巧用直线与圆的位置关系解题
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高中数学教与学 2007 年
巧用直线与圆的位置关系解题
李子忠
(江西省余干县第二中学 , 335100)
设直线 l: A x + B y + C = 0 ( A、 B 不同时为
0 ) , 圆 O: ( x - a )
2
+ ( y - b)
2
= R , 则圆心 O
( a - 2) ( x - 2)
2 2
2
2
+ ( 3b - 2)
2
2
= 5,
由此得
4 - 7 4 + 7 ≤u≤ . 3 3 2x - 1 + 5 - 2 x的
可知点 ( a, 3 b) 在直线 x + 2 y - u = 0及圆
+ ( y - 2)
2
= 5上 ,
例 2 求函数 u = 最大值 . 解 点 (
- 2 ) + 2 上 , 又在圆 x + y
2 2
证明 设 u = 知点 (
a +
2
1 + 2
Biblioteka Baidu
1 , 则可 2
2 - cosθ , 试求 u 的取值 2 + sin θ
1 , 2
2
b +
1 ) 在直线 x + y - u = 2
0 以及圆 x + y = 2 上 .
∴ 即
| - u|
2
a +
・46・
2
∴
| 2 +2 × 2 - u|
1 +2
2
≤ 5,
2 x - 1,
2
5 - 2 x ) 在直线 x + y 1.
∴1 ≤ u ≤ 11, 因此 u = a + 6 b的最大值为 11, 最小值为
- u = 0 及圆 x + y
= 4上 ,
∴
| - u|
2
≤ 2, ∴0 ≤ u ≤ 2 2.
说明 : 本刊 2007 年第 2 期《 高三数学综合测试 》 试题系湖北省鄂南高中 、 黄冈中学 、 黄石二 中、 华师一附中 、 荆州中学 、 襄樊四中 、 襄樊五中 、 孝感高中八校 2006 - 2007 学年度高三第一次联 考数学试题 (理科 ) ,由黄冈中学潘际栋老师命题 . 特此说明并致歉 .
2 2
2
当 x =
3 时 , u 取得最大值为 2 2. 2 1 + 2 1 ≤ 2. 2
b +
到直线 l的距离为 d =
| Aa +B b + C | A +B
. 由直
例 3 已知 a ≥ 0, b ≥ 0, a + b = 1, 求证 :
a + b+ a +
线与圆的位置关系可知 , 直线 l与 ⊙O 有交点 的充要条件是 : d ≤ R. 利用这一结论可解决许多与此看似无关 的问题 . 现举例说明 . 例 1 已知 u = 范围 . 解 u 可看作是过点 ( 2, 2 ) , ( - sin θ , ) 的直线的斜率 . cosθ ∴该直线方程为 y = u ( x - 2 ) + 2. ) 既在直线 y = u ( x 显然点 ( - sin θ , cosθ
≤ 2, ∴ | u | ≤ 2.
b+
2 2
1 + 2
1 ≤ 2 成立 . 2
例 4 已知 a + 9 b - 4 a - 12 b + 3 = 0,
a、 b ∈ R. 求 u = a + 6 b的最大值与最小值 .
= 1上 ,
∴
| - 2u + 2 | u +1
2
≤ 1.
解 由 a + 9 b - 4 a - 12 b + 3 = 0, 得
巧用直线与圆的位置关系解题
李子忠
(江西省余干县第二中学 , 335100)
设直线 l: A x + B y + C = 0 ( A、 B 不同时为
0 ) , 圆 O: ( x - a )
2
+ ( y - b)
2
= R , 则圆心 O
( a - 2) ( x - 2)
2 2
2
2
+ ( 3b - 2)
2
2
= 5,
由此得
4 - 7 4 + 7 ≤u≤ . 3 3 2x - 1 + 5 - 2 x的
可知点 ( a, 3 b) 在直线 x + 2 y - u = 0及圆
+ ( y - 2)
2
= 5上 ,
例 2 求函数 u = 最大值 . 解 点 (
- 2 ) + 2 上 , 又在圆 x + y
2 2
证明 设 u = 知点 (
a +
2
1 + 2
Biblioteka Baidu
1 , 则可 2
2 - cosθ , 试求 u 的取值 2 + sin θ
1 , 2
2
b +
1 ) 在直线 x + y - u = 2
0 以及圆 x + y = 2 上 .
∴ 即
| - u|
2
a +
・46・
2
∴
| 2 +2 × 2 - u|
1 +2
2
≤ 5,
2 x - 1,
2
5 - 2 x ) 在直线 x + y 1.
∴1 ≤ u ≤ 11, 因此 u = a + 6 b的最大值为 11, 最小值为
- u = 0 及圆 x + y
= 4上 ,
∴
| - u|
2
≤ 2, ∴0 ≤ u ≤ 2 2.
说明 : 本刊 2007 年第 2 期《 高三数学综合测试 》 试题系湖北省鄂南高中 、 黄冈中学 、 黄石二 中、 华师一附中 、 荆州中学 、 襄樊四中 、 襄樊五中 、 孝感高中八校 2006 - 2007 学年度高三第一次联 考数学试题 (理科 ) ,由黄冈中学潘际栋老师命题 . 特此说明并致歉 .
2 2
2
当 x =
3 时 , u 取得最大值为 2 2. 2 1 + 2 1 ≤ 2. 2
b +
到直线 l的距离为 d =
| Aa +B b + C | A +B
. 由直
例 3 已知 a ≥ 0, b ≥ 0, a + b = 1, 求证 :
a + b+ a +
线与圆的位置关系可知 , 直线 l与 ⊙O 有交点 的充要条件是 : d ≤ R. 利用这一结论可解决许多与此看似无关 的问题 . 现举例说明 . 例 1 已知 u = 范围 . 解 u 可看作是过点 ( 2, 2 ) , ( - sin θ , ) 的直线的斜率 . cosθ ∴该直线方程为 y = u ( x - 2 ) + 2. ) 既在直线 y = u ( x 显然点 ( - sin θ , cosθ
≤ 2, ∴ | u | ≤ 2.
b+
2 2
1 + 2
1 ≤ 2 成立 . 2
例 4 已知 a + 9 b - 4 a - 12 b + 3 = 0,
a、 b ∈ R. 求 u = a + 6 b的最大值与最小值 .
= 1上 ,
∴
| - 2u + 2 | u +1
2
≤ 1.
解 由 a + 9 b - 4 a - 12 b + 3 = 0, 得