[配套K12]2017-2018学年高中数学 第2章 统计 2.3 总体特征数的估计 2.3.1 平

2．3.1 平均数及其估计

[新知初探]

1．平均数的概念

一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是这组数据的平均数(或均值)，一般记为：

a ＝

a 1＋a 2＋…＋a n

n

.

[点睛]

(1)平均数反映了一组数据的集中趋势，它是一组数据的“重心”，是度量一组数据波动大小的基准．

(2)用样本平均数可估计总体平均数．

(3)用平均数可以比较两组数据的总体情况，如成绩、产量等． 2．平均数的计算

(1)定义法：已知x 1，x 2，x 3，…，x n 为某样本的n 个数据，则这n 个数据的平均数为x ＝

x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n

n

.

(2)利用平均数性质：如果x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，

mx n ＋a 的平均数是m x ＋a .

(3)加减常数法：数据x 1，x 2，…，x n 都比较大或比较小，且x 1，x 2，…，x n 在固定常数

a 附近波动，将原数据变化为x 1±a ，x 2±a ，…，x n ±a ，新数据的平均数为x ′，则所求原

数据的平均数为x ′±a .

(4)加权平均数法：样本中，数据x 1有m 1个，x 2有m 2个，…，x k 有m k 个，则x ＝

m 1x 1＋m 2x 2＋…＋m k x k

m 1＋m 2＋…＋m k

.

(5)频率法：一般地，若取值为x 1，x 2，…，x n 的频率分别为p 1，p 2，…，p n ，则其平均数x ＝p 1x 1＋p 2x 2＋…＋p n x n .

(6)组中值法：若样本为n 组连续型数据，则样本的平均数＝组中值与对应频率之积的和．

[小试身手]

1．(江苏高考)已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为________． 解析：x ＝4＋6＋5＋8＋7＋6

6＝6.

答案：6

2．若数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为2，则数据2x 1－1,2x 2－1,2x 3－1，…，2x n －1的平均数为________．

答案：3

3．数据2,2，－4，－4，－4,3,3,3,3的平均数为________． 答案：49

[典例] (1)某班45名同学的年龄(单位：岁)如下： 14 15 14 16 15 17 16 15 16 16 15 15 17 13 14 15 16 16 15 14 15 15 14 15 16 17 16 15 15 15 16 15 13 16 15 15 17 14 15 16 16 15 14 15 15， 求全班的平均年龄．

(2)从高三年级中抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率分布直方图．

试利用频率分布直方图估计高三年级学生的平均成绩． [解] (1)法一：利用平均数的公式计算．

x ＝145×(14＋15＋…＋15)＝145

×684＝15.2(岁)．

平均数的计算

法二：利用平均数的简化公式计算．

取a＝15，将已知各数减去15，得

－1 0 －1 1 0 2 1 0 1 1 0 0 2 －2 －1 0 1 1 0 －1 0 0 －1 0 1 2 1 0 0 0 1 0 －2 1 0 0 2 －1 0 1 1 0 －1 0 0

x′＝1

45×(－1＋0＋…＋0)＝

1

45

×9＝0.2(岁)．

x＝x′＋a＝0.2＋15＝15.2(岁)．法三：利用加权平均数公式计算．

x＝1

45

×(13×2＋14×7＋15×20＋16×12＋17×4)＝

1

45

×684＝15.2(岁)．

即全班的平均年龄是15.2岁．

(2)样本平均数是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均数，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积再求和即可．

故平均成绩为

45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.024×10)＋95×(0.016×10)＝76.2.

[活学活用]

1．某医院的急诊中心的记录表明以往到这个中心就诊的病人需等待的时间的分布如下：

则到这个中心就诊的病人平均需要等待的时间估计为________．

解析：x＝2.5×0.2＋7.5×0.4＋12.5×0.25＋17.5×0.1＋22.5×0.05＝9.5.

答案：9.5

2．某班进行一次考核，满分5分，3分(包括3分)以上为合格，得1分，2分，3分，4分，5分的人数占该班人数的比例分别为5%,10%,35%,40%和10%，试求该班的平均得分．

解：由于本题没有给出该班同学的人数，故无法用定义法求解．而题中给出了相应分数及所占比例，故可用频率平均数公式计算．

x ＝1×0.05＋2×0.10＋3×0.35＋4×0.40＋5×0.10＝3.4，故该班的平均分数为3.4

分.

[典例] 若x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，数据y 1，y 2，…，y n 的平均数为y ，求下列几组数据的平均数．

(1)2x 1,2x 2，…，2x n ；

(2)kx 1＋a ，kx 2＋a ，…，kx n ＋a ； (3)x 1＋y 1，x 2＋y 2，…，x n ＋y n .

[解] 据题意x ＝1

n

(x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n )，

y ＝1

n

(y 1＋y 2＋…＋y n )，

设第一组数据平均数为z ，第二组数据平均数为甲，第三组数据平均数为乙. (1)z ＝1n (2x 1＋2x 2＋…＋2x n )＝2·1

n

(x 1＋x 2＋…＋x n )＝2x ，

(2)甲＝1

n

[(kx 1＋a )＋(kx 2＋a )＋…＋(kx n ＋a )]

＝1

n

[k (x 1＋x 2＋…＋x n )＋na ]

＝k ·1

n

(x 1＋x 2＋…＋x n )＋a ＝k x ＋a .

(3)乙＝1

n

[(x 1＋y 1)＋(x 2＋y 2)＋…＋(x n ＋y n )]

＝1

n [(x 1＋x 2＋…＋x n )＋(y 1＋y 2＋…＋y n )]

＝1n

(x 1＋x 2＋…＋x n )＋1

n

(y 1＋y 2＋…＋y n )

＝x ＋y .

平均数的性质