跃峰奥数PPT2组合几何1-4(离散点集拟对象)

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组合几何1-4（离散点集筛选对象）
●冯跃峰
本讲内容
本节为第2板块（组合几何）第1专题（离散点集）的第4小节
（筛选对象），包含如下3个部分内容：
第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；
第二部分，思维过程剖析。

这是课件的核心部分，重在发掘
问题特征，分析如何找到解题方法。

按照教师场景授课互动效
果设计，立足于启发思维；
第三部分，详细解答展示。

提供笔者重新书写的解答（简称
“新写”），力求严谨、简练。

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以几何知识为背景的组合问题称为组合几何问题。

所含的几何知识通常是位置关系与几何度量两个方面。

本讲介绍组合几何中一个基本问题：离散点集。

【离散点集】
所谓离散点集，就是平面上一些孤立的点组成的集合，有3种研究方式。

三种常用方式
恰当筛选对象
拟对象、极端对象与“撒网捕捉”。

控制存在域
将点集控制在一定的范围内。

代数刻画
将几何关系用代数符号描述。

本节介绍“筛选拟对象”的例子■。

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【题感】我们的目标是，要找同色的n 点组【1】，且与其中心同色【1】（我们称这n 个点为一个“好组”）。

从条件看，尽管同色点有无数多（所有格点2-染色）【1】，但若着眼于在所有同色的点中找“好组”反而备受困扰，因为n 点组的中心未必是格点，也就没有“同色”可言（只对格点染色）。

所以我们先构造“拟对象”：满足第二个性质（中心是格点【1】），且接近第一个性质（n+1个点同色【1】）。

这就要找一个充分条件：筛选一些同色点（接近第一性质），保证其中心一定是格点（先满足第二性质）。

最后调整所选的n 点，使同色n 点组与中心同色■。

为格点
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【找充分条件】注意到n 点组A 1A 2…A n 的中心公式：G=（Σi=1n A i ）/n ，使G 为格点的一个充分条件是，每个点的横坐标和纵坐标都是n 的倍数。

【构造拟对象】称横坐标纵坐标都是n 的倍数的格点为“好”点，则好点有无数个。

将其2-染色，必有无数个好点同色，设为红色。

取其中n 个好红点A 1，A 2，…，A n ，这n 点组的中心：G= （Σi=1n A i ）/n 为格点。

【充分条件分类】若G 为红色，则结论成立。

下设G 为蓝色。

以下设法找一个蓝色格点n 点组B 1B 2…B n ，使其中心也为G （蓝色）。

如何构造？想象红色n 点组A 1A 2…A n 对应一个蓝色n 点组B 1B 2…B n ，这只需找到每个点A i 的对应点B i （1≤i≤n ），我们称之为“伴侣替换法”。

【伴侣替换法】对每个格点A j ，都找一个伴侣格点B j ，使得蓝色好组B 1B 2…B n 。

如何使B 1B 2…B n 是蓝色，且其中心为G ？——先构造拟对象，使B 1B 2…B n 是蓝色，然后优化，使其中心为G 。

要使B 1B 2…B n 是蓝色，可从个体突破，先使B 1为蓝色，这可从反面思考。

因为B 1为蓝色并非必然结论，因而这里的“反面思考”并非通常的“反证法”，而是分类处理——如果B 1
为红色，并不能由此导出矛盾，而是结论也成
立（也存在好组）■。

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注意：反面思考有三种表现形式。

（1）导出矛盾（反证法）；（2）优化假设（拟反证法）；（3）分类处理（结论亦然）。

【反面思考】如果B 1为红色，我们证明也能找到“好组”。

注意A 1A 2…A n 都是红色，期望它们与红点B 1构成一个好组【1】。

谁为好组的中心？B 1不是中心（因为A 1A 2…A n 的中心G 是蓝色，而B 1是红色），所以期望某个A i 是B 1A 1A 2…A i-1A i+1…A n 的中心。

由对称性，可想象A 1是B 1A 2…A n 的中心【1】。

A 1A 2
A 3A n G
中心
于是，期望有nA 1=B 1+ Σi=2n A i （A 1是B 1A 2…A n 的中心），由此得B 1=nA 1-（Σi=2n A i ）。

类似取B j =nA j -（Σi ≠j n A i ）
，则A j = （B j + Σi ≠j n A i ）/n ，
A j 是A 1A 2…A j-1
B j A j+1…A n 的中心。

【充分条件分类】若有某个B j （1≤j ≤n ）为红色，则结论成立。

设对每个j （1≤j ≤n ），B j 都为蓝色，则B 1B 2…B n 是蓝n 点组【1】。

B 1
B 2B 3
B n
下面需要验证B 1B 2…B n 的中心也是G ，这由中心公式，直接对B j 求和即可。

但B j =nA j -（Σi≠j n A i ）【1】，其中“Σi≠j n A i ”对求和带来麻烦，可先配齐缺失的项，让其整体呈现为常数。

注意到B j =nA j -（Σi ≠j n A i ）=（n+1）A j -（Σi=1n A i ）【1】=（n+1）A j
-nG ，其中G=（Σi=1n A i ）/n ，我们有Σj=1n B j =Σj=1n [（n+1）A j -nG]= [（n+1）Σj=1n A j -nGΣj=11]=（n+1）nG-n 2G =nG 。

所以，蓝色n 点组B 1B 2…B n 的中心也为G 。

又G 为蓝色，命题获证。

但上述证明有一个非常隐蔽的漏洞：B 1可能与某个点A j 重合，导致n 点未必互异■！
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注意到A
1
，A
2
，…，A
n
是我们随意选取的好红点，我们只需调整A
1
，A2，…，A n的选择，使上述等式不成立。

注意局部调整，调整的对象越少越好。

于是，分离出A
n
进行调整，其余点保持不变（可任意取）。

可采用优化假设技巧：假定B
1
与某个点A
j
重合，推出某种性质，再优
化假设，将这一性质破坏掉，则B
1与任何点A
j
都不重合。

【优化假设】若B
1与某个点A
j
重合，如何处理？
A1
A2A3
A n
B1
G
因为nA
1=B1+ Σi=2n A i，若B1与某个A j重合，则
nA1=A j + Σi=2n A i（此式配整齐后性质更明显），于是，（n+1）A
1
=A j + Σi=1n A i= Σi=1n-1A i+A j+A n ，
取A
n ≠（n+1）A
1
-A j -Σi=1n-1A i，则点B1不与点A j重
合
【1】。

当j跑遍1，2，…，n，A
n
最多有n个点不能取。

类似地，对于B
k ，只需取A
n
≠（n+1）A
k
-A j -Σi=1n-1A i，则B k不与点A j重合。

当j跑
遍1，2，…，n，A
n
最多又有n个点不能取。

这样，要使所有B
1，B
2
，…，B
n
都不与某个点A
j
重合，则A
n
最多有n2个点不能取。

但有无数个好的红点，一定可以取到一个A
n ，使所有B
1
，B
2
，…，B
n
都不与某个
点A
j 重合，命题获证。

B1
解题经验告诉我们，在使用“设”、“取”、“令”等字眼时，
需要掂量掂量：考察其是否具有合法性、存在性、互异性
■。

【找充分条件】
【优化假设】
【拟对象逼近】
【个体突破】
■■【百度文库】
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