(江苏专用版)2018_2019学年高中数学4.1.2极坐标系课件苏教版选修4_4

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苏教版高二数学选修4-4 4.1.2 极坐标系学案

4.1.2 极坐标系1．了解极坐标系．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置．3．体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．[基础·初探]1．极坐标系(1)在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．(2)设M 是平面上任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM 为终边所成的角．那么，每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．有序实数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．约定ρ＝0时，极角θ可取任意角．(3)如果(ρ，θ)是点M 的极坐标，那么(ρ，θ＋2k π)或(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)(k ∈Z )都可以看成点M 的极坐标．2．极坐标与直角坐标的互化以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图4-1-3所示)，平面内任一点M 的直角坐标(x ，y )与极坐标(ρ，θ)可以互化，公式是：⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).图4-1-3通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0,0≤θ＜2π.[思考·探究]1．建立极坐标系需要哪几个要素？【提示】建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可．2．为什么点的极坐标不惟一？【提示】根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(ρ，θ)的坐标还可以写成(－ρ，θ＋2k π＋π)(k ∈Z )．3．将直角坐标化为极坐标时如何确定ρ和θ的值？【提示】由ρ2＝x 2＋y 2求ρ时，ρ不取负值；由tan θ＝yx (x ≠0)确定θ时，根据点(x ，y )所在的象限取得最小正角．当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝yx 按上述方法确定．当x ＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：(1)当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；(2)当 x ＝0，y ＞0时，可取θ＝π2；(3)当x ＝0，y ＜0时，可取θ＝3π2.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________0,0≤θ＜2π)．图4-1-4【自主解答】对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，7π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π4，E ()9，0，F (3，π)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫9，3π2. [再练一题]1．已知边长为a 的正六边形ABCDEF ，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标．【导学号：98990003】【解】以正六边形中心O 为极点，OC 所在直线为极轴建立如图所示的极坐标系．由正六边形性质得：C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，43π)，B (a ，53π) 或C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，－2π3)，B (a ，－π3).在极坐标系中，求与点M (3，－π3)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标．【自主解答】极坐标系中点M (ρ，θ)关于极轴对称的点的极坐标为M ′(ρ，2k π－θ)(k ∈Z )，利用这个规律可得对称点的坐标为(3,2k π＋π3)(k ∈Z )．[再练一题]2．在极坐标系中，点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6(限定ρ＞0，0≤θ＜2π)．(1)点A 关于极轴对称的点的极坐标是________； (2)点A 关于极点对称的点的极坐标是________． (3)点A 关于直线θ＝π2对称的点的极坐标是________．【解析】通过作图如图可求解为【答案】 (1)(3，11π6) (2)(3，7π6) (3)(3，5π6)(1)把点M 的极坐标⎝ ⎭⎪⎫8，2π3化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标(ρ＞0，0≤θ＜2π)．【自主解答】 (1)x ＝8cos 2π3＝－4，y ＝8sin 2π3＝43，因此，点M 的直角坐标是(－4,43)．(2)ρ＝(6)2＋(－2)2＝22， tan θ＝－26＝－33，又因为点P 在第四象限且0≤θ≤2π，得θ＝11π6.因此，点P 的极坐标为(22，11π6)．[再练一题]3．(1)把点A 的极坐标(2，7π6)化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．【解】 (1)x ＝2cos 7π6＝－3， y ＝2sin 7π6＝－1，故点A 的直角坐标为(－3，－1)．(2)ρ＝12＋(－3)2＝2，tan θ＝－31＝－ 3.又因为点P 在第四象限且0≤θ＜2π，得θ＝5π3. 因此点P 的极坐标是(2，5π3)．在极坐标系中，已知A ⎝ ⎭⎪⎫3，－π3，B ⎝ ⎭⎪⎫1，2π3，求A 、B 两点之间的距离．【思路探究】将点的极坐标化为直角坐标，在用两点间距离公式求解．【自主解答】对于A (3，－π3)， x ＝3cos(－π3)＝32；y ＝3sin(－π3)＝－332， ∴A (32，－332)．对于B (1，2π3)，x ＝1×cos 2π3＝－12，y ＝1×sin 2π3＝32，∴B (－12，32)． ∵AB ＝(32＋12)2＋(－332－32)2＝4＋12＝4，∴A 、B 两点之间的距离为4.有些问题在用极坐标表示时没有现成的解法，但在直角坐标系中却是一个常见的问题．因此，换一个坐标系，把极坐标系中的元素换成直角坐标系中的元素，问题就可以迎刃而解了．如果题目要求用极坐标作答，那么解完再用极坐标表示就行了．[再练一题]4．在极坐标系中，已知三点：A (4,0)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π2、C ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，π6.(1)求直线AB 与极轴所成的角；(2)若A 、B 、C 三点在一条直线上，求ρ的值．【解】 (1)点A 的直角坐标为(4,0)，点B 的直角坐标为(0，－4)，直线AB 在直角坐标系中的方程为x －y ＝4.故直线AB 与x 轴所成角为π4.(2)点C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32ρ，12ρ，代入直线方程得 32ρ－12ρ＝4，解得ρ＝83－1＝4(3＋1)．[真题链接赏析](教材第17页习题4.1第6题)将下列各点的极坐标化为直角坐标：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，11π6，(5，π)，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－3π2， ⎝ ⎛⎭⎪⎫－42，3π4.已知下列各点的直角坐标，求它们的极坐标．(1)A (3，3)；(2)B (－2，－23)； (3)C (0，－2)；(4)D (3,0)．【命题意图】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，属基础题．【解】 (1)由题意可知：ρ＝32＋(3)2＝23，tan θ＝33，所以θ＝π6，所以点A 的极坐标为(23，π6)． (2)ρ＝(－2)2＋(－23)2＝4，tan θ＝－23－2＝3，又由于θ为第三象限角，故θ＝43π，所以B 点的极坐标为(4，43π)．(3)ρ＝02＋(－2)2＝2.θ为32π，θ在y 轴负半轴上，所以点C 的极坐标为(2，32π)．(4)ρ＝32＋02＝3，tan θ＝03＝0，故θ＝0.所以D 点的极坐标为(3,0)．1．点P (－2,2)的极坐标(θ∈[0,2π))为________．【解析】由ρ＝x 2＋y 2＝(－2)2＋22＝22， tan θ＝2－2＝－1， ∵P 点在第二象限内， ∴θ＝3π4，∴ρ的极坐标为(22，3π4)．【答案】 (22，3π4)2．在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点是________．【导学号：98990004】【解析】极径为ρ，极角为θ，θ关于极轴对称的角为负角－θ，故所求的点为(ρ，－θ)．【答案】 (ρ，－θ)3．将极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2化为直角坐标为________．【解析】 x ＝ρcos θ＝2cos 32π＝0，y ＝ρsin θ＝2sin 32π＝－2，故直角坐标为(0，－2)．【答案】 (0，－2)4．已知A ，B 的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π12，则A 和B 之间的距离等于________．【解析】由余弦定理得 AB ＝ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2·cos (θ1－θ2) ＝32＋(－3)2－2×3×(－3)cos (π4－π12)＝9＋9＋93＝18＋9 3 ＝36＋322. 【答案】 36＋322我还有这些不足：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________。

4.1.2极坐标系1学案苏教版选修42

选修4－4坐标系与参数方程极坐标系（1）学习目标能在极坐标系顶用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。

学习进程：一、预习：（一）情境：军舰巡逻在海面上，发觉前方有一群水雷，如何确信它们的位置以便将它们引爆？问题1：如何刻画一个几何图形的位置？如何创建坐标系？问题2：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建如何的坐标系呢？如何刻画这些点的位置？（二）极坐标系的知识：一、极坐标系的成立：在平面内取一个定点O ，叫做。

引一条射线OX ，叫做。

再选定及（通常取逆时针方向）。

如此就成立了一个极坐标系。

二、极坐标系内一点的极坐标的规定关于平面上任意一点M ，用 ρ 表示线段OM 的长度，用 θ 表示从OX 到OM 的角度，ρ叫做点M 的， θ叫做点M 的，有序数对（ρ，θ）就叫做M 的。

专门强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）成立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角. ③负极径的规定在极坐标系中，极径ρ许诺取负值，极角θ也能够去任意的正角或负角当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=ρ。

M （ρ，θ）也能够表示为))12(,()2,(πθρπθρ++-+k k 或 )(z k ∈练习如图是某校园的平面示用意.假设某同窗在教学楼处，请回答以下问题：一、他向东偏北600方向走120m 后抵达什么位置？该位置惟一确信吗？2.若是有人探问体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？二、课堂训练：例1．写出以下图中各点的极坐标：例2．在极坐标系中，1、已知两点P （5，45π），Q )4,1(π，求线段PQ 的长度；二、已知M 的极坐标为（ρ，θ）且θ=3π，ρR ∈，说明知足上述条件的点M 的所组成的图形。

变式训练一、假设ABC ∆的的三个极点为.),67,3(),65,8(),25,5(判断三角形的形状πππC B A二、假设A 、B 两点的极坐标为),(),,(2211θρθρ求AB 的长和AOB ∆的面积。

2018_2019学年江苏高中数学4.1.2极坐标系学案苏教版

4.1.2 极坐标系1．了解极坐标系．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置．3．体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．[基础·初探]1．极坐标系(1)在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．(2)设M 是平面上任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM 为终边所成的角．那么，每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．有序实数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．约定ρ＝0时，极角θ可取任意角．(3)如果(ρ，θ)是点M 的极坐标，那么(ρ，θ＋2k π)或(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)(k ∈Z )都可以看成点M 的极坐标．2．极坐标与直角坐标的互化以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图413所示)，平面内任一点M 的直角坐标(x ，y )与极坐标(ρ，θ)可以互化，公式是：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x图413通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0,0≤θ＜2π.[思考·探究]1．建立极坐标系需要哪几个要素？【提示】建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可．2．为什么点的极坐标不惟一？【提示】根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(ρ，θ)的坐标还可以写成(－ρ，θ＋2k π＋π)(k ∈Z )．3．将直角坐标化为极坐标时如何确定ρ和θ的值？【提示】由ρ2＝x 2＋y 2求ρ时，ρ不取负值；由tan θ＝yx(x ≠0)确定θ时，根据点(x ，y )所在的象限取得最小正角．当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝y x按上述方法确定．当x ＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：(1)当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；(2)当 x ＝0，y ＞0时，可取θ＝π2；(3)当x ＝0，y ＜0时，可取θ＝3π2.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________＜2π)．图414【自主解答】对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，7π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π4，E ()9，0，F (3，π)，G ⎝⎛⎭⎪⎫9，3π2.[再练一题]1．已知边长为a 的正六边形ABCDEF ，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标．【导学号：98990003】【解】以正六边形中心O 为极点，OC 所在直线为极轴建立如图所示的极坐标系．由正六边形性质得：C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，43π)，B (a ，53π) 或C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，－2π3)，B (a ，－π3).在极坐标系中，求与点M (3，－3)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标．【自主解答】极坐标系中点M (ρ，θ)关于极轴对称的点的极坐标为M ′(ρ，2k π－θ)(k ∈Z )，利用这个规律可得对称点的坐标为(3,2k π＋π3)(k ∈Z )．[再练一题]2．在极坐标系中，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π6(限定ρ＞0，0≤θ＜2π)．(1)点A 关于极轴对称的点的极坐标是________； (2)点A 关于极点对称的点的极坐标是________． (3)点A 关于直线θ＝π2对称的点的极坐标是________．【解析】通过作图如图可求解为【答案】 (1)(3，11π6) (2)(3，7π6) (3)(3，5π6)(1)把点M 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫8，3化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标(ρ＞0，0≤θ＜2π)．【自主解答】 (1)x ＝8cos 2π3＝－4，y ＝8sin 2π3＝43，因此，点M 的直角坐标是(－4,43)．(2)ρ＝62＋－22＝22，tan θ＝－26＝－33，又因为点P 在第四象限且0≤θ≤2π，得θ＝11π6.因此，点P 的极坐标为(22，11π6)．[再练一题]3．(1)把点A 的极坐标(2，7π6)化成直角坐标； (2)把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．【解】 (1)x ＝2cos 7π6＝－3，y ＝2sin7π6＝－1，故点A 的直角坐标为(－3，－1)． (2)ρ＝12＋－32＝2，tan θ＝－31＝－ 3.又因为点P 在第四象限且0≤θ＜2π，得θ＝5π3.因此点P 的极坐标是(2，5π3)．在极坐标系中，已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，求A 、B 两点之间的距离．【思路探究】将点的极坐标化为直角坐标，在用两点间距离公式求解．【自主解答】对于A (3，－π3)，x ＝3cos(－π3)＝32；y ＝3sin(－π3)＝－332， ∴A (32，－332)．对于B (1，2π3)，x ＝1×cos 2π3＝－12，y ＝1×sin 2π3＝32，∴B (－12，32)．∵AB ＝32＋122＋－332－322＝4＋12＝4，∴A 、B 两点之间的距离为4.有些问题在用极坐标表示时没有现成的解法，但在直角坐标系中却是一个常见的问题．因此，换一个坐标系，把极坐标系中的元素换成直角坐标系中的元素，问题就可以迎刃而解了．如果题目要求用极坐标作答，那么解完再用极坐标表示就行了．[再练一题]4．在极坐标系中，已知三点：A (4,0)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π2、C ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，π6.(1)求直线AB 与极轴所成的角；(2)若A 、B 、C 三点在一条直线上，求ρ的值．【解】 (1)点A 的直角坐标为(4,0)，点B 的直角坐标为(0，－4)，直线AB 在直角坐标系中的方程为x －y ＝4.故直线AB 与x 轴所成角为π4.(2)点C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32ρ，12ρ，代入直线方程得32ρ－12ρ＝4，解得ρ＝83－1＝4(3＋1)．[真题链接赏析](教材第17页习题4.1第6题)将下列各点的极坐标化为直角坐标：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，11π6，(5，π)，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－3π2， ⎝ ⎛⎭⎪⎫－42，3π4.已知下列各点的直角坐标，求它们的极坐标．(1)A (3，3)；(2)B (－2，－23)； (3)C (0，－2)；(4)D (3,0)．【命题意图】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，属基础题．【解】 (1)由题意可知：ρ＝32＋32＝23，tan θ＝33，所以θ＝π6，所以点A 的极坐标为(23，π6)． (2)ρ＝－2＋－232＝4，tan θ＝－23－2＝3，又由于θ为第三象限角，故θ＝43π，所以B 点的极坐标为(4，43π)．(3)ρ＝02＋－2＝2.θ为32π，θ在y 轴负半轴上，所以点C 的极坐标为(2，32π)．(4)ρ＝32＋02＝3，tan θ＝03＝0，故θ＝0.所以D 点的极坐标为(3,0)．1．点P (－2,2)的极坐标(θ∈[0,2π))为________．【解析】由ρ＝x 2＋y 2＝－2＋22＝22，tan θ＝2－2＝－1，∵P 点在第二象限内，∴θ＝3π4，∴ρ的极坐标为(22，3π4)．【答案】 (22，3π4) 2．在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点是________．【导学号：98990004】【解析】极径为ρ，极角为θ，θ关于极轴对称的角为负角－θ，故所求的点为(ρ，－θ)．【答案】 (ρ，－θ)3．将极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2化为直角坐标为________．【解析】 x ＝ρcos θ＝2cos 32π＝0，y ＝ρsin θ＝2sin 32π＝－2，故直角坐标为(0，－2)．【答案】 (0，－2)4．已知A ，B 的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π12，则A 和B 之间的距离等于________．【解析】由余弦定理得AB＝ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2θ1－θ2＝32＋－2－－π4－π12＝9＋9＋93＝18＋9 3 ＝36＋322. 【答案】36＋322我还有这些不足：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________。

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苏教版-----------------------------------必修1----------------------------------- 第1章集合1.1集合的含义及其表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集第2章函数2.1函数的概念2.1.1函数的概念和图象2.1.2函数的表示方法2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性2.2.2函数的奇偶性2.3映射的概念第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1指数函数3.1.1分数指数幂3.1.2指数函数3.2对数函数3.2.1对数3.2.2对数函数3.3幂函数3.4函数的应用3.4.1函数与方程3.4.2函数模型及其应用-----------------------------------必修2----------------------------------- 第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球1.1.3中心投影和平行投影1.1.4直观图画法1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质1.2.2空间两条直线的位置关系1.平行直线2.异面直线1.2.3直线与平面的位置关系1.直线与平面平行2.直线与平面垂直1.2.4平面与平面的位置关系1.两平面平行2.平面垂直1.3空间几何体的表面积和体积1.3.1空间几何体的表面积1.3.2空间几何体的体积第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.1直线的斜率2.1.2直线的方程1.点斜式2.两点式3.一般式2.1.3两条直线的平行与垂直2.1.4两条直线的交点2.1.5平面上两点间的距离2.1.6点到直线的距离2.2圆与方程2.2.1圆的方程2.2.2直线与圆的位置关系2.2.3圆与圆的位置关系2.3空间直角坐标系2.3.1空间直角坐标系2.3.2空间两点间的距离-----------------------------------必修3----------------------------------- 第1章算法初步1.1算法的意义1.2流程图1.2.1顺序结构1.2.2选择结构1.2.3循环结构1.3基本算法语句1.3.1赋值语句1.3.2输入、输出语句1.3.3条件语句1.3.4循环语句1.4算法案例第2章统计2.1抽样方法2.1.1简单随机抽样1.抽签法2.随机数表法2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.2总体分布的估计2.2.1频率分布表2.2.2频率分布直方图与折线图2.2.3茎叶图2.3总体特征数的估计2.3.1平均数及其估计2.3.2方差与标准差2.4线性回归方程第3章概率3.1随机事件及其概率3.1.1随机现象3.1.2随机事件的概率3.2古典概型3.3几何概型3.4互斥事件-----------------------------------必修4----------------------------------- 第1章三角函数1.1任意角、弧度1.1.1任意角1.1.2弧度制1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数1.2.2同角三角函数关系1.2.3三角函数的诱导公式1.3三角函数的图象和性质1.3.1三角函数的周期性1.3.2三角函数的图象与性质1.3.3函数y=Asin(ωx+ψ)的图象1.3.4三角函数的应用第2章平面向量2.1向量的概念及表示2.2向量的线性运算2.2.1向量的加法2.2.2向量的减法2.2.3向量的数乘2.3向量的坐标表示2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的坐标运算2.4向量的数量积2.5向量的应用第3章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2二倍角的三角函数3.3几个三角恒等式-----------------------------------必修5----------------------------------- 第1章解三角形1．1正弦定理1．2余弦定理1．3正弦定理、余弦定理的应用第2章数列2．1数列2．2等差数列2.2.1等差数列的概念2.2.2等差数列的通项公式2.2.3等差数列的前n项和2．3等比数列2.3.1等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式2.3.3等比数列的前n项和第3章不等式3．1不等关系3．2一元二次不等式3．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式表示的平面区域3.3.2二元一次不等式组表示的平面区域 3.3.3简单的线性规划问题3．4基本不等式2b a ab +≤)0,0(≥≥b a 3.4.1基本不等式的证明3.4.2基本不等式的应用-----------------------------------选修1-1-----------------------------------第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定第2章圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的共同性质第3章导数及其应用3．1导数的概念3.1.1平均变化率3.1.2瞬时变化率——导数3．2导数的运算3.2.1常见函数的导数3.2.2函数的和、差、积、商的导数 3．3导数在研究函数中的应用3.3.1单调性3.3.2极大值和极小值3.3.3最大值和最小值3．4导数在实际生活中的应用-----------------------------------选修1-2-----------------------------------第1章统计案例 1．1独立性检验 1．2回归分析第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明第3章数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充 3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义第4章框图 4．1流程图 4．2结构图-----------------------------------选修2-1-----------------------------------第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定第2章圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的统一定义2．6曲线与方程2.6.1曲线与方程2.6.2求曲线的方程2.6.3曲线的交点第3章空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其线性运算3.1.2共面向量定理3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示3.1.5空间向量的数量积 3．2空间向量的应用3.2.1直线的方向向量与平面的法向量3.2.2空间线面关系的判定3.2.3空间的角的计算-----------------------------------选修2-2-----------------------------------第一章导数及其应用1．1导数的概念1.1.1平均变化率1.1.2瞬时变化率——导数1．2导数的运算1.2.1常见函数的导数1.2.2函数的和、差、积、商的导数1.2.3简单复合函数的导数1．3导数在研究函数中的应用1.3.1单调性1.3.2极大值和极小值1.3.3最大值和最小值 1．4导数在实际生活中的应用1．5定积分1.5.1曲边梯形的面积1.5.2定积分1.5.3微积分基本定理第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明 2．3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充 3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义-----------------------------------选修2-3-----------------------------------第一章计数原理 1．1两个基本原理 1．2排列 1．3组合1．4计数应用题1．5二项式定理1.5.1二项式定理1.5.2二项式系数的性质及用第二章概率2．1随机变量及其概率分布2．2超几何分布2．3独立性2.3.1条件概率2.3.2事件的独立性2．4二项分布2．5随机变量的均值与方差2.5.1离散型随机变量的均值2.5.2离散型随机变量的方差与标准差2．6正态分布第三章统计案例3．1独立性检验3．2回归分析-----------------------------------选修4-1----------------------------------- 1.1 相似三角形的进一步认识1.1.1平行线分线段成比例定理1.1.2相似三角形1.2 圆的进一步认识1.2.1圆周角定理1.2.2圆的切线1.2.3圆中比例线段1.2.4圆内接四边形1.3 圆锥截线1.3.1球的性质1.3.2圆柱的截线1.3.3圆锥的截线学习总结报告-----------------------------------选修4-2----------------------------------- 2.1 二阶矩阵与平面向量2.1.1矩阵的概念2.1.2二阶矩阵与平面列向量的乘法2.2 几种常见的平面变换2.2.1恒等变换2.2.2伸压变换2.2.3反射变换2.2.4旋转变换2.2.5投影变换2.2.6切变变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法2.3.1矩阵乘法的概念2.3.2矩阵乘法的简单性质2.4 逆变换与逆矩阵2.4.1逆矩阵的概念2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组2.5 特征值与特征向量2.6 矩阵的简单应用学习总结报告-----------------------------------选修4-4----------------------------------- 4.1 直角坐标系4.1.1直角坐标系4.1.2极坐标系4.1.3球坐标系与柱坐标系4.2 曲线的极坐标方程4.2.1曲线的极坐标方程的意义4.2.2常见曲线的极坐标方程4.3 平面坐标系中几种常见变换4.3.1平面直角坐标系中的平移变换4.3.2平面直角坐标系中的伸缩变换4.4 参数方程4.4.1参数方程的意义4.4.2参数方程与普通方程的互化4.4.3参数方程的应用4.4.4平摆线与圆的渐开线学习总结报告-----------------------------------选修4-5----------------------------------- 5.1 不等式的基本性质5.2 含有绝对值的不等式5.2.1含有绝对值的不等式的解法5.2.2含有绝对值的不等式的证明5.3 不等式的证明5.3.1比较法5.3.2综合法和分析法5.3.3反证法5.3.4放缩法5.4 几个著名的不等式5.4.1柯西不等式5.4.2排序不等式5.4.3算术-几何平均值不等式5.5 运用不等式求最大（小）值5.5.1运用算术-几何平均值不等式求最大（小）值5.5.2运用柯西不等式求最大（小）值5.6 运用数学归纳法证明不等式学习总结报告。

高中数学4.1坐标系4.1.2极坐标系知识导航学案苏教版选修4_420171023468 (2)

4.1.2 极坐标系自主整理1.在平面上取一个定点 O，自点 O引一条射线 OX，同时确定一个______________和计算角度的______________（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系.其中点 O称为______________，射线 OX称为______________.答案:长度单位正方向极点极轴2.设 M是平面上任一点，ρ表示 OM的____________，θ表示以射线 OX为始边，射线 OM为终边所成的____________.那么，有序数对（ρ，θ）称为点 M的极坐标.显然每一个有序实数对(ρ,θ)决定一个点的位置.其中，ρ称为点 M的____________，θ称为点 M的____________.答案:长度角极径极角3.平面内任意一点 P的直角坐标与极坐标分别为（x,y）和（ρ，θ），则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：______________;____________.通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取____________，____________.x 答案:ycos,sin 2tanx2yx0)(x≠0)ρ≥00≤θ＜2π高手笔记1.极坐标是用“距离”与“角度”来刻画平面上点的位置的坐标形式.极坐标系与平面直角坐标系一样，都是刻画点的位置和运动的参照物，是建立点的集合与坐标的集合的对应关系的桥梁.2.建立极坐标系的要素是:①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向,四者缺一不可.极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的量数；点 M的极径ρ表示点 M与极点 O的距离｜OM｜，因此ρ≥0；但必要时，允许ρ＜0.3.建立极坐标系后，给定ρ和θ，就可以在平面内惟一确定点 M；反过来，给定平面内的任意一点，也可以找到它的极坐标（ρ，θ）.一般地，极坐标（ρ，θ）与（ρ，θ+2kπ）（k∈R）表示同一个点.特别地，极点 O的坐标为（0，θ）（θ∈R）.和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可以用惟一的极坐标（ρ，θ）表示；同时，极坐标（ρ，θ）表示的点也是惟一确定的.4.极坐标与直角坐标互化的三个前提条件是：（1）极点与直角坐标系的原点重合；（2）极轴与直角坐标系横轴的正半轴重合；（3）两坐标系中的长度单位相同.由ρ2=x2+y2求ρ时，ρy不取负值；由tanθ=(x≠0)确定θ时，根据点（x,y）所在的象限取最小正角.当x≠0时，xyθ角才能由tanθ=按上述方法确定.当 x=0时，tanθ没有意义，这时又分为三种情况：x（1）当 x=0,y=0时，θ可取任何值；（2）当 x=0,y＞0时，可取θ=；（3）当 x=0,y＜023时，可取θ=.25.研究直角坐标与极坐标的关系，可以从定义出发，极坐标 M（ρ，θ）中，ρ是 M到极点 O的距离，θ是以极轴 OX为始边，射线 OM为终边的角，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的1正半轴为极轴，那么（ρ，θ）与（x,y）之间的联系可以用三角函数表示：cosθ=x,sinθ=y,tanθ=yx,由这两组式子可以方便地在两种坐标之间互化.名师解惑平面内建立直角坐标系是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但为什么它并不是确定点的位置的惟一方法，为什么要使用极坐标？剖析：我们已经知道，确定平面内一个点的位置时，有时是依靠水平距离与垂直距离（即“长度”与“长度”，这就是直角坐标系的基本思想）这两个量，有时却是依靠距离与方位角（即“长度”与“角度”，这就是极坐标系的基本思想）这两个量.在生活中，如在台风预报、地震预报、测量、航空、航海中，甚至更贴近我们生活的如我们听声音，不但有高低之分，还有方向之分，我们能够辨别出声源的相对位置，这些都要用距离和方向来确定一点的位置.有些复杂的曲线，比如说环绕一点作旋转运动的点的轨迹，用直角坐标表示，形式极其复杂，但用极坐标表示，就变得十分简单且便于处理.在应用上有重要价值的等速螺线，它的直角坐标 x与 y之间的关系很难确定，可是它的极坐标ρ与θ却有一个简单的一次函数关系，我们将在后一节的内容中学习极坐标形式下的一些简单曲线方程.总之，使用极坐标是人们生产生活的需要.平面内建立直角坐标系是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但它并不是确定点的位置的惟一方法讲练互动【例题 1】设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为 30（万千米）时，经过地球和彗星的直线与抛物线的对称轴的夹角为6，试建立适当的极坐标系，写出彗星此时的极坐标.思路分析：如图所示,建立极坐标系，使极点 O位于抛物线的焦点处，极轴 OX过抛物线的对称5轴，由题设可得下列四种情形：（1）当θ=时,ρ=30（万千米）;（2）当θ=6711千米）;(3)当θ=时,ρ=30(万千米);(4)当θ=时,ρ=30(万千米).666时,ρ=30（万解：彗星此时的极坐标有四种情形：(30, 黑色陷阱56),(30,6),(30,7611),(30,6).彗星此时的极坐标是四个，不能忽略了夹角的概念.如果只找到了一个极坐标，这是对三角概念不清，需要我们认真审题.2变式训练1.如图，写出极坐标系中 A，B，C，D，E，F，G各点的极坐标（ρ＞0，0≤θ＜2π）.思路分析：确定各点的极径ρ和极角θ，并注意给定的范围.解：在极坐标系中，A，B，C，D，E，F，G各点的极坐标分别是（4，0），（2，），（3，），4 25745（1，），（,π），（6，），（5，）.62335【例题 2】在极坐标中，若等边△ABC 的两个顶点是 A(2, )、B(2, ),那么顶点 C的坐标44可能是( )3A.(4,) B.(23,434)C.(2 3,π)D.(3,π)解析：如图，由题设可知 A，B两点关于极点 O对称，即 O是 AB的中点.又|AB|=4，△ABC 为357正三角形，∴|OC|=2 3，∠AOC=，C对应的极角θ=+ = 或+ = ，即 C点2424424 37极坐标可能为(23, )或(23,).4 4答案：B绿色通道在找点的极坐标时，把图形画出来，可以帮助我们解决问题，从图形中很容易找到极角和极径.这一点跟直角坐标系中的思想方法是一致的——数形结合.变式训练2.设点 A（2，3），直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点 A关于极轴、直线 l、极点的对称点的极坐标（限定ρ＞0，-π＜θ≤π）.【例题 3】把点 M的极坐标（2，思路分析：利用坐标变换公式. 23）化为直角坐标形式.3x解：由坐标变换公式，得y2cos2s in23231,3.即点 M的直角坐标为（-1，3）.思路分析：首先建立极坐标系，标出相应的点，通过数形结合求解.解：如图所示，点 A关于极轴的对称点为 B（2，-2点 A关于极点 O的对称点为 D（2，-）.3绿色通道3），点A关于直线 l的对称点为 C（2，23），利用坐标变化公式可实现极坐标与直角坐标的互化.变式训练3.把点 M的直角坐标（1，-1）化为极坐标形式（限定ρ≥0，-π＜θ≤π）.思路分析：由坐标互化公式ρ=x2y2,tanθ=解：由坐标变换公式，得yx及点 M的象限直接求解.ρ=12(1)221tanθ=- =-1.则θ=- （θ为第四象限角）,14即点 M的极坐标为（2，）.4教材链接［P10思考］点的直角坐标化成极坐标时，极角是如何确定的？答：设点 P的直角坐标为（x,y），由tanθ=＜2π）确定θ的值.yx和点 P所在的象限及θ的范围（通常为0≤θ4。

高中数学新苏教版精品教案《4.1.2 极坐标系》

极坐标系一、教材分析极坐标系是苏教版高中教材选修4-4第一章坐标系中第二节的内容，是在学生已经学习过平面直角坐标系的背景下，通过生活实例、类比直角坐标系的研究方法让学生针对建立极坐标系的合理性，便捷性进行探究，自主完成极坐标系的建立，并在极坐标系下表示点的坐标，进行极坐标与直角坐标的互化，为后面学习简单曲线的极坐标方程及参数方程奠定根底二、学情分析1有利因素学生通过对?坐标系?第一节直角坐标系的学习对平面直角坐标系中点与有序数对的对应关系有了更加深刻的理解；学生通过平时的高中数学学习，已具备了一定的观察、归纳、分析和概括能力，另外极坐标系的思想已经普遍存在于日常生活中，对于极坐标系的学习应该很容易接受，这些为本节课的学习打下了良好的根底2不利因素由于学生对极坐标系还不熟悉，加之负极径的理解能力要求较高，因此，本节学生学习起来有一定难度三、教学目标分析1知识与技能理解极坐标系的有关概念；掌握极坐标平面内点的极坐标的表示：会在极坐标系内描出极坐标的点；会写出极坐标平面内点的极坐标；掌握平面内一点极坐标与平面直角坐标的互化2过程与方法通过自主探究体会数形结合、类比的数学思想方法；通过探究活动培养学生观察、分析、比拟和归纳能力3情感态度与价值观通过生活中的具体事例引入极坐标系使学生认识极坐标的作用及应用极坐标来描述实际问题的方便性及实用性，体验数学的实际应用价值通过对问题的探究使学生享受到成功的喜悦四、教学重难点教学重点：认识极坐标系的重要性，能利用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化教学难点：理解用极坐标刻画点的位置的根本思想，认识点与极坐标之间的对应关系五、教学方法问题探究法六、教学过程一问题引入1苏州市气象台2021年09月15日7:30发布台风警报：今年第14号台风"莫兰蒂"台风级今天7点钟中心位于苏州南偏西方向大约760公里的福建省泉州市安溪县境内，也就是北纬度、东经度探讨：报道中是如何刻画台风中心的位置？2一个路人在苏州乐园门口问路，去高新区美罗商城的路怎么走？探讨：如何指路能够让路人快速地找到美罗商城？设计意图：通过探讨两个现实问题的共同点是什么？了解建立极坐标系的必要性和便捷性二建构新知1极坐标系的定义在平面内取一个定点O，自点O引一条射线OX，再选定一个长度单位和计算角度的正方向通常取逆时针方向，这样就建立了一个极坐标系其中点O称为极点，射线OX称为极径2极坐标系内一点极坐标的规定用ρ表示线段OM的长度,θ表示从OX到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对〔ρ，θ〕就叫做点M的极坐标一般地，规定ρ≥0，θ三例题示范例1：说出以下图中各点的极坐标：变题：在图上描出以下各点：，，小结：由极坐标描点的一般步骤1先按极角找到点所在射线； 2在此射线上按极径描点四深化概念探究一：在极坐标系中描出以下各点，你发现了什么？，，，问题1这些极坐标之间有何异同？极径相同，极角不同问题2这些极角有何关系？极角的始边相同，终边也相同，即：它们是终边相同的角问题3这些极坐标所表示的点有什么关系它们表示同一个点探究二：在极坐标系下，点与它的极坐标的对应情况如何？问题4极坐标系内的点与有序数对是一一对应吗？结论：[1]给定〔ρ,θ〕,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M；[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应极坐标系内的点与有序数对要建立一一对应关系，应附加什么条件？结论：如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了探究三：关于负极径的认识问题5向量中，如果一个向量前加负号，表示原向量的相反向量，它与原向量的关系模相等、方向相反在极坐标系中，极径通常取正值，但在有些情况下也允许取负值当ρ<0时如何规定ρ, θ对应的点的位置？结论：当ρ<0时，点Mρ, θ的位置规定，点M在角θ终边的反向延长线上，且|OM|=|ρ|请大家试着描出极坐标是的点？师生共同得出负极径的定义及描点的步骤例2：在极坐标系中描出以下各点，，，问题6极坐标系中根据极坐标描点的步骤是什么？〔注意分正、负极径〕给定ρ，θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描点问题7极坐标系中极坐标有哪些统一表达式？，探究四：极坐标与直角坐标在刻画点的位置时的区别探究五：极坐标与直角坐标如何互化例3：把以下点的极坐标化成直角坐标：，,变题：把以下点的直角坐标化成极坐标：，,说明：直角坐标转化为极坐标时，注意极角确实定五拓展阅读edean ira〕，亦称“〞当一点P沿动射线OP以等速率运动的同时，这射线又以等绕点O旋转，点P的轨迹称为“阿基米德螺线〞，其首次由阿基米德在著作??中给出了定义六课后作业课本第16页练习第1，2，4，5，6，7题七反思回忆今天你学到了哪些数学知识和数学思想方法？〔学生独立思考后答复，教师补充完善〕。

江苏专用版2018_2019学年高中数学4.1.1直角坐标系学案苏教版选修4_420181

4.1.1直角坐标系1．掌握在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用．2．对具体问题，能建立适当的坐标系，使所刻画的代数形式具有更简便的结果．[基础·初探]1．直线坐标系在直线上，取一个点为原点，并确定一个长度单位和直线的方向，就建立了直线上的坐标系，即数轴．数轴上任意一点P都可以由惟一的实数x确定，x称为点P的坐标．2．平面直角坐标系在平面上，取两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定一个长度单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系．平面上任意一点P都可以由惟一的有序实数对(x，y)确定，(x，y)称为点P的坐标．3．空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，取这三条直线的交点为原点，并确定一个长度单位和这三条直线的方向，就建立了空间直角坐标系．空间中任意一点P都可以由惟一的三元有序实数组(x，y，z)确定，(x，y，z)称为点P 的坐标．[思考·探究]1．建立适当的坐标系一般有哪些规则？【提示】(1)如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点；(2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；(3)使图形上的特殊点尽可能多的落在坐标轴上．2．由坐标(x，y)怎样确定点的位置？【提示】在平面直角坐标系中，分别过点M(x,0)，N(0，y)作x轴和y轴的垂线，两条直线的交点P即(x，y)所确定的点．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________建立适当的坐标系刻画点的位置正方形的边长等于4，试选择适当的坐标系，表示其顶点与中心的坐标．【自主解答】法一以正方形的一个顶点为原点，两条邻边为坐标轴，且把第四个顶点放在第一象限，建立平面直角坐标系，如图(1)所示．此时，其四个顶点的坐标分别为O(0,0)、A(4,0)、B(4,4)、C(0,4)，中心为M(2,2)．法二以正方形的中心为原点，且使两条坐标轴平行于正方形的边，建立平面直角坐标系，如图(2)所示．此时，正方形的顶点坐标分别为A(2，－2)、B(2,2)、C(－2,2)、D(－2，－2)，中心为O(0,0)．法三以正方形的两条对角线为坐标轴建立直角坐标系，如图(3)所示．此时，正方形的顶点坐标分别为A(2 2，0)、B(0,2 2)、C(－2 2，0)、D(0，－2 2)，中心为O(0,0)．(作图时只要以图(2)中的原点O为圆心，OA为半径作圆，该圆与坐标轴的四个交点即是图(3) 中正方形的各个顶点)[再练一题]1．选择适当的坐标系，表示两条直角边长都为1的直角三角形的三个顶点的坐标．【导学号：98990000】【解】法一以直角三角形的两条直角边AC、BC所在直线分别为x轴、y轴，建立如图(1)所示的平面直角坐标系，则C(0,0)，A(1,0)，B(0,1)．法二以斜边AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立如图(2)所示的平面2 2 2 直角坐标系．则A(－，0)，B( ，0)，C(0，)．2 2 2建立坐标系解决证明问题用解析法证明：等腰三角形底边延长线上一点，到两腰的距离之差等于一腰上的高．【自主解答】如图，在△ABC中，AB＝AC，P为BC延长线上一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F，以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，如图所示，设A(0，b)，B(－a,0)，C(a,0)(a＞0，b＞0)，则直线AB的方程为bx－ay＋ab＝0，直线AC的方程为bx＋ay－ab＝0，取P(x0,0)，使x0＞a，则点P到直线AB、AC的距离分别为|bx0－0＋ab| bx0＋abPD＝＝，a2＋b2 a2＋b2|bx0＋0－ab| bx0－abPE＝＝.a2＋b2 a2＋b2点C到直线AB的距离为|ab＋ab| 2abCF＝＝，a2＋b2 a2＋b22ab则PD－PE＝＝CF.a2＋b2故所需证明命题成立．[再练一题]2．已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰上的高，求证：BD＝CE.【证明】如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．设B(－a,0)，C(a,0)，A(0，h)．h则直线AC的方程为y＝－x＋h，即：hx＋ay－ah＝0.ah 直线AB的方程为y＝x＋h，a即：hx－ay＋ah＝0.由点到直线的距离公式得：|2ah|BD＝，a2＋h2|2ah|CE＝.a2＋h2∴BD＝CE.建立坐标系求轨迹方程如图411所示，过点P(2,4)有两条互相垂直的直线l1，l2.l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M满足的方程．图411【思路探究】法一设点→求斜率→斜率积为－1→整理得方程→检查有无不适合的点→结论法二设M(x，y)→寻求M满足的条件→列方程→检查有无不适合的点→结论法三O，A，P，B四点共圆→PM＝MO→求k OP及OP中点坐标→点斜式写出OP的垂直平分线方程为所求【自主解答】法一设点M的坐标为(x，y)，因为M为线段AB的中点，所以点A的坐标为(2x,0)，点B的坐标为(0,2y)．因为l所以k AP·k PB＝－1.4－0 4－2y 2 2－y而k AP＝(x≠1)，k PB＝，所以·＝－1(x≠1)，整理，得x＋2y－5＝2－2x2－0 1－x 10(x≠1)．因为当x＝1时，点A，B的坐标分别为(2,0)，(0,4)，所以线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x＋2y－5＝0.综上所述，点M满足的方程是x＋2y－5＝0.法二设点M的坐标为(x，y)，则A，B两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，1 连接PM.因为l1⊥l2，所以PM＝AB.2而PM＝x－22＋y－42，AB＝2x2＋2y2，所以2 x－22＋y－42＝4x2＋4y2，化简，得x＋2y－5＝0，即为所求方程．法三因为l1⊥l2，OA⊥OB，点M为线段AB的中点，所以O，A，P，B四点共圆，且该圆的圆心为M(x，y)，所以PM＝MO，所以点M的轨迹为线段OP的垂直平分线．4－0 1因为k OP＝＝2，OP的中点坐标为(1,2)，所以点M满足的方程为y－2＝－(x－1)，2－0 2化简得x＋2y－5＝0.通过建立坐标系精确地刻画集合图形的位置和物体运动的轨迹的方法称为解析法．解决此类问题的关键：(1)建立平面直角坐标系；(2)设点(点与坐标的对应)；(3)列式(方程与坐标的对应，列出几何条件，并将几何条件代数化)；(4)化简(注意变形的等价性)；(5)证明(若保证等价变形，则此步骤可以省略)．[再练一题]3．设圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C，过原点作圆的弦OA，求OA中点B的轨迹方程．【解】法一(直接法)：设B点坐标为(x，y)，由题意，得OB2＋BC2＝OC2，如图所示，。

高中数学 4.1.2 极坐标系学案苏教版选修4-4

4.1.2 极坐标系1．了解极坐标系．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置．3．体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．[基础·初探]1．极坐标系(1)在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．(2)设M 是平面上任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM 为终边所成的角．那么，每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．有序实数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．约定ρ＝0时，极角θ可取任意角．(3)如果(ρ，θ)是点M 的极坐标，那么(ρ，θ＋2k π)或(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)(k ∈Z )都可以看成点M 的极坐标．2．极坐标与直角坐标的互化以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图413所示)，平面内任一点M 的直角坐标(x ，y )与极坐标(ρ，θ)可以互化，公式是：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x图413通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0,0≤θ＜2π.[思考·探究]1．建立极坐标系需要哪几个要素？【提示】建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可．2．为什么点的极坐标不惟一？【提示】根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(ρ，θ)的坐标还可以写成(－ρ，θ＋2k π＋π)(k ∈Z )．3．将直角坐标化为极坐标时如何确定ρ和θ的值？【提示】由ρ2＝x 2＋y 2求ρ时，ρ不取负值；由tan θ＝yx(x ≠0)确定θ时，根据点(x ，y )所在的象限取得最小正角．当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝y x按上述方法确定．当x ＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：(1)当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；(2)当 x ＝0，y ＞0时，可取θ＝π2；(3)当x ＝0，y ＜0时，可取θ＝3π2.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________写出图414中A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 各点的极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．图414【自主解答】对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，7π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π4，E ()9，0，F (3，π)，G ⎝⎛⎭⎪⎫9，3π2.[再练一题]1．已知边长为a 的正六边形ABCDEF ，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标．【导学号：98990003】【解】以正六边形中心O 为极点，OC 所在直线为极轴建立如图所示的极坐标系．由正六边形性质得：C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，43π)，B (a ，53π) 或C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，－2π3)，B (a ，－π3).在极坐标系中，求与点M (3，－3)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标．【自主解答】极坐标系中点M (ρ，θ)关于极轴对称的点的极坐标为M ′(ρ，2k π－θ)(k ∈Z )，利用这个规律可得对称点的坐标为(3,2k π＋π3)(k ∈Z )．[再练一题]2．在极坐标系中，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π6(限定ρ＞0，0≤θ＜2π)．(1)点A 关于极轴对称的点的极坐标是________； (2)点A 关于极点对称的点的极坐标是________． (3)点A 关于直线θ＝π2对称的点的极坐标是________．【解析】通过作图如图可求解为【答案】 (1)(3，11π6) (2)(3，7π6) (3)(3，5π6)(1)把点M 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫8，3化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标(ρ＞0，0≤θ＜2π)．【自主解答】 (1)x ＝8cos 2π3＝－4，y ＝8sin 2π3＝43，因此，点M 的直角坐标是(－4,43)．(2)ρ＝62＋－22＝22，tan θ＝－26＝－33，又因为点P 在第四象限且0≤θ≤2π，得θ＝11π6.因此，点P 的极坐标为(22，11π6)．[再练一题]3．(1)把点A 的极坐标(2，7π6)化成直角坐标； (2)把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．【解】 (1)x ＝2cos 7π6＝－3，y ＝2sin7π6＝－1，故点A 的直角坐标为(－3，－1)． (2)ρ＝12＋－32＝2，tan θ＝－31＝－ 3.又因为点P 在第四象限且0≤θ＜2π，得θ＝5π3.因此点P 的极坐标是(2，5π3)．在极坐标系中，已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，求A 、B 两点之间的距离．【思路探究】将点的极坐标化为直角坐标，在用两点间距离公式求解．【自主解答】对于A (3，－π3)，x ＝3cos(－π3)＝32；y ＝3sin(－π3)＝－332， ∴A (32，－332)．对于B (1，2π3)，x ＝1×cos 2π3＝－12，y ＝1×sin 2π3＝32，∴B (－12，32)．∵AB ＝32＋122＋－332－322＝4＋12＝4，∴A 、B 两点之间的距离为4.有些问题在用极坐标表示时没有现成的解法，但在直角坐标系中却是一个常见的问题．因此，换一个坐标系，把极坐标系中的元素换成直角坐标系中的元素，问题就可以迎刃而解了．如果题目要求用极坐标作答，那么解完再用极坐标表示就行了．[再练一题]4．在极坐标系中，已知三点：A (4,0)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π2、C ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，π6.(1)求直线AB 与极轴所成的角；(2)若A 、B 、C 三点在一条直线上，求ρ的值．【解】 (1)点A 的直角坐标为(4,0)，点B 的直角坐标为(0，－4)，直线AB 在直角坐标系中的方程为x －y ＝4.故直线AB 与x 轴所成角为π4.(2)点C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32ρ，12ρ，代入直线方程得32ρ－12ρ＝4，解得ρ＝83－1＝4(3＋1)．[真题链接赏析](教材第17页习题4.1第6题)将下列各点的极坐标化为直角坐标：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，11π6，(5，π)，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－3π2， ⎝ ⎛⎭⎪⎫－42，3π4.已知下列各点的直角坐标，求它们的极坐标．(1)A (3，3)；(2)B (－2，－23)； (3)C (0，－2)；(4)D (3,0)．【命题意图】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，属基础题．【解】 (1)由题意可知：ρ＝32＋32＝23，tan θ＝33，所以θ＝π6，所以点A 的极坐标为(23，π6)． (2)ρ＝－2＋－232＝4，tan θ＝－23－2＝3，又由于θ为第三象限角，故θ＝43π，所以B 点的极坐标为(4，43π)．(3)ρ＝02＋－2＝2.θ为32π，θ在y 轴负半轴上，所以点C 的极坐标为(2，32π)．(4)ρ＝32＋02＝3，tan θ＝03＝0，故θ＝0.所以D 点的极坐标为(3,0)．1．点P (－2,2)的极坐标(θ∈[0,2π))为________．【解析】由ρ＝x 2＋y 2＝－2＋22＝22，tan θ＝2－2＝－1，∵P 点在第二象限内，∴θ＝3π4，∴ρ的极坐标为(22，3π4)．【答案】 (22，3π4) 2．在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点是________．【导学号：98990004】【解析】极径为ρ，极角为θ，θ关于极轴对称的角为负角－θ，故所求的点为(ρ，－θ)．【答案】 (ρ，－θ)3．将极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2化为直角坐标为________．【解析】 x ＝ρcos θ＝2cos 32π＝0，y ＝ρsin θ＝2sin 32π＝－2，故直角坐标为(0，－2)．【答案】 (0，－2)4．已知A ，B 的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π12，则A 和B 之间的距离等于________．【解析】由余弦定理得AB＝ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2θ1－θ2＝32＋－2－－π4－π12＝9＋9＋93＝18＋9 3 ＝36＋322. 【答案】36＋322我还有这些不足：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________。

苏教版高中数学选修4-4课件 4.1.1 直角坐标系课件

综上所述，点M满足的方程是x＋2y－5＝0.
菜单
SJ ·数学选修4-4
法二设点M的坐标为(x，y)，则A，B两点的坐标分别
课
当
前自
是(2x,0)，(0,2y)，
堂双
主
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导学
连接PM.因为l1⊥l2，所以PM＝12AB.
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而PM＝ x－22＋y－42，
课堂
AB＝ 2x2＋2y2，
课
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作业
究
圆，该圆与坐标轴的四个交点即是图(3)中正方形的各个顶
点)
菜单
SJ ·数学选修4-4
课
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变式训练
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选择适当的坐标系，表示两条直角边长都为1的直角三
基达
学
标
角形的三个顶点的坐标．
【解】法一以直角三角形的两条直角边AC、BC所
课
堂在直线分别为x轴、y轴，建立如图(1)所示的平面直角坐标课
双基
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学
(1)建立平面直角坐标系；
标
(2)设点(点与坐标的对应)；
课
(3)列式(方程与坐标的对应，列出几何条件，并将几何
堂
课
互动
条件代数化)；
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究
(4)化简(注意变形的等价性)；
(5)证明(若保证等价变形，则此步骤可以省略)．
菜单
SJ ·数学选修4-4
变式训练
设圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C，过原点作圆的弦OA，求
课时
动
作
探究
中点坐标→点斜式写出 OP 的垂直平分线方程为所求

苏教版高二数学选修4-4 4.1.1 直角坐标系课件(35张)

[思路点拨] 取 BC 中点为原点，中垂线为 y 轴，建立坐标系后，确定点的坐标，利用距离公式可证明．
[精解详析] 证明：取 BC 的中点 O 为坐标原点，OA 所在直线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设 A，B 的坐标分别为(0，b)， (－a,0)，则 C 点的坐标为(a,0)，从而 AB2＝a2＋b2.
3．点关于直线的对称：求已知点 A(m，n)关于已知直线： l：y＝kx＋b 的对称点 A′(x0，y0)的坐标的一般方法是依据 l 是线段 AA′的垂直平分线，列出关于 x0、y0 的方程组，由“垂直” 得一方程，由“平分”得一方程，即ky0·x＋y200－－n＝mn k＝·x－0＋21，m＋b.
取最小值
2 2 a.
(2)由题图可知，当 P 在 AB 上运动时，P 到坐标平面 xOz，yOz
的距离相等，所以可设 P(t，t，a－t)，t∈[0，a]．
又 Q 在 CD 上运动，所以可设 Q(0，a，z0)，z0∈[0，a]．
所以 PQ＝ t－02＋t－a2＋a－t－z02
＝ 2t2－2at＋a2＋a－t－z02
解：(1)B(0,0，a)，A(a，a,0)，当 P 为 AB 的中点时，Pa2，a2，a2. 又 Q 在 CD 上运动，设 Q(0，a，t)，其中 t∈[0，a]，则
PQ＝
a2－02＋a2－a2＋a2－t2
＝
t－a22＋a22，
故当
t＝a2时，PQ
令 M 的坐标为(x,0)，则 AM2＋BM·MC ＝x2＋b2＋(a＋x)(a－x) ＝x2＋b2＋a2－x2＝a2＋b2， ∴AB2＝AM2＋BM·MC.
利用解析法可解决平面几何中的证明问题、轨迹方程的求法问题等，其关键是建立恰当坐标系，运用距离公式或建立方程得以解决问题．