正方形的有关提高练习题

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小学数学认识长方形和正方形练习题及答案

小学数学认识长方形和正方形练习题及答案在学习数学的过程中，认识并理解几何图形是非常重要的。

其中，长方形和正方形是常见且基础的几何图形。

通过练习题，我们可以巩固对这两个图形的认识，并提高对其特性和性质的理解。

接下来，我将为大家提供一系列小学数学的长方形和正方形练习题及答案。

一、长方形练习题及答案1. 一个长方形的长为5cm，宽为3cm，求它的周长和面积。

答案：周长=2(长+宽)=2(5+3)=16cm，面积=长×宽=5×3=15cm²。

2. 一个长方形的周长为18cm，宽为4cm，求它的长。

答案：设长为x，则2(x+4)=18，化简得2x+8=18，2x=18-8=10，x=10/2=5。

所以，长为5cm。

3. 一个长方形的周长为44cm，面积为132cm²，求它的长和宽。

答案：设长为x，宽为y，则2(x+y)=44，化简得x+y=22；且xy=132。

解方程组x+y=22和xy=132，得到x=11，y=12。

所以，长为11cm，宽为12cm。

二、正方形练习题及答案1. 一个正方形的边长为6cm，求它的周长和面积。

答案：周长=4×边长=4×6=24cm，面积=边长²=6²=36cm²。

2. 一个正方形的面积为49cm²，求它的边长。

答案：设边长为x，则x²=49，开平方得到x=7。

所以，边长为7cm。

3. 一个正方形的周长为20cm，求它的边长和面积。

答案：设边长为x，则4x=20，化简得到x=5。

所以，边长为5cm，面积=边长²=5²=25cm²。

通过这些练习题，我们可以更深入地理解长方形和正方形的相关概念。

长方形的周长等于两倍的长和宽之和，面积等于长乘以宽；而正方形的周长等于四倍的边长，面积等于边长的平方。

掌握了这些定理，我们就能更好地应用于日常生活中的计算和问题解决。

北京四中九年级上册数学正方形(提高)巩固练习

【巩固练习】一.选择题1. 在正方形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别任意取点E 、F 、G 、H ．这样得到的四边形EFGH 中，是正方形的有（）A ．1个B ．2个C ．4个D ．无穷多个2. 如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折叠至DC 边上的点E ，使DE ＝5，折痕为PQ ，则PQ 的长为( )A.12B.13C.14D.153. 如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上．四边形EFGB 也为正方形，设△AFC 的面积为S ，则 ( )A ．S ＝2B ．S ＝2.4C ．S ＝4D ．S 与BE 长度有关4. 如图，点(0,0)O ，(0,1)B 是正方形1OBB C 的两个顶点，以它的对角线1OB 为一边作正方形121OB B C ，以正方形121OB B C 的对角线2OB 为一边作正方形232OB B C ，再以正方形232OB B C 的对角线3OB 为一边作正方形343OB B C ，…，依次进行下去，则点6B 的坐标是（）A ．(8,0)-B ．(0,8)-C ．(42,0)-D ．(82,0)-5. 如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为1S ，2S ，则12S S +的值为( )A.16B.17C.18D.196. 如图，四边形ABCD 中，AD ＝DC ，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD 面积为16，则DE 的长为（）A ．3B ．2C ．4D ．8二.填空题7．延长正方形ABCD 的BC 边至点E ，使CE ＝AC ，连结AE ，交CD 于F ，那么∠AFC 的度数为______，若BC ＝4cm ，则△ACE 的面积等于______．8．在正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，EF ⊥AC ，EG ⊥BD ，垂足分别为F 、G ，如果cm 25 AB ，那么EF ＋EG 的长为______．9．已知：如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D ，E ，F 分别是垂足，且BC ＝8cm ，CA ＝6cm ，则点O 到三边AB ，AC 和BC 的距离分别等于______cm ．10.如图所示，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过顶点B 、D 作DE⊥a 于点E 、BF⊥a 于点F ，若DE ＝4，BF ＝3，则EF 的长为_____.11.点P 是正方形ABCD 边AB 上一点（不与A 、B 重合），连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针旋转90°，得线段PE ，连接BE ，则∠CBE ＝_____°12. 如图，平面内4条直线1234l l l l ，，，是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD 的4个顶点A 、B 、C 、D 都在这些平行线上，其中点Ａ、Ｃ分别在直线1l 和4l 上，该正方形的面积是平方单位．三.解答题13．如图，在正方形ABCD 中，P 为对角线BD 上一点，PE ⊥BC ，垂足为E ，PF ⊥CD ，垂足为F ，求证：EF ＝AP14.如图，点E 是正方形ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连结EB 、EA ，延长BE 交边AD 于点F ．（1）求证：△ADE ≌△BCE ；（2）求∠AFB 的度数．15．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点P 在AB 上从A 向B 运动，连结DP 交AC 于点Q ．(1)试证明：无论点P 运动到AB 上何处时，都有△ADQ ≌△ABQ ；(2)当点P 在AB 上运动到什么位置时，△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的61； (3)若点P 从点A 运动到点B ，再继续在BC 上运动到点C ，在整个运动过程中，当点P 运动到什么位置时，△ADQ 恰为等腰三角形．【答案与解析】一.选择题1.【答案】D ；【解析】在正方形四边上任意取点E 、F 、G 、H ，AH ＝DG ＝CF ＝BE ，能证明四边形EFGH 为正方形，则说明可以得到无穷个正方形．2.【答案】B ；【解析】过P 作PF ⊥BC 于F ，可证△PFQ ≌△ADE ，则PQ ＝2212513+=.3. 【答案】A ；【解析】设正方形EFGB 的边长是a ，则S ＝ABC CFG AFGB S S S +-△△梯形＝×（a ＋2）×a ＋ ×2×2－×（a ＋2）×a ＝2. 4.【答案】A ；【解析】2(2,0)B ，4(0,4)B -，6(8,0)B -.5.【答案】B ；【解析】设正方形2S 的边长为x ，根据等腰直角三角形的性质知，AC 2x ，2x CD =，∴AC＝2CD ，CD ＝623=.EC ＝22，28S =，∵1S 的边长为3，1S 的面积为3×3＝9，∴12S S +＝8＋9＝17．6.【答案】C ；【解析】如图，过点D 作BC 的垂线，交BC 的延长线于F ，利用互余关系可得∠A＝∠FCD，又∠AED＝∠F＝90°，AD ＝DC ，利用AAS 可以判断△ADE≌△CDF，∴DE＝DF ，ABCD S 四边形＝S 正方形DEBF ＝16，DE ＝4．二.填空题7．【答案】112.5°，822cm ；【解析】∠AEC ＝∠CEA ＝18013522.52-=°，∠AFC ＝90°＋22.5°＝112.5°，面积等于21424822cm ⨯⨯=. 8．【答案】5cm ；【解析】AC ＝BD ＝52210⨯=，EF ＋EG ＝12BD ＝5. 9．【答案】2；【解析】OD ＝OE ＝OF ，可知四边形ODCE 是正方形，设CD ＝CE ＝x ，BD ＝BF ＝y ，AE ＝AF＝z ，所以8x y +=，10y z +=，6x z +=，解得2x =，即O 点到三边的距离.10.【答案】7；【解析】因为ABCD 是正方形，所以AB ＝AD ，∠B＝∠A＝90°，则有∠ABF＝∠DAE，又因为DE⊥a 、BF⊥a ，根据AAS 易证△AFB≌△AED，所以AF ＝DE ＝4，BF ＝AE＝3，则EF 的长＝7．11.【答案】45；【解析】过E 点作EF ⊥AB 的延长线于F ，易证△ADP ≌△FPE ；BF ＝EF ，所以∠CBE ＝∠EBF ＝45°.12.【答案】5；【解析】过D 点作直线EF 与平行线垂直，与1l 交于点E ，与4l 交于点F ．易证△ADE ≌△DFC ，得CF ＝1，DF ＝2．根据勾股定理可求25CD =得正方形的面积．三.解答题13.【解析】证明：连接PC∵正方形ABCD∴AB ＝BC ，∠ABD ＝∠DBC ＝45° ∠BCD ＝90°∵BP ＝BP∴△ABP ≌△CBP∴AP ＝ CP∵PE ⊥BC ，PF ⊥DC∴四边形PECF 为矩形∴EF ＝PC∴EF ＝AP14.【解析】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADC ＝∠BCD ＝90°，AD ＝BC ．∵△CDE 是等边三角形，∴∠CDE ＝∠DCE ＝60°，DE ＝CE ．∴∠ADE ＝∠BCE ＝30°．∵AD ＝BC ，∠ADE ＝∠BCE ，DE ＝CE ，∴△ADE ≌△BCE ．（2）∵△ADE ≌△BCE ， ∴AE ＝BE ，∴∠BAE ＝∠ABE ．∵∠BAE ＋∠DAE ＝90°，∠ABE ＋∠AFB ＝90°，∠BAE ＝∠ABE ，∴∠DAE ＝∠AFB ．∵AD ＝CD ＝DE ， ∴∠DAE ＝∠DEA ．∵∠ADE ＝30°，∴∠DAE ＝75°，∴∠AFB ＝75°．15．【解析】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝AB ，∠DAC ＝∠BAC ＝45°，AQ ＝AQ∴△ADQ ≌△ABQ （SAS ）；(2)以A 为原点建立如图所示的直角坐标系，过点Q 作QE ⊥y 轴于点E ，QF ⊥x 轴于点F ．21AD ×QE ＝61ABCD S 正方形＝38 ∴QE ＝34 ∵点Q 在正方形对角线AC 上 ∴Q 点的坐标为)34,34( ∴过点D(0，4)，)34,34(Q 两点的函数关系式为：24y x =-+，当y ＝0时，x ＝2，即P 运动到AB 中点时，△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的61； (3)若△ADQ 是等腰三角形，则有QD ＝QA 或DA ＝DQ 或AQ ＝AD①当点P 运动到与点B 重合时，由四边形ABCD 是正方形知QD ＝QA 此时△ADQ 是等腰三角形；②当点P与点C重合时，点Q与点C也重合，此时DA＝DQ，△ADQ是等腰三角形；③如图，设点P在BC边上运动到CP＝x时，有AD＝AQ∵AD∥BC ∴∠ADQ＝∠CPQ．又∵∠AQD＝∠CQP，∠ADQ＝∠AQD，∴∠CQP＝∠CPQ．∴CQ＝CP＝x．4，AQ＝AD＝4．∵AC＝24－4．∴x＝CQ＝AC－AQ＝24－4时，△ADQ是等腰三角形．即当CP＝2。

平行四边形、矩形、菱形、正方形提高题

平行四边形练习一、选择题1、如图1，在平行四边形ABCD 中，EF ∥BC ，GH ∥AB ，EF 、GH 的交点P 在BD 上，则图中面积相等的平行四边形有（）A 0对B 1对C 2对D 3对 2、如图2，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为（）A ．12B ．33C ．313-D ．314-CBD A图（1）图（2）图（3）3、如图3，正方形ABCD 中，点E 在BC 的延长线上，AE 平分∠DAC,则下列结论:（1）∠E=22.50. (2) ∠AFC=112.50. (3) ∠ACE=1350（4）AC=CE(5) AD ∶CE=1∶2. 其中正确的有（） A 5个 B 4个 C 3个 D 2个4、如图4，在四边形ABCD 中，E 是AB 上的一点，△ADE 和△BCE 都是等边三角形，点P 、Q 、 M 、N 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形MNPQ 是（） A 等腰梯形 B 矩形 C 菱形 D 正方形A DEFB C图（5）二、填空题5、如图5,正方形ABCD 中,∠DAF=25°,AF 交对角线BD 于E,交CD 于F, 则∠BEC= 度6、在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若对角线AC=10cm ，•边BC=•8cm ，•则△ABO 的周长为________．7、在矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，且MA ⊥MD ．•若矩形ABCD•的周长为48cm ，•则矩形ABCD 的面积为_______c m 2．三、解答题C BB '__D C 'D 'DAAQ E PMN DCBA 图（4）_ E _ F_ B_ C8、已知，如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是OA ，OB 的中点．（1）求证：△ADE ≌△BCF ；（2）若AD=4cm ，AB=8cm ，求OF 的长．10、如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE ． ⑴求证：CE ＝CF ；⑵在图1中，若G 在AD 上，且∠GCE ＝45°，则GE ＝BE ＋GD 成立吗？为什么？ ⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B ＝90°，AB ＝BC ＝6，E 是AB 上一点，且∠DCE ＝45°，BE ＝2，求DE 的长．6.如图1，在△ABC 中，AB=BC ，P 为AB 边上一点，连接CP ，以PA 、PC 为邻边作□APCD ，AC 与PD 相交于点E ，已知∠ABC=∠AEP=α（0°<α<90°）. （1）求证：∠EAP=∠EPA；（2）□APCD 是否为矩形？请说明理由；（3）如图2，F 为BC 中点，连接FP ，将∠AEP 绕点E 顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN（点M 、N 分别是∠MEN 的两边与BA 、FP 延长线的交点）.猜想线段EM 与EN 之间的数量关系，并证明你的结论.图1ABDCE P 图2ABDCEPM NFB CA G D FEB CA DE图1图2。

正方形的性质专项练习30题(有答案)ok

正方形的性质专项练习30题（有答案）1．如图，在正方形ABCD中，AB=4，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=BC．求△AEF的面积．2．如图所示，在正方形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点．求证：四边形BFDE是平行四边形．3．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F，求证：EF+AC=AB．4．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED；①求证：△BEC≌△DEC；②延长BE交AD于点F，若∠DEB=130°，求∠AFE的度数．5．如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，AC与BE相交于点F，连接DF．（1）求证：∠1=∠2；（2）连接AE，试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论．6．如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由．7．如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，且BE=CF，试判断AE、BF的关系，并说明理由．8．如图，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，且∠AEC=132°，求∠DAE的度数．9．如图，在正方形ABCD中，AE=AB，∠AEB=75°．求证：（1）△BEF是等腰三角形；（2）点E在线段AD的垂直平分线上．10．如图，E是正方形ABCD外的一点，连接AE、BE、DE，且∠EBA=∠ADE，点F在DE上，连接AF，BE=DF．（1）求证：△ADF≌△ABE；（2）小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE﹣BE=AE．请你说明理由．11．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q．（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；（2）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P 运动到什么位置时，△ADQ 恰为等腰三角形．12．如图，延长正方形ABCD的边BC到E，使CE=CB，连接AE交CD于F，连接BF．△BEF和△ABF是否是等腰三角形，说明理由．13．如图，正方形ABCD中，M是BC上任意一点（点M与B、C不重合），DE⊥AM于E，BF⊥AM于F，在图中找出一对全等三角形，并加以证明．14．如图，E是正方形ABCD中AD边的中点，延长BA到点F，使AF=AE，判断BE与DF之间有何关系？并说明理由．15．已知，如图，正方形ABCD的面积为100，菱形PQCB的面积为80，求阴影部分的面积．16．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG．求证：BE=DG．17．如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．（1）求证：∠ADP=∠EPB；（2）求∠CBE的度数．18．在△ABC中，∠C=90°，四边形ABDE，AGFC都是正方形，如图，求证：BG=EC．19．如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF．求证：BE=DF．20．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=AB，那么DF，BE在数量上有什么关系，并说明理由．21．如图，E为正方形ABCD的对角线AC上一点，过点E作EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，连接FG．（1）若AE=AB，求∠CDE的度数．（2）FG与DE相等吗？为什么？22．如图，在正方形ABCD中，E为线段CD上一点，且DE=3CE，M、N分别是AD、AE的中点，点F在CD的延长线上，且∠DMF=∠DAE．（1）求cos∠DAE的值；（2）求证：四边形MNEF是等腰梯形．23．如图，正方形ABCD内一点P，使得PA：PB：PC=1：2：3，请利用旋转知识，证明∠APB=135°．（提示：将△ABP绕点B顺时针旋转90°至△BCP′，连接PP′）．24．如图，E为正方形ABCD外一点，且△ADE为等边三角形，试求∠CEB的度数．25．如图，正方形ABCD中，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE，连接BG并延长交DE于H．（1）求证：∠BGC=∠DEC．（2）若正方形ABCD的边长为1，试问当点G运动到什么位置时，BH垂直平分DE？26．点E是正方形ABCD外一点，点F在DE上，且AF=AE=，∠EAF=90°，FB=3．（1）求证：△AFD≌△AEB；（2）求∠DEB的度数；（3）求正方形ABCD的面积．27．如图，已知点E为正方形ABCD的边BC上一点，连接AE，过点D作DG⊥AE，垂足为G，延长DG交AB 于点F．求证：AF=BE．28．如图，在正方形ABCD中，E为AB边上的一点，连接DE，过A作AF⊥DE于F，过C作CG⊥DE于G．已知AF=1，CG=2，求正方形的边长．29．如图，正方形ABCD中，E是AD上一点（E与A、D不重合）．连接CE，将△CED绕点D顺时针旋转90°，得到△AFD．（1）猜想CE和AF之间的关系，并进行证明．（2）连接EF，若∠ECD=30°，求∠AFE的度数．30．如图，正方形ABCD的边长为1，G是CD边上的一个动点（G不与C、D重合），以CG为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF，连接DE、BG，并延长BG交DE于点H．（l）求证：①△BCG≌△DCE；②BH⊥DE．（2）当点G运动到何处时，四边形DGEF是平行四边形，并加以证明．（3）当点G运动到何处时，BH垂直平分DE？请说明理由．参考答案：1．由题意知正方形ABCD的边长为4，则EC=1，BE=3，CF=DF=2，由勾股定理，得，AE2=AB2+BE2=42+32=25，AF2=AD2+DF2=42+22=20，EF2=EC2+CF2=12+22=5，∴AF2+EF2=AE2，由勾股定理的逆定理知△AEF是以AE为斜边的直角三角形．∴S△AEF=AF•EF=××==5．2．∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC，AD∥BC，即DE∥BF，∵点E、F是AD、BC的中点，∴DE=AD，BF=BC，∴DE=BF，又DE∥BF∴四边形BFDE是平行四边形3．如图，过F作FM⊥AB于点M，∵AC⊥BD于点E，∴AE=AC，∠ABD=∠CBD=45°，∵AF平分∠BAC，∴EF=MF．又∵AF=AF，∴Rt△AMF≌Rt△AEF，∴AE=AM，∵∠MFB=∠ABF=45°，∴MF=MB，∴MB=EF，∴EF+AC=MB+AE=MB+AM=AB．4．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠DCA=∠BCA，∵CE=CE，∴△BEC≌△DEC．（2）解：∵∠DEB=130°，∵△BEC≌△DEC，∵∠DAB=90°，∴∠DAC=∠BAC=45°，∴∠AFE=180°﹣65°﹣45°=70°．答：∠AFE的度数是70°．5．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAF=∠BAF=45°，在△ADF与△ABF 中，，∴△ADF≌△ABF（SAS），∴∠1=∠2；（2）如图：AE⊥DF．设AE与DF相交于点H，∵四边形ABCD是正方形，E是DC的中点，∴△ADE≌△BCE（SAS），∴∠3=∠4，又∵∠1=∠2（已证），∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，∴∠AHD=90°，∴AE⊥DF．6．∵AB=4，CE=BC，∴EC=1，BE=3，∵F为CD的中点，∴DF=FC=2，∴EF==，AF==，AE==．∴AE2=EF2+AF2．∴△AEF是直角三角形．7．AE=BF且AE⊥BF．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°．∴△ABE≌△BCF（SAS）∴AE=BF，∠BAE=∠CBF．∵∠ABE=90°∴∠BAE+∠AEB=90°∴∠CBF+∠AEB=90°∴∠BGE=90°∴AE⊥BF．∴AE=BF且AE⊥BF．8．在正方形ABCD中，AB=CB，∠ABE=∠CBE=∠ADB=45°，在△ABE和△CBE 中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴∠AEB=∠CEB，∵∠AEC=132°，∴∠AEB=×132°=66°，∴∠DAE=∠AEB﹣∠ADB=66°﹣45°=21°．9．（1）∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB=75°，∴∠FBE=∠ABE﹣∠ABD=75°﹣45°=30°，在△BEF中，∠BFE=180°﹣∠FBE﹣∠AEB=180°﹣30°﹣75°=75°，∴∠BFE=∠AEB，∴BF=BE，即△BEF是等腰三角形；（2）连接DE，在△ABE中，∠BAE=180°﹣∠ABE﹣∠AEB=180°﹣75°﹣75°=30°，∴∠DAE=∠DAB﹣∠BAE=90°﹣30°=60°，∵正方形ABCD中，AD=AB，又∵AB=AE，∴AE=AD，∴△ADE是等边三角形．∴AE=DE，∴点E在线段AD的垂直平分线上．10．（1）∵四边形正ABCD是正方形，∴AB=AD，，∴△ADF≌△ABE；（2）理由如下：由（1）有△ADF≌△ABE，∴AF=AE，∠3=∠4，在正方形ABCD中，∠BAD=90°，∴∠BAF+∠3=90°，∴∠BAF+∠4=90°，∴∠EAF=90°，∴△EAF是等腰直角三角形，∴EF2=AE2+AF2，∴EF2=2AE2，∴EF=AE，即DE﹣DF=AE，∴DE﹣BE=AE．11．（1）证明：在正方形ABCD中，无论点P运动到AB上何处时，都有AD=AB，∠DAQ=∠BAQ=45°，在△ADQ和△ABQ 中，，∴△ADQ≌△ABQ（SAS）；（2）若△ADQ是等腰三角形，则有①如图1，AQ=DQ时，点Q为正方形ABCD的中心，点B、P重合；②如图2，AQ=AD时，根据等边对等角有∠ADQ=∠AQD，∵正方形ABCD的边长为4，∴AC==4，∴CQ=AC﹣AQ=4﹣4，∵AD∥BC，∴∠CPQ=∠ADQ，∴∠CQP=∠CPQ，∴CP=CQ=4﹣4，此时点P在距离点B：4﹣（4﹣4）=8﹣4；③如图3，AD=DQ时，点C、P、Q三点重合；综上所述，当点P运动到①点B的位置；②在BC上，且到点B的距离为8﹣4处；③运动到点C的位置时，△ADQ恰为等腰三角形12．△BEF和△ABF是等腰三角形，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵CE=CB，DC⊥BE，∴BF=EF，∴△BEF是等腰三角形，∵FC∥AB，∴=又∵BC=EC，∴EF=AF，∴△ABF是等腰三角形13．△ADE≌△BAF．证明：∵DE⊥AM于E，BF⊥AM，∠AFB=∠AED=90°．又∵∠BAF+∠EAD=90°，在直角△ABF中，∠BAF+∠ABF=90°．∴∠ABF=∠EAD．∴在△ADE与△BAF中：∴△ADE≌△BAF．14．BE=DF且BE⊥DF．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴∠FAD=∠EAB=90°，AD=AB，而AF=AE，∴把△AFD绕点A顺时针旋转90°后得到△AEB；延长BE交DF于G，如图，∵把△AFD绕点A顺时针旋转90°后得到△AEB，∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，∵∠AEB=∠DEG，∠BAE=90°∴∠ABE+∠AEB=∠ADF+∠DEG=90°，∴∠DGE=90°，即BE⊥DF，∴BE=DF且BE⊥DF．15．∵正方形ABCD的面积是100，∴AB=BC=BP=PQ=QC=10，又∵S菱形BPQC=PQ×EC=10×EC=80，∴EC=8，在Rt△QEC中，EQ==6；∴PE=PQ﹣EQ=4，∴S阴影=S正方形ABCD﹣S梯形PBCE=100﹣×（10+4）×8=100﹣56=44．16．∵四边形ABCD和四边形ECGF都是正方形，∴在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴BE=DG．17．1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=90°，∴∠ADP+∠DPA=90°，又∵线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，∴∠DPE=90°，∴∠DPA+∠EPB=90°，∴∠ADP=∠EPB；（2）过E点作EG⊥AB于G，如图，∵线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，∴PD=PE，而∠ADP=∠EPB，又∵∠A=∠G=90°，∴Rt△PAD≌Rt△EPG，∴AP=EG，AD=PG，而AD=AB，∴AP+PB=PB+BG，∴AP=BG，∴BG=EG，∴△EBG为等腰直角三角形，∴∠EBG=45°，∴∠CBE=45°．18．∵四边形ABDE，AGFC都是正方形，∴∠EAC=∠BAG，在△EAC和△BAG中，，∴△EAC≌△BAG（SAS），∴BG=CE．19．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCD=∠DCF=90°，在△BCE和△DCF中，∵，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴BE=DF20．DF=BE．理由如下：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∴∠DAF=180°﹣90°=90°，∴∠BAD=∠DAF，∵E是AD的中点，∴AE=AD=AB，∵AF=AB，∴AE=AF，∵在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴DF=BE．21．（1）由题意得，AE=AB=AD，∠DAE=45°，故可得∠ADE=∠AED=67.5°，故∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣∠ADE=22.5°；（2）FG和DE相等．理由如下：由题意得，EN=EG，EM=EF=ND，（角平分线上的点到角的两边距离相等），在Rt△GEF和Rt△END 中，，故△GEF≌△END（HL），故可得出FG=DE．22．（1）在正方形ABCD中，设DC=4a，∵DE=3CE，∴DE=3a，∴在Rt△ADE中，AE=5a，∴cos∠DAE==；（2）∵M、N分别是AD、AE的中点，∴MN∥DE且MN=DE，∴∠AMN=90°．在△AMN和△MDF中，有∠AMN=∠MDF=90°，AM=MD，∠DAE=∠DMF，∴△AMN≌△MDF，∴MF=AN，又AN=NE，∴MF=NE，又MN∥EF且MN≠EF，∴四边形MNEF是等腰梯形．23．如图，画出旋转后的图形，并连接PP′．设PA=x，PB=2x，PC=3x，∵将△APB绕B点顺时针旋转90°，得△BP′C，∴△BP′C≌△APB，∠APB=∠BP′C，∴△BP′P为等腰直角三角形，∴∠BP′P=45°，∵PB=BP′=2x，∴PP′==2 x，∵PC=3x，CP′=PA=x，∴PC2=PP′2+CP′2，∴∠PP′C=90°，∴∠APB=∠BP′C=∠BP′P+∠PP′C=45°+90°=135°．24．∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=CD，∠CDA=∠DAB=90°，又∵△ADE为等边三角形，∴AE=AD=DE，∠EDA=∠EAD=∠AED=60°，∴AB=AE=CD=CE，∠EDC=∠EAB=150°，∴△ABE和△DCE都为全等的等腰三角形，（4分）∴∠AEB=∠DEC==15°，（6分）∴∠CEB=60°﹣15°﹣15°=30°．25．（1）证明：∵四边形ABCD、GCEF都是正方形，∴BC=DC，∠BCG=∠DCE=90°，GC=EC∴△BCG≌△DCE∴∠BGC=∠DEC（2）连接BD如果BH垂直平分DE，则有BD=BE∵BC=CD=1，∴BD=（8分）∴CE=BE﹣BC=﹣1∴CG=CE=﹣1即当CG=﹣1时，BH垂直平分DE．26．1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠DAB=90°，又∵∠EAF=90°，∴∠EAB=∠DAF，在△AFD与△AEB中，∵，∴△AFD≌△AEB（SAS）；（2）解：∵AF=AE=，∠EAF=90°，∴∠AFE=∠AEF=45°，∵∠AFE+∠DFA=180°，∴∠DFA=135°，∵△AFD≌△AEB，∴∠AEB=∠DFA=135°，∴∠DEB=∠AEB﹣∠AEF=135°﹣45°=90°；（3）在Rt△AEF中，EF===2，在Rt△BEF中，BE===，∵△AFD≌△AEB，∴DF=BE=，连接BD，设正方形ABCD的边长为x，则在Rt△ABD 中，BD=x，在Rt△BED中，BE2+DE2=BD2，即（）2+（2+）2=（x）2，∴x2=7+2，∴正方形ABCD的面积为（7+2）．27．∵正方形ABCD，∴AD=AB，∠CDA=∠DAB=∠B=90°，∵DG⊥AE，∴∠DGA=90°，∴∠ADG+∠DAG=90°，∵∠ADG+∠EAB=90°，∴∠ADG=∠EAB，∵AD=AB，∠DAF=∠B=90°，∴△ADF≌△BAE，∴AF=BE．28．∵ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°，∴∠CDG+∠FDA=90°，∵AF⊥DE，CG⊥DE，∴∠AFD=∠CGD=90°，∴∠FAD+∠FDA=90°，∴∠FAD=∠CDG，∴△ADF≌△DCG，∴FD=CG=2，∴AD==．故正方形的边长为．29．（1）CE=AF，且CE⊥AF（1分）证明：如图，∵△AFD是由△CED绕点D顺时针旋转90°而得到的．∴△ADF≌△CDE，∴CE=AF，∠1=∠2，DE=DF．（3分）延长CE交AF于点G．∵四边形ABCD是正方形，∠CDA=90°．又∠3=∠4，∠2+∠4+∠EGA=∠1+∠3+∠CDE=180°∴∠EGA=∠CDE=90°即CE⊥AF；（5分）（2）∵∠1=30°，∠2=30°又∠ADF=90°，∴∠AFD=60°（7分）∵DE=DF，∴∠EFD=45°（9分）∴∠AFE=∠AFD﹣∠EFD=15°30．1）证明：①∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCG=∠DCE，在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS），②∵△BCG≌△DCE，∴∠CBG=∠CDE，又∠CBG+∠BGC=90°，∴∠CDE+∠DGH=90°，∴∠DHG=90°，∴BH⊥DE；（2）解：当G是CD的中点，即CG=CD时，四边形DGEF是平行四边形．理由：连接DF、GE，∵G是CD的中点，∴CG=GD，∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴DG∥EF，CG=EF，∴DG=EF，∴四边形DGEF是平行四边形．∴当G是CD的中点，即CG=CD时，四边形DGEF 是平行四边形．（3）解：当CG=﹣1时，BH垂直平分DE，理由：连接BD，∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴∠A=90°，AB=AD=BC=1，∴BD==，∵CG=﹣1，∴BE=BC+CE=，∴BD=BE，∵BH⊥DE，∴DH=EH，∴BH垂直平分DE，∴当CG=﹣1时，BH垂直平分DE．。

人教版八年级数学下《正方形》拔高练习

人教版八年级数学下《正方形》拔高练习《正方形》拔高练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④HG＝AD．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（5分）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM＝，则线段BN的长为（）A．B．C．2D．13．（5分）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB、BD于点M、N，若AD＝4，则线段AM 的长为（）A．2B．2C．4﹣D．8﹣44．（5分）如图，有两个正方形A，B，现将B放置在A的内部得到图甲．将A，B并列放置，以正方形A与正方形B的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为（）A．13B．14C．15D．165．（5分）已知?ABCD，其对角线的交点为O，则下面说法正确的是（）A．当OA＝OB时?ABCD为矩形B．当AB＝AD时?ABCD为正方形C．当∠ABC＝90°时?ABCD为菱形D．当AC⊥BD时?ABCD为正方形二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝3，OC＝6，则另一直角边BC的长为．7．（5分）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为7和9，则b的面积为．8．（5分）已知正方形①、②在直线上，正方形③如图放置，若正方形①、②的面积分别27和54，则正方形③的边长为．9．（5分）如图，有两个正方形夹在AB与CD中，且AB∥CD，若∠FEC＝10°，两个正方形临边夹角为150°，则∠1的度数为度（正方形的每个内角为90°）10．（5分）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，则∠1+∠2+∠3的度数为°．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长，交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F 点．已知FG＝2，求线段AE的长度．12．（10分）如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，F 是AE的中点，过点F垂直于AE的直线与边CD的交点为M，与AD 的延长线的交点为N．若AB＝12，BE＝5，求DN的长．13．（10分）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，请判断AE和BF的关系，并说明理由．14．（10分）如图，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE＝∠F AE，求证：AF＝AD+CF．15．（10分）如图1，P为正方形ABCD内一点，且P A：PB：PC＝1：2：3，求∠APB的度数．小明同学的想法是：不妨设P A＝x，PB＝2x，PC＝3x，设法把P A、PB、PC相对集中，于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE（如图2），然后连结PE，问题得以解决．请你回答图2中∠APB＝度．请你参考小明同学的方法，解答下列问题．如图3，P是等边△ABC内一点，P A：PB：PC＝3：4：5，那么∠APB＝度．请写出推理过程．《正方形》拔高练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④HG＝AD．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】连接AH，由四边形ABCD是正方形与点E、F、H分别是AB、BC、CD 的中点，易证得△BCE≌△CDF与△ADH≌△DCF，根据全等三角形的性质，易证得CE⊥DF与AH⊥DF，根据垂直平分线的性质，即可证得AG＝AD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得HG＝AD，根据等腰三角形的性质，即可得∠CHG＝∠DAG．则问题得解．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，∴BE＝CF，在△BCE与△CDF中，∴△BCE≌△CDF，（SAS），∴∠ECB＝∠CDF，∵∠BCE+∠ECD＝90°，∴∠ECD+∠CDF＝90°，∴∠CGD＝90°，∴CE⊥DF，故①正确；在Rt△CGD中，H是CD边的中点，∴HG＝CD＝AD，故④正确；连接AH，同理可得：AH⊥DF，∵HG＝HD＝CD，∴DK＝GK，∴AH垂直平分DG，∴AG＝AD，故②正确；∴∠DAG＝2∠DAH，同理：△ADH≌△DCF，∴∠DAH＝∠CDF，∵GH＝DH，∴∠HDG＝∠HGD，∴∠GHC＝∠HDG+∠HGD＝2∠CDF，∴∠CHG＝∠DAG．故③正确．故选：D．【点评】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．2．（5分）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM＝，则线段BN的长为（）A．B．C．2D．1【分析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH＝45°，则△AMH 为等腰直角三角形，再求出AH，MH，MB，然后证明∠BNM＝∠BMN，BN ＝BM＝1．【解答】解：作MH⊥AC于H，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠MAH＝45°，∴△AMH为等腰直角三角形，∵AM＝，∴AH＝MH＝1，∵CM平分∠ACB，∠ACB＝45°，∠MBC＝90°∴∠ACM＝∠BCM＝22.5°，BM＝MH＝1，∵∠BAC＝45°，∴∠BMC＝45°+22.5°＝67.5°，∵∠BNM＝∠ONC＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠BNM＝∠BMN，∴BN＝BM＝1，故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，根据角平分线的性质作辅助线是解决问题的关键．3．（5分）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB、BD于点M、N，若AD＝4，则线段AM 的长为（）A．2B．2C．4﹣D．8﹣4【分析】过点M作MF⊥AC于点F，根据角平分线的性质可知FM＝BM，再由四边形ABCD为正方形，可得出∠F AM＝45°，在直角三角形中用∠F AM的正弦值即可求出FM与AM的关系，最后由AM+BM＝4列方程求解即可．．【解答】解：过点M作M F⊥AC于点F，如图所示．∵MC平分∠ACB，四边形ABCD为正方形，∴∠CAB＝45°，FM＝BM．在Rt△AFM中，∠AFM＝90°，∠F AM＝45°，AM＝2，∴BM＝FM＝AM?sin∠F AM＝AM．又∵AM+BM＝4，∴AM+AM＝4，解得：AM＝8﹣4．故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质，解题的关键是求出FM 的长度与AM的关系．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据角平分的性质及正方形的特点找出边角关系，再利用解直角三角形的方法即可得以解决．4．（5分）如图，有两个正方形A，B，现将B放置在A的内部得到图甲．将A，B并列放置，以正方形A与正方形B的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为（）A．13B．14C．15D．16【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图形得出关系式求解即可．【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1即a2+b2﹣2ab＝1，由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝12，2ab＝12，所以a2+b2＝13，故选：A．【点评】本题主要考查了正方形的性质，完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系．5．（5分）已知?ABCD，其对角线的交点为O，则下面说法正确的是（）A．当OA＝OB时?ABCD为矩形B．当AB＝AD时?ABCD为正方形C．当∠ABC＝90°时?ABCD为菱形D．当AC⊥BD时?ABCD为正方形【分析】直接利用矩形、菱形的判定方法分析得出答案．【解答】解：A、当OA＝OB时，可得到?ABCD为矩形，故此选项正确；B、当AB＝AD时?ABCD为菱形，故此选项错误；C、当∠ABC＝90°时?ABCD为矩形，故此选项错误；D、当AC⊥BD时?ABCD为菱形，故此选项．故选：A．【点评】此题主要考查了矩形、菱形的判定，正确掌握相关判定方法是解题关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝3，OC＝6，则另一直角边BC的长为9．【分析】过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，根据正方形的性质得出∠A OB＝90°，OA＝OB，求出∠BOF＝∠OAM，根据AAS证△AOM≌△BOF，推出AM＝OF，OM＝FB，求出四边形ACFM为矩形，推出AM＝CF，AC＝MF＝3，得出等腰三角形三角形OCF，根据勾股定理求出CF＝OF＝6，求出BF，即可求出答案．【解答】解：过O作OF⊥BC于F，过A作AM⊥OF于M，∵∠ACB＝90°，∴∠AMO＝∠OFB＝90°，∠ACB＝∠CFM＝∠AMF＝90°，∴四边形ACFM是矩形，∴AM＝CF，AC＝MF＝3，∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠AOM+∠BOF＝90°，又∵∠AMO＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠BOF＝∠OAM，在△AOM和△OBF中，∴△AOM≌△OBF（AAS），∴AM＝OF，OM＝FB，∴OF＝CF，∵∠CFO＝90°，∴△CFO是等腰直角三角形，∵OC＝6，由勾股定理得：CF＝OF＝6，∴BF＝OM＝OF﹣FM＝6﹣3＝3，∴BC＝6+3＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了等腰直角三角形，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，有一定的难度．7．（5分）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为7和9，则b的面积为16．【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠BAC ＝∠DCE，然后证明△ACB≌△DCE，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．【解答】解：由于a、b、c都是正方形，所以AC＝CD，∠ACD＝90°；∵∠ACB+∠DCE＝∠ACB+∠BAC＝90°，即∠BAC＝∠DCE，在△ABC和△CED中，∴△ACB≌△CDE（AAS），∴AB＝CE，BC＝DE；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝AB2+DE2＝7+9＝16，即S b＝16，则b的面积为16，故答案为16【点评】本题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，关键是证明△ACB ≌△DCE．8．（5分）已知正方形①、②在直线上，正方形③如图放置，若正方形①、②的面积分别27和54，则正方形③的边长为9．【分析】根据正方形的性质就可以得出∠EAB＝∠EBD＝∠BCD＝90°，BE＝BD，∠AEB＝∠CBD，就可以得出△ABE≌△CDB，得出AE＝BC，AB＝CD，由勾股定理就可以得出BE的值，进而得出结论．【解答】解：∵四边形①、②、③都是正方形，∴∠EAB＝∠EBD＝∠BCD＝90°，BE＝BD，∴∠AEB+∠ABE＝90°，∠ABE+∠DBC＝90°，∴∠AEB＝∠CBD．在△ABE和△CDB中，，∴△ABE≌△CDB（AAS），∴AE＝BC，AB＝CD．∵正方形①、②的面积分别27cm2和54cm2，∴AE2＝27，CD2＝54．∴AB2＝27．在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE2＝AE2+AB2＝27+54＝81，∴BE＝9．故答案为：9．【点评】本题考查的是勾股定理，正方形的性质的运用，正方形的面积公式的运用，三角形全等的判定及性质的运用，解答时证明△ABE≌△CDB是关键．9．（5分）如图，有两个正方形夹在AB与CD 中，且AB∥CD，若∠FEC＝10°，两个正方形临边夹角为150°，则∠1的度数为70度（正方形的每个内角为90°）【分析】如图，延长KH交EF的延长线于M，作MG⊥AB于G，交CD于H．利用四边形内角和36°，求出∠HMF，再根据∠KME＝∠MKG+∠MEH，求出∠MKG即可解决问题；【解答】解：如图，延长KH交EF的延长线于M，作MG⊥AB 于G，交CD于H．∵∠GHM＝∠GFM＝90°，∴∠HMF＝180°﹣150°＝30°，∵∠HMF＝∠MKG+∠MEH，∠MEH＝10°，∴∠MKG＝20°，∴∠1＝90°﹣20°＝70°，故答案为70．【点评】本题利用正方形的四个角都是直角，直角的邻补角也是直角，四边形的内角和定理和两直线平行，内错角相等的性质，延长正方形的边构造四边形是解题的关键．10．（5分）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，则∠1+∠2+∠3的度数为150°．【分析】设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角，再利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．【解答】解：如图，∠BAC＝180°﹣60°﹣∠2＝120°﹣∠2，∠ABC＝180°﹣90°﹣∠1＝90°﹣∠1，∠ACB＝180°﹣60°﹣∠3＝120°﹣∠3，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝150°．故答案为：150．【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理，用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角是解题的关键，也是本题的难点．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长，交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F 点．已知FG＝2，求线段AE的长度．【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出＝2，结合FG＝2可求出AF、AG的长度，由AB∥CD，可得，即可得AE＝2AG＝12．【解答】解：∵G为CD边中点，∴CG＝DG＝CD∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABF＝∠GDF，∠BAF＝∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴＝2，∴AF＝2GF＝4，∴AG＝6．∵AB∥DC∴∴AE＝2GE＝2（AE﹣AG）∴AE＝2AG＝12【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键12．（10分）如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，F 是AE的中点，过点F垂直于AE的直线与边CD的交点为M，与AD 的延长线的交点为N．若AB＝12，BE＝5，求DN的长．【分析】根据正方形的性质得到AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，根据平行线的性质得到∠AEB＝∠F AN，根据新的数据线的性质和勾股定理得到AN＝16.9，根据线段的和差即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，∴∠AEB＝∠F AN，∵FN⊥AE，∴∠AFN＝90°，∴∠B＝∠AFN，∴△ABE∽△NF A，∴，在Rt△ABE中．AE＝＝＝13，∵F是AE的中点，∴AF＝AE＝6.5，∴＝，∴AN＝16.9，∵AB＝AD＝12，∴DN＝AN﹣AD＝4.9．【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．13．（10分）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，请判断AE和BF的关系，并说明理由．【分析】根据正方形的性质得到AD＝CD＝AB＝BC，∠ADE＝∠BAF＝90°，证明△BAF≌△ADE，根据全等三角形的性质证明．【解答】解：AE＝BF，AE⊥BF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝AB＝BC，∠ADE＝∠BAF＝90°，∵CE＝DF，∴AF＝DE，在△BAF和△ADE中，，∴△BAF≌△ADE（SAS），∴AE＝BF，∠ABF＝∠DAE，∵∠DAE+∠BAE＝90°，∴∠ABF+∠BAE＝90°，即AE⊥BF．【点评】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的四条边相等，四个角都是90°是解题的关键．14．（10分）如图，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE＝∠F AE，求证：AF＝AD+CF．【分析】过E点作EG⊥AF，垂足为G，根据题干条件首先证明Rt△AEG≌Rt △AED，即可得AG＝AD，同理证明出CF＝GF，于是结论可以证明AF＝AD+CF．【解答】解：过E点作EG⊥AF，垂足为G，∵∠DAE＝∠EAF，∠B＝∠AGE＝90°，即AE为角平分线，ED⊥AD，EG⊥AG，∴DE＝EG，在Rt△AEG和Rt△AED中，，∴Rt△AEG≌Rt△AED（HL），∴AG＝AD，∵E是CD的中点∴DE＝EC＝EG同理可知CF＝GF，∴AF＝AG+FG＝AD+CF．【点评】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质，此题难度不大．15．（10分）如图1，P为正方形ABCD内一点，且P A：PB：PC＝1：2：3，求∠APB的度数．小明同学的想法是：不妨设P A＝x，PB＝2x，PC＝3x，设法把P A、PB、PC相对集中，于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE（如图2），然后连结PE，问题得以解决．请你回答图2中∠APB＝135度．请你参考小明同学的方法，解答下列问题．如图3，P是等边△ABC内一点，P A：PB：PC＝3：4：5，那么∠APB＝150度．请写出推理过程．。

人教版八年级数学上册正方形练习题

人教版八年级数学上册正方形练习题题目1
一块房地产开发商计划在一块长方形土地上建造一个正方形小区。

已知土地的长为100米，宽为80米。

请回答以下问题：
1. 该土地合适建造正方形小区吗？为什么？
回答：该土地合适建造正方形小区。

因为正方形的特点是四边相等，正好适应了土地的长和宽两个方向。

2. 若建造正方形小区，该正方形的边长是多少？小区的面积是多少？
回答：若建造正方形小区，该正方形的边长应为80米。

小区的面积是80米×80米=6400平方米。

题目2
正方形的对角线有什么特点？
回答：正方形的对角线具有以下特点：
- 对角线长度等于边长乘以√2；
- 对角线将正方形分为两个等边直角三角形。

题目3
在一个正方形中，顶点A的坐标是(3,2)，顶点B的坐标是(7,2)，请计算正方形的边长和面积。

回答：根据顶点A和B的坐标，可以计算出正方形的边长为4。

面积等于边长的平方，所以正方形的面积为16平方单位。

题目4
已知一个正方形的周长是36，求其边长和面积。

回答：已知周长为36，因为正方形的四条边相等，所以边长应为9。

正方形的面积等于边长的平方，所以面积为9乘以9，即81平方单位。

题目5
若一个正方形的面积是49，求其周长和对角线长度。

回答：已知面积为49，可以求得边长为7。

正方形的周长等于边长的4倍，所以周长为28。

对角线长度等于边长乘以√2，所以对角线长度为7乘以√2。

初三数学正方形练习题

初三数学正方形练习题正方形是具有特殊性质的几何形状，掌握正方形的性质并熟练运用相关公式是初中数学的基础内容之一。

为了帮助初三学生更好地复习和掌握正方形的相关知识，下面是一些正方形练习题。

练习题1：1. 已知正方形ABCD的边长为5 cm，求正方形的面积和周长。

2. 若正方形的周长为24 m，求正方形的面积。

3. 若正方形的对角线长为12 cm，求正方形的面积和周长。

练习题2：1. 若正方形ABCD的面积为64 cm²，求正方形的边长。

2. 若正方形的周长为48 cm，求正方形的面积。

3. 若正方形的面积是某个整数，且正方形的边长是2 cm的倍数，求可能的正方形的边长和面积。

练习题3：1. 若正方形ABCD的边长为x cm，求正方形的面积和周长。

2. 若正方形的周长为4x m，求正方形的面积。

3. 若正方形的对角线长为2x cm，求正方形的面积和周长。

解答如下：练习题1：1. 正方形的边长为5 cm，根据正方形的性质，可以知道正方形的面积等于边长的平方。

所以，正方形的面积为5² = 25 cm²。

正方形的周长等于4倍边长，即4 * 5 = 20 cm。

2. 正方形的周长为24 m，根据正方形的性质，可以知道正方形的边长等于周长的四分之一。

所以，正方形的边长为24 / 4 = 6 m。

正方形的面积等于边长的平方，即6² = 36 m²。

3. 正方形的对角线长为12 cm，根据正方形的性质，可以知道正方形的边长等于对角线长的根号2倍。

所以，正方形的边长为12 / √2 = 12√2 cm。

正方形的面积等于边长的平方，即(12√2)² = 288 cm²。

正方形的周长等于4倍边长，即4 * 12√2 = 48√2 cm。

练习题2：1. 正方形的面积为64 cm²，根据正方形的性质，可以知道正方形的边长等于面积的平方根。

所以，正方形的边长为√64 = 8 cm。

正方形综合提高练习题

正方形综合提高练习题
问题1
一个正方形的边长为5 cm，请计算该正方形的周长和面积。

问题2
一个正方形的周长为20 cm，请计算该正方形的边长和面积。

问题3
一个正方形的面积为36 cm²，请计算该正方形的边长和周长。

问题4
正方形A的面积是正方形B面积的2倍，正方形A的边长比正方形B的边长多3 cm。

请分别计算正方形A和正方形B的边长和周长。

问题5
正方形C的边长是正方形D的边长的2倍，正方形C的面积是正方形D面积的4倍。

请计算正方形C和正方形D的面积。

问题6
在一个正方形的四个角上分别连接线段，形成一个小正方形和4个等腰直角三角形。

已知小正方形的边长为2 cm，请计算大正方形的边长和面积。

问题7
在一个正方形的四个角上分别连接线段，形成一个小正方形和4个等腰直角三角形。

已知大正方形的面积为25 cm²，请计算小正方形的面积。

问题8
一个正方形的边长为x cm，请用x的代数式表达出该正方形的周长和面积。

问题9
已知正方形的面积为A cm²，请用A的代数式表示出该正方形的边长和周长。

问题10
已知正方形的周长为P cm，请用P的代数式表示出该正方形的边长和面积。

小结
通过这些练习题，你可以巩固和提高对正方形的周长和面积计算的能力。

通过多次练习，你会更加熟练地运用这些概念，并能够灵活解决与正方形相关的问题。

为了加强你的学习效果，可以自行编写更多类似的练习题进行练习。

祝你学习进步！。

人教版八年级数学下《正方形》拓展练习

《正方形》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（）A．5B．7C．7D．2．（5分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF；⑤EF的最小值为2；⑥AP⊥EF．其中正确结论的序号为（）A．①②④⑤⑥B．①②④⑤C．②④⑤D．②④⑤⑥3．（5分）如图，在矩形ABCD内有一点F，FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，点E为矩形ABCD外一点，连接BE，CE．现添加下列条件：①EB∥CF，CE∥BF；②BE＝CE，BE＝BF；③BE∥CF，CE⊥BE；④BE＝CE，CE∥BF，其中能判定四边形BECF是正方形的共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（5分）如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BED的度数是（）A．105°B．120°C．135°D．150°5．（5分）如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在线段DE上，若AB＝AF，则∠BFE＝（）A．45°B．30°C．60°D．55°二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠CAB的平分线交BD于点E，交BC于点F．若OE＝2，则CF＝．7．（5分）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上下列结论：①BE＝DF；②∠AEB＝75°；③CE＝2；④S＝2+．其中正确答案的序号是（把你认为正确的都填上）．正方形ABCD8．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ＝AE，则AP 等于．9．（5分）如图，正方形ABCD 的边长为3cm ，E 为CD 边上一点，∠DAE ＝30°，M 为AE 的中点，过点M 作直线分别与AD 、BC 相交于点P 、Q ．若PQ ＝AE ，则AP 等于 cm ．10．（5分）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝45°，AD 是BC 边上的高，若BD ＝3，CD ＝1，则AD 的长为．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的两条直线分别交边AB 、CD 、AD 、BC 于点E 、F 、G 、H ．【感知】如图①，若四边形ABCD 是正方形，且AG ＝BE ＝CH ＝DF ，则S四边形AEOG ＝ S 正方形ABCD ；【拓展】如图②，若四边形ABCD 是矩形，且S 四边形AEOG ＝S 矩形ABCD ，设AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝m ，求AG 的长（用含a 、b 、m 的代数式表示）；【探究】如图③，若四边形ABCD 是平行四边形，且AB ＝3，AD ＝5，BE ＝1，试确定F 、G 、H 的位置，使直线EF 、GH 把四边形ABCD 的面积四等分．12．（10分）如图，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC 交DC于点E，延长BC到点F，使CF＝CE，连接DF，交BE的延长线于点G．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求CF的长．13．（10分）（1）如图①，分别以△ABC的边AB、AC为一边向形外作正方形ABDE和正方形ACGF．求证S△AEF＝S△ABC．（2）如图②，分别以△ABC的边AB、AC、BC为边向形外作正方形ABDE、ACGF、BCHI，可得六边形DEFGHI，若S正方形ABDE＝17，S正方形ACGF＝25，S正方形BCHI．＝16，求S六边形DEFGHI14．（10分）如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF＝EC，连接AF．（1）求∠EAF的度数；（2）如图2，连接FC交BD于M，交AD于N．求证：BD＝AF+2DM．15．（10分）在正方形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，点E、F分别是边CD、BC 上的中点，点P是一动点．记∠DEP＝∠1，∠BFP＝∠2，∠EPF＝∠α．（1）如图1，若点P运动到线段AD中点时，∠α＝，∠1+∠2＝．（2）如图2，若点P在线段AD上运动时，∠1、∠2和∠α之间有何关系？（3）当点P在直线AD上（在线段AD之外且PE与PF不重合）运动时，∠1、∠2和∠α之间又有何关系？说明理由．《正方形》拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（）A．5B．7C．7D．【分析】如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．由旋转不变性可知：AB＝CM＝4，DA＝DM．∠ADM＝90°，推出△ADM是等腰直角三角形，推出AD＝AM，推出当AM的值最大时，AD的值最大，利用三角形的三边关系求出AM的最大值即可解决问题；【解答】解：如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．由旋转不变性可知：AB＝CM＝4，DA＝DM．∠ADM＝90°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AD＝AM，∴当AM的值最大时，AD的值最大，∵AM≤AC+CM，∴AM≤7，∴AM的最大值为7，∴AD的最大值为，故选：D．【点评】本题考查正方形的性质，动点问题，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．2．（5分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF；⑤EF的最小值为2；⑥AP⊥EF．其中正确结论的序号为（）A．①②④⑤⑥B．①②④⑤C．②④⑤D．②④⑤⑥【分析】①根据正方形的对角线平分对角的性质，得△PDF是等腰直角三角形，在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，求得DP＝EC．②先证明四边形PECF为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC，则四边形PECF的周长为8；③根据P的任意性可以判断△APD不一定是等腰三角形；④由②，PECF为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明AP＝EF；⑤当AP最小时，EF最小，EF的最小值等于2；⑥证明∠PFH+∠HPF＝90°，则AP⊥EF．【解答】解：①如图，延长FP交AB与G，连PC，延长AP交EF与H，∵GF∥BC，∴∠DPF＝∠DBC，∵四边形ABCD是正方形∴∠DBC＝45°∴∠DPF＝∠DBC＝45°，∴∠PDF＝∠DPF＝45°，∴PF＝EC＝DF，∴在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，∴DP＝EC．故①正确；②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，∴四边形PECF为矩形，∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8，故②正确；③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45度，∴当∠P AD＝45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，除此之外，△APD不是等腰三角形，故③错误．④∵四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，∠PFE＝∠ECP，由正方形为轴对称图形，∴AP＝PC，∠BAP＝∠ECP，∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，故④正确；⑤由EF＝PC＝AP，∴当AP最小时，EF最小，则当AP⊥BD时，即AP＝BD＝＝2时，EF的最小值等于2，故⑤正确；⑥∵GF∥BC，∴∠AGP＝90°，∴∠BAP+∠APG＝90°，∵∠APG＝∠HPF，∴∠PFH+∠HPF＝90°，∴AP⊥EF，故⑥正确；本题正确的有：①②④⑤⑥；故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．3．（5分）如图，在矩形ABCD内有一点F，FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，点E为矩形ABCD外一点，连接BE，CE．现添加下列条件：①EB∥CF，CE∥BF；②BE＝CE，BE＝BF；③BE∥CF，CE⊥BE；④BE＝CE，CE∥BF，其中能判定四边形BECF是正方形的共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】求出∠F＝90°，FB＝FC，再根据正方形的判定方法逐个判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DCB＝∠ABC＝90°，∵FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，∴∠FCB＝DCB＝45°，∠FBC＝ABC＝45°，∴∠FCB＝∠FBC＝45°，∴CF＝BF，∠F＝180°﹣45°﹣45°＝90°，①∵EB∥CF，CE∥BF，∴四边形BFCE是平行四边形，∵CF＝BF，∠F＝90°，∴四边形BFCE是正方形，故①正确；∵BE＝CE，BF＝BE，CF＝BF，∴BF＝CF＝CE＝BE，∴四边形BFCE是菱形，∵∠F＝90°，∴四边形BFCE是正方形，故②正确；∵BE∥CF，CE⊥BE，∴CF⊥CE，∴∠FCE＝∠E＝∠F＝90°，∴四边形BFCE是矩形，∵BF＝CF，∴四边形BFCE是正方形，故③正确；∵CE∥BF，∠FBC＝∠FCB＝45°，∴∠ECB＝∠FBC＝45°，∠EBC＝∠FCB＝45°，∵∠F＝90°，∴∠FCE＝∠FBE＝∠F＝90°，∵BF＝CF，∴四边形BFCE是正方形，故④正确；即正确的个数是4个，故选：D．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识点，能灵活运用判定定理进行推理是解此题的关键．4．（5分）如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BED 的度数是（）A．105°B．120°C．135°D．150°【分析】先设∠BAE＝x°，根据正方形性质推出AB＝AE＝AD，∠BAD＝90°，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数．【解答】解：设∠BAE＝x°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∵AE＝AB，∴AB＝AE＝AD，∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣∠BAE）＝90°﹣x°，∴∠DAE＝90°﹣x°∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝[180°﹣（90°﹣x°）]＝45°+ x°，∴∠BED＝90°﹣x°+45°+x°＝135°．故选：C．【点评】本题考查了三角形的内角和定理的运用，等腰三角形的性质的运用，正方形性质的应用，解此题的关键是如何把已知角的未知角结合起来，题目比较典型，但是难度较大．5．（5分）如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在线段DE上，若AB＝AF，则∠BFE＝（）A．45°B．30°C．60°D．55°【分析】由正方形的性质再结合已知条件可证明△ABF和△ADF是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质、四边形内角和为360°和三角形内角和定理即可求出∠BFD＝135°，进而可求出∠BFE的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵AB＝AF，∴AF＝AD，∴△ABF和△ADF都是等腰三角形，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠BAD+∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，∴2∠2+2∠3＝270°，∴∠2+∠3＝135°，∴∠BFE＝180°﹣135°＝45°，故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判断和性质、四边形内角和定理以及三角形内角和定理的运用，利用整体思想求出∠BFD的度数是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠CAB的平分线交BD于点E，交BC于点F．若OE＝2，则CF＝4．【分析】取AF的中点G，连接OG，根据三角形的中位线得出OG＝FC，OG ∥FC，根据正方形的性质求出∠OAB、∠ABO、∠OCB的度数，求出∠OEA 和∠OGF的度数，推出OG＝OE即可解决问题．【解答】证明：取AF的中点G，连接OG，∵O、G分别是AC、AF的中点，∴OG＝FC，OG∥FC（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半），∵正方形ABCD，∴∠OAB＝∠ABO＝∠OCB＝45°，∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠OAF＝22.5°，∴∠GEO＝90°﹣22.5°＝67.5°，∵GO∥FC，∴∠AOG＝∠OCB＝45°，∴∠OGE＝67.5°，∴∠GEO＝∠OGE，∴GO＝OE，∴CF＝2OE＝4．故答案为4．【点评】本题主要考查对正方形的性质，三角形的内角和定理，三角形的中位线，等腰三角形的判定，平行线的性质，三角形的角平分线等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．7．（5分）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F 分别在BC和CD上下列结论：①BE＝DF；②∠AEB＝75°；③CE＝2；④S ＝2+．其中正确答案的序号是①②④（把你认为正确的都填正方形ABCD上）．【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；由△CEF为等腰直角三角形可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∴①说法正确；∵CE＝CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF＝45°，∵∠AEF＝60°，∴∠AEB＝75°，∴②说法正确；如图，∵△CEF为等腰直角三角形，EF＝2，∴CE＝．∴③说法错误；∵EF＝2，∴CE＝CF＝，设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，AD2+DF2＝AF2，即a2+（a﹣）2＝4，解得a＝，则a2＝2+，S正方形ABCD＝2+，④说法正确，故答案为：①②④．【点评】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．8．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ＝AE，则AP等于cm或cm．【分析】根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，由ABCD为正方形，得到AD＝DC＝PN，在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE＝NQ，∠DAE＝∠NPQ＝30°，再由PN与DC平行，得到∠PF A＝∠DEA＝60°，进而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根据AM的长，利用锐角三角函数定义求出AP的长，再利用对称性确定出AP′的长即可．【解答】解：根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝DC＝PN，在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，AD＝3cm，∴tan30°＝，即DE＝cm，∴AE＝cm，∵M为AE的中点，∴AM＝AE＝cm，在Rt△ADE和Rt△PNQ中，，∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），∴DE＝NQ，∠DAE＝∠NPQ＝30°，∵PN∥DC，∴∠PF A＝∠DEA＝60°，∴∠PMF＝90°，即PM⊥AF，在Rt△AMP中，∠MAP＝30°，cos30°＝，∴AP＝＝＝cm；由对称性得到AP′＝DP＝AD﹣AP＝3﹣＝cm，综上，AP等于cm或cm．故答案为：cm或cm．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．9．（5分）如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ＝AE，则AP等于2或1cm．【分析】根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，由ABCD为正方形，得到AD＝DC＝PN，在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE＝NQ，∠DAE＝∠NPQ＝30°，再由PN与DC平行，得到∠PF A＝∠DEA＝60°，进而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根据AM的长，利用锐角三角函数定义求出AP的长，再利用对称性确定出AP′的长即可．【解答】解：根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝DC＝PN，在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，AD＝3cm，∴tan30°＝，即DE＝cm，根据勾股定理得：AE＝2cm，∵M为AE的中点，∴AM＝AE＝cm，在Rt△ADE和Rt△PNQ中，，∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），∴DE＝NQ，∠DAE＝∠NPQ＝30°，∵PN∥DC，∴∠PF A＝∠DEA＝60°，∴∠PMF＝90°，即PM⊥AF，在Rt△AMP中，∠MAP＝30°，cos30°＝，∴AP＝＝＝2cm；由对称性得到AP′＝DP＝AD﹣AP＝3﹣2＝1cm，综上，AP等于1cm或2cm．故答案为：1或2．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．10．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，若BD＝3，CD＝1，则AD的长为+2．【分析】作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC．利用圆周角定理推知△BOC是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得DE＝OF＝1；在等腰Rt△BOE中，利用勾股定理得到OE ＝DF＝2；则在Rt△AOF中，易得AF＝，进而得到AD的长．【解答】解：如图，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF ⊥AD于点F，连接OA、OB、OC．∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°．在Rt△BOC中，BC＝3+1＝4，∴BO＝CO＝2．∵OE⊥BC，O为圆心，∴BE＝BC＝2，∴DE＝OF＝1．在Rt△BOE中，BO＝2，BE＝2，∴OE＝DF＝2．在Rt△AOF中，AO＝2，OF＝1，∴AF＝，∴AD＝+2．故答案为：+2．【点评】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识的综合运用，解题时注意辅助线的作法，构造直角三角形和矩形是解决问题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的两条直线分别交边AB 、CD 、AD 、BC 于点E 、F 、G 、H ．【感知】如图①，若四边形ABCD 是正方形，且AG ＝BE ＝CH ＝DF ，则S四边形AEOG ＝ S 正方形ABCD ；【拓展】如图②，若四边形ABCD 是矩形，且S 四边形AEOG ＝S 矩形ABCD ，设AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝m ，求AG 的长（用含a 、b 、m 的代数式表示）；【探究】如图③，若四边形ABCD 是平行四边形，且AB ＝3，AD ＝5，BE ＝1，试确定F 、G 、H 的位置，使直线EF 、GH 把四边形ABCD 的面积四等分．【分析】【感知】如图①，根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论；【拓展】如图②，过O 作ON ⊥AD 于N ，OM ⊥AB 于M ，根据图形的面积得到mb ＝AG •a ，于是得到结论；【探究】如图③，过O 作KL ⊥AB ，PQ ⊥AD ，则KL ＝2OK ，PQ ＝2OQ ，根据平行四边形的面积公式得到＝，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．【解答】解：【感知】如图①，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠OAG ＝∠OBE ＝45°，OA ＝OB ，在△AOG 与△BOE 中，，∴△AOG ≌△BOE ，∴S 四边形AEOG ＝S △AOB ＝S 正方形ABCD ；故答案为：；【拓展】如图②，过O 作ON ⊥AD 于N ，OM ⊥AB 于M ，∵S △AOB ＝S 矩形ABCD ，S 四边形AEOG ＝S 矩形ABCD ，∴S △AOB ＝S 四边形AEOG ，∵S △AOB ＝S △BOE +S △AOE ，S 四边形AEOG ＝S △AOG +S △AOE ，∴S △BOE ＝S △AOG ，∵S △BOE ＝BE •OM ＝mb ＝mb ，S △AOG ＝AG •ON ＝AG •a ＝AG •a ， ∴mb ＝AG •a ，∴AG ＝；【探究】如图③，过O 作KL ⊥AB ，PQ ⊥AD ，则KL ＝2OK ，PQ ＝2OQ ，∵S 平行四边形ABCD ＝AB •KL ＝AD •PQ ，∴3×2OK ＝5×2OQ ， ∴＝，∵S △AOB ＝S 平行四边形ABCD ，S 四边形AEOG ＝S 平行四边形ABCD ，∴S △AOB ＝S 四边形AEOG ，∴S △BOE ＝S △AOG ，∵S △BOE ＝BE •OK ＝×1×OK ，S △AOG ＝AG •OQ ， ∴×1×OK ＝AG •OQ ，∴＝AG ＝，∴当AG ＝CH ＝，BE ＝DF ＝1时，直线EF 、GH 把四边形ABCD 的面积四等分．【点评】本题考查了正方形、矩形、平行四边形的性质及三角形、四边形的面积问题，认真阅读材料，理解并证明S△BOE ＝S△AOG是解决问题的关键．12．（10分）如图，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC 交DC于点E，延长BC到点F，使CF＝CE，连接DF，交BE的延长线于点G．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求CF的长．【分析】（1），利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS，即可证得△BCE≌△DCF；（2），由BE平分∠DBC，BD是正方形ABCD的对角线，及△BCE≌△DCF可得∠DEG＝∠BEC，∠BGD＝∠BCD＝90°＝∠BGF．从而得到△DBG≌△FBG，根据全等三角形的性质可得BF的长，最后由勾股定理及线段的和差，即可求得CF的长度．【解答】（1）证明：如图，∵在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS）．（2）如图，∵BE平分∠DBC，BD是正方形ABCD的对角线，∴∠EBC＝∠DBC＝22.5°，由（1）知△BCE≌△DCF，∴∠EBC＝∠FDC＝22.5°，∵∠DEG＝∠BEC∴∠BGD＝∠BCD＝90°＝∠BGF．在△DBG和△FBG中，，∴△DBG≌△FBG（SAS），∴BD＝BF，DG＝FG，∵BD＝＝，∴BF＝，∴CF＝BF﹣BC＝﹣1．【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．13．（10分）（1）如图①，分别以△ABC的边AB、AC为一边向形外作正方形ABDE和正方形ACGF．求证S△AEF＝S△ABC．（2）如图②，分别以△ABC的边AB、AC、BC为边向形外作正方形ABDE、ACGF、BCHI，可得六边形DEFGHI，若S正方形ABDE＝17，S正方形ACGF＝25，S正方形BCHI．＝16，求S六边形DEFGHI【分析】（1）作辅助线，证明△AMC≌△ANF（AAS），得CM＝FN根据三角形面积公式可得结论；（2）同理得：S△AEF ＝S△ABC＝S△BDI＝S△CHG，设BO＝x，则CO＝4﹣x，根据勾股定理列方程得：17﹣x2＝25﹣（4﹣x）2，解得：x＝1，根据面积和可得S六边形DEFGHI．【解答】证明：（1）如图①，过点C作CM⊥AB，过F作FN⊥EA与EA的延长线交于点N，∴∠CMA＝∠ANF＝90°，∵四边形ABDE和四边形ACGF是正方形，∴AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，∴∠CAM+∠CAN＝∠F AN+∠CAN＝90°，∴∠CAM＝∠F AN，在△AMC和△ANF中，∵，∴△AMC≌△ANF（AAS），∴CM＝FN，∴AE•FN＝，∴S△AEF ＝S△ABC．（2）由上题结论得：S△AEF ＝S△ABC＝S△BDI＝S△CHG，由题意得：AB＝，AC＝5，BC＝4，过点O作AO⊥BC，设BO＝x，则CO＝4﹣x，在Rt△ABO和Rt△ACO中，AO2＝AB2﹣BO2＝AC2﹣CO2，即17﹣x2＝25﹣（4﹣x）2，解得：x＝1，∴AO＝4，S六边形DEFGHI＝S正方形ABDE+S正方形BCHI+S正方形ACGF+S△AEF+S△BDI+S△CHG+S△ABC，＝17+25+16+4××4×4，＝90．【点评】本题考查正方形的性质，三角形和多边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，恰当作辅助线，学会利用面积和求六边形面积，属于中考常考题型．14．（10分）如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF＝EC，连接AF．（1）求∠EAF的度数；（2）如图2，连接FC交BD于M，交AD于N．求证：BD＝AF+2DM．【分析】（1）过点F作FM⊥AB并交AB的延长线于点M，只要证明△EBC≌△FME（AAS）即可解决问题；（2）过点F作FG∥AB交BD于点G．首先证明四边形ABGF为平行四边形，再证明△FGM≌△DMC（AAS）即可解决问题；【解答】（1）解：过点F作FM⊥AB并交AB的延长线于点M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠M＝∠CEF＝90°，∴∠MEF+∠CEB＝90°，∠CEB+∠BCE＝90°，∴∠MEF＝∠ECB，∵EC＝EF，∴△EBC≌△FME（AAS）∴FM＝BE∴EM＝BC∵BC＝AB，∴EM＝AB，∴EM﹣AE＝AB﹣AE∴AM＝BE，∴FM＝AM，∵FM⊥AB，∴∠MAF＝45°，∴∠EAF＝135°．（2）证明：过点F作FG∥AB交BD于点G．由（1）可知∠EAF＝135°，∵∠ABD＝45°∴∠EAF＝135°+∠ABD＝180°，∴AF∥BG，∵FG∥AB，∴四边形ABGF为平行四边形，AF＝BG，FG＝AB，∵AB＝CD，∴FG＝CD，∵AB∥CD，∴FG∥CD，∴∠FGM＝∠CDM，∵∠FMG＝∠CMD∴△FGM≌△DMC（AAS），∴GM＝DM，∴DG＝2DM，∴BD＝BG+DG＝AF+2DM．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．15．（10分）在正方形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，点E、F分别是边CD、BC 上的中点，点P是一动点．记∠DEP＝∠1，∠BFP＝∠2，∠EPF＝∠α．（1）如图1，若点P运动到线段AD中点时，∠α＝45°，∠1+∠2＝90°．（2）如图2，若点P在线段AD上运动时，∠1、∠2和∠α之间有何关系？（3）当点P在直线AD上（在线段AD之外且PE与PF不重合）运动时，∠1、∠2和∠α之间又有何关系？说明理由．【分析】（1）只要证明△PDE是等腰直角三角形，四边形CDPF是矩形即可解决问题；（2）连接PC．利用三角形的外角的性质即可解决问题；（3）分三种情形分别求解即可；【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝90°，AD＝BC＝DC，AD∥BC，∵P A＝PD，DE＝EC，BF＝FC，∴PD＝DE，∴∠1＝45°，∵PD＝FC，PD∥FC，∴四边形CDPF是平行四边形，∵∠D＝90°，∴四边形CDPF是矩形，∴PF∥CD，∠PFC＝90°，∴∠α＝∠1＝45°，∠2＝90°，故答案为45°，90°．（2）如图2中，连接PC．∵∠1＝∠EPC+∠ECP，∠2＝∠FPC+∠FCP，∴∠1+∠2＝∠EPC+∠FPC+∠ECP+∠FCP＝∠α+90°．（3）如图：①当点P在线段DA的延长线上时，由（2）可知：∠1+∠2＝∠α+90°．②当点P在线段AD的延长线上且在直线EF的上方时，∵∠2＝∠α+∠PKF，∠PKF＝90°+∠KEC＝90°+∠1，∴∠2＝∠α+∠1+90°．③当点P在直线EF的下方时，设PF交CD于K．∵∠2＝90°+∠FKC＝90°+∠PKE＝90°+（∠1﹣∠α），∴∠2＝90°+∠1﹣∠α．【点评】本题考查正方形的性质、平行线的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．。

二年级数学正方形的认识练习题

二年级数学正方形的认识练习题
一、填空题
1. 如果一张纸的长和宽相等，那么这张纸是一个（正方形/长方形）。

2. 正方形有多少条边？（2/4）
3. 正方形的面积公式是：（边长 ×边长/长 ×宽）。

4. 如果一面墙需要贴 20 张边长为 10 厘米的正方形的墙纸，那么这面墙的面积是（400/200）平方厘米。

5. 一个正方形的面积是 121 平方厘米，它的边长是（11/12）厘米。

二、选择题
1. 小明画了一个既有长又有宽的图形，且四条边都相等，那么这个图形是什么形状？
- [ ] 正方形
- [ ] 长方形
- [ ] 三角形
2. 下列哪个图形不是正方形？
- [ ]
1 1
1 1
- [ ]
0 0
0 0
- [ ]
1 0 1
0 1 0
1 0 1
3. 下列哪一个图形的面积最大？
- [ ] 边长分别为 8 厘米的两个正方形
- [ ] 边长为 10 厘米的一个正方形
- [ ] 边长分别为 5 厘米和 7 厘米的矩形
三、应用题
小明的房间平面图是一个 4 米乘 4 米的正方形，他想要用相同面积的地毯铺满房间。

他有 4 块地毯，每块地毯的长和宽分别为 1 米。

他应该如何铺地毯才能不浪费地毯，铺满整个房间？请你手绘或者文字说明他应该如何铺才能把房间铺满。

答：小明应该将 4 块地毯分别放在房间的四个区域，每个区域
都需要用一块边长为2 米的正方形铺满，这样可以保证不浪费地毯，铺满整个房间。

以上是二年级数学正方形的认识练习题，希望对您有所帮助。

中考数学复习----《正方形的判定》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《正方形的判定》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.直接判定：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形。

2.利用平行四边形判定：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

（定义判定）3.利用菱形与矩形判定：①有一个角是直角的菱形是正方形。

②对角线相等的菱形是正方形。

③邻边相等的矩形是正方形。

④对角线相互垂直的矩形是正方形。

练习题1、（2022•绍兴）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形MENF；②存在无数个矩形MENF；③存在无数个菱形MENF；④存在无数个正方形MENF．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．【解答】解：连接AC，MN，且令AC，MN，BD相交于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OE＝OF，只要OM＝ON，那么四边形MENF就是平行四边形，∵点E，F是BD上的动点，∴存在无数个平行四边形MENF，故①正确；只要MN＝EF，OM＝ON，则四边形MENF是矩形，∵点E，F是BD上的动点，∴存在无数个矩形MENF，故②正确；只要MN⊥EF，OM＝ON，则四边形MENF是菱形，∵点E，F是BD上的动点，∴存在无数个菱形MENF，故③正确；只要MN＝EF，MN⊥EF，OM＝ON，则四边形MENF是正方形，而符合要求的正方形只有一个，故④错误；故选：C．2、（2022•滨州）下列命题，其中是真命题的是（）A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．对角线互相平分的四边形是菱形D．对角线互相垂直的矩形是正方形【分析】根据，平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定方法一一判断即可．【解答】解：A、对角线互相垂直的四边形是平行四边形，是假命题，本选项不符合题意；B、有一个角是直角的四边形是矩形，是假命题，本选项不符合题意；C、对角线互相平分的四边形是菱形，是假命题，本选项不符合题意；D、对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题，本选项符合题意．故选：D．3、（2022•攀枝花）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF．且点A在△BCF内部．给出以下结论：①四边形ADFE是平行四边形；②当∠BAC ＝150°时，四边形ADFE是矩形；③当AB＝AC时，四边形ADFE是菱形；④当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形ADFE是正方形．其中正确结论有（填上所有正确结论的序号）．【分析】①利用SAS证明△EFB≌△ACB，得出EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；根据两边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形ADFE是平行四边形，即可判断结论①正确；②当∠BAC＝150°时，求出∠EAD＝90°，根据有一个角是90°的平行四边形是矩形即可判断结论②正确；③先证明AE＝AD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判断结论③正确；④根据正方形的判定：既是菱形，又是矩形的四边形是正方形即可判断结论④正确．【解答】解：①∵△ABE、△CBF是等边三角形，∴BE＝AB，BF＝CB，∠EBA＝∠FBC＝60°；∴∠EBF＝∠ABC＝60°﹣∠ABF；∴△EFB≌△ACB（SAS）；∴EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；由AE＝DF，AD＝EF即可得出四边形ADFE是平行四边形，故结论①正确；②当∠BAC＝150°时，∠EAD＝360°﹣∠BAE﹣∠BAC﹣∠CAD＝360°﹣60°﹣150°﹣60°＝90°，由①知四边形AEFD是平行四边形，∴平行四边形ADFE是矩形，故结论②正确；③由①知AB＝AE，AC＝AD，四边形AEFD是平行四边形，∴当AB＝AC时，AE＝AD，∴平行四边形AEFD是菱形，故结论③正确；④综合②③的结论知：当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形AEFD既是菱形，又是矩形，∴四边形AEFD是正方形，故结论④正确．故答案为：①②③④．。

正方形的判定专项练习30题(有答案)ok

正方形的判定专项练习30题(有答案)ok1.已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，且△___是等边三角形。

1) 证明ABCD是菱形。

2) 如果∠AEB=2∠EAB，证明ABCD是正方形。

2.在△ABC中，CE、CF分别是内角和外角平分线，过点A 作CE、CF的垂线，垂足分别为E、F。

1) 证明AECF是矩形。

2) 什么条件下AECF是正方形？3.在△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，将△ADE绕点D旋转180°至△BDF。

1) 证明BCEF是平行四边形。

2) 添加什么条件可以使BFEC成为一种特殊的平行四边形？4.在矩形ABCD中，AF、BE、CE、DF分别是四个角的角平分线，E、M、F、N是其交点，证明EMFN是正方形。

5.在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，四边形BCED 为平行四边形，DE、AC相交于点F。

1) 证明F为AC中点。

2) 确定四边形ADCE的形状并说明理由。

3) 什么条件下ADCE是正方形？6.证明对角线相等的菱形是正方形。

7.在△ACD中，∠D=90°，∠D的平分线交AC于点E，EF⊥AD交AD于点F，EG⊥DC交DC于点G，证明EFDG 是正方形。

8.已知：如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上的一动点，PE⊥CM，PF⊥___，垂足分别为E、F。

Ⅰ）当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽满足什么条件？请说明理由。

Ⅱ）在（Ⅰ）中当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？为什么？9.如图，D是△___的边BC的中点，DE⊥AC，___⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE。

1）求证：△BFD≌△CED。

2）当∠A=90°时，求证：四边形AFDE是正方形。

10.如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F。

正方形专题练习(试题)

正方形组卷考点一：正方形的性质1.图中有三个正方形，若阴影部分面积为4个平方单位，则最大正方形的面积是（）平方单位．A．48B．12C．24D．36第1题第2题第3题2.如图，在边长为2的正方形ABCD中，以BC为边作等边△BCM，连接AM并延长交CD于N，则CN的长为（）A．2-32C．1-3D．1-5 2B．2-53.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A（-3，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（）A．20B．16C．34D．254.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED为（）A．45°B．15°C．10°D．125°第4题第5题第6题5.将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An 分别是正方形对角线的交点，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（）A．41cm2B．41-n cm2C．4n cm2D．n41⎪⎭⎫ ⎝⎛cm26.如图，小志同学将边长为3的正方形塑料模板ABCD 与一块足够大的直角三角板叠放在一起，其中直角三角板的直角顶点落在点A 处，两条直角边分别与CD 交于点F，与CB 延长线交于点E，则四边形AECF 的面积是．7.已知点E是正方形ABCD外的一点，连接DE，AE，CE．A．如图1，若∠DCE=45°，DC=CE=2，则AE的长为。

B．如图2，若∠DEC=45°，DE=CE=2，则AE的长为．8.一组正方形按如图所示放置，其中顶点B1在y 轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3…在x 轴上．已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则正方形A2019B2019C2019D2019的边长是．考点二：正方形的判定9.下列说法错误的是（）A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．三个角是直角的四边形是矩形D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形10.如图，在矩形ABCD内有一点F，FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，点E为矩形ABCD外一点，连接BE，CE．现添加下列条件：①EB∥CF，CE∥BF；②BE=CE，BE=BF；③BE∥CF，CE⊥BE；④BE=CE，CE∥BF，其中能判定四边形BECF是正方形的共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11.在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，AC=BD，AC、BD相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE、BF相交于点H．（1）证明：△ABD≌△BAC．（2）证明：四边形AHBG是菱形．（3）若AB=BC，证明四边形AHBG是正方形．12.如图所示，在△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于F．（1）请猜测OE与OF的大小关系，并说明你的理由；（2）点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？写出推理过程；（3）在什么条件下，四边形AECF是正方形？13.如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=42，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFC，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．14.四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB=22，CE=2，求CG的长；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．15.已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD=∠DBC．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE=OF．16.如图，正方形ABCD中，AB=4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．。

正方形练习题及答案

正方形练习题及答案一、选择题1. 正方形的四条边长度相等，其周长是边长的几倍？A. 2倍B. 3倍C. 4倍D. 5倍答案：C2. 如果正方形的边长为10厘米，那么它的面积是多少平方厘米？A. 20B. 50C. 100D. 200答案：C3. 一个正方形的对角线长度是边长的多少倍？A. 1B. √2C. 2D. √3答案：B二、填空题1. 正方形的四个角都是________角。

答案：直角2. 如果正方形的周长为32厘米，那么它的边长是________厘米。

答案：83. 一个正方形的面积为64平方厘米，它的边长是________厘米。

答案：8三、计算题1. 一个正方形的边长为x厘米，如果它的周长为20厘米，求边长x。

解：根据周长公式，4x = 20，解得x = 5厘米。

2. 已知正方形的面积为49平方厘米，求边长。

解：根据面积公式，边长^2 = 49，解得边长为7厘米。

四、应用题1. 一个正方形的花园，边长为15米。

如果花园的周围要围上一圈栅栏，需要多少米的栅栏？解：需要的栅栏长度等于正方形的周长，即4 * 15 = 60米。

2. 一个正方形的地砖，边长为30厘米。

如果要用这种地砖铺满一个面积为900平方厘米的正方形区域，需要多少块地砖？解：每块地砖的面积为30 * 30 = 900平方厘米，所以需要1块地砖。

五、综合题1. 一个正方形的水池，边长为10米。

如果水池的四个角各有一个边长为2米的正方形装饰区，求水池的实际使用面积。

解：水池的总面积为10 * 10 = 100平方米。

四个装饰区的总面积为4 * (2 * 2) = 16平方米。

实际使用面积为100 - 16 = 84平方米。

2. 一个正方形的房间，边长为6米。

如果房间的地面铺满地毯，地毯的面积至少是多少平方米？解：地毯的面积等于房间的面积，即6 * 6 = 36平方米。

结束语通过以上练习题，我们可以看到正方形的基本性质和计算方法。

掌握这些知识点，可以帮助我们解决实际生活中遇到的相关问题。

人教版五年级三角形和正方形专题练习题

人教版五年级三角形和正方形专题练习题
以下是一些关于三角形和正方形的练题，适合五年级学生进行巩固和练。

1. 三角形练题
1.1 给定图形，判断其是否为三角形，并说明理由。

![Triangle A](triangle_a.png)
1.2 用两个直尺拼出正三角形。

1.3 用方格纸上的点组成一个直角三角形。

1.4 补全下面的等边三角形。

![Triangle B](triangle_b.png)
1.5 按要求填空：
- 一个三角形有____个顶点。

- 一个三角形有____条边。

- 一个三角形有____个角。

2. 正方形练题
2.1 判断下列图形是否为正方形，并说明理由。

![Square A](square_a.png)
2.2 画一个边长为4个单位长度的正方形。

2.3 计算下列正方形的周长和面积：
- 边长为5个单位长度的正方形。

- 边长为8个单位长度的正方形。

2.4 按要求填空：
- 一个正方形有____个顶点。

- 一个正方形有____条边。

- 一个正方形有____个角。

以上是关于三角形和正方形的练题，希望对五年级的学生有所帮助。

祝你练愉快，提高数学能力！
Note: Please replace the `triangle_a.png`, `triangle_b.png`, and
`square_a.png` with the actual images you want to use for the exercise questions.。

与正方形有关的性质练习题

与正方形有关的性质练习题1. 什么是正方形？- 正方形是指具有四个相等边长和四个右角的四边形。

2. 如何确定一个图形是否为正方形？- 一个图形可以通过以下条件来确定是否为正方形：- 所有边的长度相等；- 所有角都是直角。

3. 正方形的性质有哪些？- 正方形具有以下性质：- 所有边的长度相等；- 所有角都是直角；- 对角线相等且垂直；- 对角线平分四个角；- 对角线上的中点连线是正方形的对称轴；- 正方形是一种特殊的长方形。

4. 如何计算正方形的面积和周长？- 正方形的面积可以通过边长的平方来计算，即面积 = 边长 ×边长；- 正方形的周长可以通过边长的四倍来计算，即周长 = 边长 × 4。

5. 某个正方形的边长为x cm，求其面积和周长。

- 面积 = x cm × x cm = x^2 cm^2；- 周长 = x cm × 4 = 4x cm。

6. 如果一个图形是正方形，那么它一定是长方形吗？- 是的，正方形是一种特殊的长方形，特点是所有边长相等，并且所有角都是直角。

7. 请列举一些与正方形有关的实际应用场景。

- 正方形在日常生活中有广泛的应用，例如：- 电视或计算机屏幕的形状；- 方形照片或画框；- 正方形地砖；- 游戏棋盘等。

这些练题可以帮助你巩固对正方形的性质和特点的理解。

通过解答这些问题，你可以提高对正方形相关知识的掌握程度。

以上是与正方形有关的性质练习题的文档。

希望对你有所帮助！如有其他问题，请随时提问。

有关正方形的初三综合练习题

有关正方形的初三综合练习题正方形是初中数学中的重要概念之一，下面是一些关于正方形的初三综合练习题，希望能帮助你对这个概念有更深入的理解。

1. 若一个正方形的边长为8 cm，求其周长和面积。

解答：由正方形的定义可知，它的四条边长度相等。

因此，该正方形的周长为8 cm × 4 = 32 cm。

面积的计算公式为边长的平方，所以面积为8 cm × 8 cm = 64 cm²。

2. 若一个正方形的面积为25 m²，求其边长和周长。

解答：设该正方形的边长为x m，则面积x² = 25 m²。

解这个方程可以得到x = 5 m。

因此，该正方形的边长为5 m，周长为5 m × 4 = 20 m。

3. 若一个正方形的周长为36 cm，求其边长和面积。

解答：设该正方形的边长为x cm，则周长4x = 36 cm。

解这个方程可以得到x = 9 cm。

因此，该正方形的边长为9 cm，面积为9 cm × 9cm = 81 cm²。

4. 若一个正方形的面积是一个整数，并且该正方形的边长小于10 cm，找出所有可能的边长。

解答：由于正方形的面积等于边长的平方，所以我们需要找出所有小于10的完全平方数。

这些数为1, 4, 9。

因此，可能的边长为1 cm, 2 cm 和 3 cm。

5. 从一个边长为10 cm的正方形中，剪去一个边长为4 cm 的小正方形，剩下的部分是什么形状？求其面积。

解答：剪去一个边长为4 cm的小正方形后，剩下的部分是一个L 形，由一个长方形和一个小正方形组成。

长方形的边长为10 cm - 4 cm = 6 cm，小正方形的面积为4 cm × 4 cm = 16 cm²。

所以剩下的部分的面积为长方形的面积减去小正方形的面积，即6 cm × 10 cm - 16 cm² = 60 cm² - 16 cm² = 44 cm²。

正方形的周长练习题

正方形的周长练习题正方形是一种特殊的四边形，四边长度相等且内角均为90度。

在几何学中，正方形是一种常见的形状，我们可以通过计算正方形的周长来更好地理解和运用它。

本文将为您提供一些正方形周长的练习题，帮助您提高计算周长的能力。

练习题1：已知一个正方形的边长为8厘米，请计算它的周长。

解答1：一个正方形的周长可以通过将所有边的长度相加来计算。

由于正方形的四边长度相等，所以我们只需要计算一个边的长度即可。

周长 = 边长 × 4 = 8厘米 × 4 = 32厘米因此，这个正方形的周长为32厘米。

练习题2：一个正方形的周长为36米，请计算它的边长。

解答2：一个正方形的边长可以通过将周长除以4来计算。

因为正方形的四条边长度相等，所以周长除以4即可得到边长。

边长 = 周长 ÷ 4 = 36米 ÷ 4 = 9米因此，这个正方形的边长为9米。

练习题3：已知一个正方形的周长为50厘米，请计算它的面积。

解答3：一个正方形的面积可以通过边长的平方来计算。

由于正方形的四边长度相等，所以我们只需要计算一个边的长度即可。

边长 = 周长 ÷ 4 = 50厘米 ÷ 4 = 12.5厘米面积 = 边长 ×边长 = 12.5厘米 × 12.5厘米 = 156.25平方厘米因此，这个正方形的面积为156.25平方厘米。

练习题4：一个正方形的面积为64平方米，请计算它的周长。

解答4：一个正方形的周长可以通过将边长乘以4来计算。

由于正方形的四边长度相等，所以我们只需要计算一个边的长度即可。

边长= √面积= √64平方米 = 8米周长 = 边长 × 4 = 8米 × 4 = 32米因此，这个正方形的周长为32米。

练习题5：一个正方形的周长为60厘米，求它的面积。

解答5：通过已知的周长计算边长，再利用边长计算面积。

边长 = 周长 ÷ 4 = 60厘米 ÷ 4 = 15厘米面积 = 边长 ×边长 = 15厘米 × 15厘米 = 225平方厘米因此，这个正方形的面积为225平方厘米。

数学综合算式专项练习题含有正方形的运算

数学综合算式专项练习题含有正方形的运算数学综合算式专项练习题：含有正方形的运算本文将为大家提供一系列数学综合算式专项练习题，侧重于涉及正方形的运算。

通过这些练习题的训练，我们可以进一步巩固和提高正方形相关概念的理解与运用能力。

下面是一些练习题，可以根据自己的实际情况选择适合的题目进行练习。

练习题一：已知正方形ABCD的边长为a，求正方形的周长和面积。

解答：正方形的周长等于四倍边长，即4a。

正方形的面积等于边长的平方，即a^2。

练习题二：已知正方形WXYZ的面积为16平方米，求正方形的边长。

解答：正方形的面积等于边长的平方，即a^2=16。

求平方根可得正方形的边长为4。

练习题三：已知正方形EFGH的周长为20厘米，求正方形的面积。

解答：正方形的周长等于四倍边长，即4a=20，求解得边长a=5。

正方形的面积等于边长的平方，即a^2=5^2=25平方厘米。

练习题四：已知正方形IJKL的对角线长为√32厘米，求正方形的边长。

解答：正方形的对角线等于边长乘以√2，即a√2=√32。

解方程可得边长a=4。

练习题五：已知正方形MNOP的面积为49平方米，求正方形的对角线长。

解答：正方形的面积等于边长的平方，即a^2=49。

求平方根可得边长a=7。

正方形的对角线等于边长乘以√2，即对角线长度为7√2。

练习题六：已知正方形QRST的周长为40厘米，求正方形内切圆的面积。

解答：正方形的周长等于四倍边长，即4a=40，求解得边长a=10。

正方形内切圆的半径等于正方形边长的一半，即r=a/2=10/2=5。

正方形内切圆的面积等于πr^2=π×5^2=25π平方厘米。

通过以上一系列练习题的训练，我们可以更加深入地理解和掌握正方形的运算方法。

希望读者朋友们能够通过反复练习，进一步提升数学综合算式的解题能力。

祝大家学业进步！。