浅析分块矩阵的应用开题报告

毕业论文开题报告信息与计算科学浅析分块矩阵的应用一、选题的背景、意义1、选题的背景矩阵（Matrix）本意是子宫、控制中心的母体、孕育生命的地方。

在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。

这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。

矩阵概念在生产实践中也有许多应用，比如矩阵图法以及保护个人帐号的矩阵卡系统（有深圳网域提出）等等。

“矩阵”的本意也常被应用，比如监控系统中负责对前端视频源与控制线切换控制的模拟设备也叫矩阵。

[4]矩阵理论是经典数学的基础，也是实用性最强的数学分支之一，是处理大量有限维空间形式与数学关系的强有力的工具.矩阵理论在系统科学、优化方法、控制论、图论、稳定性理论等众多领域中都有广泛的应用.计算机的普及进一步促进了矩阵理论的发展.为了便于分析和计算，根据矩阵的特点和实际运算的需要，用若干条位于行与行之间的横线及若干条位于列与列之间的纵线将矩阵分成若干小矩阵，以子块为元素形式的矩阵称为分块矩阵。

对于分块矩阵可以定义类似于普通矩阵的运算。

这些运算会使许多问题化繁为简。

[2]2、选题的意义矩阵理论是经典数学的基础，也是实用性最强的数学分支之一，是处理大量有限维空间形式与数学关系的强有力的工具.矩阵理论在系统科学、优化方法、控制论、图论、稳定性理论等众多领域中都有广泛的应用.计算机的普及进一步促进了矩阵理论的发展.为了便于分析和计算，根据矩阵的特点和实际运算的需要，用若干条位于行与行之间的横线及若干条位于列与列之间的纵线将矩阵分成若干小矩阵，以子块为元素形式的矩阵称为分块矩阵。

对于分块矩阵可以定义类似于普通矩阵的运算。

这些运算会使许多问题化繁为简。

[2]分块矩阵是一个矩阵，它是把矩阵分别按照横竖分割成一些小的子矩阵。

然后把每个小矩阵看成一个元素。

由矩阵A 的若干行、若干列的交叉位置元素按原来顺序排成的矩阵称为A 的一个子矩阵。

把一个矩阵A 的行分成若干组，列也分成若干组，从而A 被分成若干个子矩阵，把A 看成是由这些子矩阵组成的，这称为矩阵的分块，这种由子矩阵组成的矩阵称为分块矩阵。

[4]二、研究的基本内容与拟解决的主要问题2.1分块矩阵概念介绍 2.1.1 分块矩阵概况把一个大型矩阵分成若干小块，构成一个分块矩阵，这是矩阵运算中的一个重要技巧，它可以把大型矩阵的运算化为若干小型矩阵的运算，使运算更为简明。

首先通过例子说明矩阵分块的基本思想。

对于一个m n ⨯矩阵A ，在A 的行之间加入1s -条横线(1)s m ≤≤，在A 的列之间加入1t -条竖线(1)t n ≤≤，则A 被分成s t ⨯个小矩阵，一次记为：(1,2,,;1,2,,)ij A i s j t ==L L 。

此时A 可写成111212122212t n s s st A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦LL M M M L 。

把A 视作以ij A 为元素的形式上的s t ⨯矩阵，称之为分块矩阵，或称为对A 的分块，每个小块ij A 称为A 的子块。

[12]2.2矩阵产生的历史背景詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特（J.J.Sylvester ，1814-1897）出生于英国伦敦的一个犹太人家庭。

西尔维斯特一生致力于纯数学的研究，他在不同领域里孕育了丰富的矩阵思想。

他引进了有关矩阵的许多数学名词，给出了举着你的一些重要概念与结论。

1850年，西尔维斯特在研究方程的个数与未知量的个数不相同的线性方程组时，由于无法使用行列式，所以引入了“矩阵”（Martix ）一词来表示“一项由m 行n 列元素组成的矩形阵列”，这是矩阵一词最早使用。

1858年，凯莱发表了重要文章《矩阵论的研究报告》（A Memoir on the Theory of Matrices ），系统的阐述了矩阵的基本理论。

在该文中，他用单个的字母表示矩阵，定义了零矩阵、单位矩阵等特殊矩阵，定义了两个矩阵相等、相加以及数乘矩阵，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性，数与矩阵的数乘等运算和算律。

在该文中，凯莱冲两个变换的复合给出两个矩阵乘积的定义，得出矩阵乘法满足结合律一般不满足交换率，推广了矩阵乘积的转置的一般性质。

凯莱的《矩阵论的研究报告》的公开发表标志着矩阵理论作为一个独立数学分支的诞生。

作为矩阵理论的创立者，凯莱的矩阵理论的创立与发展中做出了开创性的工作，他是第一个把矩阵作为独立的概念提出来，并作为独立的理论加以研究的数学家。

从矩阵概念的引入、相关概念的定义、运算的定性与求法到矩阵一些重要结论的建立，凯莱关于这个课题发表了一系列研究成果，使得矩阵从零散的知识发展为系统完善的理论体系。

凯莱创立矩阵理论之后，数学家们并没有停止对矩阵的研究，在19世纪下半叶，许多数学家在不痛的数学领域进一步研究和发展着矩阵理论。

1884年，西尔维斯特提出了对角矩阵（Diagonal matrix）和数量矩阵（Scalar matrix）的概念，并且由矩阵加法定义和乘法定义得出对角矩阵和数量矩阵的加法与乘法运算规则。

在矩阵论的发展史上，弗洛玻纽斯的贡献是不可磨灭的。

他在矩阵的特征方程、特征根、矩阵的秩、正交矩阵、矩阵方程等方面做了大量的工作。

1878年，弗洛玻纽斯引进了西尔维斯特λ矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子等概念，给出了正交矩阵、相似矩阵、合同矩阵等概念，指出了各种不痛类型的矩阵的关系，讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要的性质。

20世纪初，矩阵理论得到了进一步的发展，现在矩阵已由最初作为一种工具而发展成为一门独立的数学分支——矩阵论。

而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。

矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域，在物理学控制论、机器人理论、生物学、经济学等学科有大量的应用。

2.3 分块矩阵发展现状及其基本功能矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。

“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。

而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。

从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。

矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。

而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。

矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域。

分块矩阵可用于简化运算，简化数学证明，以及一些电脑应用如VLSI 芯片设计等。

[4]2.4分块矩阵的运算规则 1．分块矩阵的加法设矩阵A 与B 的行数相同，列数相同（即为同型矩阵），采用相同的分块发有111212122212r r s s sr A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦LL M M M L，111212122212r r s s sr B B B B B B B B B B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦LL M M M L 其中ij A 与ij B 是同型矩阵。

那么111112121121212222221122r r r r s s s s sr sr A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B +++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦LL M MM L。

2．分块矩阵的数量乘法设分块矩阵ij s tA A ⨯⎡⎤=⎣⎦，k 是常数，则ij s tkA kA ⨯⎡⎤=⎣⎦。

这里ij kA 是数k 与ij A 的数量乘法。

由分块矩阵的加法与分块矩阵的数乘可得出分块矩阵的减法如下。

若分块矩阵ij s tA A ⨯⎡⎤=⎣⎦与分块矩阵ij s tB B ⨯⎡⎤=⎣⎦中对应的子块ij A 与ij B 都是同型矩阵，则有ij ij s tA B A B ⨯⎡⎤-=-⎣⎦，这里ij ij A B -就是矩阵ij A 与ij B 的减法运算。

3．分块矩阵的乘法设A 是m n ⨯矩阵，B 是n p ⨯矩阵。

如果A 分块为r s ⨯分块矩阵ij r sA ⨯⎡⎤⎣⎦，B 分块为s t⨯分块矩阵ij s tB ⨯⎡⎤⎣⎦，且A 的列的分块法和B 的行的分快法完全相同，则1211121111211212222122211212()()()()()()s t s t ij s r t s s st r r rs s j j j B B B A A A j AB B B B C AA A jB B B A A A j ⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦L L Lg L L M M M M M M M LL列列列行行行这里，1122ij i j i j is sj C A B A B A B =+++L ，il lj A B 是矩阵il A 与lj B 的积。

4．分块矩阵的转置 将A 任意分块为111212122212t t s s st A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M M L， 则111211222212T T T s T T T T s T T T tt st A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M M L ， 其中，Tij A 是矩阵ij A 的转置。

5.可逆分块矩阵的逆矩阵利用矩阵分块，可给出某些矩阵的逆矩阵的求解方法。

例如，准对角矩阵12m A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦O的行列式为1m A A A =L 。

因此，准对角矩阵A 可逆等价于0(1,2,)i A i m ≠=L 。

若A 可逆，根据准对角矩阵的乘法，容易求得它的逆矩阵为111121m A A A A ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O。

[3]三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标1．研究内容了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算。

主要通过求逆矩阵和方阵行列式的计算问题，以及矩阵的秩和一些相关矩阵方面的证明问题，深入探讨分块矩阵的诸多应用。

2．研究方法及技术路线通过阅读有关分块矩阵方面的论著及文献，了解分块矩阵研究的现状.采取了从大量阅读已有的数据资料——然后对这些内容进行总结——最后运用相关知识进行分析.3.研究难点（1）利用分块矩阵求解难题方法难深入；（2）由于论题比较广泛，很难有独创或新颖之处；（3）分块矩阵应用领域太广，很难研究到多方面.4.预期达到的目标矩阵是线性代数的重要研究对象，也是高等数学的很多分支研究问题的工具，而分块矩阵则是矩阵的一种推广。