=1【解析】⑴3n+；2n+．⑵(3)(2)y n n=++，即256y n n=++．⑶当y=506时，256506n n++=，即255000n n+-=解得122025n n==-，（舍去）．⑷白瓷砖块数是(1)20(201)420n n+=⨯+=（块）．黑瓷砖块数是50642086-=（块）．共需86442031604⨯+⨯=（元）．⑸2(1)(56)(1)n n n n n n+=++-+化简为2360n n--=解得12n n==<（舍去）．∵n的值不为正整数，∴不存在黑、白瓷砖块数相等的情形．【例7】关于x的方程20x px q++=的两根和为1s，两根的平方和为2s，两根的立方和为3s，试求321s ps qs++的值．【解析】设方程的两根为1x、2x，则12x x p+=-，12x x q=．∴1s p=-，()2222212121222s x x x x x x p q=+=+-=-．()()()233231212121233s x x x x x x x x p p q⎡⎤=+=++-=--⎣⎦33pq p=-．∴()()32321320s ps qs pq p p p q q p++=-+-+-=．真题赏析训练1. 关于x 的一元二次方程()()23x x m --=有两个实数根1x 、2x ，⑴ 求m 的取值范围;⑵若1x 、2x 满足等式121210x x x x --+=求m 的值. （崇文区初三期末）【解析】 由()()23x x m --=，整理，得 2560x x m -+-=． ⑴ ∵方程有两个实数根，∴24b ac =-=Δ254(6)0m --≥．解之，得14m -≥ ．⑵ ∵方程2560x x m -+-=的两个实根是1x 、2x ， ∴12121456m x x x x m -+==⎧⎪⎨⎪-⎪⎪⎩≥ ∵121210x x x x --+=∴114650m m --+=⎧-⎪⎨⎪⎩≥ ∴2m =.训练2. ⑴已知t 是实数，若a b ，是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则22(1)(1)a b --的最小值是____________.⑵如果a b ，是质数，且22130130a a m b b m -+=-+=，那么b aa b+的值为 （ ） A.12322 B. 12522或2 C. 12522 D. 12322或2 【解析】 ⑴3-.提示：依题意有()224410210210210t a a t b b t a b ab t =--⎧⎪-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪+=⎪=-⎪⎩Δ≥≥，化简得22121212t a a t b b t ⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩≤≤ ∴()()222(1)(1)224a b a t b t t --=--=-，∴22(1)(1)a b --的最小值为3-． ⑵B ．提示：方法一：有两种情况：① 若a b =，则2b aa b+=；②若a b ≠，根据题意，a 、b 是方程2130x x m -+=的根，思维拓展训练(选讲)则13a b +=，因为a b ，是质数且和为奇数，所以两数分别为2和11．此时21112511222b a a b +=+=． 方法二：两式相减，消m ，2213130a b a b --+=，()()130a b a b -+-=，所以有a b=或13.a b +=训练3. 为了鼓励居民节约用电，某地区规定：如果每户居民一个月的用电量不超过a 度时，每度电按0.40元交费；如果每户居民一个月的用电量超出a 度时，则该户居民的电费将使用二级电费计费方式，即其中有a 度仍按每度电0.40元交费，超出a 度部分则按每度电150a元交费．下表是该地区一户居民10月份、11月份的用电情况．根据表中的数据，求在该地区规定的电费计费方式中，a 度用电量为多少？ （西城期末）【解析】 因为800.432⨯=，1000.44042⨯=<，所以 80100a <≤.由题意得 0.4(100)42150aa a +-=. 去分母，得 60(100)42150a a a +-=⨯.整理，得 216063000a a -+=. 解得 190a =，270a =. 因为 80a ≥，所以 270a =不合题意，舍去. 所以 90a =．答：在该地区规定的电费计费方式中，a 度用电量为90度.训练4. ⑴两个相邻的自然数的平方和比这两个数中较小的数的2倍大51，试求这两个自然数．⑵某两位数的十位数字与个位数字之和为5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数．【解析】 ⑴设这两个自然数分别为1n n +，．根据题意得()221251n n n ++=+解得：1255n n ==-，（舍） 所以这两个自然数为5和6⑵设这个数为()10595x x x +-=+，新的数为()105509x x x -+=- 根据题意得：()()95509736x x +-= 解得1223x x ==，所以这个两位数为23或32知识模块一 根与系数的关系 巩固练习【练习1】 ⑴方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为（ ）A ．7-B ．3-C ．7D ．3⑵设1x ，2x 是一元二次方程2320x x --=的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为__________________．【解析】 ⑴D ；⑵7．【练习2】 已知α，β是一元二次方程210x x +-=的两个根，求5325αβ+的值． 【解析】 因为α是方程210x x +-=的根，所以210αα+-=，即21αα=-． ()24211223ααααα=-=-+=-，()542232353αααααααα=⋅=-=-=-．同理()322121ββββββββ=⋅=-=-=-．所以()()()5325253521101121αβαβαβ+=-+-=+-=-．【练习3】 已知关于x 的方程()2120x k x k -+++=的两个实数根的平方和等于6，求k 的值． 【解析】 设方程的两个根为1x ，2x ，则121x x k +=+，122x x k =+．∵22126x x +=，∴()2121226x x x x +-=． ∴()()21226k k +-+=． 解得13k =，23k =-． 又()()2142k k ∆=+-+．当3k =时，0∆<，所以，3k =不符合题意．舍去． 当3k =-时，0∆>，所以，3k =-即为所求．复习巩固题型二 一元二次方程的应用问题 巩固练习【练习4】 某市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少．【解析】 设平均每次降价的百分率为x ，则2200(1)128x -=，即10.8x -=±，解得1 1.8x =（舍去），20.220%x ==答：这种药品平均每次降价20%．【练习5】 一条长64m 的铁丝被剪成两段，每段均折成一个正方形，若两个正方形的面积和等于2160cm ，求这两个正方形的边长，【解析】 设一个正方形的边长为x cm ，则另一个正方形的边长是644(16)cm 4x x -=-． ∴22(16)160x x +-=，整理，得216480x x -+=，解得12412x x ==，，则1612x -=或164x -=．答：这两个正方形的边长分别为4cm ，12cm ．。
2.4一元二次方程根系关系的专题
专题一：一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++两根的三种特殊情况 1.一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的两根是互为相反数： 设方程两根为21x x ，，则⇔⎪⎩⎪⎨⎧=⇒==+≥∆0b 0a b -x x 021方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的两根是互为相反数 例1：已知关于x 的一元二次方程()()010m 2x 9-m x 3-m 22=+++有两根互为相反数，求m 及两根。
2.一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的两根是互为倒数：设方程两根为21x x ，，则⇔⎪⎩⎪⎨⎧=⇒==≥∆c a 1a c x x 021方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的两根是互为倒数 例2：已知关于x 的一元二次方程()02-m 3x 3m x m 22=+++有两根互为倒数，求m 的值。
3.一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++必有一根为0：设方程两根为21x x ，，则⇔⎪⎩⎪⎨⎧=⇒==≥∆0c 0a c x x 021方程）（0a 0c bx ax 2≠=++必有一根为0 例3：已知关于x 的一元二次方程()()04-k x 32k -x 2k 22=+++有一根为0，求k 的值及方程的根。
专题二：利用一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++根的关系求待定系数及两根 例1：已知一元二次方程两根之和是4，两根之积为1，求这两根。
例2：已知关于x 的一元二次方程()05-m x 2m 2x 22=+++有两个实数根，且两根平方和比两根积大16，求m 的值。
例3：已知关于x 的一元二次方程0m 53x x 22=++的两根都小于1，求m 的取值范围。
例4：已知以斜边长为13的直角三角形的两条直角边长分别是一元二次方程()()02m 3x 1-m -x 2=++的两根，求直角三角形两直角边长。
专题三：利用一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++根系关系判断根的符号 （1）两根同号⇔⎪⎩⎪⎨⎧⇒>⇒>≥∆同号与c a 0a c 0x x 021 （2）两根异号⇔⎪⎩⎪⎨⎧⇒<⇒<>∆异号与c a 0a c 0x x 021 例：k 为何值时，方程()03k kx 2x 1-k 2=+++有一正根，有一负根，求k 的取值范围。
一元二次方程根的判别式及根系关系
[文件]
[科目] 数学
[年级] 初三
[类型] 同步
[关键词] 根的判别式/根系关系/练习
[标题] 一元二次方程根的判别式及根系关系综合练习
[内容]
一元二次方程根的判别式及根系关系综合练习1．关于x的方程4mx2－mx+1=0有两个相等的实数根,求m的值．（m=16）
2．若关于x的二次方程kx2+1=x－x2有实数根,求k的取值范围．（k
k≠-1）
3．求证关于x的一元二次方程mx2+(m+n)x
有两个不相等的实数根．
4．已知a、b、c为三角形的三条边长，求证关于x的一元二次方程b2x2+(b2+c2－a2)x2+c2=0没有实数根．
5．已知关于x的方程x2+5x+k=0的两根的差为3，求k的值．（k=4）
6．已知m是正实数，关于x的方程2x2－mx－30=0的两实根为x1、x2，且5x1+3x2=0，求m的值．（m=4）
7．已知x1、x2是关于x的方程4x2－(3m－5)x－6m2=0
m的
值．（m=5或m=1）
8．关于x的方程
x2－mx－1=0(1)与2x2－(m+6)x－m2+4=0 (2)，若方程（1）两个实数
根的平方和等于方程（2）的一个整数根，求m的值．（m=0）。
专题讲座--根系关系
代数综合题主要包括三方面：一是方程型综合题； 二是函数型综合题；三是方程与函数相结合型综 合题.
要求学生有扎实的基础知识和灵活运用知识，分 析解决问题的能力。
四、近年中考综合题命题方向：
1.过于繁难的综合题有所减少 2.结合图象特点求解的综合题
⑦△>O，x1·x2<O ，x1+ x2<O 一元二次方程有一正根，一负根， 负根绝对值大 抛物线与x轴两交点一个在x轴正半轴上， 另一个在x轴负半轴，且负半轴上点到 原点距离大. OA= ﹣x1 OB= x2 OA>OB 熟练掌握双基，掌握各知识点之间 内在联系，是解综合题的基础.
例1 关于x的方程m2x2+(2m+1)x+1=0有实根,求m的取值范围.
有所增多 3.隐含条件的题目频频出现 4.新型题逐渐增多 5.常规综合题仍唱主角
五、代数综合题
函数 方程 方程 与函数
知识：与一元二次方程有关的知识 一元二次方程的解法 一元二次方程根的判别式 一元二次方程根与系数的关系 与函数有关的知识 函数的图象和性质 ▲一元二次方程和二次函数的关系
熟练掌握一元二次方程和二次函数间关系 ① 一元二次方程：ax2 + bx + c = 0（a≠0） 二次函数：y = ax2 + bx + c（a≠0）
（3）(m - 6)2 - 4(7 - n) = 0
（4）［- (m – 4)]2 – 4(5 – n)<0
m=2,
把m=2代入（3）,得n=3.
例5 （北京市94年中考试题） 已知x1,x2是关于x的方程x2+m2x+n=0的两
一元二次方程的判别式和根系关系
§2．5（补充内容） 一元二次方程的根的判别式一、新知识引入1.请你简述用公式法解一元二次方程的一般步骤；2.方程20(0)ax bx c a ++=≠什么时候有解？什么时候无解． 二、知识目标要点1.一元二次方程的根的判别式任何一个一元二次方程都可以化为一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠，通过配方可得2224()24b b ac x a a-+=． 因为0a ≠，所以240a >，于是：（1）当240b ac ->时，有1x =，2x =，且21x x ≠ （2）当240b ac -=时，有122b x x a==-（3）当240b ac -<时，方程无实根由此可见，方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的情况可由24b ac -的符号来判定，我们把24b ac -叫一元次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，记作“△”2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的情况： （1）0>∆⇔方程有两个不相等的实数根； （2）0=∆⇔方程有两个相等的实数根； （3）⇔<∆0方程无实数根． 三、典型例题例1 不解方程，判别下列方程的根的情况（1）22340x x +-=； （2）216924y y +=；（3）25(1)70x x +-=．例2 已知关于x 的方程222(41)210x k x k -++-=，当k 取什么值时：（1）方程有两个不相等的实根？（2）方程有两个相等的实根？（3）方程没有实根？例3 求证：无论k 取何值时，关于x 的方程222(1)240k x kx k +-++=没有实数根．四、课堂训练1.不解方程，判别下列方程的根的情况．（1）23420x x +-=； （2220+=；（3）25t +=2.已知关于x 的方程22(21)(2)0x m x m +++-=，m 取什么值时，（1）方程有两个不等实根？（2）方程有两个相等实根？（3）方程无实根？ 课后训练A 级1.如果关于x 的方程222(41)210x k x k -++-=有两个不相等的实根，那么k 的取值范围是 ．2.关于x 的一元二次方程2210mx x -+=有两个相等的实根，则m ＝ ．3.如果m 为任意实数，那么一元二次方程2213022x mx m m -+++=的解的情况是 ．4.若方程23410x x k -++=无实根，求k 的取值范围，并化简代数式123k -．5.求证，关于x 的方程2(21)10x k x k +++-=，有两个不相等的实数根．B 级6.若方程222340x x a -+-=有两个不相等的实数根，则2a -＝ ．7.如果a,b,c 是有理数，那么一元一次方程20ax bx c ++=有有理根的条件是 ． 8.若方程22(4)60x kx x --+=没有实数根求k 的最小整数值．9.已知a,b,c 是△ABC 的三边长，且方程22(1)2(1)0a x bx c x ++--=两根相等，试判断△ABC 的形状．10.求证，不论k 取何值，方程2(2)()x x k k --=都有不相等的实数根．§2．6（补充内容） 一元二次方程的根与系数的关系（1）一、新知识引入1．已知一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0），当0≥∆时，它的两个根12,x x 可由系数a,b,c 怎样表出？2．两根之和12x x +，两根之积12x x ，与系数a,b,c 又有怎样的关系呢？ 二、知识目标要点1.一元二次方程的根系关系如果一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的0≥∆，那么它的两根为1x =，2x =于是1222b b x x a a -+===-221222()444b ac cx x a a a--=== 可见：如果02=++c bx ax （0≠a ）的两根是12,x x ，那么12b x x a +=-，12cx x a⋅=，这个结论叫一元二次方程的根系关系，也称韦达定理． 三、典型例题例1 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一根及k 的值（可由韦达定理或根的定义来解）例2 设12,x x 是方程22310x x +-=的两根，不解方程，求下列各的值． （1）122221x x x x + （2）2221x x +（3）1211x x +例3 已知关于x 的方程22(21)20x k x k +++-=的两个实数根的平方和比两根之积的3倍少10，求k 的值．四、课堂训练1.下列方程的两根的和与两根的积各是多少？（1）2310x x -+=； （2）2322x x -=；（3）2230x x +=； （4）231x =．2.已知方程23190x x m -+=的一根是1，则另一根为 ，m 的值为 ． 课后训练A 级1.已知一元二次方程20x px q ++=的两根分别是-2和12，则p= ，q= ．2.如果方程2(1)30x k x +--=的一根是1，那么k 的值是 ，另一个根是 ．3.若1,2x x是方程2210x -=的两个根，则2212x x +＝ ． 4.已知1,2x x 是方程22430x x +-=的两极，不解方程求下列各式的值．（1）12(1)(1)x x ++； （2）2112x x x x +．5.已知1,2x x 是方程22(2)0x k x k ++-=的两个实数根，且22121214x x x x +=，求k 的值．B 级6.若0和-3是方程20x px q -+=的两个根，则p+q ＝ ．7.如果方程20(0)ax bx c a ++=≠有实数根，且a+b ＝0，那么此方程的两根之间的关系是 ． 8.已知方程21104x x k -+=的一个根比另一个根大54，求k 的值．9.已知方程2380x x m -+=的两根之比为3：1，求m 的值．10.设1,2x x 是方程2(1)20x k x -+-=的两根，且1211x x +＝2，求k 的值．§2．6（补充内容）一元二次方程的根与系数的关系（2）一、新知识引入你能迅速地构造一个一元二次方程，使它的两根为3和5吗？ 二、知识目标要点1.韦达定理的推论1如果方程20x px q ++=的两根是1,2x x 那么12x x p +=-，12x x q =（推论1是韦达定理的特例）． 2.韦达定理的推论2设1,2x x 是方程02=++q px x 的两根 则1212,x x p x x q +=-=． ∴12()p x x =-+，12q x x =．所以方程20x px q ++=就是21212()0x x x x x x -++=．于是可得韦达定理的推论2：以两个数x 1,x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是21212()0x x x x x x -++=．三、典型例题例1 （1）求一个一元二次方程，使它的两个根是113,232-．（2）已知方程2320x x +-=,不解这个方程求作一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程各根的2倍．例2 已知两个数的和为8，积为9，求这两个数．（分析：根据根系关系可知，这两个数是方程2890x x -+=的两根）例3 已知关于x 的方程2(1)20x k x k -+++=的两个实数根的平方和等于6，求k 的值．四、课堂训练1.求一个一元二次方程，使它的两个根分别为（1）4，7（2）12.已知两个数的和为-6，积为2，求这两个数课后训练A 级1.若一元二次方程的两个根是3+3，则此方程是 ．2.已知两数的和等于1，则这两个数是 ．3.当k= 时，方程21104x x k -+=的一个根比另一个根大54． 4.若方程290x mx ++=有两个相等的正根，那么m ＝ ．5.若一元二次方程220x x a ++=B 级6.以方程25430x x --=的各根倒数为两根的方程是 ．7.已知,αβ是方程2250x x +-=的两个实数根，则ααβα22++＝ ．8.如果关于x 的方程20x x m -+=有两个不相等的实数根，且两根之差的平方小于1，求m 的范围．9.利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的根分别是方程01322=+-x x 的各根的平方．10.已知关于x 的一元二次方程2(21)30mx m x m -+++=．（1）如果方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）如果方程的一个根2α=，另一个根为β，求(αβ的值．。
一元二次方程之根系关系及应用题
题型切片（两个）对应题目题型目标根与系数关系例1；例2；例3；例7；演练1；演练2；演练3；一元二次方程的应用题例4；例5；例6；演练4；演练5．一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）若21,xx是关于x的一元二次方程)0(02≠=++acbxax的两个根，则方程的两个根21,xx和系数cba,,有如下关系：acxxabxx=⋅-=+2121,.思路导航题型切片知识互联网一元二次方程根系关系及应用题题型一：根与系数关系【引例】 先阅读，再填空解题：⑴方程x 2－x －12＝0 的根是：x 1＝3-，x 2＝4，则x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝12-；⑵方程2x 2－7x ＋3＝0的根是：x 1＝12，x 2＝3，则x 1＋x 2＝72，x 1·x 2＝32；⑶方程x 2－3x ＋1＝0的根是：x 1＝ ， x 2＝ ． 则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ； ⑷根据以上⑴⑵⑶你能否猜出：如果关于x 的一元二次方程mx 2＋nx ＋p ＝0（m ≠0且m 、n 、p 为常数）的两根为x 1、x 2，那么x 1＋x 2、x 1·x 2与系数m 、n 、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．⑸在⑶的条件下，求下列各式的值：①221221x x x x +；②221211x x + （十一学校期末） 【解析】 ⑶35+，35-；3，1；⑷1212n px x x x m m+=-=，； ⑸①()2212211212==31=3x x x x x x x x ++⨯②()()2221212122222212*********====71x x x x x x x x x x x x +-+-+【例1】 不解方程，求下列方程两根的积与和．⑴25100x x --= ⑵22710x x ++=⑶23125x x -=+ ⑷()137x x x -=+例题精讲典题精练【例2】 已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．⑴求实数m 的取值范围；⑵当22120x x -=时，求m 的值．【例3】 已知一元二次方程2(1)230m x mx m +++-=有两个不相等的实数根，并且这两个根又不互为相反数. ⑴ 求m 的取值范围；⑵ 当m 在取值范围内取最小偶数时，方程的两根为12,x x ，求2123(14)x x -的值.列一元二次方程解应用题的时候，要注意检验得到的根是否符合题意．【引例】 ⑴某汽车销售公司2009年盈利1500万元， 2011年盈利2160万元，且从2009年到2011年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）． （西城期末）A ．()2150012160x += B ．2150015002160x x += C ．215002160x = D ．()()215001150012160x x +++=⑵某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 ． (台州中考)【解析】 ⑴A ；⑵100)1(1202=-x ．例题精讲思路导航题型二：一元二次方程的应用题【例4】 某商品进价为40元的衬衫按50元售出时.每月能卖500件.这种衬衫每涨价1元，其销售量减少10件.如果商场计划每月赚8000元利润.售价应定为多少?【例5】 如图①，要设计一幅宽20cm ，长30cm 的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2:3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？20cm 30cm图①图②30cm20cm ABCD分析：由横、竖彩条的宽度比为2:3，可设每个横彩条的宽为2x ，则每个竖彩条的宽为3x ．为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形ABCD ． 结合以上分析完成填空：⑴ 如图②，用含x 的代数式表示：AB =____________________________cm ；AD =____________________________cm ； 矩形ABCD 的面积为_____________cm 2；⑵ 列出方程并完成本题解答．【例6】 如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面．请观察下列图形并解答有关问题：⑴ 在第n 个图中，每一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有 块瓷砖；（均用含n 的代数式表示）典题精练⑵设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与⑴中的行列的函数关系式；（不要求写自变量n的取值范围）⑶按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；⑷若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题⑶中，共需花多少元钱购买瓷砖？⑸是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明理由．...n=3n=2n=1【例7】关于x的方程20x px q++=的两根和为1s，两根的平方和为2s，两根的立方和为3s，试求321s ps qs++的值．知识模块一根与系数的关系巩固练习【练习1】⑴方程2520x x-+=的两个解分别为1x、2x，则1212x x x x+-⋅的值为（）A．7-B．3-C．7 D．3⑵设1x，2x是一元二次方程2320x x--=的两个实数根，则2211223x x x x++的值为__________________．【练习2】已知α，β是一元二次方程210x x+-=的两个根，求5325αβ+的值．真题赏析复习巩固【练习3】 已知关于x 的方程()2120x k x k -+++=的两个实数根的平方和等于6，求k 的值．题型二 一元二次方程的应用问题 巩固练习【练习4】 某市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少．【练习5】 一条长64m 的铁丝被剪成两段，每段均折成一个正方形，若两个正方形的面积和等于2160cm ，求这两个正方形的边长，。
一元二次方程根的判别式与根系关系
一元二次方程的判别式与根系关系【知识精讲】1.一元二次方程的根的判别式（1）根的判别式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 是否有实根，由符号确定，因此我们把 叫做一元二次方程的根的判别式，并用△表示，即（2）一元二次方程根的情况与判别式的关系：△>0⇔方程有 的实数根；△=0方程有 的实数根；△<0方程 实数根；△≥⇔方程 实数根.注：①使用前应先将方程化为一般形式；②使用此性质要保证方程为一元二次方程，即0≠a ；③性质顺用、逆用均可；④不解方程，可判断根的情况；⑤根据方程的情况，可确定方程中字母系数的值或取值范围；⑥在函数图像的交点问题中可以判断交点的个数；2.根系关系（韦达定理）（1）对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根,,21x x 有ac x x a b x x =•=+2121,- （2）推论：如果方程02=++q px x 的两根是,,21x x 那么q x x x x =•=+2121,-p（3）常用变形：+=+2122122212-)(x x x x x x 21212214-)()-(x x x x x x += 注：①使用次性质要保证一元二次方程有两根，即0≠a 和△0≥；②不解方程，可计算代数式的值③根据两根之间的关系，可求方程中字母系数的值④与根的判别式一起使用，可确定根的符号问题【典型例题精讲】【例1】是否存在这样的非负数m ，使得关于x 的一元二次方程01-91-3(2-2=+m x m mx ）有两不相等的实数根，若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由。
【拓展练习】1.关于x 的方程01)2(2-)1-(22=++x m x m 有实根，求m 的取值范围。
2.求证不论m 取何值时，若关于x 的方程02)5(22=++++m x m x 恒有两个不相等的实根。
3.已知关于x 的方程042-)1(222=+++k kx x k ，求证：次方程没有实根。
3.一元二次方程的判别式与根系关系(教师)
一元二次方程的判别式与根系关系模块一 一元二次方程的判别式1．定义：在一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0中，只有当系数a 、b 、c 满足条件△≥b ac 2=-40时才有实数根．这里b ac 2-4叫做一元二次方程根的判别式，记作△．2．判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0的根的情况由△b ac 2=-4确定．设一元二次方程为()ax bx c a 2++=0≠0，其根的判别式为：△b ac 2=-4，则①△>0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个不相等的实数根,x 12．②△=0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个相等的实数根bx x a12==-2．③△<0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0没有实数根．特殊的：（1）若a ，b ，c 为有理数，且△为完全平方式，则方程的解为有理根；（2）若△为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根． 模块二 一元二次方程的根与系数关系 1．韦达定理：如果()ax bx c a 2++=0≠0的两根是x 1，x 2，则b x x a 12+=-，cx x a12=．（使用前提：△≥0）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x 1，x 2是方程x px q 2++=0的两个根，则x x p 12+=-，x x q 12=． 2．韦达定理的逆定理：如果有两个数x 1，x 2满足b x x a 12+=-，cx x a12=，那么x 1，x 2必定是()ax bx c a 2++=0≠0的两个根．特别地，以两个数x 1、x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是()x x x x x x 21212-++=0．3．韦达定理与根的符号关系：在△≥b ac 2=-40的条件下，我们有如下结论：（1）当ca <0时，方程的两根必一正一负．①若≥b a -0，则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若ba -<0，则此方程的正根小于负根的绝对值．（2）当ca >0时，方程的两根同正或同负．①若b a ->0，则此方程的两根均为正根；②若ba -<0，则此方程的两根均为负根．注意：（1）若ac <0，则方程()ax bx c a 2++=0≠0必有实数根．（2）若ac >0，方程()ax bx c a 2++=0≠0不一定有实数根．模块一 一元二次方程的判别式例1、（1）不解方程，直接判断下列方程的解的情况：①x x 27--1=0 ②()x x 29=43-1③x x 2+7+15=0 ④()mx m x 2-+1+=02（m 为常数）（2）已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程()()a b x cx a b 2++2++=0的根的情况是（ ） A ．没有实数根 B ．可能有且只有一个实数根 C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【解析】（1）①△>0，有两个不等实根；②△=0，有两个相等实根； ③△<0，无实根；④△m 2=+1>0，方程有两个不等实根．（2）由题()()()()△c a b a b c c a b 22=2-4+=4++--∵a b c ++>0，c a b --<0，故方程没有实根．选A ．【点评】这道题（1）主要考察判别式与根的关系，属于特别基础的题，锻炼孩子们的思维，（2）结合三角形三边关系来考察一元二次方程的判别式和根的个数的关系．例2、（1）若关于x 的一元二次方程()k x x 21-1+-=04有实根，则k 的取值范围为______．（2）关于x的一元二次方程()k x 21-2--1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围______． （3）当a 、b 为何值时，方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根？ 【解析】（1）≥k 0且≠k 1；（2）≤k -1<2且k 1≠2，由题意，得()()k k k k 4+1+41-2>0⎧⎪+1≥0⎨⎪1-2≠0⎩，解得≤k -1<2且k 1≠2；（3）要使关于x 的一元二次方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根，则必有△≥0，即()()≥a a ab b 22241+-43+4+4+20，得()()a b a 22+2+-1≤0．又因为()()a b a 22+2+-1≥0，所以()()a b a 22+2+-1=0，得a =1，b 1=-2．【点评】这道题（1）（2）主要是结合一元二次方程的定义和判别式与根的关系的考察，（3）把判别式和平方的非负性结合起来考查．例3、已知关于x 的一元二次方程()a x ax 213-1-+=04有两个相等的实数根，求代数式a a a 21-2+1+的值．【解析】由题，一元二次方程()a x ax 213-1-+=04有两个相等的实数根，所以a a 2-3+1=0．所以有a a a 2-2+1=，a a 2+1=3．代入a a a21-2+1+，得a a a a a a a a a 2211+13-2+1+=+===3．【点评】这道题主要是考察判别式与代数式的结合，难度不大．例4、在等腰△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，已知a =3，b 和c 是关于x 的方程x mx m 21++2-=02的两个实数根，求△ABC 的周长．【解析】当b c =时，方程有两个相等的实数根，则=△m m 21⎛⎫-42-=0 ⎪2⎝⎭，∴m 1=-4，m 2=2．若m =-4，原方程化为x x 2-4+4=0， 则x x 12==2，即b c ==2，∴△ABC 的周长为2+2+3=7．若m =2，原方程化为x x 2+2+1=0， 则x x 12==-1，不合题意．当a b =或a c =时，x =3是方程的一个根，则m m 19+3+2-=02，则m 22=-5，原方程化为x x 22221-+=055，解得x 1=3，x 27=5，∴ABC △的周长为7373+3+=55．综上所述，ABC △的周长为7或375．【点评】这道题主要考察学生们的分类讨论能力，应对多种情况是要理清思路．模块二 一元二次方程的根与系数的关系 例5、（1）已知一元二次方程ax ax c 2+2+=0的一根x 1=2，则方程的另一根______x 2=．（2）已知x 1，x 2是方程x x 2-3+1=0的两个实数根，则：①x x 2212+；②()()x x 12-2⋅-2；③x x x x 221122+⋅+；④x x x x 2112+；⑤x x 12-；⑥x x 2212-；⑦x x 1211-． 【解析】（1）-4；（2）()x x x x x x 2222121212+=+-2⋅=3-2⨯1=7，()()()x x x x x x 121212-2⋅-2=⋅-2++4=1-2⨯3+4=-1，()x x x x x x x x 22211221212+⋅+=+-⋅=9-1=8，x x x x x x x x 2221211212+7+===7⋅1，()()x x x x x x 222121212-=+-4⋅=3-4⨯1=5，∴x x 12-=∴()()(x x x x x x 22121212-=+-=3⨯=x x x x x x 21121211--=== 【点评】第三小题，主要是考察韦达定理的灵活运用，包含了各种变形情况．例6、（1）已知关于x 的方程()x k x k 22+2-3+-3=0有两个实数根x 1，x 2，且x x x x 121211+=+，求k 值． （2）已知x 1，x 2是方程ax ax a 24-4++4=0的两实根，是否能适当选取a 的值，使得()()x x x x 1221-2-2的值等于54． 【解析】（1）∵方程()x k x k 22+2-3+-3=0有两个实数根x 1，x 2，∴()()△≥k k k 22=2-3-4-3=21-120得：≤k 74．由韦达定理得，()x x k x x k 12212+=-2-3⎧⎪⎨⋅=-3⎪⎩． ∵x x x x 121211+=+，∴x x x x x x 121212++=，x x 12+=0或x x 12=1，当x x 12+=0时，k 3-2=0，k 3=2，∵k 37=<24，所以k 3=2符合题意．当x x 12=1时，k 2-3=1，k =±2，∵k 7≤4，∴k =2舍去．∴k 的值为32或-2．（2）显然a ≠0由()△a a a 2=16-16+4≥0得a <0，由韦达定理知x x 12+=1，a x x a12+4=4，所以()()()()()a x x x x x x x x x x x x a 2221221121212129+4-2-2=5-2+=9-2+=-24a a+36=4 若有()(),x x x x 12215-2-2=4则a a +365=44，∴a =9，这与0a <矛盾，故不存在a ，使()()x x x x 12215-2⋅-2=4．【点评】这道题主要锻炼孩子们的过程，以及有两个实根，解出来别忘了限制条件，这种类型的题比较常见，一定不要忽视∆的限定条件以及用韦达定理可得到的限定条件．例6、（1）若m ，n 是方程x x 2+-1=0的两个实数根，则m m n 2+2+-1的值为________．（2）已知a ，b 是方程x x 2+2-5=0的两个实数根，则a ab a b 2-+3+的值为__________．（3）已知m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，则()()m m n n 22+2015+6+2017+8= ________． 【解析】（1）∵m ，n 是方程x x 2+-1=0的两个实数根，∴m n +=-1，m m 2+-1=0，则原式()()m m m n 2=+-1++=-1=-1，（2）∵a 是方程x x 2+2-5=0的实数根，∴a a 2+2-5=0，∴a a 2=5-2，∴a ab a b a ab a b a b ab 2-+3+=5-2-+3+=+-+5， ∵a ，b 是方程x x 2+2-5=0的两个实数根，∴a b +=-2，ab =-5，∴a ab a b 2-+3+=-2+5+5=8． 故答案为8．（3）∵m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，∴m n +=-2016，mn =7；∴m m 2+2016+7=0，n n 2+2016+7=0，()()()()m m n n m m m n n n 2222+2015+6+2017+8=+2016+7--1+2016+7++1 ()()()()m n mn m n =-+1+1=-+++1=-7-2016+1=2008故答案是：2008．【点评】这道题主要考查韦达定理根系关系的应用，进一步强化孩子对于韦达定理应用的理解．例7、（1）已知一元二次方程()ax a x a 2+3-2+-1=0的两根都是负数，则k 的取值范围是_________． （2）已知二次方程342x x k 2-+-=0的两根都是非负数，则k 的取值范围是__________．【解析】（1）此方程两实根为,x x 12，由已知得a x x x x 1212≠0⎧⎪∆0⎪⎨+<0⎪⎪>0⎩≥，∴()()a a a a a a a a2≠0⎧⎪3-24-10⎪⎪2-3⎨<0⎪⎪-1⎪>0⎩-≥,即a 91<8≤．（2）此方程两实根为,x x 12，由已知得≥x x x x 1212∆≥0⎧⎪+≥0⎨⎪0⎩，得：∴2()43()k k ⎧⎪-4-⨯-2≥0⎪4⎪>0⎨3⎪-2⎪≥0⎪3⎩即k 102≤≤3．【点评】这道题主要考查韦达定理和判别式结合不等式组的形式去判定根的具体情况，这类题是比较常见一类题，要将这种不等的思想传授给孩子． 课后作业 1．已知关于x 的一元二次方程()()k x k x 22-1+2+1+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为_____________．A ．k 1≥4B ．k 1>4且≠k 1 C ．k 1<4且≠k 1 D ．k 1≥4且≠k 1【解析】B ．2．已知关于x 的一元二次方程x m 2-=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围__________． 3．关于x 的方程()()m x m x 22-4+2+1+1=0有实根，则m 的取值范围__________．【解析】2．由题意可知，原方程的判别式(m m m 21∆=+4=1+3>0⇒>-3．又≥≤m m 1-0⇒1，故≤m 1-<13．3．题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分0m 2-4=和m 2-4≠0，两种情形讨论：当m 2-4=0即m =±2时，()m 2+1≠0，方程为一元一次方程，总有实根； 当m 2-4≠0即m ≠±2时，方程有根的条件是： [()]()≥m m m 22=2+1-4-4=8+20∆0，解得m 5≥-2．∴当m 5≥-2且m ≠±2时，方程有实根．综上所述：当m 5≥-2时，方程有实根．4．已知关于x 的方程()x k x k 2-+1+2-2=0． （1）求证：无论k 为何值，方程总有实根；（2）若等腰ABC △，底边a =3，另两边b 、c 恰好是此方程的两根，求ABC △的周长． 【解析】（1）()()()≥△k k k 22=+1-42-2=-30，∴无论k 为何值，方程总有实根．（2）当a =3为底，b ，c 为腰时，b c =，∴方程有两个相等的实根，∴∆=0，即()k 2-3=0，k =3，此时方程为x x 2-4+4=0，解x x 12==2，∴ABC △的周长为3+2+2=7，当a =3为腰，则方程有一根为3，将x =3代入方程，得k =4，方程为x x 2-5+6=0，解得x 1=2，x 2=3，∴ABC △的周长为2+3+3=8，综上所述，ABC △的周长为7或8．5．关于x 的方程x kx 22+=10的一个根是-2，则方程的另一根是_______；k =________．6．已知a ，b ，c 为正数，若二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根，那么方程a x b x c 2222++=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的正实数根 B ．有两个异号的实数根 C ．有两个不相等的负实数根 D ．不一定有实数根7．设α，β是一元二次方程x x 2+3-7=0的两个根，则ααβ2+4+=________．【解析】5．设另一根为x ，由根与系数的关系可建立关于x 和k 的方程组，解之即得．x 5=2，k =-1． 6．a x b x c 2222++=0的()()D b a c b ac b ac 42222=-4=+2-2， ∵二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根， ∴≥b ac 2-40， ∴b ac 2-2>0，∴()()△b a c b ac b ac 42222=-4=+2-2>0∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正． 故有两个负根．故选C ．7．∵α，β是一元二次方程x x 2+3-7=0的两个根， ∴αβ+=-3，αα2+3-7=0，∴αα2+3=7，∴ααβαααβ22+4+=+3++=7-3=4，故答案为：4．8．已知关于x 的方程()x m x m 22+2+2+-5=0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．【解析】有实数根，则∆≥0，且x x x x 221212+-=16，联立解得m 的值．依题意有：()2()3()()x x m x x m x x x x m m 12212121222+=-2+2⎧⎪=-5⎪⎨+-=16⎪⎪∆=4+2-4-5≥0⎩，解得：m =-1或m =-15且m 9≥-4， ∴ m =-1．。
根与系数的关系
根与系数的关系内容提要：1、根系关系（韦达定理）2、不解方程直接确定两根的和与积3、根系关系与关于两根的对称式4、由两根关系考察待定系数5、韦达定理逆定理及其应用问题：一元二次方程的求根公式是什么？问题：利用求根公式计算21x x +和21x x ∙的值一、根系关系（韦达定理）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a+=-= 说明：（1）先化为一般形式（2）定理成立的条件0∆≥即方程先要有根（3）注意公式重12b x x a+=-的负号与b 的符号的区别 简化形式：如果02=++c px x 的两根为2,1x x ，那么p x x -=+21，q x x =∙21，对于二次项系数为 1 的一元二次方程，两根之和为一次项系数的相反数，两根之积为常数项。
二、不解方程直接确定两根的和与积例1若2,1x x ，是一元二次方程x x 322=+的两根，则21x x +的值是（ ）A.-2B.2C.3D.1例2若2,1x x ，是一元二次方程322=-x x 的两根，则21x x ∙的值是（ ）A.-2B.2C.-3D.1例3 两个不等的实数m 、n 满足462=-m m ，462=-n n 则mn 的值为（ ）A.6B.-6C.4D.-4例 4 a,b 是方程x x 342-=-的两根，),(b a P 是函数xk y =的图像上一点，则k 的值是（ ）A.-4B.4C.-3D.3三、根系关系与关于两根的对称式例5设2,1x x 是方程0332=-+x x 的两个实数根，则2112x x x x +的值为（ ）A. 0B.1C.-1D.-5222121212()2x x x x x x +=+-， 2212121212()x x x x x x x x +=+22121212()()4x x x x x x -=+-12121211x x x x x x ++= 2121212||()4x x x x x x -=+-， 2121212x x x x x x ++=+212122121222121122)(x x x x x x x x x x x x x x -+=+=+， 2212121)())((m x x m x x m x m x +++=++ 例 6 关于x 的方程0)32(22=+++m x m x 有两个相等的实数根α，β，若111-=+βα则m 的值为（ ） A. 3 B.1 C.-1或3 D.-3或1例 7 关于x 的方程02)6(2=++-a ax x a 有两个相等的实数根α，β，若)1)(1(++βα为负整数，则符合条件的整数a 有（ ）个A. 1B.2C. 3D.4四、由两根关系考察待定系数例 8 已知关于x 的方程02=++n mx x 的一根是另一根的2倍，那么m ，n 之间的关系是（ ）A.n m =22B.n m 922=C.n m 92=D.0=+n m例9 已知关于x 的方程012=+++k kx x 的两根2,1x x 满足k x x =+212则k 的值为（ ）A. 5B.-0.5C. 5或-0.5D.1五、韦达定理逆定理及其应用问题：已知一元二次方程如何求根？问题：已知一元二次方程的根如何构造方程？ 以两个数为根的一元二次方程是例 若一个一元二次方程的两根分别是Rt ABC ∆的两条直角边长，且3=∆ABC S 请写出一个符合题意的一元二次方程。
第五讲 一元二次方程根的判别式与根系关系
第五讲一元二次方程根的判别式与根系关系第一讲一元二次方程根的判别式与根系关系一、【基础知识精讲】1．一元二次二次方程根的判别式（1）根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 是否有实根，由b +4ac 决定，因此我们把叫做一元二次方程根的判别式，并用∆表示，即∆=b +4ac 。
（2）一元二次方程根的情况与判别式的关系：∆>0方程有∆=0方程有∆①使用前应先将方程化为一般形式；②使用此性质时要保证方程为一元二次方程，即a ≠0；③性质顺用、逆用均可；④不解方程，可以判断根的情况；⑤根据根的情况，可确定方程中字母系数的值或取值范围；2．根与系数的关系（韦达定理）（1）对于一元二次方程ax +bx +c =0(a ≠0) 的两根x 1, x 2，有222b ｃx 1+x 2=－，x 1∙x 2=a a（2）推论如果方程x +ｐx +ｑ=0的两个根是x 1, x 2，那么x 1+x 2=－ｐ，x 1∙x 2=ｑ（3）常用变形：x x +2x ) -21x 2x (x 1-x 2) =(x 1+x 2) -4x 1x 2 １+x ２=(1注：使用此性质要保证一元二次方程有两根，即a ≠0和∆≥0；（4）应用①不解方程，可求代数式的值；②根据两根之间的关系，可求方程中字母系数的值；③与根的判别式一起使用可确定根的符号问题。
２２2222二、【典型例题】知识点一一元二次二次方程根的判别式题型一根据根的情况求方程中字母系数的值【例1】（1）当m 取什么值时，关于x 的方程x 2+2(2m +1) x +(2m +2) 2=0。
①有两个相等实根；②有两个不相等的实根；③没有实根。
（2）是否存在这样的非负整数m ，使得关于x 的一元二次方程mx 2-2(3m -1) x +9m -1=0有两个不相等的实根，若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由。
【变式练习】（1）当m 为什么值时，关于x 的方程(m 2-4) x 2+2(m +1) x +1=0有实根。
第七讲 二次函数与根系关系教师版(部分内容)
AB= AS2+BS2= (1+k2)[(xA+xB)2–4xA•xB]= (1+32)(52–44)= 3 10. y=x2–2x–3
(2) 由 A(1，–4)可知直线 l：y=kx–k–4，联立 y=kx–k–4，整理得 x2–(2+k)x+k+1=0，xA+xB=2+k，xA•xB=k+1，
法，如图：m<a<b<n，故选 A.
【点法归纳】
(1) 用函数观点看一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数） 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）可以看作是二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0， a，b，c 为常数）的函数值 y 等于 0 时的情形.一元二次方程 ax2+bx+c=0 有无实数根，就看 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有无交点，当有交点时，方程的根 x 等于抛物线与 x 轴的交点的 横坐标.反过来，若△=b2–4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，此时抛物线与 x 轴有两
易得 AB= AS2+BS2= (1+k2)[(xA+xB)2–4xA•xB]= (1+k2)[(2+k)2–4(k+1)]= 3 10，两边平方得 k4+k2–90=0，解得 k=±3，直线 l 的解析式是：y=3x–7，B 的坐标(4，5)或 y=–3x–1，B 的坐标(–2，
5).
【例 4】 如图，抛物线 y=x2–2x–3 与坐标轴交于 A、B、C 三点，y=kx+b(b>–3)与抛物线交于 E、F 两点(点 E 在点 F 的左边)，且 y 轴平分△CEF 的面积，求 k 的值.
九年级数学-根的判别式与根系关系
第2讲 根的判别式与根系关系题型一 用于参数方程根的判定【例1】关于x 的一元二次方程2(3)220x a x a -+++=． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根大于3，求a 的取值范围． 【解析】（1）∵22(3)41(22)(1)0a a a ⎡⎤∆=-+-⨯⨯+=-⎣⎦≥，∴方程总有两个实数根；（2）∵[]2(3)22(2)(1)0x a x a x x a -+++=--+=，∴12x =，21x a =+， ∵13a +>，∴2a >．题型二 判别式求参数的取值范围【例2】若关于x 的方程22(1)2(2)10m x m x --++=有实数根，求m 的取值范围．【解析】分两种情况讨论：①210m -≠，此时[]222(2)4(1)0m m ∆=-+--≥，解得54m -≥且1m ≠±；②210m -=，即1m =±，此时方程为一元一次方程，显然有实数根. 综合①②两种情况，得出m 的取值范围为54m -≥．【例3】已知关于x 的一元二次方程2(12)10k x ---=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【解答】2(4(12)(1)0k ∆=--⨯-⨯->，且120k -≠，且10k +≥． 解得12k -<≤，且12k ≠．∴k 的取值范围是12k -<≤且12k ≠． 【点评】注意例2与例3的区别与联系．【例4】若关于x 的方程24x ax +=只有3个不相等的实数根，求a 的值或取值范围. 【解析】原方程可化为下面两个方程：240x ax +-=①，240x ax ++=②， 方程①21160a ∆=+>，方程②22160a ∆=-≥．因为12∆>∆， 所以只可能20∆=，即4a =±．故4a =±． 题型三 判别式用于整数根问题例5 当m 是什么整数时，关于x 的方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数？ 解析：由两个方程都有实数根，得514m -≤≤，∵ m 为整数，∴ m ＝－1,0,1当m ＝0时，代入第二个方程，得250,x x -== 当m ＝1时，方程2440mx x -+=为212440,2x x x x -+===其根为方程2244450x mx m m -+--=为2450x x --=，其根为125,1x x ==- 当m ＝－1时，方程2440mx x -+=为2440x x -+=其根不是整数；综上，当m ＝1时，方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数题型四 判别式法求极值例6 若x ，y 是实数，且224644m x xy y x y =-+--,试确定m 的最小值解析：解法一：将原等式改写为2246440x xy y x y m -+---=，即22(44)640x y x y y m -++--=，∵ x 是实数，∴ 判别式△≥0，即22(44)4(64)0y y y m +---≥，配方，得28(3)8840y m --++≥，∴ 当y ＝3时，m 有最小值－22解法二：2222224(1)(22)64(22)(22)2(3)22m x y x y y y y x y y =-++++--+=--+-- ∴ 当x －2y －2＝0且y －3＝0时，即x ＝8且y ＝3时，m 取得最小值－22针对练习11、当k ＝ 时，关于x 的二次三项式22(1)7x k x k -+++是完全平方式 解：－3或22、已知关于x 的方程21(1)(1)04k x k x ---+=有两个相等的实数根，求k 的值 解：∵ 关于x 的方程21(1)(1)04k x k x ---+=有两个相等的实数根，∴△＝0且k －1≠0∴ 221[(1)]4(1)03204k k k k ----⋅=⇒-+=，解得k ＝1(舍去)或k ＝2，∴ k ＝23、m 为何值时，关于x 的方程2(1)230m x mx m -+++= （1）有两个实根？ （2）只有一个实根？ （3）有实根？解：（1）由题意得m ≠1且△≥0，得312m m ≤≠且，∴当312m m ≤≠且时，方程有两个实数根 （2）由题意，方程为一元一次方程，此时m －1＝0, ∴当m ＝1时，方程为2x ＋4＝0，方程只有一个实数根（3）①当m ＝1时，方程2x ＋4＝0，方程有一个实数根；②当m ≠1时，由题意得23=2)4(1)(3)8120.2m m m m m ∆--+=-+≥≤（解得 ∴ 当312m m ≤≠且时，方程有两个实数根。
一元二次方程根的判别式及根系关系练习
1、方程0232=+-x kx 有两个相等的实数根，则k 。
2、若关于x 的方程0342=+-x kx 有实数根，则k 的非负整数值是 。
3、关于x 的方程()0191322
=-+--m x m mx 有两个实数根，则m 的范围是 。
4、已知k>0且方程11232-=++k x kx 有两个相等的实数根，则k= 。
5、当 k 不小于4
1-时，方程()()01222=+---k x k x k 根的情况是 。
6、如果关于x 的方程()()01222=+---m x m x m 只有一个实数根，那么方程
()()0422=-++-m x m mx 的根的情况是 。
7、求证:不论m 为任何实数,关于x 的方程x 2
－2mx+6m －10=0总有两个不相等的实数根.
8、m 取什么值时，方程()01222=-++x x m 有两个不相等的实数根？
9、如果方程0422=--mx x 的两根为21,x x ，且
2112
1=+x x ，求实数 m 的值。
10、关于x 的方程()06322
2=++-+m x m x 的两实根之积是两实根之和的2倍，求m 的值。
11、已知方程()()2
21k x x =--，k 为实数，且k ≠0，不解方程证明： （1）这个方程有两个不相等的实数根；
（2）一个根大于1，另一个根小于1。
12、已知βα、是方程01522=++x x 的二根，求
的值。
α
ββα+
13、已知方程()02122
2=-+++k x k x 的两实根的平方和等于11，求k 的。
中考第一轮复习之根系关系
一元二次方程概念 一元二次方程
ax2 +bx + c = 0 (a ≠ 0)
一元二次方程的解法 根的判别式 根系关系
中考要求
中考中此类知识所占百分比
2010年成都市中考题 2010年成都市中考题
一元二次方程 其它
一元二次方程部分占15.3% 一元二次方程部分占15.3%
2010年成都市锦江区一诊
1 m≤ （） 实 m 取 范 ； 4 1 求 数 的 值 围 2 2 （） x1 - x2 = 0 ， m； = 1 时 求 m 2 当 4
有 个 数 x1和 2。 两 实 根 x
中考考点解析
题型二
中考考点观察
（ 2010.芜 ） 知 1, x2是 程 湖 已 x 方 x2 +3x +1= 0 的 实 根 下 式 的 ： 两 数 求 列 子 值 x2 x1 （） + 1 -1 (2)(x1 - 2)(x2 - 2) 7 x1 x2 （）1 − x2 3 x
有 数 ， m 取 实 根 则 的 值
利用△求 方程中 未知系 数的取 值范围 易错点： 易错点： 二次项 系数≠0 系数
中考考点解析
题型二变式 中考考点观察
已 关 x的 程 知 于 方 (m−1 x + x +1= 0 )
2
5 m≤ 范 是_________ 围 4
有 数 ， m 取 实 根 则 的 值
k +2 x1 + x2 = − k 由 ,得 k +8 = 0 k = −2,所 不 在 4 ， 以 存 。 x x = 1 1 2 4
难度指数：
出错指数：
4、（ 、（2010 山东淄博） 山东淄博） 、（ x2 − 2(k −3)x + k 2 − 4k −1 = 0 已知关于x的方程 的方程． 已知关于 的方程． • （1）若这个方程有实数根，求k的取值范围； 的取值范围； ）若这个方程有实数根， 的取值范围 • （2）若这个方程有一个根为1，求k的值； ）若这个方程有一个根为 ， 的值； 的值 • （3）若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰 ）若以方程的两个根为横坐标、 的图象上，求满足条件的m的 在反比例函数 y = m 的图象上，求满足条件的 的 最小值． 最小值． x [− 2(k −3)]2 − 4×(k 2 − 4k −1) ≥0 • 解: （1）由题意得△＝ ）由题意得△ • 化简后解得 化简后解得k≤5． ． 2 • （2）将1代入方程，整理得 k −6k + 6 = 0 ） 代入方程， ， 代入方程 解这个方程得 ，. k1 = 3− 3 k2 = 3+ 3 • （3）设方程的两个根为 ，x2， ）设方程的两个根为x1， ， m • 根据题意得． = x1x2 又由一元二次方程根与系数的 根据题意得． 关系得， 关系得，1x2 = k2 −4k −1 m = k 2 − 4k −1 = k − 2 2 − 5 x • 所以，当k＝2时m取得最小值－5 所以， 取得最小值－ ＝ 时 取得最小值
第3讲根系关系
第3讲 一元二次方程的根与系数的关系一、公式推导:一元二次方程20ax bx c ++= （0a ≠）当△≥0时，12b x a--= 22b x a -+= （1）1x +2x =（2）1x ·2x =（3） 12x x -=二、直击考点：考点一、利用根系关系求代数式的值：1、（成都2010）．设1x ，2x 是一元二次方程2320x x --=的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为__________________．2、1x 、2x 是方程05322=--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1）2221x x + （2）21x x - （3）2222133x x x -+考点二、已知根的情况，确定方程中的字母：1、如果方程12=+mx x 的两个实根互为相反数，那么m 的值为 （ ）A 、0B 、－1C 、1D 、±12、如果关于x 的一元二次方程042=+-kx x 有两个相等的负根，则_____=k ；3、32-是方程012=-+bx x 的一个根，则b =_______，另一个根是_______；4、已知关于x 的方程x 2-4x+k-1=0的两根之差等于6，求k 的值考点三、利用根系关系构造一元二次方程：1、以1313－和+的根为方程是______________。
2、若两数和为3，积为－4，则这两个数分别为_____________。
考点四、利用根系关系和判别式，确定方程中的字母：1、已知关于x 的一元二次方程()21230k x k x -+++=的两根之差为1，试求k 的值。
2、已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值。
3、已知关于x 的方程03)1(222=-++-m x m x（1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设1x 、2x 是方程的两根，且012)()(21221=-+-+x x x x ，求m 的值。
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a 2, b 7, c c
又 b 2 4ac 7 2 4 2 c 0
49 8c 49,即c 8 b 7 7 x1 x2 2a 22 4
猜想：一元二次方程的两根之和、积与系数有什 解下列方程，并求出两根的和与积 么关系？ x1+x2 x1•x2 方程 两根x1,x2
2 （2）3x +7x－9＝0.
2 （3）5x-1=4x
练习：P16:练习
题型2.已知一根，求另一根及字 母的值
例2：已知：关于x的方程 x2-2x+c=0的一个根是3，求 方程的另一根及c的值
题型2.已知一根，求另一根及字 母的值 练习1：已知 2 3 是关于x 2 的方程x -4x+c=0的一个根，求 方程的另一根及c的值
2
2
(2)
(3)( 1)( 1)
一元二次方程的根与系数的关系（韦达 定理）
若ax bx c 0(a 0)有两根x1 , x 2 b c 则x1 x 2 - , x1 x2 a a
2
应用提示： 2-4ac≥0 ①一般形式，② a≠0 ，③ b 你能证明它吗？
例１根据一元二次方程的根与系数的 关系，求下列方程两个根的和与积： 2 （1）x －6x-15＝0；
21.2.4 一元二次方程的 根与系数的关系
复习引入:
一元二次方程解法有哪些？ 直接开平方法 配方法 公式法
因式分解法
提高 1、已知方程
2 x 7 x c 0, b 4ac 0,
2 2
求c和x的值.
提高
1、已知方程 2 x 2 7 x c 0, b2 4ac 0, 求c和x的值.
题型3.已知方程，求两根的代数 式的值
例3：已知：方程 2x2-3x+1=0的 两根是α、 β，求下列代数式的 值 (1) 2 2 (2)
(3)( 1)( 1)
题型4.已知两根的关系，求字母的值 例4：已知：关于x的方程 x2+（k2-4)x+k+1=0的两个实数根 互为相反数，求k的值
x2-2x-15=0 x2+5x+4=0 4x2-5x+1=0
x1=5,x2= - 3
x1=-1,x2= - 4 x1=1,x2=1/4
2
-5
5 4
-15 4
1 4 2 3
3x2+6x+2=0 x 1 3
2x2-3=0
3 6 x 2
-2 0
3 2
猜想：一元二次方程的两根之和、积 与系数有什么关系？
注意：利用△检验解的合理性
练习3： 已知：关于x的方程 x2+3kx-k=0 的两个：17页7题
2：已知：关于x的方程 2x2+bx+6=0的一个根是-3，求方 程的另一根及b的值 3：已知方程 2x2-3x+1=0的两根 是α、 β，求下列代数式的值
(1)