第十章 模态综合方法

第十章模态综合方法§10.1 模态综合法的基本原理【为什么要使用模态综合法】★复杂结构自由度多，方程阶数高，计算成本大。

★对整个结构用假设模态法分析难以实现。

★大型复杂结构其主要部件可能在不同地区生产，由于条件限制，只能进行部件模态试验，无法进行整体结构的模态试验。

★结构的响应只由低阶模态控制，不必为少数低阶模态去求解整个结构的高阶动力学方程。

【解决途径】仿照有限元方法，先对各个局部子结构进行分析，然后再通过某种方法进行整体分析，具体讲就是对各子结构进行模态分析，按某种原则得到能恰当描述整个结构振动的“假设模态”，再按假设模态分析方法来求解整个结构的振动。

【模态综合法的基本思想】★按复杂结构的特点将其划分为若干子结构★对各子结构进行离散化，通过动力学分析或试验，得到子结构的分支模态。

★对各子结构的物理坐标——结点位移坐标进行模态坐标变换★对子结构进行“组集”，获得整个结构的模态坐标★通过子结构的界面连接条件，作第二次坐标变换—独立坐标变换，消去不独立的模态坐标，得到一组用独立的各子结构模态坐标组成的描述整个结构运动的独立广义坐标，从而导出整个系统以独立模态坐标表示的动力学方程。

【模态综合法的实质】采用子结构技术，来获得一组复杂结构的品质优良的“假设模态”，以此假设模态作为李兹基底所张成的模态空间，可以很好地覆盖住系统真实的低阶模态空间。

模态综合方法是子结构方法中最成熟、应用最普遍的方法。

【例】 以两端固支梁分成两个子结构为例，来简要说明模态综合法的基本原理 将图示的梁结构分成两个子结构α、β，其物理坐标集}{u 分成内部坐标集}{u 和界面坐标集}{j u ，即⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=αααj iu u u }{ ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=βββji u u u }{ （10－1） 界面位移连续条件：}{}{βαj j u u = 结构动能}]{[}{21}]{[}{21βββαααβαu m u u m u T T T T T +=+= （10－3） 结构势能}]{[}{21}]{[}{21βββαααβαu k u u k u V V V T T +=+= （10－4） 假定已经选出了各子结构合适的模态矩阵][][βαφφ（下面各节中就专门讨论][][βαφφ的求法），则有}]{[}{}]{[}{βββαααφφp u p u == （10－5）通常，][],[βαφφ的个数远少于对应子结构的自由度数。

记：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=][00][][][00][][}{βαβαβαK K K M M M p p p （10－6） ]][[][][]][[][][ββββααααϕϕϕϕm M m M T T == （10－7）]][[][][]][[][][ββββααααϕϕϕϕk K k K T T == （10－8）从而， }{αu β}{}]{[}{21p M p T T = }]{[}{21p K p V T = （10－9） 当应用拉格朗日方程来建立振动方程时，由于拉格朗日方程要求各i p 相互独立，而}{p 中有不独立的坐标。

{}{}βββββαααααφφφφp u u p u u j i j i j i j i ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧ （10－10） 由对接位移条件（界面位移连续条件）：}{}{βαj j u u =，有}]{[}]{[ββααφφp p j j = （10－11）写成约束方程的形式：]][][[][0}]{[βαφφj j C p C -== （10－12）下面进行第二次坐标变换将}{p 分块写成⎭⎬⎫⎩⎨⎧=I d p p p }{ （10－13）则 }0{]][][[=⎭⎬⎫⎩⎨⎧I d dI dd p p C C （10－14） }]{[][}{1I dI dd d p C C p --= （10－15）}]{[}{][][][}{1q S p I C C p I dI dd =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=- （10－16） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-][][][][1I C C S dI dd （10－17） ][S 称为独立坐标变换矩阵。

从而}]{[}{21}]{[}{21q K q V q M q T T T == （10－18） ]][[][][]][[][][S K S K S M S M T T == （10－19） 由拉格朗日方程可得整个梁结构通过模态综合后的自由振动方程为：}0{}]{[}]{[=+q K qM （10－20） 相应的广义特征值问题为：}0{}]){[]([2=-ψωM K （10－21）其阶数为所有子结构分支模态总数减去界面对接坐标数。

对其进行求解，就可以得到整个梁结构的动力学特性。

对于一般动力学方程，也可以进行上述的变换过程，得到缩减了自由度的动力学方程：)}({}]{[}]{[}]{[t F q K q C qM =++ （10－22） 其中：]][[][][S C S C T = （10－23）)}({][)}({t P S t F T = （10－24）在模态综合法中，为了描述结构在空间的运动和变形状态，采用两类广义坐标来描述，分别为“物理（几何）坐标”和“模态坐标”，物理坐标描述结构各节点的几何坐标位置，而模态坐标则表示物理坐标响应中各个模态成份大小的量。

对于模态综合法中的“模态”一词，它比“振型”具有更加广义的内涵，它不仅指结构做主振动时的振型，而且还包括了结构在一些特定的外力或者结点位移作用下产生的静变形形态，这些静变形形态被认为是在整个结构振动时，各子结构可能产生的变形形态。

而“振型”则是一个狭义的概念，表示结构作主振动时的变形形式。

【模态综合法的基本步骤】由上例可以看到，模态综合法的基本步骤可以分成如下六个步骤：（1）按结构特点划分子结构（2）计算并选择分支模态进行第一次模态坐标变换（3）在全部模态坐标中，选择不独立的广义坐标（4）由位移对接条件，形成广义坐标的约束方程，得到独立坐标变换阵][S（5）对组集得到的质量矩阵、刚度矩阵进行合同变换，得到独立坐标下的质量矩阵，刚度矩阵，形成整个系统的振动方程（6）根据坐标变换关系，再现子结构物理参数由上可知，模态综合法的关键技术是如何选择子结构的分支模态。

§10.2 各种形式的分支模态如前所述，分支模态就是在结构系统振动时，其子结构（分支结构）可能出现的变形形态。

在模态综合法中，分支结构分为两类：受约束分支结构、有刚体运动的分支结构。

有刚体运动的分支结构又称为自由悬浮分支。

一、受约束子结构的分支模态它的可能变形形态包括：在各种附加约束或无附加约束下自由振动模态，在各种外力作用下的位移形态，在各种给定的边界条件下的内部位移形态。

在进行模态综合时，只需要选其中一部分构成其分支模态，且各有其相应的名称。

【主模态】分支主模态由下列子结构的特征方程决定：}0{}]){ˆ[]ˆ([2=-a a a m kφω （10－25） 在确定分支主模态时，需要首先确定子结构的界面坐标处理状态，按照对界面位移的处理方法，有三种分支主模态固定界面主模态：子结构的全部界面加上附加约束自由界面主模态：子结构的全部界面都没有附加约束，但子结构本身原有的约束（称为自然约束）仍然存在混合界面主模态：子结构的部分界面加上附加约束在模态综合法中，假定主模态阵都已按质量归一化。

即：][]][ˆ[][nn a n a T a n I m=φφ （10－26） ][]][ˆ[][2ωφφdiag k a na T a n = （10－27） 如果模态综合法所使用的不是子结构的完全主模态矩阵，而是保留主模态集，即经过高阶模态截断后的部分低阶主模态，模态综合法的误差就由此而产生。

【约束模态】约束模态是指对界面坐标的约束模态，它定义为：在子结构的全部界面自由度上引入附加约束，然后让这些界面自由度依次产生单位位移，其它约束（包括自然约束和附加约束）则保持不变（即这些界面坐标都强制为零）。

由此产生的一系列子结构静变形位移，称为子结构对于界面坐标的约束模态，简称约束模态。

约束模态的数目，等于界面自由度的数目，全部约束模态就组成子结构的约束模态阵][c ψ，从约束模态的生成过程看到，它有点类似于有限元法中的形函数。

显然，约束模态可以写成： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ψ][][][cc vc c I ψ （10－28） 下标v 表示子结构不受约束的自由度，c 表示附加约束的自由度，][cc I 为单位阵，表示界面坐标依次产生单位位移。

][vc ψ为子结构内部坐标由于界面坐标依次有单位位移时所产生的静态位移。

要让界面坐标依次产生单位位移，必须对界面坐标施加一定的界面力，记界面力矩阵为][cc R ，则应有：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡][]0[][][][][cc vc cc vc cc cv vc vv R I k k k k ψ （10－29）分块展开第一行有：][][][1vc vv vc k k --=ψ （10－30）从而约束模态为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ψ-][][][][][][1cc vc vv cc vc c I k k I ψ （10－31） 如图所示为悬臂梁的约束模态示意图。

α β α β 自由界面 固定界面j v 0=j θ 0=j1=j 1=j【附着模态】模态综合法中的附着模态是对界面坐标的附着模态。

定义为：对子结构的界面不附加任何约束，而是在一个界面自由度上沿此自由度方向施加单位力，而其它自由度上无外力作用，由此得到的子结构静态位移向量，就是子结构对该界面自由度的附着模态。

显然这个定义只适合于受约束子结构。

依次在每个界面自由度上作用单位力，就可以得到一系列静态位移，也就构成子结构对其界面坐标的附着模态矩阵][a ψ。

根据附着模态的定义，附着模态矩阵][a ψ由下式来确定：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡][]0[][][][][][][aa wa aa wa aa aw wa ww I k k k k ψψ （10－32）从而有：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-][]0[][][]0[][][][1aa wa aa wa aa wa I G I K ψψ （10－33） 子结构的柔度矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-][][][][][][1aa aw wa ww g g g g K G （10－34） 所以有：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡][]0[][][][][][][aa wa aa awwa ww aa wa I g g g g ψψ （10－35）从而附着模态为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ψ][][][][][aa wa aa wa a g g ψψ （10－36）【剩余附着模态】在假设模态法建立系统的运动方程，求解其特征值问题时，要求所用到的假设模态应该是线性无关的，但是如果用子结构的主模态和附着模态作为假设模j v0=vj P1=j M θ 0=j θ 1=vj态集，会出现主模态与附着模态线性相关的问题。