现代控制理论第3章 线性系统的能控性和能观测性分析

的输入u(t) ，故系统状态完全能控。
若 1 ，e
A
0 1 0 1 （ 1 ）e ( e ) 0 1 0 1

（3-4）
将式（3-4）代入式（3-1），得
1 t 1 t 1 1 U 0 x (0) 0 （ 1 ）e u ( )d 0 (e )u ( )d U 2 2 2 2 1
【例3-2】桥式电路如图 3-2所示，选取电感L的电 流i(t)=x(t)为状态变量， u(t)为输入，输出为y(t). 该平衡电桥的状态方程为
R x x L
图3-2
电感L中的电流是自由衰减的，即u(t)不能控制x(t)的 变化，故系统状态为不能控。 若u(t)=0，则不论电感 L中的初始电流 x (t 0 )为何值， 对所有时刻 t t 0 都恒有 y(t)=0,即状态x(t)不能由输出y(t)反映，故系统状态 不能观测。该电路为状态既不能控，也不能观测系统。
f f
（3-5）
t t 式中， U 0 0 (1 )e u ( )d , U 1 0 ( e )u ( )d
f f
式（3-5）表明，若
1，当
x 2 (0) 2 x1 (0) 时，
系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，U0、U1无解， 即对于任意的 x (0) 0， 不存在使 x (t f ) 0 的输入u(t)，故系统状态不完全能控。
3.2 能控性与能观测性的概念与示例
【例3-1】给定系统的状态空间表达方式为
1 1 0 x1 1 x u 2 0 x2 2 x y 1 0 x1 x 2
第3章 线性系统的能控性和能观测性分析
3.1 引言 3.2 能控性与能观测性的概念与示例 3.3 能控性和能观测性定义 3.4 线性连续系统能控性判据 3.5 线性连续系统能观测性判据 3.6 线性离散系统的能控性与能观测性 3.7 系统能控性和能观测性的对偶原理 3.8 线性系统的结构分解 3.9 能控性和能观测性与传递函数（阵）的关系 3.10 能控标准型与能观测标准型 3.11 传递函数矩阵的状态空间实现 3.12 MATLAB在能控性和能观测性分析中的应用
3.1 引言
在现代控制工程中，有两个基本问题需要 讨论，其一是加入适当的控制作用后，能否在 有限时间内将系统从任一初始状态转移到希望 的状态上，即系统是否具有通过控制作用随意 支配状态的能力。其二是通过在一段时间内对 系统输出的观测，能否判断系统的初始状态， 即系统是否具有通过观测系统输出来估计状态 的能力。这便是线性系统的能控性与能观测性 问题。
f f
（3-3）
e e e t e 式中，U 0 0 1 u ( )d , U 1 0 1 u ( )d tf
f
式（3-3）表明，若 1 ，对于任意的 x (0) 0， U0、U1有解，即存在使
x (t f ) 0
1 0 0
（3-2）
将式（3-2）代入式（3-1），得
1 t e e 1 t e e x (0) 0 u ( )d 0 u ( )d 1 1 2 2 1 1 U 0 2 2 U 1
,其状态变量图如图3-1所示。 x1可由输出y完全反 映，但x2与输出y既 无直接联系，亦无间 接联系，故x2不能观 测，系统状态不完全 能观测。
图3-1
尽管x1、x2与输入均有直接联系，但这并不足以表明系统 状态就完全能控，还需作进一步的分析。
设在输入u(t)作用下，系统在有限时间内由任意非零 初始状态 x (0) 转移到原点，即
x (t f ) e
At f
x (0) 0 e
tf
A ( t f， )
Baidu Nhomakorabea
B u ( )d 0
tf 0
据矩阵指数的性质，整理上式，得
x (0) 0 e A B u ( )d
tf
（3-1）
若 1
e
A
e e 1
1 0 e e 0 1 1
稳定性、能控性与能观测性均是系统的重 要结构性质。
本章首先介绍能控性与能观测性的概念及定义， 在此基础上，介绍判别线性连续系统和离散系统能 控性与能观测性的准则及能控性与能观测性的对偶 原理，讨论如何通过线性非奇异变换将能控系统和 能观测系统的状态空间表达式化为能控标准型和能 观测标准型、能控性及能观测性与传递函数的关系， 以及如何对不能控和不能观测系统进行结构分解。 其次，讨论MIMO线性连续系统传递函数矩阵的实 现及最小实现问题。本章最后介绍MATLAB在系统 能控性与能观测性分析中的应用。
【例3-4】图3-4所示电路， 选取状态变量x1=i1,x2=i2, 指定y为输出。
图3-4
若输入u(t)=0,则当x1(t0)=x2(t0),不论其值取多 少，对于所有时刻 t t0 ，都有i(t)恒为零，即输出 恒为零，因此，由输出y(t)不能确定x1(t0)、x2(t0), 故图3-4电路为不完全能观测。
【例3-3】图3-3所示电路， 选取状态变量 x1=uc1,x2=uc2, 设R1=R2,C1=C2。
图3-3
由于两条并联阻容支路具有相同的时间常数和强 迫响应。输入u(t)仅能够将状态平面中位于x2=x1直线 上的状态同时转移到任意相同的目标值，而不能将位 于x2=x1直线外的状态同时转移到任意相同的目标值， 这表明此电路不完全能控。