4.4.4黄金分割
北师大版 九年级数学上册 第四章 4.4.4黄金分割 教学课件
当堂小练
1.下列说法正确的是( B )
A.每条线段有且仅有一个黄金分割点
B.黄金分割点分一条线段为两条线段,其中较长的线段约是这条线段的0.618
C.若点C把线段AB黄金分割,则AC2=AB·BC
D.以上说法都不对
2.如图,点C是线段AB的黄金分割点,则下列各式正确的是( B)
A.ACBC=ABAC
AB AC
称线段AB被点C黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的
比叫做黄金比.
(2)应用黄金分割比时，如果精确计算就要使用
如果要求精确
到小数点后某位，那么注意在结果的最后再代入估计值0.618，这样
能够最大限度地保证结果的精确度．
课堂小结
点C在线段AB上
黄
金
分
割
线段AB被点C黄金分割
新课讲解
练一练
已知点C把线段AB分成两条线段AC，BC，下列说法
错误的是( C )
A．如果 AC BC ，那么线段AB被点C黄金分割
AB AC
B．如果AC2＝AB·BC，那么线段AB被点C 黄金分割 C．如果线段AB被点C黄金分割，那么AC与AB的比
叫做黄金比 D．0.618是黄金比的近似值
新课讲解
解:设该雕像下半部分设计的高度为x m,那么雕 像上半部分的高度为(2-x)m.依题意,得2xx=x2. 解得x1=-1+5≈1.236,x2=-1-5(不合意题,舍去 ).
拓展与延伸
2.在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上，肚脐是 理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感.张女
例
美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接
近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士的身高为
4.4.4探索三角形相似的条件-黄金分割(教案)
1.注重基础知识的教学，为学生顺利掌握新知识打下基础。
2.结合生活实际，让学生感受数学知识的实用性，提高他们的学习兴趣。
3.加强课堂讨论，鼓励学生积极参与，提高合作交流能力。
4.针对不同学生的特点，因材施教，关注每一个学生的成长。
1.培养学生的几何直观与空间观念：通过探索黄金分割在三角形相似中的应用，使学生能够直观地把握图形特征，发展空间想象力，提高解决实际问题的能力。
2.培养学生的逻辑思维与推理能力：引导学生通过观察、分析、归纳等思维活动，发现并掌握三角形相似的黄金分割条件，提升逻辑推理和论证能力。
3.培养学生的数学抽象与建模能力：使学生能够从具体实例中抽象出黄金分割的数学模型，并运用这一模型解决相关问题，提高数学抽象和建模素养。
-黄金分割在等腰三角形相似中的应用：强调在等腰三角形中，底边上的黄金分割点可以将底边分为两部分，使得这个三角形与原三角形的相似比约为1：0.618。
举例：在等腰三角形ABC中，若D为底边BC上的黄金分割点，则AD与AB、AC的比例关系满足黄金分割比。
2.教学难点
-理解黄金分割的概念：对于八年级学生来说，黄金分割比的概念较为抽象，如何将这个概念具体化、形象化是教学的难点。
2.黄金分割在三角形相似中的应用：通过实际操作和观察，让学生发现并掌握在等腰三角形中，底边上的黄金分割点可以将底边分为两部分，使得这个三角形与原三角形的相似比约为1：0.618。
本节课将引导学生通过实际操作、观察、思考和讨论，探索黄金分割在三角形相似中的应用，提高学生的观察能力和逻辑思维能力。
二、核心素养目标
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解黄金分割的基本概念。黄金分割比是指将一条线段分为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，约为1：0.618。它在几何图形、艺术设计和日常生活中有着广泛的应用。
4.4 第4课时 黄金分割1 教案
第4课时 黄金分割1.知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比；2.能对黄金分割进展简单运用.〔重点、难点〕一、情景导入生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.那么这些漂亮的图形你能画出来吗？比方，以下图是一个五角星图案，如何找点C 把AB 分成两段AC 和BC ，使得画出的图形匀称美观呢？二、合作探究探究点一：黄金分割的有关概念M 是线段AB 的黄金分割点，MA 是被分线段AB 中较长的线段，且MA ＝5－1，求原线段AB的长.解析：由于M 是黄金分割点，根据黄金比＝较长线段原线段＝5－12，可求出原线段长.解：因为M 是线段AB 的黄金分割点，且MA >MB ， 所以MAAB ＝5－12，所以AB ＝25－1·MA ＝25－1×〔5－1〕＝2. 方法总结：把一条线段黄金分割后，原线段、较长线段、较短线段之间有固定的比值关系，只要知道其中一条线段的长度，就可以求出另外两条线段的长度.线段AB ＝6，点C 为线段AB 的黄金分割点，求以下各式的值： 〔1〕AC －BC ；〔2〕AC ·BC .解析：黄金分割点是线段上一个点，这个点把线段分成一长一短两局部，由题意可知较长的线段是原线段的5－12，并且在一条线段上有两个黄金分割点. 解：假设AC ＞BC ，如图，那么AC ＝5－12AB ＝5－12×6＝35－3，所以BC ＝AB －AC ＝6－〔35－3〕＝9－3 5.〔1〕AC －BC ＝35－3－〔9－35〕＝35－3－9＋35＝65－12； 〔2〕AC ·BC ＝〔35－3〕×〔9－35〕＝275－45－27＋95＝365－72. 假设AC ＜BC ，如图.〔1〕AC －BC ＝12－65； 〔2〕AC ·BC ＝365－72.易错提醒：注意一条线段有两个黄金分割点，因此题中未指出黄金分割点离哪个端点较近时，要分情况讨论.探究点二：黄金分割的应用在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？解析：想要看起来更美，那么鞋底到肚脐的长度与身高之比应为黄金比，此题应根据条件求出肚脐到脚底的距离，再求高跟鞋的高度.解：设肚脐到脚底的距离为x m ，根据题意，得x1.60＝0.60，解得x ＝0.96.设穿上y m 高的高跟鞋看起来会更美，那么y1.60＋y .解得y ≈0.075，而＝.故她应该穿约为高的高跟鞋看起来会更美.易错提醒：要准确理解黄金分割的概念，较长线段的长是全段长的0.618.注意此题中全段长是身高与高跟鞋鞋高之和.三、板书设计黄金分割⎩⎪⎨⎪⎧定义：一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC和BC ，如果AC AB ＝BC AC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割黄金分割点：一条线段有两个黄金分割点黄金比：较长线段：原线段＝5－12：1经历黄金分割的引入以及黄金分割点的探究过程，通过问题情境的创设和解决过程，体会黄金分割的文化价值，在应用中进一步理解相关内容，在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识和自信心.感受数学与生活的严密联系，体会数学的思维方式，增进数学学习的兴趣.。
新北师大版4.4.4黄金分割良心课件
幸运闯关
M P N
如图,点P是线段MN的黄金分割点(MP＞NP), PN MP MN MP ______, _____. (1)可得比例式 MN MP NP MP (2)若MN=1,则MP≈_____,NP≈_____. 0.618 0.382
(3)若MN=5,则MP≈______,NP≈______. 3.09 1.91 (4)若MN=a,则MP≈______,NP≈______. 0.618a 0.382a
x 1 1 x x2 ,
解方程得
x
1
=
5 1 2
x x 1 0.
2
x
2
1 5 = 2
(舍去负值）
点 C 是线段 AB 黄金分割点，且 AC>CB，
AC 5 1 求得黄金分割比为 0.618. AB 2
5 1 3 5 当 AB＝1 时，AC＝ ≈0.618，BC＝ ≈0.382。 2 2
微笑》给了数以亿万计的 人们美的艺术享受，备受 推崇。意大利画家达芬奇 在创作中大量运用了黄金 矩形来构图。整个画面使 人觉得和谐自然，优雅安 宁。
找一找：画中有几个黄金矩形？
叶子中的黄金分割
图中主叶脉与 叶柄和主叶脉 的长度之和比 约为0.618
美丽的蝴蝶
0.618随 处可见!
六
Байду номын сангаас留住美
谈谈你对黄金分割的收获与体会。
三
创造美
E
D
∟
如图,已知线段AB,DB⊥AB A C B 于B,在DA上截取DE=DB,在AB上截取AC=AE,
5 1 (1)若AB=2,BD=1,则AD=____,AC=______, 5 5 1 AC 黄金分割点. 则C是线段AB的________ 2 AB
九上数学黄金分割
4.4 第4课时 黄金分割黄金分割：点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ，如果AC BCAB AC =，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割.点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点， AC 与 AB 的比称为黄金比.例1 已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则下列等式中成立的是（ ）A.AB 2=AC ·CBB.CB 2=AC ·ABC.AC 2=BC ·ABD.AC 2=2BC ·AB例2 如图，点C 是AB 的黄金分割点，那么的值是（）A. 215+B. 215- C. 253+ D. 253-例3 如图，点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＜BC ，AC=mBC ，则m 的值是______.【针对训练1】下列说法正确的是（ ）A.每条线段有且仅有一个黄金分割点B.黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍C.若点C 把线段AB 黄金分割，则AC2=AB ·BCD.以上说法都不对【针对训练2】如图，点C 是线段AB 的黄金分割点，则下列等式不正确的是（ ）A. AC BC AB AC =B. 618.0≈AB ACC.AB AC 215-= D.AB BC 215-=【针对训练3】已知点C 是AB 的黄金分割点（AC ＜BC ），若AB=4cm ，则AC 的长为_______cm.【巩固训练】1. 已知线段AB=10cm ，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则AC 的长为（ ） A.cm )1055(- B. cm )5515(- C.cm )555(- D.cm )5210(-2. 已知点C 是线段AB 上的一个点，且满足AC2=BC ·AB ，则下列式子成立的是（ ） A.215-=BC AC B. 215-=AB ACC. 215-=AB BCD. 215+=AC BC3.如图所示，点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，若S1表示以AP为边的正方形的面积，S2表示以AB为长，PB为宽的矩形的面积，则S1，S2的大小关系为（）A.S1＞S2B.S1=S2C.S1＜S2D.不能确定4.宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF，以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G，作G作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）A.矩形ABFEB.矩形EFCDC.矩形EFGHD.矩形DCGH5.当气温与人体正常体温（37℃）之比等于黄金分割比0.618时，人体感觉最舒适，这个气温约为______℃.（取整数）6.东方明珠塔高468米，上球体点A是塔身的黄金分割点（如图所示），则点A到塔顶部的距离约是______米.（精确到0.1米）第3题图第4题图第6题图7.已知线段AB=2，点P是线段AB的黄金分割点，则AP=______.8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：点D是线段AC的黄金分割点.9.如图，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF 为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？3。
北师大版九年级数学上册《4.4 第4课时 黄金分割》课件
∵∠DBC=36°，∠C=72°， ∴∠BDC=72°， ∴BD=BC，
一个五角星如下图所示.
问题：度量C到点A、B的距离, AC 与 BC 相等吗？
AB AC
A
C
B
A
C
B
点C把线段AB分成两条线段AC和BC, 如果
AC BC , 那么称线段AB被点C黄金 AB AC
分割.点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与 AB的比称为黄金比.
பைடு நூலகம்
做一做
1.计算黄金比. 解：由
AC BC AB AC
第四章
4.4
图形的相似
探究三角形相似的条件
第4课时 黄金分割
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比；
2.能对黄金分割进行简单运用．（重点、难点）
导入新课
通过观察，你觉得下面那副图最有美感？
事物之间的和谐关系可以表现为某种恰当的比例关系.
讲授新课
一 黄金分割的概念
∴AD=BC，
∴AC：AD=AD：DC； 即点D是AC的黄金分割点．
4.如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的
中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作 正方形AFGH.点H就是AB的黄金分割点. 解: 设AB=1,那么在 Rt△BAE 中,
5 1 BE AB 2 AE 2 12 . 2 2 5 于是EF BE , 2 5 1 5 1 AH AF BE AE . 2 2 2 5 1 3 5 BH AB AH 1 . 2 2 AH BH 因此 ,点H 就是HB的黄金分割点. AB AH
黄金分割 (教案)数学九年级上册同步备课(北师大版)
北师版九年级上册数学4.4.4 黄金分割教学设计自然界中美丽的蝴蝶、一片树叶，生活中的蒙娜丽莎像、埃菲尔铁塔、埃及的金字塔等都给人以最优美、最令人赏心悦目的视觉，为什么它们能令人有同学们，你们想知道什么原因吗？讲授新课 观察下图中的五角星，思考下面几个问题。
(1)从图中找出相等的角、相等的线段. (2)在图中找出两对相似比不同的相似三角形. (3)用刻度尺分别度量线段AC ，BC 的长度，计算AC BC =.AB AC通过计算，你发现了什么？ 黄金分割的定义：一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC(如图)，如果AC BC=.AB AC那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.BC A一条线段有几个黄金分割点？ 2个例1：计算黄金比. 解：由AC BC=.AB AC得AC 2=AB ·BC. 设AB=1，AC=x ，则BC=1-x. ∴x 2=1× (1-x). 即x 2+x-1=0. 解这个方程，得 x 1=-1+5,2 x 2= -1-5,2(不合题意，舍去). 所以，黄金比AC 5-1=≈0.618.AB 2学生通过观察、思考、交流,教师引导、回答问题。
学生在教师的引导下理解黄金分割的定义。
学生利用所学知识计算黄金比。
利用五角星,创设一个有利于学生探究和综合运用线段比的情境。
引入黄金分割的概念、黄金比约为0.618.培养学生建立数学模型的能力,让学生亲自计算,发现生活中的黄金分割,感受数学与生活的密切联系。
深挖概念,把握规律。
帮助学生更深刻的理解黄金分割的定义。
拓展提高自然界中的黄金分割在日常生活中，黄金分割处处可见。
如演员在舞台上表演，站在黄金分割点上，台下的观众看上去感觉很好。
有人发现，人的肚脐高度和人体总高度的比接近黄金比。
普通树叶的宽与长之比，蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也接近0.618.想一想如图是古希腊时期的巴台农神庙，如果把图中用虚线表示的矩形画成图中的ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现，BE BC=. BC AB思考：点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？∵四边形AEFD是正方形，∴AD=BC=AE 教师介绍黄金矩形将黄金分割的意义一维图形扩展到二维图形,同时通过巴台农神庙展示黄金分割的历史文化价值。
北师大版初中数学九年级上册4.4 第4课时 黄金分割1
5－1 黄金比：较长线段：原线段＝ ：1
2
经历黄金分割的引入以及黄金分割点的探 究过程，通过问题情境的创设和解决过 程，体会黄金分割的文化价值，在应用中 进一步理解相关内容，在实际操作、思 考、交流等过程中增强学生的实践意识和 自信心.感受数学与生活的紧密联系，体会 数学的思维方式，增进数学学习的兴趣.
方法总结：把一条线段黄金分割
后，原线段、较长线段、较短线段之间有
固定的比值关系，只要知道其中一条线段
的长度，就可以求出另外两条线段的长度.
已知线段 AB＝6，点 C 为线段
AB 的黄金分割点，求下列各式的值：
（1）AC－BC；（2）AC·BC.
解析：黄金分割点是线段上一个点，
这个点把线段分成一长一短两部分，由题
y＋0.96
美，则
＝0.618.
1.60＋y
解得 y≈0.075，而 0.075m＝7.5cm.
故她应该穿约为 7.5cm 高的高跟鞋看
起来会更美.
易错提醒：要准确理解黄金分割
的概念，较长线段的长是全段长的 0.618.注
意此题中全段长是身高与高跟鞋鞋高之和.
三、板书设计
黄 金 分 割
定义：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC
北师大初中数学
MA＝ 5－1，求原线段 AB 的长.
解析：由于 M 是黄金分割点，根据黄
较长线段 5－1
金比＝
＝
原线段
2
，可求出原线段长.
解 ： 因 为 M 是 线 段 AB 的 黄 金 分 割
点，且 MA>MB，
4.4.4黄金分割
A（4, 0）
C（4, 1.
（4）如何求两个一次函数交点坐标 6m，求路灯杆AB的高度．
1、运用相似三角形的性质解决实际问题的方法和步骤 6m，求路灯杆AB的高度．
MD的表达式：y=-2X+9.
请你根据以上信息，求出小军身高BE的长(结果精确到0.
❖❖❖❖ 方 实法质：：联解立二yy表元12==达一kk12式 次xx++， 方bb12形 程成 组二元一次方程组 如影实(实例照时 A请建6当(他 如的（(6(建A68例照时当-（方y-31131米mmm-（（))))-图长质质1明，你立小们图像1立1明，小1法=解 设 将 解-，，，、 ） 、 ）的k-44一， F： ： 灯 其根 适 军 经， 与 适 灯 其 军 ：1：：实：,,求求求[一正[利Gx22次有解解下影 据当正过 小镜当下影正联+解设际解00=00路路路次方用b））114函一二二的长 以的好观 方面的的长好立二出问二1灯灯灯55m函形相数路元元影A上平站察 在上平影A站表陕陕元一题元，杆杆杆数地似DD在灯一一长信面在发 小的面长在达西西一次转一如恰 恰AAA的砖三相杆次次及息直广现 亮标直及广式BBB，，次函化次果好 好系铺角CC的的的似方方地，角场， 对记角地场，A22方数为方小为 为（（数成形00B高高高与程程砖求坐的观 应重坐砖的形]]程的相程（明1144晚晚与 ， 的度度度块块三,,组组长出标测的合标长成BB组表似组底的饭饭图小性点点．．．地 地角来小系点 位。系来二，达三，部身11后后象聪质((..砖 砖函测军与 置测元距距得式角得B高，，之的测长 长数量身望 为量一NN不到形到y为小小间身高＝点点； ；应小高月 小次c能问kk1聪聪点的高k、9、9.用军阁 军方B直x题块块和和，关AE＋bb题的底 的程接．C的地的地的小小镜系b为中身部 身组到.值砖值砖长军军子：1的高的 高达．长．长(在在不.结应．距 ．）))社社动时时果用于离 于，区区，，，精是不 是在广广小其其确，宜 ，灯场场亮影影到两测 两光散散看长长0人得 人下.步步着BB在， 在，FF，，镜恰恰灯因 灯小小小面好好下此 下明聪聪上为为沿经 沿在问问的22直过 直点块块小小标线研 线D地地军军记处究NN砖砖：：，QQ测需长长““他移移得要你你．．来动动自两有有已已回，，己次多多知知走如如的测高高广广动图图影量？？场场，，，长，””地地走当当D于F小小面面到小小是=军军由由聪D聪3他m点一一边 边正正们，时时时长长好好首沿看语语为为站站先B到00塞塞在在D用..“方．．广广平望向小小场场面月到聪聪的的镜阁达思思AA进点点”点考考行((顶F片片距距测处端刻刻NN量再点点点，，，测5A5提提块块在方得议议地地镜法自用用砖砖面如己广广长长中下得场场))，
4.4.4黄金分割
4.4.4黄⾦分割榆林市⼗⼀中学⽣⾃主学习⽅案班级组号姓名【⾃主学习】1．如图，在矩形ABCD 中，E 在AD 上，EF ⊥BE ，交CD 于F ，连接BF ，则图中与△ABE ⼀定相似的三⾓形是( B )A ．△EFB B ．△DEFC ．△CFBD ．△EFB 和△DEF2．如图，在边长为1的正⽅形⽹格中有点P ，A ，B ，C ，则图中所形成的三⾓形中，相似三⾓形是．【讨论展⽰】讨论1:黄⾦分割的定义：如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果，那么称线段AB 被点C 黄⾦分割，其中点C 叫做线段AB 的，AC 与AB 的⽐叫做，近似数为讨论2:黄⾦分割点的作法：学年 2018-2019 科⽬九年级数学(上) 课题 4.4.4黄⾦分割授课时间主备⼈张慧使⽤⼈九年级师⽣课型新授课审核张慧学案序号30学习⽬标 1．知道黄⾦分割的定义；会找⼀条线段的黄⾦分割点；会判断某⼀点是否为⼀条线段的黄⾦分割点．2．通过找⼀条线段的黄⾦分割点，培养学⽣的理解与动⼿能⼒． 3．理解黄⾦分割的现实意义，并能动⼿找到和制作黄⾦分割点和图形，让学⽣认识数学与⼈类⽣活的密切联系．重点了解黄⾦分割的意义并能运⽤．难点了解黄⾦分割的意义并能运⽤．教师寄语认真阅读教材P95-98页，尝试完成导学案.我的课堂我做主，我的学习我主动，我的⼈⽣我努⼒！展⽰1：1.在黄⾦矩形ABCD中，AB为宽，BC为长，若BC＝3cm，则黄⾦矩形的⾯积约为_______A.4.854B.5.56C.5.32D.4.62.若点C是AB的黄⾦分割点，且AC>BC,已知AB=20CM,求BC的长。
展⽰2：采⽤如下⽅法也可以得到黄⾦分割点.如图，设AB是已知的线段，在AB上作正⽅形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA⾄F，使EF=EB，以线段AF为边作正⽅形AFGH，点H就是AB的黄⾦分割点。
试说明这种作法的理由。
【检测⼩结】⼀、课堂达标训练：完成课本P97-98页习题⼆、课后作业：1．如图，在平⾏四边形ABCD中，点E是边BC上的黄⾦分割点，且BE＞CE，AE与BD相交于点F.那么BF∶FD的值为．2．五⾓星是我们常见的图形，如图是⼀个标准的正五⾓星，其中，点C，D分别是线段AB的黄⾦分割点，AB＝20cm，求EC ＋CD的长．班级组号姓名教（学）后⼩结：。
4.4.4 黄金分割九年级上册数学北师大版
较短线段
较长线段
C
A
注意：
黄金分割是一种分割线段的方法，每条线段有两个
黄金分割点.如图，点C和点D都是线段AB的黄金分
割点,
=
=
5−1
,
2
=
=
5−1
,并且AD＝BC
2
，AC＝BD.
A
D
C
B
古希腊时期的巴台农神庙
古希腊时期的帕台农神庙
想一想
如果把图1中用虚线表示的矩形画成图2中的 ABCD
黄金分
割点
黄金比
一条线段有两个
黄金分割点
较长线段
原线段
＝
较短线段
较长线段
＝
5−1
2
（3）在AB上截取AC＝AE；
点C即为所求的黄金分割点.
A
D
E
C
B
方法二：如图，已知线段AB，
（1）以线段AB为边作正方形ABCD；
F
G
（2）取AD的中点E，连接EB；
（3）延长DA至点F，使EF＝EB；
A
（4）以AF为边作正方形AFGH；
E
点H即为所求的黄金分割点.
D
H
B
C
课堂小结
定义
黄
金
分
割
则BC＝1－x . ∴ x2＝1×（1－x）. 即x2＋x－1＝0
解这个方程，得1 =
所以，黄金比
A
=
−1+ 5
, 2
2
=
−1− 5
2 （不合题意，舍去）.
5−1
≈0.618.
最新北师大版九年级数学上册：4.4.4-黄金分割教案(1)
第4课时 黄金分割1.知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比；2.能对黄金分割进行简单运用.（重点、难点）一、情景导入生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.那么这些漂亮的图形你能画出来吗？比如，下图是一个五角星图案，如何找点C 把AB 分成两段AC 和BC ，使得画出的图形匀称美观呢？二、合作探究探究点一：黄金分割的有关概念已知M 是线段AB 的黄金分割点，MA 是被分线段AB 中较长的线段，且MA ＝5－1，求原线段AB 的长.解析：由于M 是黄金分割点，根据黄金比＝较长线段原线段＝5－12，可求出原线段长.解：因为M 是线段AB 的黄金分割点，且MA >MB ，所以MA AB ＝5－12， 所以AB ＝25－1·MA ＝25－1×（5－1）＝2.方法总结：把一条线段黄金分割后，原线段、较长线段、较短线段之间有固定的比值关系，只要知道其中一条线段的长度，就可以求出另外两条线段的长度.已知线段AB ＝6，点C 为线段AB的黄金分割点，求下列各式的值：（1）AC －BC ；（2）AC ·BC .解析：黄金分割点是线段上一个点，这个点把线段分成一长一短两部分，由题意可知较长的线段是原线段的5－12，并且在一条线段上有两个黄金分割点.解：若AC ＞BC ，如图，则AC ＝5－12AB ＝5－12×6＝35－3，所以BC ＝AB －AC ＝6－（35－3）＝9－3 5.（1）AC －BC ＝35－3－（9－35）＝35－3－9＋35＝65－12；（2）AC ·BC ＝（35－3）×（9－35）＝275－45－27＋95＝365－72.若AC ＜BC ，如图.（1）AC －BC ＝12－65； （2）AC ·BC ＝365－72.易错提醒：注意一条线段有两个黄金分割点，因此题中未指出黄金分割点离哪个端点较近时，要分情况讨论.探究点二：黄金分割的应用在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m ，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？解析：想要看起来更美，则鞋底到肚脐的长度与身高之比应为黄金比，此题应根据已知条件求出肚脐到脚底的距离，再求高跟鞋的高度.解：设肚脐到脚底的距离为x m ，根据题意，得x1.60＝0.60，解得x ＝0.96.设穿上y m 高的高跟鞋看起来会更美，则y ＋0.961.60＋y＝0.618. 解得y ≈0.075，而0.075m ＝7.5cm. 故她应该穿约为7.5cm 高的高跟鞋看起来会更美.易错提醒：要准确理解黄金分割的概念，较长线段的长是全段长的0.618.注意此题中全段长是身高与高跟鞋鞋高之和.三、板书设计 黄金分割⎩⎪⎨⎪⎧定义：一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC和BC ，如果AC AB ＝BC AC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割黄金分割点：一条线段有两个黄金分割点黄金比：较长线段：原线段＝5－12：1经历黄金分割的引入以及黄金分割点的探究过程，通过问题情境的创设和解决过程，体会黄金分割的文化价值，在应用中进一步理解相关内容，在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识和自信心.感受数学与生活的紧密联系，体会数学的思维方式，增进数学学习的兴趣.。
【北师版九年级数学上册教案】4.4第4课时黄金分割
4.4 研究三角形相似的条件第 4 课时黄金切割教课目标【知识与能力】1.知道黄金切割的定义.2.会找一条线段的黄金切割点.3.会判断某一点能否为一条线段的黄金切割点.【过程与方法】经过找一条线段的黄金切割点，培育学生的理解与着手能力.【感情态度价值观】理解黄金切割的意义，并能着手找到和制作黄金切割点和图形，让学生认识数学与人类生活的亲近联系对人类历史发展的作用.教课重难点【教课要点】认识黄金切割的意义，并能运用.【教课难点】找黄金切割点和画黄金矩形.课前准备课件 .教课过程Ⅰ .创建问题情境，引入新课［师］生活中我们见到过许好多多的图形，形态万千，雅观大方.那么这些美丽的图形你能画出来吗？比方，右图是一个五角星图案，如何找点 C 把 AB 分成两段AC 和 BC，使得画出的图形均匀雅观呢？本节课就研究这个问题.Ⅱ .解说新课［师］在五角星图案中，大家用刻度尺分别胸襟线段AC、BC 的长度，而后计算AC、ABBC,它们的值相等吗？AC［生］相等 .［师］所以ACBC . ABAC1.黄金切割的定义一般地， 点 C 把线段 AB 分成两条线段AC 和 BC ，假如ACBC,那么称线段 AB 被点ABACC 黄金切割（ golden section ） ,点 C 叫作线段 AB 的黄金切割点， AC 与 AB 的比叫作黄金比 .此中AC≈0.618.AB2. 计算黄金比 .AC BC2解：由 AB =AC ，得∴ AC =AB · BC. 设 AB=1,AC=x,则 BC =1- x.∴ x 2=1×（ 1－ x ）∴ x 2+ x － 1=0 解这个方程，得x 1=- 1+√5 -1- √5或 x 2= （不合题意，舍去） ，22 AC √5-1所以，黄金比=≈ 0.618。
3.作一条线段的黄金切割点 .如图，已知线段 AB ，依据以下方法作图：（ 1）经过点 B 作 BD ⊥ AB ，使 BD = 1AB.2（ 2）连接 DA ，在 DA 上截取 DE=DB.（ 3）在 AB 上截取 AC=AE. 则点 C 为线段 AB 的黄金切割点 .［师］你知道为何吗？若点 C 为线段 AB 的黄金 切割点， 则点 C 分线段 AB 所成的两条线段AC 、BC 间须满足AC BC.下边请大家进行考据.自己有困难时可以相互交流 .为了计算方便，可设 AB =1.ABAC证明：∵ AB=1,AC=x,BD = 1 AB=12 2∴ AD=x+ 12在 Rt △ABD 中，由勾股定理，得（ x+ 1） 2=12+（ 1）22 2∴ x 2+x+ 1 =1+ 144∴ x 2=1－ x∴ x 2=1·（ 1－ x ）∴ AC 2 =AB · BC即：AC BCAB AC即点 C 是线段 AB 的一个黄金切割点，在 x 2=1－ x 中整理，得 x 2+x － 1=0∴ x=11 41 522∵ AC 为线段长，只好取正 ∴ AC=5 1≈ 0.6182∴AC≈ 0.618AB∴黄金比约为 0.618. 3.想想古希腊期间的巴台农神庙 （Parthenom Temple ）.把它的正面放在一个矩形 ABCD 中，以矩 形 ABCD 的宽 AD 为边在其内部作正方形 AEFD ，那么我们可以惊诧地发现，BC AB BE ,BC点 E 是 AB 的黄金切割点吗？矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？［师］请大家相互 交流 .［生］由于四边形 AEFD 是正方形，所以 AD=BC=AE,又由于BCAB ,所以 AE AB ,BE BCBE AE即 AEBE,所以点 E 是 AB 的黄金切割点，矩形 ABCD 宽与长的比是黄金比 .ABAE［师］在上边这 个矩形中，宽与长的比是黄金比，这个矩形叫作黄金矩形.你学会作了吗？Ⅲ .课时小结本节课学习了： 1.黄金切割点的定义及黄金比.2.如何找一条线段的黄金切割点，以及会画黄金矩形 .3.能依据定义判断某一点能否为一条线段的黄金切割点 .Ⅳ .课后作业习题 4.8Ⅴ .活动与研究要配制一种新农药，需要兑水稀释，兑多少才好呢？太浓太稀都不可以.什么比率最适合，要经过试验来确立 .假如知道稀释的倍数在1000 和 2000之间，那么，可以把 1000 和 2000看作线段的两个端点，选择AB 的黄金切割点 C 作为第一个试验点， C 点的数值可以算是1000+（ 2000－ 1000）× 0.618= 1618.试验的结果，假如按1618 倍，水兑得过多，稀释成效不理想，可以进行第二次试验 .此次的试验点应入选 AC 的黄金切割点D，D 的地址是 1000+（1618 － 1000）× 0.618，约等于1382，假如 D 点还不理想，可以按黄金切割的方法连续试验下去 .假如太浓，可以选DC 之间的黄金切割点；假如太稀，可以选AD 之间的黄金切割点，用这样的方法，可以较快地找到适合的浓度数据.这类方法叫作“黄金切割法”.用这样的方法进行科学试验，可以用最少的试验次数找到最正确的数据，既节约了时间，也节约了原资料.●板书设计定义：一般地，点C把线段 AB分成两条线段AC黄AC BC和BC，假如＝，那么称线段 AB被点AB AC金C黄金切割分黄金切割点：一条线段有两个黄金切割点割5－ 1黄金比：较长线段：原线段＝： 12。
北师大版九年级上册数学 4.4 第4课时 黄金分割
第4课时 黄金分割学习目标：1、认识线段的黄金分割，理解黄金分割的概念.2、会运用黄金分割进行相关计算和证明.学习重点：比例性质的应用和黄金分割的概念.学习难点：运用黄金分割解决实际问题.【预习案】一、链接请写出比例的基本性质.二、导读阅读课本P95-96，回答下列问题：（1） 叫做黄金分割．（2）黄金分割点是如何确定的？一条线段有几个黄金分割点？ 叫做线段的黄金分割点， 叫做黄金比.【探究案】㈠、黄金分割的定义：1、动手操作，然后算一算，完成下面的填空：度量线段AC 、BC 的长度，线段AC= ，BC= ， 计算AB AC = 、AC BC = , AB AC 与ACBC 的值 A B C相等吗？ ※在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段 和 ，如果 = ， 那么称线段AB 被点C ，点C 叫做线段AB 的 ，AC 与AB 的比叫做 。
其中AB AC = ≈ ※⑴、黄金分割是一种分割线段的方法，一条线段的黄金分割点有 个。
⑵、黄金比是两条线段的比，没有单位，它的比值为 ，精确到0.001为 。
2、想一想：点C 是线段AB 的黄金分割点，则ABAC = 。
㈡、确定黄金分割点：如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD=21AB. （2）连接AD ，在DA 上截取DE=DB.（3）在AB 上截取AC=AE.点C 就是线段AB 的黄金分割点。
㈢、黄金矩形：宽与长的比是：的矩形叫做黄金矩形。
【训练案】1、若点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞CB ，则AB ：AC= ；BC ：AB= .2、若在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中，=11B A AB =11C B BC 1111CD DA C D D A ==58且四边形A 1B 1C 1D 1的周长为80cm ，求四边形ABCD 的周长.3、已知，如图在 △ABC 中 ECAE DB AD = 求证：(1)EC AC DB AB =; (2)EC AE AB AD =4、设点C 是长度为2cm 的线段AB 的黄金分割点，则AC 的长为 .E D AC BAB 5−12。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
榆林市十一中学生自主学习方案
班级 组号 姓名
【自主学习】
1．如图，在矩形ABCD 中，E 在AD 上，EF ⊥BE ，交CD 于F ，连接BF ，则图中与△ABE 一定相似的三角形是( B )
A ．△EF
B B ．△DEF
C ．△CFB
D ．△EFB 和△DEF
2．如图，在边长为1的正方形网格中有点P ，A ，B ，C ，则图中所形成的三角形中，相似三角形是 ．
【讨论展示】
讨论1:黄金分割的定义：如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果 ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，其中点C 叫做线段AB 的 ，AC 与AB 的比叫做 ，近似数为
讨论2:黄金分割点的作法：
学 年 2018-2019 科 目 九年级数学(上) 课题 4.4.4黄金分割
授课时间 主 备人
张 慧
使用人
九年级师生
课型 新授课
审核
张 慧
学案序号
30
学习目标 1．知道黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点；会判断某一点是否为一条线段的黄金分
割点．
2．通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力． 3．理解黄金分割的现实意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类
生活的密切联系．
重 点 了解黄金分割的意义并能运用． 难 点 了解黄金分割的意义并能运用．
教师寄语 认真阅读教材P95-98页，尝试完成导学案.
我的课堂我做主，我的学习我主动，我的人生我努力！
展示1：
1.在黄金矩形ABCD中，AB为宽，BC为长，若BC＝3cm，则黄金矩形的面积约为_______
A.4.854
B.5.56
C.5.32
D.4.6
2.若点C是AB的黄金分割点，且AC>BC,已知AB=20CM,求BC的长。
展示2：采用如下方法也可以得到黄金分割点.
如图，设AB是已知的线段，在AB上作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长
DA至F，使EF=EB，以线段AF为边作正方形AFGH，点H就是AB的黄金分割点。
试说明这种作法的理由。
【检测小结】
一、课堂达标训练：完成课本P97-98页习题
二、课后作业：
1．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC上的黄金分割点，且BE＞CE，AE与BD相交于点F.那么BF∶FD的值为．
2．五角星是我们常见的图形，如图是一个标准的正五角星，其中，点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB＝20cm，求EC＋CD的长．
班级组号姓名
教（学）后小结：。